A statisztikai módszertan első elemének lényege a vizsgált objektumra vonatkozó elsődleges adatok gyűjtése. Például: az ország népszámlálása során minden területén élő személyről adatgyűjtés történik, amelyet speciális formában rögzítenek.

A második elem: az összegzés és a csoportosítás a megfigyelési szakaszban nyert adatok összességének homogén csoportokra bontása egy vagy több jellemző szerint. Például az anyagok csoportosítása következtében a népszámlálás csoportokra oszlik (nem, életkor, népesség, iskolai végzettség stb. szerint).

A statisztikai módszertan harmadik elemének lényege az általánosítás számításában és társadalmi-gazdasági értelmezésében rejlik. statisztikai mutatók:

1. Abszolút

2. Rokon

3. Közepes

4. Változásmutatók

5. Hangszórók

A statisztikai módszertan három fő eleme egyben minden statisztikai tanulmány három szakaszát is jelenti.

3. Jog nagy számokés statisztikai szabályszerűség.

A nagy számok törvénye fontos szerepet játszik a statisztikai módszertanban. A legtöbbben Általános nézet a következőképpen fogalmazható meg:

A nagy számok törvénye egy általános elv, amely alapján a halmozott cselekvések egy nagy szám a véletlenszerű tényezők bizonyos általános feltételek mellett a véletlentől szinte független eredményhez vezetnek.

A nagy számok törvényét a tömegjelenségek speciális tulajdonságai generálják. Utóbbiak tömegjelenségei viszont egyrészt egyéniségükből adódóan eltérnek egymástól, másrészt van bennük valami közös, ami meghatározza egy bizonyos osztályhoz való tartozásukat.

Egyetlen jelenség érzékenyebb a véletlenszerű és jelentéktelen tényezők hatására, mint a jelenségek tömege összességében. Bizonyos feltételek mellett egy egyedi egység jellemzőjének értéke valószínűségi változónak tekinthető, mivel nem csak egy általános mintának engedelmeskedik, hanem olyan feltételek hatására is kialakul, amelyek nem ettől a mintától függenek. Emiatt a statisztika széles körben alkalmaz olyan átlagokat, amelyek egy számmal jellemzik a teljes népességet. Csak nagyszámú megfigyelés esetén a fejlődés fő irányától való véletlenszerű eltérések kiegyenlítődnek, megszűnnek, és a statisztikai szabályszerűség világosabban megnyilvánul. A nagy számok törvényének lényege tehát abban rejlik, hogy a tömegstatisztikai megfigyelés eredményét összegző számokban a társadalmi-gazdasági jelenségek fejlődési mintázata világosabban feltárul, mint egy kis statisztikai vizsgálattal.

4. A statisztika ágai.

Folyamatban történelmi fejlődés A statisztika, mint egységes tudomány részeként a következő ágak jelentek meg és nyertek bizonyos függetlenséget:

1. Általános elmélet statisztika, amely a társadalmi élet mennyiségi mintáinak mérésére szolgáló kategóriák és módszerek fogalmát dolgozza ki.

2. Gazdasági statisztika, amely a szaporodási folyamatok mennyiségi mintázatait vizsgálja különböző szinteken.

3. Társadalomstatisztika, amely a társadalom szociális infrastruktúrájának fejlődésének mennyiségi oldalát vizsgálja (egészségügyi, oktatási, kulturális, erkölcsi, igazságügyi stb. statisztika).

4. Ipari statisztika (ipar, agráripari komplexum, közlekedés, hírközlés stb. statisztikái).

A statisztika valamennyi ága módszertanának fejlesztésével és fejlesztésével hozzájárul a statisztikai tudomány egészének fejlődéséhez.

5. A statisztikatudomány alapfogalmai és kategóriái általában.

A statisztikai aggregátum azonos típusú elemek halmaza, amelyek bizonyos tekintetben hasonlítanak egymáshoz, másokban pedig különböznek egymástól. Például: ez a gazdaság ágazatainak halmaza, egyetemek halmaza, tervezőirodák közötti együttműködés stb.

A statisztikai sokaság egyes elemeit egységeinek nevezzük. A fent tárgyalt példákban a sokaság egységei rendre az ipar, az egyetem (egy) és a munkavállaló.

A populáció egységeinek általában sok jellemzője van.

A jel a népesség egységeinek olyan tulajdonsága, amely kifejezi azok lényegét, és rendelkezik variációs képességgel, pl. változás. Azokat a jeleket, amelyek a populáció egyes egységeiben egyetlen értéket vesznek fel, változónak nevezik, maguk az értékek pedig opciók.

A változó jeleket attributív vagy minőségi jelekre osztják. Egy attribútumot attribútumnak vagy kvalitatívnak nevezünk, ha annak különálló értéke (változatai) a jelenségben rejlő állapotként vagy tulajdonságokként fejeződnek ki. Az attribúciós jellemzők változatai verbális formában fejeződnek ki. Példák az ilyen jelekre szolgálhatnak - gazdasági.

Egy attribútumot kvantitatívnak nevezünk, ha egyedi értékét számok formájában fejezzük ki. Például: bér, ösztöndíj, életkor, OF mérete.

A variáció természete szerint a mennyiségi jeleket diszkrétre és folyamatosra osztjuk.

Diszkrét - olyan mennyiségi jelek, amelyek csak egy jól meghatározott, általában egész értéket vehetnek fel.

Folyamatos - olyan jelek, amelyek bizonyos határokon belül egész és tört értéket is felvehetnek. Például: egy ország GNP-je stb.

Vannak elsődleges és másodlagos jellemzők is.

A főbb jellemzők a vizsgált jelenség vagy folyamat fő tartalmát és lényegét jellemzik.

Másodlagos jelek adnak További információés közvetlenül kapcsolódnak a jelenség belső tartalmához.

Egy adott vizsgálat céljaitól függően ugyanazok a jelek lehetnek ugyanabban az esetben elsődlegesek, más esetekben pedig másodlagosak.

A statisztikai mutató olyan kategória, amely a társadalmi-gazdasági jelenségek jeleinek dimenzióit, mennyiségi arányait és azok minőségi bizonyosságát tükrözi meghatározott hely- és időviszonyok között. Különbséget kell tenni egy statisztikai mutató tartalma és konkrét számszerű kifejezése között. Tartalom, azaz a minőségi bizonyosság abban rejlik, hogy a mutatók mindig a társadalmi-gazdasági kategóriákat (népesség, gazdaság, pénzintézetek stb.) jellemzik. A statisztikai mutatók mennyiségi dimenziói, i.e. számértékük elsősorban a statisztikai kutatásnak alávetett tárgy idejétől és helyétől függ.

A társadalmi-gazdasági jelenségek általában nem jellemezhetők egyetlen mutatóval sem, például: a lakosság életszínvonala. A vizsgált jelenségek átfogó, átfogó jellemzéséhez a statisztikai mutatók tudományosan alátámasztott rendszere szükséges. Egy ilyen rendszer nem állandó. A társadalmi fejlődés szükségletei alapján folyamatosan fejlesztik.

6. A statisztikatudomány és gyakorlat feladatai a piacgazdaság fejlődésének körülményei között.

A statisztika fő feladatai az oroszországi piaci kapcsolatok fejlődésével összefüggésben a következők:

1. A számvitel és beszámolás javítása, a bizonylatok áramlásának csökkentése ez alapján.

A téma következő főbb témáit kell tanulmányoznia:

A statisztika kapcsolata a piacgazdaság elméletével és gyakorlatával

A statisztika feladatai

A statisztika fogalmai és módszerei

Nagy számok törvénye, statisztikai szabályszerűség

1. lecke. Bevezetés

1. A statisztika története

A statisztika független társadalomtudomány, amelynek saját kutatási tárgya és módszere van. A társadalmi élet gyakorlati szükségleteiből fakadt. Már bent ókori világ szükség volt az állam lakosainak számbavételére, a katonai ügyekre alkalmas személyek számbavételére, az állatállomány, a földterület és egyéb vagyon nagyságának meghatározására. Az ilyen jellegű információk adóbeszedéshez, háborúkhoz stb. A jövőben a társadalmi élet fejlődésével fokozatosan bővül a figyelembe vett jelenségek köre.

Az összegyűjtött információk mennyisége különösen a kapitalizmus és a világgazdasági kapcsolatok fejlődésével nőtt. Ennek az időszaknak a szükségletei arra kényszerítették a kormányzati szerveket és a kapitalista vállalkozásokat, hogy gyakorlati célokra kiterjedt és változatos információkat gyűjtsenek a munkaerőpiacokról, valamint az áruk és nyersanyagok értékesítéséről.

A 17. század közepén Angliában kialakult egy tudományos irány, amelyet "politikai aritmetikának" neveztek. Ezt az irányzatot William Petit (1623-1687) és John Graunt (1620-1674) indította el. A „politikai aritmetika” a tömeges társadalmi jelenségek információinak tanulmányozásán alapulva a társadalmi élet mintázatainak feltárására és ezáltal a kapitalizmus fejlődésével kapcsolatban felmerülő kérdésekre kívánt rámutatni.

Az angliai "politikai aritmetikai" iskolával együtt Németországban a leíró statisztika vagy "államtanulmányok" iskolája is kialakult. E tudomány megjelenése 1660-ra nyúlik vissza.

A politikai aritmetika és az államtudomány fejlődése a statisztika tudományának kialakulásához vezetett.

A "statisztika" fogalma a latin "status" szóból származik, ami fordításban helyzetet, állapotot, jelenségek sorrendjét jelent.

A "statisztika" kifejezést Gottfried Achenwal (1719-1772), a Göttingeni Egyetem professzora vezette be a tudományos forgalomba.

A vizsgálat tárgyától függően a statisztikát mint tudományt társadalmi, demográfiai, gazdasági, ipari, kereskedelmi, banki, pénzügyi, orvosi stb. Általános tulajdonságok A statisztikai adatok természetüktől és elemzési módszerüktől függetlenül matematikai statisztikának és általános statisztikaelméletnek minősülnek.

A statisztika tárgya . A statisztika elsősorban a társadalmi élet jelenségeinek, folyamatainak mennyiségi oldalával foglalkozik. A statisztika egyik jellemző vonása, hogy a társadalmi jelenségek, folyamatok mennyiségi oldalának vizsgálatakor mindig a vizsgált jelenségek minőségi jellemzőit tükrözi, i. a mennyiséget elválaszthatatlan összefüggésben, a minőséggel való egységet tanulmányozza.

A minőség a tudományos és filozófiai felfogásban egy tárgyban vagy jelenségben rejlő tulajdonságok, amelyek megkülönböztetik ezt a tárgyat vagy jelenséget másoktól. A minőség az, ami bizonyossá teszi a tárgyakat és a jelenségeket. Filozófiai terminológiával élve azt mondhatjuk, hogy a statisztika a társadalmi jelenségeket minőségi és mennyiségi bizonyosságuk egységeként vizsgálja, i.e. a társadalmi jelenségek mértékét tanulmányozza.

Statisztikai módszertan . A statisztikai módszertan legfontosabb alkotóelemei:

tömeges megfigyelés

csoportosítás, általánosító (összefoglaló) jellemzők alkalmazása;

statisztikai tények elemzése és általánosítása, valamint a vizsgált jelenségekben a törvényszerűségek feltárása.

Nézzük meg közelebbről ezeket az elemeket.

Ahhoz, hogy bármilyen tömegjelenséget kvantitatív szempontból jellemezhessünk, először azt kell információ gyűjtése alkotóelemeiről. Ezt tömeges megfigyelés segítségével érik el, a statisztikatudomány által kidolgozott szabályok és módszerek alapján.

A statisztikai megfigyelés során gyűjtött információk további tárgyát képezik összefoglaló (elsődleges tudományos feldolgozás), melynek során a jellemző részeket (csoportokat) megkülönböztetik a vizsgált egységek teljes halmazától A teljes vizsgált tömegből az egységcsoportok és alcsoportok kiválasztását a statisztika nevezi. csoportosítás . A statisztikákban való csoportosítás az összegyűjtött információk feldolgozásának és elemzésének alapja. Ez bizonyos elvek és szabályok alapján történik.

A statisztikai információk feldolgozása során a vizsgált egységek összességét és a csoportosítási módszer alkalmazása alapján kiválasztott részeit digitális mutatók rendszere jellemzi: abszolút és átlagértékek, relatív értékek, dinamikai mutatók stb.

3. A statisztika feladatai

A teljes és megbízható statisztikai információ a szükséges alap, amelyre a gazdaságirányítási folyamat épül. Hivatalos statisztikai támogatás nélkül lehetetlen vezetői döntéseket hozni minden szinten, az országos vagy regionális szinttől az egyéni nagyvállalatok vagy magáncégek szintjéig.

A statisztikai adatok lehetővé teszik a bruttó hazai termék és a nemzeti jövedelem mennyiségének meghatározását, a gazdasági ágazatok fejlődésének fő tendenciáinak azonosítását, az infláció szintjének felmérését, a pénzügyi és árupiaci helyzet elemzését, a a lakosság életszínvonalának és egyéb társadalmi-gazdasági jelenségeknek és folyamatoknak a tanulmányozása.

A statisztika a tömegjelenségek és folyamatok mennyiségi oldalát a minőségi oldalukkal szoros összefüggésben vizsgáló tudomány, a társadalmi fejlődés törvényszerűségeinek mennyiségi kifejeződése meghatározott hely- és időviszonyok között.

Megszerzéséért statisztikai információkat az állami és minisztériumi statisztikai testületek, valamint a kereskedelmi struktúrák különféle statisztikai kutatásokat végeznek. Mint már említettük, a statisztikai kutatás folyamata három fő szakaszból áll: az adatgyűjtés, azok összegzése és csoportosítása, elemzése és az általánosító mutatók számítása.

Minden további munka eredménye és minősége nagymértékben függ attól, hogy az elsődleges statisztikai anyagot hogyan gyűjtik, hogyan dolgozzák fel és csoportosítják. A statisztikai megfigyelés program-módszertani és szervezési szempontjainak elégtelen kidolgozása, az összegyűjtött adatok logikai és számtani ellenőrzésének hiánya, a csoportképzési elvek be nem tartása végső soron abszolút téves következtetésekhez vezethet.

Nem kevésbé összetett, időigényes és felelősségteljes a tanulmány utolsó, elemző szakasza. Ebben a szakaszban átlagos mutatókat és eloszlási mutatókat számítanak ki, elemzik a sokaság szerkezetét, tanulmányozzák a vizsgált jelenségek és folyamatok dinamikáját és összefüggéseit.

