Pokud je tedy číselný výraz složen z čísel a znamének +, −, · a:, pak v pořadí zleva doprava musíte nejprve provést násobení a dělení a poté sčítání a odčítání, které vám umožní najít požadované hodnotu výrazu.

Podívejme se na některé příklady pro objasnění.

Příklad.

Vypočítejte hodnotu výrazu 14−2·15:6−3 .

Řešení.

Chcete-li najít hodnotu výrazu, musíte provést všechny akce v něm uvedené v souladu s přijatým pořadím provádění těchto akcí. Nejprve v pořadí zleva doprava provedeme násobení a dělení, dostaneme 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Nyní, v pořadí zleva doprava, provedeme zbývající akce: 14−5−3=9−3=6 . Našli jsme tedy hodnotu původního výrazu, rovná se 6 .

Odpovědět:

14-2 15:6-3=6 .

Příklad.

Najděte hodnotu výrazu.

Řešení.

V tomto příkladu nejprve potřebujeme ve výrazu provést násobení 2 (−7) a dělení s násobením. Když si vzpomeneme, jak , najdeme 2 (−7)=−14 . A nejprve provést akce ve výrazu , pak a provést: .

Získané hodnoty dosadíme do původního výrazu: .

Ale co když je pod kořenovým znakem číselný výraz? Chcete-li získat hodnotu takového kořenového adresáře, musíte nejprve najít hodnotu kořenového výrazu podle přijatého pořadí operací. Například, .

V číselných výrazech by měly být kořeny vnímány jako nějaká čísla a je vhodné okamžitě nahradit kořeny jejich hodnotami a poté najít hodnotu výsledného výrazu bez kořenů a provést akce v přijatém pořadí.

Příklad.

Najděte hodnotu výrazu s odmocninami.

Řešení.

Nejprve najděte hodnotu kořene . K tomu nejprve vypočítáme hodnotu radikálního výrazu, který máme −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. A za druhé zjistíme hodnotu kořene.

Nyní vypočítejme hodnotu druhého kořene z původního výrazu: .

Nakonec můžeme zjistit hodnotu původního výrazu nahrazením kořenů jejich hodnotami: .

Odpovědět:

Docela často, aby bylo možné najít hodnotu výrazu s odmocninami, musíte jej nejprve převést. Ukažme si příklad řešení.

Příklad.

Jaký je význam výrazu .

Řešení.

Nejsme schopni nahradit odmocninu ze tří jeho přesnou hodnotou, což nám neumožňuje vypočítat hodnotu tohoto výrazu výše popsaným způsobem. Hodnotu tohoto výrazu však můžeme vypočítat provedením jednoduchých transformací. Použitelný rozdíl čtverců vzorec: . Vzhledem k tomu, dostáváme . Hodnota původního výrazu je tedy 1 .

Odpovědět:

.

S tituly

Pokud jsou základem a exponentem čísla, pak se jejich hodnota vypočítá definicí stupně, například 3 2 =3 3=9 nebo 8 −1 =1/8 . Existují také položky, kdy základem a/nebo exponentem jsou nějaké výrazy. V těchto případech je potřeba najít hodnotu výrazu v základu, hodnotu výrazu v exponentu a následně vypočítat hodnotu samotného stupně.

Příklad.

Najděte hodnotu výrazu s mocninami tvaru 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4.

Řešení.

Původní výraz má dvě mocniny 2 3 4−10 a (1−1/2) 3,5−2 1/4 . Jejich hodnoty je třeba vypočítat před provedením zbývajících kroků.

Začneme mocninou 2 3·4−10 . Jeho ukazatel obsahuje číselný výraz, vypočítejme jeho hodnotu: 3·4−10=12−10=2 . Nyní můžete zjistit hodnotu samotného stupně: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

V základu jsou výrazy a exponent (1−1/2) 3,5−2 1/4, jejich hodnoty počítáme, abychom později našli hodnotu stupně. My máme (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Nyní se vrátíme k původnímu výrazu, nahradíme stupně v něm jejich hodnotami a najdeme hodnotu výrazu, kterou potřebujeme: 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6.

Odpovědět:

2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 =6.

Stojí za zmínku, že existují častější případy, kdy je vhodné provést předběžné zjednodušení vyjadřování pomocí pravomocí na základně.

Příklad.

Najděte hodnotu výrazu .

Řešení.

