Desetinný zlomek se používá, když potřebujete provádět operace s necelými čísly. To se může zdát iracionální. Tento typ čísel ale značně usnadňuje matematické operace, které je s nimi nutné provádět. Toto porozumění přichází s časem, kdy se jejich psaní zdomácní, čtení nezpůsobuje potíže a pravidla desetinných zlomků jsou zvládnuta. Navíc se opakují všechny již známé akce, které se učí přirozenými čísly. Stačí si zapamatovat některé funkce.
Desetinná definice
Desetinné číslo je speciální reprezentace neceločíselného čísla se jmenovatelem, který je dělitelný 10 a odpověď je jedna a případně nuly. Jinými slovy, pokud je jmenovatel 10, 100, 1000 atd., je pohodlnější přepsat číslo pomocí čárky. Potom bude před ním umístěna celočíselná část a poté zlomková část. Navíc záznam druhé poloviny čísla bude záviset na jmenovateli. Počet číslic, které jsou ve zlomkové části, se musí rovnat jmenovateli.
Výše uvedené lze ilustrovat těmito čísly:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Důvody použití desetinných míst
Matematici potřebovali desetinná místa z několika důvodů:
Zjednodušte nahrávání. Takový zlomek se nachází podél jedné čáry bez pomlčky mezi jmenovatelem a čitatelem, přičemž jasnost netrpí.
Jednoduchost ve srovnání. Stačí jen korelovat čísla, která jsou na stejných pozicích, přičemž u obyčejných zlomků bychom je museli přivést na společného jmenovatele.
Zjednodušení výpočtů.
Kalkulačky nejsou určeny pro zavádění obyčejných zlomků, pro všechny operace používají desítkový zápis.
Jak taková čísla správně číst?
Odpověď je jednoduchá: stejně jako obyčejné smíšené číslo se jmenovatelem, který je násobkem 10. Jedinou výjimkou jsou zlomky bez celočíselné hodnoty, pak při čtení musíte říkat „nula celá čísla“.
Například 45/1000 by se mělo vyslovovat jako čtyřicet pět tisícin, zatímco 0,045 bude znít jako nula bod čtyřicet pět tisícin.
Smíšené číslo s celá část rovná 7 a zlomku 17/100, který bude zapsán jako 7,17, v obou případech bude čten jako sedm bodů sedmnáct setin.
Role číslic v zápisu zlomků
Je pravda, že vybíjení je to, co matematika vyžaduje. Desetinná čísla a jejich význam se může výrazně změnit, pokud číslo napíšete na špatné místo. To však platilo již dříve.
Chcete-li přečíst číslice celé části desetinného zlomku, stačí použít pravidla známá pro přirozená čísla. A na pravé straně jsou zrcadlené a čtou se jinak. Pokud v celé části zazněly "desítky", tak za desetinnou čárkou to budou již "desítky".
To je jasně vidět v této tabulce.
| Třída | tisíce | Jednotky | , | zlomek | |||||||
| vybít | sto | prosinec | Jednotky | sto | prosinec | Jednotky | desátý | setina | tisící | desetitisící | |
Jak zapsat smíšené číslo jako desetinné?
Pokud jmenovatel obsahuje číslo rovné 10 nebo 100 a další, pak je otázka, jak převést zlomek na desetinné číslo, jednoduchá. K tomu stačí přepsat všechny jeho součásti jiným způsobem. K tomu pomohou následující body:
pište čitatel zlomku trochu stranou, v tuto chvíli je desetinná čárka umístěna vpravo za poslední číslicí;
posuňte čárku doleva, zde je nejdůležitější správně počítat čísla - musíte ji posunout o tolik pozic, kolik je nul ve jmenovateli;
pokud jich není dostatek, měly by se na prázdných pozicích objevit nuly;
nuly, které byly na konci čitatele, již nejsou potřeba a lze je přeškrtnout;
před čárku přidejte celočíselnou část, pokud tam nebyla, tak se zde objeví i nula.
Pozornost. Nemůžete škrtat nuly, které jsou obklopeny jinými čísly.
O tom, jak být v situaci, kdy jmenovatel obsahuje číslo nejen od jedničky a nul, jak převést zlomek na desetinné, se dočtete o něco níže. To je důležitá informace, kterou byste si rozhodně měli přečíst.
Jak převést zlomek na desetinné číslo, pokud je jmenovatelem libovolné číslo?
Zde jsou dvě možnosti:
Když jmenovatel může být reprezentován jako číslo, které je deset na libovolnou mocninu.
Pokud takovou operaci nelze provést.
Jak to zkontrolovat? Musíte faktorizovat jmenovatele. Pokud jsou v produktu přítomny pouze 2 a 5, pak je vše v pořádku a zlomek se snadno převede na konečné desetinné číslo. V opačném případě, pokud se objeví 3, 7 a další prvočísla, bude výsledek nekonečný. Je obvyklé zaokrouhlit takový desetinný zlomek pro snadné použití v matematických operacích. O tom bude řeč o něco níže.
