Teoreem tõestati 1994. aastal. Fermat' teoreem: Andrew Wilesi tõestuse ajalugu. Suure probleemi ajalugu

Niisiis, Suur teoreem Geniaalse prantsuse matemaatiku Pierre Fermat' 1637. aastal sõnastatud Fermat (mida sageli nimetatakse ka Fermat' viimaseks teoreemiks) on oma olemuselt väga lihtne ja arusaadav igale keskharidusega inimesele. See ütleb, et valemil a astmel n + b astmel n \u003d c astmel n pole loomulikke (st mittemurdulisi) lahendeid n> 2 jaoks. Kõik näib olevat lihtne ja selge , kuid parimad matemaatikud ja tavalised amatöörid võitlesid lahenduse otsimise pärast enam kui kolm ja pool sajandit.

Miks ta nii kuulus on? Nüüd uurime...

Kas tõestatud, tõestamata ja veel tõestamata teoreeme on vähe? Asi on selles, et Fermat' viimane teoreem on suurim kontrast sõnastuse lihtsuse ja tõestuse keerukuse vahel. Fermat' viimane teoreem on uskumatult raske ülesanne, kuid selle sõnastusest saavad aru kõik 5. klassiga Keskkool, kuid tõestuseks pole isegi mitte ükski professionaalne matemaatik. Ei füüsikas, keemias, bioloogias ega samas matemaatikas pole ühtegi probleemi, mis oleks nii lihtsalt sõnastatud, kuid jääks nii kauaks lahendamata. 2. Millest see koosneb?

Alustame Pythagorase pükstega Sõnastus on tõesti lihtne – esmapilgul. Nagu teame lapsepõlvest, "Pythagorase püksid on igast küljest võrdsed." Probleem tundub nii lihtne, sest see põhines matemaatilisel väitel, mida kõik teavad – Pythagorase teoreemil: igal juhul täisnurkne kolmnurk hüpotenuusile ehitatud ruut võrdub jalgadele ehitatud ruutude summaga.

5. sajandil eKr. Pythagoras asutas Pythagorase vennaskonna. Pythagoraslased uurisid muu hulgas täisarvu kolmikuid, mis rahuldasid võrrandit x²+y²=z². Nad tõestasid seda Pythagorase kolmikud lõpmatult palju ja sai nende leidmiseks üldvalemid. Nad on ilmselt proovinud otsida kolmekesi või rohkem. kõrged kraadid. Olles veendunud, et see ei tööta, jätsid pütagorlased oma asjatud katsed maha. Vennaskonna liikmed olid rohkem filosoofid ja esteedid kui matemaatikud.

See tähendab, et on lihtne valida arvude komplekt, mis rahuldab ideaalselt võrdsust x² + y² = z²

Alates 3, 4, 5 - põhikooliõpilane mõistab tõepoolest, et 9 + 16 = 25.

Või 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Suurepärane.

No ja nii edasi. Mis siis, kui võtame sarnase võrrandi x³+y³=z³? Äkki on ka selliseid numbreid?

Ja nii edasi (joonis 1).

Noh, selgub, et nad seda ei tee. Siit see trikk algab. Lihtsus on näiline, sest raske on tõestada mitte millegi olemasolu, vaid vastupidi, puudumist. Kui on vaja tõestada, et lahendus on olemas, saab ja tuleb lihtsalt seda lahendust esitada.

Puudumist on keerulisem tõestada: näiteks keegi ütleb: sellisel ja sellisel võrrandil pole lahendeid. Kas panna ta lompi? lihtne: bam – ja siin see on, lahendus! (anna lahendus). Ja ongi kõik, vastane on võidetud. Kuidas puudumist tõendada?

Öelda: "Ma ei leidnud selliseid lahendusi"? Või äkki sa ei otsinud hästi? Ja mis siis, kui need on, ainult väga suured, noh, sellised, et isegi ülivõimsal arvutil pole veel piisavalt jõudu? See ongi raske.

Visuaalsel kujul saab seda näidata järgmiselt: kui võtta kaks sobiva suurusega ruutu ja need ühikruutudeks lahti võtta, siis saadakse sellest ühikruutude hunnikust kolmas ruut (joonis 2):

Ja teeme sama ka kolmanda dimensiooniga (joonis 3) – see ei tööta. Kuubikuid ei ole piisavalt või on neid alles:

Kuid 17. sajandi matemaatik, prantslane Pierre de Fermat, uuris entusiastlikult üldvõrrandit x n+yn=zn . Ja lõpuks jõudis ta järeldusele: n>2 täisarvu puhul lahendusi ei eksisteeri. Fermat' tõestus on pöördumatult kadunud. Käsikirjad põlevad! Alles on jäänud vaid tema märkus Diophantose aritmeetikas: "Leidsin selle väite kohta tõeliselt hämmastava tõestuse, kuid siinsed veerised on selle mahutamiseks liiga kitsad."

Tegelikult nimetatakse ilma tõestuseta teoreemi hüpoteesiks. Kuid Fermatil on maine, et ta pole kunagi eksinud. Isegi kui ta ei jätnud tõendeid ühegi avalduse kohta, kinnitati see hiljem. Lisaks tõestas Fermat oma väitekirja n=4 jaoks. Nii läks prantsuse matemaatiku hüpotees ajalukku kui Fermat' viimane teoreem.