Soudě podle exponentů v tomto výrazu nelze získat přesné hodnoty stupňů. Zkusme si původní výraz zjednodušit, třeba to pomůže najít jeho hodnotu. My máme

Odpovědět:

.

Mocniny ve výrazech jdou často ruku v ruce s logaritmy, ale budeme hovořit o hledání hodnot výrazů s logaritmy v jednom z.

Zjištění hodnoty výrazu se zlomky

Číselné výrazy v jejich záznamu mohou obsahovat zlomky. Když je potřeba najít hodnotu takového výrazu, zlomky jiné než obyčejné zlomky, měli byste je nahradit jejich hodnotami před provedením zbývajících kroků.

Čitatel a jmenovatel zlomků (které se liší od běžných zlomků) může obsahovat jak některá čísla, tak výrazy. Chcete-li vypočítat hodnotu takového zlomku, musíte vypočítat hodnotu výrazu v čitateli, vypočítat hodnotu výrazu ve jmenovateli a poté vypočítat hodnotu samotného zlomku. Toto pořadí je vysvětleno skutečností, že zlomek a/b, kde a a b jsou nějaké výrazy, je ve skutečnosti podílem tvaru (a):(b), protože .

Zvažme příklad řešení.

Příklad.

Najděte hodnotu výrazu se zlomky .

Řešení.

V původním číselném vyjádření tři zlomky A . Abychom našli hodnotu původního výrazu, potřebujeme nejprve tyto zlomky a nahradíme je jejich hodnotami. Pojďme na to.

Čitatel a jmenovatel zlomku jsou čísla. Abychom našli hodnotu takového zlomku, nahradíme zlomkový pruh znakem dělení a provedeme tuto akci: .

V čitateli zlomku je výraz 7−2 3 , jeho hodnotu snadno zjistíme: 7−2 3=7−6=1 . Tím pádem, . Můžete pokračovat v hledání hodnoty třetího zlomku.

Třetí zlomek v čitateli a jmenovateli obsahuje číselné výrazy, proto je nutné nejprve vypočítat jejich hodnoty, což vám umožní zjistit hodnotu samotného zlomku. My máme .

Zbývá nahradit nalezené hodnoty do původního výrazu a provést zbývající kroky: .

Odpovědět:

.

Často, když najdete hodnoty výrazů se zlomky, musíte provést zjednodušení zlomkových výrazů, založené na provádění akcí se zlomky a na redukci zlomků.

Příklad.

Najděte hodnotu výrazu .

Řešení.

Odmocnina pětky není úplně extrahována, takže abychom našli hodnotu původního výrazu, nejprve jej zjednodušíme. Pro tohle zbavit se iracionality ve jmenovateli první zlomek: . Poté bude mít původní výraz podobu . Po odečtení zlomků kořeny zmizí, což nám umožní zjistit hodnotu původně daného výrazu:.

Odpovědět:

.

S logaritmy

Pokud číselný výraz obsahuje , a pokud je možné se jich zbavit, provede se to před provedením dalších akcí. Například při zjištění hodnoty výrazu log 2 4+2 3 se logaritmus log 2 4 nahradí jeho hodnotou 2 , načež se zbytek operací provede v obvyklém pořadí, tedy log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8.

Pokud jsou pod logaritmem a / nebo na jeho základně číselné výrazy, nejprve se najdou jejich hodnoty, po kterých se vypočítá hodnota logaritmu. Zvažte například výraz s logaritmem formuláře . Na bázi logaritmu a pod jeho znaménkem jsou číselné výrazy, najdeme jejich hodnoty: . Nyní najdeme logaritmus, po kterém dokončíme výpočty: .

Pokud logaritmy nejsou spočítány přesně, pak jejich předběžné zjednodušení pomocí . V tomto případě musíte dobře ovládat materiál článku. transformace logaritmických výrazů.

Příklad.

Najděte hodnotu výrazu pomocí logaritmů .

Řešení.

Začněme výpočtem log 2 (log 2 256) . Protože 256=2 8 , pak log 2 256=8 , tedy log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logaritmy log 6 2 a log 6 3 lze seskupit. Součet logaritmů log 6 2+log 6 3 se rovná logaritmu součinu log 6 (2 3) , takže log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Nyní se pojďme zabývat zlomky. Pro začátek přepíšeme základ logaritmu ve jmenovateli jako obyčejný zlomek na 1/5, načež použijeme vlastnosti logaritmu, které nám umožní získat hodnotu zlomku:
.

