Náhodná proměnná volal proměnná hodnota, který jako výsledek každého testu trvá jeden předem neznámá hodnota v závislosti na náhodných důvodech. Náhodné proměnné se označují velkými latinskými písmeny: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Náhodné proměnné mohou být podle svého typu oddělený A kontinuální.

Diskrétní náhodná veličina- toto je náhodná proměnná, jejíž hodnoty nemohou být více než spočítatelné, to znamená buď konečné, nebo spočítatelné. Počitatelností rozumíme, že hodnoty náhodné veličiny lze očíslovat.

Příklad 1 . Zde jsou příklady diskrétních náhodných proměnných:

a) počet zásahů do cíle pomocí $n$ ran, zde možné hodnoty jsou $0,\ 1,\ \tečky,\ n$.

b) počet odložených emblémů při hodu mincí, zde jsou možné hodnoty $0,\ 1,\ \tečky,\n$.

c) počet lodí připlouvajících na palubu (spočetný soubor hodnot).

d) počet hovorů přicházejících na ústřednu (spočetný soubor hodnot).

1. Zákon rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny.

Diskrétní náhodná proměnná $X$ může nabývat hodnot $x_1,\tečky ,\ x_n$ s pravděpodobnostmi $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Korespondence mezi těmito hodnotami a jejich pravděpodobnostmi se nazývá zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny. Tato korespondence je zpravidla specifikována pomocí tabulky, jejíž první řádek označuje hodnoty $x_1,\tečky ,\ x_n$ a druhý řádek obsahuje pravděpodobnosti $p_1,\tečky ,\ p_n$ odpovídající tyto hodnoty.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \tečky & p_n \\
\hline
\end(pole)$

Příklad 2 . Nechť náhodná proměnná $X$ je počet hozených bodů při hodu kostkou. Taková náhodná proměnná $X$ může nabývat následujících hodnot: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Pravděpodobnost všech těchto hodnot se rovná $ 1/6 $. Pak zákon rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(pole)$

Komentář. Protože v distribučním zákoně diskrétní náhodné veličiny $X$ tvoří události $1,\ 2,\ \tečky ,\ 6$ úplnou skupinu událostí, pak se součet pravděpodobností musí rovnat jedné, tedy $ \sum(p_i)=1$.

2. Matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny.

Očekávání náhodné veličiny určuje jeho „ústřední“ význam. Pro diskrétní náhodnou veličinu očekávaná hodnota se vypočítá jako součet součinů hodnot $x_1,\tečky ,\ x_n$ pravděpodobností $p_1,\tečky ,\ p_n$ odpovídající těmto hodnotám, to znamená: $M\left(X\right )=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)$. V anglicky psané literatuře se používá jiný zápis $E\left(X\right)$.

Vlastnosti matematického očekávání$M\levý(X\vpravo)$:

$M\left(X\right)$ je obsaženo mezi nejmenším a nejvyšší hodnoty náhodná proměnná $X$.
Matematické očekávání konstanty se rovná konstantě samotné, tzn. $M\left(C\right)=C$.
Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka matematického očekávání: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
Matematické očekávání součtu náhodných proměnných se rovná součtu jejich matematických očekávání: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
Matematické očekávání součinu nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Příklad 3 . Najdeme matematické očekávání náhodné veličiny $X$ z příkladu $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\nad (6))+4\cdot ((1)\nad (6))+5\cdot ((1)\přes (6))+6\cdot ((1) )\přes (6))=3,5.$$

Můžeme si všimnout, že $M\left(X\right)$ leží mezi nejmenší ($1$) a největší ($6$) hodnotou náhodné proměnné $X$.

Příklad 4 . Je známo, že matematické očekávání náhodné veličiny $X$ se rovná $M\left(X\right)=2$. Najděte matematické očekávání náhodné proměnné $3X+5$.

Pomocí výše uvedených vlastností získáme $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 $.

Příklad 5 . Je známo, že matematické očekávání náhodné veličiny $X$ se rovná $M\left(X\right)=4$. Najděte matematické očekávání náhodné veličiny $2X-9$.

Pomocí výše uvedených vlastností získáme $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperze diskrétní náhodné veličiny.

Možné hodnoty náhodných proměnných se stejnými matematickými očekáváními se mohou kolem jejich průměrných hodnot rozptýlit různě. Například ve dvou studentské skupiny GPA u zkoušky z teorie pravděpodobnosti to vyšlo na 4, ale v jedné skupině se všichni ukázali jako dobří studenti a ve druhé skupině - pouze studenti C a vynikající studenti. Proto je potřeba číselné charakteristiky náhodné veličiny, která by ukazovala rozptyl hodnot náhodné veličiny kolem jejího matematického očekávání. Touto vlastností je disperze.

Rozptyl diskrétní náhodné veličiny$X$ se rovná:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

V anglické literatuře se používá zápis $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Velmi často se rozptyl $D\left(X\right)$ počítá pomocí vzorce $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ vlevo(X \vpravo)\vpravo))^2$.

Disperzní vlastnosti$D\levý(X\vpravo)$:

Rozptyl je vždy větší nebo roven nule, tzn. $D\left(X\right)\ge 0$.
Rozptyl konstanty je nulový, tzn. $D\left(C\right)=0$.
Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka disperze za předpokladu, že je na druhou, tzn. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
Rozptyl součtu nezávislých náhodných veličin je roven součtu jejich rozptylů, tzn. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
Rozptyl rozdílu mezi nezávislými náhodnými veličinami je roven součtu jejich rozptylů, tzn. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Příklad 6 . Vypočítejme rozptyl náhodné veličiny $X$ z příkladu $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \tečky +( (1)\přes (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\přes (12))\cca 2,92,$$

Příklad 7 . Je známo, že rozptyl náhodné veličiny $X$ je roven $D\left(X\right)=2$. Najděte rozptyl náhodné veličiny $4X+1$.

Pomocí výše uvedených vlastností najdeme $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ vlevo(X\vpravo)=16\cdot 2=32$.

Příklad 8 . Je známo, že rozptyl náhodné veličiny $X$ je roven $D\left(X\right)=3$. Najděte rozptyl náhodné veličiny $3-2X$.

Pomocí výše uvedených vlastností najdeme $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ vlevo(X\vpravo)=4\cdot 3=12$.

4. Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny.

Způsob reprezentace diskrétní náhodné veličiny ve formě distribuční řady není jediný a hlavně není univerzální, protože spojitou náhodnou veličinu nelze specifikovat pomocí distribuční řady. Existuje další způsob, jak reprezentovat náhodnou veličinu - distribuční funkce.