Pärast Fermat'i töötasid sellised suured inimesed nagu Leonhard Euler tõestuse leidmisega (1770. aastal pakkus ta välja lahenduse n = 3 jaoks),

Adrien Legendre ja Johann Dirichlet (need teadlased leidsid 1825. aastal ühiselt tõestuse n = 5 kohta), Gabriel Lame (kes leidis tõestuse n = 7 kohta) ja paljud teised. 1980. aastate keskpaigaks sai selgeks, et akadeemiline ringkond on teel Fermat' viimase teoreemi lõpliku lahenduseni, kuid matemaatikud nägid ja uskusid alles 1993. aastal, et Fermat' viimase teoreemi tõestuse leidmise kolme sajandi saaga oli peaaegu lõppenud.

Lihtne on näidata, et piisab Fermat' teoreemi tõestamisest ainult algarvu n korral: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Liitarvu n korral jääb tõestus kehtima. Algarve on aga lõpmatult palju...

1825. aastal tõestasid naismatemaatikud, Dirichlet ja Legendre Sophie Germaini meetodil iseseisvalt teoreemi n=5 jaoks. 1839. aastal näitas prantslane Gabriel Lame sama meetodiga teoreemi n=7 õigsust. Järk-järgult tõestati teoreem peaaegu kõigi n alla saja kohta.

Lõpuks näitas saksa matemaatik Ernst Kummer hiilgavas uurimuses, et 19. sajandi matemaatika meetoditega on teoreem üldine vaade ei saa tõestada. 1847. aastal Fermat’ teoreemi tõestamise eest asutatud Prantsuse Teaduste Akadeemia auhind jäi määramata.

1907. aastal otsustas jõukas Saksa tööstur Paul Wolfskel õnnetu armastuse tõttu endalt elu võtta. Nagu tõeline sakslane, määras ta enesetapu kuupäeva ja kellaaja: täpselt südaööl. Viimasel päeval tegi ta testamendi ning kirjutas sõpradele ja sugulastele kirju. Äri lõppes enne südaööd. Pean ütlema, et Pauli huvitas matemaatika. Kuna tal polnud midagi teha, läks ta raamatukokku ja hakkas lugema Kummeri kuulsat artiklit. Ühtäkki tundus talle, et Kummer on oma arutluskäigus vea teinud. Wolfskehl, pliiats käes, asus artikli seda osa analüüsima. Möödus kesköö, tuli hommik. Tõestuse lünk sai täidetud. Ja enesetapu põhjus tundus nüüd täiesti naeruväärne. Paul rebis hüvastijätukirjad katki ja kirjutas testamendi ümber.

Varsti suri ta loomulikel põhjustel. Pärijad olid üsna üllatunud: 100 000 marka (praegu üle 1 000 000 naelsterlingi) kanti Göttingeni Kuningliku Teadusliku Seltsi arvele, mis samal aastal kuulutas välja konkursi Wolfskeli auhinnale. 100 000 marka toetus Fermat' teoreemi tõestusele. Teoreemi ümberlükkamise eest ei tohtinud pfennigi maksta ...

Enamus professionaalsed matemaatikud pidas Fermat' viimase teoreemi tõestuse otsimist kaotatuks ja keeldus otsustavalt aega raiskamast sellisele kasutule harjutusele. Kuid amatöörid hullavad au nimel. Mõni nädal pärast teadet tabas Göttingeni ülikooli "tõendite" laviin. Professor E. M. Landau, kelle ülesandeks oli saadetud tõendeid analüüsida, jagas oma õpilastele kaarte:

Kallis(id). . . . . . . .

Tänan teid käsikirja eest, mille saatsite koos Fermat' viimase teoreemi tõestusega. Esimene viga on lehel ... real ... . Selle tõttu kaotab kogu tõestus kehtivuse.
Professor E. M. Landau

1963. aastal tõestas Paul Cohen Gödeli leidudele tuginedes ühe Hilberti kahekümne kolmest probleemist, kontiinuumi hüpoteesi, lahendamatust. Mis siis, kui ka Fermat' viimane teoreem on lahendamatu?! Kuid Suure teoreemi tõelised fanaatikud ei valmistanud sugugi pettumust. Arvutite tulek andis matemaatikutele ootamatult uue tõestusmeetodi. Pärast Teist maailmasõda tõestasid programmeerijate ja matemaatikute rühmad Fermat' viimast teoreemi kõigi väärtuste jaoks n kuni 500-ni, seejärel kuni 1000-ni ja hiljem kuni 10 000-ni.

80ndatel tõstis Samuel Wagstaff piiri 25 000-ni ja 90ndatel väitsid matemaatikud, et Fermat' viimane teoreem kehtib kõigi n väärtuste puhul kuni 4 miljonini. Aga kui lõpmatusest lahutada isegi triljon triljon, siis see väiksemaks ei muutu. Statistika matemaatikuid ei veena. Suure teoreemi tõestamine tähendas selle tõestamist KÕIGI n jaoks, mis läheb lõpmatuseni.

1954. aastal asusid kaks noort Jaapani matemaatikust sõpra moodulvorme õppima. Need vormid genereerivad numbrite seeriaid, millest igaüks on oma seeria. Juhuslikult võrdles Taniyama neid seeriaid elliptiliste võrrandite abil genereeritud seeriatega. Nad sobisid! Kuid moodulvormid on geomeetrilised objektid, elliptilised võrrandid aga algebralised. Nii erinevate objektide vahel ei leitud kunagi seost.

Sellegipoolest esitasid sõbrad pärast hoolikat testimist hüpoteesi: igal elliptilisel võrrandil on kaksik - modulaarne vorm ja vastupidi. Just see hüpotees sai aluseks tervele matemaatikatrendile, kuid kuni Taniyama-Shimura hüpoteesi tõestamiseni võib kogu hoone iga hetk kokku kukkuda.