Zbývá pouze dosadit získané výsledky do původního výrazu a dokončit hledání jeho hodnoty:

Odpovědět:

Jak zjistit hodnotu goniometrického výrazu?

Když číselný výraz obsahuje nebo atd., jejich hodnoty se vypočítají před provedením dalších akcí. Pokud existují číselné výrazy pod znaménkem goniometrických funkcí, pak se nejprve vypočtou jejich hodnoty a poté se najdou hodnoty goniometrických funkcí.

Příklad.

Najděte hodnotu výrazu .

Řešení.

Když přejdeme k článku, dostaneme a cosπ=−1 . Tyto hodnoty dosadíme do původního výrazu, má tvar . Chcete-li zjistit jeho hodnotu, musíte nejprve provést umocnění a poté dokončit výpočty: .

Odpovědět:

.

Je třeba poznamenat, že výpočet hodnot výrazů se siny, kosiny atd. často vyžaduje předchozí trigonometrické výrazové transformace.

Příklad.

Jakou hodnotu má goniometrický výraz .

Řešení.

Transformujme původní výraz pomocí , v tomto případě potřebujeme vzorec dvojitého úhlu kosinus a vzorec součtu kosinus:

Provedené transformace nám pomohly najít hodnotu výrazu.

Odpovědět:

.

Obecný případ

V obecném případě může číselný výraz obsahovat odmocniny, stupně, zlomky a libovolné funkce a závorky. Nalezení hodnot takových výrazů spočívá v provedení následujících akcí:

• první odmocniny, stupně, zlomky atd. jsou nahrazeny svými hodnotami,
• další akce v závorkách,
• a v pořadí zleva doprava se provedou zbývající operace - násobení a dělení, následuje sčítání a odčítání.

Výše uvedené akce se provádějí až do dosažení konečného výsledku.

Příklad.

Najděte hodnotu výrazu .

Řešení.

Forma tohoto výrazu je poměrně komplikovaná. V tomto výrazu vidíme zlomek, odmocniny, stupně, sinus a logaritmus. Jak najít jeho význam?

Při pohybu po záznamu zleva doprava narazíme na zlomek formuláře . Víme, že při práci se zlomky komplexního typu musíme samostatně vypočítat hodnotu čitatele, samostatně - jmenovatele, a nakonec najít hodnotu zlomku.

V čitateli máme kořen tvaru . Chcete-li určit jeho hodnotu, musíte nejprve vypočítat hodnotu radikálního výrazu . Je zde sinus. Jeho hodnotu zjistíme až po výpočtu hodnoty výrazu . To je to, co můžeme udělat: . Pak odkud a .

Se jmenovatelem je vše jednoduché: .

Tím pádem, .

Po dosazení tohoto výsledku do původního výrazu bude mít tvar . Výsledný výraz obsahuje stupeň. Chcete-li zjistit jeho hodnotu, musíte nejprve najít hodnotu ukazatele, kterou máme .

Tak, .

Odpovědět:

.

Pokud není možné vypočítat přesné hodnoty kořenů, stupňů atd., můžete se je pokusit zbavit pomocí jakýchkoli transformací a poté se vrátit k výpočtu hodnoty podle zadaného schématu.

Racionální způsoby výpočtu hodnot výrazů

Výpočet hodnot číselných výrazů vyžaduje konzistenci a přesnost. Ano, je nutné dodržet sled úkonů zaznamenaný v předchozích odstavcích, ale nemělo by se to dělat slepě a mechanicky. Máme tím na mysli, že je často možné racionalizovat proces hledání hodnoty výrazu. Například některé vlastnosti akcí s čísly umožňují výrazně urychlit a zjednodušit hledání hodnoty výrazu.

Známe například tuto vlastnost násobení: je-li jeden z faktorů v součinu nulový, pak je hodnota součinu nulová. Pomocí této vlastnosti můžeme okamžitě říci, že hodnota výrazu 0 (2 3+893–3234:54 65–79 56 2,2)(45 36−2 4+456:3 43) je nula. Pokud bychom postupovali podle standardního pořadí operací, museli bychom nejprve spočítat hodnoty těžkopádných výrazů v závorkách, a to by zabralo spoustu času a výsledek by byl stále nula.