Studium toho, jak se takové desetinné zlomky získávají, stupeň 5. Příklady zde budou velmi užitečné.
Nechť jmenovatelé obsahují čísla: 40, 24 a 75. Rozklad na prvočinitele pro ně bude následující:
- 40 = 2 2 2 5;
- 24 = 2 2 2 3;
- 75 = 5 5 3.
V těchto příkladech může být jako konečný zlomek reprezentován pouze první zlomek.
Algoritmus pro převod obyčejného zlomku na konečné desetinné číslo
Zkontrolujte rozklad jmenovatele na prvočinitele a ujistěte se, že se bude skládat z 2 a 5.
Přidejte k těmto číslům tolik 2 a 5, že se stanou stejným číslem. Uvedou hodnotu dodatečného multiplikátoru.
Vynásobte jmenovatele a čitatele tímto číslem. Výsledkem je obyčejný zlomek, pod jehož čarou je do určité míry 10.
Pokud jsou v úloze tyto akce provedeny se smíšeným číslem, musí být nejprve reprezentováno jako nesprávný zlomek. A teprve potom jednat podle popsaného scénáře.
Znázornění běžného zlomku jako zaokrouhlené desetinné místo
Tento způsob převodu zlomku na desetinné číslo bude někomu připadat ještě jednodušší. Protože nemá moc akce. Stačí vydělit čitatele jmenovatelem.
Každému číslu s desetinnou částí napravo od desetinné čárky lze přiřadit nekonečný počet nul. Tato vlastnost by měla být použita.
Nejprve si zapište celou část a za ni dejte čárku. Pokud je zlomek správný, napište nulu.
Poté je nutné provést dělení čitatele jmenovatelem. Aby měly stejný počet číslic. To znamená, že přiřaďte požadovaný počet nul vpravo od čitatele.
Provádějte dělení ve sloupci, dokud není vytočen požadovaný počet číslic. Pokud například potřebujete zaokrouhlit na setiny nahoru, pak by jich v odpovědi měly být 3. Obecně by mělo být o jednu číslici více, než potřebujete nakonec získat.
Meziodpověď zaznamenejte za desetinnou čárkou a zaokrouhlete podle pravidel. Pokud je poslední číslice od 0 do 4, stačí ji zahodit. A když se rovná 5-9, pak ten před ním musí být zvýšen o jedničku a poslední se vyřadí.
Návrat z desítkové soustavy k běžné
V matematice nastávají problémy, kdy je výhodnější znázorňovat desetinné zlomky ve formě obyčejných, ve kterých je čitatel se jmenovatelem. Můžete si vydechnout: tato operace je vždy možná.
Pro tento postup je třeba provést následující:
zapište si celočíselnou část, pokud je rovna nule, pak není třeba nic psát;
nakreslit zlomkovou čáru;
nad něj napište čísla z pravé strany, pokud jsou první nuly, pak je třeba je přeškrtnout;
pod čáru napište jednotku s tolika nulami, kolik je číslic za desetinnou čárkou v původním zlomku.
To je vše, co musíte udělat, abyste převedli desetinné číslo na běžný zlomek.
Co můžete dělat s desetinnými čísly?
V matematice to budou určité akce s desetinnými zlomky, které byly dříve prováděny pro jiná čísla.
Oni jsou:
srovnání;
sčítání a odčítání;
násobení a dělení.
První akce, srovnání, je podobná tomu, jak byla provedena pro přirozená čísla. Chcete-li určit, která je větší, musíte porovnat číslice celé části. Pokud se ukáže, že jsou stejné, pak přejdou na zlomkovou a porovnávají je stejným způsobem po číslicích. Odpovědí bude číslo s největší číslicí v nejvyšším pořadí.
Sčítání a odčítání desetinných míst
Toto jsou možná nejjednodušší kroky. Protože se provádějí podle pravidel pro přirozená čísla.
Aby bylo možné přidat desetinné zlomky, je třeba je zapsat jeden pod druhým a umístit čárky do sloupce. U takového záznamu se nalevo od čárek zobrazí části celého čísla a napravo zlomkové části. A nyní je potřeba sčítat čísla kousek po kousku, jak se to dělá s přirozenými čísly, a posouvat čárku dolů. Musíte začít sčítat od nejmenší číslice zlomkové části čísla. Pokud v pravé polovině není dostatek čísel, přidejte nuly.
Odečítání funguje stejným způsobem. A zde platí pravidlo, které popisuje možnost odebírat jednotku z nejvyšší číslice. Pokud má redukovaný zlomek za desetinnou čárkou méně číslic než subtrahend, pak se mu jednoduše přiřadí nuly.
Trochu složitější je situace u úloh, kde je potřeba provádět násobení a dělení desetinných zlomků.
Jak násobit desetinné číslo v různých příkladech?
Pravidlo pro násobení desetinných zlomků přirozeným číslem je následující:
zapište je do sloupce, čárku ignorujte;
množit se, jako by byly přirozené;
oddělte čárkou tolik číslic, kolik bylo ve zlomkové části původního čísla.
Speciálním případem je příklad, ve kterém je přirozené číslo rovno 10 s libovolnou mocninou. Pak, abyste dostali odpověď, stačí posunout čárku doprava o tolik pozic, kolik je nul v jiném faktoru. Jinými slovy, při násobení 10 se čárka posune o jednu číslici, o 100 - budou dvě a tak dále. Pokud ve zlomkové části není dostatek číslic, musíte na prázdné pozice napsat nuly.
Pravidlo, které se používá, když v úloze potřebujete vynásobit desetinné zlomky jiným se stejným číslem:
zapište je pod sebe, čárky ignorujte;
násobte, jako by to byla přirozená čísla;
oddělte čárkou tolik číslic, kolik bylo ve zlomcích obou původních zlomků dohromady.
Jako zvláštní případ se rozlišují příklady, ve kterých je jeden z faktorů roven 0,1 nebo 0,01 a tak dále. V nich musíte čárku posunout doleva o počet číslic v prezentovaných faktorech. To znamená, že pokud se vynásobí 0,1, posune se čárka o jednu pozici.
Jak rozdělit desetinný zlomek v různých úlohách?
Dělení desetinných zlomků přirozeným číslem se provádí podle následujícího pravidla:
zapište je k rozdělení do sloupce, jako by byly přirozené;
rozdělte podle obvyklého pravidla, dokud neskončí celá část;
dát do odpovědi čárku;
pokračujte v dělení zlomkové složky, dokud není zbytek nula;
v případě potřeby můžete přiřadit požadovaný počet nul.
Pokud je celočíselná část rovna nule, nebude ani v odpovědi.
Samostatně existuje rozdělení na čísla rovnající se deseti, stům a tak dále. V takových problémech je potřeba posunout čárku doleva o počet nul v děliteli. Stává se, že v celočíselné části není dostatek číslic, pak se místo nich použijí nuly. Je vidět, že tato operace je podobná násobení 0,1 a podobným číslům.
Chcete-li provést dělení desetinných míst, musíte použít toto pravidlo:
přeměňte dělitele na přirozené číslo a k tomu přesuňte čárku v něm doprava na konec;
posuňte čárku a v dělitelném o stejný počet číslic;
postupujte podle předchozího scénáře.
Dělení 0,1 je zvýrazněno; 0,01 a další podobná čísla. V takových příkladech je čárka posunuta doprava o počet číslic ve zlomkové části. Pokud jsou u konce, musíte přiřadit chybějící počet nul. Stojí za zmínku, že tato akce opakuje dělení 10 a podobnými čísly.
Závěr: vše je o praxi
Nic v učení není snadné a bez námahy. Spolehlivě zvládnout nový materiál vyžaduje čas a praxi. Matematika není výjimkou.
Aby téma desetinných zlomků nepůsobilo potíže, musíte s nimi vyřešit co nejvíce příkladů. Ostatně bývaly doby, kdy bylo sčítání přirozených čísel matoucí. A teď je vše v pořádku.
Proto, abych parafrázoval známou frázi: rozhodnout, rozhodnout a znovu rozhodnout. Potom se úkoly s takovými čísly budou plnit snadno a přirozeně, jako další hádanka.
Mimochodem, hádanky se zpočátku obtížně řeší a pak je třeba dělat obvyklé pohyby. Stejně tak v matematické příklady: po několikanásobném projetí stejné cesty už nebudete přemýšlet, kam odbočit.
Z mnoha zlomků nalezených v aritmetice si zvláštní pozornost zaslouží ty, které mají ve jmenovateli 10, 100, 1000 – obecně jakákoliv mocnina deseti. Tyto zlomky mají zvláštní název a zápis.
Desetinné číslo je jakékoli číslo, jehož jmenovatelem je mocnina deseti.
Desítkové příklady:
Proč bylo vůbec nutné takové zlomky izolovat? Proč potřebují svůj vlastní vstupní formulář? Jsou pro to minimálně tři důvody:
- Porovnání desetinných míst je mnohem jednodušší. Pamatujte: Chcete-li porovnat běžné zlomky, musíte je od sebe odečíst a zejména přivést zlomky na společného jmenovatele. V desetinných zlomcích se nic z toho nevyžaduje;
- Redukce výpočtů. Desetinná čísla se sčítají a násobí podle vlastních pravidel a s trochou cviku s nimi budete pracovat mnohem rychleji než s běžnými;
- Snadnost nahrávání. Na rozdíl od běžných zlomků se desetinná místa píší na jeden řádek bez ztráty srozumitelnosti.
Většina kalkulaček také dává odpovědi v desetinných číslech. V některých případech může jiný formát záznamu způsobit problémy. Co když například v obchodě požadujete změnu ve výši 2/3 rublů :)
Pravidla pro zápis desetinných zlomků
Hlavní výhodou desetinných zlomků je pohodlný a vizuální zápis. A to:
Desetinný zápis je forma desítkového zápisu, kde je celočíselná část oddělena od zlomkové části pomocí běžné tečky nebo čárky. V tomto případě se samotný oddělovač (tečka nebo čárka) nazývá desetinná čárka.