1984. aastal näitas Gerhard Frey, et Fermat' võrrandi lahenduse, kui see on olemas, saab kaasata mõnda elliptilisesse võrrandisse. Kaks aastat hiljem tõestas professor Ken Ribet, et sellel hüpoteetilisel võrrandil ei saa olla moodulmaailmas vastet. Edaspidi oli Fermat' viimane teoreem lahutamatult seotud Taniyama-Shimura oletusega. Olles tõestanud, et mis tahes elliptiline kõver on modulaarne, järeldame, et Fermat' võrrandi lahendusega elliptilist võrrandit pole olemas ja Fermat' viimane teoreem oleks kohe tõestatud. Kuid kolmkümmend aastat ei suudetud Taniyama-Shimura oletust tõestada ja edulootusi jäi üha vähem.

1963. aastal, kui ta oli vaid kümneaastane, paelus Andrew Wiles juba matemaatikast. Kui ta sai teada Suurest teoreemist, mõistis ta, et ta ei saa sellest kõrvale kalduda. Koolipoisina, üliõpilasena, magistrandina valmistas ta end selleks ülesandeks ette.

Saanud teada Ken Ribeti leidudest, püüdis Wiles Taniyama-Shimura oletust tõestada. Ta otsustas töötada täielikus isolatsioonis ja salajas. "Sain aru, et kõik, mis on seotud Fermat' viimase teoreemiga, pakub liiga suurt huvi ... Liiga palju vaatajaid segab tahtlikult eesmärgi saavutamist." Seitse aastat rasket tööd tasus end ära, Wiles sai lõpuks Taniyama-Shimura oletuse tõestuse.

1993. aastal esitas inglise matemaatik Andrew Wiles maailmale oma tõestuse Fermat’ viimase teoreemi kohta (Wiles luges oma sensatsioonilist aruannet Cambridge’i Sir Isaac Newtoni Instituudi konverentsil.), mille kallal töötamine kestis üle seitsme aasta.

Ajakirjanduses jätkus haira, alustati tõsist tööd tõendite kontrollimisega. Iga tõendit tuleb hoolikalt uurida, enne kui tõendit saab pidada rangeks ja täpseks. Wiles veetis kirgliku suve, oodates arvustajate tagasisidet, lootes, et ta võidab nende heakskiidu. Eksperdid leidsid augusti lõpus ebapiisavalt põhjendatud kohtuotsuse.

Selgus, et see otsus sisaldab jämedat viga, kuigi üldiselt on see tõsi. Wiles ei andnud alla, kutsus appi tuntud arvuteooria spetsialisti Richard Taylori ning juba 1994. aastal avaldasid nad teoreemi parandatud ja täiendatud tõestuse. Kõige hämmastavam on see, et see töö võttis Annals of Mathematics matemaatikaajakirjas enda alla koguni 130 (!) lehekülge. Kuid sellega lugu ei lõppenud ka - viimane punkt pandi alles järgmisel, 1995. aastal, mil avaldati tõestuse lõplik ja matemaatilisest aspektist “ideaalne” versioon.

"...pool minutit pärast piduliku õhtusöögi algust tema sünnipäeva puhul andsin Nadiale täieliku tõendi käsikirja" (Andrew Wales). Kas ma mainisin, et matemaatikud on imelikud inimesed?

Seekord polnud tõestuses kahtlust. Kaht artiklit analüüsiti kõige hoolikamalt ja need avaldati 1995. aasta mais ajakirjas Annals of Mathematics.

Sellest hetkest on palju aega möödas, kuid ühiskonnas valitseb endiselt arvamus Fermat' viimase teoreemi lahendamatuse kohta. Kuid isegi need, kes teavad leitud tõestusest, jätkavad tööd selles suunas - vähesed inimesed on rahul, et Suur teoreem nõuab 130-leheküljelist lahendust!

Seetõttu visatakse nüüd nii paljude matemaatikute (peamiselt amatööride, mitte professionaalsete teadlaste) jõud lihtsat ja ülevaatlikku tõendit otsima, kuid see tee ei vii tõenäoliselt kuhugi ...

Nad edastasid sensatsioonilise sõnumi, et Omsk teadlane Aleksander Iljin leidis lihtsa tõestuse Fermat' viimase teoreemi kohta. Uudis jõudis isegi telekasse. Tõendite professionaalne analüüs näitas aga selles jämeda vea.

Teoreemi sõnastas kuulus 17. sajandi matemaatik Pierre Fermat. See on see võrrand

x n + y n = z n

Ei sisalda lahendusi täisarvudes n> 2. Raamatu veeristele jättis Fermat märkuse, et leidis selle teoreemi kohta üllatavalt elegantse tõestuse. Kuid enam kui kolme sajandi jooksul pole keegi suutnud seda tõendit leida. Alles 1994. aastal tõestas inglise matemaatik Andrew Wiles Suure teoreemi ja tõestamiseks kulus rohkem kui sada lehekülge matemaatilisi arvutusi.

Wilesi tõestuses kasutatakse matemaatilist aparaati, mis töötati välja alles 20. sajandil. Seetõttu jätkavad paljud matemaatika armastajad põhikooli matemaatika abil legendaarse lihtsa tõestuse otsimist. Kadestamisväärse regulaarsusega jõuavad sellised tõendid erinevatesse teadusorganisatsioonidesse. Mõnikord ei tunne nende oopuste autorid isegi matemaatilise kultuuri põhitõdesid ja segavad matemaatilisi arvutusi pikkade filosoofiliste arutlustega. Eksperdid nimetavad selliseid õnnetuid matemaatikuid naljaga pooleks "fermatistideks". On isegi luuletus, mis on pühendatud katsetele tõestada Fermat' viimast teoreemi.

