Při řešení mnoha matematické problémy , zejména těch, které nastanou před 10. ročníkem, je jasně definováno pořadí provedených akcí, které povedou k cíli. Mezi takové problémy patří např. lineární a kvadratické rovnice, lineární a čtvercové nerovnosti, zlomkové rovnice a rovnice, které se redukují na kvadratické rovnice. Princip úspěšného řešení každého ze zmíněných úkolů je následující: je nutné stanovit, do jakého typu řešený problém patří, zapamatovat si nezbytnou posloupnost akcí, které povedou k požadovanému výsledku, tzn. odpovězte a postupujte podle těchto kroků.

Je zřejmé, že úspěch či neúspěch při řešení konkrétního problému závisí především na tom, jak správně je určen typ řešené rovnice, jak správně je reprodukována posloupnost všech fází jejího řešení. Samozřejmě je v tomto případě nutné mít dovednosti pro provádění identických transformací a výpočtů.

Jiná situace nastává s goniometrické rovnice. Není těžké zjistit, že rovnice je trigonometrická. Potíže nastávají při určování sledu akcí, které by vedly ke správné odpovědi.

Podle vzhled rovnic někdy je obtížné určit její typ. A bez znalosti typu rovnice je téměř nemožné vybrat tu správnou z několika desítek trigonometrických vzorců.

K vyřešení goniometrické rovnice musíme zkusit:

1. přiveďte všechny funkce zahrnuté v rovnici do „stejných úhlů“;
2. převést rovnici na "stejné funkce";
3. faktorizovat levou stranu rovnice atp.

Zvážit základní metody řešení goniometrických rovnic.

I. Redukce na nejjednodušší goniometrické rovnice

Schéma řešení

Krok 1. vyjádřit goniometrická funkce přes známé komponenty.

Krok 2 Najděte argument funkce pomocí vzorců:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3 Najděte neznámou proměnnou.

Příklad.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Řešení.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpověď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabilní substituce

Schéma řešení

Krok 1. Uveďte rovnici do algebraického tvaru s ohledem na jednu z goniometrických funkcí.

Krok 2 Výslednou funkci označte proměnnou t (v případě potřeby zaveďte omezení na t).

Krok 3 Výslednou algebraickou rovnici zapište a vyřešte.

Krok 4 Proveďte obrácenou substituci.

Krok 5 Vyřešte nejjednodušší goniometrickou rovnici.

Příklad.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Řešení.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Nechť sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 nebo e = -3/2 nesplňuje podmínku |t| ≤ 1.

4) hřích (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpověď: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda redukce pořadí rovnic

Schéma řešení

Krok 1. Nahraďte tuto rovnici lineární pomocí vzorců pro snížení výkonu:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2 Výslednou rovnici řešte metodami I a II.

Příklad.

cos2x + cos2x = 5/4.

Řešení.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpověď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogenní rovnice

Schéma řešení

Krok 1. Přeneste tuto rovnici do formuláře

a) a sin x + b cos x = 0 ( homogenní rovnice první stupeň)

nebo do výhledu

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogenní rovnice druhého stupně).

Krok 2 Vydělte obě strany rovnice

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

a získejte rovnici pro tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Krok 3Řešte rovnici pomocí známých metod.

Příklad.

5sin 2 x + 3 sin x cos x - 4 = 0.

Řešení.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Nechť tg x = t, pak

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 nebo t = -4, takže

tg x = 1 nebo tg x = -4.

Z první rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhé rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpověď: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda transformace rovnice pomocí goniometrických vzorců

Schéma řešení

Krok 1. Použití všeho druhu trigonometrické vzorce, přiveďte tuto rovnici k rovnici řešené metodami I, II, III, IV.

Krok 2 Výslednou rovnici řešte známými metodami.

Příklad.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Řešení.

1) (hřích x + hřích 3x) + hřích 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 nebo 2cos x + 1 = 0;

Z první rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhé rovnice cos x = -1/2.

Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhé rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

V důsledku toho x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpověď: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Schopnost a dovednosti řešit goniometrické rovnice jsou velmi důležité, jejich rozvoj vyžaduje značné úsilí, jak ze strany studenta, tak ze strany učitele.

S řešením goniometrických rovnic je spojeno mnoho problémů stereometrie, fyziky atd. Proces řešení takových úloh jakoby obsahuje mnoho znalostí a dovedností, které se získávají při studiu prvků trigonometrie.