Vhodné je také použít vlastnost odečítání stejná čísla: pokud od čísla odečtete stejné číslo, bude výsledek nula. Tuto vlastnost lze uvažovat šířeji: rozdíl dvou stejných číselných výrazů je roven nule. Například bez výpočtu hodnoty výrazů v závorkách můžete zjistit hodnotu výrazu (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), je roven nule, protože původní výraz je rozdílem stejných výrazů.

Identické transformace mohou přispět k racionálnímu výpočtu hodnot výrazů. Například seskupení pojmů a faktorů může být užitečné, ale neméně často je odstranění společného faktoru ze závorek. Takže hodnotu výrazu 53 5+53 7−53 11+5 lze velmi snadno najít po odstranění faktoru 53 ze závorek: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. Přímý výpočet by zabral mnohem více času.

Na závěr tohoto odstavce věnujme pozornost racionálnímu přístupu k výpočtu hodnot výrazů se zlomky - jsou sníženy stejné faktory v čitateli a jmenovateli zlomku. Například zmenšením stejných výrazů v čitateli a jmenovateli zlomku umožňuje okamžitě zjistit jeho hodnotu, která je 1/2 .

Zjištění hodnoty doslovného výrazu a výrazu s proměnnými

Hodnota doslovného výrazu a výrazu s proměnnými se nachází pro konkrétní dané hodnoty písmen a proměnných. To znamená, že mluvíme o nalezení hodnoty doslovného výrazu pro dané hodnoty písmen nebo o nalezení hodnoty výrazu s proměnnými pro vybrané hodnoty proměnných.

pravidlo nalezení hodnoty doslovného výrazu nebo výrazu s proměnnými pro dané hodnoty písmen nebo vybrané hodnoty proměnných je následující: v původním výrazu je třeba dosadit dané hodnoty písmen nebo proměnných a vypočítat hodnotu výsledného číselného výrazu, je to požadovaná hodnota.

Příklad.

Vypočítejte hodnotu výrazu 0,5 x−y pro x=2,4 a y=5 .

Řešení.

Chcete-li najít požadovanou hodnotu výrazu, musíte nejprve nahradit tyto hodnoty proměnných do původního výrazu a poté provést následující akce: 0,5 2,4−5=1,2−5=−3,8 .

Odpovědět:

−3,8 .

Na závěr poznamenáváme, že někdy transformace doslovných výrazů a výrazů s proměnnými umožňuje získat jejich hodnoty bez ohledu na hodnoty písmen a proměnných. Například výraz x+3−x lze zjednodušit na 3 . Z toho můžeme usoudit, že hodnota výrazu x + 3 - x je rovna 3 pro jakékoli hodnoty proměnné x z jejího rozsahu přijatelných hodnot (ODZ) . Další příklad: hodnota výrazu je rovna 1 pro všechny kladné hodnoty x , takže rozsah platných hodnot pro proměnnou x v původním výrazu je množina kladných čísel a na tomto je rovnost rozsah.

Bibliografie.

• Matematika: studia. pro 5 buněk. obecné vzdělání instituce / N. Ya. Vilenkin, V. I. Žochov, A. S. Česnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazáno. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. třída: učebnice. pro všeobecné vzdělání instituce / [N. Ya, Vilenkin a další]. - 22. vydání, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: učebnice pro 7 buněk. obecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M. : Vzdělávání, 2008. - 240 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: učebnice pro 8 buněk. obecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdělávání, 2008. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. třída: učebnice. pro všeobecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdělávání, 2009. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra a začátek rozboru: Proc. pro 10-11 buněk. obecné vzdělání instituce / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a další; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M.: Osvěta, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Tento článek pojednává o tom, jak najít hodnoty matematických výrazů. Začněme jednoduchými číselnými výrazy a poté budeme případy zvažovat, až se jejich složitost zvýší. Na konci uvádíme výraz obsahující označení písmen, závorky, kořeny, speciální matematická znaménka, stupně, funkce atd. Celá teorie bude podle tradice opatřena bohatými a podrobnými příklady.

Jak zjistit hodnotu číselného výrazu?

Číselné výrazy mimo jiné pomáhají popsat stav problému v matematickém jazyce. Vůbec matematické výrazy může být buď velmi jednoduchý, skládající se z dvojice čísel a aritmetických znamének, nebo velmi složitý, obsahující funkce, stupně, kořeny, závorky atd. V rámci úkolu je často nutné najít hodnotu výrazu. Jak to udělat, bude diskutováno níže.

Nejjednodušší případy

To jsou případy, kdy výraz neobsahuje nic jiného než čísla a aritmetiku. Chcete-li úspěšně najít hodnoty takových výrazů, budete potřebovat znalost pořadí, ve kterém jsou aritmetické operace prováděny bez závorek, a také schopnost provádět operace s různými čísly.

Pokud výraz obsahuje pouze čísla a aritmetická znaménka " + " , " · " , " - " , " ÷ " , pak se operace provádějí zleva doprava v následujícím pořadí: nejprve násobení a dělení, poté sčítání a odčítání. Uveďme příklady.

Příklad 1. Hodnota číselného výrazu

Nechť je třeba najít hodnoty výrazu 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .

Nejprve provedeme násobení a dělení. Dostaneme:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Nyní odečteme a dostaneme konečný výsledek:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Příklad 2. Hodnota číselného výrazu

Počítejme: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Nejprve provedeme převod zlomků, dělení a násobení:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Nyní provedeme sčítání a odčítání. Seskupíme zlomky a přivedeme je ke společnému jmenovateli:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Požadovaná hodnota je nalezena.

Výrazy se závorkami

Pokud výraz obsahuje závorky, určují pořadí akcí v tomto výrazu. Nejprve se provedou akce v závorkách a poté všechny ostatní. Ukažme si to na příkladu.

Příklad 3. Hodnota číselného výrazu

Najděte hodnotu výrazu 0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) .

Výraz obsahuje závorky, takže nejprve provedeme operaci odčítání v závorkách a teprve potom násobení.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Hodnota výrazů obsahujících závorky v závorkách se zjistí podle stejného principu.

Příklad 4. Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme hodnotu 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Provedeme akce počínaje nejvnitřnějšími závorkami a přesunout se k těm vnějším.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Při hledání hodnot výrazů se závorkami je hlavní věcí sledovat posloupnost akcí.

Výrazy s kořeny

Matematické výrazy, jejichž hodnoty potřebujeme najít, mohou obsahovat kořenové znaky. Navíc samotný výraz může být pod znaménkem kořene. Jak být v takovém případě? Nejprve musíte najít hodnotu výrazu pod kořenem a poté extrahovat kořen z výsledného čísla. Pokud je to možné, je lepší se zbavit odmocnin v číselných výrazech a nahradit je číselnými hodnotami.

Příklad 5. Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme hodnotu výrazu s odmocninami - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Nejprve vypočítáme radikální výrazy.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Nyní můžeme vypočítat hodnotu celého výrazu.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

K nalezení hodnoty výrazu s kořeny je často nutné nejprve transformovat původní výraz. Pojďme si to vysvětlit na dalším příkladu.

Příklad 6. Hodnota číselného výrazu

Kolik je 3 + 1 3 - 1 - 1

Jak vidíte, nemáme možnost nahradit kořen přesnou hodnotou, což komplikuje proces počítání. V tomto případě však můžete použít zkrácený vzorec násobení.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Tím pádem:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Výrazy s pravomocemi

Pokud výraz obsahuje mocniny, musí být jejich hodnoty vypočteny před provedením všech ostatních akcí. Stává se, že samotný exponent nebo základ stupně jsou výrazy. V tomto případě se nejprve vypočítá hodnota těchto výrazů a poté hodnota stupně.

Příklad 7. Hodnota číselného výrazu

Najděte hodnotu výrazu 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Začneme počítat v pořadí.

2 3 4 – 10 = 2 12 – 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Zbývá pouze provést operaci sčítání a zjistit hodnotu výrazu:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Často je také vhodné zjednodušit výraz pomocí vlastností stupně.

Příklad 8. Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme hodnotu následujícího výrazu: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Exponenty jsou opět takové, že nelze získat jejich přesné číselné hodnoty. Zjednodušte původní výraz, abyste našli jeho hodnotu.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Výrazy se zlomky

Pokud výraz obsahuje zlomky, pak při výpočtu takového výrazu musí být všechny zlomky v něm reprezentovány jako obyčejné zlomky a jejich hodnoty se musí vypočítat.

Pokud jsou v čitateli a jmenovateli zlomku výrazy, pak se nejprve vypočítají hodnoty těchto výrazů a zaznamená se konečná hodnota samotného zlomku. Aritmetické operace se provádějí ve standardním pořadí. Zvažme příklad řešení.

