Mielőtt részletesen leírnánk a természetes számok maradékkal való osztására szolgáló algoritmus összes lépését, három kérdésre válaszolunk: mit tudunk kezdetben, mit kell találnunk, és milyen megfontolások alapján tesszük ezt meg? Kezdetben ismerjük az a osztót és a b osztót. Meg kell találnunk a c hiányos hányadost és a d maradékot. Az a=b c+d egyenlőség az osztó, az osztó, a parciális hányados és a maradék közötti kapcsolatot határozza meg. Az írott egyenlőségből következik, hogy ha az a osztót b c + d összegként ábrázoljuk, amelyben d kisebb, mint b (mivel a maradék mindig kisebb, mint az osztó), akkor látni fogjuk a c hiányos hányadost és a maradék d.

Már csak azt kell kitalálni, hogyan kell az a osztalékot b c + d összegként ábrázolni. Ennek az algoritmusa nagyon hasonlít a természetes számok maradék nélküli osztására szolgáló algoritmushoz. Leírjuk az összes lépést, és egyúttal végrehajtjuk a példa megoldását is a nagyobb érthetőség kedvéért. Ossza el a 899-et 47-tel.

Az algoritmus első öt pontja lehetővé teszi, hogy az osztalékot több tag összegeként ábrázolja. Meg kell jegyezni, hogy az ezekből a pontokból származó műveletek ciklikusan ismétlődnek újra és újra, amíg meg nem találjuk az összes olyan kifejezést, amely az osztalékot adja. Az utolsó hatodik bekezdésben a kapott összeget átváltjuk b c + d alakra (ha a kapott összegnek még nincs ilyen alakja), amelyből láthatóvá válik a kívánt hiányos hányados és a maradék.

Tehát továbblépünk a 899 osztalék több tag összegeként való megjelenítéséhez.

Először is kiszámítjuk, hogy az osztó bejegyzés karaktereinek száma mennyivel nagyobb, mint az osztó bejegyzés karaktereinek száma, és emlékezzünk erre a számra.

Példánkban 3 karakter van az osztalék rekordjában (899 - háromjegyű szám), és az osztó rekordjában - két karakter (47 - kétjegyű szám), ezért eggyel több van az osztalék nyilvántartásában, és az 1-es számra emlékszünk.

Most a jobb oldali osztóbejegyzésbe adjuk össze a 0 számokat az előző bekezdésben kapott szám által meghatározott mennyiségben. Továbbá, ha a beírt szám nagyobb, mint az osztalék, akkor vonjon le 1-et az előző bekezdésben megjegyzett számból.

Térjünk vissza példánkhoz. A 47-es osztó rekordjában a jobb oldali 0-hoz hozzáadunk egy számjegyet, és a 470-es számot kapjuk. 470 óta<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

Ezt követően a jobb oldali 1-es számhoz a 0-s számokat az előző bekezdésben megjegyzett számmal meghatározott mennyiségben rendeljük. Ilyenkor egy kisülési egységet kapunk, amivel tovább dolgozunk.

Példánkban az 1-es számhoz rendeljük a 0-t, míg a 10-et kapjuk, vagyis a tízes számjegyekkel fogunk dolgozni.

Most egymás után megszorozzuk az osztót a munkaszámjegy 1, 2, 3, ... egységeivel, amíg nem kapunk egy oszthatónál nagyobb vagy egyenlő számot.

Megtudtuk, hogy példánkban a munkaszám a tízes számjegy. Ezért először megszorozzuk az osztót a tízes hely egy egységével, azaz megszorozzuk a 47-et 10-zel, így 47 10 \u003d 470-et kapunk. A kapott 470-es szám kisebb, mint a 899-es osztalék, ezért az osztót megszorozzuk a tízes számjegy két egységével, azaz 47-et megszorozunk 20-zal. Nálunk 47 20=940 . 899-nél nagyobb számot kaptunk.

A szekvenciális szorzás utolsó előtti lépésében kapott szám a kötelező tagok közül az első.

Az elemzett példában a kívánt tag a 470 szám (ez a szám egyenlő a 47 100 szorzattal, ezt az egyenlőséget a későbbiekben használjuk).

Ezt követően megtaláljuk az osztalék és az első talált tag közötti különbséget. Ha a kapott szám nagyobb, mint az osztó, akkor keresse meg a második tagot. Ehhez megismételjük az algoritmus összes leírt lépését, de az itt kapott számot már osztaléknak vesszük. Ha ezen a ponton ismét olyan számot kapunk, amely nagyobb, mint az osztó, akkor továbblépünk a harmadik tag keresésére, még egyszer megismételve az algoritmus lépéseit, és a kapott számot osztaléknak vesszük. És így haladunk tovább, megkeresve a negyedik, ötödik és az azt követő tagokat, amíg az ezen a ponton kapott szám kisebb lesz, mint az osztó. Amint ez megtörtént, az itt kapott számot vesszük utolsó kötelező tagnak (előre tekintve tegyük fel, hogy egyenlő a maradékkal), és továbblépünk a végső szakaszba.

Térjünk vissza példánkhoz. Ennél a lépésnél 899−470=429 . Mivel 429>47 , ezt a számot osztaléknak vesszük, és megismételjük vele az algoritmus összes lépését.

A 429-es szám beírásában egy jellel több van, mint a 47-es szám bejegyzésében, ezért ne feledje az 1-es számot.

Most a jobb oldali osztalék rekordban hozzáadunk egy 0 számjegyet, így kapjuk a 470-es számot, amely több szám 429 . Ezért az előző bekezdésben megjegyzett 1-es számból kivonjuk az 1-et, megkapjuk a 0-t, amelyre emlékszünk.

Mivel az előző bekezdésben emlékeztünk a 0-ra, akkor az 1-es számhoz nem kell egyetlen 0-t sem hozzárendelni a jobb oldalon. Ebben az esetben az 1-es számunk van, vagyis a munkajegy az egységek számjegye.

Most egymás után megszorozzuk a 47 osztóját 1-gyel, 2-vel, 3-mal, ... Ezzel nem foglalkozunk részletesen. Tegyük fel, hogy 47 9=423<429 , а 47·10=470>429 . A második kötelező tag a 423 szám (ami egyenlő 47 9 -cel, amelyet a továbbiakban használunk).

A 429 és 423 közötti különbség 6. Ez a szám kisebb, mint a 47 osztó, tehát ez a harmadik (és utolsó) kifejezés, amit keresünk. Most továbbléphetünk az utolsó lépésre.

Nos, elérkeztünk a végső szakaszhoz. Minden korábbi intézkedés arra irányult, hogy az osztalékot több feltétel összegeként mutassák be. Most már hátra van a kapott összeget b·c+d alakra konvertálni. A szorzásnak az összeadásra vonatkozó eloszlási tulajdonsága segít megbirkózni ezzel a feladattal. Ezt követően láthatóvá válik a kívánt hiányos hányados és a maradék.

Példánkban a 899 osztalék egyenlő a három tag 470, 423 és 6 összegével. A 470+423+6 összeget átírhatjuk 47 10+47 9+6-ra (ne feledjük, a 470=47 10 és a 423=47 9 egyenlőségre figyeltünk). Most alkalmazzuk azt a tulajdonságot, hogy egy természetes számot megszorozunk egy összeggel, és 47 10+47 9+6= 47 (10+9)+6= 47 19+6 . Így az osztalékot átváltottuk a nekünk szükséges 899=47 19+6 alakra, amiből könnyen megtalálhatjuk a 19 hiányos hányadost és a maradékot 6 .

Tehát 899:47=19 (6. feloldás) .

Természetesen a példák megoldása során nem fogja ilyen részletesen leírni a maradékkal való felosztás folyamatát.

Vegyünk egy egyszerű példát:
15:5=3
Ebben a példában elosztottuk a természetes számot 15-tel teljesen 3, nincs maradék.

Néha egy természetes szám nem osztható teljesen. Vegyük például a problémát:
16 játék volt a szekrényben. Öt gyerek volt a csoportban. Minden gyerek ugyanannyi játékot vett el. Hány játéka van minden gyereknek?

Megoldás:
Osszuk el a 16-ot 5-tel egy oszloppal, és kapjuk:

Tudjuk, hogy 16-szor 5 nem osztható. A legközelebbi kisebb szám, amely osztható 5-tel, 15, a maradék 1. A 15-ös számot felírhatjuk 5⋅3-nak. Ennek eredményeként (16 - osztalék, 5 - osztó, 3 - részleges hányados, 1 - maradék). Kapott képlet osztás maradékkal amit meg lehet tenni megoldás ellenőrzése.

a= b⋅ c+ d
a - osztható
b - elválasztó,
c - nem teljes hányados,
d - maradék.

Válasz: Minden gyerek 3 játékot visz el, és egy játék marad.

A hadosztály maradéka

A maradéknak mindig kisebbnek kell lennie, mint az osztó.

Ha osztásakor a maradék nulla, akkor az osztalék osztható. teljesen vagy osztónként nincs maradék.

Ha osztáskor a maradék nagyobb, mint az osztó, ez azt jelenti, hogy a talált szám nem a legnagyobb. Van egy nagyobb szám, amely elosztja az osztalékot, és a maradék kisebb lesz, mint az osztó.

Kérdések a „Megosztás a maradékkal” témában:
Lehet-e a maradék nagyobb, mint az osztó?
Válasz: nem.

A maradék egyenlő lehet az osztóval?
Válasz: nem.

Hogyan találjuk meg az osztalékot a hiányos hányadossal, osztóval és maradékkal?
Válasz: a hiányos hányados, osztó és maradék értékeit behelyettesítjük a képletbe, és megtaláljuk az osztalékot. Képlet:
a=b⋅c+d

1. példa:
Hajtsa végre az osztást maradékkal, és ellenőrizze: a) 258:7 b) 1873:8

Megoldás:
a) Oszd fel egy oszlopba:

258 - osztható,
7 - elválasztó,
36 - nem teljes hányados,
6 - maradék. A maradék kisebb, mint a 6. osztó<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Oszd fel egy oszlopba:

1873 - osztható,
8 - elválasztó,
234 - nem teljes hányados,
1 a maradék. A maradék kisebb, mint az 1. osztó<8.

Helyettesítse be a képletet, és ellenőrizze, hogy jól oldottuk-e meg a példát:
8⋅234+1=1872+1=1873

2. példa:
Milyen maradékokat kapunk természetes számok osztásakor: a) 3 b) 8?

Válasz:
a) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 3. Esetünkben a maradék lehet 0, 1 vagy 2.
b) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 8. Esetünkben a maradék lehet 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 vagy 7.

3. példa:
Mekkora a legnagyobb maradék, amelyet természetes számok osztásával kaphatunk: a) 9 b) 15?

Válasz:
a) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 9. De meg kell jelölnünk a legnagyobb maradékot. Vagyis az osztóhoz legközelebbi szám. Ez a szám 8.
b) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 15. De meg kell jelölnünk a legnagyobb maradékot. Vagyis az osztóhoz legközelebbi szám. Ez a szám 14.

4. példa:
Keresse meg az osztalékot: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)

Megoldás:
a) Oldja meg a következő képlettel:
a=b⋅c+d
(a az osztó, b az osztó, c a parciális hányados, d a maradék.)
a:6=3(rest.4)
(a az osztalék, 6 az osztó, 3 a hiányos hányados, 4 a maradék.) Helyettesítse be a képletben szereplő számokat:
a=6⋅3+4=22
Válasz: a=22

b) Oldja meg a következő képlettel:
a=b⋅c+d
(a az osztó, b az osztó, c a parciális hányados, d a maradék.)
s:24=4(rest.11)
(c az osztó, 24 az osztó, 4 a hiányos hányados, 11 a maradék.) Helyettesítsd be a képletben szereplő számokat:
c=24⋅4+11=107
Válasz: s=107

Feladat:

Vezeték 4m. 13 cm-es darabokra kell vágni. Hány darab lesz ebből?

Megoldás:
Először át kell konvertálnia a métereket centiméterekre.
4m = 400cm.
Oszthat egy oszloppal, vagy gondolatban a következőket kapjuk:
400:13=30 (többi 10)
Ellenőrizzük:
13⋅30+10=390+10=400

Válasz: 30 darab fog kijönni és 10 cm drót marad.

A cikk az egész számok maradékkal való osztásának fogalmát elemzi. Bebizonyítjuk az egész számok oszthatóságának tételét maradékkal, és megvizsgáljuk az osztható és osztó, a hiányos hányadosok és a maradékok közötti összefüggéseket. Tekintsük az egész számok maradékokkal való felosztásának szabályait, miután részletesen megvizsgáltuk példákkal. A megoldás végén ellenőrzést végzünk.

Az egész számok maradékokkal való felosztásának általános ismerete

Az egész számok maradékkal való osztása a természetes számok maradékával általánosított osztásnak tekinthető. Ez azért van így, mert a természetes számok egész számok alkotóelemei.

Egy tetszőleges szám maradékával való osztás azt mondja, hogy az a egész szám osztható b számmal, amely különbözik nullától. Ha b = 0, akkor nem történik maradékkal való osztás.

Valamint a természetes számok maradékkal való osztása, az a és b egész számok c-vel és d-vel való osztása, ahol b különbözik nullától. Ebben az esetben a-t és b-t osztónak és osztónak nevezzük, d pedig az osztás maradéka, c egész szám vagy részhányados.

Ha feltételezzük, hogy a maradék nemnegatív egész szám, akkor értéke nem nagyobb, mint a b szám modulusa. Írjuk fel így: 0 ≤ d ≤ b . Ezt az egyenlőtlenségi láncot 3 vagy több szám összehasonlításakor használjuk.

Ha c egy hiányos hányados, akkor d egy a egész szám b-vel való osztásának maradéka, akkor röviden javíthatja: a: b \u003d c (marad d).

A maradék az a számok b-vel való osztásakor nulla lehet, akkor azt mondják, hogy a-t teljesen, azaz maradék nélkül osztjuk b-vel. A maradék nélküli osztás az osztás speciális esetének számít.

Ha a nullát elosztjuk valamilyen számmal, akkor nullát kapunk. Az osztás maradéka is nulla lesz. Ez látható a nulla egész számmal való osztásának elméletéből.

Most nézzük meg az egész számok maradékkal való felosztásának jelentését.

Ismeretes, hogy a pozitív egész számok természetesek, akkor maradékkal osztva ugyanazt a jelentést kapjuk, mint a természetes számok maradékkal való osztásakor.

Az a negatív egész szám elosztása egy pozitív b egész számmal van értelme. Nézzünk egy példát. Képzeljünk el egy olyan helyzetet, amikor a tételes tartozásunk van a összegben, amelyet b embernek vissza kell fizetnie. Ehhez mindenkinek egyformán hozzá kell járulnia. Az egyes tartozás összegének meghatározásához figyelni kell a magánc. A maradék d azt jelzi, hogy a tartozások törlesztése utáni tételek száma ismert.

Vegyünk egy példát az almával. Ha 2 embernek 7 almára van szüksége. Ha úgy számolunk, hogy mindenkinek 4 almát kell visszaadnia, akkor a teljes számítás után 1 alma marad. Ezt írjuk fel egyenlőségként: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .

Egy tetszőleges a szám egész számmal való elosztása értelmetlen, de lehetőségként lehetséges.

