Mezi četnými výpočty provedenými pro výpočet určitých množství různých je nalezení přepony trojúhelníku. Připomeňme, že trojúhelník je mnohostěn se třemi úhly. Níže je několik způsobů, jak vypočítat přeponu různých trojúhelníků.

Nejprve se podívejme, jak najít přeponu pravoúhlý trojuhelník. Pro ty, kteří zapomněli, pravoúhlý trojúhelník je trojúhelník s úhlem 90 stupňů. Strana trojúhelníku, která je na opačná strana pravý úhel se nazývá přepona. Navíc je to nejdelší strana trojúhelníku. V závislosti na známých hodnotách se délka přepony vypočítá takto:

• Délky nohou jsou známé. Přepona se v tomto případě vypočítá pomocí Pythagorovy věty, která zní takto: druhá mocnina přepony se rovná součtu čtverců nohou. Pokud uvažujeme pravoúhlý trojúhelník BKF, kde BK a KF jsou nohy a FB je přepona, pak FB2= BK2+ KF2. Z výše uvedeného vyplývá, že při výpočtu délky přepony je nutné postupně odmocnit každou z hodnot nohou. Poté sečtěte přijatá čísla a vytáhněte z výsledku Odmocnina.

Zvažte příklad: Je dán trojúhelník s pravým úhlem. Jedna noha má 3 cm, druhá 4 cm. Najděte přeponu. Řešení vypadá takto.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Extrahujte a získejte FB=5cm.

• Známá noha (BK) a úhel k ní přiléhající, který tvoří přepona a tato noha. Jak najít přeponu trojúhelníku? Označme známý úhel jako α. Podle vlastnosti, která říká, že poměr délky ramene k délce přepony je roven kosinu úhlu mezi tímto ramenem a přeponou. Vzhledem k trojúhelníku to lze zapsat následovně: FB= BK*cos(α).
• Noha (KF) a stejný úhel α jsou známy, jen teď už bude opačný. Jak v tomto případě najít přeponu? Vraťme se ke stejným vlastnostem pravoúhlého trojúhelníku a zjistíme, že poměr délky ramene k délce přepony je roven sinu úhlu protilehlého ramene. To znamená, že FB= KF * sin (α).

Podívejme se na příklad. Je dán stejný pravoúhlý trojúhelník BKF s přeponou FB. Nechť úhel F je roven 30 stupňům, druhý úhel B odpovídá 60 stupňům. Známá je také noha BK, jejíž délka odpovídá 8 cm. Požadovanou hodnotu můžete vypočítat takto:

FB=BK/cos60=8 cm.
FB = BK / sin30 = 8 cm.

• Známý jako (R), opsaný kolem trojúhelníku s pravým úhlem. Jak najít přeponu při zvažování takového problému? Z vlastností kružnice opsané kolem trojúhelníku s pravým úhlem je známo, že střed takové kružnice se shoduje s bodem přepony, který ji dělí na polovinu. Jednoduše řečeno- poloměr odpovídá polovině přepony. Přepona se tedy rovná dvěma poloměrům. FB=2*R. Pokud je však uveden podobný problém, ve kterém není znám poloměr, ale medián, pak je třeba věnovat pozornost vlastnosti kružnice opsané kolem trojúhelníku s pravým úhlem, který říká, že poloměr je roven medián tažený k přeponě. S využitím všech těchto vlastností je problém vyřešen stejným způsobem.

Pokud je otázkou, jak najít přeponu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku, pak je nutné se obrátit na stejnou Pythagorovu větu. Ale nejprve si pamatujte, že rovnoramenný trojúhelník je trojúhelník, který má dvě stejné strany. V případě pravoúhlého trojúhelníku mají nohy stejné strany. Máme FB2= BK2+ KF2, ale protože BK= KF máme následující: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Jak vidíte, se znalostí Pythagorovy věty a vlastností pravoúhlého trojúhelníku je řešení úloh, ve kterých je nutné vypočítat délku přepony, velmi jednoduché. Pokud je obtížné zapamatovat si všechny vlastnosti, naučte se hotové vzorce, které nahrazují známé hodnoty, do kterých můžete vypočítat požadovanou délku přepony.