Distribuční funkce náhodná proměnná $X$ se nazývá funkce $F\left(x\right)$, která určuje pravděpodobnost, že náhodná proměnná $X$ bude mít hodnotu menší než nějaká pevná hodnota $x$, tedy $F\ left(x\right)=P\left(X< x\right)$

Vlastnosti distribuční funkce:

$0\le F\left(x\right)\le 1$.
Pravděpodobnost, že náhodná proměnná $X$ bude nabývat hodnot z intervalu $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, se rovná rozdílu mezi hodnotami distribuční funkce na koncích tohoto interval: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
$F\left(x\right)$ - neklesající.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Příklad 9 . Najdeme distribuční funkci $F\left(x\right)$ pro distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny $X$ z příkladu $2$.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(pole)$

Pokud $x\le 1$, pak samozřejmě $F\left(x\right)=0$ (včetně pro $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Pokud 1 $< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Pokud 2 $< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Pokud 3 $< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Pokud 4 $< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Pokud 5 dolarů< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Pokud $x > 6$, pak $F\levá (x\vpravo)=P\levá (X=1\vpravo)+P\levá (X=2\vpravo)+P\levá (X=3\vpravo) +P\doleva(X=4\vpravo)+P\doleva (X=5\vpravo)+P\doleva (X=6\vpravo)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6 + 1/6 = 1 $.

Takže $F(x)=\left\(\begin(matice)
0,\ v\ x\le 1,\\
1/6, v\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ v\ 2< x\le 3,\\
1/2, v\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ v\ 4< x\le 5,\\
6. 5., v 4< x\le 5,\\
1,\ pro\ x > 6.
\end(matice)\right.$

Uvažujme diskrétní distribuce, které se často používají při modelování servisních systémů.

Bernoulliho distribuce. Bernoulliho schéma je posloupnost nezávislých pokusů, v každém z nich jsou možné pouze dva výsledky – „úspěch“ a „neúspěch“ s pravděpodobnostmi. R A q = 1 - R. Nechť náhodnou veličinu X může nabývat dvou hodnot s odpovídajícími pravděpodobnostmi:

Bernoulliho distribuční funkce má tvar

Jeho graf je na Obr. 11.1.

Náhodná hodnota s tímto rozdělením se rovná počtu úspěchů v jedné zkoušce Bernoulliho schématu.

Generující funkce podle (11.1) a (11.15) se vypočítá jako

Rýže. 11.1.

Pomocí vzorce (11.6) najdeme matematické očekávání rozdělení:

Vypočítejme druhou derivaci generující funkce pomocí (11.17)

Z (11.7) získáme disperzi rozdělení

Bernoulliho rozdělení hraje velkou roli v teorii hromadné služby, je modelem jakéhokoli náhodného experimentu, jehož výsledky patří do dvou vzájemně se vylučujících tříd.

Geometrické rozložení. Předpokládejme, že události probíhají v diskrétních časech nezávisle na sobě. Pravděpodobnost, že k události dojde, se rovná R, a pravděpodobnost, že se to nestane, je q = 1-р, například přijde klient a zadá objednávku.

Označme podle r k pravděpodobnost, že událost nastane v tuto chvíli poprvé Na, těch. Na-Klient provedl objednávku a předchozí Na- 1 žádné klienty. Pak lze pravděpodobnost této komplexní události určit pomocí věty o násobení pravděpodobností nezávislých událostí

Pravděpodobnosti událostí s geometrickým rozložením jsou znázorněny na Obr. 11.2.

Součet pravděpodobností všech možných událostí

představuje geometrická progrese, proto se distribuce nazývá geometrický. Od (1- R)

Náhodná hodnota Xs geometrické rozdělení má význam čísla prvního úspěšného testu v Bernoulliho schématu.

Rýže. 11.2.

Stanovme pravděpodobnost, že k události dojde X>k

a geometrické distribuční funkce

Vypočítejme generující funkci geometrického rozdělení pomocí (11.1) a (11.20)

matematické očekávání geometrického rozdělení podle (11.6)

a disperze podle (11.7)

Geometrické rozložení je považováno za diskrétní verzi spojitého exponenciálního rozložení a má také řadu vlastností užitečných pro modelování servisních systémů. Konkrétně, stejně jako exponenciální rozdělení, geometrické rozdělení nemá žádnou paměť:

těch. pokud byly provedeny / neúspěšné experimenty, pak je pravděpodobné, že pro první úspěch je nutné provést další j nové zkušenosti, stejná jako pravděpodobnost, že s nová série pro první úspěch musí být provedeny testy Jinými slovy, předchozí zkušenosti nemají žádný vliv na budoucí zkušenosti a zkušenosti jsou nezávislé. To je často pravda. Například zákazníci jsou nezávislí a objednávky jsou zadávány náhodně.

Uvažujme příklad systému, jehož provozní parametry se řídí geometrickým rozdělením.

Mistr má k dispozici P podobné náhradní díly. Každý detail je pravděpodobný q má defekt. Při opravě se díl instaluje do zařízení, u kterého se testuje funkčnost. Pokud zařízení nefunguje, je díl vyměněn za jiný. Uvažujme náhodnou veličinu X- počet dílů ke kontrole.

Pravděpodobnosti počtu kontrolovaných dílů budou mít hodnoty uvedené v tabulce:


					rya"~ x

Tady q = 1 - R.

Matematické očekávání počtu kontrolovaných dílů je definováno jako

Binomické rozdělení. Zvažte náhodnou veličinu

Kde Xj se řídí Bernoulliho rozdělení s parametrem R a náhodné proměnné Xj nezávislý.

Hodnota náhodné proměnné X se bude rovnat počtu výskytů jednotek at P testy, tzn. náhodná veličina s binomickým rozdělením má význam počtu úspěchů v P nezávislé testy.

Podle (11.9) je generující funkce součtu vzájemně nezávislých náhodných veličin, z nichž každá má Bernoulliho rozdělení, rovna součinu jejich generujících funkcí (11.17):

Rozšířením generující funkce (11.26) v řadě získáme

V souladu s definicí generující funkce (11.1) je pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude mít hodnotu Na:

Kde - binomické koeficienty.

11 kusů a jednotek na P místa lze uspořádat způsoby C*, pak počet vzorků obsahujících Na jednotky budou samozřejmě stejné.

Distribuční funkce pro binomický zákon se vypočítá pomocí vzorce

Distribuce se nazývá binomický vzhledem k tomu, že pravděpodobnosti ve formě jsou členy binomického rozvoje:

Je jasné, že celková pravděpodobnost všech možných výsledků je 1:

Z (11.29) můžeme získat řadu užitečných vlastností binomických koeficientů. Například kdy R =1, q= 1 dostaneme

Pokud dáte R =1, q= - 1, tedy

Pro jakékoli 1k platí následující vztahy:

Pravděpodobnost, že v P testech, událost nastane: 1) méně než × 2 další Na jednou; 3) ne méně než × 4) ne více než ×, podle vzorců:

Pomocí (11.6) určíme matematické očekávání binomické rozdělení

a podle (11.7) - disperze:

Uvažujme několik příkladů systémů, jejichž provozní parametry jsou popsány binomickým rozdělením.