Oszthatósági tétel maradékkal rendelkező egész számokra

Megállapítottuk, hogy a az osztó, majd b az osztó, c a parciális hányados, és d a maradék. Összefüggenek egymással. Ezt az összefüggést az a = b · c + d egyenlőséggel fogjuk bemutatni. A köztük lévő kapcsolatot a maradékkal való oszthatósági tétel jellemzi.

Tétel

Bármely egész szám csak egész számmal és egy nem nulla b számmal ábrázolható így: a = b · q + r , ahol q és r néhány egész szám. Itt 0 ≤ r ≤ b .

Bizonyítsuk be a = b · q + r létezésének lehetőségét.

Bizonyíték

Ha két a és b szám van, és a osztható b-vel maradék nélkül, akkor a definícióból következik, hogy van q szám, az a = b · q egyenlőség igaz lesz. Ekkor az egyenlőség igaznak tekinthető: a = b q + r r = 0 esetén.

Ekkor olyan q-t kell venni, hogy a b · q egyenlőtlenség adja meg< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Megvan, hogy az a − b · q kifejezés értéke nagyobb nullánál és nem nagyobb, mint a b szám értéke, ebből következik, hogy r = a − b · q . Azt kapjuk, hogy az a szám a = b · q + r alakban ábrázolható.

Most meg kell fontolnunk annak lehetőségét, hogy a = b · q + r ábrázolását b negatív értékei esetén.

A szám modulusa pozitívnak bizonyul, ekkor a = b q 1 + r-t kapjuk, ahol a q 1 érték valamilyen egész szám, r olyan egész szám, amely megfelel a 0 ≤ r feltételnek.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Az egyediség bizonyítéka

Tegyük fel, hogy a = b q + r, q és r egész számok, amelyek feltétele 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1És r1 van néhány szám, ahol q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .

Ha az egyenlőtlenséget kivonjuk a bal és a jobb oldalról, akkor 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 -t kapunk, ami r - r 1 = b · q 1 - q ekvivalens. Mivel a modult használjuk, az r - r 1 = b · q 1 - q egyenlőséget kapjuk.

Az adott feltétel azt mondja, hogy 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qÉs q 1- egész, és q ≠ q 1, akkor q 1 - q ≥ 1 . Ebből adódik, hogy b · q 1 - q ≥ b . A kapott r - r 1 egyenlőtlenségek< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Ebből következik, hogy az a szám nem ábrázolható más módon, csak az a = b · q + r jelöléssel.

Osztalék, osztó, parciális hányados és maradék kapcsolata

Az a \u003d b c + d egyenlőség segítségével megtalálhatja az ismeretlen a osztót, ha a b osztó ismert c hiányos hányadossal és a maradék d.

1. példa

Határozzuk meg az osztalékot, ha osztásakor - 21-et, egy hiányos hányadost 5-öt és a maradékot 12-t kapunk.

Megoldás

Ki kell számítani az a osztót ismert osztóval b = − 21, hiányos hányadossal c = 5 és maradékkal d = 12. Az a = b c + d egyenlőségre kell hivatkoznunk, innen a = (− 21) 5 + 12 egyenletet kapjuk. A műveleti sorrendtől függően a - 21-et megszorozzuk 5-tel, ami után (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93-at kapunk.

Válasz: - 93 .

Az osztó és a parciális hányados és a maradék közötti összefüggést a b = (a − d) : c , c = (a − d) : b és d = a − b · c egyenlőségekkel fejezhetjük ki. Segítségükkel kiszámolhatjuk az osztót, a parciális hányadost és a maradékot. Ez arra vezet, hogy folyamatosan meg kell találni az a egész szám b-vel való osztásának maradékát ismert osztóval, osztóval és parciális hányadossal. A d = a − b · c képletet alkalmazzuk. Nézzük részletesen a megoldást.

2. példa

Határozzuk meg egy -19 egész szám 3-mal való osztásának maradékát, amelynek ismert hiányos hányadosa egyenlő -7.

Megoldás

Az osztás maradékának kiszámításához egy d = a − b c képletet alkalmazunk. Feltétel szerint minden a = − 19 , b = 3 , c = − 7 adat elérhető. Innen kapjuk a d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (különbség - 19 - (- 21)... Ezt a példát a kivonási szabály, a teljes negatív szám számítja ki.

Válasz: 2 .

Minden pozitív egész szám természetes. Ebből következik, hogy az osztás az összes osztási szabály szerint történik, a természetes számok maradékával. A természetes számok maradékával való osztás sebessége fontos, hiszen ezen nem csak a pozitívak osztása alapul, hanem a tetszőleges egészek osztásának szabályai is.

A legkényelmesebb osztási módszer az oszlop, mivel könnyebben és gyorsabban lehet hiányos vagy csak hányadost kapni a maradékkal. Tekintsük a megoldást részletesebben.

3. példa

Ossza el az 14671-et 54-gyel.

Megoldás

Ezt a felosztást egy oszlopban kell elvégezni:

Vagyis a hiányos hányados 271, a maradék pedig 37.

Válasz: 14671: 54 = 271. (többi 37.)

