Vaevalt, et vähemalt aasta meie toimetuse elust möödus, ilma et see oleks saanud kümmekonda Fermat’ teoreemi tõestust. Nüüd, pärast “võitu” selle üle, on vool vaibunud, kuid pole kuivanud.

Muidugi, et mitte täielikult kuivatada, avaldame selle artikli. Ja mitte minu enda kaitseks – öeldakse, et sellepärast me vaikisime, me ise pole veel küpsenud nii keerulisi probleeme arutama.

Aga kui artikkel tundub tõesti keeruline, vaadake kohe selle lõppu. Peate tundma, et kired on ajutiselt vaibunud, teadus pole läbi ja peagi saadetakse toimetusse uued tõestused uutest teoreemidest.

Tundub, et 20. sajand ei olnud asjata. Esiteks lõid inimesed vesinikupommi lõhkamisega hetkeks teise Päikese. Seejärel kõndisid nad Kuul ja tõestasid lõpuks kurikuulsa Fermat' teoreemi. Neist kolmest imest on esimesed kaks kõigi huulil, sest neil on olnud tohutud sotsiaalsed tagajärjed. Vastupidi, kolmas ime näeb välja nagu järjekordne teaduslik mänguasi - samaväärne relatiivsusteooriaga, kvantmehaanika ja Gödeli teoreem aritmeetika ebatäielikkuse kohta. Relatiivsusteooria ja kvantid viisid aga füüsikud selleni vesinikupomm, ja matemaatikute uurimustöö täitis meie maailma arvutitega. Kas see imede jada jätkub ka 21. sajandil? Kas on võimalik jälgida seost järgmiste teadusmänguasjade ja revolutsioonide vahel meie igapäevaelus? Kas see seos võimaldab meil teha edukaid ennustusi? Proovime seda mõista Fermat' teoreemi näitel.

Alustuseks pangem tähele, et ta sündis palju hiljem kui tema loomulik tähtaeg. On ju Fermat’ teoreemi esimene erijuhtum Pythagorase võrrand X 2 + Y 2 = Z 2 , mis seob täisnurkse kolmnurga külgede pikkusi. Olles seda valemit kakskümmend viis sajandit tagasi tõestanud, esitas Pythagoras endale kohe küsimuse: kas looduses on palju kolmnurki, milles nii jalgadel kui hüpotenuusil on täisarv pikkus? Tundub, et egiptlased teadsid ainult ühte sellist kolmnurka – külgedega (3, 4, 5). Kuid teiste valikute leidmine pole keeruline: näiteks (5, 12, 13) , (7, 24, 25) või (8, 15, 17) . Kõigil neil juhtudel on hüpotenuusi pikkus kujul (A 2 + B 2), kus A ja B on erineva paarsusega koalgarvud. Sel juhul on jalgade pikkused võrdsed (A 2 - B 2) ja 2AB.

Neid seoseid märgates tõestas Pythagoras kergesti, et iga arvukolmik (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) on võrrandi X 2 + Y 2 \u003d Z lahendus. 2 ja seab vastastikku lihtsate küljepikkustega ristküliku. Samuti on näha, et seda tüüpi erinevate kolmikute arv on lõpmatu. Kuid kas kõigil Pythagorase võrrandi lahenditel on selline vorm? Pythagoras ei suutnud sellist hüpoteesi tõestada ega ümber lükata ja jättis selle probleemi järelkasvu hooleks, ilma et oleks sellele tähelepanu juhtinud. Kes tahab oma ebaõnnestumisi esile tuua? Näib, et pärast seda jäi terviklike täisnurksete kolmnurkade probleem seitsmeks sajandiks unustusehõlma – kuni Aleksandriasse ilmus uus matemaatikageenius nimega Diophantus.

Me teame temast vähe, kuid on selge, et ta polnud midagi Pythagorase moodi. Ta tundis end kuningana geomeetrias ja isegi mujal – olgu muusikas, astronoomias või poliitikas. Esimene aritmeetiline ühendus harmoonilise harfi külgede pikkuste vahel, esimene universumi mudel kontsentrilistest sfääridest, mis kannavad planeete ja tähti, mille keskel on Maa, ja lõpuks esimene teadlaste vabariik Itaalias Crotone'is. - need on Pythagorase isiklikud saavutused. Mida võiks Diophantos sellistele kordaminekutele vastu panna – suure muuseumi tagasihoidlik uurija, mis pole ammu enam linnarahva uhkus?

Ainult üks asi: parem arusaamine iidne maailm numbrid, mille seadusi Pythagoras, Euclid ja Archimedes vaevu tunnetada jõudsid. Pange tähele, et Diophantosel ei olnud veel positsioonimärgisüsteemi suured numbrid aga ta teadis mida negatiivsed arvud ja arvatavasti veetis mitu tundi mõtiskledes selle üle, miks kahe negatiivse arvu korrutis on positiivne. Täisarvude maailm ilmus Diophantosele esmakordselt kui eriline universum, mis erineb tähtede, segmentide või hulktahukate maailmast. Teadlaste põhitegevus siin maailmas on võrrandite lahendamine, tõeline meister leiab kõik võimalikud lahendused ja tõestab, et teisi lahendusi pole. Seda tegi Diophantus ruutvõrrand Pythagoras ja siis ta mõtles: kas vähemalt ühel lahendil on sarnane kuupvõrrand X 3 + Y 3 = Z 3?

Diophantosel ei õnnestunud sellist lahendust leida, ebaõnnestus ka tema katse tõestada, et lahendusi pole. Seetõttu analüüsis Diophantus oma töö tulemusi raamatus "Aritmeetika" (see oli maailma esimene arvuteooria õpik) üksikasjalikult Pythagorase võrrandit koostades, kuid ei vihjanud sõnagi selle võrrandi võimalike üldistuste kohta. Kuid ta suutis: lõppude lõpuks oli see Diophantus see, kes pakkus esimesena välja täisarvude astmete tähistuse! Kuid paraku: Kreeka teadusele ja pedagoogikale oli “ülesannete raamatu” mõiste võõras ning lahendamata probleemide nimekirjade avaldamist peeti väärituks tegevuseks (ainult Sokrates käitus teisiti). Kui te ei saa probleemi lahendada - jää vait! Diophantus vaikis ja see vaikus venis neliteist sajandit – kuni New Age’i alguseni, mil ärkas taas huvi inimese mõtlemisprotsessi vastu.

Kes ei fantaseerinud 16.-17. sajandi vahetusel millestki! Väsimatu kalkulaator Kepler püüdis ära arvata seost Päikesest planeetide kauguste vahel. Pythagoras ebaõnnestus. Kepleri edu saavutas pärast seda, kui ta õppis polünoome ja muid lihtsaid funktsioone integreerima. Vastupidi, unistaja Descartes ei armastanud pikki arvutusi, kuid just tema esitas kõigepealt kõik tasapinna või ruumi punktid arvukomplektidena. See julge mudel taandab kõik geomeetrilised ülesanded arvude kohta mõneks võrrandite algebraliseks probleemiks ja vastupidi. Näiteks Pythagorase võrrandi täisarvulised lahendid vastavad koonuse pinnal olevatele täisarvupunktidele. Kuupvõrrandile X 3 + Y 3 = Z 3 vastav pind näib keerulisem, selle geomeetrilised omadused ei andnud Pierre Fermat'le midagi arvata ja tal tuli sillutada uusi radu läbi täisarvu metsikute.

1636. aastal sattus äsja kreeka originaalist ladina keelde tõlgitud Diophantose raamat Toulouse'i noore advokaadi kätte, kes jäi kogemata ellu mõnes Bütsantsi arhiivis ja mille üks türgi ajal Rooma põgenikest tõi Itaaliasse. hävitama. Lugedes elegantset arutlust Pythagorase võrrandi üle, mõtles Fermat: kas on võimalik leida sellist lahendust, mis koosneb kolmest ruutarvust? Selliseid numbreid pole vähe: seda on lihtne loendamisega kontrollida. Aga suured otsused? Ilma arvutita ei saaks Fermat arvulist katset läbi viia. Kuid ta märkas, et võrrandi X 4 + Y 4 = Z 4 iga "suure" lahendi jaoks saab koostada väiksema lahendi. Seega ei ole kahe täisarvu neljanda astme summa kunagi võrdne kolmanda arvu sama astmega! Aga kahe kuubi summa?

Inspireerituna 4. astme edust, püüdis Fermat muuta 3. astme "laskumise meetodit" ja see õnnestus. Selgus, et neist üksikutest kuubikutest, milleks lagunes suur täisarvulise servapikkusega kuubik, oli võimatu koostada kahte väikest kuubikut. Triumfeeriv Fermat tegi lühikese märkuse Diophantuse raamatu veeristele ja saatis Pariisile kirja koos üksikasjaliku aruandega oma leiu kohta. Vastust ta aga ei saanud – kuigi tavaliselt reageerisid pealinna matemaatikud oma üksiku kolleegi-rivaali järgmisele edule Toulouse’is kiiresti. Mis siin lahti on?

Väga lihtne: kuni seitsmeteistkümnenda keskpaik sajandil läks aritmeetika moest välja. Itaalia algebraistide 16. sajandi suured edusammud (kui lahendati 3. ja 4. astme polünoomvõrrandid) ei saanud üldise teadusrevolutsiooni alguseks, sest need ei võimaldanud lahendada uusi eredaid probleeme külgnevates teadusvaldkondades. Kui Kepler suudaks puhta aritmeetika abil planeetide orbiite ära arvata... Aga paraku vajas see matemaatilist analüüsi. See tähendab, et seda tuleb arendada – kuni täieliku triumfini matemaatilised meetodid loodusteaduses! Kuid analüüs kasvab välja geomeetriast, samas kui aritmeetika jääb tegevusetute juristide ja teiste arvude ja arvude igavese teaduse austajate mänguväljaks.

Niisiis osutusid Fermat' aritmeetilised edusammud enneaegseks ja jäid hindamata. Teda see ei morjendanud: matemaatiku kuulsuse nimel avalikustati talle esimest korda diferentsiaalarvutuse, analüütilise geomeetria ja tõenäosusteooria faktid. Kõik need Fermat' avastused sisenesid kohe Euroopa uue teaduse kullafondi, samal ajal kui arvuteooria vajus tagaplaanile veel sajaks aastaks – kuni selle taaselustas Euler.

See 18. sajandi "matemaatikute kuningas" oli kõigi analüüsirakenduste meister, kuid ta ei jätnud tähelepanuta ka aritmeetikat, kuna uued analüüsimeetodid tõid arvude kohta ootamatuid fakte. Kes oleks võinud arvata, et pöördruutude lõpmatu summa (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) võrdub π 2 /6? Kes hellenidest oleks osanud ette näha, et sarnased jadad võimaldavad tõestada arvu π irratsionaalsust?

Sellised õnnestumised sundisid Eulerit hoolikalt uuesti läbi lugema Fermat' säilinud käsikirjad (õnneks õnnestus suure prantslase pojal need avaldada). Tõsi, 3. astme “suure teoreemi” tõestust pole säilinud, kuid Euler taastas selle lihtsalt, osutades “laskumise meetodile”, ja üritas seda meetodit kohe üle kanda järgmisele algastmele - 5.

Seda polnud seal! Euleri arutluskäik ilmnes kompleksarvud, mida Fermat suutis mitte märgata (selline on tavaline avastajate hulk). Kuid keeruliste täisarvude faktoriseerimine on delikaatne küsimus. Isegi Euler ei mõistnud seda täielikult ja pani "Fermat' probleemi" kõrvale, kiirustades oma põhitöö - õpiku "Analüüsi alused" lõpetamisega, mis pidi aitama igal andekal noormehel Leibnizi ja Leibniziga võrdsel tasemel püsida. Euler. Õpiku väljaandmine lõpetati Peterburis 1770. aastal. Kuid Euler ei pöördunud tagasi Fermat' teoreemi juurde, olles kindel, et kõik, mida tema käed ja mõistus puudutasid, ei unusta uus teaduslik noorus.