1. Šarže 10 výrobků obsahuje jeden nestandardní výrobek. Najděte pravděpodobnost, že na náhodném vzorku 5 produktů budou všechny standardní (event A).

Počet všech náhodných vzorků p - S, e 0 a počet vzorků příznivých pro událost je P= C95. Požadovaná pravděpodobnost je tedy rovna

2. Při nastěhování do nového bytu byly 2 zapnuty v síti osvětlení Na nové elektrické lampy. Každá elektrická lampa v průběhu roku s určitou pravděpodobností vyhoří R. Najděte pravděpodobnost, že do roka bude nutné vyměnit alespoň polovinu původně zapnutých žárovek za nové (příp. A):

3. Osoba patřící do určité skupiny spotřebitelů preferuje produkt 1 s pravděpodobností 0,2, produkt 2 s pravděpodobností 0,3, produkt 3 s pravděpodobností 0,4, produkt 4 s pravděpodobností 0,1 Skupina 6 spotřebitelů. Pojďme zjistit pravděpodobnosti následujících událostí: A - skupina obsahuje alespoň 4 spotřebitele, kteří preferují produkt 3; V- skupina obsahuje alespoň jednoho spotřebitele, který preferuje produkt 4.

Tyto pravděpodobnosti jsou stejné:

Na svobodě/? Výpočty pravděpodobnosti se stávají těžkopádnými, proto se používají limitní věty.

Místní Laplaceova věta, podle kterého pravděpodobnost R p (k) je určeno vzorcem

Kde - Gaussova funkce;

Laplaceova integrální věta se používá k výpočtu pravděpodobnosti, že P nezávislých testů k události dojde neméně Komu ( jednou a už ne do 2 jednou:

Podívejme se na příklady použití těchto teorémů.

1. Šicí dílna vyrábí oděvy na míru, z toho 90% nejvyšší kvalita. Najděte pravděpodobnost, že mezi 200 produkty bude minimálně 160 a maximálně 170 těch nejkvalitnějších.

Řešení:

2. Pojišťovna má 12 tisíc klientů. Každý z nich, pojištění proti nehodě, přispívá 10 tisíc rublů. Pravděpodobnost nehody R - 0,006 a platba oběti je 1 milion rublů. Najdeme zisk pojišťovny, zajištěný s pravděpodobností 0,995; jinými slovy, jaký zisk může pojišťovna očekávat při úrovni rizika 0,005.

Řešení: Celkový příspěvek všech klientů je 12 000-10 000 = 120 milionů rublů. Zisk firmy závisí na čísle Na nehod a je určena rovností I = 120 000-1000/: tisíc rublů.

Proto potřebujeme najít číslo A/ takové, že pravděpodobnost události P(k > M) nepřesáhl 0,005. Pak bude s pravděpodobností 0,995 zajištěn zisk I = 120000-10004/ tisíc rublů.

Nerovnost P(k > M)Р(к0,995. Od do > 0, tedy R( 0 0,995. K odhadu této pravděpodobnosti použijeme Laplaceovu integrální větu P- 12 000 a/?=0,006, #=0,994:

Protože*! F(x]) = -0,5.

Je tedy nutné najít A/ pro které

Shledáváme (M- 72)/8,5 > 2,58. Proto, M>12 + 22 = 94.

Takže s pravděpodobností 0,995 společnost garantuje zisk

Často musíte určit nejpravděpodobnější číslo na 0. Pravděpodobnost výskytu události s počtem úspěchů na 0 přesahuje nebo alespoň ne méně než pravděpodobnost jiných možných výsledků testu. S největší pravděpodobností číslo na 0 určeno z dvojité nerovnosti

3. Nechť je 25 vzorků spotřebního zboží. Pravděpodobnost, že každý vzorek bude pro klienta přijatelný, je 0,7. Musí být stanoven nejpravděpodobnější počet vzorků, které budou přijatelné pro zákazníky. Po (11,39)

Odtud na 0 - 18.

Poissonovo rozdělení. Poissonovo rozdělení určuje pravděpodobnost, že pro velmi velké číslo testy P, v každém z nich pravděpodobnost události R velmi malý, událost nastane přesně do schz.

Nechte pracovat pr = k; to znamená, že průměrný počet výskytů události v různých sériích pokusů, tzn. při různých P, zůstává nezměněno. V tomto případě lze Poissonovo rozdělení použít k aproximaci binomického rozdělení:

Protože pro velké P

Funkce generující Poissonovo rozdělení se vypočítá pomocí (11.1) jako

kde podle Maclaurinova vzorce

V souladu s vlastností koeficientů generující funkce pravděpodobnost výskytu Naúspěchy s průměrným počtem úspěchů X se vypočítá jako (11,40).

Na Obr. Obrázek 11.3 ukazuje Poissonovu funkci hustoty pravděpodobnosti.

Funkci generující Poissonovo rozdělení lze také získat použitím řady rozšíření generující funkce binomického rozdělení pro pr = X na P-» oo a Maclaurinův vzorec (11.42):

Rýže. 11.3.

Určíme matematické očekávání pomocí (11.6)

a disperze podle (11.7)

Uvažujme příklad systému s Poissonovým rozdělením parametrů.

Společnost zaslala do prodejny 500 produktů. Pravděpodobnost poškození produktu při přepravě je 0,002. Najděte pravděpodobnosti poškození produktů na cestě: přesně 3 (událost I); méně než 3 (udál V) více než 3 (událost Q; alespoň jedna (událost D).

Číslo P= 500 je vysoká pravděpodobnost R= 0,002 je málo, uvažované události (poškození výrobků) jsou nezávislé, lze tedy použít Poissonův vzorec (11,40).

Na X = pr = 500 0,002=1 dostaneme:

Poissonovo rozdělení má řadu vlastností užitečných pro modelování servisních systémů.

1. Součet náhodných veličin X = X ( + X 2 s Poissonovým rozdělením se také rozděluje podle Poissonova zákona.

Pokud mají náhodné proměnné generující funkce:

pak podle (11.9) bude mít generující funkce součtu nezávislých náhodných veličin s Poissonovým rozdělením tvar:

Výsledný distribuční parametr je roven X x + X 2.

2. Pokud se počet prvků./V množiny řídí Poissonovým rozdělením s parametrem X a každý prvek je vybrán nezávisle s pravděpodobností R, pak mají prvky vzorku velikost Y rozdělené podle Poissonova zákona s parametrem rH.