Pozitív egész szám maradékával negatív egész számmal való osztás szabálya, példák

Egy pozitív szám maradékával egy negatív egész számmal való osztás végrehajtásához meg kell fogalmazni egy szabályt.

1. definíció

Az a pozitív egész szám egy negatív b egész számmal való osztásának hiányos hányadosa olyan számot ad, amely ellentétes az a számok moduljait b-vel osztó hiányos hányadossal. Ekkor a maradék a maradék, ha a-t osztjuk b-vel.

Ebből következik, hogy a pozitív egész szám negatív egész számmal való elosztásának hiányos hányadosát nem pozitív egész számnak tekintjük.

Megkapjuk az algoritmust:

• osztjuk az osztó modulusát az osztó modulusával, akkor hiányos hányadost kapunk és
• maradék;
• írja le az ellenkező számot.

Tekintsük a pozitív egész szám negatív egész számmal való osztására szolgáló algoritmus példáját.

4. példa

Hajtsa végre az osztást a maradék 17 by - 5 - tel .

Megoldás

Alkalmazzuk az osztási algoritmust a pozitív egész szám maradékával egy negatív egész számmal. A 17-et el kell osztani 5-tel modulo. Innen azt kapjuk, hogy a hiányos hányados 3, a maradék pedig 2.

A kívánt számot úgy kapjuk meg, hogy elosztjuk 17-et - 5 \u003d - 3-mal, a maradék 2-vel.

Válasz: 17: (− 5) = − 3 (maradék 2).

5. példa

Oszd el a 45-öt 15-tel.

Megoldás

A számokat modulo kell osztani. A 45-öt elosztjuk 15-tel, maradék nélkül megkapjuk a 3-as hányadost. Tehát a 45-ös szám maradék nélkül osztható 15-tel. A válaszban - 3-at kapunk, mivel a felosztást modulo hajtották végre.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Válasz: 45: (− 15) = − 3 .

A maradékkal való osztási szabály megfogalmazása a következő.

2. definíció

Ahhoz, hogy egy   a negatív egész számot pozitív b-vel osztva hiányos c hányadost kapjunk, ennek a számnak az ellenkezőjét kell alkalmazni, és ki kell vonni belőle 1-et, majd a d maradékot a következő képlettel számítjuk ki: d = a − b · c.

A szabály alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy osztáskor nemnegatív egész számot kapunk. A megoldás pontossága érdekében azt az algoritmust használjuk, amely az a-t b-vel osztja maradékkal:

• keresse meg az osztó és az osztó moduljait;
• oszt modulo;
• írd fel a megadott szám ellentétét, és vonj ki 1-et;
• használja a képletet a maradékhoz d = a − b c .

Vegyünk egy példát egy olyan megoldásra, ahol ezt az algoritmust alkalmazzák.

6. példa

Keresse meg a hiányos hányadost és az osztás maradékát - 17 5-tel.

Megoldás

A megadott számokat elosztjuk modulo. Azt kapjuk, hogy osztáskor a hányados 3, a maradék pedig 2. Mivel 3-at kaptunk, az ellenkezője a 3. 1-et kell kivonni.

− 3 − 1 = − 4 .

A kívánt érték egyenlő -4.

A maradék kiszámításához a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , majd d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = szükséges. 3.

Ez azt jelenti, hogy az osztás hiányos hányadosa a - 4, a maradék pedig 3.

Válasz:(− 17) : 5 = − 4 (maradék 3).

7. példa

Osszuk el az 1404 negatív egész számot a pozitív 26-tal.

Megoldás

Oszloppal és modulussal kell osztani.

A számok moduljainak felosztását maradék nélkül megkaptuk. Ez azt jelenti, hogy az osztás maradék nélkül történik, és a kívánt hányados = -54.

Válasz: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Osztási szabály negatív egész számok maradékával, példák

Meg kell fogalmazni egy osztási szabályt a negatív egész számok maradékával.

3. definíció

Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot egy b negatív egész számmal elosztva hiányos hányadost kapjunk, modulo számításokat kell végezni, amelyek után adjunk hozzá 1-et, majd a d = a − b · c képlettel számolhatunk.

Ebből következik, hogy a negatív egész számok osztásának hiányos hányadosa pozitív szám lesz.

Ezt a szabályt algoritmus formájában fogalmazzuk meg:

• keresse meg az osztó és az osztó moduljait;
• osztjuk az osztó modulusát az osztó modulusával, hogy hiányos hányadost kapjunk
• maradék;
• 1 hozzáadása a hiányos hányadoshoz;
• a maradék kiszámítása, a d = a − b c képlet alapján.

Tekintsük ezt az algoritmust egy példán keresztül.

8. példa

Határozzuk meg a parciális hányadost és a maradékot, ha -17-et osztunk 5-tel.

Megoldás

A megoldás helyessége érdekében a maradékkal való osztás algoritmusát alkalmazzuk. Először osszuk el a számokat modulo. Innen azt kapjuk, hogy a hiányos hányados \u003d 3, a maradék pedig 2. A szabály szerint össze kell adni a hiányos hányadost és az 1-et. Azt kapjuk, hogy 3 + 1 = 4 . Innen azt kapjuk, hogy a megadott számok elosztásából származó hiányos hányados 4.

