Definitsioon: kui kõik n є N, joondatud x n є N, siis nad ütlevad seda

vormi numbriline järeljada.

- liikmed järjestused

- üldine liige järjestused

Kasutusele võetud definitsioon tähendab, et iga numbrijada peab olema lõpmatu, kuid see ei tähenda, et kõik terminid peavad olema erinevad arvud.

Arvestatakse numbrijada antud, kui on määratud seadus, mille järgi võib jada mis tahes liiget leida.

Jada liikmed või elemendid (1) nummerdatud kõigi naturaalarvudega arvude kasvavas järjekorras. Kui n+1 > n-1, järgneb (eelneb) liige liikmele, olenemata sellest, kas arv ise on arvust suurem, väiksem või isegi võrdne sellega.

Definitsioon: muutuja x, mis võtab teatud jada (1) väärtusi, kutsume me – järgides Ch. Meray’d valik.

IN koolikursus Matemaatika, võite kohata just seda tüüpi muutujaid, näiteks valikuid.

Näiteks jada nagu

(aritmeetiline) või vormis

(geomeetriline progressioon)

Selle või selle progressiooni muutuv liige on valik.

Seoses ringi ümbermõõdu määratlusega võetakse tavaliselt arvesse ringi sisse kirjutatud korrapärase hulknurga ümbermõõt, mis saadakse kuusnurgast külgede arvu järjestikuse kahekordistamisega. Seega võtab see variant väärtuste jada:

Üha suurema täpsusega mainime ka kümnendlähendamist (puudumisel). See võtab väärtuste jada:

ja esitab ka võimaluse.

Jada (1) läbivat muutujat x tähistatakse sageli tähisega, identifitseerides selle selle jada muutuja (“tavalise”) liikmega.

Mõnikord on x n variant antud sellega, mida x n avaldis otseselt näitab; nii et aritmeetika või geomeetriline progressioon meil on vastavalt x n =a+(n-1) d või x n =aq n-1 . Selle avaldise abil saate kohe arvutada variantide mis tahes väärtuse selle antud arvu järgi, ilma eelnevaid väärtusi arvutamata.

Korrapärase sissekirjutatud hulknurga perimeetri puhul on selline üldavaldis võimalik ainult siis, kui sisestame arvu p; üldiselt on korrapärase sissekirjutatud m-nurga ümbermõõt p m antud valemiga

Definitsioon 1: numbrilist jada ( x n ) nimetatakse ülalt (altpoolt) piiratuks, kui selline arv on olemas M (T) et selle jada mis tahes elemendi jaoks on ebavõrdsus, samas kui nimetatakse arvu M (m). üleval (madalam) serv.

Definitsioon 2: Arvjada (x n ) nimetatakse piiritletuks, kui see on piiratud nii ülalt kui alt, s.t. on olemas M, m selline, et mis tahes

Tähistage A = max (|M|, |m|), siis on ilmne, et arvjada on piiratud, kui võrdus |x n |?A kehtib mis tahes korral, viimane ebavõrdsus on arvjada piiritlemise tingimus .

Definitsioon 3: kutsutakse numbrijada lõputult suur jada, kui mis tahes A>0 korral saate määrata arvu N nii, et kõigi n>N puhul on ||>A tõene.

Definitsioon 4: kutsutakse numbrijada (b n ). lõputult väike jada, kui mis tahes eelnevalt määratud e > 0 korral, saate määrata sellise arvu N(e), et mis tahes n > N(e) korral on ebavõrdsus | b n |< е.

Definitsioon 5: kutsutakse numbrijada ( x n ). koonduvad, kui on selline arv a, et jada (x n - a) on lõpmata väike jada. Samal ajal - piiri originaal numbriline järjestused.

Sellest definitsioonist järeldub, et kõik lõpmata väikesed jadad on koonduvad ja nende jadade piir = 0.

Kuna koonduva jada mõiste on seotud lõpmata väikese jada mõistega, saab koonduva jada definitsiooni anda ka muul kujul:

Definitsioon 6: kutsutakse numbrijada ( x n ). koonduvad arvule a, kui iga suvaliselt väikese korral on olemas selline, et kõigi n > N korral on ebavõrdsus

a - järjestuse piirang

Sest on samaväärne ja see tähendab kuulumist intervalli x n є (a - e; a + e) ​​​​või, mis on sama, kuulub e - punkti a naabrusesse. Siis saame anda teise definitsiooni koonduvale arvjadale.

Definitsioon 7: kutsutakse numbrijada ( x n ). koonduvad, kui on olemas selline punkt a, et selle punkti igas piisavalt väikeses e-naabruses on selle jada suvaliselt elemente, alustades mõnest arvust N.

Märkus: kui a on definitsioonide (5) ja (6) järgi jada (x n ) piir, siis x n - a on lõpmata väikese jada element, s.t. x n - a = b n , kus b n on lõpmatu väikese jada element. Seetõttu x p \u003d a + b n ja siis on meil õigus väita, et kui arvjada (x n) läheneb, saab seda alati esitada selle piiri ja lõpmatult väikese jada elemendi summana.