Ja nii juhtuski: prantslane Adrien Legendre sai Euleri järglaseks arvuteoorias. 18. sajandi lõpus lõpetas ta Fermat' teoreemi tõestamise 5. astme jaoks – ja kuigi ta ebaõnnestus suurte algvõimsuste osas, koostas ta veel ühe arvuteooria õpiku. Ületage selle noored lugejad autorit samamoodi nagu loodusfilosoofia matemaatiliste põhimõtete lugejad ületasid suurt Newtonit! Legendre ei vastanud Newtonile ega Eulerile, kuid tema lugejate seas oli kaks geeniust: Carl Gauss ja Evariste Galois.

Nii suurele geeniuste kontsentratsioonile aitas kaasa Prantsuse revolutsioon, mis kuulutas välja mõistuse riikliku kultuse. Pärast seda tundis iga andekas teadlane end Kolumbuse või Aleksander Suurena, kes suudab avastada või vallutada uut maailma. Paljudel õnnestus, seetõttu sai 19. sajandil inimkonna evolutsiooni peamiseks tõukejõuks teaduse ja tehnika areng ning sellest teadsid kõik mõistlikud valitsejad (alates Napoleonist).

Gauss oli oma iseloomult Columbusele lähedane. Kuid ta (nagu Newton) ei osanud kaunite kõnedega valitsejate ega õpilaste kujutlusvõimet köita ja piirdus seetõttu oma ambitsioonidega teaduslike kontseptsioonide sfääriga. Siin sai ta teha, mida tahtis. Näiteks iidset nurga kolmiklõike probleemi ei saa millegipärast kompassi ja sirgjoonega lahendada. Tasapinna punkte kujutavate kompleksarvude abil tõlgib Gauss selle ülesande algebra keelde ja saab üldise teooria teatud geomeetriliste konstruktsioonide teostatavuse kohta. Nii ilmus samal ajal karm tõestus selle kohta, et kompassi ja joonlauaga tavalist 7- või 9-gonilist ei ole võimalik konstrueerida ning selline korrapärase 17-gooni konstrueerimise viis, mida Hellase targemad geomeetrid tegid. ei unista.

Muidugi ei anta sellist edu asjata: tuleb leiutada uusi kontseptsioone, mis peegeldavad asja olemust. Newton võttis kasutusele kolm sellist mõistet: voog (tuletis), voolav (integraal) ja võimsusseeria. Nendest piisas, et luua matemaatiline analüüs ja esimene füüsikalise maailma teaduslik mudel, sealhulgas mehaanika ja astronoomia. Gauss tutvustas ka kolme uut mõistet: vektorruum, väli ja ring. Neist kasvas välja uus algebra, mis allutas kreeka aritmeetikale ja Newtoni loodud arvfunktsioonide teooriale. Jäi Aristotelese loodud loogika algebrale allutada: siis oleks võimalik arvutuste abil tõestada sellest aksioomide komplektist mis tahes teaduslike väidete tuletatavust või mittetuletavust! Näiteks, kas Fermat' teoreem tuleneb aritmeetika aksioomidest või Eukleidese paralleelsirgete postulaat teistest planimeetria aksioomidest?

Gaussil ei olnud aega seda julget unistust ellu viia - kuigi ta jõudis kaugele ja aimas eksootiliste (mittekommutatiivsete) algebrate olemasolu. Vaid hulljulge venelane Nikolai Lobatševski suutis ehitada esimese mitteeukleidilise geomeetria ja esimest mittekommutatiivset algebrat (Group Theory) juhtis prantslane Evariste Galois. Ja alles palju hiljem pärast Gaussi surma – aastal 1872 – aimas noor sakslane Felix Klein, et võimalike geomeetriate mitmekesisust saab viia üks-ühele vastavusse võimalike algebrate mitmekesisusega. Lihtsamalt öeldes määratleb iga geomeetria selle sümmeetriarühm - samas kui üldalgebra uurib kõiki võimalikke rühmi ja nende omadusi.

Kuid selline arusaam geomeetriast ja algebrast tuli palju hiljem ning rünnak Fermat' teoreemile jätkus Gaussi eluajal. Ta ise jättis Fermat’ teoreemi põhimõttest välja: pole kuninga asi lahendada üksikuid probleeme, mis eredasse teaduslikku teooriasse ei mahu! Kuid Gaussi õpilased, kes olid relvastatud tema uue algebra ning Newtoni ja Euleri klassikalise analüüsiga, arutlesid teisiti. Esiteks tõestas Peter Dirichlet Fermat' teoreemi 7. astme kohta, kasutades selle ühtsusastme juurtest genereeritud komplekssete täisarvude ringi. Seejärel laiendas Ernst Kummer Dirichlet’ meetodit KÕIGELE lihtsad kraadid(!) - nii tundus see talle tormakas ja ta võitis. Kuid peagi saabus kainestus: tõestus läheb veatult läbi ainult siis, kui rõnga iga element on unikaalselt algteguriteks lagunenud! Tavaliste täisarvude puhul oli see fakt juba Eukleidesele teada, kuid ainult Gauss andis selle täpse tõestuse. Aga kuidas on tervikarvudega?

“Suurima pahanduse põhimõtte” kohaselt võib ja PEAKS toimuma mitmetähenduslik faktoriseerimine! Niipea, kui Kummer õppis matemaatilise analüüsi meetoditega mitmetähenduslikkuse astet arvutama, avastas ta selle räpase triki 23 kraadi jaoks. Gaussil polnud aega eksootilise kommutatiivse algebra selle versiooniga tutvuda, kuid Gaussi õpilased kasvasid. järjekordse räpase triki asemel uus ilus Ideaaliteooria. Tõsi, Fermat’ probleemi lahendamisel see palju kaasa ei aidanud: selgemaks sai vaid selle loomulik keerukus.

Kogu 19. sajandi jooksul nõudis see iidne iidol oma austajatelt üha rohkem ohvreid uute keeruliste teooriate näol. Pole üllatav, et 20. sajandi alguseks muutusid usklikud heitunud ja mässuliseks, lükates tagasi oma endise iidoli. Sõna "fermatist" on muutunud seas sõimusõnaks professionaalsed matemaatikud. Ja kuigi Fermat' teoreemi täieliku tõestamise eest määrati märkimisväärne auhind, olid selle taotlejad enamasti enesekindlad võhiklikud. Tolle aja tugevaimad matemaatikud – Poincaré ja Hilbert – hoidusid sellest teemast trotslikult kõrvale.

1900. aastal ei lisanud Hilbert Fermat' teoreemi kahekümnenda sajandi matemaatika kahekümne kolme peamise probleemi nimekirja. Tõsi, ta lülitas nende seeriasse Diofantiini võrrandite lahendatavuse üldprobleemi. Vihje oli selge: järgige Gaussi ja Galois' eeskuju, looge üldised teooriad uued matemaatilised objektid! Siis ühel heal (kuid mitte ette ennustataval) päeval kukub vana kild ise välja.

Nii käitus suur romantik Henri Poincaré. Jättes tähelepanuta paljud "igavesed" probleemid, uuris ta kogu oma elu erinevate matemaatika või füüsika objektide SÜMMEERIAID: kas keeruka muutuja funktsioone või taevakehade liikumistrajektoore või algebralisi kõveraid või siledaid kollektoreid (need on kõverate mitmemõõtmelised üldistused read). Tema tegevuse motiiv oli lihtne: kui kahel erineval objektil on sarnane sümmeetria, tähendab see, et nende vahel on sisemine seos, mida me veel ei suuda mõista! Näiteks on igal kahemõõtmelisel geomeetrial (Euclid, Lobachevsky või Riemann) oma sümmeetriarühm, mis toimib tasapinnal. Kuid tasandi punktid on kompleksarvud: nii kandub mis tahes geomeetrilise rühma tegevus üle keeruliste funktsioonide tohutusse maailma. Nendest funktsioonidest on võimalik ja vajalik uurida kõige sümmeetrilisemaid: AUTOMORPHOUS (mis alluvad Eukleidese rühmale) ja MODULAR (mis kuuluvad Lobatševski rühmale)!

Tasapinnas on ka elliptilised kõverad. Neil pole ellipsiga midagi pistmist, vaid need on esitatud võrranditega kujul Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX ja seetõttu lõikuvad need kolmes punktis mis tahes sirgega. See asjaolu võimaldab meil sisse viia elliptilise kõvera punktide vahel korrutamist - muuta see rühmaks. Selle rühma algebraline struktuur peegeldab kõvera geomeetrilisi omadusi; võib-olla määrab selle unikaalselt selle rühm? Seda küsimust tasub uurida, kuna mõne kõvera puhul osutub meile huvipakkuv rühm modulaarseks, see tähendab, et see on seotud Lobatševski geomeetriaga ...

Nii arutles Poincaré, võrgutades Euroopa matemaatilist noorust, kuid 20. sajandi alguses ei toonud need ahvatlused kaasa eredaid teoreeme ega hüpoteese. Hilberti üleskutsega läks teisiti: uurida täisarvuliste koefitsientidega diofantiliste võrrandite üldlahendusi! 1922. aastal ühendas noor ameeriklane Lewis Mordell sellise võrrandi (see on teatud mõõtmega vektorruum) lahenduste hulga selle võrrandiga antud komplekskõvera geomeetrilise perekonnaga. Mordell jõudis järeldusele, et kui võrrandi aste on piisavalt suur (rohkem kui kaks), siis on lahendusruumi mõõde väljendatud kõvera perekonna kaudu ja seetõttu on see mõõde LÕPETUS. Vastupidi – 2 astmeni on Pythagorase võrrandil LÕPMATUMÕÕTMELINE lahenduste perekond!

Muidugi nägi Mordell oma hüpoteesi seost Fermat' teoreemiga. Kui saab teada, et iga astme n > 2 korral on Fermat' võrrandi tervete lahendite ruum lõplikud mõõtmed, aitab see tõestada, et selliseid lahendeid ei olegi! Kuid Mordell ei näinud võimalust oma hüpoteesi tõestada – ja kuigi ta elas pika elu, ei oodanud ta selle hüpoteesi ümberkujundamist Faltingsi teoreemiks. See juhtus 1983. aastal, täiesti teisel ajastul, pärast kollektorite algebralise topoloogia suuri edusamme.

Poincaré lõi selle teaduse justkui juhuslikult: ta tahtis teada, mis on kolmemõõtmelised kollektorid. Ju Riemann mõtles välja kõikide suletud pindade struktuuri ja sai väga lihtsa vastuse! Kui kolme- või mitmemõõtmelisel juhul sellist vastust pole, peate välja pakkuma kollektori algebraliste invariantide süsteemi, mis määrab selle geomeetrilise struktuuri. Parim on, kui sellised invariandid on mõne rühma elemendid - kommutatiivsed või mittekommutatiivsed.

Nii kummaline kui see ka ei tundu, see Poincaré julge plaan õnnestus: see viidi ellu aastatel 1950–1970 tänu paljude geomeetrite ja algebraistide jõupingutustele. Kuni 1950. aastani kuhjusid vaikselt erinevaid kollektorite klassifitseerimise meetodeid ning pärast seda kuupäeva näis kogunenud kriitiline mass inimesi ja ideid ning toimus plahvatus, mis on võrreldav matemaatilise analüüsi leiutamisega 17. sajandil. Kuid analüütiline revolutsioon kestis poolteist sajandit, hõlmates nelja põlvkonna matemaatikute loomingulisi elulugusid – Newtonist ja Leibnizist Fourier’ ja Cauchyni. Vastupidi, kahekümnenda sajandi topoloogiline revolutsioon toimus kahekümne aasta jooksul – tänu sellele suur hulk selle liikmed. Samal ajal on esile kerkinud suur põlvkond enesekindlaid noori matemaatikuid, kes ajaloolisel kodumaal ootamatult tööta jäid.