Goniometrické rovnice zaujímají významné místo v procesu výuky matematiky a rozvoje osobnosti obecně.

Máte nějaké dotazy? Nevíte, jak řešit goniometrické rovnice?
Chcete-li získat pomoc tutora - zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.

Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě, že je nutné - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace - zveřejnit Vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné z důvodu bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiného veřejného zájmu.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.

Koncepce řešení goniometrických rovnic.

• Chcete-li vyřešit goniometrickou rovnici, převeďte ji na jednu nebo více základních goniometrických rovnic. Řešení goniometrické rovnice nakonec vede k řešení čtyř základních goniometrických rovnic.

Řešení základních goniometrických rovnic.

• Existují 4 typy základních goniometrických rovnic:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Řešení základních goniometrických rovnic zahrnuje pohled na různé pozice x na jednotkové kružnici a také použití převodní tabulky (nebo kalkulačky).
• Příklad 1. sin x = 0,866. Pomocí převodní tabulky (nebo kalkulačky) získáte odpověď: x = π/3. Jednotková kružnice dává jinou odpověď: 2π/3. Pamatujte: všechny goniometrické funkce jsou periodické, to znamená, že jejich hodnoty se opakují. Například periodicita sin x a cos x je 2πn a periodicita tg x a ctg x je πn. Takže odpověď je napsána takto:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Příklad 2 cos x = -1/2. Pomocí převodní tabulky (nebo kalkulačky) dostanete odpověď: x = 2π/3. Jednotková kružnice dává jinou odpověď: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Příklad 3. tg (x - π/4) = 0.
• Odpověď: x \u003d π / 4 + πn.
• Příklad 4. ctg 2x = 1,732.
• Odpověď: x \u003d π / 12 + πn.

Transformace používané při řešení goniometrických rovnic.

• K transformaci goniometrických rovnic se používají algebraické transformace (faktorizace, redukce homogenní členové atd.) a trigonometrické identity.
• Příklad 5. Pomocí goniometrických identit se rovnice sin x + sin 2x + sin 3x = 0 převede na rovnici 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Tedy následující základní goniometrické rovnice potřeba vyřešit: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Hledání úhlů ze známých hodnot funkcí.

  • Než se naučíte řešit goniometrické rovnice, musíte se naučit, jak najít úhly ze známých hodnot funkcí. To lze provést pomocí převodní tabulky nebo kalkulačky.
  • Příklad: cos x = 0,732. Kalkulačka dá odpověď x = 42,95 stupňů. Jednotková kružnice poskytne další úhly, jejichž kosinus je také roven 0,732.

• Odložte roztok na jednotkovém kruhu.

  • Řešení goniometrické rovnice můžete umístit na jednotkovou kružnici. Řešením goniometrické rovnice na jednotkové kružnici jsou vrcholy pravidelného mnohoúhelníku.
  • Příklad: Řešení x = π/3 + πn/2 na jednotkové kružnici jsou vrcholy čtverce.
  • Příklad: Řešení x = π/4 + πn/3 na jednotkové kružnici jsou vrcholy pravidelného šestiúhelníku.

• Metody řešení goniometrických rovnic.

  • Pokud daná goniometrická rovnice obsahuje pouze jednu goniometrickou funkci, řešte tuto rovnici jako základní goniometrickou rovnici. Pokud daná rovnice obsahuje dvě nebo více goniometrických funkcí, pak existují 2 metody řešení takové rovnice (v závislosti na možnosti její transformace).
    • Metoda 1
  • Převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kde f(x), g(x), h(x) jsou základní goniometrické rovnice.
  • Příklad 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Řešení. Pomocí vzorce s dvojitým úhlem sin 2x = 2*sin x*cos x nahraďte sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos x = 0 a (sin x + 1) = 0.
  • Příklad 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Řešení: Pomocí goniometrických identit převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2cos x + 1) = 0.
  • Příklad 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Řešení: Pomocí goniometrických identit převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2sin x + 1) = 0.
    • Metoda 2
  • Danou goniometrickou rovnici převeďte na rovnici obsahující pouze jednu goniometrickou funkci. Pak tuto goniometrickou funkci nahraďte nějakou neznámou, například t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t atd.).
  • Příklad 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Řešení. V této rovnici nahraďte (cos^2 x) (1 - sin^2 x) (podle identity). Transformovaná rovnice vypadá takto:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x nahraďte t. Nyní rovnice vypadá takto: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Toto je kvadratická rovnice se dvěma kořeny: t1 = -1 a t2 = 9/5. Druhý kořen t2 nesplňuje rozsah funkce (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Příklad 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Řešení. Nahraďte tg x za t. Přepište původní rovnici takto: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Nyní najděte t a poté najděte x pro t = tg x.

Řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.

Řešení goniometrických rovnic jakékoli úrovně složitosti nakonec vede k řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. A v tomto se opět ukazuje jako nejlepší pomocník trigonometrický kruh.

Připomeňte si definice kosinu a sinusu.

Kosinus úhlu je úsečka (tj. souřadnice podél osy) bodu na jednotkové kružnici odpovídající rotaci o daný úhel.

Sinus úhlu je ordináta (tj. souřadnice podél osy) bodu na jednotkové kružnici odpovídající rotaci o daný úhel.

Pozitivní směr pohybu trigonometrický kruh je uvažován pohyb proti směru hodinových ručiček. Otočení o 0 stupňů (nebo 0 radiánů) odpovídá bodu se souřadnicemi (1; 0)

Tyto definice používáme k řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.

1. Řešte rovnici

Tato rovnice je splněna všemi takovými hodnotami úhlu natočení, které odpovídají bodům kruhu, jejichž pořadnice je rovna .

Označme bod pořadnicí na ose y:

Nakreslete vodorovnou čáru rovnoběžnou s osou x, dokud se neprotne s kružnicí. Dostaneme dva body ležící na kružnici a mající pořadnici. Tyto body odpovídají rotačním úhlům a radiánům:

Pokud po opuštění bodu odpovídajícímu úhlu natočení na radián obejdeme celý kruh, pak dojdeme k bodu odpovídajícímu úhlu natočení na radián a se stejnou pořadnicí. To znamená, že tento úhel natočení také splňuje naši rovnici. Můžeme udělat tolik "nečinných" zatáček, kolik chceme, vracet se do stejného bodu a všechny tyto hodnoty úhlu splní naši rovnici. Počet otáček "naprázdno" je označen písmenem (nebo). Protože tyto otáčky můžeme provádět v kladném i záporném směru, (nebo ) může nabývat libovolných celočíselných hodnot.

To znamená, že první řada řešení původní rovnice má tvar:

, , - sada celých čísel (1)

Podobně má druhá řada řešení tvar:

, Kde , . (2)

Jak jste uhodli, tato řada řešení je založena na bodu kružnice, který odpovídá úhlu natočení o .

Tyto dvě řady řešení lze spojit do jednoho záznamu:

Pokud vezmeme tento záznam (tedy sudý), dostaneme první řadu řešení.

Pokud vezmeme tento záznam (tedy lichý), dostaneme druhou řadu řešení.

2. Nyní vyřešme rovnici

Protože je úsečka bodu jednotkové kružnice získaná otočením o úhel, označíme na ose bod s úsečkou:

Nakreslete svislou čáru rovnoběžnou s osou, dokud se neprotne s kružnicí. Získáme dva body ležící na kruhu a mající úsečku. Tyto body odpovídají rotačním úhlům a radiánům. Připomeňme, že při pohybu ve směru hodinových ručiček získáme záporný úhel rotace:

Zapíšeme dvě řady řešení:

,

,

(Do správného bodu se dostaneme průchodem z hlavního plného kruhu, tzn.

Pojďme spojit tyto dvě série do jednoho příspěvku:

3. Řešte rovnici

Přímka tečen prochází bodem se souřadnicemi (1,0) jednotkové kružnice rovnoběžné s osou OY

Označte na něm bod s pořadnicí rovnou 1 (hledáme tečnu, jejíž úhly je 1):

Spojte tento bod s počátkem přímkou ​​a označte průsečíky přímky s jednotkovou kružnicí. Průsečíky přímky a kružnice odpovídají úhlům natočení na a :

Protože body odpovídající úhlům natočení, které splňují naši rovnici, leží v radiánech od sebe, můžeme řešení zapsat následovně:

4. Řešte rovnici

Přímka kotangens prochází bodem se souřadnicemi jednotkové kružnice rovnoběžné s osou.