Mille poolest see juhtum kõigist eelnevatest erineb? Asjaolu, et seekord avaldas Fermat' teoreemi elementaarse tõestuse väljapaistev teadlane, akadeemik Iljin, lennundusühenduse Polet endine peadisainer. Meediaaruannete kohaselt kontrollisid tema tõendeid mitmed tuttavad teadlased, eriti akadeemik Leonid Gorynin ja professor Sergei Tšukanov *) ning jõudsid järeldusele, et nad ei leidnud Iljini argumendis vigu. Ja kuigi ei autor ega arvustajad pole arvuteooria spetsialistid, võimaldas see staatus akadeemik Iljinil kokku kutsuda pressikonverentse Omskis ja Moskvas, kus ta esitas oma tõestuse ajakirjanikele.

22. augustil avaldati sensatsiooniline tõestus Novaja Gazetas. Sellest teatati ka televisioonis. Mõned meediad (sama Novaja Gazeta) teatasid tõendist kui vaieldamatust faktist. Teised, näiteks analüütiline agentuur Glavred, rääkisid veidi ettevaatlikult. Moskva matemaatika täiendõppekeskuse matemaatikute poole pöördus aga ainult Raadio Vabadus palvega uurida Fermat' teoreemi avaldatud lahendust. Siin on tsitaat saadud vastusest:

"Iga kümnenda klassi õpilane, kellel on matemaatikas kõrgem kui kolm, reprodutseerib kohe kolmnurga külgede suhte valemi z 2 = x 2 + y 2 — 2xy cos( b). Mõelge väljendile. 60° juures b) ei ole täisarv. Ja see tähendab z on täisarvude puhul paratamatult selline x Ja y».

Kuid sellest, et cos( b) on mittetäisarv, ei järeldu sellest sugugi, et selline on korrutis 2 xy cos( b). Ütleme kell b= arccos(1/4) (mis on ligikaudu võrdne 75 kraadiga, st jääb nõutavasse vahemikku 60 kuni 90 kraadi) cos( b) = 1/4 ja kui vähemalt üks arvudest x Ja y isegi, siis 2 xy cos( b) on täisarv.

Kui see viga avastatakse, muutub see tasemel üsna ilmseks koolikursus matemaatika. Professionaalsete matemaatikute sõnul võib see juhtum olla selge näide sellest, et sensatsioonilised avastused, mis avaldati teaduses kasutusele võetud kohustusliku vastastikuse eksperdihinnangu süsteemist mööda minnes, osutuvad enamasti arusaamatusteks.

*) 26. augusti hommikul saabus toimetusse kiri prof. Sergei Nikolajevitš Tšukanov palvega see saidil avaldada. Toimetus täidab seda palvet.

Lugupeetud projekti "Elements" toimetajad!

Pean vajalikuks kommenteerida teie veebilehel 08.25.2005 dateeritud Aleksander Sergejevi sõnumit “Sensatsioon Fermat’ teoreemi ümber osutus arusaamatuseks”: “Meedia andmetel kontrollisid tema tõestust mitu tuttavat teadlast: professor Sergei Tšukanov, ja nad tegid järelduse, et nad ei leidnud seda Iljini argumendis vigu. Seda arusaamatust süvendab tõsiasi, et esimest korda tutvusin riikliku uudisteagentuuri veebisaidil Anna Melekhova artiklist pärit "tõestusega".

Artiklis on "tõestus" üles ehitatud väitele: "kuna cos a intervallil (11) võtab ainult irratsionaalseid väärtusi", mis näitab selle "tõenduse" autori elementaarsete matemaatiliste teadmiste puudumist. Ma ei ole leidnud Aleksander Iljini eelretsenseeritavates väljaannetes avaldatud Fermat' viimase teoreemi tõestusi.

Lugupidamisega
Sergei Nikolajevitš Tšukanov

Meil on kahju, et prof. Tšukanova võis kannatada ebakorrektsete meediaväljaannete tõttu ja me jagame tema hämmeldust.

Matemaatik Andrew Wiles võidab Abeli preemia Fermat' teoreemi tõestamise eest

Auauhind, mida nimetatakse "Nobeli matemaatika preemiaks", pälvis ta Fermat' viimase teoreemi tõestamise eest 1994. aastal.

