Óra és előadás a témában: "Számsorozatok. Geometriai progresszió"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 9. osztály számára
Hatványok és gyökerek Függvények és grafikonok

Srácok, ma egy másik típusú progresszióval fogunk megismerkedni.
A mai óra témája a geometriai progresszió.

Geometriai progresszió

Meghatározás. Geometriai sorozatnak nevezzük azt a numerikus sorozatot, amelyben minden tag a másodiktól kezdve egyenlő az előző és valamilyen rögzített szám szorzatával.
Definiáljuk rekurzívan a sorozatunkat: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
ahol b és q definiált adott számokat. A q számot a progresszió nevezőjének nevezzük.

Példa. 1,2,4,8,16… Geometriai progresszió, amelynek első tagja eggyel egyenlő, és $q=2$.

Példa. 8,8,8,8… Egy geometriai progresszió, amelynek első tagja nyolc,
és $q=1$.

Példa. 3,-3,3,-3,3... Egy geometriai progresszió, amelynek első tagja három,
és $q=-1$.

A geometriai progresszió monoton tulajdonságokkal rendelkezik.
Ha $b_(1)>0$, $q>1$,
akkor a sorrend növekszik.
Ha $b_(1)>0$, akkor $0 A sorozatot általában a következőképpen jelölik: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Valamint benne aritmetikai progresszió, ha egy geometriai haladásban az elemek száma véges, akkor a haladást véges geometriai haladásnak nevezzük.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Vegye figyelembe, hogy ha a sorozat egy geometriai sorozat, akkor a négyzetes tagok sorozata is geometriai sorozat. A második sorozat első tagja $b_(1)^2$ és nevezője $q^2$.

Egy geometriai sorozat n-edik tagjának képlete

A geometriai progresszió analitikus formában is megadható. Lássuk, hogyan kell csinálni:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Könnyen láthatjuk a mintát: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Képletünket "a geometriai progresszió n-edik tagjának képletének" nevezzük.

Térjünk vissza példáinkhoz.

Példa. 1,2,4,8,16… Egy geometriai sorozat, amelynek első tagja egyenlő eggyel,
és $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Példa. 16,8,4,2,1,1/2… Egy geometriai progresszió, amelynek első tagja tizenhat és $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Példa. 8,8,8,8… Egy geometriai progresszió, ahol az első tag nyolc és $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Példa. 3,-3,3,-3,3… Egy geometriai progresszió, amelynek első tagja három és $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Példa. Adott egy $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ geometriai progresszió.
a) Ismeretes, hogy $b_(1)=6, q=3$. Keresse meg $b_(5)$.
b) Ismeretes, hogy $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Keresse meg n.
c) Ismeretes, hogy $q=-2, b_(6)=96$. Keresse meg $b_(1)$.
d) Ismeretes, hogy $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Keresse meg a q-t.

Megoldás.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, mivel $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Példa. A geometriai sorozat hetedik és ötödik tagja közötti különbség 192, a haladás ötödik és hatodik tagjának összege 192. Határozzuk meg ennek a progressziónak a tizedik tagját!

Megoldás.
Tudjuk, hogy: $b_(7)-b_(5)=192$ és $b_(5)+b_(6)=192$.
Tudjuk még: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Akkor:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Kaptunk egy egyenletrendszert:
$\begin(esetek)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(esetek)$.
Kiegyenlítve az egyenleteink a következőket kapják:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Két q megoldást kaptunk: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Helyettesítse be egymás után a második egyenletet:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nincs megoldás.
Ezt kaptuk: $b_(1)=4, q=2$.
Keressük a tizedik tagot: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Egy véges geometriai progresszió összege

Tegyük fel, hogy van véges geometriai progressziónk. Számítsuk ki a tagok összegét, akárcsak egy aritmetikai progresszió esetén.

Legyen adott egy véges geometriai progresszió: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Vezessük be a tagok összegének jelölését: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Abban az esetben, ha $q=1$. A geometriai haladás minden tagja egyenlő az első taggal, ekkor nyilvánvaló, hogy $S_(n)=n*b_(1)$.
Tekintsük most a $q≠1$ esetet.
Szorozzuk meg a fenti összeget q-val.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Jegyzet:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Megkaptuk a véges geometriai haladás összegének képletét.

Példa.
Határozzuk meg egy olyan geometriai folyamat első hét tagjának összegét, amelynek első tagja 4, nevezője pedig 3.

Megoldás.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Példa.
Keresse meg a geometriai progresszió ötödik tagját, amely ismert: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072 $; $S_(n)=-4095 $.

Megoldás.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
-4095 $(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 $(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

A geometriai progresszió jellemző tulajdonsága

Srácok, geometriai progresszió alapján. Tekintsük ennek három egymást követő tagját: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Tudjuk:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Akkor:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Ha a progresszió véges, akkor ez az egyenlőség az első és az utolsó kivételével minden tagra érvényes.
Ha nem ismert előre, hogy milyen sorozata van a sorozatnak, de ismert, hogy: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Akkor nyugodtan kijelenthetjük, hogy ez egy geometriai progresszió.

Egy számsorozat csak akkor geometriai sorozat, ha minden tagjának négyzete egyenlő a haladás két szomszédos tagjának szorzatával. Ne felejtsük el, hogy véges progresszió esetén ez a feltétel nem teljesül az első és az utolsó tagra.

Nézzük ezt az azonosságot: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ a és b geometriai átlagának nevezzük.

Egy geometriai progresszió bármely tagjának modulusa egyenlő a vele szomszédos két tag geometriai átlagával.

Példa.
Keresse meg x-et úgy, hogy $x+2; 2x+2; A 3x+3$ egy geometriai progresszió három egymást követő tagja volt.

Megoldás.
Használjuk a jellemző tulajdonságot:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ és $x_(2)=-1$.
Helyettesítsük be egymás után az eredeti kifejezést, megoldásaink:
$x=2$ esetén a következő sorozatot kaptuk: 4;6;9 egy geometriai progresszió, ahol $q=1.5$.
$x=-1$ értékkel a következő sorrendet kaptuk: 1;0;0.
Válasz: $x=2.$

Önálló megoldási feladatok

1. Keresse meg a 16; -8; 4; -2 ... geometriai progresszió nyolcadik első tagját.
2. Keresse meg a 11,22,44… geometriai haladás tizedik tagját.
3. Ismeretes, hogy $b_(1)=5, q=3$. Keresse meg $b_(7)$.
4. Ismeretes, hogy $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Keresse meg n.
5. Határozza meg a 3;12;48… geometriai sorozat első 11 tagjának összegét!
6. Keress x-et úgy, hogy $3x+4; 2x+4; x+5$ egy geometriai sorozat három egymást követő tagja.

A matematika az, amiaz emberek irányítják a természetet és önmagukat.

szovjet matematikus, akadémikus A.N. Kolmogorov

Geometriai progresszió.

A matematikai felvételi vizsgákon az aritmetikai progresszív feladatok mellett gyakoriak a geometriai haladás fogalmával kapcsolatos feladatok is. Az ilyen problémák sikeres megoldásához ismernie kell a geometriai progresszió tulajdonságait, és jó ismeretekkel kell rendelkeznie a használatukban.

Ez a cikk a geometriai progresszió főbb tulajdonságainak bemutatására szolgál. Példákat is tartalmaz a tipikus problémák megoldására, matematikából felvételi vizsgák feladataiból kölcsönzött.

Előzetesen jegyezzük meg a geometriai progresszió főbb tulajdonságait, és idézzük fel a legtöbbet fontos képletekés nyilatkozatok, kapcsolódik ehhez a fogalomhoz.

Meghatározás. Egy numerikus sorozatot geometriai sorozatnak nevezünk, ha minden száma a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal. A számot a geometriai progresszió nevezőjének nevezzük.

A geometriai progresszió érdekébena képletek érvényesek

, (1)

Ahol . Az (1) képletet a geometriai sorozat általános tagjának képletének nevezzük, a (2) képlet pedig a geometriai haladás fő tulajdonsága: a progresszió minden tagja egybeesik a szomszédos tagjai és a geometriai átlagával.

Jegyzet, hogy éppen e tulajdonság miatt nevezik a kérdéses progressziót „geometrikusnak”.

A fenti (1) és (2) képleteket a következőképpen foglaljuk össze:

, (3)

Az összeg kiszámításához első egy geometriai progresszió tagjaia képlet érvényes

Ha kijelöljük

Ahol . Mivel a (6) képlet az (5) képlet általánosítása.

Abban az esetben, amikor és geometriai progresszióvégtelenül csökken. Az összeg kiszámításáhozegy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összes tagjából a képletet használjuk

. (7)

Például , a (7) képlet segítségével megmutathatjuk, Mit

Ahol . Ezeket az egyenlőségeket a (7) képletből kapjuk, feltéve, hogy , (az első egyenlőség) és , (a második egyenlőség).

Tétel. Ha akkor

Bizonyíték. Ha akkor ,

A tétel bizonyítást nyert.

Térjünk át a „Geometriai progresszió” témával kapcsolatos problémák megoldásának példáira.

1. példa Adott: , és . Megtalálja .

Megoldás. Ha az (5) képletet alkalmazzuk, akkor

Válasz: .

2. példa Hagyjuk és . Megtalálja .

Megoldás. Mivel és , az (5), (6) képleteket használjuk, és megkapjuk az egyenletrendszert

Ha a (9) rendszer második egyenletét elosztjuk az elsővel, majd vagy . Ebből az következik . Vegyünk két esetet.

1. Ha , akkor a (9) rendszer első egyenletéből azt kapjuk.

2. Ha , akkor .

3. példa Hagyjuk , és . Megtalálja .

Megoldás. A (2) képletből következik, hogy vagy . Azóta vagy .

Feltétel szerint. Azonban ezért . Mert és akkor itt van egy egyenletrendszerünk

Ha a rendszer második egyenletét elosztjuk az elsővel, akkor vagy .

Mivel az egyenletnek egyetlen megfelelő gyöke van. Ebben az esetben a rendszer első egyenlete azt jelenti, hogy .

A (7) képlet figyelembevételével kapjuk.

Válasz: .

4. példa Adott: és . Megtalálja .

Megoldás. Azóta .

Mert akkor ill

A (2) képlet szerint van . Ebben a vonatkozásban a (10) egyenlőségből kapjuk vagy .

Feltétel szerint azonban ezért .

5. példa Ismeretes, hogy . Megtalálja .

Megoldás. A tétel szerint két egyenlőségünk van

Azóta vagy . Mert akkor .

Válasz: .

6. példa Adott: és . Megtalálja .

Megoldás. Az (5) képlet figyelembevételével kapjuk

Azóta . óta , és , akkor .

7. példa Hagyjuk és . Megtalálja .

Megoldás. Az (1) képlet szerint írhatunk

Ezért van vagy . Ismeretes, hogy és , ezért és .

Válasz: .

8. példa Határozzuk meg egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió nevezőjét, ha

És .

Megoldás. A (7) képletből az következikÉs . Innen és a feladat feltételéből kapjuk az egyenletrendszert

Ha a rendszer első egyenlete négyzetes, majd osszuk el a kapott egyenletet a második egyenlettel, akkor megkapjuk

Vagy .

Válasz: .

9. példa Keresse meg az összes olyan értéket, amelyre a sorozat, , geometriai progresszió.

Megoldás. Hagyjuk , és . A (2) képlet szerint, amely a geometriai folyamat fő tulajdonságát határozza meg, írhatunk vagy -t.