A maradék kiszámításához a képletet alkalmazzuk. Feltétel szerint a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, akkor a képlet segítségével d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = -17 + 20 = 3 . A kívánt válasz, vagyis a maradék 3, a hiányos hányados pedig 4.

Válasz:(− 17) : (− 5) = 4 (maradék 3).

Egész számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése

A számok maradékkal való osztása után ellenőrzést kell végezni. Ez az ellenőrzés 2 szakaszból áll. Először a d maradékot ellenőrizzük nem-negativitás szempontjából, a feltétel 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Nézzünk példákat.

9. példa

Gyártott részleg - 521 x - 12. A hányados 44, a maradék 7. Futtasson ellenőrzést.

Megoldás

Mivel a maradék egy pozitív szám, értéke kisebb, mint az osztó modulusa. Az osztó - 12, tehát a modulusa 12. Továbbléphet a következő ellenőrzőponthoz.

Feltétel szerint a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . Innen számítjuk ki a b c + d értéket, ahol b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Ebből következik, hogy az egyenlőség igaz. Az ellenőrzés sikeres.

10. példa

Ellenőrző osztás (− 17): 5 = − 3 (maradék − 2). Igaz az egyenlőség?

Megoldás

Az első szakasz jelentése az, hogy ellenőrizni kell az egész számok osztását maradékkal. Ez azt mutatja, hogy a műveletet helytelenül hajtották végre, mivel a maradék értéke - 2. A maradék nem negatív szám.

Megállapítottuk, hogy a második feltétel teljesül, de erre az esetre nem elegendő.

Válasz: Nem.

11. példa

A -19-es szám osztva -3-mal. A parciális hányados 7, a maradék pedig 1. Ellenőrizze, hogy ez a számítás helyes-e.

Megoldás

Adott a maradék 1. Ő pozitív. Az érték kisebb, mint az osztómodulé, ami azt jelenti, hogy az első szakasz végrehajtásra kerül. Térjünk át a második szakaszra.

Számítsuk ki a b · c + d kifejezés értékét. Feltétel szerint b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, ezért a számértékeket helyettesítve b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Ebből következik, hogy az a = b · c + d egyenlőség nem teljesül, mivel a feltétel adott a = - 19 .

Ez azt jelenti, hogy a felosztás hibásan történt.

Válasz: Nem.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A többjegyű számok felosztása a legegyszerűbb egy oszlopban. Oszloposztást is neveznek sarokosztás.

Mielőtt elkezdenénk az oszlopokkal való osztást, nézzük meg részletesen az oszlopos osztás rögzítésének formáját. Először felírjuk az osztalékot, és jobbra teszünk egy függőleges sávot:

A függőleges vonal mögé, az osztóval szemben, írjuk az osztót, és húzunk alá egy vízszintes vonalat:

A vízszintes vonal alá a számítások eredményeként kapott hányadost szakaszosan írjuk:

Az osztalék alá köztes számításokat írnak:

Az oszlopokkal való osztás teljes formája a következő:

Hogyan kell osztani egy oszloppal

Tegyük fel, hogy el kell osztanunk 780-at 12-vel, a műveletet egy oszlopba kell írni, és el kell kezdenünk az osztást:

Az oszlopra osztás szakaszosan történik. Az első dolog, amit meg kell tennünk, hogy meghatározzuk a hiányos osztalékot. Nézd meg az osztalék első számjegyét:

ez a szám 7, mivel kisebb, mint az osztó, akkor nem kezdhetünk el belőle osztani, ezért az osztalékból még egy számjegyet kell kivenni, a 78-as szám nagyobb, mint az osztó, ezért abból kezdjük az osztást:

Esetünkben a 78-as szám lesz hiányos osztható, azért nevezik hiányosnak, mert ez csak egy része az oszthatónak.

A hiányos osztalék meghatározása után megtudhatjuk, hogy hány számjegy lesz a hányadosban, ehhez ki kell számítanunk, hogy a hiányos osztalék után hány számjegy marad az osztalékban, esetünkben csak egy számjegy van - 0, ami azt jelenti, hogy a hányados 2 számjegyből fog állni.

Miután megtudta, hány számjegynek kell megjelennie egy privátban, pontokat helyezhet a helyére. Ha az osztás végén a számjegyek száma többnek vagy kevesebbnek bizonyult, mint a jelzett pont, akkor valahol hiba történt:

Kezdjük el osztani. Meg kell határoznunk, hogy a 78-as szám hányszor tartalmazza a 12-t. Ehhez egymás után szorozzuk meg az osztót 1, 2, 3, ... természetes számokkal, amíg nem kapunk egy olyan számot, amely a lehető legközelebb áll a hiányos osztható ill. egyenlő vele, de nem haladja meg. Így megkapjuk a 6-os számot, írjuk az osztó alá, és 78-ból kivonjuk a 72-t (az oszlopkivonás szabályai szerint) (12 6 \u003d 72). Miután 78-ból kivontuk a 72-t, 6-ot kaptunk:

Felhívjuk figyelmét, hogy a felosztás többi része megmutatja, hogy a megfelelő számot választottuk-e. Ha a maradék egyenlő vagy nagyobb, mint az osztó, akkor nem a megfelelő számot választottuk, és nagyobb számot kell vennünk.