A vizsgálat minden szakaszában alkalmazott adatgyűjtési, -feldolgozási és -elemzési technikák és módszerek a statisztikatudomány alapvető ágának számító általános statisztikaelmélet vizsgálatának tárgyát képezik. A kidolgozott módszertant a makrogazdasági statisztikákban, az ágazati statisztikákban (ipar, mezőgazdaság, egyéb kereskedelem), a népességstatisztika, a társadalomstatisztika és más statisztikai területeken alkalmazzák. A statisztika társadalomban betöltött nagy jelentőségét az magyarázza, hogy ez az egyik legalapvetőbb, az egyik legfontosabb eszköz, amellyel egy gazdálkodó szervezet nyilvántartást vezet a gazdaságban.

A számvitel az általánosított jelenségek kvantitatív módszerekkel történő szisztematikus mérésének és tanulmányozásának módja.

A mennyiségi összefüggések minden vizsgálatához tartozik egy beszámoló. A jelenségek közötti különféle mennyiségi összefüggések bizonyos matematikai képletek formájában ábrázolhatók, és ez önmagában még nem lesz beszámoló. A számvitel egyik jellemző sajátossága az EGYEDI elemek, EGYEDI egységek számítása, amelyek ezt vagy azt a jelenséget alkotják. A számvitelben különféle matematikai képleteket használnak, de alkalmazásuk szükségszerűen összefügg az elemek számlálásával.

A számvitel az általános fejlesztési folyamat során elért eredmények ellenőrzésének és általánosításának eszköze.

Így a statisztika a legfontosabb eszköz a társadalmi fejlődés gazdasági és egyéb törvényeinek megértéséhez és használatához.

A gazdasági reform minőségileg új feladatok elé állítja a statisztikai tudományt és a gyakorlatot. A nemzetközileg elfogadott számviteli és statisztikai rendszerre való oroszországi átállás állami programjának megfelelően a statisztikai információgyűjtés rendszerét átszervezik, és fejlesztik a piaci folyamatok és jelenségek elemzésének módszertanát.

A világgyakorlatban széles körben alkalmazott Nemzeti Számlák Rendszere (SNA) megfelel a piaci viszonyok sajátosságainak és követelményeinek. A piacgazdaságra való áttérés tehát lehetővé tette az SNA bevezetését a statisztikai és számviteli nyilvántartásokba, tükrözve a piacgazdasági szektorok működését.

Ez szükséges a gazdaság átfogó makroszintű elemzéséhez, valamint az Oroszországgal együttműködő nemzetközi gazdasági szervezetek tájékoztatásához.

A statisztika nagy szerepet játszik a fejlesztés információs és elemzési támogatásában gazdasági reform. Ennek a folyamatnak egyetlen célja a gazdaság jelenlegi állapotának és fejlődésének felmérése, elemzése és előrejelzése.

A nagy számok törvénye fontos szerepet játszik a statisztikai módszertanban. Legáltalánosabb formájában a következőképpen fogalmazható meg:

A nagy számok törvénye egy általános elv, amelynek értelmében nagyszámú véletlenszerű tényező halmozódó hatása bizonyos általános feltételek mellett a véletlentől szinte független eredményhez vezet.

A nagy számok törvényét a tömegjelenségek speciális tulajdonságai generálják. Utóbbiak tömegjelenségei viszont egyrészt egyéniségükből adódóan eltérnek egymástól, másrészt van bennük valami közös, ami meghatározza egy bizonyos osztályhoz való tartozásukat.

Egyetlen jelenség érzékenyebb a véletlenszerű és jelentéktelen tényezők hatására, mint a jelenségek tömege összességében. Bizonyos feltételek mellett egy egyedi egység jellemzőjének értéke valószínűségi változónak tekinthető, mivel nem csak egy általános mintának engedelmeskedik, hanem olyan feltételek hatására is kialakul, amelyek nem ettől a mintától függenek. Emiatt a statisztika széles körben alkalmaz olyan átlagokat, amelyek egy számmal jellemzik a teljes népességet. Csak nagyszámú megfigyelés esetén a fejlődés fő irányától való véletlenszerű eltérések kiegyenlítődnek, megszűnnek, és a statisztikai szabályszerűség világosabban megnyilvánul. És így, a nagy számok törvényének lényege abban rejlik, hogy a tömegstatisztikai megfigyelések eredményét összegző számokban a társadalmi-gazdasági jelenségek fejlődési mintázata világosabban megmutatkozik, mint egy kis statisztikai vizsgálattal.

NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE

Gazdaság. Szótár. - M.: "INFRA-M", "Ves Mir" kiadó. J. Black. Főszerkesztőség: a közgazdaságtudomány doktora Osadchaya I.M. . 2000 .

Raizberg B.A., Lozovsky L.Sh., Starodubtseva E.B. . Modern gazdasági szótár. - 2. kiadás, javítva. Moszkva: INFRA-M. 479 p. . 1999

Közgazdasági szótár. 2000 .

Nézze meg, mi a "NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE" más szótárakban:

NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE- lásd NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE. Antinazi. Encyclopedia of Sociology, 2009 ... Encyclopedia of Sociology

A nagy számok törvénye- az az elv, amely szerint a tömeges társadalmi jelenségekben rejlő mennyiségi mintázatok kellően nagy számú megfigyeléssel mutatkoznak meg a legvilágosabban. Az egyedi jelenségek érzékenyebbek a véletlenszerű és ... ... Üzleti kifejezések szószedetére

NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE- kimondja, hogy egyhez közeli valószínűséggel nagy szám számtani középértéke Véletlen változók megközelítőleg egy nagyságrend keveset fog eltérni egy állandótól, amely megegyezik e mennyiségek matematikai elvárásainak számtani átlagával. Diff. ... ... Földtani Enciklopédia

nagy számok törvénye- - [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Industry, Moszkva, 1999] Villamosmérnöki témakörök, alapfogalmak HU Átlagtörvény nagy számok törvénye ... Műszaki fordítói útmutató

A nagy számok törvénye- a valószínűségszámításban azt állítja, hogy egy fix eloszlásból származó kellően nagy véges minta tapasztalati átlaga (számtani átlaga) közel van ennek az eloszlásnak az elméleti átlagához (várakozásához). Attól függően... Wikipédia

nagy számok törvénye- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. nagy számok törvénye vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. nagy számok törvénye, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas

NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE- egy általános elv, amelynek köszönhetően a véletlenszerű tényezők együttes hatása bizonyos nagyon általános feltételek mellett a véletlentől szinte független eredményhez vezet. Egy véletlenszerű esemény előfordulási gyakoriságának konvergenciája és annak valószínűsége a szám növekedésével ... ... Orosz szociológiai enciklopédia

A nagy számok törvénye- egy törvény, amely kimondja, hogy nagyszámú véletlenszerű tényező együttes hatása bizonyos nagyon általános feltételek mellett olyan eredményhez vezet, amely szinte független a véletlentől ... Szociológia: szótár

NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE- a minta és a teljes sokaság statisztikai mutatóinak (paramétereinek) kapcsolatát kifejező statisztikai törvény. Egy adott mintából nyert statisztikai mutatók tényleges értékei mindig eltérnek az ún. elméleti ... ... Szociológia: Enciklopédia

NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE- az az elv, hogy egy bizonyos típusú pénzügyi veszteség gyakorisága nagy pontossággal előre jelezhető, ha nagyszámú hasonló típusú veszteség van ... enciklopédikus szótár közgazdaságtan és jog

A nagy számok törvénye

A munka vagy a tanulás során a számokkal és számokkal való napi interakció során sokan nem is sejtjük, hogy létezik a nagy számoknak egy nagyon érdekes törvénye, amelyet például a statisztika, a közgazdaságtan, sőt a pszichológiai és pedagógiai kutatások is használnak. Valószínűség-elméletre hivatkozik, és azt mondja, hogy egy rögzített eloszlásból származó bármely nagy minta számtani átlaga közel van ennek az eloszlásnak a matematikai elvárásához.

Valószínűleg észrevette, hogy nem könnyű megérteni ennek a törvénynek a lényegét, különösen azok számára, akik nem kifejezetten barátkoznak a matematikával. Ez alapján szeretnénk beszélni róla egyszerű nyelv(persze lehetőség szerint), hogy mindenki legalább nagyjából magától értse, miről van szó. Ez a tudás segít néhány matematikai minta jobb megértésében, műveltebbé válik, és pozitívan befolyásolja a gondolkodás fejlődését.

A nagy számok törvényének fogalmai és értelmezése

A nagy számok törvényének fenti definíciója mellett a valószínűségszámításban megadhatjuk annak közgazdasági értelmezését is. Ebben az esetben azt az elvet képviseli, hogy egy adott típusú pénzügyi veszteség gyakorisága előre jelezhető magas fok megbízhatóság, ha megfigyelik magas szint az ilyen típusú veszteségek általában.

Ezenkívül a jellemzők konvergencia szintjétől függően megkülönböztethetjük a nagy számok gyenge és megerősített törvényeit. Gyengéről akkor beszélünk, ha a konvergencia valószí- nűséggel létezik, és erősről, ha szinte mindenben konvergencia létezik.

Ha egy kicsit másképp értelmezzük, akkor azt kell mondanunk, hogy mindig lehet találni olyan véges számú próbát, ahol bármilyen előre programozott, egynél kisebb valószínűséggel egy esemény relatív előfordulási gyakorisága nagyon kevéssé fog eltérni az eseménytől. annak valószínűsége.

A nagy számok törvényének általános lényege tehát a következőképpen fejezhető ki: nagyszámú azonos és független véletlenszerű tényező komplex hatásának eredménye olyan eredmény lesz, amely nem függ a véletlentől. És még egyszerűbb nyelven szólva, akkor a nagy számok törvényében a tömegjelenségek mennyiségi törvényei csak akkor nyilvánulnak meg egyértelműen, ha nagy számban vannak (ezért hívják a nagy számok törvényét törvénynek).

Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a törvény lényege az, hogy a tömeges megfigyeléssel kapott számokban van olyan helyesség, amit kevés ténynél nem lehet kimutatni.

A nagy számok törvényének lényege és példái

A nagy számok törvénye a véletlen és a szükséges legáltalánosabb mintázatait fejezi ki. Amikor a véletlen eltérések "kioltják" egymást, az azonos szerkezetre meghatározott átlagok tipikus formát öltenek. A lényeges és állandó tények működését tükrözik az idő és a hely sajátos feltételei között.

A nagy számok törvénye által meghatározott törvényszerűségek csak akkor erősek, ha tömegtendenciákat képviselnek, és nem lehetnek egyedi esetek törvényei. Így az elv matematikai statisztika, amely szerint számos véletlenszerű tényező összetett hatása nem véletlenszerű eredményt okozhat. Ennek az elvnek a működésére pedig a legszembetűnőbb példa egy véletlenszerű esemény előfordulási gyakoriságának és valószínűségének konvergenciája a kísérletek számának növekedésével.

Emlékezzünk a szokásos érmefeldobásra. Elméletileg a fej és a farok ugyanolyan valószínűséggel eshet ki. Ez azt jelenti, hogy ha például egy érmét 10-szer feldobnak, akkor 5-nek fejjel kell feljönnie, 5-nek pedig fel kell jönnie. De mindenki tudja, hogy ez szinte soha nem történik meg, mert a fejek és a farok gyakoriságának aránya lehet 4-6, és 9-1, és 2-8 stb. Azonban az érmefeldobások számának akár 100-ra történő növekedésével annak a valószínűsége, hogy a fej vagy a farok kiesik, eléri az 50%-ot. Ha elméletileg végtelen számú ilyen kísérletet végeznek, annak a valószínűsége, hogy egy érme mindkét oldalon kiesik, mindig 50%-ra fog emelkedni.

Hogy pontosan hogyan fog leesni az érme, azt számos véletlenszerű tényező befolyásolja. Ez az érme helyzete a tenyerében, és az erő, amellyel a dobás történik, és az esés magassága, sebessége stb. De ha sok kísérlet van, függetlenül attól, hogy a tényezők hogyan hatnak, mindig lehet érvelni, hogy a gyakorlati valószínűség közel áll az elméleti valószínűséghez.

És itt van egy másik példa, amely segít megérteni a nagy számok törvényének lényegét: tegyük fel, hogy meg kell becsülnünk az emberek kereseti szintjét egy bizonyos régióban. Ha figyelembe vesszük 10 megfigyelést, ahol 9 ember 20 ezer rubelt kap, 1 személy pedig 500 ezer rubelt, akkor a számtani átlag 68 ezer rubel lesz, ami természetesen nem valószínű. De ha figyelembe vesszük a 100 megfigyelést, ahol 99 ember 20 ezer rubelt, 1 személy pedig 500 ezer rubelt kap, akkor a számtani átlag kiszámításakor 24,8 ezer rubelt kapunk, ami már közelebb áll a dolgok valós állapotához. A megfigyelések számának növelésével arra kényszerítjük az átlagértéket, hogy a valós érték felé forduljon.

Éppen ezért a nagy számok törvényének alkalmazásához először statisztikai anyagot kell gyűjteni, hogy nagyszámú megfigyelés tanulmányozásával valós eredményeket kapjunk. Ezért célszerű ezt a törvényt ismét a statisztikában vagy a társadalomgazdaságtanban használni.

Összegezve

A nagy számok törvényének működőképességének jelentőségét nehéz túlbecsülni a tudomány bármely területén, és különösen a statisztika elmélete és a statisztikai ismeretek módszerei terén elért tudományos fejlemények szempontjából. A törvény cselekvése maguknak a vizsgált tárgyaknak is nagy jelentőséggel bír tömeges törvényszerűségeikkel. A statisztikai megfigyelés szinte minden módszere a nagy számok törvényén és a matematikai statisztika elvén alapul.

De a tudomány és a statisztika, mint olyan figyelembevétele nélkül is nyugodtan megállapíthatjuk, hogy a nagy számok törvénye nem csupán a valószínűségszámítás területéről származó jelenség, hanem olyan jelenség, amellyel életünk során szinte minden nap találkozunk.