Nechat , Kde odpovídá Bernoulliho distribuci a N- Poissonovo rozdělení. Odpovídající generující funkce podle (11.17), (11.41):

Generující funkce náhodné veličiny Y vypočteno v souladu s (11.14)

těch. generující funkce odpovídá Poissonovu rozdělení s parametrem rH.

3. V důsledku vlastnosti 2 platí následující vlastnost. Pokud je počet prvků množiny rozdělen podle Poissonova zákona s parametrem X a množina je náhodně rozdělena s pravděpodobnostmi /?, a p 2 = 1 - R do dvou skupin, pak jsou velikosti sad 7V, a N 2 nezávislé a Poissonovo distribuované s parametry p(k A r(k.

Pro usnadnění použití uvádíme výsledky dosažené ohledně diskrétní distribuce ve formě tabulky 11.1 a 11.2.

Tabulka 11.1. Hlavní charakteristiky diskrétních rozdělení

Rozdělení	Hustota	Rozsah	Možnosti	tn \|		C X--2
Bernoulli	Р(Х = ) = р Р (X = 0} = R + I= 1	P - 0,1
Geometrický	p(-p) k-1	k = 1,2,...			^ 1 1 \|tz	1 -R
Binomický	s k r k (- R g k	* = 1,2,...,#"			pr( - r)	1 -r pr
jed	E Na!	k = 1,2,...

Tabulka 11. 2. Generující funkce diskrétních rozdělení

KONTROLNÍ OTÁZKY

1. Jaká rozdělení pravděpodobnosti jsou považována za diskrétní?
2. Co je to generující funkce a k čemu se používá?
3. Jak vypočítat momenty náhodných veličin pomocí generující funkce?
4. Jaká je generující funkce součtu nezávislých náhodných veličin?
5. Co se nazývá složené rozdělení a jak se počítají generující funkce složených rozdělení?
6. Uveďte hlavní charakteristiky Bernoulliho rozvodu, uveďte příklad použití v servisních úkolech.
7. Uveďte hlavní charakteristiky geometrického rozdělení, uveďte příklad použití v servisních úlohách.
8. Uveďte hlavní charakteristiky binomického rozdělení, uveďte příklad jeho použití v obslužných úlohách.
9. Uveďte hlavní charakteristiky Poissonova rozdělení, uveďte příklad použití v obslužných problémech.

Můžeme zdůraznit nejběžnější zákony distribuce diskrétních náhodných veličin:

Zákon binomického rozdělení
Poissonův distribuční zákon
Zákon geometrického rozdělení
Hypergeometrický distribuční zákon

Pro daná rozdělení diskrétních náhodných veličin se pomocí určitých „vzorců“ provádí výpočet pravděpodobností jejich hodnot a také numerických charakteristik (matematické očekávání, rozptyl atd.). Proto je velmi důležité znát tyto typy distribucí a jejich základní vlastnosti.

1. Zákon binomického rozdělení.

Diskrétní náhodná proměnná $X$ podléhá zákonu binomického rozdělení pravděpodobnosti, pokud nabývá hodnot $0,\ 1,\ 2,\ \tečky ,\ n$ s pravděpodobnostmi $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Ve skutečnosti je náhodná proměnná $X$ počet výskytů události $A$ v $n$ nezávislých studiích. Zákon rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \tečky & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\vpravo) & P_n\left(1\vpravo) & \tečky & P_n\left(n\vpravo) \\
\hline
\end(pole)$

Pro takovou náhodnou veličinu je matematické očekávání $M\left(X\right)=np$, rozptyl je $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Příklad . Rodina má dvě děti. Za předpokladu, že pravděpodobnost narození chlapce a dívky je 0,5 $, najděte zákon rozdělení náhodné veličiny $\xi$ - počet chlapců v rodině.

Nechť náhodná proměnná $\xi $ je počet chlapců v rodině. Hodnoty, které může $\xi nabývat:\ 0,\ 1,\ 2 $. Pravděpodobnosti těchto hodnot lze zjistit pomocí vzorce $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, kde $n =2$ je počet nezávislých pokusů, $p=0,5$ je pravděpodobnost výskytu události v sérii $n$ pokusů. Dostaneme:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 = 0,25 $

Pak distribuční zákon náhodné veličiny $\xi $ je korespondence mezi hodnotami $0,\ 1,\ 2$ a jejich pravděpodobnostmi, to znamená:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(pole)$

Součet pravděpodobností v distribučním zákoně by se měl rovnat $1$, tedy $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25 = 1 $.

Očekávání $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, rozptyl $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, standardní odchylka $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5)\cca 0,707 $.

2. Poissonův zákon rozdělení.

Pokud diskrétní náhodná proměnná $X$ může nabývat pouze nezáporné celočíselné hodnoty $0,\ 1,\ 2,\ \tečky,\ n$ s pravděpodobnostmi $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\přes (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Komentář. Zvláštností tohoto rozdělení je, že na základě experimentálních dat zjistíme odhady $M\left(X\right),\D\left(X\right)$, pokud jsou získané odhady blízko sebe, pak máme důvod tvrdit, že náhodná veličina podléhá Poissonově distribučnímu zákonu.

Příklad . Příklady náhodných proměnných podléhajících zákonu Poissonova rozdělení mohou být: počet vozů, které zítra obslouží čerpací stanice; počet vadných položek ve vyrobených produktech.

Příklad . Továrna poslala na základnu produkty za 500 $. Pravděpodobnost poškození produktu při přepravě je 0,002 $. Najděte distribuční zákon náhodné veličiny $X$, rovnající se číslu poškozené výrobky; co je $M\left(X\right),\D\left(X\right)$.

Nechť diskrétní náhodná proměnná $X$ je počet poškozených produktů. Taková náhodná veličina podléhá Poissonově zákonu rozdělení s parametrem $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Pravděpodobnosti hodnot se rovnají $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\přes (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Zákon rozdělení náhodné veličiny $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\přes (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(pole)$

Pro takovou náhodnou veličinu jsou matematické očekávání a rozptyl stejné a rovny parametru $\lambda $, tedy $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda = 1 $.

3. Zákon geometrického rozdělení.

Pokud diskrétní náhodná proměnná $X$ může nabývat pouze přirozené hodnoty $1,\ 2,\ \tečky,\ n$ s pravděpodobnostmi $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) vpravo)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \tečky $, pak říkají, že taková náhodná veličina $X$ podléhá geometrickému zákonu rozdělení pravděpodobnosti. Ve skutečnosti je geometrické rozložení až do prvního úspěchu Bernoulliho testem.

Příklad . Příklady náhodných proměnných, které mají geometrické rozložení, mohou být: počet výstřelů před prvním zásahem do cíle; počet testů zařízení do prvního selhání; počet hodů mincí, dokud se neobjeví první hlava atd.

Matematické očekávání a rozptyl náhodné veličiny podléhající geometrickému rozdělení se rovnají $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ $ 2.