Na přímce kotangens označíme bod s úsečkou -1:

Připojte tento bod k počátku přímky a pokračujte v ní, dokud se neprotne s kružnicí. Tato čára bude protínat kružnici v bodech odpovídajících úhlům rotace a radiánům:

Protože tyto body jsou od sebe odděleny vzdáleností rovnou , můžeme obecné řešení této rovnice napsat takto:

V uvedených příkladech, ilustrujících řešení nejjednodušších goniometrických rovnic, byly použity tabulkové hodnoty goniometrických funkcí.

Pokud je však na pravé straně rovnice netabulková hodnota, dosadíme hodnotu v obecném řešení rovnice:

SPECIÁLNÍ ŘEŠENÍ:

Označte body na kružnici, jejíž pořadnice je 0:

Označte na kružnici jeden bod, jehož pořadnice je rovna 1:

Označte jeden bod na kružnici, jehož pořadnice je rovna -1:

Protože je obvyklé uvádět hodnoty nejbližší nule, zapíšeme řešení následovně:

Označte body na kružnici, jejíž úsečka je 0:

5.
Označme jeden bod na kružnici, jehož úsečka je rovna 1:

Označte jeden bod na kružnici, jehož úsečka je rovna -1:

A některé složitější příklady:

1.

Sinus je jedna, pokud je argument

Argument našeho sinu je , takže dostaneme:

Vydělte obě strany rovnice 3:

Odpovědět:

2.

Kosinus je nula, pokud je argument kosinus

Argument našeho kosinus je , takže dostaneme:

Vyjádříme , nejprve se přesuneme doprava s opačným znaménkem:

Zjednodušte pravou stranu:

Vydělte obě části -2:

Všimněte si, že znaménko před členem se nemění, protože k může nabývat libovolných celočíselných hodnot.

Odpovědět:

A na závěr se podívejte na videonávod "Výběr kořenů v goniometrické rovnici pomocí trigonometrické kružnice"

Tím končí rozhovor o řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. Příště si povíme, jak to vyřešit.

Lekce a prezentace na téma: "Řešení nejjednodušších goniometrických rovnic"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, zpětnou vazbu, návrhy! Všechny materiály jsou kontrolovány antivirovým programem.

Manuály a simulátory v internetovém obchodě "Integral" pro stupeň 10 od 1C
Řešíme úlohy v geometrii. Interaktivní úlohy pro stavbu ve vesmíru
Softwarové prostředí "1C: Matematický konstruktor 6.1"

Co budeme studovat:
1. Co jsou goniometrické rovnice?

3. Dvě hlavní metody řešení goniometrických rovnic.
4. Homogenní goniometrické rovnice.
5. Příklady.

Co jsou goniometrické rovnice?

Kluci, už jsme studovali arkussinus, arkussinus, arktangens a arkotangens. Nyní se podíváme na goniometrické rovnice obecně.

Goniometrické rovnice - rovnice, ve kterých je proměnná obsažena pod znaménkem goniometrické funkce.

Zopakujeme formu řešení nejjednodušších goniometrických rovnic:

1) Jestliže |а|≤ 1, pak rovnice cos(x) = a má řešení:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jestliže |а|≤ 1, pak rovnice sin(x) = a má řešení:

3) Pokud |a| > 1, pak rovnice sin(x) = a a cos(x) = a nemají řešení 4) Rovnice tg(x)=a má řešení: x=arctg(a)+ πk

5) Rovnice ctg(x)=a má řešení: x=arcctg(a)+ πk

Pro všechny vzorce je k celé číslo

Nejjednodušší goniometrické rovnice mají tvar: Т(kx+m)=a, T- libovolná goniometrická funkce.

Příklad.

Řešte rovnice: a) sin(3x)= √3/2

Řešení:

A) Označme 3x=t, pak naši rovnici přepíšeme do tvaru:

Řešení této rovnice bude: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Z tabulky hodnot dostaneme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vraťme se k naší proměnné: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Potom x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odpověď: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kde n je celé číslo. (-1)^n - mínus jedna na mocninu n.

Další příklady goniometrických rovnic.

Řešte rovnice: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Řešení:

A) Tentokrát přejdeme rovnou k výpočtu kořenů rovnice:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Potom x/5= πk => x=5πk

Odpověď: x=5πk, kde k je celé číslo.

B) Píšeme ve tvaru: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Víme, že: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odpověď: x=2π/9 + πk/3, kde k je celé číslo.