Seitsmekümnendatel tormasid nad matemaatika külgnevatele aladele ja teoreetiline füüsika. Paljud on loonud oma teaduskoolid kümnetes Euroopa ja Ameerika ülikoolides. Nende keskuste vahel ringleb endiselt palju erinevas vanuses ja rahvusest, erineva võimekuse ja kalduvusega õpilasi ning kõik tahavad mõne avastuse poolest kuulsaks saada. Just selles pandemooniumis sai Mordelli oletus ja Fermat' teoreem lõpuks tõestatud.

Esimene pääsuke aga kasvas oma saatusest teadmata näljastel ja töötutel sõjajärgsetel aastatel Jaapanis. Pääsuke nimi oli Yutaka Taniyama. 1955. aastal sai see kangelane 28-aastaseks ja ta otsustas (koos sõprade Goro Shimura ja Takauji Tamagawaga) taaselustada matemaatikauuringud Jaapanis. Kust alustada? Muidugi väliskolleegidest eraldatusest ülesaamisega! Nii korraldasid kolm noort jaapanlast 1955. aastal Tokyos esimest rahvusvahelist algebra ja arvuteooria konverentsi. Ilmselt oli seda lihtsam teha ameeriklaste ümberõppinud Jaapanis kui Stalini poolt külmutatud Venemaal ...

Aukülaliste hulgas oli kaks kangelast Prantsusmaalt: Andre Weil ja Jean-Pierre Serre. Siin vedas jaapanlastel väga: Weil oli prantsuse algebraistide tunnustatud juht ja Bourbaki rühma liige ning noor Serre mängis topoloogide seas sarnast rolli. Tulistes aruteludes nendega läksid jaapani noortel pead mõranema, ajud sulasid, kuid lõpuks kristalliseerusid sellised ideed ja plaanid, mis vaevalt võinuks sündida teises keskkonnas.

Ühel päeval pöördus Taniyama Weili poole küsimusega elliptiliste kõverate ja modulaarsete funktsioonide kohta. Algul ei saanud prantslane millestki aru: Taniyama polnud inglise keele meister. Siis selgus asja olemus, kuid Taniyama ei jõudnud oma lootustele täpset sõnastust anda. Weil suutis noorele jaapanlasele vastata vaid, et kui tal inspiratsiooni osas väga veab, kasvab tema ebamäärastest hüpoteesidest midagi mõistlikku. Kuid lootus sellele on nõrk!

Ilmselgelt ei märganud Weil Taniyama pilgus taevast tuld. Ja tuli tuli: tundub, et hetkeks liikus alistamatu mõte varalahkunud Poincarést jaapanlastesse! Taniyama hakkas uskuma, et iga elliptiline kõver on genereeritud modulaarsete funktsioonide abil – täpsemalt öeldes on see "ühtlane modulaarse vormiga". Paraku sündis see täpne sõnastus palju hiljem – Taniyama vestlustes oma sõbra Shimuraga. Ja siis tegi Taniyama depressioonihoos enesetapu... Tema hüpotees jäi omanikuta: polnud selge, kuidas seda tõestada või kus seda testida, ja seetõttu ei võtnud keegi seda pikka aega tõsiselt. Esimene vastus tuli alles kolmkümmend aastat hiljem – peaaegu nagu Fermat’ ajastul!

Jää murdus 1983. aastal, kui kahekümne seitsmeaastane sakslane Gerd Faltings teatas kogu maailmale: Mordelli oletus on tõestatud! Matemaatikud olid valvel, kuid Faltings oli tõeline sakslane: tema pikas ja keerulises tõestuses polnud lünki. Lihtsalt aeg on kätte jõudnud, fakte ja mõisteid on kogunenud – ja nüüd on üks andekas algebrast kümne teise algebrasti tulemustele toetudes suutnud lahendada ülesande, mis on meistrit kuuskümmend aastat oodanud. See pole 20. sajandi matemaatikas haruldane. Tasub meenutada sekulaarset kontiinumiprobleemi hulgateoorias, Burnside'i kahte oletust rühmateoorias või Poincaré oletust topoloogias. Lõpuks, arvuteoorias, on saabunud aeg koristada vanad viljad ... Milline tipp on vallutatud matemaatikute reas järgmine? Kas Euleri probleem, Riemanni hüpotees või Fermat' teoreem kukuvad kokku? See on hea!

Ja nüüd, kaks aastat pärast Faltingsi ilmutamist, ilmus Saksamaale veel üks inspireeritud matemaatik. Tema nimi oli Gerhard Frey ja ta väitis midagi kummalist: et Fermat' teoreem on TULETUD Taniyama oletusest! Kahjuks meenutas Frey oma mõtete väljendamise stiil pigem õnnetut Taniyamat kui tema selget kaasmaalast Faltingsit. Saksamaal ei mõistnud keegi Freyst ja ta läks üle mere - kuulsasse Princetoni linna, kus nad harjusid pärast Einsteini selliste külastajatega. Pole ime, et Barry Mazur, mitmekülgne topoloog, üks hiljutise siledate kollektorite ründamise kangelasi, tegi sinna oma pesa. Ja Mazuri kõrval kasvas üles üliõpilane - Ken Ribet, kes oli võrdselt kogenud topoloogia ja algebra keerukuses, kuid ei austanud end siiski mingil moel.

Kui ta esimest korda Frey kõnesid kuulis, otsustas Ribet, et see on jama ja peaaegu ulme (ilmselt reageeris Weil Taniyama paljastustele samamoodi). Kuid Ribet ei suutnud seda "fantaasiat" unustada ja naasis mõnikord vaimselt selle juurde. Kuus kuud hiljem uskus Ribet, et Frey fantaasiates on midagi mõistlikku, ja aasta hiljem otsustas, et suudab Frey kummalise hüpoteesi peaaegu tõestada ka ise. Kuid mõned "augud" jäid ja Ribet otsustas oma ülemusele Mazurile üles tunnistada. Ta kuulas õpilast tähelepanelikult ja vastas rahulikult: “Jah, sa oled kõik teinud! Siin peate rakendama teisendust Ф, siin - kasutage Lemmas B ja K ning kõik saab laitmatu vormi! Nii tegi Ribet hüppe teadmatusest surematusse, kasutades katapulti Frey ja Mazuri kehastuses. Ausalt öeldes tuleks neid kõiki – koos hilise Taniyamaga – pidada Fermat’ viimase teoreemi tõenditeks.

Kuid siin on probleem: nad tuletasid oma väite Taniyama hüpoteesist, mida pole tõestatud! Mis siis, kui ta on truudusetu? Matemaatikud on juba ammu teadnud, et "valest tuleneb kõik", kui Taniyama oletus on vale, siis on Ribeti laitmatu arutluskäik väärtusetu! Meil on vaja kiiresti tõestada (või ümber lükata) Taniyama oletus – muidu tõestab keegi nagu Faltings Fermat’ teoreemi teistmoodi. Temast saab kangelane!

On ebatõenäoline, et me kunagi teada saame, kui palju noori või kogenud algebraiste hüppas Fermat' teoreemile pärast Faltingsi edu või pärast Ribeti võitu 1986. aastal. Kõik nad püüdsid töötada salaja, et ebaõnnestumise korral ei satuks neid "mannekeenide"-fermaatikute kogukonna hulka. Teadaolevalt sai kõigist edukaim – Cambridge’ist pärit Andrew Wiles – võidu maitset tunda alles 1993. aasta alguses. See mitte niivõrd rõõmustas, kuivõrd hirmutas Wilesi: mis siis, kui tema tõestus Taniyama oletuse kohta näitas viga või lünka? Siis hukkus tema teaduslik maine! Tõestus tuleb hoolega kirja panna (aga see tuleb mitukümmend lehekülge!) Ja pooleks kuuks või aastaks edasi lükata, et hiljem külmavereliselt ja pedantselt uuesti läbi lugeda... Aga mis kui keegi avaldab selle aja jooksul oma tõendi? Oh häda...

Ometi tuli Wiles välja kahekordse võimaluse oma tõestuse kiireks testimiseks. Esiteks peate usaldama üht oma usaldusväärset sõpra ja kolleegi ning rääkima talle kogu arutluskäigust. Väljastpoolt on kõik vead paremini näha! Teiseks on vaja läbi lugeda selleteemaline spetsiaalne kursus tarkadele tudengitele ja magistrantidele: need targad inimesed ei jäta märkamata ühtegi õppejõu viga! Lihtsalt ärge öelge neile kursuse lõppeesmärki kuni viimase hetkeni – muidu saab sellest teada kogu maailm! Ja muidugi peate sellist publikut otsima Cambridge'ist eemal - parem pole isegi Inglismaal, vaid Ameerikas ... Mis võiks olla parem kui kauge Princeton?

Wiles läks sinna 1993. aasta kevadel. Tema kannatlik sõber Niklas Katz leidis pärast Wilesi pika ettekande ärakuulamist selles mitmeid lünki, kuid need kõik olid kergesti parandatavad. Kuid Princetoni magistrandid põgenesid peagi Wilesi erikursuselt, tahtmata järgida õppejõu kapriisset mõtet, kes juhatab nad ei tea kuhu. Pärast sellist (mitte eriti sügavat) oma töö ülevaatamist otsustas Wiles, et on aeg paljastada maailmale suur ime.

1993. aasta juunis toimus Cambridge'is veel üks konverents, mis oli pühendatud "Iwasawa teooriale" – populaarsele arvuteooria sektsioonile. Wiles otsustas sellel oma tõestuse Taniyama oletuse kohta rääkida, ilma peamist tulemust kuni lõpuni välja kuulutamata. Aruanne jätkus kaua, kuid edukalt, hakkas tasapisi kogunema ajakirjanikke, kes midagi aimasid. Lõpuks lõi äike: Fermat' teoreem on tõestatud! Üldist rõõmustamist ei varjutanud kahtlused: kõik näib olevat selge ... Kuid kaks kuud hiljem märkas Katz, lugenud Wilesi lõppteksti, selles veel ühte lünka. Teatud üleminek arutluses põhines "Euleri süsteemil" - kuid see, mille Wiles ehitas, polnud selline süsteem!

Wiles kontrollis pudelikaela ja sai aru, et eksis siin. Veelgi hullem: pole selge, kuidas ekslikku arutluskäiku asendada! Sellele järgnesid Wilesi elu mustimad kuud. Varem sünteesis ta olemasolevast materjalist vabalt enneolematu tõendi. Nüüd on ta seotud kitsa ja selge ülesandega – ilma kindluseta, et sellel on lahendus ja et ta suudab selle lähitulevikus leida. Hiljuti ei suutnud Frey samale võitlusele vastu panna – ja nüüd varjas tema nime õnneliku Ribeti nimi, kuigi Frey oletus osutus õigeks. Ja mis saab MINU oletusest ja MINU nimest?

See raske töö kestis täpselt aasta. 1994. aasta septembris oli Wiles valmis tunnistama lüüasaamist ja jätma Taniyama hüpoteesi õnnelikumatele järeltulijatele. Olles sellise otsuse teinud, hakkas ta oma tõestust aeglaselt uuesti lugema – algusest lõpuni, kuulates arutlusrütmi, kogedes taas naudingut edukatest avastustest. Jõudnud "neetud" kohale, ei kuulnud Wiles aga vaimselt valenooti. Kas tema arutluskäik oli ikka laitmatu ja viga tekkis alles mõttepildi SÕNALISES kirjelduses? Kui siin pole “Euleri süsteemi”, siis mis siin peidus on?

Järsku tuli mulle pähe lihtne mõte: "Euleri süsteem" ei tööta seal, kus Iwasawa teooria on rakendatav. Miks mitte seda teooriat otse rakendada – õnneks on see Wilesile endale lähedane ja tuttav? Ja miks ta ei proovinud seda lähenemist algusest peale, vaid sattus kellegi teise nägemusest probleemist? Wiles ei suutnud neid detaile enam meeles pidada – ja see muutus kasutuks. Ta viis Iwasawa teooria raames läbi vajalikud arutluskäigud ja kõik selgus poole tunniga! Nii suleti – aastase hilinemisega – viimane lünk Taniyama oletuse tõestuses. Lõplik tekst anti kuulsaima matemaatikaajakirja arvustajate rühma armule, aasta hiljem teatasid nad, et nüüd pole vigu. Nii suri 1995. aastal Fermat’ viimane oletus kolmesaja kuuekümneaastaselt, muutudes tõestatud teoreemiks, mis paratamatult arvuteooriaõpikutesse satub.

Võttes kokku kolm sajandit kestnud kära Fermat’ teoreemi ümber, tuleb teha kummaline järeldus: seda kangelaseepost ei saanud juhtuda! Tõepoolest, Pythagorase teoreem väljendab lihtsat ja olulist seost visuaalse vahel looduslikud objektid- segmentide pikkus. Kuid seda ei saa öelda Fermat' teoreemi kohta. See näeb pigem välja nagu kultuuriline pealisehitus teaduslikul substraadil – nagu jõuaks Maa põhjapoolusele või lendaks Kuule. Meenutagem, et kirjanikud laulsid neid mõlemaid saavutusi ammu enne nende teostamist – juba iidsetel aegadel, pärast Eukleidese "Elementide" ilmumist, kuid enne Diophantose "Aritmeetika" ilmumist. Nii et siis oli avalik vajadus sedalaadi intellektuaalsete vägitegude järele – vähemalt kujuteldavate! Varem oli hellenitel küllalt Homerose luuletustest, nii nagu sada aastat enne Fermat’d oli prantslastel piisas usukirgedest. Siis aga vaibusid religioossed kired – ja teadus seisis nende kõrval.

Venemaal algasid sellised protsessid sada viiskümmend aastat tagasi, kui Turgenev pani Jevgeni Bazarovi samale tasemele Jevgeni Oneginiga. Tõsi, kirjanik Turgenev mõistis teadlase Bazarovi tegude motiive halvasti ega julgenud neid välja laulda, kuid peagi tegid seda teadlane Ivan Sechenov ja valgustatud ajakirjanik Jules Verne. Spontaanne teaduslik ja tehnoloogiline revolutsioon vajab kultuurilist kesta, et tungida enamiku inimeste meeltesse, ja siin tuleb kõigepealt ulme ja seejärel populaarteaduslik kirjandus (sh ajakiri "Teadmised on jõud").

Samas konkreetne teaduslik teema mitte üldse oluline laiemale avalikkusele ja mitte eriti oluline isegi kangelasesinejatele. Niisiis, olles kuulnud Peary ja Cooki põhjapooluse saavutamisest, muutis Amundsen koheselt oma juba ettevalmistatud ekspeditsiooni eesmärki - ja jõudis peagi lõunapoolusele, edestades Scotti ühe kuu võrra. Hiljem sundis Juri Gagarini edukas ümbermaailmareis president Kennedyt muutma Ameerika kosmoseprogrammi endise eesmärgi kallima, kuid palju muljetavaldavama eesmärgi vastu: meeste maandumine Kuule.

Juba varem vastas läbinägelik Hilbert õpilaste naiivsele küsimusele: “Millise teadusliku probleemi lahendus oleks praegu kõige kasulikum”? - vastas naljaga: “Püüa kärbes peale tagakülg Kuu! Hämmeldunud küsimusele: "Miks see vajalik on?" - millele järgneb selge vastus: “SEDA pole kellelegi vaja! Aga mõelge nendele teaduslikud meetodid Ja tehnilisi vahendeid, mida me peame sellise probleemi lahendamiseks välja töötama – ja kui palju muid ilusaid probleeme me selle tee jooksul lahendame!

Täpselt nii juhtus Fermat' teoreemiga. Euler oleks võinud selle kahe silma vahele jätta.

Sel juhul saaks matemaatikute iidoliks mõni muu probleem – võib-olla ka arvuteooriast. Näiteks Eratosthenese probleem: kas on olemas lõplik või lõpmatu kaksik-algarvude hulk (näiteks 11 ja 13, 17 ja 19 jne)? Või Euleri probleem: kas iga paarisarv on kahe algarvu summa? Või: kas arvude π ja e vahel on algebraline seos? Need kolm ülesannet pole veel lahendatud, kuigi 20. sajandil on matemaatikud jõudnud nende olemuse mõistmisele lähedale. Kuid see sajand on tekitanud palju uut, mitte vähem huvitavaid ülesandeid, eriti matemaatika ja füüsika ja teiste loodusteaduste harude ristumiskohtades.

Veel 1900. aastal tõi Hilbert välja ühe neist: luua matemaatilise füüsika aksioomide terviklik süsteem! Sada aastat hiljem pole see probleem kaugeltki lahendatud, kasvõi juba seetõttu, et füüsika matemaatiliste vahendite arsenal kasvab pidevalt ja kõigil neil pole ranget põhjendust. Kuid pärast 1970. aastat jagunes teoreetiline füüsika kaheks haruks. Üks (klassikaline) on Newtoni ajast peale modelleerinud ja ennustanud STABIILseid protsesse, teine ​​(vastsündinu) püüab formaliseerida EBABABELTE protsesside koosmõju ja viise nende juhtimiseks. On selge, et need kaks füüsikaharu tuleb eraldi aksiomatiseerida.

Esimesega neist hakatakse ilmselt tegelema kahekümne-viiekümne aasta pärast ...

Ja mis jääb puudu teisest füüsikaharust – sellest, mis juhib kõikvõimalikke evolutsioone (sh veidrad fraktaalid ja kummalised atraktorid, biotsenooside ökoloogia ja Gumiljovi kirglikkuse teooria)? Seda me tõenäoliselt niipea ei mõista. Kuid teadlaste kummardamine uue iidoli ees on muutunud juba massiliseks nähtuseks. Tõenäoliselt rullub siin lahti eepos, mis on võrreldav Fermat' teoreemi kolme sajandi elulooga. Nii ristmikel erinevad teadusedüha rohkem sünnib uusi ebajumalaid - sarnaseid religioossetele, kuid keerulisemaks ja dünaamilisemaks ...

Ilmselt ei saa inimene jääda inimeseks ilma vanu ebajumalaid aeg-ajalt kukutamata ja uusi loomata - valus ja rõõmuga! Pierre Fermat’l vedas, et ta sattus saatuslikul hetkel uue iidoli sünni kuumale punktile – ja tal õnnestus vastsündinule oma isiksuse jälg jätta. Sellist saatust võib kadestada ja seda matkida pole patt.

Sergei Smirnov
"Teadmine on jõud"

FERMATI SUURE TEOREEMI AJALUGU
Suur afäär

Kord toostide valmistamise teemalise meililisti uusaastanumbris mainisin juhuslikult, et 20. sajandi lõpus oli üks suurejooneline sündmus, mida paljud ei märganud – nn Fermat’ viimane teoreem sai lõpuks tõestuse. Sel korral leidsin saadud kirjade hulgast kaks vastust tüdrukutelt (üks neist on minu mäletamist mööda üheksanda klassi õpilane Vika Zelenogradist), keda see tõsiasi üllatas.

Ja ma olin üllatunud, kui elavalt tüdrukud on tänapäeva matemaatika probleemidest huvitatud. Seetõttu arvan, et mitte ainult tüdrukud, vaid ka igas vanuses poisid - keskkooliõpilastest pensionärideni on huvitatud ka Suure teoreemi ajaloo õppimisest.

Fermat' teoreemi tõestamine on suurepärane sündmus. Ja sellest ajast peale sõnaga "tore" pole kombeks nalja heita, siis mulle tundub, et iga endast lugupidav kõneleja (ja me kõik, kui ütleme kõnelejad) on lihtsalt kohustatud teadma teoreemi ajalugu.

Kui juhtus nii, et teile ei meeldi matemaatika nii palju kui mulle, siis vaadake mõnda süvenemist põgusa pilguga üksikasjalikult. Mõistes, et mitte kõik meie meililisti lugejad ei ole huvitatud matemaatika metsikus ekslemisest, püüdsin mitte anda valemeid (välja arvatud Fermat' teoreemi võrrand ja paar hüpoteesi) ning lihtsustada mõne konkreetse probleemi käsitlemist. nii palju kui võimalik.

Kuidas Fermat putru keetis

Prantsuse jurist ja 17. sajandi osalise tööajaga suur matemaatik Pierre Fermat (1601-1665) esitas ühe kurioosse väite arvuteooria valdkonnast, mida hiljem hakati nimetama Fermat' suureks (või suureks) teoreemiks. See on üks kuulsamaid ja fenomenaalsemaid matemaatilisi teoreeme. Tõenäoliselt poleks elevus selle ümber olnud nii tugev, kui Aleksandria Diophantose raamatus (3. sajand pKr) "Aritmeetika", mida Fermat sageli uuris, tehes märkmeid selle laiadele servadele ja mille tema poeg Samuel lahkelt järglastele säilitas. , ei leitud ligikaudu järgmist suure matemaatiku kirjet:

"Mul on väga jahmatav tõend, kuid see on liiga suur, et mahutada marginaalidesse."

Just see sissekanne tekitas teoreemi ümber hilisema suurejoonelise segaduse.

Nii ütles kuulus teadlane, et on oma teoreemi tõestanud. Esitagem endale küsimus: kas ta tõesti tõestas seda või valetas rumalalt? Või on selle marginaalse kirje ilmumist selgitavaid versioone, mis ei võimaldanud paljudel järgmiste põlvkondade matemaatikutel rahulikult magada?

Suure teoreemi ajalugu on sama põnev kui seiklus läbi aja. Fermat väitis 1636. aastal, et vormi võrrand x n + y n =z n ei sisalda lahendusi täisarvudes eksponendiga n>2. See on tegelikult Fermat' viimane teoreem. Selle näiliselt lihtsa matemaatilise valemiga on universum varjanud uskumatu keerukuse. Šoti päritolu Ameerika matemaatik Eric Temple Bell pakkus oma raamatus The Final Problem (1961) isegi, et võib-olla lakkab inimkond eksisteerimast enne, kui suudab tõestada Fermat' viimast teoreemi.

Mõnevõrra kummaline on, et teoreem jäi mingil põhjusel oma sünniga hiljaks, kuna olukord oli juba ammu käes, sest selle erijuhtum n = 2 jaoks - teine ​​​​kuulus matemaatiline valem - Pythagorase teoreem, tekkis kakskümmend kaks sajandit varem. Erinevalt Fermat' teoreemist on Pythagorase teoreemil lõpmatu arv täisarvulisi lahendeid, näiteks sellised Pythagorase kolmnurgad: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Suure teoreemi sündroom

Kes lihtsalt ei püüdnud Fermat' teoreemi tõestada. Iga noor üliõpilane pidas oma kohuseks rakendada suurt teoreemi, kuid keegi ei suutnud seda tõestada. Algul see sada aastat ei töötanud. Siis veel sada. Ja edasi. Matemaatikute seas hakkas arenema massisündroom: "Kuidas on? Fermat tõestas, aga mis siis, kui ma ei saa, või mis?" - ja mõned neist läksid selle põhjal hulluks täielik mõistus see sõna.

Ükskõik kui palju teoreemi kontrolliti, osutus see alati tõeks. Tundsin üht energilist programmeerijat, kes oli kinnisideeks Suure teoreemi ümberlükkamise ideest, püüdes kiire arvuti (tol ajal sagedamini nimetada arvutiks) abil täisarvude itereerimise teel leida vähemalt ühte selle lahendustest (vastunäide). Ta uskus oma ettevõtmise edusse ja talle meeldis öelda: "Veel natuke - ja tunneb lahti!" Ma arvan, et meie planeedi eri paigus oli selliseid julgeid otsijaid märkimisväärselt palju. Mingit lahendust ta muidugi ei leidnud. Ja ükski arvuti, isegi vapustava kiirusega, ei suuda teoreemi kunagi kontrollida, sest kõik selle võrrandi muutujad (kaasa arvatud eksponendid) võivad suureneda lõpmatuseni.

Teoreem nõuab tõestust

Matemaatikud teavad, et kui teoreemi ei tõestata, võib sellest järeldada kõike (nii tõest kui ka valest), nagu juhtus ka mõne teise hüpoteesiga. Näiteks ühes oma kirjas soovitas Pierre Fermat, et arvud kujul 2 n +1 (nn Fermat' numbrid) on tingimata algarvud (st neil ei ole täisarvu jagajaid ja jaguvad ainult ilma jäägita iseenesest ja ühe võrra), kui n on kahe aste (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 jne). Fermat’ hüpotees kehtis üle saja aasta – kuni Leonhard Euler 1732. aastal näitas, et

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

Siis, peaaegu 150 aastat hiljem (1880), arvestas Fortune Landry järgmise Fermati numbriga:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

Kuidas nad võisid leida nende suurte arvude jagajaid ilma arvutite abita – jumal ainult teab. Euler esitas omakorda hüpoteesi, et võrrandil x 4 + y 4 + z 4 =u 4 pole lahendusi täisarvudes. Umbes 250 aastat hiljem, 1988. aastal õnnestus aga Nahum Elkisel Harvardist avastada (juba abiga arvutiprogramm), Mida

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Seetõttu nõudis Fermat' viimane teoreem tõestust, vastasel juhul oli see vaid hüpotees ja võis vabalt olla, et kuskil lõpututes numbriväljades läks Suure teoreemi võrrandi lahendus kaotsi.

18. sajandi virtuoosseim ja viljakaim matemaatik Leonhard Euler, kelle arhivaalide arhiivi inimkond on korrastanud peaaegu sajandi, tõestas Fermat' teoreemi astmete 3 ja 4 kohta (õigemini kordas ta Pierre Fermat' enda kadunud tõestusi) ; tema järgija arvuteoorias Legendre (ja iseseisvalt Dirichlet) - 5. kraadile; Lame – kraadile 7. Aga sisse üldine vaade teoreem jäi tõestamata.

1. märtsil 1847 toimus Pariisi Teaduste Akadeemia koosolekul kaks silmapaistev matemaatik- Gabriel Lame ja Augustin Cauchy - ütlesid, et on jõudnud Suure teoreemi tõestamise lõpuni ja pidasid võidujooksu, avaldades oma tõestused osade kaupa. Nendevaheline duell aga katkes, sest nende tõestustest avastati sama viga, millele juhtis tähelepanu saksa matemaatik Ernst Kummer.

20. sajandi alguses (1908) pärandas jõukas Saksa ettevõtja, filantroop ja teadlane Paul Wolfskel sada tuhat marka igaühele, kes esitab Fermat' teoreemi täieliku tõestuse. Juba esimesel aastal pärast Wolfskelli testamendi avaldamist Göttingeni Teaduste Akadeemia poolt ujutati see üle tuhandete matemaatikahuviliste tõenditega ja see voog ei peatunud aastakümneteks, kuid nagu võite arvata, sisaldasid need kõik vigu. . Nad ütlevad, et akadeemia koostas järgmise sisuga vormid:

Kallis _______________________________!
Teie Fermat' teoreemi tõestuses ____ leheküljel ____ real ülevalt
Valemist leiti järgmine viga:___________________________________:,

Mis saadeti õnnetutele auhinna taotlejatele.

Sel ajal ilmus matemaatikute ringi pooleldi põlglik hüüdnimi - fermist. Nii nimetati iga enesekindlat tõusjat, kellel puudusid teadmised, kuid rohkem kui ambitsioone proovida kähku kätt Suure teoreemi tõestamisel, ja siis, märkamata omaenda vigu, lööb uhkelt vastu rinda, kuulutas valjult: "Ma tõestasin esimene Fermat' teoreem! Iga põllumees, isegi kui ta oli arvult kümnetuhandik, pidas end esimeseks – see oli naeruväärne. Lihtne välimus Suur teoreem meenutas fermistidele nii kerget saaki, et neil polnud absoluutselt piinlikkust, et isegi Euler ja Gauss ei suutnud sellega toime tulla.

(Kummalisel kombel eksisteerivad fermistid tänapäevalgi. Kuigi üks neist ei uskunud, et ta on seda teoreemi tõestanud nagu klassikaline fermist, kuid kuni viimase ajani tegi ta katseid – ta keeldus mind uskumast, kui ütlesin, et Fermat’ teoreem on juba läbi viidud. tõestatud).

Kõige võimsamad matemaatikud, võib-olla oma kabinetivaikuses, püüdsid samuti ettevaatlikult sellele talumatule vardale läheneda, kuid ei rääkinud sellest valjult, et mitte tembeldada neid fermistideks ja seega mitte kahjustada nende kõrget autoriteeti.

Selleks ajaks ilmus astendaja n teoreemi tõestus<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Kummaline hüpotees

Kuni kahekümnenda sajandi keskpaigani ei täheldatud Suure teoreemi ajaloos suuri edusamme. Kuid peagi toimus matemaatilises elus huvitav sündmus. 1955. aastal esitas 28-aastane Jaapani matemaatik Yutaka Taniyama avalduse täiesti teisest matemaatikavaldkonnast, mida nimetatakse Taniyama hüpoteesiks (teise nimega Taniyama-Shimura-Weili hüpotees), mis erinevalt Fermat' hilinenud teoreemist oli ees. oma ajast.

Taniyama oletus väidab: "igale elliptilisele kõverale vastab teatud modulaarne vorm." See tolleaegsete matemaatikute väide kõlas umbes sama absurdselt kui meie jaoks väide: "igale puule vastab teatud metall." Lihtne on arvata, kuidas normaalne inimene sellise väitega suhestub - ta lihtsalt ei võta seda tõsiselt, mis juhtus: matemaatikud ignoreerisid hüpoteesi üksmeelselt.

Väike selgitus. Pikka aega tuntud elliptilised kõverad on kahemõõtmelise kujuga (asuvad tasapinnal). 19. sajandil avastatud moodulfunktsioonidel on neljamõõtmeline vorm, nii et me ei suuda neid oma kolmemõõtmelise ajuga isegi ette kujutada, kuid me saame neid kirjeldada matemaatiliselt; lisaks on moodulvormid hämmastavad selle poolest, et neil on ülim võimalik sümmeetria - neid saab tõlkida (nihutada) igas suunas, peegeldada, fragmente saab vahetada, pöörata lõpmatult mitmel viisil - ja nende välimus ei muutu. Nagu näete, on elliptilistel kõveratel ja moodulvormidel vähe ühist. Taniyama hüpotees väidab, et nende kahe teineteisele vastava absoluutselt erineva matemaatilise objekti kirjeldavaid võrrandeid saab laiendada samadeks matemaatiliseks jadaks.

Taniyama hüpotees oli liiga paradoksaalne: see ühendas täiesti erinevad mõisted – üsna lihtsad lamedad kõverad ja kujuteldamatud neljamõõtmelised kujundid. See ei tulnud kellelegi pähe. Kui 1955. aasta septembris Tokyos toimunud rahvusvahelisel matemaatika sümpoosionil demonstreeris Taniyama elliptiliste kõverate ja modulaarsete vormide vahelist vastavust, nägid kõik selles vaid naljakat kokkusattumust. Taniyama tagasihoidlikule küsimusele: kas igale elliptilisele kõverale on võimalik leida vastav moodulfunktsioon, andis auväärne prantslane Andre Weil, kes oli tol ajal üks maailma parimaid arvuteooria spetsialiste, üsna diplomaatilise vastuse, mida nad ütlevad. , kui uudishimulik Taniyama entusiasmi ei jäta, siis võib-olla tal veab ja tema uskumatu hüpotees saab kinnitust, kuid see ei tohi niipea juhtuda. Üldiselt, nagu paljud teised silmapaistvad avastused, jäeti Taniyama hüpotees alguses tähelepanuta, kuna nad polnud selleni veel üles kasvanud – peaaegu keegi ei saanud sellest aru. Vaid üks Taniyama kolleeg Goro Shimura, kes tundis hästi oma üliandekat sõpra, tundis intuitiivselt, et tema hüpotees oli õige.

Kolm aastat hiljem (1958) sooritas Yutaka Taniyama enesetapu (samuraide traditsioonid on Jaapanis siiski tugevad). Terve mõistuse seisukohalt - arusaamatu tegu, eriti kui arvestada, et varsti kavatses ta abielluda. Noorte Jaapani matemaatikute juht alustas oma enesetapukirja järgmiselt: "Eile ma enesetapule ei mõelnud. Viimasel ajal kuulsin sageli teistelt, et olen vaimselt ja füüsiliselt väsinud. Tegelikult ei saa ma isegi praegu aru, miks ma olen tehes seda ...” ja nii edasi kolmel lehel. Kahju muidugi, et selline oli ühe huvitava inimese saatus, aga kõik geeniused on veidi veidrad – sellepärast nad ongi geeniused (millegipärast meenusid Arthur Schopenhaueri sõnad: “tavaelus on a. geeniusest on sama palju kasu kui teatris teleskoobist”). Hüpoteesist on loobutud. Keegi ei teadnud, kuidas seda tõestada.

Kümne aasta jooksul ei mainitud Taniyama hüpoteesi peaaegu üldse. Kuid 70ndate alguses sai see populaarseks - seda kontrollisid regulaarselt kõik, kes sellest aru said - ja see leidis alati kinnitust (nagu tegelikult ka Fermat' teoreem), kuid nagu varemgi, ei suutnud keegi seda tõestada.

Hämmastav seos kahe hüpoteesi vahel

Möödus veel 15 aastat. 1984. aastal toimus matemaatika elus üks võtmesündmus, mis ühendas ekstravagantse jaapani oletuse Fermat' viimase teoreemiga. Sakslane Gerhard Frey esitas kurioosse väite, mis sarnaneb teoreemiga: "Kui Taniyama oletus on tõestatud, siis järelikult tõestatakse ka Fermat' viimane teoreem." Teisisõnu, Fermat' teoreem on Taniyama oletuse tagajärg. (Frey, kasutades geniaalseid matemaatilisi teisendusi, taandas Fermat' võrrandi elliptilise kõvera võrrandiks (sama, mis esineb Taniyama hüpoteesis), enam-vähem põhjendas oma oletust, kuid ei suutnud seda tõestada). Ja vaid poolteist aastat hiljem (1986) tõestas California ülikooli professor Kenneth Ribet Frey teoreemi selgelt.

Mis nüüd juhtus? Nüüd selgus, et kuna Fermat’ teoreem on juba täpselt Taniyama oletuse tagajärg, pole vaja muud kui viimast tõestada, et murda legendaarse Fermat’ teoreemi vallutaja loorberid. Kuid hüpotees osutus keeruliseks. Lisaks muutusid matemaatikud sajandite jooksul Fermat' teoreemi suhtes allergiliseks ja paljud neist otsustasid, et Taniyama oletusega on samuti peaaegu võimatu toime tulla.

Fermat' hüpoteesi surm. Teoreemi sünd

Möödus veel 8 aastat. Üks edumeelne inglise matemaatikaprofessor Princetoni ülikoolist (New Jersey, USA) Andrew Wiles arvas, et on leidnud tõestuse Taniyama oletustele. Kui geenius pole kiilakas, siis reeglina sassis. Seetõttu näeb Wiles välja nagu geenius. Ajalukku sisenemine on muidugi ahvatlev ja väga ihaldusväärne, kuid Wiles, nagu tõeline teadlane, ei meelitanud ennast, mõistes, et tuhanded fermistid enne teda nägid ka kummituslikke tõendeid. Seetõttu kontrollis ta enne oma tõestuse maailmale esitamist seda ise hoolega üle, kuid mõistes, et tal võib olla subjektiivne eelarvamus, kaasas ta kontrollidesse ka teisi, näiteks tavaliste matemaatikaülesannete sildi all viskas ta vahel erinevaid kilde. tema tõestusest nutikatele kraadiõppuritele. Wiles tunnistas hiljem, et keegi peale tema naise ei teadnud, et ta töötab Suure teoreemi tõestamise kallal.

Ja nii võttis Wiles pärast pikki kontrollimisi ja valusaid järelemõtlemisi lõpuks kokku julguse ja võib-olla, nagu ta ise arvas, ülbuse ning teatas 23. juunil 1993 Cambridge'is toimunud arvuteooria matemaatikakonverentsil oma suurest saavutusest.

See oli muidugi sensatsioon. Sellist väledust ei oodanud keegi vähetuntud matemaatikult. Siis tuli ajakirjandus. Kõiki piinas põletav huvi. Sihvakad vormelid, nagu kauni pildi löögid, ilmusid publiku uudishimulike silmade ette. Tõelised matemaatikud on ju sellised - nad vaatavad igasuguseid võrrandeid ja ei näe neis mitte numbreid, konstante ja muutujaid, vaid nad kuulevad muusikat, nagu Mozart vaatab muusikalist saua. Nii nagu raamatut lugedes, vaatame tähti, aga ei paista neid märkavat, vaid tajume kohe teksti tähendust.

Tõestuse esitamine tundus õnnestunud - selles ei leitud vigu - keegi ei kuulnud ainsatki valemärkust (kuigi enamus matemaatikuid lihtsalt vahtisid teda nagu esimese klassi lapsed integraali ega saanud millestki aru). Kõik otsustasid, et juhtus ulatuslik sündmus: Taniyama hüpotees ja järelikult ka Fermat' viimane teoreem sai tõestuse. Kuid umbes kaks kuud hiljem, paar päeva enne Wilesi tõendi käsikirja ringlusse laskmist, leiti, et see on vastuoluline (Katz, Wilesi kolleeg märkis, et üks arutluskäik toetus "Euleri süsteemile", kuid mis Wilesi ehitatud, ei olnud selline süsteem), kuigi üldiselt peeti Wilesi tehnikaid huvitavaks, elegantseks ja uuenduslikuks.

Wiles analüüsis olukorda ja otsustas, et on kaotanud. Võib ette kujutada, kuidas ta kogu oma olemusega tundis, mida see tähendab "suurest sammust naeruväärseni". "Tahtsin astuda ajalukku, aga liitusin hoopis klounide ja koomikute – üleolevate talumeeste meeskonnaga" – umbes sellised mõtted kurnasid teda sel valusal eluperioodil. Tema, tõsise matemaatiku jaoks oli see tragöödia ja ta viskas oma tõendi tahaplaanile.

Kuid veidi enam kui aasta hiljem, septembris 1994, mõeldes koos oma kolleegi Tayloriga Oxfordist sellele tõestuse kitsaskohale, tuli viimasel ootamatult mõte, et "Euleri süsteemi" võiks muuta Iwasawa teooriaks (osa arvuteooria). Seejärel proovisid nad kasutada Iwasawa teooriat, tehes ilma "Euleri süsteemita" ja kõik tulid kokku. Tõendi parandatud versioon esitati kontrollimiseks ja aasta hiljem teatati, et kõik selles oli täiesti selge, ilma ühegi veata. 1995. aasta suvel avaldati ühes juhtivas matemaatikaajakirjas - "Matemaatika aastaraamatud" - Taniyama oletuse (seega Fermat' suure (suure) teoreemi) täielik tõestus, mis hõlmas kogu numbrit - üle saja lehe. Tõestus on nii keeruline, et ainult paarkümmend inimest üle maailma suudavad seda tervikuna mõista.

Nii tõdes kogu maailm 20. sajandi lõpus, et oma 360. eluaastal oli Fermat’ viimane teoreem, mis tegelikult oli kogu selle aja olnud hüpotees, saanud tõestatud teoreemiks. Andrew Wiles tõestas Fermat' suure (suure) teoreemi ja sisenes ajalukku.

Arva, et oled teoreemi tõestanud...

Avastaja õnn läheb alati kellelegi üksi – just tema murrab viimase haamrilöögiga kõva teadmiste pähkli puruks. Kuid ei saa mööda vaadata paljudest varasematest löökidest, mis on sajandeid Suures teoreemis mõra tekitanud: Euler ja Gauss (oma aja matemaatika kuningad), Evariste Galois (kes suutis oma lühikeses 21. raamatus paika panna rühmade ja väljade teooria). -aastane eluiga, kelle töid tunnistati hiilgavateks alles pärast tema surma), Henri Poincaré (mitte ainult veidrate modulaarsete vormide, vaid ka konventsionalismi rajaja - filosoofiline suund), David Gilbert (kahekümnenda sajandi üks tugevamaid matemaatikuid) , Yutaku Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbet, Richard Taylor jt tõelised teadlased(Ma ei karda neid sõnu).

Fermat' viimase teoreemi tõestust võib panna samale tasemele selliste kahekümnenda sajandi saavutustega nagu arvuti, tuumapommi leiutamine ja kosmoselennud. Kuigi see pole nii laialt teada, sest see ei tungi meie hetkehuvide tsooni, nagu teler või elektripirn, kuid see oli supernoova sähvatus, mis, nagu kõik muutumatud tõed, jääb alati särama. inimkond.

Võite öelda: "Mõtle vaid, sa tõestasid mingi teoreemi, kellele seda vaja on?". Õiglane küsimus. David Gilberti vastus sobib täpselt siia. Millal küsimusele: "mis on praegu teaduse kõige olulisem ülesanne?", vastas ta: "Kärbes püüda kuu kaugemal poolel" temalt küsiti põhjendatult: "aga kellele seda vaja on?", vastas ta nii:" Seda pole kellelegi vaja. Aga mõelge, kui oluline kõige raskemad ülesanded mõelge, kui palju probleeme on inimkond suutnud 360 aasta jooksul enne Fermat' teoreemi tõestamist lahendada.Selle tõestust otsides avastati ligi pool kaasaegsest matemaatikast.Arvestada tuleb ka sellega, et matemaatika on teaduse avangard (ja , muide, ainuke teadustest, mis on üles ehitatud ühegi veata) ja kõik teaduslikud saavutused ja leiutised algavad just siit. Nagu märkis Leonardo da Vinci, "teaduseks saab tunnistada ainult seda doktriini, mis on matemaatiliselt kinnitatud ."

* * *

Ja nüüd läheme tagasi oma loo algusesse, meenutame Pierre Fermat' sissekannet Diophantuse õpiku servadel ja küsime endalt veel kord: kas Fermat tõesti tõestas oma teoreemi? Muidugi ei saa me seda kindlalt teada ja nagu igal juhul, tekivad siin erinevad versioonid:

Versioon 1: Fermat tõestas oma teoreemi. (Küsimusele: "Kas Fermatil oli oma teoreemile täpselt sama tõestus?", märkis Andrew Wiles: "Fermat ei saanud olla nii tõend. See on 20. sajandi tõestus. "Me mõistame, et 17. sajandil ei olnud matemaatika muidugi sama, mis 20. sajandi lõpus – tol ajastul ei olnud teaduste kuninganna Artagnan d. ometi omavad need avastused (moodulvormid, Taniyama teoreemid, Frey jne), mis võimaldasid tõestada ainult Fermat' viimast teoreemi. Muidugi võib oletada: mis kuradit pole nalja – mis siis, kui Fermat arvas teisiti See versioon, kuigi tõenäoline, on enamiku matemaatikute arvates praktiliselt võimatu);
Versioon 2: Pierre de Fermat'le tundus, et ta oli oma teoreemi tõestanud, kuid tõestuses oli vigu. (See tähendab, et Fermat ise oli ka esimene fermatist);
Versioon 3: Fermat ei tõestanud oma teoreemi, vaid valetas lihtsalt äärel.

Kui üks kahest viimasest versioonist on õige, mis on kõige tõenäolisem, siis saab teha lihtsa järelduse: suurepärased inimesed, kuigi nad on suurepärased, võivad nad ka vigu teha või mõnikord ei viitsi valetada(põhimõtteliselt on see järeldus kasulik neile, kes kalduvad täielikult usaldama oma iidoleid ja muid mõttevalitsejaid). Seetõttu on teil autoriteetsete inimpoegade teoseid lugedes või nende haletsusväärseid kõnesid kuulates täielik õigus nende väidetes kahelda. (Pange tähele, et kahelda ei ole tagasilükkamine).

Artiklimaterjalide kordustrükkimine on võimalik ainult kohustuslike linkidega saidile (Internetis - hüperlink) ja autorile

FERMAT SUUR TEOREEM – Pierre Fermat' (prantsuse jurist ja osalise tööajaga matemaatik) väide, et Diofantiuse võrrandil X n + Y n = Z n, eksponendiga n>2, kus n = täisarv, ei ole positiivsetes lahendites täisarvud . Autori tekst: "On võimatu lagundada kuupi kaheks kuubikuks või bi-ruut kaheks kaheks ruuduks või üldiselt kahest suuremat võimsust kaheks sama eksponendiga astmeks."

"Fermat ja tema teoreem", Amadeo Modigliani, 1920

Pierre tuli selle teoreemiga välja 29. märtsil 1636. aastal. Ja umbes 29 aasta pärast ta suri. Aga sealt see kõik alguse saigi. Pärandas ju üks jõukas saksa matemaatik, nimega Wolfskel, sada tuhat marka sellele, kes esitab Fermat' teoreemi täieliku tõestuse! Kuid põnevus teoreemi ümber oli seotud mitte ainult selle, vaid ka professionaalse matemaatilise põnevusega. Fermat ise vihjas matemaatikute kogukonnale, et teadis tõestust – vahetult enne oma surma, 1665. aastal, jättis ta raamatu „Diophantus of Alexandria“ „Aritmeetika“ servadele järgmise sissekande: „Mul on väga hämmastav tõestus, kuid see on liiga suur, et seda põldudele panna."

Just see vihje (pluss muidugi rahaline auhind) sundis matemaatikuid ebaõnnestunult oma raha kulutama. parimad aastad(Ameerika teadlaste arvutuste kohaselt kulutasid ainult professionaalsed matemaatikud selleks kokku 543 aastat).

Mingil hetkel (1901. aastal) omandas töö Fermat' teoreemiga kahtlase kuulsuse "töö, mis sarnaneb igiliikuri otsimisega" (oli isegi halvustav termin - "fermatistid"). Ja järsku, 23. juunil 1993, Cambridge'is toimunud arvuteooria matemaatikakonverentsil teatas Princetoni ülikooli (New Jersey, USA) inglise matemaatikaprofessor Andrew Wiles, et on lõpuks Fermat'i tõestanud!

Tõestus polnud aga mitte ainult keeruline, vaid ka ilmselgelt ekslik, nagu Wilesile tema kolleegid tähelepanu juhtisid. Kuid professor Wiles unistas kogu oma elu teoreemi tõestamisest, mistõttu pole üllatav, et 1994. aasta mais esitas ta teadusringkondadele tõestuse uue, täiustatud versiooni. Selles polnud harmooniat, ilu ja see oli ikka väga keeruline - fakt, et matemaatikud on seda tõestust analüüsinud terve aasta (!) Et aru saada, kas see pole ekslik, räägib enda eest!

Kuid lõpuks leiti, et Wilesi tõend on õige. Kuid matemaatikud ei andestanud Pierre Fermat'le tema vihjet aritmeetikale ja tegelikult hakkasid nad teda valetajaks pidama. Tegelikult seadis esimene inimene, kes Fermat' moraalses aususes kahtluse alla seadis, Andrew Wiles ise, kes märkis, et "Fermat'l ei oleks saanud sellist tõendit. See on kahekümnenda sajandi tõend." Siis tugevnes teiste teadlaste seas arvamus, et Fermat "ei suutnud oma teoreemi muul viisil tõestada ja Fermat ei suutnud seda objektiivsetel põhjustel tõestada nii, nagu Wiles".

Tegelikult võiks Fermat seda muidugi tõestada ja veidi hiljem loovad selle tõestuse New Analytical Encyclopedia analüütikud uuesti. Aga – mis need "objektiivsed põhjused" on?
Tegelikult on ainult üks selline põhjus: neil aastatel, mil Fermat elas, ei saanud Taniyama oletus ilmuda, millele Andrew Wiles oma tõestuse ehitas, sest modulaarsed funktsioonid, millel Taniyama oletus toimib, avastati alles aastal. XIX lõpus sajandil.

Kuidas Wiles ise teoreemi tõestas? Küsimus ei ole jõude – see on oluline selleks, et mõista, kuidas Fermat ise saaks oma teoreemi tõestada. Wiles ehitas oma tõestuse 28-aastase Jaapani matemaatiku Yutaka Taniyama poolt 1955. aastal esitatud Taniyama oletuse tõestusele.

Oletus kõlab järgmiselt: "iga elliptiline kõver vastab teatud modulaarsele vormile." Pikka aega tuntud elliptilised kõverad on kahemõõtmelise kujuga (asuvad tasapinnal), modulaarsetel funktsioonidel aga neljamõõtmeline vorm. See tähendab, et Taniyama hüpotees ühendas täiesti erinevad mõisted - lihtsad lamedad kõverad ja kujuteldamatud neljamõõtmelised vormid. Juba ainuüksi fakt erimõõtmeliste kujundite ühendamisest hüpoteesis tundus teadlastele absurdne, mistõttu 1955. aastal ei omistatud sellele mingit tähtsust.

Ent 1984. aasta sügisel meenus "Taniyama hüpotees" järsku taas ja mitte ainult ei jäänud meelde, vaid selle võimalik tõestus ühendati Fermat' teoreemi tõestamisega! Seda tegi Saarbrückeni matemaatik Gerhard Frey, kes ütles teadusringkondadele, et "kui keegi suudab tõestada Taniyama oletust, siis Fermat' viimane teoreem oleks tõestatud".

Mida Frey tegi? Ta teisendas Fermat' võrrandi kuupmeetriks, seejärel juhtis tähelepanu asjaolule, et elliptiline kõver, mis saadakse Fermat' võrrandi kuupmeetriks teisendamisel, ei saa olla modulaarne. Taniyama oletus väitis aga, et iga elliptiline kõver võib olla modulaarne! Järelikult ei saa Fermat' võrrandist konstrueeritud elliptilist kõverat eksisteerida, mis tähendab, et ei saa olla täislahendusi ja Fermat' teoreemi, mis tähendab, et see on tõsi. Noh, 1993. aastal tõestas Andrew Wiles lihtsalt Taniyama oletust ja sellest tulenevalt ka Fermat' teoreemi.

Fermat’ teoreemi saab aga tõestada palju lihtsamalt, sama mitmemõõtmelisuse alusel, millega opereerisid nii Taniyama kui Frey.

Alustuseks pöörame tähelepanu Pierre Fermat’ enda poolt sätestatud tingimusele – n>2. Miks see tingimus vajalik oli? Jah, ainult selle eest, et n=2 korral muutub tavaline Pythagorase teoreem X 2 +Y 2 =Z 2 Fermat' teoreemi erijuhuks, millel on lõpmatu arv täisarvulisi lahendeid - 3,4,5; 5,12,13; 7.24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51 140 149 ja nii edasi. Seega on Pythagorase teoreem erand Fermat' teoreemist.

Miks aga täpselt n=2 puhul selline erand tekib? Kõik loksub paika, kui näed seost astme (n=2) ja kujundi enda mõõtme vahel. Pythagorase kolmnurk on kahemõõtmeline kujund. Pole üllatav, et Z (see tähendab hüpotenuus) saab väljendada jalgadena (X ja Y), mis võivad olla täisarvud. Nurga suurus (90) võimaldab vaadelda hüpotenuusi kui vektorit ning jalad on vektorid, mis paiknevad telgedel ja tulevad algpunktist. Vastavalt sellele on võimalik väljendada kahemõõtmelist vektorit, mis ei asu ühelgi teljel, nendel asuvate vektorite kaudu.

Kui nüüd minna kolmandasse dimensiooni ja seega n=3-ni, siis kolmemõõtmelise vektori väljendamiseks ei ole kahe vektori kohta piisavalt informatsiooni ja seetõttu on võimalik väljendada Z-d Fermat' võrrandis vähemalt kolm liiget (kolm vektorit, mis asuvad vastavalt koordinaatsüsteemi kolmel teljel).

Kui n=4, siis peaks olema 4 liiget, kui n=5, siis peaks olema 5 liiget jne. Sel juhul on terviklahendusi enam kui küll. Näiteks 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 ja nii edasi (saate valida muid näiteid n=3, n=4 ja nii edasi).

Mis sellest kõigest järeldub? Sellest järeldub, et Fermat' teoreemil ei ole n>2 jaoks täislahendusi, kuid ainult seetõttu, et võrrand ise on vale! Sama eduga võiks püüda väljendada rööptahuka ruumala selle kahe serva pikkuste kaudu - see on muidugi võimatu (terviklikke lahendusi ei leita kunagi), kuid ainult sellepärast, et leida rööptahuka ruumala , peate teadma selle kõigi kolme serva pikkust.

Kui kuulsalt matemaatikult David Gilbertilt küsiti, mis on praegu teaduse jaoks kõige olulisem ülesanne, vastas ta "püüda Kuu kaugemal küljel kärbes." Mõistlikule küsimusele "Kellele seda vaja on?" ta vastas nii: "Seda pole kellelegi vaja. Aga mõelge, kui palju olulisi ja keerulisi ülesandeid peate selle täitmiseks lahendama."

Ehk siis Fermat (jurist ennekõike!) mängis teravmeelse juriidilise nalja kogu matemaatikamaailma üle, mis põhineb sellel. vale lavastusülesandeid. Ta õigupoolest soovitas matemaatikutel leida vastus, miks kärbes teisel pool Kuud elada ei saa ja Aritmeetika veeristele tahtis ta ainult kirjutada, et Kuul lihtsalt pole õhku, s.t. tema teoreemil ei saa olla täisarvulisi lahendeid n>2 korral ainult seetõttu, et iga n väärtus peab vastama teatud arvule võrrandi vasakul poolel olevatele liikmetele.

Aga kas see oli lihtsalt nali? Üldse mitte. Fermat’ geniaalsus seisneb just selles, et ta oli tegelikult esimene, kes nägi matemaatilise kujundi astme ja mõõtme – ehk absoluutselt samaväärse – võrrandi vasakpoolses servas olevate liikmete arvu vahelist seost. Tema kuulsa teoreemi eesmärk oli mitte ainult suruda matemaatilist maailma selle seose ideele, vaid ka algatada selle seose olemasolu tõestus - intuitiivselt arusaadav, kuid matemaatiliselt veel põhjendamata.

Fermat, nagu keegi teine, mõistis, et näiliselt erinevate objektide vahelise suhte loomine on äärmiselt viljakas mitte ainult matemaatikas, vaid ka igas teaduses. Selline suhe viitab mõnele sügavale põhimõttele, mis on mõlema objekti aluseks ja võimaldab neid sügavamalt mõista.

Näiteks algselt pidasid füüsikud elektrit ja magnetismi täiesti mitteseotud nähtusteks ning 19. sajandil mõistsid teoreetikud ja eksperimenteerijad, et elekter ja magnetism on omavahel tihedalt seotud. Tulemuseks oli sügavam arusaam nii elektrist kui ka magnetismist. Elektrivoolud genereerida magnetväljad ja magnetid võivad magnetite lähedal asuvates juhtmetes elektrit esile kutsuda. See viis dünamo ja elektrimootorite leiutamiseni. Lõpuks avastati, et valgus on kooskõlastamise tulemus harmoonilised vibratsioonid magnet- ja elektriväljad.

Fermat’ aja matemaatika koosnes teadmiste saartest teadmatuse meres. Geomeetrid uurisid ühel saarel kujundeid, teisel saarel matemaatikud tõenäosust ja juhust. Geomeetria keel erines oluliselt tõenäosusteooria keelest ja algebraline terminoloogia oli võõras neile, kes rääkisid ainult statistikast. Kahjuks koosneb meie aja matemaatika ligikaudu samadest saartest.

Farm oli esimene, kes taipas, et kõik need saared on omavahel seotud. Ja tema kuulus teoreem – Fermat’ SUUR TEOREEM – on selle suurepäraseks kinnituseks.

Niisiis, Fermat' viimane teoreem (mida sageli nimetatakse ka Fermat' viimaseks teoreemiks), mille sõnastas 1637. aastal geniaalne prantsuse matemaatik Pierre Fermat, on oma olemuselt väga lihtne ja arusaadav igale keskharidusega inimesele. See ütleb, et valemil a astmel n + b astmel n \u003d c astmel n pole loomulikke (st mittemurdulisi) lahendeid n> 2 jaoks. Kõik näib olevat lihtne ja selge , kuid parimad matemaatikud ja tavalised amatöörid võitlesid lahenduse otsimise pärast enam kui kolm ja pool sajandit.

Miks ta nii kuulus on? Nüüd uurime...



Kas tõestatud, tõestamata ja veel tõestamata teoreeme on vähe? Asi on selles, et Fermat' viimane teoreem on suurim kontrast sõnastuse lihtsuse ja tõestuse keerukuse vahel. Fermat' viimane teoreem on uskumatult raske ülesanne, kuid selle sõnastusest saavad aru kõik 5. klassiga Keskkool, kuid tõestuseks pole isegi mitte ükski professionaalne matemaatik. Ei füüsikas, keemias, bioloogias ega samas matemaatikas pole ühtegi probleemi, mis oleks nii lihtsalt sõnastatud, kuid jääks nii kauaks lahendamata. 2. Millest see koosneb?

Alustame Pythagorase pükstega Sõnastus on tõesti lihtne – esmapilgul. Nagu teame lapsepõlvest, "Pythagorase püksid on igast küljest võrdsed." Probleem tundub nii lihtne, sest see põhines matemaatilisel väitel, mida kõik teavad – Pythagorase teoreemil: igal juhul täisnurkne kolmnurk hüpotenuusile ehitatud ruut võrdub jalgadele ehitatud ruutude summaga.

5. sajandil eKr. Pythagoras asutas Pythagorase vennaskonna. Pythagoraslased uurisid muu hulgas täisarvu kolmikuid, mis rahuldasid võrrandit x²+y²=z². Nad tõestasid seda Pythagorase kolmikud lõpmatult palju ja sai nende leidmiseks üldvalemid. Nad on ilmselt proovinud otsida kolmekesi või rohkem. kõrged kraadid. Olles veendunud, et see ei tööta, jätsid pütagorlased oma asjatud katsed maha. Vennaskonna liikmed olid rohkem filosoofid ja esteedid kui matemaatikud.


See tähendab, et on lihtne valida arvude komplekt, mis rahuldab ideaalselt võrdsust x² + y² = z²

Alates 3, 4, 5 - põhikooliõpilane mõistab tõepoolest, et 9 + 16 = 25.

Või 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Suurepärane.

No ja nii edasi. Mis siis, kui võtame sarnase võrrandi x³+y³=z³? Äkki on ka selliseid numbreid?




Ja nii edasi (joonis 1).

Noh, selgub, et nad seda ei tee. Siit see trikk algab. Lihtsus on näiline, sest raske on tõestada mitte millegi olemasolu, vaid vastupidi, puudumist. Kui on vaja tõestada, et lahendus on olemas, saab ja tuleb lihtsalt seda lahendust esitada.