Návod

Úhly protilehlé nohám a a b budeme označovat A a B. Přepona je podle definice strana pravoúhlého trojúhelníku, která je protilehlá pravému úhlu (současně přepona svírá ostré úhly s ostatní strany trojúhelníku). Označme délku přepony s.

Budete potřebovat:
Kalkulačka.

Pro větev použijte následující výraz: a=sqrt(c^2-b^2), pokud znáte hodnoty přepony a druhé větve. Tento výraz je odvozen z Pythagorovy věty, která říká, že druhá mocnina přepony trojúhelníku je rovna součtu čtverců nohou. Operátor sqrt znamená převzetí druhé odmocniny. Znak "^2" znamená zvýšení na druhou mocninu.

Použijte vzorec a=c*sinA, pokud znáte přeponu (c) a úhel protilehlý k požadované noze (tento úhel jsme označili jako A).
Použijte výraz a=c*cosB k nalezení ramene, pokud znáte přeponu (c) a úhel sousedící s požadovaným ramenem (tento úhel jsme označili jako B).
Vypočítejte nohu pomocí vzorce a = b * tgA v případě, že je daná noha b a úhel protilehlý požadované noze (dohodli jsme se na označení tohoto úhlu A).

Poznámka:
Pokud ve vašem úkolu není noha nalezena žádnou z popsaných metod, s největší pravděpodobností ji lze snížit na jednu z nich.

Užitečné rady:
Všechny tyto výrazy jsou odvozeny ze známých definic goniometrické funkce, proto, i když jste některý z nich zapomněli, můžete jej vždy rychle stáhnout pomocí jednoduchých operací. Také je užitečné znát hodnoty goniometrických funkcí pro nejtypičtější úhly 30, 45, 60, 90, 180 stupňů.

První jsou segmenty, které sousedí s pravým úhlem, a přepona je nejdelší částí obrázku a je naproti úhlu 90 stupňů. Pythagorejský trojúhelník je trojúhelník, jehož strany se rovnají přirozeným číslům; jejich délky se v tomto případě nazývají „pythagorejská trojice“.

egyptský trojúhelník

Aby se současná generace naučila geometrii v podobě, v jaké se vyučuje nyní ve škole, byla vyvíjena několik staletí. Základním bodem je Pythagorova věta. Strany obdélníku zná celý svět) jsou 3, 4, 5.

Málokdo nezná větu „Pythagorejské kalhoty jsou si ve všech směrech rovné“. Ve skutečnosti však věta zní takto: c 2 (čtverec přepony) \u003d a 2 + b 2 (součet čtverců nohou).

Mezi matematiky se trojúhelník o stranách 3, 4, 5 (cm, m atd.) nazývá „egyptský“. Je zajímavé, že to, co je vepsáno na obrázku, se rovná jedné. Název vznikl kolem 5. století před naším letopočtem, kdy řečtí filozofové cestovali do Egypta.

Při stavbě pyramid použili architekti a geodeti poměr 3:4:5. Takové struktury se ukázaly jako proporcionální, příjemné na pohled a prostorné a také se zřídka zhroutily.

Aby stavitelé postavili pravý úhel, použili lano, na kterém bylo uvázáno 12 uzlů. V tomto případě se pravděpodobnost sestrojení pravoúhlého trojúhelníku zvýšila na 95 %.

Znaky rovnosti postav

• Ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku a velká strana, které se rovnají stejným prvkům ve druhém trojúhelníku, je nesporným znakem rovnosti čísel. Vezmeme-li v úvahu součet úhlů, je snadné dokázat, že druhé ostré úhly jsou také stejné. Ve druhém kritériu jsou tedy trojúhelníky totožné.
• Když jsou dvě postavy na sebe, otočíme je tak, že když se spojí, stanou se jedním rovnoramenným trojúhelníkem. Podle jeho vlastnosti jsou strany, nebo spíše přepony, stejné, stejně jako úhly na základně, což znamená, že tyto údaje jsou stejné.