Příklad . Na cestě pohybu ryb k místu tření je zámek 4 $. Pravděpodobnost, že ryby projdou každým zámkem, je $p=3/5$. Sestrojte řadu rozdělení náhodné proměnné $X$ - počet plavebních komor, které ryba prošla před prvním zadržením u zdymadla. Najděte $M\left(X\right),\D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Nechť náhodná proměnná $X$ je počet zámků, které ryba prošla před prvním zadržením u zámku. Taková náhodná veličina podléhá geometrickému zákonu rozdělení pravděpodobnosti. Hodnoty, které může náhodná proměnná $X nabývat: $ 1, 2, 3, 4. Pravděpodobnosti těchto hodnot se počítají pomocí vzorce: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, kde: $ p=2/5$ - pravděpodobnost zadržení ryb přes zdymadlo, $q=1-p=3/5$ - pravděpodobnost proplutí ryb zdymadlem, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4 $.

$P\left(X=1\vpravo)=((2)\přes (5))\cdot (\left(((3)\přes (5))\vpravo))^0=((2)\ nad (5)) = 0,4; $

$P\left(X=2\vpravo)=((2)\přes (5))\cdot ((3)\přes (5))=((6)\přes (25))=0,24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ přes (5))\cdot ((9)\přes (25))=((18)\přes (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\přes (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\přes (5))\vpravo))^4=((27)\přes (125))=0,216,$

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(pole)$

Očekávaná hodnota:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176,$

Rozptyl:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left( 1-2,176\vpravo))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\cca 1,377,$

Standardní odchylka:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\cca 1,173,$

4. Hypergeometrický distribuční zákon.

If $N$ objektů, mezi nimiž $m$ objekty mají danou vlastnost. Objekty $n$ jsou náhodně získávány bez vracení, mezi nimiž bylo $k$ objektů, které mají danou vlastnost. Hypergeometrické rozdělení umožňuje odhadnout pravděpodobnost, že právě $k$ objektů ve vzorku má danou vlastnost. Nechť náhodná proměnná $X$ je počet objektů ve vzorku, které mají danou vlastnost. Pak pravděpodobnosti hodnot náhodné proměnné $X$:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\přes (C^n_N))$

Komentář. Statistická funkce HYPERGEOMET průvodce funkcí Excel $f_x$ umožňuje určit pravděpodobnost, že určitý počet testů bude úspěšný.

$f_x\to$ statistický$\to$ HYPERGEOMET$\to$ OK. Zobrazí se dialogové okno, které musíte vyplnit. Ve sloupci Počet_úspěchů_v_vzorku uveďte hodnotu $k$. velikost vzorku rovná se $n$. Ve sloupci Počet_úspěchů_v_spolu uveďte hodnotu $m$. velikost populace rovná se $N$.

Matematické očekávání a rozptyl diskrétní náhodné proměnné $X$, podléhající zákonu o geometrickém rozdělení, se rovnají $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\vlevo(1 -((m)\přes (N))\vpravo)\vlevo (1-((n)\přes (N))\vpravo))\přes (N-1))$.

Příklad . Úvěrové oddělení banky zaměstnává 5 specialistů s vyšším finančním vzděláním a 3 specialisty s vyšším právní vzdělání. Vedení banky se rozhodlo vyslat 3 specialisty ke zvýšení kvalifikace, které vybralo v náhodném pořadí.

a) Vytvořte distribuční řadu pro počet odborníků s vyšším finančním vzděláním, kteří mohou být vysláni, aby zlepšili své dovednosti;

b) Najděte číselné charakteristiky tohoto rozdělení.

Nechť náhodná veličina $X$ je počet odborníků s vyšším finančním vzděláním mezi třemi vybranými. Hodnoty, které může $X nabývat: 0,\ 1,\ 2,\ 3 $. Tato náhodná veličina $X$ je distribuována podle hypergeometrického rozdělení s následujícími parametry: $N=8$ - velikost populace, $m=5$ - počet úspěchů v populaci, $n=3$ - velikost vzorku, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - počet úspěchů ve vzorku. Potom lze pravděpodobnosti $P\left(X=k\right)$ vypočítat pomocí vzorce: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ přes C_(N)^(n)) $. My máme:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\cca 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\cca 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\cca 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\cca 0,179,$

Potom distribuční řada náhodné veličiny $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(pole)$

Vypočítejme číselné charakteristiky náhodné veličiny $X$ pomocí obecných vzorců hypergeometrického rozdělení.

$M\levý(X\vpravo)=((nm)\přes (N))=((3\cdot 5)\přes (8))=((15)\přes (8))=1 875,$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\vpravo))\přes (8-1))=((225)\přes (448))\přibližně 0,502,$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\cca 0,7085,$

Kapitola 6. Spojité náhodné veličiny.

§ 1. Hustota a distribuční funkce spojité náhodné veličiny.

Množina hodnot spojité náhodné veličiny je nepočitatelná a obvykle představuje nějaký konečný nebo nekonečný interval.

Volá se náhodná veličina x(w) definovaná v pravděpodobnostním prostoru (W, S, P). kontinuální(absolutně spojitá) W, pokud existuje nezáporná funkce taková, že pro libovolné x lze distribuční funkci Fx(x) reprezentovat jako integrál

Funkce se nazývá funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti.

Definice implikuje vlastnosti distribuční hustoty:

1..gif" width="97" height="51">

3. V bodech spojitosti je hustota rozdělení rovna derivaci distribuční funkce: .

4. Hustota rozdělení určuje zákon rozdělení náhodné veličiny, protože určuje pravděpodobnost, že náhodná veličina spadne do intervalu:

5. Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabude konkrétní hodnoty, je nulová: . Platí tedy následující rovnosti:

Zavolá se graf funkce hustoty rozdělení distribuční křivka a plocha ohraničená distribuční křivkou a osou x je rovna jednotce. Potom geometricky je hodnota distribuční funkce Fx(x) v bodě x0 plocha ohraničená distribuční křivkou a osou x a ležící vlevo od bodu x0.

Úkol 1. Funkce hustoty spojité náhodné veličiny má tvar:

Určete konstantu C, sestrojte distribuční funkci Fx(x) a vypočítejte pravděpodobnost.

Řešení. Konstanta C se zjistí z podmínky Máme:

odkud C=3/8.

Chcete-li sestavit distribuční funkci Fx(x), všimněte si, že interval rozděluje rozsah hodnot argumentu x (číselná osa) na tři části: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

protože hustota x na poloose je nulová. V druhém případě

Konečně, v posledním případě, když x>2,

Protože hustota mizí na poloose. Tak je získána distribuční funkce

Pravděpodobnost Počítejme pomocí vzorce. Tím pádem,

§ 2. Numerické charakteristiky spojité náhodné veličiny

Očekávaná hodnota pro spojitě distribuované náhodné proměnné je určen vzorcem https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

pokud integrál vpravo konverguje absolutně.