A kapott maradékhoz - 6 - lebontjuk az osztalék következő számjegyét - 0. Ennek eredményeként hiányos osztalékot kaptunk - 60. Meghatározzuk, hogy a 12 hányszor szerepel a 60-as számban. Kapjuk az 5-ös számot, írjuk be. a 6 utáni hányadosba, és 60-ból vonjuk ki a 60-at (12 5 = 60). A maradék nulla:

Mivel nem maradt több számjegy az osztalékban, ez azt jelenti, hogy 780 teljesen el van osztva 12-vel. Az oszloppal való osztás eredményeként megtaláltuk a hányadost - az osztó alá van írva:

Vegyünk egy példát, ahol nullákat kapunk a hányadosban. Tegyük fel, hogy el kell osztanunk 9027-et 9-cel.

Meghatározzuk a hiányos osztalékot - ez a 9. Beírjuk az 1-es hányadosba, és 9-ből kivonjuk a 9-et. A maradék nulla. Általában, ha a közbenső számításokban a maradék nulla, akkor nem írják le:

Lebontjuk az osztalék következő számjegyét - 0. Emlékeztetünk arra, hogy ha nullát elosztunk bármilyen számmal, akkor nulla lesz. A közbülső számításoknál privát nullára írunk (0: 9 = 0), és 0-ból kivonjuk a 0-t. Általában, hogy ne halmozódjanak fel a közbenső számítások, a nullával történő számítást nem írjuk le:

Lebontjuk az osztalék következő számjegyét - 2. Közbenső számítások során kiderült, hogy a hiányos osztalék (2) kisebb, mint az osztó (9). Ebben az esetben a hányadosba nullát írunk, és az osztalék következő számjegyét levesszük:

Meghatározzuk, hogy a 9-et hányszor tartalmazza a 27. Megkapjuk a 3-at, hányadosba írjuk, és 27-ből kivonjuk a 27-et. A maradék nulla:

Mivel az osztalékban nem maradt több számjegy, ez azt jelenti, hogy a 9027-es szám teljesen el van osztva 9-cel:

Vegyünk egy példát, ahol az osztalék nullára végződik. Tegyük fel, hogy el kell osztanunk 3000-et 6-tal.

Meghatározzuk a hiányos osztalékot - ez a szám 30. Beírjuk az 5 hányadosba, és 30-ból kivonjuk a 30-at. A maradék nulla. Mint már említettük, a közbenső számításoknál nem szükséges nullát leírni a maradékba:

Lebontjuk az osztalék következő számjegyét - 0. Mivel a nulla tetszőleges számmal való osztásakor nulla lesz, ezt privát nullára írjuk, és közbenső számításokban 0-ból kivonjuk a 0-t:

Lebontjuk az osztalék következő számjegyét - 0. A hányadosba még egy nullát írunk, és közbenső számításoknál 0-ból kivonjuk a 0-t. A számítás legvégére általában azt írják, hogy az osztás befejeződött:

Mivel nem maradt több számjegy az osztalékban, ez azt jelenti, hogy a 3000 teljesen el van osztva 6-tal:

Osztás egy oszloppal maradékkal

Tegyük fel, hogy el kell osztanunk 1340-et 23-mal.

Meghatározzuk a hiányos osztalékot - ez a 134-es szám. Az 5-ös hányadosba írunk, és 134-ből kivonjuk a 115-öt. A maradék 19-nek bizonyult:

Lebontjuk az osztalék következő számjegyét - 0. Határozzuk meg, hogy a 190-es szám hányszor tartalmazza a 23-at. Kapjuk a 8-as számot, írjuk hányadosba, és 190-ből kivonjuk a 184-et. A maradék 6-ot kapjuk:

Mivel az osztalékban már nem maradt számjegy, az osztásnak vége. Az eredmény 58 hiányos hányadosa és 6 maradéka:

1340: 23 = 58 (a maradék 6)

Marad egy példa a maradékkal való osztásra, amikor az osztalék kisebb, mint az osztó. Tegyük fel, hogy el kell osztanunk 3-at 10-zel. Látjuk, hogy a 10 soha nem szerepel a 3-ban, ezért felírjuk a 0 hányadosba, és kivonjuk a 0-t 3-ból (10 0 = 0). Rajzolunk egy vízszintes vonalat, és felírjuk a maradékot - 3:

3: 10 = 0 (a maradék 3)

Oszloposztás kalkulátor

Ez a számológép segít az oszlopokkal való osztásban. Csak adja meg az osztalékot és az osztót, majd kattintson a Számítás gombra.

Olvassa el a lecke témáját: "Osztás a maradékkal." Mit tudsz már erről a témáról?

El lehet osztani 8 szilvát egyenlő arányban két tányéron (1. ábra)?

Rizs. 1. Illusztráció például

Mindegyik tányérba 4 szilvát tehet (2. ábra).

Rizs. 2. Illusztráció például

Az általunk végrehajtott művelet a következőképpen írható fel.

8: 2 = 4

Mit gondolsz, lehet-e 8 szilvát egyformán 3 tányérra osztani (3. ábra)?