Například 0,3 (čti: „nulové celé číslo, 3 desetiny“); 7,25 (7 celých čísel, 25 setin); 3,049 (3 celá čísla, 49 tisícin). Všechny příklady jsou převzaty z předchozí definice.
Při psaní se jako desetinná čárka obvykle používá čárka. Zde a níže bude čárka také použita na celém webu.
Chcete-li zapsat libovolný desetinný zlomek v určeném tvaru, musíte provést tři jednoduché kroky:
- Čitatele vypište samostatně;
- Posuňte desetinnou čárku doleva o tolik míst, kolik je nul ve jmenovateli. Předpokládejme, že zpočátku je desetinná čárka napravo od všech číslic;
- Pokud se posunula desetinná čárka a za ní jsou na konci záznamu nuly, je třeba je přeškrtnout.
Stává se, že ve druhém kroku čitatel nemá dostatek číslic na dokončení směny. V tomto případě jsou chybějící pozice vyplněny nulami. A obecně platí, že nalevo od libovolného čísla lze bez újmy na zdraví přiřadit libovolný počet nul. Je to ošklivé, ale někdy užitečné.
Na první pohled se tento algoritmus může zdát poměrně komplikovaný. Ve skutečnosti je vše velmi, velmi jednoduché – stačí jen trochu cvičit. Podívejte se na příklady:
Úkol. U každého zlomku uveďte jeho desetinný zápis:
Čitatel prvního zlomku: 73. Desetinnou čárku posuneme o jedno znaménko (protože jmenovatel je 10) - dostaneme 7,3.
Čitatel druhého zlomku: 9. Posuneme desetinnou čárku o dvě číslice (protože jmenovatel je 100) - dostaneme 0,09. Musel jsem přidat jednu nulu za desetinnou čárku a ještě jednu před ní, abych nezanechal podivný zápis jako „.09“.
Čitatel třetího zlomku: 10029. Posuneme desetinnou čárku o tři číslice (protože jmenovatel je 1000) - dostaneme 10,029.
Čitatel posledního zlomku: 10500. Opět posuneme bod o tři číslice - dostaneme 10,500. Na konci čísla jsou nuly navíc. Vyškrtneme je – dostaneme 10,5.
Věnujte pozornost posledním dvěma příkladům: číslům 10.029 a 10.5. Podle pravidel se musí nuly napravo přeškrtnout, jak se to dělá v posledním příkladu. V žádném případě to však nedělejte s nulami, které jsou uvnitř čísla (které jsou obklopeny jinými číslicemi). Proto jsme dostali 10,029 a 10,5, a ne 1,29 a 1,5.
Takže jsme přišli na definici a formu zaznamenávání desetinných zlomků. Nyní zjistíme, jak převést obyčejné zlomky na desetinná místa – a naopak.
Změna ze zlomků na desetinná místa
Uvažujme jednoduchý číselný zlomek tvaru a/b. Můžete použít základní vlastnost zlomku a vynásobit čitatele a jmenovatele takovým číslem, abyste pod ním dostali mocninu deseti. Než tak učiníte, přečtěte si prosím následující:
Existují jmenovatele, které nejsou redukovány na mocninu deseti. Naučte se takové zlomky rozpoznávat, protože s nimi nelze pracovat podle níže popsaného algoritmu.
A je to. Jak pochopit, zda je jmenovatel snížen na mocninu deseti nebo ne?
Odpověď je jednoduchá: rozložte jmenovatele na prvočinitele. Pokud jsou v expanzi přítomny pouze faktory 2 a 5, lze toto číslo snížit na mocninu deseti. Pokud jsou tam jiná čísla (3, 7, 11 - cokoliv), na stupeň deset můžete zapomenout.
Úkol. Zkontrolujte, zda lze zadané zlomky reprezentovat jako desetinná místa:
Vypíšeme a rozložíme jmenovatele těchto zlomků:
20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - jsou přítomna pouze čísla 2 a 5. Zlomek tedy může být reprezentován jako desetinné číslo.
12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 - existuje "zakázaný" faktor 3. Zlomek nemůže být reprezentován jako desetinné číslo.
640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5. Vše je v pořádku: kromě čísel 2 a 5 není nic. Zlomek je reprezentován jako desetinné číslo.
48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3. Znovu se „vynořil“ faktor 3. Nelze jej reprezentovat jako desetinný zlomek.
Takže jsme přišli na jmenovatele - nyní zvážíme celý algoritmus pro přechod na desetinné zlomky:
- Faktorizujte jmenovatele původního zlomku a ujistěte se, že je obecně reprezentovatelný jako desetinné číslo. Tito. zkontrolujte, zda jsou v expanzi přítomny pouze faktory 2 a 5. Jinak algoritmus nefunguje;
- Spočítejte, kolik dvojek a pětek je v rozkladu (jiná čísla tam nebudou, pamatujete?). Zvolte takovou doplňkovou násobitelku, aby se počet dvojek a pěti rovnal.