Disperze x lze vypočítat pomocí vzorce a také, jako v samostatném případě, podle vzorce https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Všechny vlastnosti matematického očekávání a disperze uvedené v kapitole 5 pro diskrétní náhodné veličiny platí i pro spojité náhodné veličiny.

Problém 2. Pro náhodnou veličinu x z úlohy 1 vypočítejte matematické očekávání a rozptyl .

Řešení.

A to znamená

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Graf rovnoměrného rozložení hustoty viz Obr. .

Obr.6.2. Distribuční funkce a distribuční hustota. jednotný zákon

Distribuční funkce Fx(x) rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny je rovna

Fx(x)=

Očekávání a rozptyl; .

Exponenciální (exponenciální) rozdělení. Spojitá náhodná veličina x nabývající nezáporných hodnot má exponenciální rozdělení s parametrem l>0, pokud se rozdělení hustoty pravděpodobnosti náhodné veličiny rovná

рx(x)=

Rýže. 6.3. Distribuční funkce a hustota distribuce exponenciálního zákona.

Distribuční funkce exponenciálního rozdělení má tvar

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> a pokud je jeho hustota distribuce rovna

Přes označuje množinu všech náhodných veličin distribuovaných podle normálního zákona s parametry parametry a .

Distribuční funkce normálně rozdělené náhodné veličiny je rovna

Rýže. 6.4. Distribuční funkce a normální distribuční hustota

Parametry normálního rozdělení jsou matematické očekávání https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Ve zvláštním případě, kdy https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> normální distribuce volal Standard a třída takových distribucí je označena https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

a distribuční funkce

Takový integrál nelze analyticky vypočítat (nebere se v „kvadraturách“), a proto byly pro funkci sestaveny tabulky. Funkce souvisí s funkcí Laplace představenou v kapitole 4

následujícím vztahem . V případě libovolných hodnot parametrů https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> distribuční funkce náhodné proměnné souvisí s Laplaceovou funkcí pomocí vztahu:

Pravděpodobnost normálně rozdělené náhodné veličiny spadající do intervalu lze tedy vypočítat pomocí vzorce

Nezáporná náhodná proměnná x se nazývá lognormálně rozdělená, pokud její logaritmus h=lnx dodržuje normální zákon. Očekávaná hodnota a rozptyl lognormálně rozdělené náhodné veličiny jsou Mx= a Dx=.

Úkol 3. Nechť je zadána náhodná proměnná https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Řešení. Zde https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Laplaceova distribuce je dána funkcí fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> a špičatost je gx=3.

Obr.6.5. Laplaceova distribuční funkce hustoty.

Náhodná veličina x je distribuována přes Weibullův zákon, pokud má funkci hustoty distribuce rovnou https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Distribuce Weibull řídí dobu bezporuchového provozu mnoha technických zařízení. V úlohách tohoto profilu je důležitou charakteristikou poruchovost (úmrtnost) l(t) studovaných prvků věku t, určená vztahem l(t)=. Pokud a=1, pak se Weibullovo rozdělení změní na exponenciální rozdělení a pokud a=2 - na tzv. rozdělení Rayleigh.

Matematické očekávání Weibullova rozdělení: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, kde Г(а) je Eulerův funkce.

V různých problémech aplikované statistiky se často setkáváme s tzv. „zkrácenými“ distribucemi. Daňové úřady se například zajímají o rozdělení příjmů těch fyzických osob, jejichž roční příjem přesahuje určitou hranici c0 stanovenou daňovými zákony. Ukázalo se, že tyto distribuce se přibližně shodují s distribucí Pareto. Paretova distribuce daný funkcemi

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> náhodné proměnné x a monotónní diferencovatelné funkce ..gif" width="200" height="51">

Zde https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Úkol 4. Náhodná veličina je na segmentu rovnoměrně rozložena. Najděte hustotu náhodné veličiny.

Řešení. Z problémových podmínek vyplývá, že

Dále funkce je monotónní a diferencovatelná funkce na intervalu a má inverzní funkce , jehož derivace se rovná Proto,

§ 5. Dvojice spojitých náhodných veličin

Nechť jsou dány dvě spojité náhodné veličiny x a h. Potom dvojice (x, h) definuje „náhodný“ bod v rovině. Zavolá se dvojice (x, h). náhodný vektor nebo dvourozměrná náhodná veličina.

Společná distribuční funkce náhodné proměnné x a ha funkce se nazývá F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. hustota kloubů rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin x a h se nazývá funkce taková, že .

Význam této definice hustoty společného rozložení je následující. Pravděpodobnost, že „náhodný bod“ (x, h) spadne do oblasti v rovině, se vypočítá jako objem trojrozměrného obrazce – „křivočarého“ válce ohraničeného povrchem https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Nejjednodušší příklad společného rozdělení dvou náhodných proměnných je dvourozměrný rovnoměrné rozložení na scéněA. Nechť je dána omezená množina M s plochou. Je definována jako rozložení dvojice (x, h), definované následující hustotou spoje:

Úkol 5. Nechť je uvnitř trojúhelníku rovnoměrně rozmístěn dvourozměrný náhodný vektor (x, h). Vypočítejte pravděpodobnost nerovnosti x>h.

Řešení. Plocha naznačeného trojúhelníku je rovna (viz obr. č.?). Na základě definice dvourozměrného rovnoměrného rozdělení je sdružená hustota náhodných proměnných x, h rovna

Událost odpovídá množině na rovině, tedy polorovině. Pak pravděpodobnost

V polorovině B je hustota spoje nulová mimo množinu https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. polorovina B je rozdělena na dvě množiny a https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> a , a druhý integrál je roven nula, protože hustota spoje je rovna nule. Proto

Pokud je dána hustota společného rozložení pro pár (x, h), pak se hustoty obou složek x a h nazývají soukromé hustoty a vypočítávají se pomocí vzorců:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Pro spojitě rozložené náhodné veličiny s hustotami рx(х), рh(у) nezávislost znamená to

Úkol 6. V podmínkách předchozí úlohy určete, zda jsou složky náhodného vektoru x a h nezávislé?

Řešení. Vypočítejme dílčí hustoty a . My máme:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Je zřejmé, že v našem případě https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> je hustota spojení veličin x a h a j( x, y) je tedy funkcí dvou argumentů

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Úkol 7. V podmínkách předchozí úlohy vypočítejte .

Řešení. Podle výše uvedeného vzorce máme:

Reprezentující trojúhelník jako

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Hustota součtu dvou spojitých náhodných veličin

Nechť x ah jsou nezávislé náhodné proměnné s hustotami https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Hustota náhodné proměnné x + h se vypočítá podle vzorce konvoluce

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Vypočítejte hustotu součtu.