Prvním znakem lze velmi snadno dokázat, že trojúhelníky jsou si skutečně rovny, hlavní je, že dvě menší strany (tedy nohy) jsou si navzájem rovny.

Trojúhelníky budou stejné podle znamení II, jehož podstatou je rovnost nohy a ostrý úhel.

Vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku

Výška, která byla snížena z pravého úhlu, rozděluje postavu na dvě stejné části.

Strany pravoúhlého trojúhelníku a jeho medián lze snadno rozpoznat podle pravidla: střední hodnota, která je snížena na přeponu, se rovná její polovině. lze zjistit jak podle Heronova vzorce, tak podle tvrzení, že se rovná polovině součinu nohou.

V pravoúhlém trojúhelníku platí vlastnosti úhlů 30 o, 45 o a 60 o.

• V úhlu, který je 30 °, je třeba mít na paměti, že protilehlá noha se bude rovnat 1/2 největší strany.
• Pokud je úhel 45o, pak druhý ostrý úhel je také 45o. To naznačuje, že trojúhelník je rovnoramenný a jeho nohy jsou stejné.
• Vlastností úhlu 60 stupňů je, že třetí úhel má míru 30 stupňů.

Oblast lze snadno najít jedním ze tří vzorců:

1. přes výšku a stranu, na které klesá;
2. podle Heronova vzorce;
3. po stranách a úhlu mezi nimi.

Strany pravoúhlého trojúhelníku, nebo spíše nohy, se sbíhají se dvěma výškami. Abychom našli třetí, je nutné zvážit výsledný trojúhelník a poté pomocí Pythagorovy věty vypočítat požadovanou délku. Kromě tohoto vzorce existuje ještě poměr dvojnásobku plochy a délky přepony. Nejběžnějším výrazem mezi studenty je první, protože vyžaduje méně výpočtů.

Věty, které platí pro pravoúhlý trojúhelník

Geometrie pravoúhlého trojúhelníku zahrnuje použití teorémů, jako jsou:

Trojúhelník je geometrické číslo složené ze tří segmentů, které spojují tři body, které neleží na stejné přímce. Body, které tvoří trojúhelník, se nazývají jeho body a segmenty jsou vedle sebe.

V závislosti na typu trojúhelníku (pravoúhlý, jednobarevný atd.) můžete vypočítat stranu trojúhelníku různými způsoby, v závislosti na vstupních datech a podmínkách úlohy.

Rychlá navigace k článku

Pro výpočet stran pravoúhlého trojúhelníku se používá Pythagorova věta, podle které se druhá mocnina přepony rovná součtu čtverců nohy.

Označíme-li nohy „a“ ​​a „b“ a přeponu „c“, pak lze najít stránky s následujícími vzorci:

Pokud jsou známé ostré úhly pravoúhlého trojúhelníku (a a b), jeho strany lze nalézt pomocí následujících vzorců:

oříznutý trojúhelník

Trojúhelník se nazývá rovnostranný trojúhelník, ve kterém jsou obě strany stejné.

Jak najít přeponu ve dvou nohách

Pokud je písmeno "a" totožné se stejnou stránkou, "b" je základna, "b" je roh naproti základně, "a" je sousední roh, lze pro výpočet stránek použít následující vzorce:

Dva rohy a strana

Pokud známe jednu stránku (c) a dva úhly (aab) libovolného trojúhelníku, použije se pro výpočet zbývajících stránek sinusový vzorec:

Musíte najít třetí hodnotu y = 180 - (a + b), protože

součet všech úhlů trojúhelníku je 180°;

Dvě strany a úhel

Pokud jsou známy dvě strany trojúhelníku (a a b) a úhel mezi nimi (y), lze pro výpočet třetí strany použít kosinovou větu.

Jak určit obvod pravoúhlého trojúhelníku

Trojúhelníkový trojúhelník je trojúhelník, z nichž jeden má úhel 90 stupňů a další dva jsou ostré. výpočet obvod takový trojúhelník v závislosti na množství známých informací o něm.