- Vlastně vynásobte čitatel a jmenovatel původního zlomku tímto faktorem - dostaneme požadované zobrazení, tzn. jmenovatelem bude mocnina deseti.
Dodatečný faktor bude samozřejmě také rozložen pouze na dvojky a pětky. Abyste si přitom nekomplikovali život, měli byste si takový faktor vybrat ze všech možných ten nejmenší.
A ještě jedna věc: pokud je v původním zlomku celočíselná část, nezapomeňte tento zlomek převést na nesprávný - a teprve potom použít popsaný algoritmus.
Úkol. Převeďte tato čísla na desetinná místa:
Rozložme jmenovatele prvního zlomku na faktor: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Proto může být zlomek reprezentován jako desetinné číslo. V rozšíření jsou dvě dvojky a žádné pětky, takže dodatečný faktor je 5 2 = 25. Počet dvojek a pětek se mu bude rovnat. My máme:
Nyní se pojďme zabývat druhým zlomkem. Chcete-li to provést, poznamenejte si, že 24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3 - v expanzi je trojka, takže zlomek nemůže být reprezentován jako desetinné číslo.
Poslední dva zlomky mají jmenovatele 5 (prvočíslo) a 20 = 4 5 = 2 2 5 - všude jsou pouze dvojky a pětky. Současně, v prvním případě, „pro úplné štěstí“, není dostatek multiplikátoru 2 a ve druhém - 5. Dostaneme:
Přechod z desetinných míst na obyčejné
Reverzní převod – z desítkového zápisu na normální – je mnohem jednodušší. Neexistují žádná omezení a speciální kontroly, takže desetinný zlomek můžete vždy převést na klasický „dvoupatrový“.
Algoritmus překladu je následující:
- Přeškrtněte všechny nuly na levé straně desetinné čárky a také desetinnou čárku. To bude čitatel požadovaného zlomku. Hlavní věc - nepřehánějte to a neškrtejte vnitřní nuly obklopené jinými čísly;
- Vypočítejte, kolik číslic je v původním desetinném zlomku za desetinnou čárkou. Vezměte číslo 1 a přidejte doprava tolik nul, kolik jste spočítali znaků. Toto bude jmenovatel;
- Vlastně zapiš zlomek, jehož čitatel a jmenovatel jsme právě našli. Pokud je to možné, snižte. Pokud v původním zlomku byla celočíselná část, nyní dostaneme nevlastní zlomek, který je velmi vhodný pro další výpočty.
Úkol. Převést desetinná místa na běžná: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.
Vyškrtneme nuly vlevo a čárky - dostaneme následující čísla (budou to čitatelia): 8; 3107; 225; 72008.
V prvním a druhém zlomku za desetinnou čárkou jsou 3 desetinná místa, ve druhém - 2 a ve třetím - až 4 desetinná místa. Dostaneme jmenovatele: 1000; 1000; 100; 10 000.
Nakonec spojíme čitatele a jmenovatele do běžných zlomků:
Jak je vidět z příkladů, výsledný zlomek lze velmi často snížit. Ještě jednou podotýkám, že jakýkoli desetinný zlomek může být reprezentován jako obyčejný. Opačná transformace není vždy možná.
zlomkové číslo.
Desetinný zápis zlomkového čísla je množina dvou a více číslic od $0$ do $9$, mezi kterými je tzv. \textit (desetinná čárka).
Příklad 1
Například 35,02 $; 100,7 $; 123 $ \ 456,5 $; 54,89 $.
Číslice zcela vlevo v desítkové reprezentaci čísla nemůže být nula, kromě případů, kdy je desetinná čárka bezprostředně za první číslicí $0$.
Příklad 2
Například 0,357 $; 0,064 USD.
Často je desetinná čárka nahrazena desetinnou čárkou. Například 35,02 $; 100,7 $; 123 $ \ 456,5 $; 54,89 $.
Desetinná definice
Definice 1
Desetinná čísla jsou zlomková čísla, která jsou zastoupena v desítkové soustavě.
Například 121,05 $; 67,9 $; 345,6700 $.
Desetinná čísla se používají pro kompaktnější reprezentaci pravidelných zlomků, jejichž jmenovateli jsou čísla $10$, $100$, $1\000$ atd. a smíšená čísla, jejichž jmenovatelé jsou $ 10 $, $ 100 $, $ 1\000 $ atd.
Například, společný zlomek$\frac(8)(10)$ lze zapsat jako desítkové $0,8$ a smíšené číslo $405\frac(8)(100)$ jako desítkové $405,08$.