Řešení. Protože x a h jsou rozděleny podle exponenciálního zákona s parametrem , jsou jejich hustoty stejné

Proto,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Pokud x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">je negativní, a proto . Pokud tedy https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Tak jsme dostali odpověď:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> normálně rozdělené s parametry 0 a 1. Náhodné proměnné x1 a x2 jsou nezávislé a mají normální rozdělení s parametry a1, respektive a2. Dokažte, že x1 + x2 má normální rozdělení. Náhodné proměnné x1, x2, ... xn jsou distribuované a nezávislé a mají stejnou funkci hustoty

Najděte distribuční funkci a hustotu distribuce hodnot:

a) h1 = min (xl, x2, ...xn); b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)

Náhodné veličiny x1, x2, ... xn jsou nezávislé a rovnoměrně rozložené na intervalu [a, b]. Najděte distribuční funkce a funkce hustoty rozdělení veličin

x(1) = min (x1,x2, ...xn) a x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Dokažte, že Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Náhodná veličina je rozdělena podle Cauchyho zákona Najděte: a) koeficient a; b) distribuční funkce; c) pravděpodobnost pádu do intervalu (-1, 1). Ukažte, že matematické očekávání x neexistuje. Náhodná veličina podléhá Laplaceovu zákonu s parametrem l (l>0): Najděte koeficient a; konstruovat grafy hustoty distribuce a distribuční funkce; najít Mx a Dx; najít pravděpodobnosti událostí (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Napište vzorec pro hustotu rozdělení, najděte Mx a Dx.

Výpočtové úlohy.

Náhodný bod A má rovnoměrné rozložení v kruhu o poloměru R. Najděte matematické očekávání a rozptyl vzdálenosti r bodu od středu kružnice. Ukažte, že hodnota r2 je na segmentu rovnoměrně rozložena.

Distribuční hustota náhodné veličiny má tvar:

Vypočítejte konstantu C, distribuční funkci F(x) a pravděpodobnost Distribuční hustota náhodné veličiny má tvar:

Vypočítejte konstantu C, distribuční funkci F(x) a pravděpodobnost Distribuční hustota náhodné veličiny má tvar:
Vypočítejte konstantu C, distribuční funkci F(x), , rozptyl a pravděpodobnost Náhodná veličina má distribuční funkci

Vypočítejte hustotu náhodné veličiny, matematické očekávání, rozptyl a pravděpodobnost Zkontrolujte, že funkce =
může být distribuční funkcí náhodné veličiny. Najděte číselné charakteristiky této veličiny: Mx a Dx. Náhodná veličina je na segmentu rovnoměrně rozložena. Zapište hustotu rozložení. Najděte distribuční funkci. Najděte pravděpodobnost dopadu náhodné veličiny na segment a na segment. Distribuční hustota x je rovna

Najděte konstantu c, hustotu rozdělení h = a pravděpodobnost

P (0,25

Doba bezporuchového provozu počítače je rozdělena podle exponenciálního zákona s parametrem l = 0,05 (poruchy za hodinu), tj. má funkci hustoty

p(x) = .

Řešení určitého problému vyžaduje bezproblémový provoz stroje po dobu 15 minut. Pokud při řešení problému dojde k selhání, chyba je detekována až po dokončení řešení a problém je vyřešen znovu. Najděte: a) pravděpodobnost, že během řešení úlohy nenastane jediná porucha; b) průměrná doba, za kterou bude problém vyřešen.

Tyč 24 cm dlouhá se rozlomí na dvě části; Budeme předpokládat, že bod zlomu je rozmístěn rovnoměrně po celé délce tyče. Jaká je průměrná délka většiny tyče? Kus o délce 12 cm je náhodně rozřezán na dvě části. Bod řezu je rovnoměrně rozložen po celé délce segmentu. Jaká je průměrná délka malé části segmentu? Náhodná veličina je na segmentu rovnoměrně rozložena. Najděte hustotu rozdělení náhodné veličiny a) h1 = 2x + 1; b) h2 = -ln(l-x); c) h3 = .

Ukažte, že pokud x má spojitou distribuční funkci

F(x) = P(x

Najděte funkci hustoty a distribuční funkci součtu dvou nezávislých veličin x a h se zákony o rovnoměrném rozdělení na úsecích resp. Náhodné veličiny x a h jsou nezávislé a rovnoměrně rozložené na segmentech resp. Vypočítejte hustotu součtu x+h. Náhodné veličiny x a h jsou nezávislé a rovnoměrně rozložené na segmentech resp. Vypočítejte hustotu součtu x+h. Náhodné veličiny x a h jsou nezávislé a rovnoměrně rozložené na segmentech resp. Vypočítejte hustotu součtu x+h. Náhodné veličiny jsou nezávislé a mají exponenciální rozdělení s hustotou . Najděte hustotu rozdělení jejich součtu. Najděte rozdělení součtu nezávislých náhodných veličin x a h, kde x má rovnoměrné rozdělení na intervalu a h má exponenciální rozdělení s parametrem l. Najděte P , jestliže x má: a) normální rozdělení s parametry a a s2; b) exponenciální rozdělení s parametrem l; c) rovnoměrné rozložení na segmentu [-1;1]. Společné rozdělení x, h je na druhou mocninu rovnoměrné
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Najděte pravděpodobnost . Jsou x a h nezávislé? Dvojice náhodných proměnných x a h je rovnoměrně rozložena uvnitř trojúhelníku K=. Vypočítejte hustoty x a h. Jsou tyto náhodné veličiny nezávislé? Najděte pravděpodobnost. Náhodné veličiny x a h jsou nezávislé a rovnoměrně rozložené na segmentech a [-1,1]. Najděte pravděpodobnost. Dvourozměrná náhodná veličina (x, h) je rovnoměrně rozložena ve čtverci s vrcholy (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Najděte hodnotu funkce společného rozdělení v bodě (1, -1). Náhodný vektor (x, h) je rovnoměrně rozložen uvnitř kruhu o poloměru 3 se středem v počátku. Napište výraz pro hustotu společného rozdělení. Určete, zda jsou tyto náhodné veličiny závislé. Vypočítejte pravděpodobnost. Dvojice náhodných proměnných x a h je rovnoměrně rozložena uvnitř lichoběžníku s vrcholy v bodech (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Najděte hustotu společného rozdělení pro tuto dvojici náhodných veličin a hustotu složek. Jsou x a h závislé? Náhodný pár (x, h) je rovnoměrně rozmístěn uvnitř půlkruhu. Najděte hustoty x a h, prozkoumejte otázku jejich závislosti. Hustota spojení dvou náhodných veličin x a h je rovna .
Najděte hustoty x, h. Prozkoumejte otázku závislosti x a h. Náhodný pár (x, h) je rovnoměrně rozmístěn na množině. Najděte hustoty x a h, prozkoumejte otázku jejich závislosti. Najděte M(xh). Náhodné veličiny x a h jsou nezávislé a rozdělené podle exponenciálního zákona s parametrem Find

V mnoha problémech souvisejících s normálně rozdělenými náhodnými veličinami je nutné určit pravděpodobnost náhodné veličiny , podléhající normálnímu zákonu s parametry, dopadající na segment od do . K výpočtu této pravděpodobnosti použijeme obecný vzorec

kde je distribuční funkce množství .

