Amikor d'Alembert jelét alkalmazzák. Számsorok: definíciók, tulajdonságok, konvergenciakritériumok, példák, megoldások. Alapvető definíciók és fogalmak

d'Alembert-féle konvergenciakritérium, Cauchy-féle radikális konvergencia-kritérium, Cauchy-féle integrál konvergencia-kritérium

Az egyik gyakori összehasonlító jel, amely gyakorlati példákban előfordul, a d'Alembert jel. A Cauchy-féle jelek kevésbé gyakoriak, de nagyon népszerűek is. Mint mindig, most is igyekszem egyszerűen, közérthetően és érthetően bemutatni az anyagot. A téma nem a legnehezebb, és minden feladat bizonyos mértékig sablonos.

Jean Léron d'Alembert a 18. század híres francia matematikusa. Általában d'Alembert arra specializálódott differenciál egyenletekés kutatásai alapján ballisztikát tanult, hogy őfelsége ágyúgolyói jobban repüljenek. Ugyanakkor nem feledkeztem meg a számsorokról sem, nem hiába közeledtek és váltak el olyan egyértelműen a napóleoni csapatok sorai.

Mielőtt magát a jelet megfogalmaznánk, vegyünk egy fontos kérdést:
Mikor kell alkalmazni a d'Alembert-féle konvergenciakritériumot?

Kezdjük először az ismétléssel. Idézze fel azokat az eseteket, amikor a legnépszerűbbet kell használnia marginális összehasonlítási kritérium. A határérték-összehasonlítás kritériuma akkor alkalmazandó, ha a sorozat közös tagjában:
1) A nevező polinomot tartalmaz.
2) A polinomok a számlálóban és a nevezőben is szerepelnek.
3) Egy vagy mindkét polinom lehet a gyökér alatt.

A d'Alembert-tábla alkalmazásának fő feltételei a következők:

1) A sorozat közös tagja (a sorozat „tölteléke”) tartalmaz valamilyen számot a fokozatban, például , stb. Ráadásul egyáltalán nem mindegy, hogy ez a dolog hol található, a számlálóban vagy a nevezőben - fontos, hogy ott legyen.

2) A sorozat közös kifejezése magában foglalja a faktoriálist. A faktoriálisokkal kereszteztük a kardot az órán Számsorozat és határértéke. Nem árt azonban újra leteríteni az önszerelő terítőt:

…

…

! A d'Alembert-teszt használatakor csak a faktoriálist kell részletesen lefestenünk. Az előző bekezdéshez hasonlóan a faktoriális a tört tetején vagy alján is elhelyezhető.

3) Ha a sorozat közös tagjában van egy „tényezőlánc”, például . Ez az eset ritka, de! Egy ilyen sorozat tanulmányozásakor gyakran tévednek – lásd a 6. példát.

A hatványok és (és) faktorálok mellett gyakran megtalálhatók a polinomok a sorozat kitöltésében, ez nem változtat a dolgokon - ehhez a d'Alembert tesztet kell használni.

Ráadásul a sorozat általános kifejezésében a fokozat és a faktoriális is előfordulhat egyszerre; lehet két faktoriális, két fokozat, fontos, hogy legyen legalábbis néhányat figyelembe vett pontokat - és ez csak előfeltétele a d'Alembert jel használatának.

D'Alembert jele: Fontolgat pozitív számsor. Ha a következő tag és az előző tag arányának van határa: , akkor:
a) Egy sorban konvergál. Különösen a sorozat konvergál.
b) Egy sorban eltér. Különösen a sorozat tér el.
c) Mikor jel nem reagál. Más jelzést kell használnia. Leggyakrabban egy mértékegységet kapnak, amikor megpróbálják alkalmazni a d'Alembert-tesztet, ahol a határérték-összehasonlító tesztet kell használni.

Ha továbbra is problémái vannak a korlátokkal vagy félreérti a határértékeket, olvassa el a leckét Korlátok. Megoldási példák. A határok megértése és a bizonytalanság további feltárásának képessége nélkül sajnos nem lehet előrelépni.

És most jönnek a régóta várt példák.

1. példa

Azt látjuk, hogy a sorozat közös kifejezésében van , és ez a helyes előfeltevés, hogy a d'Alembert-tesztet kell használnunk. Először egy komplett megoldás és egy tervminta, megjegyzések alább.

A d'Alembert jelet használjuk:

konvergál.

(1) Állítsa össze a sorozat következő tagjának arányát az előzőhöz: . A feltételből azt látjuk, hogy a sorozat közös kifejezése . A sorozat következő tagjának megszerzéséhez ez szükséges helyette: .
(2) Szabadulj meg a négyemeletes törttől. Ha van némi tapasztalata ennek a lépésnek a megoldásában, kihagyhatja.
(3) Nyissa ki a zárójeleket a számlálóban. A nevezőben a fokból kivesszük a négyet.
(4) Csökkentse . Kivesszük a határjelen túli állandót. A számlálóban a hasonló kifejezéseket zárójelben adjuk meg.
(5) A bizonytalanság kiküszöbölése a szokásos módon történik - a számláló és a nevező "en"-vel való elosztásával a legmagasabb fokig.
(6) Osszuk tagonként a számlálókat a nevezőkkel, és jelöljük azokat a tagokat, amelyek nullára hajlanak.
(7) Egyszerűsítjük a választ, és megjegyezzük, hogy azzal a következtetéssel, hogy a d'Alembert-kritérium szerint a vizsgált sorozatok konvergálnak.

A vizsgált példában a sorozat általános tagjában egy 2. fokú polinomtal találkoztunk. Mi van, ha van egy 3., 4. vagy magasabb fokú polinom? A helyzet az, hogy ha egy magasabb fokú polinomot adunk meg, akkor nehézségek merülnek fel a zárójelek kinyitásával. Ebben az esetben alkalmazhatja a "turbó" megoldási módszert.

2. példa

Vegyünk egy hasonló sorozatot, és vizsgáljuk meg a konvergenciát

Először a teljes megoldás, majd a megjegyzések:

A d'Alembert jelet használjuk:

Így a vizsgált sorozat konvergál.

(1) Állítsa össze az arányt .
(2) Szabadulj meg a négyemeletes törttől.
(3) Tekintsük a számlálóban és a nevezőben lévő kifejezést. Azt látjuk, hogy a számlálóban ki kell nyitni a zárójeleket, és a negyedik hatványra kell emelni: , amit egyáltalán nem akarsz megtenni. Továbbá azoknak, akik nem ismerik a Newton-binomiálist, adott feladatot lehet, hogy egyáltalán nem kivitelezhető. Elemezzük a legmagasabb fokozatokat: ha a tetején kinyitjuk a zárójeleket, akkor a legmagasabb fokozatot kapjuk. Az alábbiakban ugyanaz a felsőfokú végzettségünk: . Az előző példához hasonlóan nyilvánvaló, hogy ha a számlálót és a nevezőt tagonként elosztjuk, akkor egyet kapunk a korlátban. Vagy ahogy a matematikusok mondják, polinomok és - egy növekedési sorrend. Így teljesen lehetséges, hogy egy egyszerű ceruzával körbeírja az arányt, és azonnal jelezze, hogy ez a dolog egységre hajlamos. Hasonlóképpen foglalkozunk a második polinompárral is: és , ők is egy növekedési sorrend, és arányuk az egység felé hajlik.

Valójában az 1. példában is meg lehetett volna csinálni egy ilyen „hackelést”, de egy 2. fokú polinom esetében ez a megoldás még mindig méltatlannak tűnik. Személy szerint én ezt csinálom: ha van első vagy másodfokú polinom (vagy polinomok), akkor a "hosszú" megoldási módszert használom az 1. példa megoldására. Ha a 3. vagy annál több polinom találkozik magas fokok, a 2. példához hasonló "turbó" módszert használok.

3. példa

Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Komplett megoldásés egy tervminta a számsorozatokról szóló lecke végén.
(4) Csökkents mindent, ami csökkenthető.
(5) Az állandót a határ előjelén túlra mozgatjuk. Nyissa ki a zárójelet a számlálóban.
(6) A bizonytalanság kiküszöbölése szabványos módon történik - a számláló és a nevező "en"-vel való elosztásával a legmagasabb fokig.

5. példa

Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Teljes megoldás és tervminta az óra végén

6. példa

Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Néha vannak olyan sorok, amelyek kitöltésében szorzók „lánca” van, ilyen típusú sorokkal még nem foglalkoztunk. Hogyan lehet felfedezni egy sorozatot a tényezők „láncolatával”? Használja a d'Alembert jelet. De először, hogy megértsük, mi történik, részletesen írunk egy sorozatot:

A dekompozícióból azt látjuk, hogy a sorozat minden következő tagjához hozzáadódik egy további tényező a nevezőben, ezért ha a sorozat közös tagja , akkor a sorozat következő tagja:
. Itt gyakran automatikusan hibáznak, formálisan leírják az algoritmus szerint, hogy

Egy példa megoldás így nézhet ki:

A d'Alembert jelet használjuk:

Így a vizsgált sorozat konvergál.

Mielőtt elkezdené a munkát ezzel a témával, azt tanácsolom, hogy tekintse meg a számsorok terminológiáját tartalmazó részt. Különösen érdemes odafigyelni a sorozat közös kifejezésének fogalmára. Ha kétségei vannak a konvergencia jelének helyes megválasztásával kapcsolatban, azt tanácsolom, hogy nézze meg a "Numerikus sorozatok konvergenciajelének kiválasztása" című témát.

A D'Alembert-teszt (vagy d'Alembert-próba) olyan sorozatok konvergenciájának vizsgálatára szolgál, amelyek közös tagja szigorúan nagyobb nullánál, azaz $u_n > 0 $. Az ilyen sorozatokat ún. szigorúan pozitív. A szabványos példákban a D "Alembert" jelet korlátozó formában használják.

D jele "Alamber (korlátozó formában)

Ha a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ sorozat szigorúan pozitív, és a $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $ $ majd $ L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (és $L=\infty$ esetén) a sorozat eltér.

A megfogalmazás meglehetősen egyszerű, de nyitott marad következő kérdés: mi történik, ha $L=1$? A D jele "Alembert nem tud válaszolni erre a kérdésre. Ha $ L \u003d 1 $, akkor a sorozat konvergálhat és divergálhat.

A szabványos példákban leggyakrabban a D "Alembert jelét használják, ha a sorozat közös tagjának kifejezése tartalmaz egy polinomot $n$-ban (a polinom lehet a gyök alatt is) és egy $a alakú fokot. ^n$ vagy $n!$. Például $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (lásd az 1. példát) vagy $u_n=\frac( \sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "!} névjegykártya"D" Alamber jele.

Mit jelent az „n!” kifejezés? mutat elrejt

Felvétel "n!" (értsd: "en faktorial") az összes szorzatát jelöli természetes számok 1-től n-ig, azaz.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Definíció szerint feltételezzük, hogy $0!=1!=1$. Például keressünk 5-öt!:

5 $!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Ezenkívül a D "Alembert-tesztet gyakran használják egy olyan sorozat konvergenciájának meghatározására, amelyek közös tagja a következő szerkezet szorzatát tartalmazza: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n) +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

1. példa

Vizsgálja meg a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ sorozatot a konvergencia szempontjából.

Mivel az alsó összegzési határ 1, a sorozat közös tagját az összegjel alá írjuk: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. Mivel $n≥ 1$ esetén $3n+7 > 0$, $5^n>0$ és $2n^3-1 > 0$, majd $u_n > 0$. Ezért sorozatunk szigorúan pozitív.

$5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\right))(\left(2(n+1)^3-1\right )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\left (2n^3-1\jobbra))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2() n+1)^3-1\jobbra))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ left(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\right)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \jobbra))(\left(2\left(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\jobbra)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10)) (n)\jobbra)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\jobbra))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\right)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

Mivel $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, akkor az adott sorozat szerint divergál.

Hogy őszinte legyek, a D jele "Alembert nem az egyetlen lehetőség ebben a helyzetben. Használhatja például a radikális Cauchy-jelet. A radikális Cauchy-jel használata azonban tudást (vagy bizonyítékot) igényel. további képletek. Ezért ebben a helyzetben kényelmesebb a D "Alembert" jel használata.

Válasz: a sorozat eltér.

2. példa

Fedezze fel a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2) sorozatot$ на сходимость.!}

Mivel az alsó összegzési határ 1, a sorozat közös tagját az összegjel alá írjuk: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

A sorozat közös tagja a gyök alatt polinomot tartalmaz, azaz. $\sqrt(4n+5)$, és faktoriális $(3n-2)!$. A faktoriális jelenléte egy szabványos példában csaknem száz százalékos garancia a D "Alembert jel alkalmazására.

Ennek a funkciónak a használatához meg kell találnunk a $\frac(u_(n+1))(u_n)$ reláció határértékét. $u_(n+1)$ írásához a következő képletet kell használni: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Mivel $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, a $u_(n+1)$ képlete másként is felírható :

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Ez a bejegyzés alkalmas a további megoldásokhoz, amikor a törtet a határ alá kell csökkentenünk. Ha a faktoriálisokkal való egyenlőség pontosítást igényel, kérjük, bővítse ki az alábbi megjegyzést.

Hogyan kaptuk a $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? mutat elrejt

A $(3n+1)!$ jelölés az összes természetes szám szorzatát jelenti 1-től $3n+1$-ig. Azok. ez a kifejezés így írható:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

Közvetlenül a $3n+1$ szám előtt van egy számmal kevesebb, azaz. szám $3n+1-1=3n$. És közvetlenül a $3n$ szám előtt van a $3n-1$ szám. Nos, közvetlenül a $3n-1$ szám előtt van a $3n-1-1=3n-2$ szám. Írjuk át a képletet $(3n+1)-re!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

Mi a $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$ szorzata? Ez a termék egyenlő: $(3n-2)!$. Ezért a $(3n+1)!$ kifejezés átírható a következő formában:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Ez a bejegyzés alkalmas a további megoldásokhoz, amikor a törtet a határ alá kell csökkentenünk.

Számítsa ki a $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$ értékét:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Mivel $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

Mielőtt magát a jelet megfogalmaznánk, vegyünk egy fontos kérdést:
Mikor kell alkalmazni a d'Alembert-féle konvergenciakritériumot?

A d'Alembert-teszt alkalmazásának fő előfeltételei a következők:

1) A sorozat közös tagja (a sorozat „tölteléke”) tartalmaz valamilyen számot a fokozatban, például , stb. Ráadásul egyáltalán nem mindegy, hogy ezek a függvények hol helyezkednek el, a számlálóban vagy a nevezőben – fontos, hogy ott legyenek.

2) A sorozat közös kifejezése magában foglalja a faktoriálist. Mi az a faktoriális?

…

…

! A d'Alembert-teszt használatakor csak a faktoriálist kell részletesen lefestenünk. Az előző bekezdéshez hasonlóan a faktoriális a tört tetején vagy alján is elhelyezhető.

3) Ha van egy "tényezőlánc" a sorozat közös kifejezésében, például, . Ez az eset ritka.

A hatványok és (és) faktorálok mellett gyakran megtalálhatók a polinomok a sorozat kitöltésében, ez nem változtat a dolgokon - ehhez a d'Alembert tesztet kell használni.

Ráadásul a sorozat általános kifejezésében a fokozat és a faktoriális is előfordulhat egyszerre; lehet két faktoriális, két fokozat, fontos, hogy legyen legalább valamit a figyelembe vett pontok közül – és ez csak előfeltétele a d'Alembert jel használatának.

D'Alembert jele: Fontolgat pozitív számsor. Ha a következő tag és az előző tag arányának van határa: , akkor:
a) Egy sorban konvergál
b) Egy sorban eltér
c) Mikor jel nem reagál. Más jelzést kell használnia. Leggyakrabban egy mértékegységet kapnak, amikor megpróbálják alkalmazni a d'Alembert-tesztet, ahol a határérték-összehasonlító tesztet kell használni.

A határok megértése és a bizonytalanság további feltárásának képessége nélkül sajnos nem lehet előrelépni.

Példa:
Megoldás: Azt látjuk, hogy a sorozat közös kifejezésében van , és ez a helyes előfeltevés, hogy a d'Alembert-tesztet kell használnunk.

A d'Alembert jelet használjuk:

konvergál.

Cauchy radikális jele.

A pozitív numerikus sorozatok Cauchy-konvergencia-próbája némileg hasonló az imént vizsgált d'Alembert-teszthez.

! Érdekesség, hogy ha a Cauchy-teszt nem ad választ a sorozatok konvergenciájának kérdésére, akkor a d'Alembert-teszt sem ad választ. De ha d'Alembert jele nem ad választ, akkor Cauchy jele "működhet". Vagyis a Cauchy-jel ebben az értelemben erősebb jel.

!!! Mikor kell használni a Cauchy gyökjelet? A radikális Cauchy-tesztet általában olyan esetekben használják, amikor a sorozat közös kifejezése TELJESEN fokon van az "en"-től függ. Vagy amikor a "jó" gyökeret kivonják a sorozat közös tagjából. Vannak még egzotikus esetek, de nem verjük be velük a fejünket.

Példa: Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Megoldás: Látjuk, hogy a sorozat közös tagja teljesen a -tól függő fok alatt van, ami azt jelenti, hogy a radikális Cauchy-tesztet kell használnunk:

Így a vizsgált sorozat eltér.

Integrált Cauchy-teszt.

Az integrál Cauchy-kritérium alkalmazásához többé-kevésbé magabiztosan kell tudni deriváltokat, integrálokat találni, és rendelkezni kell a számítási készségekkel is. helytelen integrál első fajta.

Saját szavaimmal fogom megfogalmazni (a könnyebb érthetőség kedvéért).

Integrált Cauchy-teszt: Fontolgat pozitív számsor. Ez a sorozat a megfelelő nem megfelelő integrállal együtt konvergál vagy divergál.

! !! Az integrált Cauchy-teszt használatának fő feltétele az a tény, hogy a sorozat közös tagja tartalmaz valamilyen függvényt és annak származékát.

Példa: Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Megoldás: A témából Derivált valószínűleg emlékszel a legegyszerűbb táblázatos dologra: , és van egy ilyen kanonikus esetünk.

Hogyan használjuk az integráljelet? Először vesszük az integrál ikont, és átírjuk a felső és alsó határt a sor „számlálójából”: . Ezután az integrál alatt átírjuk a sorozat „töltelékét” „x” betűvel:.

Most ki kell számítanunk a nem megfelelő integrált. Ebben az esetben két eset lehetséges:

1) Ha kiderül, hogy az integrál konvergál, akkor a sorozatunk is konvergál.

2) Ha kiderül, hogy az integrál divergál, akkor a mi sorozatunk is divergál.

Az integrált szolgáltatást használjuk:

Integrand folyamatos tovább

Így a vizsgált sorozat eltér a megfelelő nem megfelelő integrállal együtt.

Példa: Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

Megoldás: Először is ellenőrizzük a sorozatok konvergenciájának szükséges kritériuma. Ez nem formalitás, hanem remek lehetőség a "kis vérontás" példájával foglalkozni.

Numerikus sorozat magasabb növekedési sorrend mint , ezért , azaz teljesül a konvergencia szükséges kritériuma, és a sorozatok konvergálhatnak és divergálhatnak is.

Ezért valamilyen jelet kell használni. De mit? Az összehasonlítás határjele egyértelműen nem illik, mivel a logaritmus a sorozat közös kifejezésébe került, d'Alembert és Cauchy jelei szintén nem vezet eredményre. Ha megtennénk, akkor legalább ki lehetne kínlódni szerves jellemzője.

"A jelenet vizsgálata" divergens sorozatot sugall (egy általánosított harmonikus sorozat esete), de ismét felmerül a kérdés, hogyan lehet figyelembe venni a logaritmust a számlálóban?

Marad az egyenlőtlenségeken alapuló összehasonlítás legelső jele, amelyet gyakran nem vesznek figyelembe, és a túlsó polcon porosodik. Írjunk egy sorozatot részletesebben:

Emlékeztetlek, hogy - korlátlan növekedés numerikus sorozat:

És a számból kiindulva teljesül az egyenlőtlenség:

vagyis a sorozat tagjai lesznek még többérintett tagjai divergens sor .

Ebből kifolyólag nem marad más hátra a sorozatnak, mint a szétválás is.

Egy numerikus sorozat konvergenciája vagy divergenciája a "végtelen farkától" (maradványától) függ. Esetünkben figyelmen kívül hagyhatjuk azt a tényt, hogy az egyenlőtlenség az első két számra nem igaz - ez nem befolyásolja a következtetést.

A példa letisztult kialakításának valahogy így kell kinéznie:

Hasonlítsa össze ezt a sorozatot az eltérő sorozatokkal.
Minden számra -tól kezdve teljesül az egyenlőtlenség, ezért összehasonlításképpen a vizsgált sorozat eltér.

Váltakozó sorok. Leibniz jel. Megoldási példák.

Mi az a váltakozó sorozat? Ez már magából a névből is világos vagy majdnem egyértelmű. Csak a legegyszerűbb példa.

Fontolja meg a sorozatot, és írja le részletesebben:

Az alternatíva szorzót ad: ha páros, akkor pluszjel lesz, ha páratlan, akkor mínusz

Gyakorlati példákban a sorozat kifejezéseinek váltakozása nemcsak a faktort, hanem annak testvéreit is megadhatja: , , , …. Például:

A buktató a "trükkök":, stb. olyan szorzók ne biztosítson előjelváltást. Teljesen világos, hogy minden természetes : , , .

Hogyan vizsgáljunk meg egy váltakozó sorozatot a konvergencia szempontjából? Használja a Leibniz jelet.

Leibniz jel: Ha a váltakozó sorozatban két feltétel teljesül: 1) a sorozat tagjai abszolút értékben monoton csökkennek. 2) a közös tag határértéke abszolút értékben nulla, ekkor a sorozat konvergál, és ennek a sorozatnak a modulusa nem haladja meg az első tag modulusát.

Rövid információ a modulról:

Mit jelent a "modulo"? A modul, ahogy az iskolából emlékszünk, "megeszi" a mínusz jelet. Térjünk vissza a sorozathoz . Mentálisan törölje le az összes jelet radírral és nézd meg a számokat. Majd meglátjuk mindegyik következő sor tagja Kevésbé mint az előző.

Most egy kicsit az egyhangúságról.

Sor tagjai szigorúan monoton csökkentse a modulo-t, ha a sorozat MINDEN KÖVETKEZŐ tagja modulo KEVESEBB, mint az előző: . Egy számért a csökkenés szigorú monotonitása teljesül, részletesen leírható:

És röviden elmondhatjuk: a sorozat minden következő tagja modulo kevesebb, mint az előző: .

Sor tagjai nem szigorúan monoton modulus csökkenése, ha a modulo sorozat MINDEN KÖVETKEZŐ tagja NEM NAGYOBB, MINT az előző: . Tekintsünk egy faktoriális sorozatot: Itt nem szigorú monotonitás lép fel, mivel a sorozat első két tagja abszolút értékben azonos. Vagyis a sorozat minden következő tagja modulo nem több, mint az előző: .

A Leibniz-tétel feltételei között a csökkenés monotonitásának teljesülnie kell (nem számít, hogy szigorú vagy nem szigorú). Ebben az esetben a sorozat tagjai megtehetik még növeli a modulo egy ideig, de a sorozat "farkának" szükségszerűen monoton csökkenőnek kell lennie.

Példa: Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Megoldás: A sorozat általános kifejezése tartalmazza a faktort, ami azt jelenti, hogy a Leibniz-tesztet kell használni

1) A sorozat monoton csökkenése ellenőrzése.

1<2<3<…, т.е. n+1>n az első feltétel nem teljesül

2) – a második feltétel sem teljesül.

Következtetés: a sorozat eltér.

Meghatározás: Ha egy sorozat a Leibniz-kritérium szerint konvergál és egy modulokból álló sorozat is konvergál, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat abszolút konvergál.

Ha a sorozat a Leibniz-kritérium szerint konvergál, és a modulokból álló sorozat eltér, akkor azt mondjuk, hogy feltételesen konvergál.

Ha egy modulokból álló sorozat konvergál, akkor ez a sorozat is konvergál.

Ezért egy váltakozó konvergens sorozatot kell megvizsgálni abszolút vagy feltételes konvergenciára.

Példa:

Megoldás: A Leibniz jelet használjuk:

1) A sorozat minden következő tagjának modulusa kisebb, mint az előzőnek: – az első feltétel teljesül.

2) – a második feltétel is teljesül.

Következtetés: a sorozat konvergál.

Ellenőrizze a feltételes vagy abszolút konvergenciát.

Készítsünk egy sor modult - ismét csak eltávolítjuk a szorzót, amely biztosítja a váltakozást:
- eltér (harmonikus sorozat).

Így a mi sorozatunk nem teljesen konvergens.
Tanulmánysorozat feltételesen konvergál.

Példa: Vizsgáljon meg egy sorozatot feltételes vagy abszolút konvergenciára

Megoldás: A Leibniz jelet használjuk:
1) Próbáljuk meg leírni a sorozat első néhány kifejezését:

…?!

Az a tény, hogy nincsenek szokásos mindennapi trükkök az ilyen korlátok megoldására. Hol húzódik ez a határ? Nulláig, végtelenig? Itt fontos, hogy MI gyorsabban nő a végtelenben- számláló vagy nevező.

Ha a at számláló gyorsabban növekszik, mint a faktoriális, akkor . Ha a végtelenben a faktoriális gyorsabban növekszik, mint a számláló, akkor éppen ellenkezőleg, nullára húzza a határt: . Vagy talán ez a határ egy nem nulla számmal? vagy . Ehelyett helyettesíthet néhány ezredfokú polinomot, ez megint nem változtat a helyzeten - a faktoriális előbb-utóbb mégis „megelőz” egy ilyen szörnyű polinomot. Faktoriális magasabb növekedési sorrend.

– A faktoriális gyorsabban nő, mint bármilyen mennyiségű termék exponenciális és hatványsorozatok(a mi esetünk).

– Bármi exponenciális sorozat gyorsabban növekszik, mint bármely hatványsorozat, például: , . exponenciális sorozat magasabb növekedési sorrend mint bármely hatványsorozat. A faktoriálishoz hasonlóan az exponenciális sorozat tetszőleges számú hatványsorozat vagy polinom szorzatát "kihúzza": .

– Van valami „erősebb” a faktoriálisnál? Eszik! Az exponenciális sorozat ("en" az "en" hatványáig) gyorsabban nő, mint a faktoriális. A gyakorlatban ez ritka, de az információ nem lesz felesleges.

Vége a segítségnek

Így a tanulmány második pontja a következőképpen írható fel:
2) , mivel magasabb növekedési sorrend, mint .
A sorozat feltételei modulo csökkennek, valamilyen számból kiindulva, ugyanakkor a sorozat minden következő tagja abszolút értékben kisebb, mint az előző, így a csökkenés monoton.

Következtetés: a sorozat konvergál.

Ez csak az a furcsa eset, amikor a sorozat tagjai először abszolút értékben nőnek, ezért van téves kezdeti véleményünk a határértékről. De, valamilyen "en" számtól kezdve, a faktoriális megelőzi a számlálót, és a sorozat "farka" monoton csökkenővé válik, ami alapvetően fontos a Leibniz-tétel feltételének teljesüléséhez. Hogy pontosan mi is ez az "en", azt elég nehéz kideríteni.

Megvizsgáljuk a sorozatot abszolút vagy feltételes konvergenciára:

És itt már működik a d'Alembert-tábla:

A d'Alembert jelet használjuk:

Így a sorozat konvergál.

Tanulmánysorozat abszolút konvergál.

Az elemzett példa más módon is megoldható (egy váltakozó sorozat konvergenciájához elegendő kritériumot használunk).

A váltakozó sorozatok konvergenciájának elégséges kritériuma: Ha egy adott sorozat tagjainak abszolút értékéből álló sorozat konvergál, akkor az adott sorozat is konvergál.

Második út:

Vizsgáljon meg egy sorozatot feltételes vagy abszolút konvergenciára

Megoldás : Megvizsgáljuk a sorozatot az abszolút konvergencia szempontjából:

A d'Alembert jelet használjuk:

Így a sorozat konvergál.
Egy váltakozó sorozat konvergenciájához elegendő kritérium alapján maga a sorozat konvergál.

Következtetés: Tanulmánysorozat abszolút konvergál.

Adott pontosságú sorozat összegének kiszámítása a következő tételt fogjuk használni:

Legyen a váltakozó sorozat kielégíti a Leibniz-teszt feltételeit és hagyja - annak n-adik részösszeg. Ekkor a sorozat konvergál, és a hiba az összegének közelítő kiszámításában S abszolút értékben nem haladja meg az első elvetett tag modulusát:

funkcionális sorok. Teljesítmény sorozat.
A sorozatok konvergencia régiója.

A téma sikeres elsajátításához jól kell ismernie a közönséges numerikus sorozatokat.

Ez a cikk összegyűjtötte és strukturálta azokat az információkat, amelyek a számsorok témájában szinte minden példa megoldásához szükségesek, a sorozat összegének megállapításától a konvergenciájának vizsgálatáig.

Cikk áttekintése.

Kezdjük a pozitív előjelű, váltakozó előjelű sorozat definícióival és a konvergencia fogalmával. Ezután tekintsünk szabványos sorozatokat, például egy harmonikus sorozatot, egy általánosított harmonikus sorozatot, idézzük fel a képletet a végtelenül csökkenő összeg összegének meghatározásához. geometriai progresszió. Ezt követően kitérünk a konvergens sorozatok tulajdonságaira, elidőzünk a sorozatok konvergenciájának szükséges feltételén, és megfelelő feltételeket fogalmazunk meg a sorozatok konvergenciájához. Az elméletet felhígítjuk tipikus példák részletes magyarázatokkal történő megoldásával.

Oldalnavigáció.

Alapvető definíciók és fogalmak.

Legyen egy numerikus sorozatunk, ahol .

Íme egy példa egy numerikus sorozatra: .

Számsorozat az alak numerikus sorozatának tagjainak összege .

Példaként egy számsorra megadhatjuk egy végtelenül csökkenő geometriai haladás összegét q = -0,5 nevezővel: .

hívják számsor közös tagja vagy a sorozat k-adik tagja.

Az előző példában a számsor közös tagja a .

Számsorozat részösszege az alak összege, ahol n valamilyen természetes szám. számsor n-edik részösszegének is nevezik.

Például a sorozat negyedik részösszege Van .

Részösszegek számsorozat részösszegeinek végtelen sorozatát alkotják.

Sorozatunkban az n-edik részösszeget a geometriai folyamat első n tagjának összegének képletével találjuk meg. , azaz a következő részösszegek sorozata lesz: .

A számsort hívják összetartó, ha a részösszegek sorozatának véges határa van. Ha egy numerikus sorozat részösszegei sorozatának határa nem létezik, vagy végtelen, akkor a sorozatot ún. divergens.

Egy konvergens számsor összege részösszegei sorozatának határának nevezzük, azaz .

Példánkban tehát a sorozat konvergál, és összege tizenhat harmaddal egyenlő: .

Divergens sorozatra példa egynél nagyobb nevezővel rendelkező geometriai progresszió összege: . Az n-edik részösszeget a , és a részösszegek határa végtelen: .

Egy másik példa a divergens számsorra az alak összege . Ebben az esetben az n-edik részösszeg így számítható ki. A részösszegek határa végtelen .

Összeg nézet hívott harmonikus számsorok.

Összeg nézet , ahol s valamilyen valós szám, hívjuk általánosított harmonikus számsor.

A fenti definíciók elegendőek az alábbi nagyon gyakran használt állítások alátámasztására, javasoljuk, hogy emlékezzen rájuk.

A HARMONIKUS SOROZAT Eltérő.

Bizonyítsuk be a harmonikus sorozat divergenciáját.

Tegyük fel, hogy a sorozat konvergál. Ekkor a részösszegeinek véges határa van. Ebben az esetben írhatunk és -t, ami az egyenlőséghez vezet .

A másik oldalon,

A következő egyenlőtlenségek nem kétségesek. És így, . Az ebből eredő egyenlőtlenség azt mondja nekünk, hogy az egyenlőség nem érhető el, ami ellentmond a harmonikus sorozatok konvergenciájára vonatkozó feltételezésünknek.

Következtetés: a harmonikus sorozatok eltérnek.

A TÍPUS EGY GEOMETRIAI ELŐRELEGEDÉSÉNEK ÖSSZEGZÉSE A q NEVEZŐVEL EGY IF KONVERGENS SZÁMSOROZAT ÉS EGY AT DIVERGENS SOR.

Bizonyítsuk be.

Tudjuk, hogy egy geometriai haladás első n tagjának összegét a képlet határozza meg .

Amikor igazságos

amely a numerikus sorozatok konvergenciáját jelzi.

q = 1-re van egy számsorunk . Részösszegei így találhatók, a részösszegek határa pedig végtelen , ami jelen esetben a sorozat divergenciáját jelzi.

Ha q \u003d -1, akkor a számsor alakja lesz . A részösszegek értéket vesznek fel páratlan n és páros n esetén. Ebből arra következtethetünk, hogy a részösszegek határa nem létezik, és a sorozatok eltérnek.

Amikor igazságos

amely a numerikus sorozat divergenciáját jelzi.

ÁLTALÁNOSÍTOTT HARMONIKUS SOROZAT KONVERGÁL s > 1-hez ÉS DIVERS FOR .

Bizonyíték.

s = 1-re a harmonikus sorozatot kapjuk, és fentebb megállapítottuk a divergenciáját.

Nál nél s az egyenlőtlenség minden természetes k-re érvényes. A harmonikus sorozat divergenciája miatt azt mondhatjuk, hogy részösszegeinek sorrendje korlátlan (mivel nincs véges határ). Ekkor a numerikus sorozatok részösszegeinek sorozata annál korlátlanabb (ennek a sorozatnak minden tagja nagyobb, mint a harmonikus sorozat megfelelő tagja), ezért az általánosított harmonikus sorozat s-nél eltér.

Be kell bizonyítani a sorozatok konvergenciáját s > 1 esetén.

Írjuk a különbséget:

Nyilván akkor

Írjuk fel az eredményül kapott egyenlőtlenséget n = 2, 4, 8, 16, …

Ezen eredmények felhasználásával a következő műveletek hajthatók végre az eredeti numerikus sorozattal:

Kifejezés egy geometriai progresszió összege, amelynek nevezője . Mivel s > 1 esetét vizsgáljuk, akkor . Ezért
. Így az s > 1 általánosított harmonikus sorozat parciális összegeinek sorozata növekszik, és egyben felülről határolja az értékkel, ezért van egy határa, amely a sorozat konvergenciáját jelzi. A bizonyítás kész.

A számsort hívják előjel-pozitív ha minden feltétele pozitív, azaz .

A számsort hívják váltakozó ha szomszédos kifejezéseinek előjele eltérő. Egy váltakozó számsor felírható így vagy , Ahol .

A számsort hívják váltakozó ha végtelen számú pozitív és negatív tagot is tartalmaz.

A váltakozó számsor a váltakozó sorozat speciális esete.

rangok

előjel-pozitív, jel-váltakozó és jel-váltakozó.

Egy váltakozó sorozat esetében létezik az abszolút és feltételes konvergencia fogalma.

abszolút konvergens, ha tagjainak abszolút értékeinek sorozata konvergál, azaz egy pozitív előjelű numerikus sorozat konvergál.

Például számsorok És teljesen konvergálnak, mivel a sorozatok konvergálnak , amely egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege.

A váltakozó sorozat az ún feltételesen konvergens ha a sorozatok eltérnek és a sorozatok konvergálnak.

A feltételesen konvergens számsorra példa a sorozat . Számsorozat , amely az eredeti sorozat tagjainak abszolút értékéből áll, divergens, mivel harmonikus. Ugyanakkor az eredeti sorozat konvergens, ami a segítségével könnyen megállapítható. Így a számjel-váltakozó sorozat feltételesen konvergens.

Konvergens numerikus sorozatok tulajdonságai.

Példa.

Igazolja a numerikus sorozatok konvergenciáját!

Megoldás.

Írjuk meg a sorozatot más formában . A számsorok konvergálnak, mivel az általánosított harmonikus sorozat s > 1 esetén konvergens, és a konvergens számsorok második tulajdonsága miatt a numerikus együtthatós sorozat is konvergál.

Példa.

Konvergál a számsor?

Megoldás.

Alakítsuk át az eredeti sorozatot: . Így megkaptuk két és numerikus sorozat összegét, és mindegyik konvergál (lásd az előző példát). Ezért a konvergens numerikus sorozatok harmadik tulajdonsága miatt az eredeti sorozat is konvergál.

Példa.

Igazoljuk a számsorok konvergenciáját! és számítsa ki az összegét.

Megoldás.

Ez a számsor két sorozat különbségeként ábrázolható:

Ezen sorozatok mindegyike egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege, ezért konvergens. A konvergens sorozatok harmadik tulajdonsága lehetővé teszi, hogy kijelentsük, hogy az eredeti numerikus sorozatok konvergálnak. Számítsuk ki az összegét.

A sorozat első tagja egy, és a megfelelő geometriai progresszió nevezője 0,5, ezért .

A sorozat első tagja 3, a hozzá tartozó végtelenül csökkenő geometriai progresszió nevezője pedig 1/3, tehát .

A kapott eredmények segítségével keressük meg az eredeti számsor összegét:

Egy sorozat konvergenciájának szükséges feltétele.

Ha a számsor konvergál, akkor k-edik tagjának határa nullával egyenlő: .

A konvergencia bármely numerikus sorozatának vizsgálatakor mindenekelőtt a konvergenciához szükséges feltétel teljesülését kell ellenőrizni. Ennek a feltételnek a be nem tartása a numerikus sorozat divergenciáját jelzi, vagyis ha , akkor a sorozat eltér.

Másrészt meg kell érteni, hogy ez a feltétel nem elegendő. Azaz az egyenlőség teljesülése nem jelzi a számsorok konvergenciáját. Például egy harmonikus sorozat esetén teljesül a szükséges konvergenciafeltétel, és a sorozat eltér.

Példa.

Vizsgálja meg a számsorok konvergenciáját!

Megoldás.

Ellenőrizzük a numerikus sorozatok konvergenciájának szükséges feltételét:

Határ a numerikus sorozat n-edik tagja nem egyenlő nullával, ezért a sorozat divergál.

Elegendő feltételek egy pozitív előjelű sorozat konvergenciájához.

Ha elegendő jellemzőt használ a numerikus sorozatok konvergenciájának tanulmányozásához, folyamatosan foglalkoznia kell a -val, ezért javasoljuk, hogy nehézségek esetén tekintse át ezt a részt.

Egy pozitív előjelű számsor konvergenciájának szükséges és elégséges feltétele.

Előjel-pozitív számsorok konvergenciájára szükséges és elégséges, hogy részösszegeinek sorrendje korlátos legyen.

Kezdjük a sorozat-összehasonlítási funkciókkal. Lényegük abban rejlik, hogy a vizsgált numerikus sorozatokat összehasonlítják egy olyan sorozattal, amelynek konvergenciája vagy divergenciája ismert.

Az összehasonlítás első, második és harmadik jele.

A sorok összehasonlításának első jele.

Legyen és két pozitív előjelű numerikus sorozat, és az egyenlőtlenség minden k = 1, 2, 3, ... esetén teljesül. Ekkor a sorozat konvergenciája a konvergenciát jelenti, a sorozat divergenciája pedig a divergenciát.

Az első összehasonlítási kritériumot nagyon gyakran használják, és ez egy nagyon hatékony eszköz a numerikus sorozatok konvergencia vizsgálatára. A fő probléma az összehasonlításhoz megfelelő sorozat kiválasztása. Az összehasonlítás sorozatát általában (de nem mindig) úgy választjuk meg, hogy k-edik tagjának kitevője egyenlő legyen a vizsgált számsor k-edik tagjának számlálójának és nevezőjének kitevőinek különbségével. Például legyen , a számláló és a nevező kitevője közötti különbség 2 - 3 = -1, ezért összehasonlításképpen a k-adik tagú sorozatot, azaz harmonikus sorozatot választunk. Nézzünk néhány példát.

Példa.

Állítsa be a sorozatok konvergenciáját vagy divergenciáját.

Megoldás.

Mivel a sorozat közös tagjának határa nulla, így a sorozatok konvergenciájának szükséges feltétele teljesül.

Könnyen belátható, hogy az egyenlőtlenség minden természetes k-re igaz. Tudjuk, hogy a harmonikus sorozat divergens, ezért az összehasonlítás első jele szerint az eredeti sorozat is divergens.

Példa.

Vizsgálja meg a számsorok konvergenciáját!

Megoldás.

Szükséges állapot a számsorok konvergenciája teljesül, hiszen . Nyilvánvaló, hogy az egyenlőtlenség k bármely természeti értékére. A sorozat konvergál, mert az általánosított harmonikus sorozat s > 1 esetén konvergál. Így a sorozat-összehasonlítás első jele lehetővé teszi, hogy megállapítsuk az eredeti numerikus sorozatok konvergenciáját.

Példa.

Határozza meg a számsorok konvergenciáját vagy divergenciáját!

Megoldás.

, tehát a numerikus sorozatok konvergenciájának szükséges feltétele teljesül. Melyik sort válasszam az összehasonlításhoz? Egy numerikus sorozat javasolja magát, és az s meghatározásához alaposan megvizsgáljuk a numerikus sorozatot. A numerikus sorozat tagjai a végtelen felé nőnek. Így valamely N számból kiindulva (nevezetesen N = 1619-ből) ennek a sorozatnak a tagjai nagyobbak lesznek 2-nél. Ebből az N számból kiindulva érvényes az egyenlőtlenség. A számsor a konvergens sorozatok első tulajdonsága miatt konvergál, mivel egy konvergens sorozatból kapjuk az első N - 1 tag elvetésével. Így az összehasonlítás első jele szerint a sorozat konvergens, és a konvergens numerikus sorozatok első tulajdonsága miatt a sorozat is konvergens lesz.

Az összehasonlítás második jele.

Legyen és előjel-pozitív numerikus sorozat. Ha , akkor a sorozat konvergenciája a konvergenciáját jelenti. Ha , akkor a numerikus sorozat divergenciája a divergenciát jelenti.

Következmény.

Ha és , akkor az egyik sorozat konvergenciája a másik konvergenciáját, a divergencia pedig a divergenciát jelenti.

A sorozat konvergenciáját a második összehasonlítási kritérium segítségével vizsgáljuk. Vegyünk egy konvergens sorozatot sorozatnak. Határozzuk meg a numerikus sorozat k-edik tagjainak arányának határát:

Így a második összehasonlítási ismérv szerint a numerikus sorozatok konvergenciája az eredeti sorozatok konvergenciáját jelenti.

Példa.

Vizsgálja meg egy számsor konvergenciáját!

Megoldás.

Vizsgáljuk meg a sorozatok konvergenciájához szükséges feltételt . A feltétel teljesül. Az összehasonlítás második jelének alkalmazásához vegyünk egy harmonikus sorozatot. Keressük a k-edik tagok arányának határát:

Következésképpen az eredeti sorozat divergenciája a harmonikus sorozatok divergenciájából következik a második összehasonlítási ismérv szerint.

Tájékoztatásul bemutatjuk a sorozatok összehasonlításának harmadik kritériumát.

Az összehasonlítás harmadik jele.

Legyen és előjel-pozitív numerikus sorozat. Ha a feltétel adott N számtól teljesül, akkor a sorozat konvergenciája a konvergenciát, a sorozat divergenciája pedig a divergenciát jelenti.

D'Alembert jele.

Megjegyzés.

d'Alembert előjele akkor érvényes, ha a határ végtelen, vagyis ha , akkor a sorozat konvergál, ha , akkor a sorozat szétválik.

Ha , akkor a d'Alembert-teszt nem ad információt a sorozatok konvergenciájáról vagy divergenciájáról, és további kutatásokra van szükség.

Példa.

Vizsgáljuk meg a számsorok konvergenciáját d'Alembert alapján.

Megoldás.

Ellenőrizzük a numerikus sorozatok konvergenciájához szükséges feltétel teljesülését, a határértéket a következőképpen számítjuk ki:

A feltétel teljesül.

Használjuk d'Alembert jelét:

Így a sorozat konvergál.

Cauchy radikális jele.

Legyen pozitív előjelű számsorozat. Ha , akkor a sorozat konvergál, ha , akkor a sorozat eltér.

Megjegyzés.

A Cauchy-féle radikális teszt akkor érvényes, ha a határ végtelen, vagyis ha , akkor a sorozat konvergál, ha , akkor a sorozat szétválik.

Ha , akkor a Cauchy-gyökpróba nem ad információt a sorozatok konvergenciájáról vagy divergenciájáról, és további kutatások szükségesek.

Általában elég könnyű belátni azokat az eseteket, amikor a legjobb a radikális Cauchy-teszt használata. Jellemző eset, amikor a számsor közös tagja exponenciális hatalom kifejezése. Nézzünk néhány példát.

Példa.

Vizsgálja meg a pozitív előjelű számsorok konvergenciáját a radikális Cauchy-próbával.

Megoldás.

. A radikális Cauchy-teszttel azt kapjuk .

Ezért a sorozat konvergál.

Példa.

Konvergál a számsor? .

Megoldás.

Használjuk a radikális Cauchy-tesztet , ezért a számsorok konvergálnak.

Integrált Cauchy-teszt.

Legyen pozitív előjelű számsorozat. Készítsünk egy függvényt az y = f(x) folytonos argumentumból, hasonlóan a függvényhez. Legyen az y = f(x) függvény pozitív, folytonos és csökkenő az intervallumon, ahol ). Majd konvergencia esetén helytelen integrál konvergálja a vizsgált számsorokat. Ha a nem megfelelő integrál eltér, akkor az eredeti sorozat is eltér.

Ha egy y = f(x) függvény lecsengését egy intervallumon keresztül ellenőrizzük, hasznosnak találhatja a szakasz elméletét.

Példa.

Vizsgáljuk meg a pozitív tagú számsorokat a konvergenciára.

Megoldás.

A sorozatok konvergenciájának szükséges feltétele teljesül, hiszen . Tekintsünk egy függvényt. Pozitív, folyamatos és az intervallumon csökkenő. Ennek a függvénynek a folytonossága és pozitivitása kétségtelen, de térjünk ki egy kicsit részletesebben a csökkenésre. Keressük a származékot:
. Az intervallumon negatív, ezért a függvény ezen az intervallumon csökken.

Jean Léron d'Alembert a 18. század híres francia matematikusa. D'Alembert általában a differenciálegyenletekre specializálódott, és kutatásai alapján ballisztikával foglalkozott, hogy Őfelsége ágyúgolyói jobban repüljenek. Ugyanakkor nem feledkeztem meg a számsorokról sem, nem hiába közeledtek és váltak el olyan egyértelműen a napóleoni csapatok sorai.

Mielőtt magát a jelet megfogalmaznánk, vegyünk egy fontos kérdést:
Mikor kell alkalmazni a d'Alembert-féle konvergenciakritériumot?

A d'Alembert-tábla alkalmazásának fő feltételei a következők:

2) A sorozat közös kifejezése magában foglalja a faktoriálist. Mi az a faktoriális? Semmi bonyolult, a faktoriális csak a termék összehajtogatott rekordja:

…

…

! A d'Alembert-teszt használatakor csak a faktoriálist kell részletesen lefestenünk. Az előző bekezdéshez hasonlóan a faktoriális a tört tetején vagy alján is elhelyezhető.

3) Ha a sorozat közös tagjában van egy „tényezőlánc”, például . Ez az eset ritka, de! Egy ilyen sorozat tanulmányozásakor gyakran tévednek – lásd a 6. példát.

A hatványok és (és) faktorálok mellett gyakran megtalálhatók a polinomok a sorozat kitöltésében, ez nem változtat a dolgokon - ehhez a d'Alembert tesztet kell használni.

Akinek továbbra is problémái vannak a korlátokkal, vagy a határok félreértése, olvassa el a témát Korlátok. Megoldási példák. A határok megértése és a bizonytalanság további feltárásának képessége nélkül sajnos nem lehet előrelépni. És most jönnek a régóta várt példák.

1. példa
Azt látjuk, hogy a sorozat közös kifejezésében van , és ez a helyes előfeltevés, hogy a d'Alembert-tesztet kell használnunk. Először egy komplett megoldás és egy tervminta, megjegyzések alább.

A d'Alembert jelet használjuk:

konvergál.

2. példa Vegyünk egy hasonló sorozatot, és vizsgáljuk meg a konvergenciát
Először a teljes megoldás, majd a megjegyzések:

A d'Alembert jelet használjuk:

Így a vizsgált sorozat konvergál.

(1) Állítsa össze az arányt .
(2) Szabadulj meg a négyemeletes törttől.
(3) Tekintsük a számlálóban és a nevezőben lévő kifejezést. Azt látjuk, hogy a számlálóban ki kell nyitni a zárójeleket, és a negyedik hatványra kell emelni: , amit egyáltalán nem akarsz megtenni. Ráadásul azok számára, akik nem ismerik a Newton-binomiálist, ez a feladat egyáltalán nem kivitelezhető. Elemezzük a legmagasabb fokozatokat: ha a tetején kinyitjuk a zárójeleket, akkor a legmagasabb fokozatot kapjuk. Az alábbiakban ugyanaz a felsőfokú végzettségünk: . Az előző példához hasonlóan nyilvánvaló, hogy ha a számlálót és a nevezőt tagonként elosztjuk, akkor egyet kapunk a korlátban. Vagy ahogy a matematikusok mondják, polinomok és - egy növekedési sorrend. Így teljesen lehetséges, hogy egy egyszerű ceruzával körbeírja az arányt, és azonnal jelezze, hogy ez a dolog egységre hajlamos. Hasonlóképpen foglalkozunk a második polinompárral is: és , ők is egy növekedési sorrend, és arányuk az egység felé hajlik.

Valójában az 1. példában is meg lehetett volna csinálni egy ilyen „hackelést”, de egy 2. fokú polinom esetében ez a megoldás még mindig méltatlannak tűnik. Személy szerint én ezt teszem: ha van első vagy másodfokú polinom (vagy polinomok), akkor a "hosszú" megoldási módszert használom 1. példa. Ha egy 3. vagy magasabb fokú polinom jön, akkor a "turbót" használom. A 2. példához hasonló módszer.

3. példa .

Nézzünk tipikus példákat faktoriálisra:

4. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

A sorozat közös kifejezése magában foglalja a fokozatot és a faktoriálist is. Világos, mint a nappal, hogy itt d'Alembert jelét kell használni. Mi döntünk.

Így a vizsgált sorozat eltér.

(1) Állítsa össze az arányt . Ismételjük meg újra. Feltétel szerint a sorozat közös kifejezése: . A sorozat következő tagjának megszerzéséhez helyette kell helyettesíteni, És így: .
(2) Szabadulj meg a négyemeletes törttől.
(3) Lecsípjük a hetest a fokról. A faktorállapotokat részletesen ismertetjük. Hogyan kell ezt csinálni - lásd a lecke elején.
(4) Csökkents mindent, ami csökkenthető.
(5) Az állandót a határ előjelén túlra mozgatjuk. Nyissa ki a zárójelet a számlálóban.
(6) A bizonytalanság kiküszöbölése szabványos módon történik - a számláló és a nevező "en"-vel való elosztásával a legmagasabb fokig.

5. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából A teljes megoldás alább található.

6. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Egy példamegoldás így nézhet ki: A d'Alembert-teszt használata:
Így a vizsgált sorozat konvergál.
RADIKÁLIS CAUCHY JEL

Augustin Louis Cauchy még híresebb francia matematikus. Bármely műszaki szakos hallgató elmesélheti Cauchy életrajzát. A legszebb színekben. Nem véletlen, hogy ezt a vezetéknevet az Eiffel-torony első emeletén faragják.

A pozitív numerikus sorozatok Cauchy-konvergencia-próbája némileg hasonló az imént vizsgált d'Alembert-teszthez.

Cauchy radikális jele: Fontolgat pozitív számsor. Ha van határ: , akkor:
a) Egy sorban konvergál. Különösen a sorozat konvergál.
b) Egy sorban eltér. Különösen a sorozat tér el.
c) Mikor jel nem reagál. Más jelzést kell használnia. Érdekesség, hogy ha a Cauchy-teszt nem ad választ a sorozatok konvergenciájának kérdésére, akkor a d'Alembert-teszt sem ad választ. De ha d'Alembert jele nem ad választ, akkor Cauchy jele "működhet". Vagyis a Cauchy-jel ebben az értelemben erősebb jel.

Mikor kell használni a Cauchy gyökjelet? A radikális Cauchy-tesztet általában olyan esetekben használják, amikor a sorozat közös kifejezése TELJESEN fokon van az "en"-től függ. Vagy amikor a "jó" gyökeret kivonják a sorozat közös tagjából. Vannak még egzotikus esetek, de nem verjük be velük a fejünket.

7. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Látjuk, hogy a sorozat közös tagja teljesen a -tól függő fok alatt van, ami azt jelenti, hogy a radikális Cauchy-tesztet kell használnunk:

Így a vizsgált sorozat eltér.

(1) A gyökér alatt kiadjuk a sorozat közös tagját.
(2) Ugyanazt írjuk át, csak gyök nélkül, a fokok tulajdonságát használva.
(3) A kitevőben tagonként elosztjuk a számlálót a nevezővel, jelezve, hogy
(4) Ennek eredményeképpen bizonytalanságunk van. Itt hosszú utat lehet bevinni: kocka, kocka, majd a számlálót és a nevezőt osszuk el "en"-vel a legmagasabb fokon. De ebben az esetben van egy hatékonyabb megoldás: a számlálót és a nevezőt tagonként oszthatja fel közvetlenül a fokállandó alatt. A bizonytalanság kiküszöbölésére a számlálót és a nevezőt elosztjuk (legnagyobb hatvány) értékkel.
(5) Valójában végrehajtjuk a tagok szerinti osztást, és a nullára hajlamos tagokat jelöljük.
(6) Eszünkbe hozzuk a választ, megjelöljük, és arra a következtetésre jutunk, hogy a sorozatok eltérnek egymástól.

És itt van egy egyszerűbb példa független megoldás:

8. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

És még egy-két tipikus példa.

A teljes megoldás és mintaterv alább található.

9. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából
A radikális Cauchy-tesztet használjuk:

Így a vizsgált sorozat konvergál.

(1) Helyezze a sorozat közös tagját a gyökér alá!
(2) Ugyanezt írjuk át, de gyökér nélkül, miközben a zárójeleket a rövidített szorzóképlet segítségével nyitjuk meg: .
(3) A kitevőben tagonként elosztjuk a számlálót a nevezővel, és jelezzük, hogy .
(4) A forma bizonytalanságát kapjuk. Itt oszthatja el a számlálót a nevezővel az "en"-vel a legmagasabb fokig, közvetlenül a zárójelben. Valami hasonlóval találkoztunk a tanulás során második figyelemre méltó határ. De itt más a helyzet. Ha a nagyobb hatványokon az együtthatók voltak ugyanaz, például: , akkor nem ment volna el a trükk a kifejezésenkénti felosztással, és a másodikat kellett volna használni csodálatos határ. De megvannak ezek az együtthatók különböző(5 és 6), ezért lehetséges (és szükséges) a kifejezést kifejezésre osztani (mellesleg, ellenkezőleg - a második csodálatos határ különböző a nagyobb teljesítményű együtthatók már nem működnek).
(5) Valójában tagonkénti felosztást végzünk, és jelezzük, hogy esetünkben mely kifejezések nulláznak.
(6) A bizonytalanság megszűnik, marad a legegyszerűbb határ: Miért végtelenül nagy foka nullára hajlik? Mert a fokozat alapja kielégíti az egyenlőtlenséget . Ha valakinek kétségei vannak a limit igazságosságával kapcsolatban, akkor nem leszek lusta, veszek egy kalkulátort:
Ha akkor
Ha akkor
Ha akkor
Ha akkor
Ha akkor
… stb. a végtelenségig – vagyis a határban:
(7) Ezt jelezzük, és arra a következtetésre jutunk, hogy a sorozatok konvergálnak.

10. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Ez egy „csináld magad” példa.

Néha provokatív példát kínálnak a megoldásra, például:. Itt a kitevőben nincs "en", csak egy állandó. Itt négyzetre kell emelnie a számlálót és a nevezőt (a polinomok kiderülnek), majd kövesse a cikkben található algoritmust Sorok teáskannákhoz. Egy ilyen példában vagy a sorozatok konvergenciájához szükséges kritériumnak, vagy az összehasonlítás határkritériumának kell működnie.
INTEGRAL CAUCHY TESZT

Csalódást okozok azoknak, akik rosszul tanulták meg az első tanfolyam anyagát. Az integrál Cauchy-kritérium alkalmazásához többé-kevésbé magabiztosan kell tudni deriváltokat, integrálokat találni, és rendelkezni kell a számítási készségekkel is. helytelen integrál első fajta. A tankönyvekben matematikai elemzés A Cauchy-féle integrálkritérium matematikailag szigorúan meg van adva, fogalmazzuk meg elég primitíven, de érthetően a kritériumot. És rögtön példák a tisztázáshoz.

Integrált Cauchy-teszt: Fontolgat pozitív számsor. Ez a sorozat konvergál vagy divergál

11. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Majdnem klasszikus. Természetes logaritmus és valami baromság.

Az integrált Cauchy-teszt használatának fő feltétele az a tény, hogy a sorozat közös tagja tartalmaz valamilyen függvényt és annak származékát. A témából Derivált valószínűleg emlékszel a legegyszerűbb táblázatos dologra: , és van egy ilyen kanonikus esetünk.

Hogyan használjuk az integráljelet? Először vesszük az integrál ikont, és átírjuk a felső és alsó határt a sor „számlálójából”: . Ezután az integrál alá írjuk át a sor „töltelékét” a „he” betűvel:. Valami hiányzik..., igen, a számlálóba egy differenciál ikont is be kell szúrni: .

Most ki kell számítanunk a nem megfelelő integrált. Ebben az esetben két eset lehetséges:

1) Ha kiderül, hogy az integrál konvergál, akkor a sorozatunk is konvergál.

2) Ha kiderül, hogy az integrál divergál, akkor a mi sorozatunk is divergál.

Ismétlem, ha az anyag fut, akkor a bekezdés elolvasása nehéz és homályos lesz, mivel a funkció alkalmazása lényegében a számításban merül ki. helytelen integrál első fajta.

A példa teljes megoldásának és kialakításának valahogy így kell kinéznie:

Az integrált szolgáltatást használjuk:

Így a vizsgált sorozat eltér a megfelelő nem megfelelő integrállal együtt.

12. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Megoldás és mintaterv az óra végén

A vizsgált példákban a logaritmus a gyökér alatt is lehet, ez nem változtatna a megoldási módon.

És még két példa uzsonnára

13. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

A közös "paraméterek" szerint a sorozat közös kifejezése alkalmasnak tűnik a határérték-összehasonlítási kritérium használatára. Csak ki kell nyitnia a zárójeleket, és azonnal át kell adnia a jelöltnek, hogy a lehető legjobban hasonlítsa össze ezt a sorozatot a konvergens sorozatokkal. Viszont egy kicsit ravasz voltam, lehet, hogy a zárójeleket nem lehet kinyitni, de mindazonáltal a megoldás a limit-összehasonlítási kritériumon keresztül eléggé igényesnek tűnik.

Ezért az integrált Cauchy-tesztet használjuk:

Az integrandus folyamatosan működik

konvergál a megfelelő nem megfelelő integrállal együtt.

! Jegyzet:kapott szám -nem a sorozat összege!

14. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Megoldás és tervezősablon a véget érő rész végén.

A számsorok témakörének végleges és visszavonhatatlan asszimilációja érdekében keresse fel a témaköröket.

Megoldások és válaszok:

3. példa:A d'Alembert jelet használjuk:

Így a vizsgált sorozat eltér.
Megjegyzés: Lehetett „turbó” megoldási módszert is használni: azonnal karikázzuk be ceruzával az arányt, jelezzük, hogy az egységre hajlamos, és jegyezzük meg: „egy növekedési sorrend”.

5. példa: A d'Alembert-teszt használata: Így a vizsgált sorozat konvergál.

8. példa:

Így a vizsgált sorozat konvergál.

10. példa:
A radikális Cauchy-tesztet használjuk.

Így a vizsgált sorozat eltér.
Megjegyzés: Itt van a diploma alapja, tehát

12. példa: Integráljelet használunk.

Egy véges számot kapunk, ami azt jelenti, hogy a vizsgált sorozat konvergál

14. példa: Integráljelet használunk
Az integrandus folyamatos a .

Így a vizsgált sorozat eltér a megfelelő nem megfelelő integrállal együtt.
Megjegyzés: Egy sorozat a használatával is felfedezhetőLimit összehasonlítási kritérium . Ehhez meg kell nyitnia a gyökér alatti zárójeleket, és össze kell hasonlítania a vizsgált sorozatot az eltérő sorozatokkal.

Váltakozó sorok. Leibniz jel. Megoldási példák

A lecke példáinak megértéséhez jól ismerni kell a pozitív numerikus sorozatokat: megérteni, mi a sorozat, ismerni kell a sorozatok konvergenciájának szükséges jelét, tudni kell összehasonlító jeleket alkalmazni, d' Alembert jele, Cauchy jelei. A téma szinte a nulláról felvehető a cikkek szekvenciális tanulmányozásával Sorok teáskannákhozÉs D'Alembert jele. Cauchy jelei. Logikusan ez a lecke a harmadik a sorban, és nemcsak a váltakozó sorok megértését teszi lehetővé, hanem a már tárgyalt anyag konszolidálását is! Kevés újdonság lesz, és nem lesz nehéz elsajátítani a váltakozó sorokat. Minden egyszerű és megfizethető.

Mi az a váltakozó sorozat? Ez már magából a névből is világos vagy majdnem egyértelmű. Azonnal a legegyszerűbb példa. Tekintsük a sorozatot, és írjuk le részletesebben:

Most jöjjön a gyilkos megjegyzés. Egy váltakozó sorozat tagjai váltakoznak jelekkel: plusz, mínusz, plusz, mínusz, plusz, mínusz stb. a végtelenig.
Az interleaving szorzót ad: ha páros, akkor plusz, ha páratlan, mínusz jel lesz. A matematikai zsargonban ezt a mesterséget villogónak nevezik. Így a váltakozó sorozatot mínusz 1 „azonosítja” az „en” hatványig.

Gyakorlati példákban a sorozat kifejezéseinek váltakozása nemcsak a faktort, hanem annak testvéreit is megadhatja: , , , …. Például:

A buktató a "trükkök":, stb. olyan szorzók ne biztosítson előjelváltást. Teljesen világos, hogy minden természetes : , , . A trükkös sorokat nem csak a különösen tehetséges tanulóknak csúsztatják, időnként „maguktól” is megjelennek a megoldás során. funkcionális sorok.

Hogyan vizsgáljunk meg egy váltakozó sorozatot a konvergencia szempontjából? Használja a Leibniz jelet. A német gondolatóriásról, Gottfried Wilhelm Leibnizről nem akarok beszélni, mert a matematikai munkák mellett több filozófiai kötetet is lecsapott. Veszélyes az agyra.

Leibniz jel: Ha a váltakozó sorozat tagjai monoton csökken a modulo, akkor a sorozat konvergál. Vagy két bekezdésben:

2) A sorozat feltételei modulo csökkenés: . Ráadásul monoton csökkennek.

Ha teljesül mindkét körülmények között, akkor a sorozat konvergál.

A modulról rövid tájékoztatás található a kézikönyvbenForró képletek iskolai tanfolyam matematika , de még egyszer a kényelem kedvéért:

Mit jelent a "modulo"? A modul, ahogy az iskolából emlékszünk, "megeszi" a mínusz jelet. Térjünk vissza a sorozathoz. Mentálisan törölje le az összes jelet radírral és nézd meg a számokat. Majd meglátjuk mindegyik következő sor tagja Kevésbé mint az előző. Tehát a következő kifejezések ugyanazt jelentik:

– Egy sorozat tagjai jel nélkül csökken.
– Csökken a sorozat tagjai modulo.
– Csökken a sorozat tagjai abszolút értékben.
– Modul a sorozat közös tagja nullára hajlik: Vége a segítségnek

Most beszéljünk egy kicsit a monotonitásról. A monotonitás unalmas állandóság.

Sor tagjai szigorúan monoton csökkentse a modulo-t, ha a sorozat MINDEN KÖVETKEZŐ tagja modulo KEVESEBB, mint az előző: . A sorozat esetében a csökkenés szigorú monotonitása történik, részletesen leírható:

És röviden elmondhatjuk: a sorozat minden következő tagja modulo kevesebb, mint az előző: .

Sor tagjai nem szigorúan monoton modulus csökkenése, ha a modulo sorozat MINDEN KÖVETKEZŐ tagja NEM NAGYOBB, MINT az előző: . Tekintsünk egy faktoriális sorozatot: Itt nem szigorú monotonitás lép fel, mivel a sorozat első két tagjának modulusa azonos. Vagyis a sorozat minden következő tagja modulo nem több, mint az előző: .

1. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

A sorozat általános kifejezése tartalmazza a faktort, ami azt jelenti, hogy a Leibniz-tesztet kell használni

1) Ellenőrizze a sorban a váltakozást. Általában a határozat ezen a pontján részletesen leírják a sorozatot, és megszületik a "A sorozat váltakozó előjel" ítélet.

2) Csökkennek-e a sorozat feltételei? Meg kell oldani a határt, ami legtöbbször nagyon egyszerű.

– a sorozat feltételei nem csökkennek modulo. A csökkenés monotonitásáról egyébként nem kell okoskodni. Következtetés: a sorozat eltér.

Hogyan lehet kitalálni, hogy mi egyenlő? Nagyon egyszerű. Mint tudják, a modul elpusztítja a mínuszokat, így a pótláshoz csak le kell venni a villogó jelzőfényt a tetőről. Ebben az esetben a sorozat közös tagja a . Hülyén távolítsa el a "villogót":.

2. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

A Leibniz jelet használjuk:

1) A sorozat jel-váltakozó.

2) - a sorozat feltételei abszolút értékben csökkennek. A sorozat minden következő tagjának modulusa kisebb, mint az előzőé: így a csökkenés monoton.

Következtetés: a sorozat konvergál.

Minden nagyon egyszerű lenne – de ez még nem a megoldás vége!

Ha a sorozat a Leibniz-teszt szerint konvergál, akkor a sorozatot is annak mondják feltételesen konvergál.

Ha a modulokból álló sorozat is konvergál: , akkor azt mondjuk, hogy a sorozat abszolút konvergál.

Ezért napirenden van egy tipikus feladat megoldásának második szakasza - egy váltakozó sorozat tanulmányozása az abszolút konvergencia érdekében.

Nem vagyok bűnös – egy ilyen számsorelmélet =)

Sorozatunkat abszolút konvergencia szempontjából vizsgáljuk.
Állítsunk össze egy sor modult - ismét egyszerűen eltávolítjuk azt a faktort, amely biztosítja a jelek váltakozását: - diverges (harmonikus sorozat).

Így a mi sorozatunk nem teljesen konvergens.
Tanulmánysorozat csak feltételesen konvergál.

Megjegyezzük, hogy az 1. példában nem szükséges a nem abszolút konvergencia vizsgálatát végezni, mivel az első lépésben arra a következtetésre jutottunk, hogy a sorozatok divergálnak.

Összegyűjtjük a vödröket, lapátokat, autókat, és elhagyjuk a homokozót, hogy kotrógépem fülkéjéből tágra nyílt szemekkel nézzük a világot:

3. példa A konvergenciasor vizsgálata Leibniz tesztet használunk:

1)
Ez a sorozat jel-váltakozó.

2) - a sorozat feltételei abszolút értékben csökkennek. A sorozat minden következő tagjának modulusa kisebb, mint az előzőnek: , ami azt jelenti, hogy a csökkenés monoton. Következtetés: A sorozat konvergál.

A sorozat kitöltését elemezve arra a következtetésre jutunk, hogy itt az összehasonlítás határjelét kell használni. Kényelmesebb a zárójelek megnyitása a nevezőben:

Hasonlítsa össze ezt a sorozatot a konvergens sorozattal. Az összehasonlítás határtesztjét használjuk.

A nullától eltérő véges számot kapunk, ami azt jelenti, hogy a sorozat a sorozattal konvergál. Tanulmánysorozat abszolút konvergál.

4. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

5. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Ezek önsegítő példák. Komplett megoldás és mintaterv a rész végén.

Amint látja, a sorok váltogatása egyszerű és unalmas! De ne rohanjon az oldal bezárásával, mindössze néhány képernyőn megvizsgálunk egy sokakat megdöbbentő esetet. Addig is egy-két példa edzésre és ismétlésre.

6. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

A Leibniz-tesztet használjuk.
1) A sorozat jel-váltakozó.
2)
A sorozat feltételei modulo csökkennek. A sorozat minden következő tagjának modulusa kisebb, mint az előzőé, ami azt jelenti, hogy a csökkenés monoton. Következtetés: a sorozat konvergál.

Vedd figyelembe, hogy nem írtam le részletesen a sorozat tagjait. Mindig kívánatos lefesteni őket, de a "súlyos" esetekben a leküzdhetetlen lustaságtól csak a "A sorozat jelben váltakozik" kifejezésre szorítkozhatunk. Mellesleg, ezt a pontot nem kell formálisan venni, mindig ellenőrizze(legalábbis mentálisan), hogy tényleg váltják egymást a sorozatok. Egy felületes pillantás nem sikerül, és hiba történik „a gépen”. Emlékezz a "trükkökre" , , , ha léteznek, akkor meg kell szabadulnod tőlük egy "normál" pozitív tagú sorozat beszerzésével.

A második finomság a monotóniáról szóló kifejezésre vonatkozik, amelyet szintén a lehető legjobban csökkentettem. Ezt megteheti, és szinte mindig jóváírják a feladatát. Nagyon rosszat mondok - személy szerint gyakran hallgatok a monotonitásról, és ez a szám elmúlik. De készüljön fel arra, hogy mindent részletesen lefest, egészen az egyenlőtlenségek részletes láncolatáig (lásd a példát a lecke elején). Ezenkívül a monotónia néha nem szigorú, és ezt is figyelemmel kell kísérni, hogy a „kevesebb” szót „nem több” szóra cseréljük.

Megvizsgáljuk a sorozatot az abszolút konvergencia szempontjából:

Nyilvánvalóan a radikális Cauchy-tesztet kell használnia:

Így a sorozat konvergál. Tanulmánysorozat abszolút konvergál.

7. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Ez egy példa egy független megoldásra, gyakran vannak váltakozó sorozatok, amelyek nehézségeket okoznak.

8. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

A Leibniz jelet használjuk:
1) A sorozat jel-váltakozó.

MEGJEGYZÉS: egy függvény növekedési sorrendjének fogalmát a cikk részletesen tárgyaljaLimit megoldási módszerek . Nekünk van sorozathatárok, de ez nem változtat a lényegen.

Ha a at számláló gyorsabban növekszik, mint a faktoriális, akkor . Ha a végtelenben a faktoriális gyorsabban növekszik, mint a számláló, akkor éppen ellenkezőleg, nullára „húzza” a határt: . Vagy talán ez a határ egy nem nulla számmal?

Próbáljuk meg leírni a sorozat első néhány kifejezését:
helyettesíthet néhány ezredfokú polinomot, ez megint nem változtat a helyzeten - előbb-utóbb a faktoriális mégis „megelőz” egy ilyen szörnyű polinomot. Faktoriális magasabb növekedési sorrend mint bármely hatványsorozat.

– A faktoriális gyorsabban nő, mint bármilyen mennyiségű termék exponenciális és hatványsorozatok (a mi esetünk).

– Van valami „menőbb” a faktoriálisnál? Eszik! Az exponenciális sorozat ("en" az "en" hatványáig) gyorsabban nő, mint a faktoriális. A gyakorlatban ez ritka, de az információ nem lesz felesleges. Vége a segítségnek

Így a tanulmány második pontja (emlékszel még erre? =)) a következőképpen írható fel:
2) , mert magasabb a növekedési sorrend, mint .
A sorozat feltételei modulo csökkennek, valamilyen számból kiindulva, ugyanakkor a sorozat minden következő tagja abszolút értékben kisebb, mint az előző, így a csökkenés monoton.

Következtetés: a sorozat konvergál.

Ez csak az a furcsa eset, amikor a sorozat tagjai először abszolút értékben nőnek, ezért van téves kezdeti véleményünk a határértékről. De, valamilyen "en" számtól kezdve, a faktoriálist megelőzi a számláló, és a sorozat „farka” monoton csökkenővé válik, ami alapvetően fontos a Leibniz-tétel feltételeinek teljesítéséhez. Meglehetősen nehéz kideríteni, hogy ez az „en” pontosan mit jelent.

A megfelelő tétel szerint a sorozat abszolút konvergenciája magában foglalja a sorozat feltételes konvergenciáját. Következtetés: Tanulmánysorozat abszolút konvergál.

És végül néhány példa a független megoldásra. Ugyanabból az operából (olvasd el újra a súgót), de egyszerűbb. Egy másik ínyencek számára a konvergencia integrál jelének rögzítése.

9. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

10. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

A számszerű pozitív és váltakozó sorozatok tiszta lelkiismerettel végzett kvalitatív tanulmányozása után mehet a funkcionális sorok, amelyek nem kevésbé egyhangúak és egységesek, érdekesek.

Megoldások és válaszok:

4. példa: A Leibniz jelet használjuk:

1) Ez a sorozat váltakozó.
2)
A sorozat feltételei nem csökkennek modulo. Következtetés: A sorozat eltér egymástól.. , ugyanakkor a sorozat minden következő tagja abszolút értékben kisebb, mint az előző, így a csökkenés monoton.

Így a sorozat a megfelelő nem megfelelő integrállal együtt divergál. Tanulmánysorozat csak feltételesen konvergál.

Alapvető definíciók és fogalmak.

Konvergens numerikus sorozatok tulajdonságai.

Egy sorozat konvergenciájának szükséges feltétele.

Elegendő feltételek egy pozitív előjelű sorozat konvergenciájához.

Egy pozitív előjelű számsor konvergenciájának szükséges és elégséges feltétele.

Az összehasonlítás első, második és harmadik jele.

D'Alembert jele.

Cauchy radikális jele.

Integrált Cauchy-teszt.

Lehet, hogy érdekel