Andrew Wiles
© AP Photo/Charles Rex Arbogast, arhiveeritud

OSLO, 15. märts. /Korr. TASS Juri Mihhailenko/. Britt Andrew Wiles kuulutati Norra Teaduste Akadeemia poolt välja antava Abeli preemia laureaadiks. Auauhind, mida sageli nimetatakse "Nobeli matemaatika preemiaks", pälvis ta Fermat' viimase teoreemi tõestamise eest 1994. aastal, "käivitades uue ajastu arvuteoorias".
"Uued ideed, mille Wiles teaduslikku kasutusse tõi, avasid võimaluse edasisteks läbimurdeks," ütles Abeli komitee juht Jon Rognes. "Vähestel matemaatilistel probleemidel on nii rikas teaduslik ajalugu ja nii suurejooneline tõestus nagu Fermat' viimane teoreem."
Sir Andrew teaduslik tee
Rognes täpsustas Norwegian Wire Bureau'le antud kommentaaris ka, et kuulsa teoreemi tõestamine oli vaid üks põhjustest, miks Wiles tänavuse auhinna nominentide hulka valiti.
"Teoreemi lahendamiseks, mida 350 aastat ei suudetud tõestada, kasutas ta kahe kaasaegse valdkonna käsitlusi. matemaatikateadus, uurides eelkõige poolstabiilseid elliptilisi kõveraid, ütles Rognes ajakirjanikele. "Sellist matemaatikat kasutatakse näiteks elliptilises krüptograafias, mis kaitseb plastkaartidega tehtud maksete andmeid."
Järgmisel kuul 63-aastaseks saav teadlane sai hariduse Oxfordi ja Cambridge'i ülikoolides. Tema isa oli anglikaani minister ja üle 20 aasta oli ta Cambridge'i teoloogiaprofessor. Wiles ise töötas USA-s 30 aastat, õpetades Princetoni ülikoolis ning aastatel 2005–2009 juhtis ta sealset matemaatikaosakonda. Praegu töötab ta Oxfordis. Tal on tosin ja pool matemaatikaauhinda ning Suurbritannia kuninganna Elizabeth II autasustas ta teaduslike teenete eest ka rüütliks.
Petlik lihtsus
Prantslase Pierre Fermat’ (1601 - 1665) sõnastatud teoreemi eripära on petlikult lihtsas sõnastuses: võrrand "A astmele n pluss B astmele n võrdub C astmega n" on loomulikud lahendid puuduvad, kui arv n on suurem kui kaks. Esmapilgul viitab see ka üsna lihtsale tõendile, kuid tegelikkuses osutub see hoopis teistsuguseks.
Wiles ise tunnistas paljudes intervjuudes, et teoreem huvitas teda juba 10-aastaselt. Juba siis oli tal lihtne probleemi tingimustest aru saada ja teda kummitas tõsiasi, et kolme sajandi jooksul ei suutnud ükski matemaatik seda lahendada. Lapsepõlve kirg pole aastatega üle läinud. Juba tehtud teaduslik karjäär, Wiles palju aastaid sisse vaba aeg võitles lahendusega, kuid ei reklaaminud seda, kuna tema kolleegide seas peeti entusiasmi Fermat' teoreemi vastu halvaks vormiks. Ta pakkus välja oma tõendi, mis põhines kahe Jaapani teadlase hüpoteesil ja avaldas 1993. aastal, kuid paar kuud hiljem avastati tema arvutustes viga.
Rohkem kui aasta üritas Wiles koos oma õpilastega seda parandada, lõpuks andis ta peaaegu alla, kuid lõpuks leidis ta siiski tõendeid, mis tunnistati õigeks. Samas pole seni leitud väidetavalt olemasolevat lihtsat ja elegantset tõestust, mida Fermat ise mainis.
Kes oli Henrik Abel
Aastatel 2014 ja 2009 pälvisid Abeli preemia Venemaa matemaatikakooli õpilased - vastavalt Yakov Sinai ja Mihhail Gromov. Auhind kannab kuulsa norralase Niels Henrik Abeli nime. Temast sai elliptiliste funktsioonide teooria rajaja ja ta andis olulise panuse seeriateooriasse.
Vaid 26 aastat elanud teadlase 200. sünniaastapäeva auks eraldas Norra valitsus 2002. aastal 200 miljonit krooni (praeguse kursi järgi umbes 23,4 miljonit dollarit) Abeli fondi ja samanimelise auhinna loomiseks. . See on mõeldud mitte ainult teenete tähistamiseks silmapaistvad matemaatikud vaid aitab kaasa ka selle teadusdistsipliini populaarsuse kasvule noorte seas.
Praeguseks on auhinna rahaline komponent 6 miljonit krooni (700 000 dollarit). Ametlik auhinnatseremoonia peaks toimuma 24. mail. aupreemia laureaadile annab üle Norra troonipärija - prints Haakon Magnus.

Andrew Wiles on Princetoni ülikooli matemaatikaprofessor, ta tõestas Fermat' viimast teoreemi, mille üle rohkem kui üks põlvkond teadlasi nägi sadu aastaid vaeva.

30 aastat ühe ülesandega

Wiles sai esmakordselt teada Fermat' viimasest teoreemist, kui ta oli kümneaastane. Ta peatus teel koolist koju raamatukokku ja tundis huvi Eric Temple Belli raamatu "Viimane ülesanne" lugemise vastu. Võib-olla seda teadmata, kuid sellest hetkest peale pühendas ta oma elu tõendite leidmisele, hoolimata asjaolust, et see oli midagi, mis jäi kõrvale parimad meeled planeedil kolm sajandit.

Wiles sai Fermat' viimasest teoreemist teada, kui ta oli kümneaastane.

Ta leidis selle 30 aastat hiljem pärast seda, kui teine teadlane Ken Ribet tõestas seost Jaapani matemaatikute Taniyama ja Shimura teoreemi ning Fermat' viimase teoreemi vahel. Erinevalt skeptilistest kolleegidest sai Wiles kohe aru – see on kõik ja seitse aastat hiljem pani ta tõestusele lõpu.

Tõestusprotsess ise osutus väga dramaatiliseks: Wiles lõpetas oma töö 1993. aastal, kuid kohe avaliku kõne ajal leidis ta oma arutluskäigus olulise "lünga". Arvutustes vea leidmiseks kulus kaks kuud (viga oli peidetud 130 võrrandi lahendamise prinditud lehekülje vahele). Seejärel tehti poolteist aastat kõva tööd vea parandamiseks. Kogu Maa teadusringkond oli kaotusseisus. Wiles lõpetas oma töö 19. septembril 1994 ja esitles seda kohe avalikkusele.

hirmutav hiilgus

Kõige rohkem kartis Andrew kuulsust ja avalikkust. Väga pikka aega keeldus ta televisioonis esinemast. Arvatakse, et John Lynch suutis teda veenda. Ta kinnitas Wilesile, et suudab inspireerida uut põlvkonda matemaatikuid ja näidata avalikkusele matemaatika jõudu.

Andrew Wiles keeldus pikka aega telesaadetest

Veidi hiljem hakkas tänulik ühiskond Andrew’d auhindadega premeerima. Nii sai Wiles 27. juunil 1997 Wolfskeli auhinna, mis oli ligikaudu 50 000 dollarit, palju vähem kui Wolfskel oli kavatsenud sajand varem endale jätta, kuid hüperinflatsioon on seda summat vähendanud.