Řešte rovnice: cos(4x)= √2/2. A najděte všechny kořeny v segmentu.

Řešení:

Rozhodneme se v obecný pohled naše rovnice: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Nyní se podívejme, jaké kořeny padají na náš segment. Pro k Pro k=0, x= π/16 jsme v daném segmentu .
Při k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 se trefili znovu.
Pro k=2 platí x= π/16+ π=17π/16, ale zde jsme se netrefili, což znamená, že nezasáhneme ani pro velké k.

Odpověď: x= π/16, x= 9π/16

Dvě hlavní metody řešení.

Zvažovali jsme nejjednodušší goniometrické rovnice, ale existují i ​​složitější. K jejich řešení se používá metoda zavedení nové proměnné a metoda faktorizace. Podívejme se na příklady.

Pojďme řešit rovnici:

Řešení:
K vyřešení naší rovnice použijeme metodu zavedení nové proměnné, označované: t=tg(x).

V důsledku nahrazení dostaneme: t 2 + 2t -1 = 0

Pojďme najít kořeny kvadratická rovnice: t = -1 a t = 1/3

Pak tg(x)=-1 a tg(x)=1/3, dostali jsme nejjednodušší goniometrickou rovnici, pojďme najít její kořeny.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odpověď: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Příklad řešení rovnice

Řešte rovnice: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Řešení:

Použijme identitu: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naše rovnice zní: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Zaveďme náhradu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Řešením naší kvadratické rovnice jsou kořeny: t=2 a t=-1/2

Pak cos(x)=2 a cos(x)=-1/2.

Protože cosinus nemůže nabývat hodnot větších než jedna, pak cos(x)=2 nemá kořeny.

Pro cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odpověď: x= ±2π/3 + 2πk

Homogenní goniometrické rovnice.

Definice: Rovnice ve tvaru a sin(x)+b cos(x) se nazývá homogenní goniometrické rovnice prvního stupně.

Rovnice formuláře

homogenní goniometrické rovnice druhého stupně.

Abychom vyřešili homogenní goniometrickou rovnici prvního stupně, vydělíme ji cos(x): Není možné dělit kosinusem, pokud se rovná nule, přesvědčme se, že tomu tak není:
Nechť cos(x)=0, pak asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sinus a kosinus se nerovnají nule zároveň, dostali jsme rozpor, takže můžeme klidně dělit nulou.

Řešte rovnici:
Příklad: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Řešení:

Vyjměte společný faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Pak musíme vyřešit dvě rovnice:

cos(x)=0 a cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pro x= π/2 + πk;

Uvažujme rovnici cos(x)+sin(x)=0 Vydělte naši rovnici cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odpověď: x= π/2 + πk a x= -π/4+πk

Jak řešit homogenní goniometrické rovnice druhého stupně?
Kluci, vždy se držte těchto pravidel!

1. Podívejte se, čemu se rovná koeficient a, pokud a \u003d 0, pak naše rovnice bude mít tvar cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), příklad řešení je na předchozí skluzavka

2. Je-li a≠0, pak musíte obě části rovnice vydělit druhou mocninou kosinusu, dostaneme:

Provedeme změnu proměnné t=tg(x), dostaneme rovnici:

Vyřešte příklad č.:3

Řešte rovnici:
Řešení:

Vydělte obě strany rovnice kosinovou druhou mocninou:

Provedeme změnu proměnné t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Najděte kořeny kvadratické rovnice: t=-3 a t=1

Potom: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odpověď: x=-arctg(3) + πk a x= π/4+ πk

Vyřešte příklad č.:4

Řešte rovnici:

Řešení:
Změňme svůj výraz:

Můžeme řešit takové rovnice: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Odpověď: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Vyřešte příklad #:5

Řešte rovnici:

Řešení:
Změňme svůj výraz:

Zavedeme náhradu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Řešením naší kvadratické rovnice budou kořeny: t=-2 a t=1/2

Pak dostaneme: tg(2x)=-2 a tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odpověď: x=-arctg(2)/2 + πk/2 a x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Úkoly pro samostatné řešení.

1) Řešte rovnici

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Řešte rovnice: sin(3x)= √3/2. A najděte všechny kořeny na segmentu [π/2; π].

3) Řešte rovnici: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Řešte rovnici: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Řešte rovnici: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Řešte rovnici: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)