Reméljük, hogy most a nagy számok törvényének lényege világossá vált számodra, és könnyen és egyszerűen elmagyarázhatod másnak. És ha a matematika és a valószínűségszámítás témája elvileg érdekes, akkor javasoljuk, hogy olvassa el a Fibonacci-számokat és a Monty Hall paradoxont. Lásd még a hozzávetőleges számításokat élethelyzetekés a legnépszerűbb számok. És természetesen figyeljen kognitív tudományi kurzusunkra, mert annak elvégzése után nemcsak új gondolkodási technikákat sajátít el, hanem általánosságban fejleszti kognitív képességeit, beleértve a matematikai képességeket is.

1.1.4. Statisztikai módszer

Statisztikai módszer a következő műveletsort foglalja magában:

statisztikai hipotézis kidolgozása,

statisztikai adatok összefoglalása és csoportosítása,

Az egyes szakaszok áthaladása speciális módszerek alkalmazásához kapcsolódik, amelyet az elvégzett munka tartalma magyaráz.

1.1.5. A statisztika feladatai

A társadalmi-gazdasági jelenségek alakulását, dinamikáját, állapotát jellemző hipotézisrendszer kialakítása.

Statisztikai tevékenység szervezése.

Elemzési módszertan fejlesztése.

A gazdaság makro- és mikroszintű irányítására szolgáló mutatórendszer kialakítása.

A statisztikai megfigyelés adatainak népszerűsítése.

1.1.6. A nagy számok törvénye és szerepe a statisztikai törvényszerűségek vizsgálatában

A társadalmi törvények tömeges jellege és cselekvéseik eredetisége előre meghatározza az aggregált adatok tanulmányozásának szükségességét.

A nagy számok törvényét a tömegjelenségek speciális tulajdonságai generálják. Ez utóbbiak egyéniségüknél fogva egyrészt különböznek egymástól, másrészt egy bizonyos osztályhoz, fajhoz való tartozásuk miatt van bennük valami közös. Ráadásul az egyes jelenségek jobban ki vannak téve a véletlenszerű tényezők hatásának, mint összességük.

A nagy számok törvénye a legegyszerűbb formájában kimondja, hogy a tömegjelenségek mennyiségi törvényszerűségei csak kellően nagy számban mutatkoznak meg egyértelműen.

Lényege tehát abban rejlik, hogy a tömeges megfigyelés eredményeként kapott számokban olyan törvényszerűségek jelennek meg, amelyek kisszámú tényben nem mutathatók ki.

A nagy számok törvénye a véletlen és a szükséges dialektikáját fejezi ki. A véletlen eltérések kölcsönös törlésének eredményeként az azonos típusú értékre számított átlagértékek válnak tipikussá, tükrözve az állandó és jelentős tények adott hely- és időviszonyok közötti cselekvését.

A nagy számok törvénye által feltárt tendenciák és törvényszerűségek csak tömegtendenciákként érvényesek, de nem minden egyes esetre vonatkozó törvényként.

A társadalmi élet statisztika által vizsgált jelenségeinek számos területén megmutatkozik a nagy számok törvénye működésének megnyilvánulása. Például az egy dolgozóra jutó átlagos kibocsátás, a termék átlagos egységköltsége, az átlagbér és egyéb statisztikai jellemzők egy adott tömegjelenségre jellemző mintázatokat fejeznek ki. Így a nagy számok törvénye hozzájárul a tömegjelenségek mintázatainak feltárásához, mint fejlődésük objektív szükségességéhez.

1.1.7. A statisztika főbb kategóriái és fogalmai: statisztikai sokaság, népességegység, előjel, variáció, statisztikai mutató, mutatórendszer

Mivel a statisztika tömegjelenségekkel foglalkozik, a fő fogalom a statisztikai totalitás.

Népesség - ez a statisztikák által vizsgált objektumok vagy jelenségek halmaza, amelyek egy vagy több közös jellemzővel rendelkeznek, és más szempontból különböznek egymástól. Így például a kiskereskedelmi forgalom volumenének meghatározásakor a lakosságnak árut értékesítő összes kereskedelmi vállalkozást egyetlen statisztikai aggregátumnak - „kiskereskedelemnek” kell tekinteni.

E lakossági egység – ez a statisztikai sokaság elsődleges eleme, amely a regisztrálandó jelek hordozója, és a felmérés során vezetett elszámolás alapja.

Például a kereskedelmi berendezések összeírásánál a megfigyelési egység a kereskedelmi vállalkozás, a lakossági egység pedig a berendezéseik (pult, hűtőegység stb.).

jel — Ez jellemző tulajdonság vizsgált jelenség, amely megkülönbözteti a többi jelenségtől. A jelek számos statisztikai értékkel jellemezhetők.

A statisztika különböző ágaiban különböző jellemzőket tanulmányoznak. Tehát például a vizsgálat tárgya egy vállalkozás, és jellemzői a termék típusa, a kibocsátás mennyisége, az alkalmazottak száma stb. Vagy az objektum egy külön személy, és a jelek nem, életkor, nemzetiség, magasság, súly stb.

Így a statisztikai jellemzők, pl. a megfigyelési tárgyaknak nagyon sok tulajdonsága, minősége van. Minden változatosságukat általában két nagy csoportra osztják: a minőségi és a mennyiségi jelekre.

Minőségi jel (attribútum) - jel, amelynek egyéni jelentései fogalmak, nevek formájában fejeződnek ki.

Szakma - esztergályos, lakatos, technológus, tanár, orvos stb.

Mennyiségi jel - egy jel, amelynek bizonyos értékei mennyiségi kifejezésekkel rendelkeznek.

Magasság - 185, 172, 164, 158.

Súly - 105, 72, 54, 48.

Minden vizsgálati tárgynak számos statisztikai jellemzője lehet, de tárgyról objektumra egyes jellemzők változnak, mások változatlanok maradnak. A jellemzők egyik objektumról a másikra való váltását változónak nevezzük. Ezeket a jellemzőket vizsgálják a statisztikák, mivel nem érdekes egy változatlan jellemzőt tanulmányozni. Tegyük fel, hogy a csoportodban csak férfiak vannak, mindenkinek van egy tulajdonsága (nem - férfi), és ezen az alapon nincs több mondanivaló. És ha vannak nők, akkor már kiszámolhatja százalékos arányukat a csoportban, a nők számának változásának dinamikáját hónapok szerint tanév satöbbi.

Variáció jel - ez a diverzitás, az attribútum értékének változékonysága a megfigyelési sokaság egyes egységeiben.

A tulajdonság variációja - nem - férfi, nő.

Fizetésváltozás - 10000, 100000, 1000000.

Az egyedi jellemző értékeket ún lehetőségek ezt a jelet.

A társadalom életében zajló jelenségeket, folyamatokat statisztikai mutatókon keresztül vizsgálja a statisztika.

statisztikai - ez a statisztikai sokaság vagy annak egy részének valamely tulajdonságának általánosító jellemzője. Ebben különbözik a jeltől (a népesség egységében rejlő tulajdonság). Például, GPA félévenként egy hallgatói csoport esetében statisztikai mutató. Egy adott tanuló valamely tárgyából elért pontszám egy jel.

Statisztikai mutatórendszer egymással összefüggő statisztikai mutatók összessége, amelyek átfogóan tükrözik a társadalmi élet folyamatait bizonyos hely- és időviszonyok között.

A nagy számok törvénye. statisztikai szabályszerűség

A statisztika fogalma és főbb rendelkezései

Statisztika mint népességi paraméter

A nagy számok törvénye. statisztikai szabályszerűség

Fiú vagy lány

A népességstatisztikában használt kutatási módszerek

Bibliográfia

Szó statisztika V tizennyolcadik közepe V. elkezdte kijelölni az államokra vonatkozó különféle tényszerű információk halmazát (a latin „státus” szóból - állam). Ilyen információk voltak az államok népességének nagyságáról és mozgásáról, területi felosztásáról és közigazgatási szerkezetéről, gazdaságáról stb.

Jelenleg a "statisztika" kifejezésnek számos kapcsolódó jelentése van. Egyikük szorosan megfelel a fentieknek. A statisztikákat gyakran egy adott országra vonatkozó tények halmazának nevezik. A főbbeket szisztematikusan közzéteszik különkiadásokban az előírt formában.

A szó átgondolt értelmében vett modern statisztikát azonban nemcsak az abban foglalt információk rendkívüli mértékben megnövekedett teljessége és sokoldalúsága különbözteti meg az elmúlt évszázadok „referenciaállapotától”. Ami az információ jellegét illeti, most már csak a kapott információkat tartalmazza mennyiségi kifejezés. Tehát a statisztikák nem tartalmaznak információt arról, hogy egy adott állam monarchia vagy köztársaság. Milyen nyelvet fogadnak el benne államnyelvként stb.

De tartalmaz kvantitatív adatokat azon emberek számáról, akik ezt vagy azt a nyelvet használják beszélt nyelvükként. A statisztikák nem tartalmazzák az egyének listáját és helyét a térképen területi egységekállamok, de tartalmaznak mennyiségi adatokat a népesség megoszlásáról, az iparról stb.

A statisztikákat alkotó információk közös jellemzője, hogy mindig nem egyetlen (egyedi) jelenségre vonatkoznak, hanem összefoglaló jellemzőket takarnak. egész sor ilyen jelenségek, vagy ahogy mondani szokták, az övék totalitás. Egy egyedi jelenség abban különbözik a totalitástól, hogy önállóan létező és hasonló alkotóelemekre bonthatatlan. A totalitás éppen ilyen elemekből áll. Az aggregátum egyik elemének eltűnése önmagában nem pusztítja el.

Így egy város lakossága akkor is a lakossága marad, ha valamelyik tagja meghalt vagy másikba költözött.

A különböző aggregátumok és egységeik a valóságban egyesülnek és összefonódnak egymással, néha nagyon összetett komplexumokká. A statisztika sajátossága, hogy adatai minden esetben a népességre vonatkoznak. Az egyes egyedi jelenségek jellemzői csak a totalitás összefoglaló jellemzőinek megszerzésének alapjaként kerülnek látóterébe.

Például a házasság bejegyzése egy adott házaspár számára bizonyos jelentéssel bír, ebből minden házastárs számára bizonyos jogok és kötelezettségek következnek. A statisztika csak összefoglaló adatokat tartalmaz a házasságkötések számáról, a házasságot kötöttek összetételéről - életkor, megélhetési forrás szerint stb. ezekből összefoglaló adatok beszerzésére van lehetőség.

Statisztika mint népességi paraméter

Az utóbbi időben a „statisztika” kifejezést gyakran valamivel szűkebb, de pontosabban definiált értelemben, az egyes megfigyelések sorozatának eredményeinek feldolgozásával társítják.

Képzeljük el, hogy a megfigyelések eredményeként megkaptuk a számokat x 1 , x 2 . x n. Ezeket a számokat a halmaz egyik lehetséges megvalósításának tekintjük n mennyiségek kombinációjukban.

A statisztika egy paraméter f attól függ x 1 , x 2 . x n. Mivel ezek a mennyiségek, amint megjegyeztük, az egyik lehetséges realizációjuk, ennek a paraméternek az értéke is egynek bizonyul a számos lehetséges közül. Ezért ebben az értelemben minden statisztikának megvan a maga valószínűségi eloszlása ​​(vagyis bármely adott szám a fennáll annak a lehetősége, hogy a f nem lesz több mint a).

A fentebb tárgyalt értelemben vett „statisztika” kifejezésbe fektetett tartalomhoz képest itt először is minden alkalommal egy értékre – paraméterre – szűkítését értjük, amely nem zárja ki több paraméter (több statisztika) egyben történő együttes figyelembevételét. összetett probléma. Másodszor kiemeli egy matematikai szabály (algoritmus) jelenlétét a paraméter értékének a megfigyelési eredmények összességéből való megszerzéséhez: számítsa ki azok számtani átlagát, vegye ki a szállított értékek maximumát, számítsa ki néhány speciális csoportjuk számának arányát. nak nek teljes szám stb.

Végül a jelzett értelemben a "statisztika" kifejezést olyan paraméterre alkalmazzák, amelyet a jelenségek bármely területén - társadalmi és mások - végzett megfigyelések eredményeiből nyernek. Ez lehet az átlagos terméshozam, vagy az erdőben lévő fenyőfák átlagos fesztávja, vagy valamely csillag parallaxisának ismételt mérésének átlagos eredménye stb. ebben az értelemben a "statisztika" kifejezést főleg a matematikai statisztikában használják, amely, mint a matematika bármely ága, nem korlátozódhat a jelenségek egyik vagy másik területére.

A statisztika alatt a „megtartásának” folyamatát is értjük, azaz. a tényekre vonatkozó információk gyűjtésének és feldolgozásának folyamata, amely mindkét értelemben vett statisztikai adatok megszerzéséhez szükséges.

Ugyanakkor a statisztikához szükséges információk gyűjthetők kizárólag abból a célból, hogy általánosított jellemzőket kapjunk az adott típusú esetek tömegére, pl. A statisztika szempontjából ez természetes. Ilyenek például a népszámlálások során gyűjtött információk.

A nagy számok törvénye. Statisztikai szabályszerűség.

Bármely tömegjelenség tanulmányozásának tapasztalatának fő általánosítása a nagy számok törvénye. Egy különálló egyéni jelenség, amelyet az ilyen jelenségek közé sorolunk, a véletlennek egy elemét tartalmazza: lehet vagy nem, legyen ez vagy az. Amikor nagyszámú ilyen jelenséget egyesítenek Általános jellemzők teljes tömegükben a véletlen nagyobb mértékben tűnik el, minél több egyedi jelenség kapcsolódik össze.

A matematika, különösen a valószínűségelmélet, pusztán kvantitatív szempontból, a nagy számok törvénye, matematikai tételek egész láncolatával fejezi ki. Megmutatják, hogy a tömeget lefedő jellemzőkben milyen feltételek mellett és milyen mértékben lehet számolni a véletlenszerűség hiányával, ez hogyan függ össze a bennük szereplő egyedi jelenségek számával. A statisztika ezeken a tételeken alapul az egyes tömegjelenségek tanulmányozása során.

rendszeresség, amely csak a jelenségek nagy tömegében nyilvánult meg az egyes elemeiben rejlő véletlenszerűség leküzdésével, az ún. statisztikai szabályszerűség .

Egyes esetekben a statisztika azzal a feladattal szembesül, hogy mérje megnyilvánulásait, miközben a létezése elméletileg előre világos.

Más esetekben a szabályszerűség empirikusan statisztikával állapítható meg. Ily módon például azt találták, hogy a költségvetésben a családi bevételek növekedésével az élelmiszerre fordított kiadások százalékos aránya csökken.