Příklad 9. Hodnota číselného výrazu

Nalezneme hodnotu výrazu obsahujícího zlomky: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Jak vidíte, v původním výrazu jsou tři zlomky. Nejprve spočítejme jejich hodnoty.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Přepišme náš výraz a vypočítejme jeho hodnotu:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Při hledání hodnot výrazů je často vhodné zmenšit zlomky. Existuje nevyslovené pravidlo: před zjištěním jeho hodnoty je nejlepší zjednodušit jakýkoli výraz na maximum a omezit všechny výpočty na nejjednodušší případy.

Příklad 10. Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme výraz 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Nemůžeme úplně extrahovat kořen pětky, ale můžeme původní výraz zjednodušit pomocí transformací.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Původní výraz má tvar:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Vypočítejme hodnotu tohoto výrazu:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Výrazy s logaritmy

Pokud jsou ve výrazu přítomny logaritmy, jejich hodnota se, pokud je to možné, počítá od samého začátku. Například do výrazu log 2 4 + 2 4 můžete okamžitě zapsat hodnotu tohoto logaritmu místo log 2 4 a poté provést všechny akce. Dostaneme: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Číselné výrazy lze také nalézt pod znaménkem logaritmu a na jeho základně. V tomto případě je prvním krokem zjištění jejich hodnot. Vezměme si výraz log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . My máme:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Pokud není možné vypočítat přesnou hodnotu logaritmu, zjednodušení výrazu pomůže najít jeho hodnotu.

Příklad 11. Hodnota číselného výrazu

Najděte hodnotu výrazu log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Podle vlastnosti logaritmů:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Opět použitím vlastností logaritmů pro poslední zlomek ve výrazu dostaneme:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Nyní můžete přistoupit k výpočtu hodnoty původního výrazu.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Výrazy s goniometrickými funkcemi

Stává se, že ve výrazu jsou goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens a také funkce, které jsou k nim inverzní. Z hodnoty jsou vypočteny před provedením všech ostatních aritmetických operací. Jinak je výraz zjednodušen.

Příklad 12. Hodnota číselného výrazu

Najděte hodnotu výrazu: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Nejprve vypočítáme hodnoty goniometrických funkcí obsažených ve výrazu.

sin - 5 π 2 \u003d - 1

Dosaďte hodnoty ve výrazu a vypočítejte jeho hodnotu:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Hodnota výrazu je nalezena.

Často za účelem nalezení hodnoty výrazu s goniometrické funkce, musí být nejprve převeden. Vysvětlíme si to na příkladu.

Příklad 13. Hodnota číselného výrazu

Je potřeba najít hodnotu výrazu cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pro transformaci použijeme trigonometrické vzorce kosinus dvojitého úhlu a kosinus součtu.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 -1 cos 1-1 = 0.

Obecný případ číselného výrazu

V obecném případě může goniometrický výraz obsahovat všechny výše popsané prvky: závorky, stupně, odmocniny, logaritmy, funkce. Formulujme obecné pravidlo pro nalezení hodnot takových výrazů.

Jak zjistit hodnotu výrazu

1. Odmocniny, mocniny, logaritmy atd. jsou nahrazeny svými hodnotami.
2. Provedou se akce uvedené v závorkách.
3. Zbývající kroky se provádějí v pořadí zleva doprava. Nejprve - násobení a dělení, poté - sčítání a odčítání.

Vezměme si příklad.

Příklad 14. Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme, jaká je hodnota výrazu - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Výraz je poměrně složitý a těžkopádný. Není náhodou, že jsme vybrali právě takový příklad a snažili se do něj vměstnat všechny výše popsané případy. Jak zjistit hodnotu takového výrazu?

Je známo, že při výpočtu hodnoty komplexního zlomkového tvaru se nejprve hodnoty čitatele a jmenovatele zlomku nacházejí samostatně. Tento výraz budeme postupně transformovat a zjednodušovat.

Nejprve vypočítáme hodnotu radikálního výrazu 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Chcete-li to provést, musíte najít hodnotu sinusu a výraz, který je argumentem goniometrické funkce.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Nyní můžete zjistit hodnotu sinusu:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Vypočteme hodnotu radikálního výrazu:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Se jmenovatelem zlomku je vše jednodušší:

Nyní můžeme zapsat hodnotu celého zlomku:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

S ohledem na to napíšeme celý výraz:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Konečný výsledek:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

V tomto případě jsme byli schopni vypočítat přesné hodnoty pro kořeny, logaritmy, sinusy a tak dále. Pokud to není možné, můžete se jich pokusit zbavit matematickými transformacemi.