Čtení desetinných míst
Desetinná čísla, která odpovídají regulárním zlomkům, se čtou stejně jako obyčejné zlomky, pouze se dopředu přidá fráze „nulová celá čísla“. Například běžný zlomek $\frac(25)(100)$ (čti "pětadvacet setin") odpovídá desetinnému zlomku $0,25$ (čti "nula dvacet pět setin").
Desetinná čísla, která odpovídají smíšeným číslům, se čtou stejným způsobem jako smíšená čísla. Například smíšené číslo $43\frac(15)(1000)$ odpovídá desetinnému zlomku $43,015$ (čti "čtyřicet tři desetinnáct tisícin").
Místa v desetinných číslech
V desítkovém zápisu závisí hodnota každé číslice na její pozici. Tito. v desetinných zlomcích se koncept také odehrává vybít.
Číslice v desetinných zlomcích až po desetinnou čárku se jmenují stejně jako číslice v přirozená čísla. Číslice v desetinných zlomcích za desetinnou čárkou jsou uvedeny v tabulce:
Obrázek 1.
Příklad 3
Například v desetinném zlomku $56,328$, $5$ je na místě desítek, $6$ je na místě jednotek, $3$ je na desátém místě, $2$ je na stém místě, $8$ je na tisícém místě.
Číslice v desetinných zlomcích jsou rozlišeny podle seniority. Při čtení desetinného zlomku se pohybují zleva doprava - od senior vypustit do juniorský.
Příklad 4
Například v desítkové soustavě $ 56,328 je nejvýznamnější (nejvyšší) číslice desítková číslice a nejméně významná (nejnižší) číslice je tisícina.
Desetinný zlomek lze rozšířit na číslice stejným způsobem jako na číslice přirozeného čísla.
Příklad 5
Rozšiřme například desetinný zlomek $37,851$ na číslice:
$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$
Koncová desetinná místa
Definice 2
Koncová desetinná místa se nazývají desetinné zlomky, jejichž záznamy obsahují konečný počet znaků (číslic).
Například 0,138 $; 5,34 $; 56,123456 $; 350 972,54 $.
Jakýkoli konečný desetinný zlomek lze převést na běžný zlomek nebo smíšené číslo.
Příklad 6
Například koncové desetinné číslo 7,39 $ odpovídá zlomkové číslo$7\frac(39)(100)$ a konečný desetinný zlomek $0,5$ odpovídá správnému zlomku $\frac(5)(10)$ (nebo libovolnému zlomku, který se mu rovná, například $\frac(1)(2)$ nebo $\frac(10)(20)$.
Převod obyčejného zlomku na desetinný zlomek
Převeďte běžné zlomky se jmenovateli $10, 100, \dots$ na desetinná místa
Než převedete některé správné obyčejné zlomky na desetinná místa, musíte je nejprve „připravit“. Výsledkem takové přípravy by měl být stejný počet číslic v čitateli a počet nul ve jmenovateli.
Podstatou „předběžné přípravy“ správných obyčejných zlomků pro převod na desetinné zlomky je přidat vlevo v čitateli takový počet nul, aby se celkový počet číslic rovnal počtu nul ve jmenovateli.
Příklad 7
Připravme si například běžný zlomek $\frac(43)(1000)$ pro převod na desítkové a dostaneme $\frac(043)(1000)$. A obyčejný zlomek $\frac(83)(100)$ není třeba připravovat.
Pojďme formulovat pravidlo pro převod správného společného zlomku se jmenovatelem $10$ nebo $100$ nebo $1\000$, $\dots$ na desetinný zlomek:
napište $ 0 $;
vložte za něj desetinnou čárku;
zapište si číslo z čitatele (případně spolu s doplněnými nulami po přípravě).
Příklad 8
Převeďte správný zlomek $\frac(23)(100)$ na desetinné číslo.
Řešení.
Jmenovatelem je číslo $100$, které obsahuje $2$ dvě nuly. Čitatel obsahuje číslo $23$, které obsahuje $2$.číslice. to znamená, že příprava tohoto zlomku pro převod na desítkové není nutná.
Napíšeme $0$, dáme desetinnou čárku a z čitatele napíšeme číslo $23$. Dostaneme desetinný zlomek $ 0,23 $.
Odpovědět: $0,23$.
Příklad 9
Napište správný zlomek $\frac(351)(100000)$ jako desetinné číslo.
Řešení.
Čitatel tohoto zlomku má $3$ číslic a počet nul ve jmenovateli je $5$, takže tento obyčejný zlomek je třeba připravit na převod na desetinné číslo. Chcete-li to provést, přidejte $5-3=2$ nuly doleva v čitateli: $\frac(00351)(100000)$.
Nyní můžeme vytvořit požadovaný desetinný zlomek. Chcete-li to provést, napište $0$, potom čárku a napište číslo z čitatele. Dostaneme desetinný zlomek $ 0,00351 $.
Odpovědět: $0,00351$.
Pojďme formulovat pravidlo pro převod nesprávných společných zlomků se jmenovateli $10$, $100$, $\dots$ na desetinná místa:
napište číslo z čitatele;
oddělte desetinnou čárkou tolik číslic napravo, kolik je nul ve jmenovateli původního zlomku.