Így amikor a statisztika egy jelenség tanulmányozása során általánosításig jut, és abban működő szabályszerűséget talál, ez utóbbi azonnal annak a tudománynak a tulajdonává válik, amelynek érdeklődési körébe ez a jelenség tartozik. Ezért minden statisztika módszerként működik.

A tömegmegfigyelés eredményeit figyelembe véve a statisztika hasonlóságokat és különbségeket talál bennük, az elemeket csoportokba vonja, különböző típusokat tárva fel, e típusok szerint megkülönböztetve a teljes megfigyelt tömeget. A tömeg egyes elemeinek megfigyelési eredményeit felhasználjuk továbbá a teljes populáció jellemzőinek és a benne megkülönböztetett speciális részek, pl. általános mutatók megszerzése érdekében.

Tömeges megfigyelés, eredményeinek csoportosítása és összegzése, általánosító mutatók számítása és elemzése - ezek a statisztikai módszer fő jellemzői.

A statisztikát mint tudományt a matematikai statisztikákra redukálják. A matematikában a tömegjelenségek jellemzésének feladatait csak pusztán mennyiségi szempontból, a minőségi tartalomtól elválasztva (ami a matematika, mint tudomány számára kötelező). A statisztika még a tömegjelenségek általános törvényszerűségeinek tanulmányozása során is nemcsak e jelenségek mennyiségi általánosításaiból indul ki, hanem mindenekelőtt magának a tömegjelenség kialakulásának mechanizmusából.

Ugyanakkor a kvantitatív mérés statisztika szempontjából betöltött szerepéről elmondottakból az következik nagyon fontos ehhez általában matematikai módszerek, amelyeket kifejezetten a tömegjelenségek tanulmányozása során felmerülő problémák megoldására adaptáltak (valószínűségszámítás és matematikai statisztika). Sőt, a matematikai módszerek szerepe itt olyan nagy, hogy a statisztika folyamatából való kizárásra irányuló kísérlet (egy külön tantárgy - a matematikai statisztika - tervekben való jelenléte miatt) jelentősen elszegényíti a statisztikát.

Ennek a kísérletnek az elutasítása azonban nem jelentheti az ellenkező végletet, nevezetesen a teljes valószínűségelmélet és a matematikai statisztika statisztika általi elnyelését. Ha például a matematikában egy eloszlássorozat (valószínűség vagy empirikus gyakoriság) átlagértékét vesszük figyelembe, akkor a statisztika sem tudja megkerülni a megfelelő technikákat, de itt ez az egyik szempont, amellyel együtt számos egyéb felmerülnek (általános és csoportátlagok, az átlagok előfordulása és szerepe az információs rendszerben, a súlyrendszer anyagtartalma, kronológiai átlagok, átlag- és relatív értékek stb.).

Vagy egy másik példa: a mintavétel matematikai elmélete minden figyelmet a reprezentativitás hibájára összpontosít - különböző szelekciós rendszerekre, eltérő jellemzőkre stb. Rendszerhiba, pl. az átlagértékben fel nem vett hibát előzetesen kiküszöböli az ún. torzítatlan becslések tőle mentes megkonstruálásával. A statisztikákban talán az a fő kérdés ebben a kérdésben, hogy hogyan lehet elkerülni ezt a rendszerhibát.

A tömegjelenségek mennyiségi oldalának vizsgálata során számos matematikai jellegű probléma merül fel. Megoldásukra a matematika megfelelő technikákat dolgoz ki, de ehhez általános formában kell ezeket figyelembe vennie, amelyre nézve a tömegjelenség minőségi tartalma közömbös. Tehát a nagy számok törvényének megnyilvánulását először pontosan a társadalmi-gazdasági területen és szinte egyidejűleg a szerencsejátékban vették észre (amelynek eloszlását az magyarázta, hogy a gazdaságból, különösen a fejlődő árucikkekből származnak. pénzkapcsolatok). Attól a pillanattól kezdve azonban, amikor a nagy számok törvénye a matematika egzakt tanulmányozásának tárgyává válik, teljesen általános értelmezést kap, amely nem korlátozza működését semmilyen speciális területre.

Ezen az alapon a statisztika tárgyát általában megkülönböztetik a matematikától. A tárgyak elhatárolása nem jelentheti azt, hogy az egyik tudományból száműzzünk mindent, ami egy másik látókörébe került. Helytelen lenne például a fizika bemutatásából kizárni mindazt, ami a használatával kapcsolatos differenciál egyenletek azon az alapon, hogy a matematika foglalkozik velük.

Miért vannak a születéskori nemek arányának bizonyos arányai, amelyeket évszázadok óta nem figyeltek meg jelentős mértékben?

Bármilyen paradox módon is hangzik, a szaporodás és az új nemzedékek szaporodásának fő biológiai feltétele a halál. Egy faj létének meghosszabbítása érdekében egyedeinek utódokat kell hátrahagyniuk; különben a kilátás örökre eltűnik.

A nemi hovatartozás problémája (ki születik fiúnak vagy lánynak) nem csak a biológiai fejlődéssel, az orvosi genetikai jellemzőkkel, a demográfiai adatokkal, hanem tágabb vonatkozásban is a szex pszichológiájával, viselkedésével és törekvéseivel kapcsolatos kérdést foglal magában. ellenkező nemű egyének, köztük a harmónia vagy konfliktus.

Az a kérdés, hogy ki fog születni – fiú vagy lány –, és miért történik ez – csak egy szűkebb kérdéskör, amely egy nagyobb problémából fakad. Különösen fontos elméleti és gyakorlati kérdés annak a kérdésnek a tisztázása, hogy a férfiak várható élettartama miért alacsonyabb, mint a nőké. Ez a jelenség nemcsak az emberekben, hanem az állatvilág számos fajában is gyakori.

Ezt nem elég csak azzal magyarázni, hogy a születéskor a hímek túlsúlya megnövekedett aktivitásuknak köszönhető, és ennek eredményeként a kevesebb „vitalitás” nem elegendő. A biológusok régóta felhívták a figyelmet a hímek rövidebb élettartamára a legtöbb vizsgált állatnál, mint a nőstényeknél. Az élet tartama ellentétes a magas tempójával, és ez biológiailag igazolható.

Az angol kutató, A. Comfort rámutat: „A szervezetnek bizonyos anyagcsere-folyamatokon vagy fejlődési szakaszokon kell keresztülmennie, és ezek áthaladásának sebessége határozza meg a megfigyelt élettartamot.”

Ch. Darwin a férfiak rövidebb várható élettartamát "természetes és alkotmányos tulajdonságnak tekintette, amely csak a nemnek köszönhető".

Egy-egy nemű gyermek megszületésének lehetősége minden egyes esetben nemcsak a jelenségben rejlő, számos megfigyelés során feltárt mintáktól függ, hanem a véletlenszerű körülményektől is. Ezért statisztikailag lehetetlen előre meghatározni, hogy az egyes külön született gyermekek milyen neműek lesznek. Sem a valószínűségszámítás, sem a statisztika nem teszi ezt, bár sok esetben egy-egy esemény eredménye nagyon érdekes. A valószínűségszámítás meglehetősen határozott válaszokat ad, ha a születések nagy populációjáról van szó. A mellékes, külső okok véletlenszerűek, de összességük stabil mintákat tükröz. A szex kialakulásában, mint ma már ismert, még a fogantatás előtt a véletlen okok bizonyos esetekben a hím, más esetekben a nőstény embriók megjelenését kedvezhetik. De ez nem valami szabályos rendben nyilvánul meg, hanem kaotikusan, véletlenszerűen. A születéskor bizonyos nemi arányokat alkotó tényezők összessége csak kellően sok megfigyelésben nyilvánul meg; és minél többen vannak, annál közelebb kerül az elméleti valószínűség a tényleges eredményekhez.

A fiúk születésének valószínűsége valamivel nagyobb, mint 0,5 (közel 0,51), a lányoké pedig kisebb, mint 0,5 (közel 0,49). Ezt nagyon Érdekes tény nehéz feladat elé állította a biológusokat és a statisztikusokat - megmagyarázni, miért nem lehetséges egy fiú vagy lány fogantatása és születése, és miért nem felel meg a genetikai előfeltételeknek (Mengyelejev törvénye a nemek szerinti felosztásról).

Ezekre a kérdésekre még nem érkezett kielégítő válasz; csak az ismeretes, hogy már a fogantatás pillanatától kezdve a fiúk aránya nagyobb, mint a lányoké, és hogy a méhen belüli fejlődés időszakában ezek az arányok fokozatosan kiegyenlítődnek még a születés idejére is, anélkül azonban, hogy elérnék a kiegyensúlyozott értékeket. . A fiúk körülbelül 5-6%-kal többen születnek, mint a lányok.

A biológusok által élettani táblázatokat összeállított fajok többségének mortalitása magasabb a hímek körében. A genetikusok ezt a nők és a férfiak közös kromoszómakomplexumának különbségével magyarázzák.

C. Darwin a különböző fajok képviselőiből származó nemek számszerű arányát az ivaros szelekció elvein alapuló evolúciós természetes szelekció eredményeként tekinti. A nemi képződés genetikai törvényeit később fedezték fel, és ezek jelentik a hiányzó láncszemet Ch. Darwin elméleti koncepcióiban. Ch. Darwin jól irányzott megfigyeléseit érdemes itt idézni. A szerző megjegyzi, hogy a szexuális szelekció egyszerű dolog lenne, ha a hímek számában jelentősen meghaladnák a nőstényeket. Az ivararányt nemcsak születéskor, hanem éréskor is fontos tudni, ez pedig bonyolítja a képet. Az embereket illetően megállapították, hogy sokkal több fiú hal meg születés előtt, szülés közben és gyermekkor első éveiben, mint lány.

A nemek szerinti halálozási arányt befolyásoló és általában a férfiak többlethalandóságát meghatározó tényezők két nagy csoportját nevezhetjük meg. Ezek exogének, pl. társadalmi-gazdasági tényezők, valamint a férfi és női szervezet életképességének genetikai programjához kapcsolódó endogén tényezők. A nemek szerinti halálozási különbségek e két tényezőcsoport állandó kölcsönhatásával magyarázhatók. Ezek a különbségek egyenes arányban nőnek a várható élettartam növekedésével. A férfiak és a nők életképességének tisztán biológiai különbségeit az élet társadalmi-gazdasági körülményeinek hatása fedi fel, amelyekre a férfi és a női szervezetek eltérő módon reagálnak a leküzdési képességükben. rossz hatás különböző életkori időszakokban.

A világ azon országainak túlnyomó többségében, ahol a halálozás többé-kevésbé megbízható és teljes körű nyilvántartását végzik, a mutatók nemenkénti arányát megerősíti a férfiak halálozásának növekedésére vonatkozó, a gyakorlat által többször is megerősített álláspont - ez mint korábban említettük, az emberi populáció velejárója, és nem csak az, hanem sok más biológiai faj is.

Népességi statisztikák- a populációban előforduló jelenségek és folyamatok mennyiségi mintázatait vizsgáló tudomány, folyamatos összefüggésben azok minőségi oldalával.

Népesség- tanulmányi és demográfiai tárgy, amely meghatározza fejlődésük általános mintáit, életének minden vonatkozásában: történelmi, politikai, gazdasági, társadalmi, jogi, orvosi és statisztikai szempontból. Ugyanakkor szem előtt kell tartani, hogy a tárgyról szóló ismeretek fejlődésével annak új aspektusai nyílnak meg, amelyek a tudás külön tárgyává válnak.

A népességstatisztika a sajátos hely- és időviszonyok között vizsgálja tárgyát, feltárva mozgásának minden új formáját: természetes, vándorló, társadalmi.

Alatt természetes mozgás népességszám a születések és halálozások miatti népességváltozásra utal, i.e. természetesen előforduló. Ez magában foglalja a házasságokat és a válásokat is, mivel azokat ugyanabban a sorrendben számítják, mint a születéseket és a halálozásokat.

migrációs mozgalom, vagy egyszerűen népvándorlás, az emberek bizonyos területek határain át történő mozgását jelenti, általában lakóhely-változtatással. hosszú idő vagy örökre.

szociális mozgalom népesség alatt a lakosság társadalmi életkörülményeinek változását értjük. A szám és az összetétel változásában fejeződik ki társadalmi csoportok olyan emberek, akiknek közös érdekei, értékei és viselkedési normái vannak, amelyek egy történelmileg meghatározott társadalom keretein belül alakulnak ki.

A népességstatisztika számos problémát megold:

A legfontosabb feladata- a népesség meghatározása. De gyakran meg kell ismerni az egyes kontinensek és részeik lakosságát, különböző országokban, országok gazdasági régiói, közigazgatási régiói. Ugyanakkor nem egyszerű számtani, hanem speciális - statisztikai számlát - a népesség kategóriáinak elszámolását vezetik. A születések, halálozások, házasságkötések, válási ügyek száma, a be- és kiutazó migránsok száma statisztikailag megállapított, i.e. a lakosság mennyiségét határozzák meg.

Második feladat- a népesség szerkezetének, a demográfiai folyamatoknak a megállapítása. Itt elsősorban a lakosság nem, életkor, iskolai végzettség, szakmai, termelési jellemzők, városi és vidéki területekhez való tartozás szerinti megoszlására hívják fel a figyelmet.

A népesség nemek szerinti szerkezete egyenlő számú nemtel, férfi vagy női túlsúlysal és e túlsúly mértékével jellemezhető.

A népesség szerkezete életkor szerint egy éves adatokkal és korcsoportokkal, valamint a korösszetétel trendjével, például öregedéssel vagy fiatalítással reprezentálható.

Oktatási struktúra azt mutatja meg, hogy a különböző területeken és különböző környezetben milyen arányban van az írástudó népesség bizonyos iskolai végzettségével.

Szakmai- Az emberek megoszlása ​​a képzés során szerzett szakmák, foglalkozások szerint.

Termelés- nemzetgazdasági ágazatok szerint.

Területi a lakosság elhelyezkedése vagy áttelepítése. Itt különbséget tesznek az urbanizáció foka, a teljes népesség sűrűségének meghatározása, a sűrűség és állapotának eltérő értelmezése között.

Harmadik feladat magában a populációban annak különböző csoportjai között végbemenő kölcsönhatások vizsgálatából, valamint a populációban lezajló folyamatok azon környezeti tényezőktől való függésének vizsgálatából áll, amelyekben ezek a folyamatok végbemennek.