Rizs. 3. Illusztráció például

Csináljunk így. Először minden tányérba tegyen egy szilvát, majd a második szilvát. 2 szilvánk marad, de 3 tányér. Tehát nem tudjuk egyenletesen elosztani. Minden tányérba 2 szilvát teszünk, és maradt 2 szilva (4. kép).

Rizs. 4. Illusztráció például

Folytassuk a megfigyelést.

Olvasd el a számokat. Keresse meg a megadott számok közül azokat, amelyek oszthatók 3-mal!

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Teszteld magad.

A fennmaradó számok (11, 13, 14, 16, 17, 19) nem oszthatók 3-mal, vagy azt mondják "ossza el a maradékkal."

Találjuk meg a magánélet értékét.

Nézzük meg, hogy a 3-at hányszor tartalmazza a 17-es szám (5. ábra).

Rizs. 5. Illusztráció például

Látjuk, hogy 3 ovális 5-ször belefér és 2 ovális maradt.

A végrehajtott művelet a következőképpen írható fel.

17: 3 = 5 (többi 2)

Oszlopba is írható (6. ábra)

Rizs. 6. Illusztráció például

Tekintse át a rajzokat. Magyarázza el ezeknek az ábráknak a feliratait (7. ábra).

Rizs. 7. Illusztráció például

Tekintsük az első ábrát (8. ábra).

Rizs. 8. Illusztráció például

Azt látjuk, hogy 15 ovális volt osztva 2-vel. 2-t 7-szer megismételtük, a maradékban - 1 oválist.

Tekintsük a második ábrát (9. ábra).

Rizs. 9. Illusztráció például

Ezen az ábrán 15 négyzetet osztottak 4-gyel. A 4-et 3-szor ismételték meg, a maradékban - 3 négyzetet.

Tekintsük a harmadik ábrát (10. ábra).

Rizs. 10. Illusztráció például

Elmondhatjuk, hogy 15 oválist 3-ra osztottak. 3-at 5-ször egyformán megismételtünk. Ilyen esetekben a maradékot 0-nak mondjuk.

Végezzük el a felosztást.

A hét négyzetet három részre osztjuk. Két csoportot kapunk, és egy négyzet marad. Írjuk fel a megoldást (11. ábra).

Rizs. 11. Illusztráció például

Végezzük el a felosztást.

Megtudjuk, hogy a 10-es szám hányszor tartalmazza a négyet. Látjuk, hogy a 10-es számban négy kétszer szerepel, és 2 négyzet marad. Írjuk fel a megoldást (12. ábra).

Rizs. 12. Illusztráció például

Végezzük el a felosztást.

Megtudjuk, hogy a 11-es szám hányszor tartalmaz kettőt. Látjuk, hogy a 11-es számban kettő ötször szerepel, és 1 négyzet marad. Írjuk fel a megoldást (13. ábra).

Rizs. 13. Illusztráció például

Vegyünk egy következtetést. A maradékkal való osztás azt jelenti, hogy megtudjuk, hányszor szerepel az osztó az osztalékban, és hány egység marad.

A maradékkal való osztás számegyenesen is végrehajtható.

A számegyenesen 3 osztású szakaszokat jelölünk, és látni fogjuk, hogy három osztás háromszorosnak bizonyult és egy osztás maradt (14. ábra).

Rizs. 14. Illusztráció például

Írjuk le a megoldást.

10:3 = 3 (többi 1)

Végezzük el a felosztást.

A numerikus gerendán 3 osztású szakaszokat jelölünk, és látni fogjuk, hogy három osztás háromszorosnak bizonyult és két osztás maradt (15. ábra).

Rizs. 15. Illusztráció például

Írjuk le a megoldást.

11:3 = 3 (többnyire 2)

Végezzük el a felosztást.

A numerikus sugáron 3 osztású szakaszokat jelölünk, és látni fogjuk, hogy pontosan 4-szer kaptunk, nincs maradék (16. ábra).

Rizs. 16. Illusztráció például

Írjuk le a megoldást.

12: 3 = 4

A mai órán megismerkedtünk a maradékkal való osztással, megtanultuk a nevezett művelet végrehajtását kép és számnyaláb segítségével, példák megoldását gyakoroltuk az óra témájában.

Bibliográfia

1. M.I. Moro, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 1. rész. - M .: "Felvilágosodás", 2012.
2. M.I. Moro, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 2. rész. - M .: "Felvilágosodás", 2012.
3. M.I. Moreau. Matematika órák: Útmutató tanároknak. 3. évfolyam - M.: Oktatás, 2012.
4. Szabályozó dokumentum. A tanulási eredmények nyomon követése és értékelése. - M.: "Felvilágosodás", 2011.
5. "Oroszország iskolája": Programok az általános iskola számára. - M.: "Felvilágosodás", 2011.
6. S.I. Volkov. Matematika: Ellenőrző munka. 3. évfolyam - M.: Oktatás, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Tesztek. - M.: "Vizsga", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Házi feladat

1. Írja fel azokat a számokat, amelyek maradék nélkül oszthatók 2-vel!

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Hajtsa végre az osztást a maradékkal a rajz segítségével.

3. Hajtsa végre az osztást a maradékkal a számegyenesen.

4. Készítsen feladatot társai számára az óra témájában!