Příklad 10
Převeďte nesprávný společný zlomek $\frac(12756)(100)$ na desetinné číslo.
Řešení.
Zapišme číslo z čitatele $12756$, pak oddělme číslice vpravo desetinnou čárkou $2$, protože jmenovatel původního zlomku $2$ je nula. Dostaneme desetinný zlomek $ 127,56 $.
Návod
Naučte se převádět desetinná místa na zlomky. Spočítejte, kolik znaků je odděleno čárkou. Jedna číslice napravo od desetinné čárky znamená, že jmenovatel je 10, dvě číslice jsou 100, tři jsou 1000 a tak dále. Například desetinné číslo 6,8 jako "šest čárka osm". Při jeho převodu nejprve napište počet celých jednotek - 6. Do jmenovatele napište 10. V čitateli bude číslo 8. Ukáže se, že 6,8 \u003d 6 8/10. Pamatujte na pravidla zkratek. Pokud jsou čitatel a jmenovatel dělitelné stejným číslem, pak lze zlomek zmenšit společným dělitelem. V tomto případě je toto číslo 2. 6 8/10 = 6 2/5.
Zkuste přidat desetinná místa. Pokud to děláte ve sloupci, buďte opatrní. Číslice všech čísel musí být přísně jedna pod druhou - pod čárkou. Pravidla pro sčítání jsou úplně stejná jako pro operaci s . Ke stejnému číslu 6,8 přidejte další desetinný zlomek - například 7,3. Napište trojku pod osmičku, čárku pod čárku a sedmičku pod šestku. Začněte přidávat od poslední číslice. 3+8=11, to znamená, zapište si 1, zapamatujte si 1. Pak sečtěte 6 + 7, dostanete 13. Sečtěte, co vám zůstalo na mysli a zapište výsledek - 14.1.
Odečítání se provádí stejným způsobem. Číslice pište pod sebe, čárku - pod čárku. Vždy se na něj zaměřte, zvláště pokud je počet číslic za ním v redukovaném menším než v odečteném. Odečtěte od daného čísla, například 2,139. Dvě zapište pod šestku, jedničku pod osmičku, zbývající dvě čísla pod následující číslice, které lze označovat nulami. Ukazuje se, že minuend není 6,8, ale 6,800. Po dokončení této akce získáte celkem 4 661.
Operace se zápornými desetinnými místy se provádějí stejným způsobem jako s celými čísly. Při sčítání se ze závorky vyjme mínus a zapíše se do závorky daná čísla a mezi ně je umístěno znaménko plus. Ve výsledku se ukazuje záporné číslo. To znamená, že přidáním -6,8 a -7,3 získáte stejný výsledek jako 14,1, ale se znakem "-" před ním. Pokud je subtrahend větší než minuend, pak se minus také vyjme ze závorky, from více menší se odečte. Odečtěte -7,3 od 6,8. Transformujte výraz následovně. 6,8 - 7,3 \u003d - (7,3 - 6,8) \u003d -0,5.
Chcete-li násobit desetinná místa, zapomeňte na chvíli na čárku. Vynásobte je, jako by to byla celá čísla. Poté spočítejte počet číslic vpravo za desetinnou čárkou v obou faktorech. V díle oddělte stejný počet znaků. Vynásobením 6,8 a 7,3 dostanete 49,64. To znamená, že napravo od čárky budete mít 2 číslice, zatímco v násobiteli a násobiteli byla po jedné.
Vydělte daný zlomek nějakým celým číslem. Tato akce se provádí stejným způsobem jako u celých čísel. Hlavní je nezapomenout na čárku a dát na začátek 0, pokud počet celých jednotek není dělitelný dělitelem. Zkuste například stejné 6,8 vydělit 26. Na začátek dejte 0, protože 6 je menší než 26. Oddělte to čárkou, dále půjdou desetiny a setiny. Výsledek bude přibližně 0,26. Ve skutečnosti se v tomto případě získá nekonečný neperiodický zlomek, který lze zaokrouhlit na požadovaný stupeň přesnosti.
Při dělení dvou desetinných zlomků použijte vlastnost, že při vynásobení dělence a dělitele stejným číslem se podíl nezmění. To znamená, že převeďte oba zlomky na celá čísla v závislosti na počtu desetinných míst. Pokud chcete dělit 6,8 7,3, postačí obě čísla vynásobit 10. Ukáže se, že je potřeba vydělit 68 73. Pokud je v jednom z čísel za desetinnou čárkou více číslic, převeďte je nejprve na celé číslo a poté na druhé číslo. Vynásobte to stejným číslem. To znamená, že při dělení 6,8 4,136 zvyšte dividendu a dělitele ne 10, ale 1000krát. Vydělením 6800 číslem 1436 získáte 4,735.