A negyedik feladat a demográfiai folyamatok dinamikájának figyelembevételéből áll. Ebben az esetben a dinamika jellemzői a populáció méretének változásaként, illetve a populációban lezajló folyamatok intenzitásának időben és térben történő változásaként adhatók meg.

Ötödik feladat- Megnyílik a népesedési statisztika a méretének és összetételének a jövőre vonatkozó előrejelzéseivel. Adatszolgáltatás a közeli és távoli jövőre vonatkozó népesség-előrejelzésről.

A népességstatisztikában használt kutatási módszerek

A módszer a legáltalánosabb értelemben a cél elérésének módját, a tevékenység szabályozását jelenti. A konkrét tudomány módszere a valóság elméleti és gyakorlati megismerésének módszereinek összessége. Egy független tudományhoz nemcsak egy más tudományokból származó speciális kutatási alany jelenléte szükséges, hanem a saját tudományának megléte is. saját módszerek tanulmányozza ezt a témát. A bármely tudományban alkalmazott kutatási módszerek összessége az módszertan ezt a tudományt.

Mivel a népességstatisztika ágazati statisztika, módszertanának alapja a statisztikai módszertan.

A statisztikai módszertanban szereplő legfontosabb módszer a vizsgált folyamatokról, jelenségekről való információszerzés - statisztikai megfigyelés . Adatgyűjtés alapjául szolgál mind a jelenlegi statisztikákban, mind a népszámlálások, monografikus és mintavételes vizsgálatok során. Itt az elméleti statisztika rendelkezéseinek teljes körű felhasználása a megfigyelési egység tárgyának megállapítására, a bejegyzés időpontjára és időpontjára vonatkozó fogalmak bevezetésére, a megfigyelés programjára, szervezési kérdéseire, eredményeinek rendszerezésére és publikálására. A statisztikai módszertan tartalmazza azt az elvet is, hogy minden felsorolt ​​személyt önállóan kell egy bizonyos csoporthoz rendelni - az önrendelkezés elvét.

A társadalmi-gazdasági jelenségek statisztikai vizsgálatának következő lépése a szerkezetük meghatározása, i.e. a teljességet alkotó részek és elemek kiválasztása. A csoportosítások és osztályozások módszeréről beszélünk, amelyeket a népességstatisztikában tipológiainak és strukturálisnak neveznek.

A népesség szerkezetének megértéséhez mindenekelőtt a csoportosítás és osztályozás jelét kell kiemelni. Bármely megfigyelt jellemző csoportosító jellemzőként is szolgálhat. Például a népszámlálási adatlapon elsőként feljegyzett személyhez való viszonyulás kérdésében meg lehet határozni a felsorolandó népesség szerkezetét, ahol valószínűnek tűnik, hogy jelentős számú csoportot különíthet el. Ez az attribútum attribútum, ezért a rá vonatkozó népszámlálási kérdőívek kidolgozásakor előzetesen össze kell állítani az elemzéshez szükséges besorolások (attribútumok jellemzői szerinti csoportosítások) listáját. A nagyszámú attribútumrekordot tartalmazó osztályozások összeállításakor az egyes csoportokhoz való hozzárendelés előzetesen indokolt. Foglalkozásuk szerint tehát a populáció több ezer fajra oszlik, amit a statisztika bizonyos osztályokra redukál, amit az ún. foglalkozási szótárban rögzítenek.

A szerkezet mennyiségi jellemzőkkel történő vizsgálatakor lehetővé válik olyan statisztikai általánosító mutatók alkalmazása, mint az átlag, módusz és medián, távolságmértékek vagy variációs mutatók a sokaság különböző paramétereinek jellemzésére. A jelenségek figyelembe vett struktúrái a bennük lévő összefüggés vizsgálatának alapjául szolgálnak. A statisztika elméletében funkcionális és statisztikai összefüggéseket különböztetnek meg. Ez utóbbi vizsgálata lehetetlen a sokaság csoportokra bontása, majd a hatásos jellemző értékének összehasonlítása nélkül.

A faktorattribútum szerinti csoportosítás és a hatékony attribútum változásaival való összehasonlítás lehetővé teszi a kapcsolat irányának meghatározását: közvetlen vagy fordított, valamint képet ad a formájáról. törött regresszió . Ezek a csoportosítások lehetővé teszik a megtaláláshoz szükséges egyenletrendszer felépítését regressziós egyenlet paraméterei és a kapcsolat szorosságának meghatározása a korrelációs együtthatók kiszámításával. Csoportosítások és osztályozások szolgálnak alapul a népességmozgás mutatói és az azokat kiváltó tényezők közötti összefüggések diszperziós elemzéséhez.

A statisztikai módszereket széles körben alkalmazzák a populáció vizsgálatában. dinamikai kutatás , jelenségek grafikus vizsgálata , index , szelektív És egyensúly . Elmondható, hogy a népességstatisztika a teljes arzenált felhasználja tárgyának tanulmányozására. statisztikai módszerekés példák. Emellett olyan módszereket is alkalmaznak, amelyeket csak a populáció vizsgálatára fejlesztettek ki. Ezek a módszerek valódi generáció (kohorszok) És feltételes generálás . Az első lehetővé teszi számunkra, hogy figyelembe vegyük a társak (ugyanabban az évben születettek) természetes mozgásában bekövetkezett változásokat - longitudinális elemzés; a második a társak természetes mozgását veszi figyelembe (egy időben élő) - keresztmetszeti elemzés.

Érdekes az átlagok és indexek használata a jellemzők figyelembevételekor és a sokaságban lezajló folyamatok összehasonlításakor, amikor az adatok összehasonlításának feltételei nem egyenlőek egymással. Az általánosító átlagok kiszámításakor eltérő súlyozást alkalmazva olyan szabványosítási módszert dolgoztak ki, amely lehetővé teszi a lakosság különböző életkori jellemzőinek hatásának kiküszöbölését.

Valószínűségelmélet mint matematikai tudomány segítségével tanulmányozza az objektív világ tulajdonságait absztrakciók , melynek lényege a minőségi bizonyosságtól való teljes elvonatkoztatás és mennyiségi oldaluk kiemelése. Az absztrakció a tárgyak tulajdonságainak számos aspektusától való mentális elvonatkoztatás folyamata, és egyben a számunkra érdekes szempontok, a vizsgált tárgyak tulajdonságainak és kapcsolatainak elkülönítésének, elkülönítésének folyamata. Az absztrakt matematikai módszerek alkalmazása a népességstatisztikában lehetővé teszi statisztikai modellezés a lakosságban végbemenő folyamatok. A modellezés szükségessége akkor merül fel, ha magát az objektumot nem lehet tanulmányozni.

A legtöbb népességstatisztikában használt modellt a dinamikájának jellemzésére fejlesztették ki. Ezek közül kiemelkedik exponenciálisÉs logisztika. A jövőbeli időszakokra vonatkozó népesség-előrejelzésben különösen fontosak a modellek helyhez kötöttÉs stabil népesség, amelyek meghatározzák az ilyen körülmények között kialakult populáció típusát.

Ha az exponenciális és logisztikai sokaság modelljeinek felépítése az abszolút sokaság elmúlt időszaki dinamikájának adatait használja fel, akkor a stacionárius és stabil sokaság modelljei a fejlődés intenzitásának jellemzői alapján épülnek fel.

Tehát a sokaság tanulmányozásának statisztikai módszertana a statisztika általános elméletének számos módszerével rendelkezik, matematikai módszerekés maguk a népességstatisztikában kidolgozott speciális módszerek.

A népesedési statisztika a fent tárgyalt módszerekkel általánosító mutatók rendszerét dolgozza ki, jelzi a szükséges információkat, számítási módszereket, ezen mutatók kognitív képességeit, felhasználási feltételeit, a rögzítés és az értelmes értelmezés rendjét.

A statisztikai mutatók általánosításának fontossága a demográfiai politika mérlegelésekor a legfontosabb problémák megoldásában szükséges a kiegyensúlyozott népességnövekedés érdekében, a népességvándorlás vizsgálatában, amely a munkaerő körzetek közötti újraelosztásának és eloszlásában az egységesség elérésének alapját képezi.

Mivel a lakosság egy bizonyos szempontból számos más tudományt – egészségügyet, pedagógiát, szociológiát stb. – tanul, ezért szükséges e tudományok tapasztalatainak felhasználása, módszereik fejlesztése a statisztika igényeihez képest.

A megújulás hazánk előtt álló feladatai a demográfiai problémák megoldását is érintik. Átfogó programok kidolgozása a gazdasági és társadalmi fejlődés tartalmaznia kell a demográfiai programokról szóló részeket, megoldásuknak hozzá kell járulnia a legkevesebb demográfiai veszteséggel járó népesség fejlődéséhez.

Bibliográfia

Kildishev és munkatársai „Népességi statisztika a demográfia alapjaival” M .: Pénzügy és Statisztika, 1990 - 312 p.

Szegény M.S. "Fiúk lányok? Mediko-demográfiai elemzés” M.: Statisztika, 1980 – 120 p.

Andreeva B.M., Vishnevsky A.G. "Hosszú élet. Elemzés és modellezés” M.: Statisztika, 1979 – 157 p.

Boyarsky A.Ya., Gromyko G.L. „A statisztika általános elmélete” M.: szerk. Moszkvai Egyetemek, 1985 - 372 p.

Vasziljeva E.K. „Egy diák szocio-demográfiai portréja” M.: Gondolat, 1986 - 96 p.

Bestuzhev-Lada I.V. „Holnapunk világa” M.: Gondolat, 1986 – 269 p.

Népszerű:

• Az öröklési törvény fő tartalma Az öröklési törvény egy speciális eljárást szabályoz, amely meghatározza az elhunyt állampolgár jogainak és kötelezettségeinek, valamint vagyonának átruházását hozzátartozóira vagy más személyekre, ideértve a […]
• Ha az óvodavezető nem elégedett... Kérdés: Jó napot! G. Kalinyingrád. Kérem, mondja meg, ha a szülők nincsenek teljesen elégedettek az óvoda vezetőjével, kérhetik-e az óvoda vezetőjétől […]
• Hogyan készítsünk jelentkezést külföldi állampolgár vagy hontalan személy a lakóhelyi regisztrációval kapcsolatban Az Orosz Föderációba érkezett más állam lakosának kérelmet kell benyújtania a külföldi állampolgár migrációs szolgálatához vagy […]
• Autóhitel-bíróság - ügyvédi tanácsok Ha célhitelt vesz fel autóvásárlásra, akkor a vásárolt autó fedezetként kerül nyilvántartásba. Nagyjából elmondható, hogy az autóhitel nemfizetése esetén a banknak jogában áll elvinni az Ön autóját […]
• Az Orosz Föderáció elnöke eltörölte a gázmérők kötelező felszerelését Vlagyimir Putyin elnök aláírta azt a törvényt, amely módosítja az energiatakarékosságról szóló 261-FZ törvényt.
• AMIT FONTOS TUDNI A NYUGDÍJRA VONATKOZÓ ÚJ TERVEZETRŐL. Feliratkozás a hírekre Az Ön által megadott e-mail címre elküldtük az előfizetését megerősítő levelet. 2013. december 27. Nyugdíjak, havi jövedelem és egyéb szociális juttatások kifizetésének ütemezése 2014. januárra […]
• Hogyan lehet örökölni az örökhagyó nyugdíj-megtakarítását? Az örökhagyónak élete során joga van bármikor kérelmet benyújtani az Orosz Föderáció Nyugdíjalapjának területi szervéhez, és meghatározni a konkrét személyeket (utódokat) és a pénzeszközök hányadát, amely […]
• A tulajdonjog fogalma és főbb jellemzői természeti tárgyakés források. CC, 209. cikk. A tulajdon tartalma. A tulajdonjog valamely természeti tárgy tényleges birtoklásának jogi lehetőségét jelenti […]

A nagy számok törvénye

A véletlenszerű jelenségek tanulmányozásának gyakorlata azt mutatja, hogy bár az egyedi megfigyelések eredményei, még az azonos körülmények között végzett megfigyelések eredményei is nagymértékben eltérhetnek, ugyanakkor az átlagos eredmények kellően nagy számú megfigyelés esetén stabilak és gyengén függenek a megfigyelésektől. egyéni megfigyelések eredményei. A véletlenszerű jelenségek e figyelemre méltó tulajdonságának elméleti igazolása a nagy számok törvénye. A nagy számok törvényének általános jelentése az, hogy nagyszámú véletlenszerű tényező együttes hatása a véletlentől szinte független eredményre vezet.

Központi határérték tétel

Ljapunov tétele megmagyarázza a normális eloszlási törvény széles eloszlását, és megmagyarázza kialakulásának mechanizmusát. A tétel lehetővé teszi, hogy azt állítsuk, hogy amikor egy valószínűségi változó nagyszámú független valószínűségi változó összeadásával jön létre, amelyek szórása kicsi az összeg szórásához képest, akkor ennek a valószínűségi változónak az eloszlási törvénye kiderül. hogy gyakorlatilag normális törvény legyen. És mivel a valószínűségi változókat mindig végtelen számú ok generálja, és leggyakrabban egyiknek sincs olyan szórása, amely összemérhető magának a valószínűségi változónak, a gyakorlatban előforduló valószínűségi változók többsége a normál eloszlási törvény hatálya alá tartozik.

Nézzük meg részletesebben az egyes csoportok tételeinek tartalmát.

A gyakorlati kutatás során nagyon fontos tudni, hogy milyen esetekben lehet garantálni, hogy egy esemény valószínűsége vagy kellően kicsi, vagy tetszőlegesen közel legyen az egységhez.

Alatt nagy számok törvényeés mondatok halmazaként értendő, amelyben kijelentik, hogy az egyhez (vagy nullához) tetszőlegesen közeli valószínűséggel olyan esemény fog bekövetkezni, amely nagyon nagy, korlátlanul növekvő számú véletlenszerű eseménytől függ, amelyek mindegyikének csak egy enyhe hatással van rá.

Pontosabban, a nagy számok törvénye alatt olyan mondatok halmazát értjük, amelyekben kimondják, hogy az egyhez tetszőlegesen közeli valószínűséggel kellően nagyszámú valószínűségi változó számtani középértékének eltérése egy állandó értéktől, a számtani matematikai elvárásaik átlaga nem haladja meg az adott tetszőlegesen kis számot.