Kahjuks matemaatiline vaste Nobeli preemia- Fieldsi auhinda Wiles lihtsalt ei saanud, kuna seda antakse alla neljakümneaastastele matemaatikutele. Selle asemel sai ta Fieldsi medali tseremoonial enda auks spetsiaalse hõbeplaadi oluline saavutus. Wiles on võitnud ka maineka Wolf Prize'i, King Faisali auhinna ja palju muid rahvusvahelisi auhindu.

Kolleegide arvamused

Ühe kuulsaima kaasaegse reaktsioon Vene matemaatikud Akadeemik V. I. Arnold on tõestuse suhtes "aktiivselt skeptiline":

See ei ole päris matemaatika – tõeline matemaatika on geomeetriline ja sellel on tugev seos füüsikaga. Veelgi enam, Fermat' probleem ise ei saa oma olemuselt genereerida matemaatika arengut, kuna see on "binaarne", see tähendab, et ülesande sõnastus nõuab vastust ainult küsimusele "jah või ei".

Küll aga matemaatika töö Viimastel aastatel V. I. Arnold ise oli suuresti pühendunud väga lähedaste arvuteoreetiliste teemade variatsioonidele. Võimalik, et Wilesist sai paradoksaalsel kombel selle tegevuse kaudne põhjus.

tõeline unistus

Kui Andrew’lt küsitakse, kuidas tal õnnestus istuda üle 7 aasta nelja seina vahel ja teha ühte ülesannet, räägib Wiles, kuidas ta unistas oma töö ajal, etsaabub aeg, mil matemaatikakursused ülikoolides ja isegi koolides kohandatakse tema teoreemi tõestamise meetodile. Ta tahtis, et Fermat' viimase teoreemi tõestusest ei saaks mitte ainult matemaatikamudel, vaid ka matemaatika õpetamise metoodiline mudel. Wiles kujutas ette, et tema näitel on võimalik uurida kõiki matemaatika ja füüsika põhiharusid.

4 daami, kelleta poleks tõestust

Andrew on abielus ja tal on kolm tütart, kellest kaks sündisid "tõendi esimese versiooni seitsmeaastase protsessi käigus".

Wiles ise usub, et ilma pereta poleks ta hakkama saanud.

Nende aastate jooksul teadis ainult Andrew naine Nada, et ta üksi tormas matemaatika kõige vallutamatuma ja kuulsaima tipu. Just neile, Nadiale, Claire'ile, Kate'ile ja Oliviale, on keskses matemaatikaajakirjas Annals of Mathematics pühendatud Wilesi kuulus lõpuartikkel "Modulaarsed elliptilised kõverad ja Fermat' viimane teoreem", mis avaldab olulisemaid matemaatilisi töid. Wiles ise ei eita aga sugugi, et ilma pereta poleks ta hakkama saanud.

5. august 2013

Maailmas pole palju inimesi, kes poleks kunagi kuulnud Fermat' viimasest teoreemist – võib-olla on see ainus matemaatiline probleem, mis sai nii laialdase populaarsuse ja sai tõeliseks legendiks. Seda mainitakse paljudes raamatutes ja filmides, samas kui peaaegu kõigi mainimiste põhikontekst on teoreemi tõestamise võimatus.

Jah, see teoreem on väga kuulus ja sellest on saanud teatud mõttes amatöör- ja professionaalsete matemaatikute kummardatav “iidol”, kuid vähesed teavad, et selle tõestus leiti ja see juhtus 1995. aastal. Aga kõigepealt asjad kõigepealt.

Niisiis, Fermat' viimane teoreem (mida sageli nimetatakse ka Fermat' viimaseks teoreemiks), mille sõnastas 1637. aastal geniaalne prantsuse matemaatik Pierre Fermat, on olemuselt väga lihtne ja arusaadav igale keskharidusega inimesele. See ütleb, et valemil a astmel n + b astmel n \u003d c astmel n pole loomulikke (st mittemurdulisi) lahendeid n> 2 jaoks. Kõik näib olevat lihtne ja selge , kuid parimad matemaatikud ja tavalised amatöörid võitlesid lahenduse otsimise pärast enam kui kolm ja pool sajandit.

Miks ta nii kuulus on? Nüüd uurime...

Kas tõestatud, tõestamata ja veel tõestamata teoreeme on vähe? Asi on selles, et Fermat' viimane teoreem on suurim kontrast sõnastuse lihtsuse ja tõestuse keerukuse vahel. Fermat' viimane teoreem on uskumatult raske ülesanne, kuid selle sõnastust saavad aru kõik 5-klassilised keskkoolis, kuid tõestus pole kaugeltki mitte iga professionaalne matemaatik. Ei füüsikas, keemias, bioloogias ega samas matemaatikas pole ühtegi probleemi, mis oleks nii lihtsalt sõnastatud, kuid jääks nii kauaks lahendamata. 2. Millest see koosneb?

Alustame Pythagorase pükstega Sõnastus on tõesti lihtne – esmapilgul. Nagu teame lapsepõlvest, "Pythagorase püksid on igast küljest võrdsed." Ülesanne tundub nii lihtne, sest see põhines matemaatilisel väitel, mida kõik teavad – Pythagorase teoreemil: mis tahes täisnurkses kolmnurgas võrdub hüpotenuusile ehitatud ruut jalgadele ehitatud ruutude summaga.