Tak jako:
± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …
kde ± je znaménko zlomku: buď + nebo -,
, - desetinná čárka, která slouží jako oddělovač mezi celým číslem a zlomkovou částí čísla,
d k- desetinné číslice.
Zároveň má pořadí číslic před čárkou (vlevo od ní) konec (jako min 1 na číslici) a za čárkou (vpravo) může být konečné (volitelně nemusí být za čárkou žádné číslice) a nekonečné.
Desetinná hodnota ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … je skutečné číslo:
který se rovná součtu konečného nebo nekonečného počtu členů.
Reprezentace reálných čísel pomocí desetinných zlomků je zobecněním zápisu celých čísel v desítkové číselné soustavě. Desetinná reprezentace celého čísla nemá za desetinnou čárkou žádné číslice, a proto tato reprezentace vypadá takto:
± d m … d 1 d 0 ,
A to se shoduje se záznamem našeho čísla v desítkové číselné soustavě.
Desetinný- toto je výsledek dělení 1 na 10, 100, 1000 a tak dále díly. Tyto zlomky jsou docela vhodné pro výpočty, protože jsou založeny na stejném pozičním systému, na kterém je postaveno počítání a zápis celých čísel. Díky tomu je zápis a pravidla pro desetinné zlomky téměř stejná jako pro celá čísla.
Při zápisu desetinných zlomků nemusíte označovat jmenovatele, ten je určen podle místa, které zaujímá odpovídající číslo. Nejprve zapište celočíselnou část čísla a poté vpravo vložte desetinnou čárku. První číslice za desetinnou čárkou označuje počet desetin, druhá - počet setin, třetí - počet tisícin atd. Čísla za desetinnou čárkou jsou desetinná místa.
Například: 
Jednou z výhod desetinných zlomků je, že je lze velmi snadno převést na obyčejné zlomky: číslo za desetinnou čárkou (naše je 5047) je čitatel; jmenovatel rovná se n stupeň 10, kde n- počet desetinných míst (máme toto n=4):
Pokud v desetinném zlomku není žádná celočíselná část, dáme před desetinnou čárku nulu:
Vlastnosti desetinných zlomků.
1. Desetinné číslo se nemění, když jsou vpravo přidány nuly:
13.6 =13.6000.
2. Desetinné číslo se nezmění, když se odstraní nuly na konci desetinného místa:
0.00123000 = 0.00123.
Pozornost! Nuly, které NEJSOU na konci desetinného místa, se nesmí odstraňovat!
3. Desetinný zlomek se zvětší o 10, 100, 1000 a tak dále, když desetinnou čárku posuneme na pozice 1-jamka, 2, 2 a tak dále doprava:
3,675 → 367,5 (zlomek se zvýšil stokrát).
4. Desetinný zlomek bude menší než deset, sto, tisíc atd., když desetinnou čárku posuneme na pozice 1-jamka, 2, 3 a tak dále doleva, resp.:
1536,78 → 1,53678 (zlomek se tisíckrát zmenšil).
Typy desetinných čísel.
Desetinná čísla jsou dělena finále, nekonečný A periodická desetinná místa.
Konec desetinného místa - jedná se o zlomek obsahující konečný počet číslic za desetinnou čárkou (nebo tam vůbec nejsou), tzn. vypadá takto:
Reálné číslo může být reprezentováno jako konečný desetinný zlomek, pouze pokud je toto číslo racionální a je-li zapsáno jako neredukovatelný zlomek p/q jmenovatel q nemá žádné hlavní dělitele kromě 2 a 5.
Nekonečné desetinné číslo.
Obsahuje nekonečně se opakující skupinu číslic tzv doba. Období se píše v závorkách. Například 0,12345123451234512345… = 0.(12345).
Periodické desetinné číslo- jde o takový nekonečný desetinný zlomek, ve kterém posloupnost číslic za desetinnou čárkou, počínaje od určitého místa, je periodicky se opakující skupina číslic. Jinými slovy, periodický zlomek je desetinné číslo, které vypadá takto:
Takový zlomek se obvykle stručně zapisuje takto:
Skupina čísel b 1 … b l, který se opakuje, je zlomkové období, počet číslic v této skupině je délka období.
Když v periodickém zlomku následuje období bezprostředně za desetinnou čárkou, pak zlomek je čisté periodické. Když jsou mezi čárkou a 1. tečkou čísla, pak je zlomek smíšené periodické a skupina číslic za desetinnou čárkou až po 1. tečku - zlomkové období.
Například, zlomek 1,(23) = 1,2323… je čistě periodický a zlomek 0,1(23)=0,12323… je smíšený periodický.
Hlavní vlastnost periodických zlomků, díky kterému se odlišují od celé množiny desetinných zlomků, spočívá v tom, že periodické zlomky a pouze ony představují racionální čísla. Přesněji řečeno, probíhá následující:
Jakékoli nekonečné opakující se desetinné číslo představuje racionální číslo. Naopak, když je racionální číslo rozloženo na nekonečný desetinný zlomek, pak bude tento zlomek periodický.