Innen kapjuk a másodfokú egyenletet, amelynek a gyökereiÉs .

Ellenőrizzük: ha, majd , és ; ha , akkor , és .

Az első esetben miés , a másodikban pedig - és .

Válasz: , .

10. példaoldja meg az egyenletet

, (11)

hol és .

Megoldás. A (11) egyenlet bal oldala egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege, amelyben és , feltéve, hogy: és .

A (7) képletből az következik, Mit . Ebben a tekintetben a (11) egyenlet a következő formát ölti vagy . megfelelő gyökér másodfokú egyenlet van

Válasz: .

11. példa. P pozitív számok sorozataszámtani sorozatot alkot, A - geometriai progresszió, mi köze ehhez. Megtalálja .

Megoldás. Mert számtani sorozat, Azt (egy aritmetikai sorozat fő tulajdonsága). Mert a, majd vagy . Ez azt jelenti, hogy a geometriai progresszió az. A (2) képlet szerint, akkor azt írjuk .

Azóta és azóta . Ebben az esetben a kifejezés vagy a formát veszi fel. Feltétel szerint, tehát az egyenletbőlmegkapjuk a vizsgált probléma egyedi megoldását, azaz .

Válasz: .

12. példa. Számítsa ki az összeget

. (12)

Megoldás. Szorozzuk meg a (12) egyenlőség mindkét oldalát 5-tel, és kapjuk

Ha a kapott kifejezésből kivonjuk a (12)-t, Azt

vagy .

A kiszámításhoz behelyettesítjük az értékeket a (7) képletbe, és megkapjuk. Azóta .

Válasz: .

Az itt közölt problémamegoldási példák a felvételi vizsgákra való felkészülés során hasznosak lesznek a jelentkezők számára. A problémamegoldó módszerek mélyebb megismeréséhez, geometriai progresszióhoz kapcsolódik, használható tanulmányi útmutatók az ajánlott irodalom jegyzékéből.

1. Feladatgyűjtemény matematikából műszaki egyetemekre jelentkezők számára / Szerk. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika középiskolásoknak: az iskolai tananyag további részei. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Az elemi matematika teljes kurzusa feladatokban és gyakorlatokban. 2. könyv: Számsorozatok és előrehaladások. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

Van kérdésed?

Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

SZÁMSZORVÁNYOK VI

l48. §. Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege

Mostanáig, ha összegekről beszélünk, mindig azt feltételeztük, hogy ezekben az összegekben a tagok száma véges (például 2, 15, 1000 stb.). De bizonyos feladatok (különösen a felsőbb matematika) megoldása során végtelen számú tag összegével kell számolni.

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Mik ezek az összegek? A-priory végtelen számú tag összege a 1 , a 2 , ..., a n , ... az S összeg határának nevezzük n első P számok mikor P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Limit (2) természetesen létezhet vagy nem. Ennek megfelelően az (1) összegről azt mondjuk, hogy létezik vagy nem létezik.

Hogyan lehet megtudni, hogy az (1) összeg minden egyes esetben létezik-e? A kérdés általános megoldása messze túlmutat programunk keretein. Van azonban egy fontos különleges eset, amelyet most figyelembe kell vennünk. Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegzéséről lesz szó.

Hadd a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió. Ez azt jelenti, hogy | q |< 1. Сумма первых P tagja ennek a progressziónak egyenlő

A fő határtételekből változók(lásd a 136. §-t) kapjuk:

De 1 = 1, a q n = 0. Ezért

Tehát egy végtelenül csökkenő geometriai haladás összege egyenlő ennek a haladásnak az első tagjával, osztva eggyel mínusz ennek a haladásnak a nevezője.

1) Az 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... geometriai haladás összege

és egy geometriai progresszió összege 12; -6; 3; - 3/2, ... egyenlő

2) Egy egyszerű periodikus tört 0,454545 ... közönséges törtté alakul.

A probléma megoldásához ezt a törtet végtelen összegként ábrázoljuk:

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldala egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege, melynek első tagja 45/100, nevezője pedig 1/100. Ezért

A leírt módon beszerezhető az egyszerű periodikus törtek közönséges törtekké való átalakításának általános szabálya is (lásd II. fejezet, 38. §):

Egy egyszerű periodikus tört közönséges törtté alakításához a következőket kell tennie: tegye a periódust a számlálóba tizedes tört, és a nevezőben - kilencből álló szám, amelyet annyiszor vesznek fel, ahány számjegy van a tizedes tört periódusában.

3) Vegyes periodikus tört 0,58333 .... közönséges törtté alakul.

Képzeljük el ezt a törtet végtelen összegként:

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán minden tag 3/1000-től kezdve végtelenül csökkenő geometriai progressziót alkot, melynek első tagja 3/1000, nevezője pedig 1/10. Ezért

A leírt módon beszerezhető a vegyes periodikus törtek közönséges törtekké való átalakításának általános szabálya is (lásd II. fejezet, 38. §). Szándékosan nem vesszük ide. Nem szükséges megjegyezni ezt a nehézkes szabályt. Sokkal hasznosabb tudni, hogy bármely kevert periodikus tört ábrázolható egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió és valamilyen szám összegeként. És a képlet

egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegéhez természetesen emlékeznünk kell.

Gyakorlatként felkérjük Önt, hogy az alábbi 995-1000-es számú problémák mellett ismét forduljon a 301. számú probléma 38. §-ához.

Feladatok

995. Mit nevezünk egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének?

996. Keresse meg a végtelenül csökkenő geometriai progressziók összegét:

997. Milyen értékekre x progresszió

végtelenül csökken? Keresse meg egy ilyen haladás összegét.

998. Egyenlő oldalú háromszögben A egy új háromszöget írunk fel oldalai felezőpontjainak összekapcsolásával; ebbe a háromszögbe ugyanúgy új háromszöget írunk, és így tovább a végtelenségig.

a) ezen háromszögek kerületeinek összege;

b) területeik összege.

999. Egy oldallal rendelkező négyzetben A új négyzetet írunk fel oldalai felezőpontjainak összekapcsolásával; ebbe a négyzetbe ugyanúgy négyzetet írnak, és így tovább a végtelenségig. Határozzuk meg ezen négyzetek kerületének összegét és területük összegét!

1000. Készíts végtelenül csökkenő geometriai progressziót úgy, hogy összege 25/4, tagjai négyzetösszege pedig 625/24 legyen.

Például, sorozat \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); A \(48\)… egy geometriai progresszió, mivel minden következő elem kétszeresen különbözik az előzőtől (azaz az előzőből kettővel szorozva kaphatjuk meg):

Mint minden sorozatot, a geometriai progressziót is egy kis latin betű jelöli. A progressziót alkotó számokat úgy nevezzük tagjai(vagy elemek). Ugyanazzal a betűvel vannak jelölve, mint a geometriai progresszió, de a numerikus index megegyezik az elemszámmal.

Például, a \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) geometriai progresszió a \(b_1=3\) elemekből áll; \(b_2=6\); \(b_3=12\) és így tovább. Más szavakkal:

Ha megérti a fenti információkat, máris meg tudja oldani a legtöbb problémát ebben a témában.

Példa (OGE):
Megoldás:

Válasz : \(-686\).

Példa (OGE): Adott a progresszió első három tagja \(324\); \(-108\); \(36\)…. Keresse meg a \(b_5\).
Megoldás:

	A sorozat folytatásához ismernünk kell a nevezőt. Keressük meg két szomszédos elemből: mivel kell \(324\)-t megszorozni, hogy \(-108\) legyen?
\(324 q=-108\)	Innen könnyen kiszámolhatjuk a nevezőt.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Most már könnyen megtaláljuk a szükséges elemet.
	A válasz kész.

Válasz : \(4\).

Példa: A progressziót a \(b_n=0,8 5^n\) feltétel adja. Melyik szám tagja ennek a haladásnak:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0,8\) ?

Megoldás: A feladat megfogalmazásából kitűnik, hogy ezek közül a számok közül az egyik mindenképpen a mi folyamatunkban van. Ezért egyszerűen kiszámolhatjuk a tagjait egyenként, amíg meg nem találjuk a szükséges értéket. Mivel a haladást a képlet adja meg, az elemek értékét különböző \(n\) helyettesítésével számítjuk ki:
\(n=1\); \(b_1=0,8 5^1=0,8 5=4\) – nincs ilyen szám a listában. Folytatjuk.
\(n=2\); \(b_2=0,8 5^2=0,8 25=20\) – és ez sincs ott.
\(n=3\); \(b_3=0,8 5^3=0,8 125=100\) – és itt a bajnokunk!

Válasz: \(100\).

Példa (OGE): A geometriai progresszív …\(8\) több egymást követő tagja adott; \(x\); \(50\); \(-125\)…. Keresse meg az \(x\) betűvel jelölt elem értékét!

Megoldás:

Válasz: \(-20\).

Példa (OGE): A progressziót a \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\) feltételek adják meg. Keresse meg ennek a progressziónak az első \(4\) tagjának összegét.

Megoldás:

Válasz: \(105\).

Példa (OGE): Ismeretes, hogy exponenciálisan \(b_6=-11\),\(b_9=704\). Keresse meg a \(q\) nevezőt.

Megoldás:

	A bal oldali diagramból látható, hogy ahhoz, hogy \ (b_6 \)-ból \ (b_9 \)-be jussunk - három „lépést” teszünk, azaz \ (b_6 \)-t háromszor megszorozzuk a progresszió nevezője. Más szavakkal, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	Helyettesítsük az általunk ismert értékeket.
\(704=(-11)q^3\)	„Fordítsa meg” az egyenletet, és ossza el \((-11)\-el).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Milyen kockás szám ad \(-64\)-t? Természetesen \(-4\)!
	A válasz megtalálható. A \(-11\)-től \(704\)-ig tartó számlánc visszaállításával ellenőrizhető.
	Minden egyetértett - a válasz helyes.

Válasz: \(-4\).

A legfontosabb képletek

Mint látható, a legtöbb geometriai progressziós probléma megoldható tiszta logikával, egyszerűen a lényeg megértésével (ez általában a matematikára jellemző). De néha bizonyos képletek, minták ismerete felgyorsítja és nagyban megkönnyíti a megoldást. Két ilyen képletet fogunk tanulmányozni.

A \(n\)-edik tag képlete: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), ahol \(b_1\) a progresszió első tagja; \(n\) – a szükséges elem száma; \(q\) a progresszió nevezője; A \(b_n\) a \(n\) számú progresszió tagja.

Ezzel a képlettel például egyetlen lépésben megoldhatja a problémát a legelső példától kezdve.

Példa (OGE): A geometriai progressziót a \(b_1=-2\) feltételek adják meg; \(q=7\). Keresse meg a következőt: \(b_4\).
Megoldás:

Válasz: \(-686\).

Ez a példa egyszerű volt, így a képlet nem könnyítette meg számunkra túlságosan a számításokat. Nézzük egy kicsit bonyolultabban a problémát.

Példa: A geometriai progressziót a \(b_1=20480\) feltételek adják meg; \(q=\frac(1)(2)\). Keresse meg a \(b_(12)\).
Megoldás:

Válasz: \(10\).

Természetesen a \(\frac(1)(2)\) \(11\)-edik hatványra emelése nem túl örömteli, de mégis könnyebb, mint \(11\) kettéosztani a \(20480\)-t.

Az első tagok \(n\) összege: \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , ahol \(b_1\) az első tag a progresszióról; \(n\) – az összegzett elemek száma; \(q\) a progresszió nevezője; \(S_n\) a progresszió első tagjainak \(n\) összege.

Példa (OGE): Adott egy \(b_n\) geometriai progresszió, amelynek nevezője \(5\), és az első tag \(b_1=\frac(2)(5)\). Határozza meg ennek a haladásnak az első hat tagjának összegét.
Megoldás:

Válasz: \(1562,4\).

És ismét megoldhatnánk a problémát a „homlokon” - keresse meg egymás után mind a hat elemet, majd adja hozzá az eredményeket. A számítások száma, és így a véletlenszerű hiba esélye azonban drámaian megnőne.

A geometriai progresszióhoz több olyan képlet is létezik, amelyeket itt nem vettünk figyelembe a gyakorlati használatuk alacsony szintje miatt. Megtalálhatja ezeket a képleteket.

Növekvő és csökkenő geometriai progressziók

A cikk legelején figyelembe vett \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) progressziójának \(q\) nevezője nagyobb, mint egy, ezért minden következő tag nagyobb, mint az előzőt. Az ilyen progressziókat ún növekvő.

Ha \(q\) kisebb egynél, de pozitív (vagyis nulla és egy között van), akkor minden következő elem kisebb lesz, mint az előző. Például a \(4\) folyamatban; \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)… a \(q\) nevezője \(\frac(1)(2)\).

Ezeket a progressziókat ún csökkenő. Vegye figyelembe, hogy ennek a haladásnak egyik eleme sem lesz negatív, csak minden lépéssel egyre kisebbek. Vagyis fokozatosan közeledünk a nullához, de soha nem érjük el és nem lépünk túl rajta. A matematikusok ilyen esetekben azt mondják, hogy "a nullára hajlamos".

Vegye figyelembe, hogy negatív nevező esetén a geometriai progresszió elemei szükségszerűen előjelet váltanak. Például, a progresszió \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... a \(q\) nevezője \(-3\), és emiatt az elemek előjelei "villognak".

A geometriai progresszió olyan numerikus sorozat, amelynek első tagja nem nulla, és minden következő tag egyenlő az előző taggal, megszorozva ugyanazzal a nullától eltérő számmal. A geometriai progressziót b1,b2,b3, …, bn, …

A geometriai progresszió tulajdonságai

A geometriai hiba bármely tagjának az előző tagjához viszonyított aránya azonos számmal, azaz b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Ez közvetlenül következik az aritmetikai sorozat definíciójából. Ezt a számot nevezzük a geometriai progresszió nevezőjének. Általában a geometriai progresszió nevezőjét q betűvel jelöljük.

A geometriai progresszió beállításának egyik módja, ha beállítjuk annak első tagját b1 és a q geometriai hiba nevezőjét. Például b1=4, q=-2. Ez a két feltétel 4, -8, 16, -32, … geometriai progresszióját adja.

Ha q>0 (q nem egyenlő 1-gyel), akkor a progresszió az monoton sorozat. Például a 2, 4,8,16,32, ... sorozat egy monoton növekvő sorozat (b1=2, q=2).

Ha a geometriai hibában a nevező q=1, akkor a geometriai haladás minden tagja egyenlő lesz egymással. Ilyen esetekben a progressziót állandó sorozatnak mondják.

A progresszió n-edik tagjának képlete

Ahhoz, hogy a (bn) numerikus sorozat geometriai progresszió legyen, szükséges, hogy minden tagja a másodiktól kezdve a szomszédos tagok geometriai átlaga legyen. Vagyis teljesíteni kell a következő egyenletet - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), bármely n>0 esetén, ahol n a halmazhoz tartozik természetes számok N.

A geometriai progresszió n-edik tagjának képlete a következő:

bn=b1*q^(n-1), ahol n az N természetes számok halmazába tartozik.

Vegyünk egy egyszerű példát:

Geometriai haladásban b1=6, q=3, n=8 keresse meg bn-t.

Használjuk a geometriai sorozat n-edik tagjának képletét.