A természetben és a társadalmi életben megfigyelt különálló, egyedi jelenségek gyakran véletlenszerűen jelennek meg (például regisztrált haláleset, született gyermek neme, levegő hőmérséklete stb.), mivel sok olyan tényező, amely nem függ össze egy jelenség megjelenésének vagy fejlődésének lényege. A megfigyelt jelenségre gyakorolt ​​teljes hatásukat nem lehet megjósolni, és az egyes jelenségekben eltérően jelentkeznek. Egy jelenség eredményei alapján sok ilyen jelenségben rejlő mintákról semmit sem lehet mondani.

Régóta megfigyelték azonban, hogy bizonyos jellemzők numerikus jellemzőinek (egy esemény előfordulásának relatív gyakorisága, mérési eredmények stb.) számtani középértéke a kísérlet nagyszámú ismétlésével nagyon függött. enyhe ingadozások. A középsőben mintegy megnyilvánul a jelenségek lényegében rejlő szabályszerűség, benne kölcsönösen kioltódik az egyes tényezők befolyása, amelyek véletlenszerűvé tették az egyes megfigyelések eredményeit. Elméletileg az átlagnak ez a viselkedése a nagy számok törvényével magyarázható. Ha a valószínűségi változókra vonatkozóan néhány nagyon általános feltétel teljesül, akkor a számtani átlag stabilitása gyakorlatilag biztos esemény lesz. Ezek a feltételek alkotják a nagy számok törvényének legfontosabb tartalmát.

Ennek az elvnek az első működési példája lehet egy véletlen esemény előfordulási gyakoriságának konvergenciája annak valószínűségével a kísérletek számának növekedésével - ezt Bernoulli tétele állapítja meg (svájci matematikus Jacob Bernoulli(1654-1705)). Bernoull tétele a nagy számok törvényének egyik legegyszerűbb formája, és gyakran használják a gyakorlatban. Például a válaszadó bármely tulajdonságának előfordulási gyakoriságát a mintában a megfelelő valószínűség becslésének tekintjük).

Kiváló francia matematikus Simeon Denny Poisson(1781-1840) általánosította ezt a tételt, és kiterjesztette arra az esetre, amikor az események valószínűsége egy kísérletben a korábbi kísérletek eredményeitől függetlenül változik. Ő volt az első, aki a „nagy számok törvénye” kifejezést használta.

Nagy orosz matematikus Pafnuty Lvovics Csebisev(1821 - 1894) bebizonyították, hogy a nagy számok törvénye tetszőleges variációjú jelenségekben működik, és kiterjed az átlag szabályosságára is.

A nagy számok törvénye tételeinek további általánosítása az elnevezésekhez kapcsolódik A.A.Markov, S.N.Bernshtein, A.Ya.Hinchin és A.N.Kolmlgorov.

A probléma általános modern megfogalmazása, a nagy számok törvényének megfogalmazása, az ehhez a törvényhez kapcsolódó tételek bizonyítására szolgáló ötletek és módszerek kidolgozása az orosz tudósokhoz tartozik. P. L. Csebisev, A. A. Markov és A. M. Ljapunov.

CSEBSEV EGYENLŐTLENSÉGE

Nézzük először a segédtételeket: a lemmát és a Csebisev-egyenlőtlenséget, amelyek segítségével könnyen igazolható a nagy számok törvénye Csebisev alakban.

Lemma (Csebisev).

Ha az X valószínűségi változónak nincsenek negatív értékei, akkor annak a valószínűsége, hogy az A pozitív számot meghaladó értéket vesz fel, nem nagyobb, mint egy töredék, amelynek számlálója a valószínűségi változó matematikai elvárása, és a nevező az A szám:

Bizonyíték.Legyen ismert az X valószínűségi változó eloszlási törvénye:

(i = 1, 2, ..., ), és a valószínűségi változó értékeit növekvő sorrendbe tesszük.

Az A számmal kapcsolatban a valószínűségi változó értékei két csoportra oszlanak: egyesek nem haladják meg az A-t, míg mások nagyobbak, mint az A. Tegyük fel, hogy az első csoport tartalmazza a valószínűségi változó első értékeit ( ).

Mivel , akkor az összeg minden tagja nem negatív. Ezért a kifejezés első tagját elvetve az egyenlőtlenséget kapjuk:

Mert a

,

Hogy

Q.E.D.

A véletlen változók eltérő eloszlásúak lehetnek azonos matematikai elvárások mellett. Számukra azonban Csebisev lemmája ugyanazt a becslést adja az egyik vagy másik teszteredmény valószínűségére. A lemma ezen hiányossága az általánosságával függ össze: lehetetlen minden valószínűségi változóra egyszerre jobb becslést elérni.

Csebisev egyenlőtlensége .

Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változónak a matematikai elvárásától való eltérése abszolút értékben meghaladja a pozitív számot

Bizonyíték.Mivel egy valószínűségi változó nem vesz fel negatív értékeket, alkalmazzuk az egyenlőtlenséget a Csebisev-lemmából egy valószínűségi változóhoz:

Q.E.D.

Következmény. Mert a

,

Hogy

- Csebisev egyenlőtlenségének egy másik formája

Bizonyítás nélkül elfogadjuk, hogy a lemma és a Csebisev-egyenlőtlenség a folytonos valószínűségi változókra is igaz.

Csebisev egyenlőtlensége a nagy számok törvényének minőségi és mennyiségi kijelentéseinek hátterében áll. Meghatározza annak a valószínűségének felső korlátját, hogy egy valószínűségi változó értékének eltérése a matematikai elvárásától nagyobb, mint egy adott szám. Figyelemre méltó, hogy a Csebisev-egyenlőtlenség becslést ad egy esemény valószínűségére egy olyan valószínűségi változó esetében, amelynek eloszlása ​​ismeretlen, csak a matematikai elvárása és varianciája ismert.

Tétel. (A nagy számok törvénye Csebisev formában)

Ha a független valószínűségi változók diszperzióit egy C konstans korlátozza, és számuk elég nagy, akkor annak a valószínűsége tetszőlegesen közel van az egységhez, hogy ezeknek a valószínűségi változóknak a számtani átlagának eltérése a matematikai várakozásaik számtani átlagától nem lesz abszolút értékben haladja meg a megadott pozitív számot, bármennyire kicsi sem volt:

.

Bizonyítás nélkül elfogadjuk a tételt.

Következmény 1. Ha a független valószínűségi változók azonos, egyenlő matematikai elvárásúak, szórásaikat ugyanaz a C állandó korlátozza, és számuk elég nagy, akkor bármilyen kicsi is az adott pozitív szám, annak a valószínűsége, hogy az átlag eltérése tetszőlegesen közel van ezeknek a valószínűségi változóknak a számtani egységéhez, abszolút értékben nem haladja meg.

Ezzel a tétellel igazolható az a tény, hogy egy ismeretlen mennyiség közelítő értékét veszik a kellően nagy számú, azonos körülmények között végzett mérés eredményének számtani középértékének. Valójában a mérési eredmények véletlenszerűek, mivel nagyon sok véletlenszerű tényező befolyásolja őket. A szisztematikus hibák hiánya azt jelenti, hogy az egyes mérési eredményekre vonatkozó matematikai elvárások azonosak és egyenlőek. Következésképpen a nagy számok törvénye szerint kellően nagy számú mérés számtani közepe gyakorlatilag tetszőlegesen alig tér el a kívánt érték valódi értékétől.

(Emlékezzünk vissza, szisztematikusnak nevezzük azokat a hibákat, amelyek egy többé-kevésbé világos törvény szerint ugyanabba az irányba torzítják a mérési eredményt. Ide tartoznak azok a hibák, amelyek a műszerek tökéletlenségéből adódóan jelentkeznek (műszeres hibák), a személyi jellemzők miatt. a megfigyelő (személyes hibák) stb.)

2. következmény . (Bernoulli tétele.)

Ha az A esemény bekövetkezésének valószínűsége mindegyik független próbában állandó, és számuk kellően nagy, akkor annak a valószínűsége tetszőlegesen közel van az egységhez, hogy az esemény előfordulási gyakorisága tetszőlegesen kevéssé tér el annak valószínűségétől. esemény:

Bernoulli tétele kimondja, hogy ha egy esemény valószínűsége minden kísérletben azonos, akkor a kísérletek számának növekedésével az esemény gyakorisága az esemény valószínűségéhez hajlik, és megszűnik véletlenszerű lenni.

A gyakorlatban viszonylag ritkák az olyan kísérletek, amelyekben egy esemény bekövetkezésének valószínűsége bármely kísérletben változatlan, gyakrabban eltérő különböző tapasztalatok. A Poisson-tétel egy ilyen típusú vizsgálati sémára vonatkozik:

Következmény 3 . (Poisson-tétel.)

Ha egy esemény bekövetkezésének valószínűsége egy -tesztben nem változik, amikor az előző kísérletek eredményei ismertté válnak, és ezek száma elég nagy, akkor annak a valószínűsége, hogy egy esemény előfordulási gyakorisága tetszőlegesen keveset tér el a valószínűségek számtani átlagától önkényesen közel áll az egységhez:

A Poisson-tétel kimondja, hogy egy esemény gyakorisága független kísérletek sorozatában a valószínűségek számtani átlagához hajlik, és megszűnik véletlenszerű lenni.

Végezetül megjegyezzük, hogy a vizsgált tételek egyike sem ad sem pontos, sem közelítő értéket a kívánt valószínűségnek, csak annak alsó vagy felső korlátja van feltüntetve. Ezért, ha meg kell határozni a megfelelő események valószínűségeinek pontos vagy legalább közelítő értékét, ezeknek a tételeknek a lehetőségei nagyon korlátozottak.

A nagy értékek közelítő valószínűségét csak határérték-tételek segítségével lehet meghatározni. Ezekben vagy további korlátozásokat írnak elő a valószínűségi változókra (mint például a Ljapunov-tételben), vagy egy bizonyos típusú valószínűségi változókat vesznek figyelembe (például a Moivre-Laplace integráltételben).

Csebisev tételének, amely a nagy számok törvényének nagyon általános megfogalmazása, elméleti jelentősége nagy. Ha azonban arra a kérdésre alkalmazzuk, hogy alkalmazható-e a nagy számok törvénye független valószínűségi változók sorozatára, akkor ha a válasz igen, akkor a tétel gyakran megköveteli, hogy sokkal több valószínűségi változó legyen, mint szükséges ahhoz, hogy a nagy számok törvénye hatályba lépjen. A Csebisev-tétel ezt a hiányosságát megmagyarázzuk általános jelleg neki. Ezért kívánatos, hogy legyenek olyan tételek, amelyek pontosabban jelzik a kívánt valószínűség alsó (vagy felső) korlátját. Ezeket úgy érhetjük el, hogy a valószínűségi változókra további korlátozásokat írunk elő, amelyek általában teljesülnek a gyakorlatban előforduló valószínűségi változók esetében.

MEGJEGYZÉSEK A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYÉNEK TARTALMÁHOZ

Ha a valószínűségi változók száma elég nagy, és néhány nagyon általános feltételnek eleget tesznek, akkor akárhogyan is oszlanak el, gyakorlatilag biztos, hogy számtani átlaguk tetszőlegesen eltér egy állandó értéktől - matematikai várakozásaik számtani átlagától, azaz gyakorlatilag állandó. Ilyen a nagy számok törvényével kapcsolatos tételek tartalma. Ebből következően a nagy számok törvénye a véletlen és a szükség közötti dialektikus kapcsolat egyik kifejezője.

Számos példát lehet hozni az új minőségi állapotok megjelenésére, mint a nagy számok törvényének megnyilvánulásaira, elsősorban a fizikai jelenségek körében. Tekintsünk egyet közülük.

Által modern ötletek gázok egyéni részecskék - molekulák, amelyek kaotikus mozgásban vannak, és nem lehet pontosan megmondani, hogy az adott pillanatban hol lesz, és milyen sebességgel mozog ez vagy az a molekula. A megfigyelések azonban azt mutatják, hogy a molekulák összhatása, például a gáz nyomása a

érfal, elképesztő állandósággal nyilvánul meg. Az ütések száma és mindegyik erőssége határozza meg. Bár az első és a második a véletlen műve, a műszerek normál körülmények között nem érzékelik a gáz nyomásának ingadozását. Ez azzal magyarázható, hogy a molekulák hatalmas száma miatt még a legkisebb térfogatban is

a nyomás észrevehető mértékű változása szinte lehetetlen. Ezért a gáznyomás állandóságát kimondó fizikai törvény a nagy számok törvényének megnyilvánulása.

A nyomás állandósága és a gáz néhány egyéb jellemzője egy időben komoly érvként szolgált az anyag szerkezetének molekuláris elmélete ellen. Ezt követően megtanultak viszonylag kis számú molekulát izolálni, biztosítva, hogy az egyes molekulák befolyása továbbra is megmaradjon, és így a nagy számok törvénye ne tudjon kellőképpen megnyilvánulni. Ezután megfigyelhető volt a gáznyomás ingadozása, ami megerősítette az anyag molekulaszerkezetére vonatkozó hipotézist.

A nagy számok törvénye a különféle biztosítási formák hátterében áll (különböző időszakra szóló emberi életbiztosítás, vagyon-, állat-, terménybiztosítás stb.).

A fogyasztási cikkek körének tervezésénél figyelembe veszik a lakossági igényt ezek iránt. Ebben az igényben a nagy számok törvényének működése nyilvánul meg.

A statisztikában széles körben használt mintavételi módszer a nagy számok törvényében találja meg tudományos igazolását. Például a kolhozból a beszerzési pontra szállított búza minőségét a véletlenül kis mennyiségben befogott szemek minősége alapján ítélik meg. Kevés szem van a mértékben a teljes tételhez képest, de mindenesetre a mértéket úgy választják meg, hogy elég szem legyen benne

a nagy számok törvényének megnyilvánulása igényt kielégítő pontossággal. Jogunk van a mintában szereplő megfelelő mutatókat a beérkező gabona teljes tételére vonatkozó gyomosodási, nedvességtartalmi és a szemek átlagos tömegének mutatóinak venni.

A tudósok további erőfeszítései a nagy számok törvényének tartalmának elmélyítésére az volt, hogy megszerezzék a legáltalánosabb feltételeket ennek a törvénynek a valószínűségi változók sorozatára való alkalmazhatóságához. Ebben az irányban sokáig nem születtek alapvető sikerek. P. L. Csebisev és A. A. Markov után csak 1926-ban sikerült A. N. Kolmogorov szovjet akadémikusnak megszereznie azokat a feltételeket, amelyek szükségesek és elégségesek ahhoz, hogy a nagy számok törvénye alkalmazható legyen független valószínűségi változók sorozatára. 1928-ban A. Ya. Khinchin szovjet tudós kimutatta elégséges állapot a nagy számok törvényének alkalmazhatósága független azonos eloszlású valószínűségi változók sorozatára a matematikai elvárásuk megléte.

A gyakorlat szempontjából rendkívül fontos a nagy számok törvényének a függő valószínűségi változókra való alkalmazhatóságának kérdésének teljes tisztázása, mivel a természetben és a társadalomban a jelenségek kölcsönösen függenek egymástól, és kölcsönösen meghatározzák egymást. Sok munkát fordítottak a bevezetendő korlátozások tisztázására

függő valószínűségi változókká, hogy alkalmazható legyen rájuk a nagy számok törvénye, amelyek közül a legfontosabbak a kiváló orosz tudós, A. A. Markov és a nagy szovjet tudósok, S. N. Bernstein és A. Ya. Chinchin.

A dolgozatok fő eredménye az, hogy a nagy számok törvénye alkalmazható a függő valószínűségi változókra, ha csak a közeli számmal rendelkező valószínűségi változók között van erős függés, és a távoli számokkal rendelkező valószínűségi változók között, akkor a függőség kellően gyenge. Az ilyen típusú valószínűségi változók példái az éghajlat numerikus jellemzői. Az egyes napok időjárását érezhetően befolyásolja az előző napok időjárása, és a hatás érezhetően gyengül a napok egymástól való távolságával. Ebből következően egy adott terület hosszú távú átlaghőmérséklete, nyomása és az éghajlat egyéb jellemzői a nagy számok törvényének megfelelően gyakorlatilag közel kell, hogy álljanak a matematikai elvárásaikhoz. Ez utóbbiak a helyi éghajlat objektív jellemzői.

A nagy számok törvényének kísérleti ellenőrzéséhez más idő a következő kísérleteket végeztük.

1. Tapasztalat Buffon. Az érmét 4040-szer dobták fel. A címer 2048 alkalommal esett le. Előfordulásának gyakorisága 0,50694 = volt

2. Tapasztalat Pearson. Az érmét 12 000 és 24 000 alkalommal dobják fel. A címer elvesztésének gyakorisága az első esetben 0,5016, a második esetben 0,5005 volt.

H. Tapasztalat Vestergaard. Az urnából, amelyben egyformán fehér és fekete golyó volt, 5011 fehér és 4989 fekete golyó került elő 10 000 kihúzással (a következő kihúzott golyó visszahelyezésével az urnába). A fehér golyók gyakorisága 0,50110 = (), a fekete pedig 0,49890 volt.

4. V.I. Romanovszkij. Négy érmét 21160-szor dobnak fel. A címer és a rács különféle kombinációinak gyakorisága és gyakorisága a következőképpen oszlott meg:

A címer és a farok számának kombinációi	Frekvenciák	Frekvenciák
		empirikus	Elméleti
4 és 0	1 181	0,05858	0,0625
3 és 1	4909	0,24350	0,2500
2. és 2	7583	0,37614	0,3750
1. és 3	5085	0,25224	0,2500
1. és 4		0,06954	0,0625
Teljes	20160	1,0000	1,0000

A nagy számok törvényének kísérleti próbáinak eredményei meggyőznek bennünket arról, hogy a kísérleti gyakoriságok közel állnak a valószínűségekhez.

KÖZPONTI HATÁRTÉTEL

Könnyen bebizonyítható, hogy tetszőleges véges számú független normális eloszlású valószínűségi változó összege is a normáltörvény szerint oszlik el.

Ha a független valószínűségi változók nem a normál törvény szerint oszlanak el, akkor néhány nagyon laza korlátozást lehet rájuk szabni, és összegük továbbra is normális eloszlású lesz.

Ezt a problémát főként P. L. Csebisev orosz tudósok és tanítványai, A. A. Markov és A. M. Ljapunov tették fel és oldották meg.

Tétel (Ljapunov).

Ha a független valószínűségi változóknak véges matematikai elvárásaik és véges varianciái vannak , számuk elég nagy, és korlátlan növekedéssel

,

hol vannak a harmadrendű abszolút központi momentumok, akkor kellő pontosságú összegük eloszlású

(Valójában nem Ljapunov tételét mutatjuk be, hanem annak egyik következményét, mivel ez a következmény teljesen elegendő a gyakorlati alkalmazásokhoz. Ezért a Ljapunov-feltételnek nevezett feltétel erősebb követelmény, mint a Ljapunov-tétel bizonyításához szükséges. maga a tétel.)

A feltétel jelentése az, hogy az egyes kifejezések (véletlenszerű változók) hatása kicsi az összes kifejezés összhatásához képest. A természetben és a társadalmi életben előforduló számos véletlenszerű jelenség pontosan ennek a mintának megfelelően megy végbe. Ebből a szempontból a Ljapunov-tétel kivételesen nagy jelentőséggel bír, és normális törvény az eloszlás a valószínűségszámítás egyik alaptörvénye.

Legyen pl. mérés valami méret. A megfigyelt értékek különböző eltérései a valódi értéktől (matematikai várakozás) származnak nagyon sok tényező hatására, amelyek mindegyike egy kis hibát generál, és . Ekkor a teljes mérési hiba egy valószínűségi változó, amelyet a Ljapunov-tétel szerint a normáltörvény szerint kell elosztani.

Nál nél fegyverlövés nagyon sok véletlenszerű ok hatására a kagylók egy bizonyos területen szétszóródnak. A lövedékpályára gyakorolt ​​véletlenszerű hatások függetlennek tekinthetők. Mindegyik ok csak kis változást okoz a pályán az összes ok miatt bekövetkező teljes változáshoz képest. Ezért arra kell számítani, hogy a lövedék szakadási helyének a céltól való eltérése a normál törvény szerint eloszló valószínűségi változó lesz.

Ljapunov tétele szerint joggal várhatjuk el, hogy pl. felnőtt férfi magasság a normális törvény szerint eloszló valószínűségi változó. Ez a hipotézis, csakúgy, mint az előző két példában tárgyaltak, jól egyezik a megfigyelésekkel, ennek igazolására bemutatjuk az 1000 felnőtt férfi munkavállaló testmagasság szerinti megoszlását és a férfiak megfelelő elméleti számát, azaz azoknak a férfiaknak a számát, akik e csoportok növekedésével kell rendelkeznie, a normál törvény szerinti férfiak eloszlási feltételezése alapján.

Magasság, cm	férfiak száma
	kísérleti adatok	elméleti előrejelzések
143-146
146-149
149-152
152-155
155-158
158- 161
161- 164
164-167
167-170
170-173
173-176
176-179
179 -182
182-185
185-188

Nehéz lenne ennél pontosabb egyezést várni a kísérleti adatok és az elméleti adatok között.

Könnyen bebizonyítható, Ljapunov tételének következményeként egy tétel, amelyre a következőkben szükség lesz a mintavételi módszer igazolására.

Ajánlat.

A kellően nagy számú azonos eloszlású, harmadrendű abszolút központi momentumú valószínűségi változó összegét a normáltörvény szerint osztjuk el.

A valószínűségelmélet határtételei, Moivre-Laplace tételei egy esemény előfordulási gyakoriságának stabilitásának természetét magyarázzák. Ez a természet abban áll, hogy egy esemény előfordulási számának korlátozó eloszlása ​​a kísérletek számának korlátlan növekedésével (ha az esemény valószínűsége minden kísérletben azonos) normális eloszlás.

Valószínűségi változók rendszere.

A fent vizsgált valószínűségi változók egydimenziósak voltak, azaz. egy számmal határozták meg, de vannak olyan valószínűségi változók is, amelyeket kettő, három stb. számok. Az ilyen valószínűségi változókat kétdimenziósnak, háromdimenziósnak stb.

A rendszerben szereplő valószínűségi változók típusától függően a rendszerek lehetnek diszkrétek, folytonosak vagy vegyesek, ha a rendszer különböző típusú valószínűségi változókat tartalmaz.

Vizsgáljuk meg részletesebben a két valószínűségi változóból álló rendszereket.

Meghatározás. elosztási törvény A valószínűségi változók rendszerét olyan relációnak nevezzük, amely kapcsolatot hoz létre a valószínűségi változók rendszerének lehetséges értékeinek területei és a rendszer előfordulási valószínűségei között ezeken a területeken.

Példa. Egy 2 fehér és 3 fekete golyót tartalmazó urnából két golyót húznak. Legyen a kihúzott fehér golyók száma, és a valószínűségi változót a következőképpen határozzuk meg:

Készítsünk eloszlási táblázatot a valószínűségi változók rendszeréről:

Mivel annak a valószínűsége, hogy nem vesznek ki fehér golyót (tehát két fekete golyót vesznek ki), míg , akkor

.

Valószínűség

.

Valószínűség

Valószínűség annak a valószínűsége, hogy nem vesznek ki fehér golyót (és ezért két fekete golyót vesznek ki), míg , akkor

Valószínűség annak a valószínűsége, hogy egy fehér golyót (és ezért egy fekete) húzunk, miközben , akkor

Valószínűség - annak a valószínűsége, hogy két fehér golyót húznak (és ezért nem feketét), míg , akkor

.

Így egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlási sorozatának alakja:

Meghatározás. elosztási függvény két valószínűségi változó rendszerét két argumentum függvényének nevezzükF( x, y) , egyenlő két egyenlőtlenség együttes teljesülésének valószínűségévelx< x, Y< y.

Megjegyezzük egy két valószínűségi változóból álló rendszer eloszlásfüggvényének következő tulajdonságait:

1) ;

2) Az elosztási függvény minden argumentumhoz képest nem csökkenő függvény:

3) A következő igaz:

4)

5) Egy véletlen pont eltalálásának valószínűsége ( X, Y ) egy tetszőleges téglalapba, amelynek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, a következő képlettel számítható ki:

Két valószínűségi változóból álló rendszer eloszlási sűrűsége.

Meghatározás. Az ízületi eloszlás sűrűsége egy kétdimenziós valószínűségi változó valószínűsége ( X, Y ) az eloszlásfüggvény második vegyes parciális deriváltjának nevezzük.

Ha ismert az eloszlási sűrűség, akkor az eloszlásfüggvény a következő képlettel kereshető:

A kétdimenziós eloszlássűrűség nem negatív, és a kétdimenziós sűrűség végtelen határértékeivel rendelkező kettős integrál eggyel egyenlő.

Az ismert együttes eloszlási sűrűségből megtudhatjuk egy kétdimenziós valószínűségi változó egyes komponenseinek eloszlási sűrűségét.

; ;

Az eloszlás feltételes törvényei.

Mint fentebb látható, a közös eloszlási törvény ismeretében könnyen megtalálhatjuk a rendszerben szereplő minden valószínűségi változó eloszlási törvényeit.

A gyakorlatban azonban az inverz probléma gyakrabban fordul elő - a valószínűségi változók eloszlásának ismert törvényei szerint találja meg a közös eloszlási törvényt.

Általános esetben ez a probléma megoldhatatlan, mert a valószínűségi változó eloszlási törvénye semmit sem mond e változó más valószínűségi változókkal való kapcsolatáról.

Ráadásul, ha a valószínűségi változók függnek egymástól, akkor az eloszlási törvény nem fejezhető ki az összetevők eloszlási törvényeivel, mivel kapcsolatot kell létrehoznia az összetevők között.

Mindez ahhoz vezet, hogy figyelembe kell venni a feltételes elosztási törvényeket.

Meghatározás. A rendszerben szereplő egyik valószínűségi változó eloszlását, amelyet azzal a feltétellel találunk meg, hogy egy másik valószínűségi változó egy bizonyos értéket vett fel, ún. feltételes elosztási törvény.

A feltételes eloszlási törvény az eloszlásfüggvénnyel és az eloszlássűrűséggel egyaránt megadható.

A feltételes eloszlássűrűséget a következő képletekkel számítjuk ki:

A feltételes eloszlássűrűség egy valószínűségi változó eloszlássűrűségének minden tulajdonságával rendelkezik.

Feltételes matematikai elvárás.

Meghatározás. feltételes matematikai elvárás diszkrét valószínűségi változó Y X-nél = x (x X bizonyos lehetséges értéke) az összes lehetséges érték szorzatának nevezzük Y feltételes valószínűségeiken.

Folyamatos valószínűségi változók esetén:

,

Ahol f( y/ x) a valószínűségi változó feltételes sűrűsége Y, ha X = x .

Feltételes elvárásM( Y/ x)= f( x) függvénye xés felhívott regressziós függvény X be Y.

Példa.Keresse meg az összetevő feltételes elvárását Y at

X=x1 =1 a táblázat által megadott diszkrét kétdimenziós valószínűségi változóhoz:

Y
	x1=1	x2=3	x3=4	x4=8
y1=3	0,15	0,06	0,25	0,04
y2=6	0,30	0,10	0,03	0,07

A valószínűségi változók rendszerének feltételes varianciáját és feltételes momentumait hasonlóan definiáljuk.

Függő és független valószínűségi változók.

Meghatározás. A véletlenszerű változókat nevezzük független, ha az egyik eloszlási törvénye nem függ attól, hogy a másik valószínűségi változó milyen értéket vesz fel.

A valószínűségi változók függésének fogalma nagyon fontos a valószínűségszámításban.

A független valószínűségi változók feltételes eloszlásai megegyeznek a feltétel nélküli eloszlásaikkal.

Határozzuk meg a valószínűségi változók függetlenségének szükséges és elégséges feltételeit.

Tétel. Y függetlenek, szükséges és elégséges, hogy a rendszer eloszlásfüggvénye ( x, Y) egyenlő volt a komponensek eloszlási függvényeinek szorzatával.

Hasonló tétel fogalmazható meg az eloszlássűrűségre is:

Tétel. Annak érdekében, hogy a valószínűségi változók X és Y függetlenek, szükséges és elégséges, hogy a rendszer együttes eloszlási sűrűsége ( x, Y) egyenlő volt a komponensek eloszlási sűrűségének szorzatával.

A gyakorlatban a következő képleteket használják:

Diszkrét valószínűségi változók esetén:

Folyamatos valószínűségi változók esetén:

A korrelációs momentum a valószínűségi változók közötti kapcsolat jellemzésére szolgál. Ha a valószínűségi változók függetlenek, akkor a korrelációs momentumuk nulla.

A korrelációs momentum dimenziója megegyezik az X és valószínűségi változók dimenzióinak szorzatával Y . Ez a tény ennek a számszerű jellemzőnek a hátránya, mivel különböző mértékegységekkel eltérő korrelációs momentumokat kapunk, ami megnehezíti a különböző valószínűségi változók korrelációs momentumainak összehasonlítását.

Ennek a hiányosságnak a kiküszöbölésére egy másik jellemzőt alkalmazunk - a korrelációs együtthatót.

Meghatározás. Korrelációs együttható rxy valószínűségi változók X és Y a korrelációs nyomaték e mennyiségek szórásának szorzatához viszonyított aránya.

A korrelációs együttható dimenzió nélküli mennyiség. Független valószínűségi változók esetén a korrelációs együttható nulla.

Ingatlan: Két X és Y valószínűségi változó korrelációs momentumának abszolút értéke nem haladja meg diszperzióik geometriai átlagát.

Ingatlan: A korrelációs együttható abszolút értéke nem haladja meg az egységet.

A véletlenszerű változókat nevezzük korrelált ha korrelációs nyomatékuk nem nulla, és nem korrelált ha a korrelációs momentumuk nulla.

Ha a valószínűségi változók függetlenek, akkor nem korreláltak, de a nem korrelációból nem lehet arra következtetni, hogy függetlenek.

Ha két mennyiség függ, akkor lehet korrelált vagy nem korrelált.

Gyakran egy valószínűségi változók rendszerének adott eloszlási sűrűsége szerint meg lehet határozni e változók függőségét vagy függetlenségét.

A valószínűségi változók függésének mértéke a korrelációs együttható mellett egy másik mennyiséggel is jellemezhető, amely ún. kovariancia együttható. A kovariancia együtthatót a képlet határozza meg:

Példa. Az X valószínűségi változók rendszerének eloszlássűrűsége ésfüggetlen. Természetesen ezek is összefüggéstelenek lesznek.

Lineáris regresszió.

Tekintsünk egy kétdimenziós valószínűségi változót ( X , Y ), ahol X és Y függő valószínűségi változók.

Közelítőleg egy valószínűségi változót ábrázoljunk egy másik valószínűségi változó függvényében. Pontos egyezés nem lehetséges. Feltételezzük, hogy ez a függvény lineáris.

Ennek a függvénynek a meghatározásához csak az állandó értékeket kell megtalálni aÉs b.

Meghatározás. Funkcióg( x) hívott legjobb közelítés valószínűségi változó Y a legkisebb négyzetek módszere értelmében, ha a matematikai elvárás

A lehető legkisebb értéket veszi fel. Szintén funkcióg( x) hívott átlagos négyzetes regresszió Y-től X-ig.

Tétel. Lineáris átlagos négyzetes regresszió Y X-en a következő képlettel számítjuk ki:

ebben a képletben m x= M( X valószínűségi változó Yvalószínűségi változóhoz képest X. Ez az érték a valószínűségi változó cseréjéből származó hiba nagyságát jellemziYlineáris függvényg( x) = aX +b.

Látszik, hogy ha r= ± 1, akkor a maradék variancia nulla, így a hiba nulla és a valószínűségi változóYpontosan reprezentálja a valószínűségi változó lineáris függvénye X.

Közvetlen négyzetgyök regresszió x továbbYhasonlóan határozza meg a képlet: X és Ylineáris regressziós függvényei vannak egymáshoz képest, akkor azt mondjuk, hogy a mennyiségek xÉsYcsatlakoztatva lineáris korreláció-függőség.

Tétel. Ha egy kétdimenziós valószínűségi változó ( x, Y) normál eloszlású, akkor X és Y lineáris korrelációfüggéssel kapcsolódnak össze.

PÉLDÁUL. Nikiforova

A nagy számok törvénye a valószínűségszámításban azt állítja, hogy egy fix eloszlásból származó kellően nagy véges minta tapasztalati átlaga (számtani átlaga) közel van ennek az eloszlásnak az elméleti átlagához (várakozáshoz). A konvergencia típusától függően megkülönböztetjük a nagy számok gyenge törvényét, amikor a valószínűségben konvergencia megy végbe, és a nagy számok erős törvényét, amikor a konvergencia szinte mindenhol megtörténik.

Mindig van véges számú kísérlet, amelyre adott valószínűséggel kisebb, mint 1 valamely esemény relatív előfordulási gyakorisága tetszőlegesen kevéssé fog eltérni annak valószínűségétől.

A nagy számok törvényének általános jelentése: nagyszámú azonos és független véletlentényező együttes hatása olyan eredményre vezet, amely határértékben nem a véletlentől függ.

A véges minta elemzésén alapuló valószínűségbecslési módszerek ezen a tulajdonságon alapulnak. jó példa a választási eredmények előrejelzése a választói mintán végzett közvélemény-kutatás alapján.

Enciklopédiai YouTube

1 / 5

✪ A nagy számok törvénye

✪ 07 – Valószínűségszámítás. A nagy számok törvénye

✪ 42 A nagy számok törvénye

✪ 1 – Csebisev nagy számok törvénye

✪ 11. évfolyam, 25. lecke, Gauss-görbe. A nagy számok törvénye

Feliratok

Vessünk egy pillantást a nagy számok törvényére, amely talán a legintuitívabb törvény a matematikában és a valószínűségszámításban. És mivel nagyon sok mindenre vonatkozik, néha használják és félreértik. Hadd adjak meg először egy definíciót a pontosság szempontjából, aztán beszélünk az intuícióról. Vegyünk egy valószínűségi változót, mondjuk X. Tegyük fel, hogy ismerjük a matematikai elvárásait vagy a populációs átlagát. A nagy számok törvénye egyszerűen azt mondja, hogy ha egy valószínűségi változó n-edik számú megfigyelésének példáját vesszük, és az összes megfigyelés számát átlagoljuk... Vegyünk egy változót. Nevezzük X-nek n alsó indexszel és kötőjellel a tetején. Ez a valószínűségi változónk n-edik számú megfigyelésének számtani átlaga. Íme az első megfigyelésem. Egyszer megcsinálom a kísérletet, és megteszem ezt a megfigyelést, majd megismétlem, és megteszem ezt a megfigyelést, újra megcsinálom és ezt kapom. Ezt a kísérletet n-szer lefuttatom, majd elosztom a megfigyeléseim számával. Itt van a mintaátlagom. Itt van az általam végzett összes megfigyelés átlaga. A nagy számok törvénye azt mondja, hogy a minta átlaga megközelíti a valószínűségi változó átlagát. Vagy azt is leírhatom, hogy a mintaátlagom megközelíti a végtelenbe tartó n-edik szám populációs átlagát. Nem teszek egyértelmű különbséget a "közelítés" és a "konvergencia" között, de remélem, intuitívan megértitek, hogy ha itt elég nagy mintát veszek, akkor a populáció egészére nézve megkapom a várható értéket. Azt hiszem, a legtöbben intuitív módon megértik, hogy ha elég sok tesztet végzek el sok példával, akkor a tesztek végül azt az értékeket fogják megadni, amelyeket elvárok, figyelembe véve a matematikai elvárásokat, valószínűségeket és minden mást. De azt hiszem, gyakran nem világos, miért történik ez. És mielőtt elkezdeném magyarázni, miért van ez így, hadd mondjak egy konkrét példát. A nagy számok törvénye azt mondja, hogy... Tegyük fel, hogy van egy X valószínűségi változó. Ez egyenlő a fejek számával a helyes érme 100 feldobásakor. Először is ismerjük ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárását. Ez az érmefeldobások vagy próbálkozások száma szorozva a próba sikerének esélyével. Tehát egyenlő 50-nel. Vagyis a nagy számok törvénye azt mondja, hogy ha mintát veszünk, vagy ha átlagolom ezeket a próbákat, akkor megkapom. .. Amikor először csinálok tesztet, feldobok egy érmét 100-szor, vagy veszek egy dobozt száz érmével, megrázom, majd megszámolom, hány fejet kapok, és megkapom mondjuk az 55-ös számot. X1. Aztán újra megrázom a dobozt, és a 65-ös számot kapom. Aztán megint - és 45-öt kapok. És ezt n-szer megcsinálom, majd elosztom a próbálkozások számával. A nagy számok törvénye azt mondja nekünk, hogy ez az átlag (az összes megfigyelésem átlaga) 50-re, míg n a végtelenre hajlik. Most egy kicsit arról szeretnék beszélni, hogy miért történik ez. Sokan úgy gondolják, hogy ha 100 próba után átlagon felüli az eredményem, akkor a valószínűség törvényei szerint több-kevesebb fejnek kell lennie ahhoz, hogy úgymond kompenzáljam a különbséget. Nem pontosan ez fog történni. Ezt gyakran "szerencsejátékos tévedésnek" nevezik. Hadd mutassam meg a különbséget. A következő példát fogom használni. Hadd rajzoljak egy grafikont. Változtassuk meg a színt. Ez n, az x tengelyem n. Ennyi tesztet fogok futtatni. És az én y tengelyem lesz a minta átlaga. Tudjuk, hogy ennek a tetszőleges változónak az átlaga 50. Hadd rajzoljam ezt. Ez 50. Térjünk vissza példánkhoz. Ha n... Az első tesztem során 55-öt kaptam, ami az átlagom. Csak egy adatbeviteli pontom van. Aztán két próba után 65-öt kapok. Tehát az átlagom 65+55 osztva 2-vel. Ez 60. És az átlagom felment egy kicsit. Aztán 45-öt kaptam, ami megint csökkentette a számtani átlagomat. Nem fogok 45-öt ábrázolni a diagramon, most az egészet átlagolnom kell. Mit jelent 45+65? Hadd számítsam ki ezt az értéket a pont ábrázolásához. Ez 165 osztva 3-mal. Ez 53. Nem, 55. Tehát az átlag ismét 55-re csökken. Folytathatjuk ezeket a teszteket. Miután elvégeztünk három próbát, és ezt az átlagot kihoztuk, sokan azt gondolják, hogy a valószínűség istenei megcsinálják, hogy a jövőben kevesebb legyen a fejünk, hogy a következő néhány próba alacsonyabb lesz az átlag csökkentése érdekében. De ez nem mindig van így. A jövőben a valószínűség mindig ugyanaz marad. Annak a valószínűsége, hogy fejet fogok dobni, mindig 50%. Nem mintha eleinte bizonyos számú fejet kapok, többet, mint amire számítottam, aztán hirtelen kiesik a farok. Ez a "játékos tévedése". Ha aránytalanul sok fejet kap, az nem jelenti azt, hogy egy ponton aránytalanul sok farok fog hullani. Ez nem teljesen igaz. A nagy számok törvénye azt mondja, hogy ez nem számít. Mondjuk, bizonyos véges számú próbálkozás után az átlagod... Ennek elég kicsi a valószínűsége, de mégis... Tegyük fel, hogy az átlagod eléri ezt a 70-et. Azt gondolod: "Hűha, túlléptünk a várakozáson." De a nagy számok törvénye szerint nem mindegy, hány tesztet futtatunk le. Még mindig végtelen számú próba vár ránk. Ennek a végtelen számú próbának a matematikai elvárása, különösen egy ilyen helyzetben, a következő lesz. Ha kitalál egy véges számot, amely valamilyen nagy értéket fejez ki, egy végtelen szám, amely konvergál vele, ismét a várt értékhez vezet. Ez persze nagyon laza értelmezés, de ezt mondja nekünk a nagy számok törvénye. Fontos. Azt nem mondja nekünk, hogy ha sok fejünk lesz, akkor valahogy megnő az esélye annak, hogy farkokat kapjunk, hogy ezt kompenzálja. Ez a törvény azt mondja nekünk, hogy mindegy, mi lesz az eredmény véges számú próbával, amíg még végtelen számú próba áll előtted. És ha eleget készítesz belőlük, akkor ismét visszatérsz az elvárásokhoz. Ez fontos pont. Gondold át. De ezt a gyakorlatban nem használják naponta a lottóknál, kaszinóknál, pedig köztudott, hogy ha elég tesztet csinálsz... Még ki is számolhatjuk... mennyi a valószínűsége, hogy komolyan eltérünk a normától? De a kaszinók és a lottó minden nap azon az elven működnek, hogy ha elég embert viszel, természetesen azért rövid időszak, kis mintával, akkor pár ember megüti a főnyereményt. De hosszú távon a kaszinó mindig profitál azokból a játékok paramétereiből, amelyekre meghívják Önt. Ez egy fontos valószínűségi elv, amely intuitív. Bár néha, amikor ezt formálisan véletlenszerű változókkal magyarázzák el, mindez kissé zavarónak tűnik. Ez a törvény csak annyit mond, hogy minél több minta van, annál inkább konvergál ezeknek a mintáknak a számtani átlaga a valódi átlaghoz. És hogy pontosabbak legyünk, a minta számtani középértéke konvergál egy valószínűségi változó matematikai elvárásával. Ez minden. Találkozunk a következő videóban!

A nagy számok gyenge törvénye

A nagy számok gyenge törvényét Bernoulli tételének is nevezik Jacob Bernoulli után, aki 1713-ban bebizonyította.

Legyen egy végtelen sorozat (egymást követő felsorolás) azonos eloszlású és korrelálatlan valószínűségi változókból. Vagyis a kovarianciájuk c o v (X i , X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\all i\not =j). Hadd . Jelölje az első mintaátlagával n (\displaystyle n) tagok:

.

Akkor X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Vagyis minden pozitívumra ε (\displaystyle \varepsilon )

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

A nagy számok erős törvénye

Legyen független azonos eloszlású valószínűségi változók végtelen sorozata ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) egy valószínűségi téren van meghatározva (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Hadd E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\all i\in \mathbb (N) ). Jelölje X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n)) az első mintaátlaga n (\displaystyle n) tagok:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N) ).

Akkor X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) majdnem mindig.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ jobb)=1.) .

Mint minden matematikai törvény, a nagy számok törvénye is csak ismert feltevések mellett alkalmazható a való világra, amelyeknek csak bizonyos fokú pontossággal lehet megfelelni. Így például az egymást követő tesztek feltételei gyakran nem tarthatók fenn a végtelenségig és abszolút pontossággal. Ráadásul a nagy számok törvénye csak arról beszél lehetetlenség az átlagérték szignifikáns eltérése a matematikai elvárástól.