Puudumist on keerulisem tõestada: näiteks keegi ütleb: sellisel ja sellisel võrrandil pole lahendeid. Kas panna ta lompi? lihtne: bam – ja siin see on, lahendus! (anna lahendus). Ja ongi kõik, vastane on võidetud. Kuidas puudumist tõendada?

Öelda: "Ma ei leidnud selliseid lahendusi"? Või äkki sa ei otsinud hästi? Ja mis siis, kui need on, ainult väga suured, noh, sellised, et isegi ülivõimsal arvutil pole veel piisavalt jõudu? See ongi raske.

Visuaalsel kujul saab seda näidata järgmiselt: kui võtta kaks sobiva suurusega ruutu ja need ühikruutudeks lahti võtta, siis saadakse sellest ühikruutude hunnikust kolmas ruut (joonis 2):


Ja teeme sama ka kolmanda dimensiooniga (joonis 3) – see ei tööta. Kuubikuid ei ole piisavalt või on neid alles:





Kuid 17. sajandi matemaatik, prantslane Pierre de Fermat, uuris entusiastlikult üldvõrrandit x n+yn=zn . Ja lõpuks jõudis ta järeldusele: n>2 täisarvu puhul lahendusi ei eksisteeri. Fermat' tõestus on pöördumatult kadunud. Käsikirjad põlevad! Alles on jäänud vaid tema märkus Diophantose aritmeetikas: "Leidsin selle väite kohta tõeliselt hämmastava tõestuse, kuid siinsed veerised on selle mahutamiseks liiga kitsad."

Tegelikult nimetatakse ilma tõestuseta teoreemi hüpoteesiks. Kuid Fermatil on maine, et ta pole kunagi eksinud. Isegi kui ta ei jätnud tõendeid ühegi avalduse kohta, kinnitati see hiljem. Lisaks tõestas Fermat oma väitekirja n=4 jaoks. Nii läks prantsuse matemaatiku hüpotees ajalukku kui Fermat' viimane teoreem.

Pärast Fermat'i töötasid sellised suured inimesed nagu Leonhard Euler tõestuse leidmisega (aastal 1770 pakkus ta välja lahenduse n = 3 jaoks),

Adrien Legendre ja Johann Dirichlet (need teadlased leidsid 1825. aastal ühiselt tõestuse n = 5 kohta), Gabriel Lame (kes leidis tõestuse n = 7 kohta) ja paljud teised. Möödunud sajandi 80. aastate keskpaigaks sai selgeks, et teadusmaailm on teel Fermat' viimase teoreemi lõpliku lahenduseni, kuid alles 1993. aastal nägid matemaatikud ja uskusid, et kolme sajandi saaga tõestuse leidmisest. Fermat' viimane teoreem oli peaaegu läbi.

Lihtne on näidata, et piisab Fermat' teoreemi tõestamisest ainult algarvu n korral: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Liitarvu n korral jääb tõestus kehtima. Algarve on aga lõpmatult palju...

1825. aastal tõestasid naismatemaatikud, Dirichlet ja Legendre Sophie Germaini meetodil iseseisvalt teoreemi n=5 jaoks. 1839. aastal näitas prantslane Gabriel Lame sama meetodiga teoreemi n=7 õigsust. Järk-järgult tõestati teoreem peaaegu kõigi n alla saja kohta.


Lõpuks näitas saksa matemaatik Ernst Kummer hiilgavas uurimuses, et 19. sajandi matemaatika meetodid ei suuda teoreemi üldiselt tõestada. 1847. aastal Fermat’ teoreemi tõestamise eest asutatud Prantsuse Teaduste Akadeemia auhind jäi määramata.

1907. aastal otsustas jõukas Saksa tööstur Paul Wolfskel õnnetu armastuse tõttu endalt elu võtta. Nagu tõeline sakslane, määras ta enesetapu kuupäeva ja kellaaja: täpselt südaööl. Viimasel päeval tegi ta testamendi ning kirjutas sõpradele ja sugulastele kirju. Äri lõppes enne südaööd. Pean ütlema, et Pauli huvitas matemaatika. Kuna tal polnud midagi teha, läks ta raamatukokku ja hakkas lugema Kummeri kuulsat artiklit. Ühtäkki tundus talle, et Kummer on oma arutluskäigus vea teinud. Wolfskehl, pliiats käes, asus artikli seda osa analüüsima. Möödus kesköö, tuli hommik. Tõestuse lünk sai täidetud. Ja enesetapu põhjus tundus nüüd täiesti naeruväärne. Paul rebis hüvastijätukirjad katki ja kirjutas testamendi ümber.

Varsti suri ta loomulikel põhjustel. Pärijad olid üsna üllatunud: 100 000 marka (praegu üle 1 000 000 naelsterlingi) kanti Göttingeni Kuningliku Teadusliku Seltsi arvele, mis samal aastal kuulutas välja konkursi Wolfskeli auhinnale. 100 000 marka toetus Fermat' teoreemi tõestusele. Teoreemi ümberlükkamise eest ei tohtinud pfennigi maksta ...

Enamik professionaalseid matemaatikuid pidas Fermat' viimase teoreemi tõestuse otsimist kaotatuks ja keeldus otsustavalt aega raiskamast sellisele mõttetule harjutusele. Kuid amatöörid hullavad au nimel. Mõni nädal pärast teadet tabas Göttingeni ülikooli "tõendite" laviin. Professor E. M. Landau, kelle ülesandeks oli saadetud tõendeid analüüsida, jagas oma õpilastele kaarte:


Kallis(id). . . . . . . .

Tänan teid käsikirja eest, mille saatsite koos Fermat' viimase teoreemi tõestusega. Esimene viga on lehel ... real ... . Selle tõttu kaotab kogu tõestus kehtivuse.
Professor E. M. Landau











1963. aastal tõestas Paul Cohen Gödeli leidudele tuginedes ühe Hilberti kahekümne kolmest probleemist, kontiinuumi hüpoteesi, lahendamatust. Mis siis, kui ka Fermat' viimane teoreem on lahendamatu?! Kuid Suure teoreemi tõelised fanaatikud ei valmistanud sugugi pettumust. Arvutite tulek andis matemaatikutele ootamatult uue tõestusmeetodi. Pärast Teist maailmasõda tõestasid programmeerijate ja matemaatikute rühmad Fermat' viimast teoreemi kõigi väärtuste jaoks n kuni 500-ni, seejärel kuni 1000-ni ja hiljem kuni 10 000-ni.

80ndatel tõstis Samuel Wagstaff piiri 25 000-ni ja 90ndatel väitsid matemaatikud, et Fermat' viimane teoreem kehtib kõigi n väärtuste puhul kuni 4 miljonini. Aga kui lõpmatusest lahutada isegi triljon triljon, siis see väiksemaks ei muutu. Statistika matemaatikuid ei veena. Suure teoreemi tõestamine tähendas selle tõestamist KÕIGI n jaoks, mis läheb lõpmatuseni.




1954. aastal asusid kaks noort Jaapani matemaatikust sõpra moodulvorme õppima. Need vormid genereerivad numbrite seeriaid, millest igaüks on oma seeria. Juhuslikult võrdles Taniyama neid seeriaid elliptiliste võrrandite abil genereeritud seeriatega. Nad sobisid! Kuid moodulvormid on geomeetrilised objektid, elliptilised võrrandid aga algebralised. Nii erinevate objektide vahel ei leitud kunagi seost.

Sellegipoolest esitasid sõbrad pärast hoolikat testimist hüpoteesi: igal elliptilisel võrrandil on kaksik - modulaarne vorm ja vastupidi. Just see hüpotees sai aluseks tervele matemaatikatrendile, kuid kuni Taniyama-Shimura hüpoteesi tõestamiseni võib kogu hoone iga hetk kokku kukkuda.

1984. aastal näitas Gerhard Frey, et Fermat' võrrandi lahenduse, kui see on olemas, saab kaasata mõnda elliptilisesse võrrandisse. Kaks aastat hiljem tõestas professor Ken Ribet, et sellel hüpoteetilisel võrrandil ei saa olla moodulmaailmas vastet. Edaspidi oli Fermat' viimane teoreem lahutamatult seotud Taniyama-Shimura oletusega. Olles tõestanud, et mis tahes elliptiline kõver on modulaarne, järeldame, et Fermat' võrrandi lahendusega elliptilist võrrandit pole olemas ja Fermat' viimane teoreem oleks kohe tõestatud. Kuid kolmkümmend aastat ei suudetud Taniyama-Shimura oletust tõestada ja edulootusi jäi üha vähem.

1963. aastal, kui ta oli vaid kümneaastane, paelus Andrew Wiles juba matemaatikast. Kui ta sai teada Suurest teoreemist, mõistis ta, et ta ei saa sellest kõrvale kalduda. Koolipoisina, üliõpilasena, magistrandina valmistas ta end selleks ülesandeks ette.

Saanud teada Ken Ribeti leidudest, püüdis Wiles Taniyama-Shimura oletust tõestada. Ta otsustas töötada täielikus isolatsioonis ja salajas. "Sain aru, et kõik, mis on seotud Fermat' viimase teoreemiga, pakub liiga suurt huvi ... Liiga palju vaatajaid segab tahtlikult eesmärgi saavutamist." Seitse aastat rasket tööd tasus end ära, Wiles sai lõpuks Taniyama-Shimura oletuse tõestuse.

1993. aastal esitas inglise matemaatik Andrew Wiles maailmale oma tõestuse Fermat’ viimase teoreemi kohta (Wiles luges oma sensatsioonilist aruannet Cambridge’i Sir Isaac Newtoni Instituudi konverentsil.), mille kallal töötamine kestis üle seitsme aasta.







Ajakirjanduses jätkus haira, alustati tõsist tööd tõendite kontrollimisega. Iga tõendit tuleb hoolikalt uurida, enne kui tõendit saab pidada rangeks ja täpseks. Wiles veetis kirgliku suve, oodates arvustajate tagasisidet, lootes, et ta võidab nende heakskiidu. Eksperdid leidsid augusti lõpus ebapiisavalt põhjendatud kohtuotsuse.

Selgus, et see otsus sisaldab jämedat viga, kuigi üldiselt on see tõsi. Wiles ei andnud alla, kutsus appi tuntud arvuteooria spetsialisti Richard Taylori ning juba 1994. aastal avaldasid nad teoreemi parandatud ja täiendatud tõestuse. Kõige hämmastavam on see, et see töö võttis Annals of Mathematics matemaatikaajakirjas enda alla koguni 130 (!) lehekülge. Kuid sellega lugu ei lõppenud ka - viimane punkt pandi alles järgmisel, 1995. aastal, mil avaldati tõestuse lõplik ja matemaatilisest aspektist “ideaalne” versioon.

"...pool minutit pärast piduliku õhtusöögi algust tema sünnipäeva puhul andsin Nadiale täieliku tõendi käsikirja" (Andrew Wales). Kas ma mainisin, et matemaatikud on imelikud inimesed?






Seekord polnud tõestuses kahtlust. Kaht artiklit analüüsiti kõige hoolikamalt ja need avaldati 1995. aasta mais ajakirjas Annals of Mathematics.

Sellest hetkest on palju aega möödas, kuid ühiskonnas valitseb endiselt arvamus Fermat' viimase teoreemi lahendamatuse kohta. Kuid isegi need, kes teavad leitud tõestusest, jätkavad tööd selles suunas - vähesed inimesed on rahul, et Suur teoreem nõuab 130-leheküljelist lahendust!

Seetõttu visatakse nüüd nii paljude matemaatikute (peamiselt amatööride, mitte professionaalsete teadlaste) jõud lihtsat ja ülevaatlikku tõendit otsima, kuid see tee ei vii tõenäoliselt kuhugi ...