5. sajandil eKr. Pythagoras asutas Pythagorase vennaskonna. Pythagoraslased uurisid muu hulgas täisarvu kolmikuid, mis rahuldasid võrrandit x²+y²=z². Nad tõestasid, et Pythagorase kolmikuid on lõpmatult palju, ja said nende leidmiseks üldvalemid. Tõenäoliselt üritati otsida kolmekordseid ja kõrgemaid kraade. Olles veendunud, et see ei tööta, jätsid pütagorlased oma asjatud katsed maha. Vennaskonna liikmed olid rohkem filosoofid ja esteedid kui matemaatikud.

See tähendab, et on lihtne valida arvude komplekt, mis rahuldab ideaalselt võrdsust x² + y² = z²

Alates 3, 4, 5 - põhikooliõpilane mõistab tõepoolest, et 9 + 16 = 25.

Või 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Suurepärane.

Noh, selgub, et nad seda ei tee. Siit see trikk algab. Lihtsus on näiline, sest raske on tõestada mitte millegi olemasolu, vaid vastupidi, puudumist. Kui on vaja tõestada, et lahendus on olemas, saab ja tuleb lihtsalt seda lahendust esitada.

Puudumist on keerulisem tõestada: näiteks keegi ütleb: sellisel ja sellisel võrrandil pole lahendeid. Kas panna ta lompi? lihtne: bam – ja siin see on, lahendus! (anna lahendus). Ja ongi kõik, vastane on võidetud. Kuidas puudumist tõendada?

Öelda: "Ma ei leidnud selliseid lahendusi"? Või äkki sa ei otsinud hästi? Ja mis siis, kui need on, ainult väga suured, noh, sellised, et isegi ülivõimsal arvutil pole veel piisavalt jõudu? See ongi raske.

Visuaalsel kujul saab seda näidata järgmiselt: kui võtta kaks sobiva suurusega ruutu ja need ühikruutudeks lahti võtta, siis saadakse sellest ühikruutude hunnikust kolmas ruut (joonis 2):

Ja teeme sama ka kolmanda dimensiooniga (joonis 3) – see ei tööta. Kuubikuid ei ole piisavalt või on neid alles:

Kuid 17. sajandi matemaatik, prantslane Pierre de Fermat, uuris entusiastlikult üldvõrrandit x n + y n \u003d z n. Ja lõpuks jõudis ta järeldusele: n>2 täisarvu puhul lahendusi ei eksisteeri. Fermat' tõestus on pöördumatult kadunud. Käsikirjad põlevad! Alles on jäänud vaid tema märkus Diophantose aritmeetikas: "Leidsin selle väite kohta tõeliselt hämmastava tõestuse, kuid siinsed veerised on selle mahutamiseks liiga kitsad."

Tegelikult nimetatakse ilma tõestuseta teoreemi hüpoteesiks. Kuid Fermatil on maine, et ta pole kunagi eksinud. Isegi kui ta ei jätnud tõendeid ühegi avalduse kohta, kinnitati see hiljem. Lisaks tõestas Fermat oma väitekirja n=4 jaoks. Nii läks prantsuse matemaatiku hüpotees ajalukku kui Fermat' viimane teoreem.

Pärast Fermat'i töötasid sellised suured mõistused nagu Leonhard Euler tõendite otsimisel (aastal 1770 pakkus ta välja lahenduse n = 3 jaoks),

Adrien Legendre ja Johann Dirichlet (need teadlased leidsid 1825. aastal ühiselt tõestuse n = 5 kohta), Gabriel Lame (kes leidis tõestuse n = 7 kohta) ja paljud teised. Möödunud sajandi 80. aastate keskpaigaks sai selgeks, et teadusmaailm on teel Fermat' viimase teoreemi lõpliku lahenduseni, kuid alles 1993. aastal nägid matemaatikud ja uskusid, et kolme sajandi saaga tõestuse leidmisest. Fermat' viimane teoreem oli peaaegu läbi.

Lihtne on näidata, et piisab Fermat' teoreemi tõestamisest ainult algarvu n korral: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Liitarvu n korral jääb tõestus kehtima. Algarve on aga lõpmatult palju...

1825. aastal tõestasid naismatemaatikud, Dirichlet ja Legendre Sophie Germaini meetodil iseseisvalt teoreemi n=5 jaoks. 1839. aastal näitas prantslane Gabriel Lame sama meetodiga teoreemi n=7 õigsust. Järk-järgult tõestati teoreem peaaegu kõigi n alla saja kohta.

Lõpuks näitas saksa matemaatik Ernst Kummer hiilgavas uurimuses, et 19. sajandi matemaatika meetodid ei suuda teoreemi üldiselt tõestada. 1847. aastal Fermat’ teoreemi tõestamise eest asutatud Prantsuse Teaduste Akadeemia auhind jäi määramata.

1907. aastal otsustas jõukas Saksa tööstur Paul Wolfskel õnnetu armastuse tõttu endalt elu võtta. Nagu tõeline sakslane, määras ta enesetapu kuupäeva ja kellaaja: täpselt südaööl. Viimasel päeval tegi ta testamendi ning kirjutas sõpradele ja sugulastele kirju. Äri lõppes enne südaööd. Pean ütlema, et Pauli huvitas matemaatika. Kuna tal polnud midagi teha, läks ta raamatukokku ja hakkas lugema Kummeri kuulsat artiklit. Ühtäkki tundus talle, et Kummer on oma arutluskäigus vea teinud. Wolfskehl, pliiats käes, asus artikli seda osa analüüsima. Möödus kesköö, tuli hommik. Tõestuse lünk sai täidetud. Ja enesetapu põhjus tundus nüüd täiesti naeruväärne. Paul rebis hüvastijätukirjad katki ja kirjutas testamendi ümber.