Počítání výrazů racionálními způsoby

Číselné hodnoty se musí počítat konzistentně a přesně. Tento proces lze racionalizovat a urychlit využitím různých vlastností operací s čísly. Je například známo, že součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. Vzhledem k této vlastnosti můžeme okamžitě říci, že výraz 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 je roven nule. V tomto případě není vůbec nutné provádět kroky v pořadí popsaném v článku výše.

Vhodné je také použít vlastnost odečítání stejných čísel. Bez provedení jakýchkoliv akcí je možné nařídit, aby hodnota výrazu 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 byla také rovna nule.

Další technikou, která vám umožňuje urychlit proces, je použití identických transformací, jako je seskupování termínů a faktorů a vyjmutí společného faktoru ze závorek. Racionálním přístupem k počítání výrazů se zlomky je redukovat stejné výrazy v čitateli i ve jmenovateli.

Vezměme si například výraz 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Bez provedení akcí v závorkách, ale zmenšením zlomku, můžeme říci, že hodnota výrazu je 1 3 .

Hledání hodnot výrazů s proměnnými

Hodnota doslovného výrazu a výrazu s proměnnými se nachází pro konkrétní dané hodnoty písmen a proměnných.

Hledání hodnot výrazů s proměnnými

Chcete-li najít hodnotu doslovného výrazu a výrazu s proměnnými, musíte dané hodnoty písmen a proměnných dosadit do původního výrazu a poté vypočítat hodnotu výsledného číselného výrazu.

Příklad 15. Hodnota výrazu s proměnnými

Vypočítejte hodnotu výrazu 0 , 5 x - y za předpokladu x = 2 , 4 a y = 5 .

Do výrazu dosadíme hodnoty proměnných a vypočítáme:

0,5 x-y = 0,522,4-5=1,2-5=-3,8.

Někdy je možné transformovat výraz tak, aby získal jeho hodnotu bez ohledu na hodnoty písmen a proměnných v něm obsažených. K tomu je potřeba zbavit se písmen a proměnných ve výrazu pokud možno pomocí identických transformací, vlastností aritmetických operací a všech možných dalších metod.

Například výraz x + 3 - x má zjevně hodnotu 3 a pro výpočet této hodnoty není nutné znát hodnotu x. Hodnota tohoto výrazu je rovna třem pro všechny hodnoty proměnné x z jejího rozsahu platných hodnot.

Ještě jeden příklad. Hodnota výrazu x x je rovna jedné pro všechna kladná x.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

V kurzu algebra 7. ročníku jsme se zabývali transformací celočíselných výrazů, tedy výrazů složených z čísel a proměnných pomocí operací sčítání, odčítání a násobení a také dělení jiným číslem než nula. Výrazy jsou tedy celá čísla

Naproti tomu výrazy

kromě akce sčítání, odčítání a násobení obsahují dělení výrazem s proměnnými. Takové výrazy se nazývají zlomkové výrazy.

Celé a zlomkové výrazy se nazývají racionální výrazy.

Celočíselný výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, které jsou v něm obsaženy, protože abyste našli hodnotu celého výrazu, musíte provést akce, které jsou vždy možné.

Zlomkový výraz pro některé hodnoty proměnných nemusí dávat smysl. Například výraz - nedává smysl pro a = 0. Pro všechny ostatní hodnoty a má tento výraz smysl. Výraz dává smysl pro ty hodnoty x a y, když x ≠ y.

Proměnné hodnoty, pro které má výraz smysl, se nazývají platné proměnné.

Vyjádření tvaru se nazývá, jak víte, zlomek.

Zlomek, jehož čitatel a jmenovatel jsou polynomy, se nazývá racionální zlomek.

Zlomky jsou příklady racionálních zlomků.

V racionální zlomek přípustné jsou ty hodnoty proměnných, u kterých nezmizí jmenovatel zlomku.

Příklad 1 Pojďme najít platné hodnoty proměnné ve zlomku

Řešení Chcete-li zjistit, při kterých hodnotách a jmenovatel zlomku zmizí, musíte vyřešit rovnici a (a - 9) \u003d 0. Tato rovnice má dva kořeny: 0 a 9. Proto všechna čísla kromě 0 a 9 jsou platné hodnoty pro proměnnou a.

Příklad 2 Při jaké hodnotě x je hodnota zlomku rovna nule?

Řešení Zlomek je nula právě tehdy, když a je 0 a b ≠ 0.