Budete to potřebovat

• V závislosti na příležitosti, dovednosti 2 ze tří stran trojúhelníku, stejně jako jeden z jeho ostrých rohů.

instrukce

První Metoda 1. Pokud jsou známy všechny tři stránky trojúhelník Potom, ať už je kolmý nebo ne trojúhelníkový, obvod se vypočítá jako: P = A + B + C, kde je to možné, c je přepona; a a b jsou nohy.

druhý Metoda 2.

Pokud má obdélník pouze dvě strany, pak pomocí Pythagorovy věty trojúhelník lze vypočítat pomocí vzorce: P = v (a2 + b2) + a + b nebo P = v (c2 - b2) + b + c.

Třetí Metoda 3. Nechť přepona je c a ostrý úhel? Vzhledem k pravoúhlému trojúhelníku bude možné obvod najít tímto způsobem: P = (1 + sin?

Čtvrtý Metoda 4. Říkají, že v pravoúhlém trojúhelníku je délka jedné nohy rovna a a naopak má ostrý úhel. Pak spočítejte obvod Tento trojúhelník bude provedeno podle vzorce: P = a * (1 / tg?

1 / syn? + 1)

pátý Metoda 5.

Online výpočet trojúhelníku

Necháme-li naši nohu vést a budeme do ní zahrnuti, rozsah se vypočítá jako: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Podobná videa

Pythagorova věta je základem každé matematiky. Určuje vztah mezi stranami pravého trojúhelníku. Nyní existuje 367 důkazů této věty.

instrukce

První Klasická školní formulace Pythagorovy věty zní takto: druhá mocnina přepony se rovná součtu čtverců nohou.

Chcete-li najít přeponu v pravoúhlém trojúhelníku dvou Catet, musíte otočit na druhou mocninu délky nohou, sestavit je a vzít druhou odmocninu ze součtu. V původní formulaci jeho tvrzení je trh založen na přeponě, která se rovná součtu druhých mocnin 2 čtverců vytvořených Catete. Moderní algebraická formulace však nevyžaduje zavedení reprezentace domény.

druhý Například pravoúhlý trojúhelník, jehož nohy jsou 7 cm a 8 cm.

Pak podle Pythagorovy věty je čtvercová přepona R + S = 49 + 64 = 113 cm. Přepona je rovna druhé odmocnině ze 113.

Úhly pravoúhlého trojúhelníku

Výsledkem bylo nepřiměřené číslo.

Třetí Pokud jsou trojúhelníky nohy 3 a 4, pak přepona = 25 = 5. Když vezmete druhou odmocninu, dostanete přirozené číslo. Čísla 3, 4, 5 tvoří pygagorejskou trojici, protože splňují vztah x? +Y? = Z, což je přirozené.

Další příklady pythagorejského tripletu jsou: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

Čtvrtý V tomto případě, pokud jsou nohy navzájem totožné, Pythagorova věta se změní na primitivnější rovnici. Nechť je například taková ruka rovna číslu A a přepona je definována pro C, a pak c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. V tomto případě nepotřebujete A.

pátý Pythagorova věta je speciální případ, který je větší než obecná kosinová věta, která zakládá vztah mezi třemi stranami trojúhelníku pro libovolný úhel mezi dvěma z nich.

Tip 2: Jak určit přeponu pro nohy a úhly

Přepona se nazývá strana v pravoúhlém trojúhelníku, která je protilehlá úhlu 90 stupňů.

instrukce

První V případě známých katétrů, stejně jako ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku, může být velikost přepony rovný poměru stopy na kosinus / sinus tohoto úhlu, pokud byl úhel opačný / e zahrnují: H = C1 (nebo C2) / sin, H = C1 (nebo C2?) / cos?. Příklad: Nechť ABC dostane nepravidelný trojúhelník s přeponou AB a pravým úhlem C.

Nechť B je 60 stupňů a A 30 stupňů. Délka stonku BC je 8 cm Měla by být nalezena délka přepony AB. K tomu můžete použít jednu z výše uvedených metod: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Přepona je nejdelší stranou obdélníku trojúhelník. Je umístěn v pravém úhlu. Metoda hledání přepony obdélníku trojúhelník v závislosti na zdrojových datech.

instrukce

První Pokud jsou vaše nohy kolmé trojúhelník, pak délka přepony obdélníku trojúhelník lze nalézt pomocí pythagorejské analogie - druhá mocnina délky přepony se rovná součtu druhých mocnin délek nohou: c2 = a2 + b2, kde a a b jsou délky nohou pravé trojúhelník .

druhý Pokud je to známo a jedna z nohou je v ostrém úhlu, bude vzorec pro nalezení přepony záviset na přítomnosti nebo nepřítomnosti v určitém úhlu vzhledem ke známé noze - přilehlé (noha se nachází blízko), popř. naopak (opačný případ se nachází nego.V zadaného úhlu se rovná zlomkové přeponě nohy v kosinusovém úhlu: a = a / cos; E je naopak přepona stejná jako poměr sinusových úhlů : da = a / hřích.

Podobná videa

Užitečné rady
Úhlový trojúhelník, jehož strany jsou spojeny jako 3:4:5, nazývaný egyptská delta, protože tyto obrazce byly široce používány architekty starověkého Egypta.

Toto je také nejjednodušší příklad Jeronových trojúhelníků se stránkami a oblastmi reprezentovanými jako celá čísla.

Trojúhelník se nazývá obdélník, jehož úhel je 90°. Strana naproti pravému rohu se nazývá přepona, druhá strana se nazývá nohy.

Pokud chcete zjistit, jak vzniká pravoúhlý trojúhelník některými vlastnostmi pravidelných trojúhelníků, konkrétně tím, že součet ostrých úhlů je 90°, čehož se využívá, a tím, že délka protějšího ramene je polovina přepony je 30°.

Rychlá navigace k článku

oříznutý trojúhelník

Jednou z vlastností shodného trojúhelníku je, že jeho dva úhly jsou stejné.

Chcete-li vypočítat úhel pravoúhlého rovnostranného trojúhelníku, musíte vědět, že:

• Není to horší než 90°.
• Hodnoty ostrých úhlů jsou určeny vzorcem: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, tzn.

  Úhly α a β jsou 45°.

Pokud je známa známá hodnota jednoho z ostrých úhlů, lze druhý zjistit pomocí vzorce: β = 180º-90º-α nebo α = 180º-90º-β.

Tento poměr se nejčastěji používá, pokud je jeden z úhlů 60° nebo 30°.

Klíčové koncepty

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°.

Protože je to jedna úroveň, dvě zůstanou ostré.

Vypočítejte trojúhelník online

Pokud je chcete najít, musíte vědět, že:

jiné metody

Hodnoty ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku lze vypočítat ze střední hodnoty - s úsečkou z bodu na opačné straně trojúhelníku a z výšky - čára je kolmice vytažená z přepony v pravém úhlu.

Nechť medián sahá z pravého rohu do středu přepony a h je výška. V tomto případě se ukazuje, že:

• sinα = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cosa = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sina = h/b; sin β = h / a.

Dvě stránky

Pokud jsou délky přepony a jedné z nohou známé v pravoúhlém trojúhelníku nebo ze dvou stran, pak pro určení hodnot ostrých úhlů, trigonometrické identity:

• a=arcsin(a/c), p=arcsin(b/c).
• a=arcos(b/c), p=arcos(a/c).
• a = arctan (a / b), p = arctan (b / a).

Délka pravoúhlého trojúhelníku

Plocha a plocha trojúhelníku

obvod

Obvod libovolného trojúhelníku se rovná součtu délek tří stran. Obecný vzorec pro nalezení trojúhelníkového trojúhelníku je:

kde P je obvod trojúhelníku, a, b a c jsou jeho strany.

Obvod shodného trojúhelníku lze nalézt postupným kombinováním délek jeho stran nebo vynásobením délky strany 2 a přidáním délky základny k produktu.

Obecný vzorec pro nalezení rovnovážného trojúhelníku bude vypadat takto:

kde P je obvod stejného trojúhelníku, ale buď b, b jsou základna.

Obvod rovnostranného trojúhelníku lze nalézt postupným kombinováním délek jeho stran nebo vynásobením délky libovolné stránky třemi.