Varsti suri ta loomulikel põhjustel. Pärijad olid üsna üllatunud: 100 000 marka (praegu üle 1 000 000 naelsterlingi) kanti Göttingeni Kuningliku Teadusliku Seltsi arvele, mis samal aastal kuulutas välja konkursi Wolfskeli auhinnale. 100 000 marka toetus Fermat' teoreemi tõestusele. Teoreemi ümberlükkamise eest ei tohtinud pfennigi maksta ...

Enamik professionaalseid matemaatikuid pidas Fermat' viimase teoreemi tõestuse otsimist kaotatuks ja keeldus otsustavalt aega raiskamast sellisele mõttetule harjutusele. Kuid amatöörid hullavad au nimel. Mõni nädal pärast teadet tabas Göttingeni ülikooli "tõendite" laviin. Professor E. M. Landau, kelle ülesandeks oli saadetud tõendeid analüüsida, jagas oma õpilastele kaarte:

Kallis(id). . . . . . . .

Tänan teid käsikirja eest, mille saatsite koos Fermat' viimase teoreemi tõestusega. Esimene viga on lehel ... real ... . Selle tõttu kaotab kogu tõestus kehtivuse.
Professor E. M. Landau

80ndatel tõstis Samuel Wagstaff piiri 25 000-ni ja 90ndatel väitsid matemaatikud, et Fermat' viimane teoreem kehtib kõigi n väärtuste puhul kuni 4 miljonini. Aga kui lõpmatusest lahutada isegi triljon triljon, siis see väiksemaks ei muutu. Statistika matemaatikuid ei veena. Suure teoreemi tõestamine tähendas selle tõestamist KÕIGI n jaoks, mis läheb lõpmatuseni.

Sellegipoolest esitasid sõbrad pärast hoolikat testimist hüpoteesi: igal elliptilisel võrrandil on kaksik - modulaarne vorm ja vastupidi. Just see hüpotees sai aluseks tervele matemaatikatrendile, kuid kuni Taniyama-Shimura hüpoteesi tõestamiseni võib kogu hoone iga hetk kokku kukkuda.

1984. aastal näitas Gerhard Frey, et Fermat' võrrandi lahenduse, kui see on olemas, saab kaasata mõnda elliptilisesse võrrandisse. Kaks aastat hiljem tõestas professor Ken Ribet, et sellel hüpoteetilisel võrrandil ei saa olla moodulmaailmas vastet. Edaspidi oli Fermat' viimane teoreem lahutamatult seotud Taniyama-Shimura hüpoteesiga. Olles tõestanud, et mis tahes elliptiline kõver on modulaarne, järeldame, et Fermat' võrrandi lahendusega elliptilist võrrandit pole olemas ja Fermat' viimane teoreem oleks kohe tõestatud. Kuid kolmkümmend aastat ei suudetud Taniyama-Shimura hüpoteesi tõestada ja edulootusi jäi aina vähem.

1963. aastal, kui ta oli vaid kümneaastane, paelus Andrew Wiles juba matemaatikast. Kui ta sai teada Suurest teoreemist, mõistis ta, et ta ei saa sellest kõrvale kalduda. Koolipoisina, üliõpilasena, magistrandina valmistas ta end selleks ülesandeks ette.

Saanud teada Ken Ribeti leidudest, püüdis Wiles Taniyama-Shimura oletust tõestada. Ta otsustas töötada täielikus isolatsioonis ja salajas. "Sain aru, et kõik, mis on seotud Fermat' viimase teoreemiga, pakub liiga suurt huvi ... Liiga palju vaatajaid segab tahtlikult eesmärgi saavutamist." Seitse aastat rasket tööd tasus end ära, Wiles sai lõpuks Taniyama-Shimura oletuse tõestuse.

1993. aastal esitas inglise matemaatik Andrew Wiles maailmale oma tõestuse Fermat’ viimase teoreemi kohta (Wiles luges oma sensatsioonilist aruannet Cambridge’i Sir Isaac Newtoni Instituudi konverentsil.), mille kallal töötamine kestis üle seitsme aasta.

Selgus, et see otsus sisaldab jämedat viga, kuigi üldiselt on see tõsi. Wiles ei andnud alla, kutsus appi tuntud arvuteooria spetsialisti Richard Taylori ning juba 1994. aastal avaldasid nad teoreemi parandatud ja täiendatud tõestuse. Kõige hämmastavam on see, et see töö võttis Annals of Mathematics matemaatikaajakirjas enda alla koguni 130 (!) lehekülge. Kuid sellega lugu ei lõppenud ka - viimane punkt pandi alles järgmisel, 1995. aastal, mil avaldati tõestuse lõplik ja matemaatilisest aspektist “ideaalne” versioon.

"...pool minutit pärast piduliku õhtusöögi algust tema sünnipäeva puhul andsin Nadiale täieliku tõendi käsikirja" (Andrew Wales). Kas ma mainisin, et matemaatikud on imelikud inimesed?

Seekord polnud tõestuses kahtlust. Kaht artiklit analüüsiti kõige hoolikamalt ja need avaldati 1995. aasta mais ajakirjas Annals of Mathematics.

Sellest hetkest on palju aega möödas, kuid ühiskonnas valitseb endiselt arvamus Fermat' viimase teoreemi lahendamatuse kohta. Kuid isegi need, kes teavad leitud tõestusest, jätkavad tööd selles suunas - vähesed inimesed on rahul, et Suur teoreem nõuab 130-leheküljelist lahendust!

Seetõttu visatakse nüüd nii paljude matemaatikute (peamiselt amatööride, mitte professionaalsete teadlaste) jõud lihtsat ja ülevaatlikku tõendit otsima, kuid see tee ei vii tõenäoliselt kuhugi ...

allikas

Võib-olla olete huvitatud