Najděte distribuční funkci náhodné veličiny rozdělené podle normálního zákona s parametry. Hustota distribuce hodnoty se rovná:

. (6.3.2)

Odtud najdeme distribuční funkci

. (6.3.3)

Udělejme změnu proměnné v integrálu (6.3.3)

a dáme to do této podoby:

(6.3.4)

Integrál (6.3.4) se nevyjadřuje pomocí elementárních funkcí, ale lze jej vypočítat pomocí speciální funkce vyjadřující určitý integrál výrazu neboli (tzv. pravděpodobnostní integrál), pro který byly sestaveny tabulky. Existuje mnoho druhů takových funkcí, například:

;

atd. Kterou z těchto funkcí použít, je věcí vkusu. Zvolíme jako takovou funkci

. (6.3.5)

Je snadné vidět, že tato funkce není nic jiného než distribuční funkce pro normálně distribuovanou náhodnou veličinu s parametry.

Dohodněme se, že funkci budeme nazývat normální distribuční funkcí. V příloze (tab. 1) jsou tabulky funkčních hodnot.

Vyjádřeme distribuční funkci (6.3.3) veličiny pomocí parametrů a prostřednictvím normální distribuční funkce. Očividně,

. (6.3.6)

Nyní najdeme pravděpodobnost pádu náhodné veličiny na úsek od do . Podle vzorce (6.3.1)

Vyjádřili jsme tedy pravděpodobnost, že se náhodná veličina, rozdělená podle normálního zákona s libovolnými parametry, dostane do oblasti prostřednictvím standardní distribuční funkce odpovídající nejjednoduššímu normálnímu zákonu s parametry 0,1. Všimněte si, že argumenty funkce ve vzorci (6.3.7) mají velmi jednoduchý význam: existuje vzdálenost od pravého konce úseku ke středu rozptylu, vyjádřená ve směrodatných odchylkách; - stejná vzdálenost pro levý konec sekce a tato vzdálenost je považována za kladnou, pokud je konec umístěn napravo od středu rozptylu, a zápornou, pokud je nalevo.

Jako každá distribuční funkce má tato funkce následující vlastnosti:

3. - neklesající funkce.

Navíc ze symetrie normálního rozdělení s parametry vzhledem k počátku vyplývá, že

Pomocí této vlastnosti, přísně vzato, by bylo možné omezit tabulky funkcí pouze na kladné hodnoty argumentů, ale aby se předešlo zbytečné operaci (odečítání od jedné), tabulka dodatku 1 poskytuje hodnoty pro kladné i záporné argumenty.

V praxi se často setkáváme s problémem výpočtu pravděpodobnosti pádu normálně rozdělené náhodné veličiny do oblasti, která je symetrická vzhledem ke středu rozptylu. Uvažujme takový úsek délky (obr. 6.3.1). Vypočítejme pravděpodobnost zásahu do této oblasti pomocí vzorce (6.3.7):

Vezmeme-li v úvahu vlastnost (6.3.8) funkce a dáme-li levé straně vzorce (6.3.9) kompaktnější tvar, dostaneme vzorec pro pravděpodobnost, že náhodná veličina rozdělená podle normálního zákona spadne do plocha symetrická vzhledem ke středu rozptylu:

. (6.3.10)

Pojďme vyřešit následující problém. Vyneseme po sobě jdoucí úseky délky od středu disperze (obr. 6.3.2) a vypočítáme pravděpodobnost, že do každého z nich spadne náhodná veličina. Vzhledem k tomu, že normálová křivka je symetrická, stačí takové segmenty vykreslit pouze jedním směrem.

Pomocí vzorce (6.3.7) zjistíme:

(6.3.11)

Jak je z těchto údajů patrné, pravděpodobnosti zasažení každého z následujících segmentů (pátého, šestého atd.) s přesností 0,001 jsou rovna nule.

Zaokrouhlením pravděpodobnosti vstupu do segmentů na 0,01 (až 1 %) dostaneme tři čísla, která si snadno zapamatujete:

0,34; 0,14; 0,02.

Součet těchto tří hodnot je 0,5. To znamená, že pro normálně rozloženou náhodnou veličinu se všechny disperze (s přesností na zlomky procent) vejdou do oblasti .

To umožňuje při znalosti směrodatné odchylky a matematického očekávání náhodné veličiny zhruba naznačit rozsah jejích prakticky možných hodnot. Tato metoda odhadu rozsahu možných hodnot náhodné proměnné je v matematické statistice známá jako „pravidlo tří sigma“. Pravidlo tří sigma také implikuje přibližnou metodu pro určení směrodatné odchylky náhodné veličiny: vezměte maximální prakticky možnou odchylku od průměru a vydělte ji třemi. Tuto hrubou techniku lze samozřejmě doporučit pouze v případě, že neexistují jiné, přesnější metody pro stanovení.

Příklad 1. Náhodná veličina rozdělená podle normálního zákona představuje chybu v měření určité vzdálenosti. Při měření je povolena systematická chyba ve směru nadhodnocení o 1,2 (m); Směrodatná odchylka chyby měření je 0,8 (m). Najděte pravděpodobnost, že odchylka naměřené hodnoty od skutečné hodnoty nepřekročí 1,6 (m) v absolutní hodnotě.

Řešení. Chyba měření je náhodná veličina podléhající normálnímu zákonu s parametry a . Musíme najít pravděpodobnost, že tato veličina dopadne na úsek od do . Podle vzorce (6.3.7) máme:

Pomocí tabulek funkcí (příloha, tabulka 1) zjistíme:

; ,

Příklad 2. Najděte stejnou pravděpodobnost jako v předchozím příkladu, ale za předpokladu, že neexistuje žádná systematická chyba.

Řešení. Pomocí vzorce (6.3.10), za předpokladu, najdeme:

Příklad 3. Cíl, který vypadá jako pás (dálnice), jehož šířka je 20 m, je vystřelen ve směru kolmém k dálnici. Zaměřování se provádí podél osy dálnice. Směrodatná odchylka ve směru střelby je rovna m. Ve směru střelby je systematická chyba: podstřel je 3 m. Zjistěte pravděpodobnost zasažení dálnice jedním výstřelem.