Obecný vzorec pro nalezení okraje rovnostranných trojúhelníků by vypadal takto:

kde P je obvod rovnostranného trojúhelníku, a je kterákoli z jeho stran.

kraj

Pokud chcete změřit plochu trojúhelníku, můžete jej porovnat s rovnoběžníkem. Zvažte trojúhelník ABC:

Pokud vezmeme stejný trojúhelník a zafixujeme jej tak, abychom dostali rovnoběžník, dostaneme rovnoběžník se stejnou výškou a základnou jako tento trojúhelník:

V tomto případě je společná strana trojúhelníků složena podél úhlopříčky lisovaného rovnoběžníku.

Z vlastností rovnoběžníku. Je známo, že úhlopříčky rovnoběžníku jsou vždy rozděleny na dva stejné trojúhelníky, pak se plocha každého trojúhelníku rovná polovině rozsahu rovnoběžníku.

Protože plocha rovnoběžníku je součinem jeho základní výšky, bude plocha trojúhelníku poloviční. Takže pro ΔABC bude plocha stejná

Nyní zvažte pravoúhlý trojúhelník:

Dva stejné pravoúhlé trojúhelníky lze ohnout do obdélníku, pokud se o ně opře, což je každá druhá přepona.

Protože povrch obdélníku se shoduje s povrchem sousedních stran, je plocha tohoto trojúhelníku stejná:

Z toho můžeme usoudit, že povrch jakéhokoli pravoúhlého trojúhelníku se rovná součinu nohou dělených 2.

Z těchto příkladů můžeme usoudit, že povrch každého trojúhelníku je stejný jako součin délky a výška je zmenšena na základnu dělenou 2.

Obecný vzorec pro nalezení oblasti trojúhelníku by vypadal takto:

kde S je plocha trojúhelníku, ale jeho základna, ale výška klesá na dno a.

Než najdete přeponu trojúhelníku, musíte zjistit, jaké vlastnosti má toto číslo. Podívejme se na ty hlavní:

1. Oba v pravoúhlém trojúhelníku ostré rohy přidá až 90º.
2. Noha ležící naproti úhlu 30º se bude rovnat ½ přepony.
3. Pokud se rameno rovná ½ hodnoty přepony, pak bude mít druhý úhel stejnou hodnotu - 30º.

Existuje několik způsobů, jak najít přeponu v pravoúhlém trojúhelníku. nejvíce jednoduché řešení je výpočet přes nohy. Řekněme, že znáte hodnoty větví stran A a B. Pak přijde na pomoc Pythagorova věta, která nám říká, že když odmocníme každou hodnotu větve a sečteme získaná data, zjistíme, jaká je přepona je. Stačí tedy extrahovat hodnotu druhé odmocniny:

Pokud například noha A = 3 cm a noha B = 4 cm, bude výpočet vypadat takto:

Jak najít přeponu přes úhel?

Dalším způsobem, jak pomoci zjistit, čemu se rovná přepona v pravoúhlém trojúhelníku, je výpočet přes daný úhel. K tomu potřebujeme odvodit hodnotu pomocí sinusového vzorce. Předpokládejme, že známe hodnotu nohy (A) a hodnotu opačného úhlu (α). Pak je celé řešení v jednom vzorci: С=А/sin(α).

Pokud je například délka nohy 40 cm a úhel je 45°, pak lze délku přepony odvodit následovně:

Požadovanou hodnotu můžete určit také pomocí kosinusu daný úhel. Předpokládejme, že známe hodnotu jedné nohy (B) a ostrého úhlu (α). Pak je k vyřešení problému potřeba jeden vzorec: С=В/ cos(α).

Pokud je například délka nohy 50 cm a úhel je 45°, lze přeponu vypočítat následovně:

Zkoumali jsme tedy hlavní způsoby, jak zjistit přeponu v trojúhelníku. V průběhu řešení úlohy je důležité zaměřit se na dostupná data, pak bude nalezení neznámé hodnoty celkem jednoduché. Stačí znát pár vzorců a proces řešení problémů bude jednoduchý a zábavný.