Tõsi on ka vastupidi: kui jada (x n) mis tahes elementi saab esitada konstantse arvu ja lõpmata väikese jada elemendi summana, siis on see konstant ja piiri antud järjestused.

Definitsioon 8. Järjestus Mitte suureneb (mitte väheneb), kui selleks.

Definitsioon 9. Järjestus suureneb (väheneb), kui selleks.

Definitsioon 10. Rangelt kasvavat või rangelt kahanevat jada nimetatakse üksluine järjestus.

On antud Weierstrassi teoreemi tõestus monotoonse jada piiri kohta. Vaadeldakse piiratud ja piiramata jadade juhtumeid. Vaadeldakse näidet, kus on vaja Weierstrassi teoreemi kasutades tõestada jada konvergentsi ja leida selle piir.

Sisu

Vaata ka: Monotoonsete funktsioonide piirid

Mis tahes monotoonselt piiratud jada (x n) mille lõplik piir on võrdne täpse ülemise piiriga, sup ( x n ) mittekahaneva ja täpse alampiiri jaoks, inf ( x n ) mittekasvava järjestuse jaoks.
Igal monotoonsel piiramata jadal on lõpmatu piir, mis on võrdne pluss lõpmatusega mittekahaneva jada puhul ja miinus lõpmatusega mittekasvava jada puhul.

Tõestus

1) mittekahanev piiratud jada.

(1.1) .

Kuna jada on piiratud, on sellel lõplik täpne ülemine piir
.
See tähendab et:

• kõigi n jaoks,
  (1.2) ;
• iga positiivse arvu korral on ε-st sõltuv arv, nii et
  (1.3) .

.
Siin kasutasime ka (1.3). Kombineerides (1.2) leiame:
aadressil .
Sellest ajast
,
või
aadressil .
Teoreemi esimene osa on tõestatud.

2) Nüüd las jada olla mittekasvav piiratud jada:
(2.1) kõigile n.

Kuna jada on piiratud, on sellel lõplik täpne alumine piir
.
See tähendab järgmist:

• kõigi n-i puhul kehtivad järgmised ebavõrdsused:
  (2.2) ;
• iga positiivse arvu korral on ε-st sõltuv arv, mille puhul
  (2.3) .

.
Siin kasutasime ka (2.3). Võttes arvesse punkti (2.2), leiame:
aadressil .
Sellest ajast
,
või
aadressil .
See tähendab, et arv on jada piir.
Teoreemi teine ​​osa on tõestatud.

Nüüd kaaluge piiramata jadasid.
3) Las järjestus olla piiramatu mittekahanev järjestus.

Kuna jada on mittekahanev, kehtivad järgmised ebavõrdsused kõigi n kohta:
(3.1) .

Kuna jada on mittekahanev ja piiramatu, on see paremal pool piiramatu. Siis on mis tahes arvu M jaoks olemas arv, mis sõltub M-st
(3.2) .

Kuna järjestus on mittekahanev, siis meil on:
.
Siin kasutasime ka (3.2).

.
See tähendab, et jada piir on pluss lõpmatus:
.
Teoreemi kolmas osa on tõestatud.

4) Lõpuks mõelge juhtumile, kui piiramatu mittesuurenev järjestus.

Nagu eespool, kuna järjestus ei kasva, siis
(4.1) kõigile n.

Kuna jada on mittekasvav ja piiramatu, on see vasakul pool piiramatu. Siis on mis tahes arvu M jaoks olemas arv, mis sõltub M-st
(4.2) .

Kuna järjestus ei kasva, siis meil on:
.

Niisiis, mis tahes arvu M jaoks on see olemas naturaalarv, olenevalt M , nii et järgmised ebavõrdsused kehtivad kõigi arvude kohta:
.
See tähendab, et jada piir on miinus lõpmatus:
.
Teoreem on tõestatud.

Probleemilahenduse näide

Kõik näited, kasutades Weierstrassi teoreemi, tõestage jada konvergentsi:
, , . . . , , . . .
Seejärel leidke oma piir.

Esitame jada korduvate valemite kujul:
,
.

Tõestame, et antud jada on ülalt piiratud väärtusega
(P1) .
Tõestus viiakse läbi matemaatilise induktsiooni meetodil.
.
Laske . Siis
.
Ebavõrdsus (A1) on tõestatud.

Tõestame, et jada kasvab monotoonselt.
;
(P2) .
Kuna , siis on murdosa nimetaja ja lugeja esimene tegur positiivsed. Kuna jada liikmed on piiratud ebavõrdsusega (P1), on ka teine ​​tegur positiivne. Sellepärast
.
See tähendab, et järjestus suureneb rangelt.

Kuna jada kasvab ja on ülalt piiratud, on see piiratud jada. Seetõttu on sellel Weierstrassi teoreemi kohaselt piir.

Leiame selle piiri. Tähistame seda tähega:
.
Kasutame mida
.
Rakendame seda (P2) jaoks, kasutades konvergentsete jadade piiride aritmeetilisi omadusi:
.
Juur rahuldab tingimust.

Vaata ka: