Az algebra tanulmányozása során általános műveltségi iskola(9. osztály) Az egyik fontos téma a numerikus sorozatok tanulmányozása, amelyek magukban foglalják a progressziókat - geometriai és aritmetikai. Ebben a cikkben egy aritmetikai progressziót és megoldási példákat fogunk megvizsgálni.

Mi az aritmetikai progresszió?

Ennek megértéséhez meg kell adni a vizsgált progresszió definícióját, valamint meg kell adni azokat az alapképleteket, amelyeket a továbbiakban a problémák megoldásában használni fognak.

Az aritmetikai vagy olyan rendezett racionális számok halmaza, amelynek minden tagja valamilyen állandó értékkel különbözik az előzőtől. Ezt az értéket különbségnek nevezzük. Vagyis egy rendezett számsor bármely tagjának és a különbségnek a ismeretében visszaállíthatja a teljes aritmetikai sorozatot.

Vegyünk egy példát. A következő számsorozat egy aritmetikai sorozat lesz: 4, 8, 12, 16, ..., mivel a különbség ebben az esetben 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). De a 3, 5, 8, 12, 17 számok halmaza már nem tulajdonítható a figyelembe vett progressziótípusnak, mivel a különbség nem állandó érték (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Fontos képletek

Most megadjuk a fő képleteket, amelyekre szükség lesz a problémák megoldásához aritmetikai progresszió. Jelölje jellel a n n-edik tag sorozatok, ahol n egész szám. A különbséget a latin d betű jelöli. Ekkor a következő kifejezések igazak:

1. Az n-edik tag értékének meghatározásához a következő képlet alkalmas: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Az első n tag összegének meghatározásához: S n = (a n + a 1)*n/2.

Ahhoz, hogy a 9. osztályban megoldott aritmetikai haladás példáit megértsük, elég megjegyezni ezt a két képletet, mivel a szóban forgó típusú problémák ezek használatára épülnek. Azt sem szabad elfelejteni, hogy a progressziókülönbséget a következő képlet határozza meg: d = a n - a n-1 .

1. példa: Ismeretlen tag keresése

Adunk egy egyszerű példát egy aritmetikai sorozatra és a megoldáshoz használandó képletekre.

Legyen adott a 10, 8, 6, 4, ... sorozat, öt tagot kell találni benne.

Már a feladat feltételeiből is következik, hogy az első 4 tag ismert. Az ötödik kétféleképpen határozható meg:

1. Először számoljuk ki a különbséget. Van: d = 8 - 10 = -2. Hasonlóképpen, bármelyik másik két kifejezést felfoghatjuk egymás mellett. Például d = 4 - 6 = -2. Mivel ismert, hogy d \u003d a n - a n-1, majd d = a 5 - a 4, ahonnan kapjuk: a 5 = a 4 + d. Az ismert értékeket behelyettesítjük: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. A második módszer a kérdéses progresszió különbségének ismeretét is megköveteli, ezért először azt kell meghatározni, ahogy fentebb látható (d = -2). Tudva, hogy az első tag a 1 = 10, a sorozat n számának képletét használjuk. Van: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Ha n = 5-öt behelyettesítünk az utolsó kifejezésbe, a következőt kapjuk: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Mint látható, mindkét megoldás ugyanarra az eredményre vezet. Vegye figyelembe, hogy ebben a példában a progresszió d különbsége negatív. Az ilyen sorozatokat csökkenőnek nevezzük, mert minden egymást követő tag kisebb, mint az előző.

2. példa: progresszió különbség

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot, mutassunk példát arra, hogyan találjuk meg egy aritmetikai sorozat különbségét.

Ismeretes, hogy bizonyos algebrai progresszióban az 1. tag egyenlő 6-tal, a 7. tag pedig 18-cal. Meg kell találni a különbséget, és vissza kell állítani ezt a sorozatot a 7. tagra.

Használjuk a képletet az ismeretlen tag meghatározásához: a n = (n - 1) * d + a 1 . Behelyettesítjük a feltételből ismert adatokat, vagyis az a 1 és a 7 számokat, így van: 18 \u003d 6 + 6 * d. Ebből a kifejezésből könnyen kiszámítható a különbség: d = (18 - 6) / 6 = 2. Így a feladat első része megválaszolásra került.

A sorozat 7. tagjára való visszaállításához az algebrai progresszió definícióját kell használni, azaz a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d és így tovább. Ennek eredményeként a teljes sorozatot visszaállítjuk: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

3. példa: előrelépés

Bonyolítsuk tovább a probléma helyzetét. Most meg kell válaszolnia azt a kérdést, hogy hogyan találhat számtani progressziót. A következő példát adhatjuk: két számot adunk meg, például 4 és 5. Algebrai haladást kell készíteni, hogy ezek közé még három tag illeszkedjen.

A probléma megoldásának megkezdése előtt meg kell érteni, hogy az adott számok milyen helyet foglalnak el a jövőbeni haladásban. Mivel még három tag lesz közöttük, akkor egy 1 \u003d -4 és egy 5 \u003d 5. Miután ezt megállapítottuk, folytatjuk az előzőhöz hasonló feladatot. Ismét az n-edik taghoz a képletet használjuk, így kapjuk: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Innen: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Itt a különbség nem egész, hanem racionális szám, így az algebrai haladás képletei változatlanok maradnak.

Most adjuk hozzá a talált különbséget 1-hez, és állítsuk vissza a progresszió hiányzó tagjait. A következőt kapjuk: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, amely egybeesik a probléma feltételével.

4. példa: A progresszió első tagja

Továbbra is példákat adunk a megoldással ellátott aritmetikai sorozatra. Minden korábbi feladatban ismert volt az algebrai progresszió első száma. Tekintsünk most egy másik típusú problémát: legyen két szám megadva, ahol egy 15 = 50 és egy 43 = 37. Meg kell találni, hogy melyik számtól kezdődik ez a sorozat.

Az eddig használt képletek egy 1 és d ismeretét feltételezik. Ezekről a számokról a probléma állapotában semmit nem tudni. Mindazonáltal írjuk ki a kifejezéseket minden olyan taghoz, amelyről információnk van: a 15 = a 1 + 14 * d és a 43 = a 1 + 42 * d. Kaptunk két egyenletet, amelyben 2 ismeretlen mennyiség van (a 1 és d). Ez azt jelenti, hogy a feladat egy lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik.

A megadott rendszert a legkönnyebb megoldani, ha minden egyenletben 1-et adunk meg, majd összehasonlítjuk a kapott kifejezéseket. Első egyenlet: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; második egyenlet: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ezeket a kifejezéseket egyenlővé téve a következőt kapjuk: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, ahonnan a különbség d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (csak 3 tizedesjegy van megadva).

A d ismeretében a fenti 2 kifejezés bármelyikét használhatja egy 1-hez. Például először: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ha kétségei vannak az eredménnyel kapcsolatban, akkor ellenőrizheti, például meghatározhatja a feltételben megadott progresszió 43. tagját. A következőt kapjuk: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Egy kis hiba abból adódik, hogy a számításoknál ezredrészekre kerekítést alkalmaztak.

5. példa: Összeg

Most nézzünk meg néhány példát egy aritmetikai sorozat összegének megoldására.

Legyen a következő alakú numerikus progresszió: 1, 2, 3, 4, ...,. Hogyan lehet kiszámítani ezeknek a számoknak a 100 összegét?

A fejlesztésnek köszönhetően számítógépes technológia megoldhatja ezt a problémát, vagyis az összes számot szekvenciálisan összeadja, amit a számítógép azonnal megtesz, amint megnyomja az Enter billentyűt. A probléma azonban mentálisan megoldható, ha odafigyelünk arra, hogy a bemutatott számsor egy algebrai progresszió, és a különbsége 1. Az összeg képletét alkalmazva a következőt kapjuk: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Érdekes megjegyezni, hogy ezt a problémát "Gauss-féle"-nek nevezik, mert eleje XVIII században a híres német, még csak 10 évesen, néhány másodperc alatt meg tudta oldani gondolatban. A fiú nem ismerte az algebrai haladás összegének képletét, de észrevette, hogy ha a sorozat szélein elhelyezkedő számpárokat adunk össze, akkor mindig egy eredményt kapunk, azaz 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., és mivel ezek az összegek pontosan 50 lesznek (100 / 0 szorzata 0-val), akkor elég a 0-1-hez.

6. példa: tagok összege n-től m-ig

A számtani progresszió összegének egy másik tipikus példája a következő: adott egy számsor: 3, 7, 11, 15, ..., meg kell találni, hogy mennyi lesz a 8-tól 14-ig terjedő tagok összege.

A probléma kétféleképpen oldható meg. Az első közülük 8-tól 14-ig ismeretlen kifejezéseket keres, majd sorban összegzi őket. Mivel kevés a kifejezés, ez a módszer nem elég munkaigényes. Ennek ellenére javasolt a probléma megoldása a második módszerrel, amely univerzálisabb.

Az ötlet az, hogy egy képletet kapjunk az m és n tagok közötti algebrai haladás összegére, ahol n > m egész számok. Mindkét esetben két kifejezést írunk az összegre:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Mivel n > m, nyilvánvaló, hogy a 2 összeg tartalmazza az elsőt. Az utolsó következtetés azt jelenti, hogy ha felvesszük ezen összegek különbségét, és hozzáadjuk az a m tagot (különbözet ​​felvétele esetén kivonjuk az S n összegből), akkor megkapjuk a feladatra a szükséges választ. Van: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + m / m * (1-). Ebbe a kifejezésbe n és m képleteket kell behelyettesíteni. Ekkor a következőt kapjuk: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 * - d) / 2 - 2.

A kapott képlet kissé körülményes, azonban az S mn összeg csak n, m, a 1 és d függvénye. Esetünkben a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ezeket a számokat behelyettesítve a következőt kapjuk: S mn = 301.

Amint a fenti megoldásokból látható, minden probléma az n-edik tag kifejezésének és az első tagok összegének képletének ismeretén alapul. Mielőtt elkezdené megoldani ezeket a problémákat, javasoljuk, hogy figyelmesen olvassa el a feltételt, értse meg egyértelműen, mit szeretne találni, és csak ezután folytassa a megoldást.

Egy másik tipp, hogy törekedjünk az egyszerűségre, vagyis ha bonyolult matematikai számítások nélkül is meg tudjuk válaszolni a kérdést, akkor ezt meg kell tenni, hiszen ebben az esetben kisebb a hibázás valószínűsége. Például a 6-os megoldású aritmetikai sorozat példájában megállhatunk az S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m képletnél, és az általános feladatot külön részfeladatokra bonthatjuk (ebben az esetben először keressük meg az a n és a m kifejezéseket).

Ha kétségek merülnek fel a kapott eredménnyel kapcsolatban, javasoljuk, hogy ellenőrizze azt, ahogyan az egyes példákban is megtörtént. Hogyan találhatunk számtani progressziót, kiderült. Ha egyszer rájössz, nem is olyan nehéz.

Igen, igen: a számtani progresszió nem játékszer neked :)

Nos, barátaim, ha ezt a szöveget olvassátok, akkor a belső sapka bizonyítékai azt mondják nekem, hogy még mindig nem tudjátok, mi az aritmetikai progresszió, de nagyon (nem, így: NAGYON!) szeretnétek tudni. Ezért nem gyötörlek hosszú bemutatkozásokkal, és azonnal nekilátok a dolognak.

Kezdésnek egy-két példa. Tekintsünk több számkészletet:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Mi a közös ezekben a készletekben? Első pillantásra semmi. De valójában van valami. Ugyanis: minden következő elem ugyanazzal a számmal tér el az előzőtől.

Ítélje meg maga. Az első készlet csak egymást követő számok, mindegyik több, mint az előző. A második esetben a szomszédos számok különbsége már egyenlő öttel, de ez a különbség továbbra is állandó. A harmadik esetben általában vannak gyökerek. Azonban $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, míg $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, azaz. ebben az esetben minden következő elem egyszerűen növekszik $\sqrt(2)$-val (és ne ijedj meg attól, hogy ez a szám irracionális).

Tehát: minden ilyen sorozatot csak aritmetikai progressziónak nevezünk. Adjunk egy szigorú definíciót:

Meghatározás. Aritmetikai sorozatnak nevezzük azt a számsorozatot, amelyben minden következő pontosan ugyanannyival különbözik az előzőtől. Pont azt az összeget, amellyel a számok különböznek, progressziós különbségnek nevezzük, és leggyakrabban $d$ betűvel jelöljük.

Jelölés: $\left(((a)_(n)) \right)$ maga a progresszió, $d$ a különbsége.

És csak néhány fontos megjegyzés. Először is csak a progressziót veszik figyelembe szabályos számsor: szigorúan a beírásuk sorrendjében olvashatóak - és semmi más. A számokat nem lehet átrendezni vagy felcserélni.

Másodszor, maga a sorozat lehet véges vagy végtelen. Például az (1; 2; 3) halmaz nyilvánvalóan véges aritmetikai sorozat. De ha olyasmit ír, hogy (1; 2; 3; 4; ...) - ez már végtelen előrehaladás. A négy utáni ellipszis mintegy arra utal, hogy elég sok szám továbbmegy. Például végtelenül sok. :)

Azt is szeretném megjegyezni, hogy a progresszió növekszik és csökken. Láttunk már növekvőeket - ugyanaz a halmaz (1; 2; 3; 4; ...). Íme, példák a progresszió csökkenésére:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oké, oké: az utolsó példa túl bonyolultnak tűnhet. De a többit szerintem érted. Ezért új definíciókat vezetünk be:

Meghatározás. Az aritmetikai progressziót nevezzük:

1. növekszik, ha minden következő elem nagyobb, mint az előző;
2. csökken, ha éppen ellenkezőleg, minden következő elem kisebb, mint az előző.

Ezen kívül vannak úgynevezett „stacionárius” sorozatok – ezek ugyanabból az ismétlődő számból állnak. Például (3; 3; 3; ...).

Csak egy kérdés marad: hogyan lehet megkülönböztetni a növekvő progressziót a csökkenőtől? Szerencsére itt minden csak a $d$ szám előjelén múlik, pl. Előrehaladási különbségek:

1. Ha $d \gt 0$, akkor a progresszió növekszik;
2. Ha $d \lt 0$, akkor a progresszió nyilvánvalóan csökken;
3. Végül ott van a $d=0$ eset – ebben az esetben a teljes progressziót azonos számok stacionárius sorozatára redukáljuk: (1; 1; 1; 1; ...) stb.

Próbáljuk meg kiszámítani a $d$ különbséget a fenti három csökkenő progresszióhoz. Ehhez elegendő bármely két szomszédos elemet (például az elsőt és a másodikat) kivenni, és a jobb oldali számból kivonni a bal oldali számot. Így fog kinézni:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Mint látható, a különbség mindhárom esetben valóban negatívnak bizonyult. És most, hogy többé-kevésbé kitaláltuk a definíciókat, ideje kitalálni, hogyan írják le a progressziókat, és milyen tulajdonságaik vannak.

A progresszió és a visszatérő képlet tagjai

Mivel sorozataink elemei nem cserélhetők fel, ezért számozhatók:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3)),... \jobbra\)\]

Ennek a halmaznak az egyes elemeit a progresszió tagjainak nevezzük. Ezeket így egy szám segítségével jelezzük: az első tag, a második tag stb.

Ezenkívül, mint már tudjuk, a progresszió szomszédos tagjai a következő képlettel kapcsolódnak egymáshoz:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Jobbra ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d\]

Röviden, a progresszió $n$-edik tagjának megtalálásához ismernünk kell az $n-1$-edik tagot és a $d$ különbséget. Az ilyen képletet ismétlődőnek nevezzük, mert segítségével bármilyen számot megtalálhat, csak az előző (és tulajdonképpen az összes korábbi) ismeretében. Ez nagyon kényelmetlen, ezért van egy bonyolultabb képlet, amely minden számítást az első tagra és a különbségre redukál:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Valószínűleg Ön is találkozott már ezzel a képlettel. Szeretik mindenféle segédkönyvekben és reshebnikekben megadni. És minden értelmes matematikai tankönyvben az elsők közé tartozik.

Azt javaslom azonban, hogy gyakoroljon egy kicsit.

1. számú feladat. Írja fel a $\left(((a)_(n)) \right)$ aritmetikai sorozat első három tagját, ha $((a)_(1))=8,d=-5$.

Megoldás. Tehát ismerjük az első tagot $((a)_(1))=8$ és a progressziókülönbséget $d=-5$. Használjuk az imént megadott képletet, és cseréljük be a $n=1$, $n=2$ és $n=3$ értékeket:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5=3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10=-2. \\ \end(igazítás)\]

Válasz: (8; 3; -2)

Ez minden! Vegyük észre, hogy a fejlődésünk csökken.

Természetesen a $n=1$ nem helyettesíthető – az első kifejezést már ismerjük. Az egység cseréjével azonban megbizonyosodtunk arról, hogy képletünk már az első félévben is működik. Más esetekben minden a banális aritmetikára dőlt el.

2. számú feladat. Írja fel egy aritmetikai sorozat első három tagját, ha a hetedik tagja –40, a tizenhetedik tagja pedig –50.

Megoldás. A probléma feltételét a szokásos módon írjuk le:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a)_(1))+16d \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \right.\]

Azért tettem a rendszer jelét, mert ezeknek a követelményeknek egyszerre kell megfelelni. És most megjegyezzük, hogy ha kivonjuk az első egyenletet a második egyenletből (jogunk van erre, mert van rendszerünk), ezt kapjuk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(igazítás)\]

Pont így, megtaláltuk a progresszió különbséget! Marad a talált szám behelyettesítése a rendszer bármely egyenletében. Például az elsőben:

\[\begin(mátrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(mátrix)\]

Most, az első kifejezés és a különbség ismeretében, meg kell találni a második és a harmadik kifejezést:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(igazítás)\]

Kész! Probléma megoldódott.

Válasz: (-34; -35; -36)

Figyeljük meg a progresszió egy érdekes tulajdonságát, amit felfedeztünk: ha kivesszük a $n$-edik és a $m$-adik tagot, és kivonjuk őket egymástól, akkor megkapjuk a progresszió különbségét megszorozva a $n-m$ számmal:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Egy egyszerű, de nagyon hasznos tulajdonság, amit feltétlenül ismernie kell - segítségével számos progressziós probléma megoldását jelentősen felgyorsíthatja. Íme egy kiváló példa erre:

3. számú feladat. A számtani sorozat ötödik tagja 8,4, tizedik tagja 14,4. Keresse meg ennek a progressziónak a tizenötödik tagját.

Megoldás. Mivel $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, és meg kell találnunk a $((a)_(15))$-t, a következőket jegyezzük meg:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(igazítás)\]

De a $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, tehát $5d=6$ feltétellel, ahonnan:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(igazítás)\]

Válasz: 20.4

Ez minden! Nem kellett egyenletrendszert összeállítanunk és kiszámolnunk az első tagot és a különbséget – minden csak pár sorban dőlt el.

Most nézzünk egy másik típusú problémát - a progresszió negatív és pozitív tagjainak keresését. Nem titok, hogy ha a progresszió növekszik, miközben az első tagja negatív, akkor előbb-utóbb pozitív kifejezések jelennek meg benne. És fordítva: a csökkenő progresszió feltételei előbb-utóbb negatívvá válnak.

Ugyanakkor korántsem mindig lehetséges ezt a pillanatot „a homlokon” megtalálni, egymás után válogatva az elemek között. A problémákat gyakran úgy tervezik meg, hogy a képletek ismerete nélkül a számítások több lapot is igénybe vennének - csak elaludnánk, amíg meg nem találjuk a választ. Ezért ezeket a problémákat igyekszünk gyorsabban megoldani.

4. számú feladat. Hány negatív tag egy számtani sorozatban -38,5; -35,8; …?

Megoldás. Tehát $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, amiből azonnal megtaláljuk a különbséget:

Vegye figyelembe, hogy a különbség pozitív, tehát a progresszió növekszik. Az első tag negatív, tehát valamikor valóban pozitív számokba botlunk. A kérdés csak az, hogy ez mikor fog megtörténni.

Próbáljuk meg kideríteni: meddig (vagyis hány $n$ természetes számig) őrzi meg a tagok negativitását:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Jobbra ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \jobbra. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Jobbra ((n)_(\max ))=15. \\ \end(igazítás)\]

Az utolsó sor pontosításra szorul. Tehát tudjuk, hogy $n \lt 15\frac(7)(27)$. Másrészt a számnak csak egész értékei felelnek meg nekünk (sőt: $n\in \mathbb(N)$), így a legnagyobb megengedett szám pontosan $n=15$, semmi esetre sem 16.

5. számú feladat. Aritmetikai haladásban $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Keresse meg ennek a progressziónak az első pozitív tagjának számát.

Ez pontosan ugyanaz a probléma lenne, mint az előző, de nem tudjuk, hogy $((a)_(1))$. De a szomszédos tagok ismertek: $((a)_(5))$ és $((a)_(6))$, így könnyen megtaláljuk a progresszió különbséget:

Ezenkívül próbáljuk meg kifejezni az ötödik tagot az első és a különbség szempontjából a standard képlet segítségével:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(igazítás)\]

Most az előző feladat analógiájával járunk el. Megtudjuk, hogy sorozatunk melyik pontján jelennek meg a pozitív számok:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Jobbra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(igazítás)\]

Ennek az egyenlőtlenségnek a minimális egész megoldása az 56.

Felhívjuk figyelmét, hogy az utolsó feladatban mindent szigorú egyenlőtlenségre redukáltunk, így a $n=55$ opció nem felel meg nekünk.

Most, hogy megtanultuk az egyszerű problémák megoldását, térjünk át a bonyolultabbakra. De először ismerjük meg az aritmetikai progresszió egy másik nagyon hasznos tulajdonságát, amivel sok időt és egyenlőtlen cellákat takaríthatunk meg a jövőben. :)

Számtani átlag és egyenlő behúzások

Tekintsük a $\left(((a)_(n)) \right)$ növekvő számtani progresszió több egymást követő tagját. Próbáljuk meg megjelölni őket egy számegyenesen:

A számegyenes számtani progressziótagjai

Külön megjegyeztem tetszőleges $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ tagokat, nem pedig $((a)_(1)),\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ stb. Mert a szabály, amit most elmondok, ugyanúgy működik minden "szegmensre".

És a szabály nagyon egyszerű. Emlékezzünk a rekurzív képletre, és írjuk le az összes megjelölt tagra:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(igazítás)\]

Ezeket az egyenlőségeket azonban másképpen is át lehet írni:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(igazítás)\]

Nos, akkor mi van? De az a tény, hogy a $((a)_(n-1))$ és $((a)_(n+1))$ kifejezések azonos távolságra vannak $((a)_(n))$-tól. És ez a távolság egyenlő: $d$. Ugyanez mondható el a $((a)_(n-2))$ és $((a)_(n+2))$ kifejezésekről is – a $((a)_(n))$-ból is ugyanilyen távolságban távolodnak el, mint $2d$. Folytathatod a végtelenségig, de a kép jól szemlélteti a jelentést

A progresszió tagjai azonos távolságra helyezkednek el a középponttól

Mit jelent ez számunkra? Ez azt jelenti, hogy megtalálhatja a $((a)_(n))$, ha a szomszédos számok ismertek:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Pompás állítást vontunk le: egy számtani sorozat minden tagja egyenlő a szomszédos tagok számtani átlagával! Sőt, a $((a)_(n))$-tól balra és jobbra nem egy, hanem $k$ lépéssel térhetünk el – és így is helyes lesz a képlet:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Azok. könnyen találhatunk néhány $((a)_(150))$, ha ismerjük a $((a)_(100))$ és $((a)_(200))$, mert $((a)_(150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ez a tény nem ad nekünk semmi hasznosat. A gyakorlatban azonban sok feladat kifejezetten a számtani átlag használatára van "kihegyezve". Nézd meg:

6. számú feladat. Keresse meg a $x$ összes értékét úgy, hogy a $-6((x)^(2))$, $x+1$ és $14+4((x)^(2))$ számok egy aritmetikai sorozat egymást követő tagjai (ebben a sorrendben).

Megoldás. Mivel ezek a számok egy progresszió tagjai, a számtani átlag feltétele teljesül rájuk: a $x+1$ központi elem a szomszédos elemekkel fejezhető ki:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(igazítás)\]

Klasszikusnak bizonyult másodfokú egyenlet. Gyökerei: $x=2$ és $x=-3$ a válaszok.

Válasz: -3; 2.

7. számú feladat. Keresse meg a $$ értékeit úgy, hogy a $-1;4-3;(()^(2))+1$ számok egy aritmetikai sorozatot képezzenek (ebben a sorrendben).

Megoldás. A középső tagot ismét a szomszédos tagok számtani középértékével fejezzük ki:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(igazítás)\]

Egy másik másodfokú egyenlet. És ismét két gyök: $x=6$ és $x=1$.

Válasz: 1; 6.

Ha egy probléma megoldása során brutális számokat kap, vagy nem teljesen biztos a talált válaszok helyességében, akkor van egy csodálatos trükk, amellyel ellenőrizheti: helyesen oldottuk meg a problémát?

Tegyük fel, hogy a 6. feladatban -3-as és 2-es választ kaptunk. Hogyan ellenőrizhetjük, hogy ezek a válaszok helyesek-e? Csak csatlakoztassuk őket az eredeti állapotba, és meglátjuk, mi történik. Hadd emlékeztesselek arra, hogy van három számunk ($-6(()^(2))$, $+1$ és $14+4(()^(2))$), amelyeknek számtani progressziót kell alkotniuk. $x=-3$ helyettesítő:

\[\begin(align) & x=-3\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(igazítás)\]

A -54-es számokat kaptuk; −2; Az 50, amely 52-vel különbözik, kétségtelenül egy aritmetikai progresszió. Ugyanez történik $x=2$ esetén is:

\[\begin(align) & x=2\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(igazítás)\]

Ismét egy progresszió, de 27-es különbséggel. Így a probléma helyesen megoldott. Aki szeretné, a második feladatot maga is leellenőrizheti, de rögtön leszögezem: ott is minden rendben van.

Általában az utolsó feladatok megoldása közben egy másikba botlottunk Érdekes tény, amit szintén emlékezni kell:

Ha három szám olyan, hogy a második az első és az utolsó átlaga, akkor ezek a számok egy aritmetikai sorozatot alkotnak.

A jövőben ennek az állításnak a megértése lehetővé teszi számunkra, hogy szó szerint "konstruáljunk" szükséges előrelépéseket a probléma körülményei alapján. Mielőtt azonban belevágnánk egy ilyen „konstrukcióba”, még egy tényre kell figyelnünk, amely közvetlenül következik a már megvizsgáltakból.

Az elemek csoportosítása és összegzése

Térjünk vissza ismét a számsorhoz. Megjegyezzük ott a progresszió több tagját, amelyek között talán. megér sok más tagot:

6 elem a számegyenesen jelölt

Próbáljuk meg kifejezni a "bal farkát" $((a)_(n))$ és $d$, a "jobb farok" pedig $((a)_(k))$ és $d$ kifejezésekkel. Nagyon egyszerű:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(igazítás)\]

Most vegye figyelembe, hogy a következő összegek egyenlőek:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d=S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d=S. \end(igazítás)\]

Egyszerűen fogalmazva, ha a progresszió két elemét tekintjük kezdetnek, amelyek összességében valamilyen $S$ számnak felelnek meg, majd ezektől az elemektől kezdünk el lépni ellentétes oldalak(egymás felé vagy fordítva az eltávolításhoz), majd azoknak az elemeknek az összegei is egyenlőek lesznek, amelyekbe belebotlunk$S$. Ezt grafikusan lehet legjobban ábrázolni:

Ugyanazok a behúzások egyenlő összegeket adnak

Megértés ezt a tényt lehetővé teszi számunkra, hogy alapvetően jobban megoldjuk a problémákat magas szint bonyolultabb, mint a fent tárgyaltak. Például ezek:

8. számú feladat. Határozzuk meg egy olyan aritmetikai sorozat különbségét, amelyben az első tag 66, a második és a tizenkettedik tag szorzata pedig a lehető legkisebb!

Megoldás. Írjunk le mindent, amit tudunk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(igazítás)\]

Tehát nem ismerjük a $d$ progresszió különbségét. Tulajdonképpen az egész megoldás a különbség köré épül fel, mivel a $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ szorzat a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(igazítás)\]

A tankban lévőknek: a közös 11-es tényezőt kivettem a második zárójelből. Így a kívánt szorzat egy másodfokú függvény a $d$ változóhoz képest. Ezért tekintsük a $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ függvényt - a grafikonja egy parabola lesz felfelé ágazva, mert ha kinyitjuk a zárójeleket, a következőket kapjuk:

\/

Mint látható, a legmagasabb tagú együttható 11 - ez egy pozitív szám, tehát valóban felfelé ágazó parabolával van dolgunk:

menetrend másodfokú függvény- parabola

Figyelem: ez a parabola minimális értékét a $((d)_(0))$ abszcissza csúcsánál veszi fel. Természetesen ezt az abscissa-t a standard séma szerint számolhatjuk (van egy $ ((d) _ (0)) = (-b)/(2a) \; $ képlet), de sokkal ésszerűbb lenne megjegyezni, hogy a kívánt csúcs a Parabola-egyenlet tengelyén fekszik, tehát a $ (d) _ (0) $) a $ (d) $ (0) $) a Symmetry of tengelyén található. ) = 0 $:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(igazítás)\]

Éppen ezért nem siettem a zárójelek kinyitásával: az eredeti formában a gyökereket nagyon-nagyon könnyű megtalálni. Ezért az abszcissza egyenlő a -66 és -6 számok számtani átlagával:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Mi adja a felfedezett számot? Ezzel elviszi a kívánt terméket legkisebb érték(Mellesleg nem számoltuk ki a $((y)_(\min ))$-t - ezt nem kötelező megtennünk). Ugyanakkor ez a szám a kezdeti progresszió különbsége, azaz. megtaláltuk a választ. :)

Válasz: -36

9. számú feladat. Szúrjon be három számot a $-\frac(1)(2)$ és $-\frac(1)(6)$ számok közé úgy, hogy a megadott számokkal együtt aritmetikai sorozatot alkossanak.

Megoldás. Valójában öt számból álló sorozatot kell készítenünk, az első és az utolsó szám már ismert. Jelölje a hiányzó számokat a $x$, $y$ és $z$ változókkal:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\)\]

Vegye figyelembe, hogy a $y$ szám a sorozatunk "közepe" - egyenlő távolságra van a $x$ és $z$ számoktól, valamint a $-\frac(1)(2)$ és $-\frac(1)(6)$ számoktól. És ha pillanatnyilag nem tudunk $y$-t kapni a $x$ és $z$ számokból, akkor a progresszió végeinél más a helyzet. Emlékezzen a számtani átlagra:

Most $y$ ismeretében megtaláljuk a fennmaradó számokat. Ne feledje, hogy az $x$ $-\frac(1)(2)$ és $y=-\frac(1)(3)$ között van. Ezért

Hasonlóan érvelve megtaláljuk a fennmaradó számot:

Kész! Mindhárom számot megtaláltuk. A válaszba írjuk le őket abban a sorrendben, ahogyan az eredeti számok közé kell beilleszteni őket.

Válasz: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

10. számú feladat. A 2 és 42 számok közé illesszen be több olyan számot, amelyek a megadott számokkal együtt számtani sorozatot alkotnak, ha ismert, hogy a beszúrt első, második és utolsó szám összege 56.

Megoldás. Egy még nehezebb feladat, amelyet azonban az előzőekhez hasonlóan - a számtani átlagon keresztül - oldanak meg. A probléma az, hogy nem tudjuk pontosan, hány számot kell beszúrni. Ezért a határozottság kedvéért feltételezzük, hogy a beszúrás után pontosan $n$ számok lesznek, és ezek közül az első 2, az utolsó pedig 42. Ebben az esetben a kívánt aritmetikai progresszió a következőképpen ábrázolható:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;((a)_(n-1));42 \jobbra\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Megjegyzendő azonban, hogy a $((a)_(2))$ és $((a)_(n-1))$ számokat a 2-es és 42-es számokból kapjuk, amelyek az éleken egy lépéssel egymás felé állnak, azaz. a sorozat közepére. Ez pedig azt jelenti

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

De akkor a fenti kifejezés így átírható:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(igazítás)\]

A $((a)_(3))$ és $((a)_(1))$ ismeretében könnyen megtalálhatjuk a progressziókülönbséget:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Jobbra d=5. \\ \end(igazítás)\]

Már csak a fennmaradó tagokat kell megtalálni:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(igazítás)\]

Így már a 9. lépésnél a sorozat bal végéhez érünk - a 42-es számhoz. Összesen csak 7 számot kellett beszúrni: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Válasz: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Szöveges feladatok előrehaladással

Befejezésül néhány viszonylag egyszerű problémát szeretnék megvizsgálni. Nos, mint egyszerűek: a legtöbb olyan diák számára, aki matematikát tanul az iskolában, és nem olvasta el a fent leírtakat, ezek a feladatok gesztusnak tűnhetnek. Ennek ellenére az OGE-ben és a USE matematikában pontosan ilyen feladatok találkoznak, ezért azt javaslom, hogy ismerkedjen meg velük.

11. számú feladat. A csapat januárban 62 alkatrészt gyártott le, minden következő hónapban pedig 14 alkatrészt gyártottak többet, mint az előzőben. Hány alkatrészt gyártott a brigád novemberben?

Megoldás. Nyilvánvaló, hogy az alkatrészek száma, havonta festve, egyre növekvő számtani sorozat lesz. És:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November az év 11. hónapja, ezért meg kell találnunk $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ezért novemberben 202 alkatrészt gyártanak le.

12. számú feladat. A könyvkötő műhely januárban 216 könyvet kötött be, és minden hónapban 4 könyvvel többet kötött be, mint az előző hónapban. Hány könyvet kötött be decemberben a műhely?

Megoldás. Minden a régi:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

December az év utolsó, 12. hónapja, ezért keresünk $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ez a válasz – decemberben 260 könyvet kötnek be.

Nos, ha idáig olvastad, sietve gratulálok: sikeresen teljesítetted a „fiatal harcos tanfolyamot” számtani sorozatokban. Nyugodtan mehetsz következő lecke, ahol tanulmányozzuk a progressziós összeg képletet, valamint annak fontos és nagyon hasznos következményeit.

Például a \(2\); \(5\); \(8\); \(tizenegy\); A \(14\)… egy aritmetikai sorozat, mert minden következő elem hárommal különbözik az előzőtől (három hozzáadásával kapható meg az előzőtől):

Ebben a progresszióban a \(d\) különbség pozitív (egyenlő \(3\)), ezért minden következő tag nagyobb, mint az előző. Az ilyen progressziókat ún növekvő.

Azonban \(d\) is lehet negatív szám. Például, aritmetikai sorozatban \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… a \(d\) progressziókülönbség mínusz hat.

És ebben az esetben minden következő elem kisebb lesz, mint az előző. Ezeket a progressziókat ún csökkenő.

Aritmetikai progressziós jelölés

A haladást kis latin betűvel jelöljük.

A progressziót alkotó számokat úgy nevezzük tagjai(vagy elemek).

Ugyanazzal a betűvel vannak jelölve, mint az aritmetikai progresszió, de numerikus indexük megegyezik az elemszámmal.

Például az \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aritmetikai sorozat a \(a_1=2\) elemekből áll; \(a_2=5\); \(a_3=8\) és így tovább.

Más szavakkal, a \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Feladatok megoldása aritmetikai sorozaton

Elvileg a fenti információk már elégségesek ahhoz, hogy szinte minden problémát megoldjunk egy aritmetikai lépésben (beleértve az OGE-nél felkínáltakat is).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a \(b_1=7; d=4\) feltételek adják meg. Keresse meg a \(b_5\).
Megoldás:

Válasz: \(b_5=23\)

Példa (OGE). Adott egy aritmetikai sorozat első három tagja: \(62; 49; 36…\) Határozza meg a folyamat első negatív tagjának értékét.
Megoldás:

	Megadjuk a sorozat első elemeit, és tudjuk, hogy ez egy aritmetikai sorozat. Vagyis minden elem ugyanazzal a számmal különbözik szomszédjától. Állapítsa meg, melyiket, ha kivonja az előzőt a következő elemből: \(d=49-62=-13\).
	Most visszaállíthatjuk a haladást a kívánt (első negatív) elemre.
	Kész. Választ írhatsz.

Válasz: \(-3\)

Példa (OGE). Egy aritmetikai sorozat több egymást követő eleme adott: \(...5; x; 10; 12,5...\) Határozza meg az \(x\) betűvel jelölt elem értékét!
Megoldás:

	Az \(x\) kereséséhez tudnunk kell, hogy a következő elem mennyiben tér el az előzőtől, más szóval a progresszió különbségétől. Keressük meg két ismert szomszédos elemből: \(d=12,5-10=2,5\).
	És most gond nélkül megtaláljuk, amit keresünk: \(x=5+2,5=7,5\).
	Kész. Választ írhatsz.

Válasz: \(7,5\).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a következő feltételek adják meg: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Határozza meg a folyamat első hat tagjának összegét.
Megoldás:

	Meg kell találnunk a progresszió első hat tagjának összegét. De nem ismerjük a jelentésüket, csak az első elemet kapjuk. Ezért először sorra számoljuk ki az értékeket a nekünk megadottak alapján: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) És miután kiszámoltuk a hat elemet, amire szükségünk van, megtaláljuk az összegüket.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	A kért összeget megtaláltuk.

Válasz: \(S_6=9\).

Példa (OGE). Aritmetikai progresszióban \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Keresse meg ennek a progressziónak a különbségét.
Megoldás:

Válasz: \(d=7\).

Fontos aritmetikai progressziós képletek

Amint látja, sok aritmetikai progressziós probléma megoldható egyszerűen a fő dolog megértésével - hogy az aritmetikai sorozat egy számok lánca, és a lánc minden következő elemét úgy kapjuk meg, hogy ugyanazt a számot hozzáadjuk az előzőhöz (a progresszió különbsége).

Néha azonban vannak olyan helyzetek, amikor nagyon kényelmetlen a "homlokon" megoldani. Képzeljük el például, hogy a legelső példában nem az ötödik \(b_5\) elemet kell megtalálnunk, hanem a háromszáznyolcvanhatodik \(b_(386)\). Mi az, \ (385 \)-szer hozzáadunk négyet? Vagy képzeld el, hogy az utolsó előtti példában meg kell találnod az első hetvenhárom elem összegét. A számolás zavaró...

Ezért ilyenkor nem „homlokon” oldanak meg, hanem speciális, számtani haladásra levezetett képleteket használnak. A főbbek pedig a progresszió n-edik tagjának képlete és az első tagok \(n\) összegének képlete.

A \(n\)-edik tag képlete: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ahol \(a_1\) a haladás első tagja;
\(n\) – a szükséges elem száma;
\(a_n\) a \(n\) számú progresszió tagja.

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy gyorsan megtaláljuk legalább a háromszázadik, sőt a milliomod elemet is, csak az első és a progressziókülönbség ismeretében.

Példa. Az aritmetikai progressziót a feltételek adják meg: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Keresse meg a \(b_(246)\).
Megoldás:

Válasz: \(b_(246)=1850\).

Az első n tag összegének képlete: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ahol

\(a_n\) az utolsó összegzett tag;

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a \(a_n=3,4n-0,6\) feltételek adják meg. Keresse meg ennek a progressziónak az első \(25\) tagjának összegét.
Megoldás:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Az első huszonöt elem összegének kiszámításához ismernünk kell az első és a huszonötödik tag értékét. Progressziónkat az n-edik tag képlete adja meg a számától függően (lásd a részleteket). Számítsuk ki az első elemet úgy, hogy \(n\)-t eggyel helyettesítjük.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Most keressük meg a huszonötödik tagot úgy, hogy \(n\) helyett huszonötöt helyettesítünk.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Nos, most gond nélkül kiszámoljuk a szükséges mennyiséget.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		A válasz kész.

Válasz: \(S_(25)=1090\).

Az első tagok \(n\) összegére egy másik képletet is kaphat: csak \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) helyett \(a_n\) helyettesíti a képletet \(a_n=a_1) \(a_n=a_1). Kapunk:

Az első n tag összegének képlete: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ahol

\(S_n\) – az első elemek szükséges összege \(n\);
\(a_1\) az első összeadandó tag;
\(d\) – progresszió különbség;
\(n\) - az összegben szereplő elemek száma.

Példa. Keresse meg az aritmetikai sorozat első \(33\)-ex tagjának összegét: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Megoldás:

Válasz: \(S_(33)=-231\).

Bonyolultabb aritmetikai progressziós feladatok

Mostantól minden olyan információ birtokában van, amelyre szüksége van szinte minden aritmetikai progressziós probléma megoldásához. Fejezzük be a témát azokkal a problémákkal, amelyekben nem csak képleteket kell alkalmazni, hanem egy kicsit gondolkodni is (matematikában ez hasznos lehet ☺)

Példa (OGE). Keresse meg a progresszió összes negatív tagjának összegét: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Megoldás:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		A feladat nagyon hasonló az előzőhöz. Ugyanígy kezdjük a megoldást: először megkeressük a \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Most behelyettesítjük a \(d\)-t az összeg képletébe... és itt felbukkan egy kis árnyalat – nem tudjuk, hogy \(n\). Más szóval, nem tudjuk, hány kifejezést kell hozzáadni. Hogyan lehet megtudni? Gondolkozzunk. Ha az első pozitív elemhez érünk, akkor abbahagyjuk az elemek hozzáadását. Vagyis meg kell találnia ennek az elemnek a számát. Hogyan? Írjuk fel a képletet egy aritmetikai sorozat bármely elemének kiszámításához: \(a_n=a_1+(n-1)d\) esetünkben.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Szükségünk van arra, hogy \(a_n\) nagyobb legyen nullánál. Nézzük meg, mi \(n\) fog történni.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Mínusz egyet áthelyezünk, nem felejtve el táblát váltani
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Számítás...
\(n>65 333…\)		…és kiderül, hogy az első pozitív elem \(66\) lesz. Ennek megfelelően az utolsó negatív értéke \(n=65\). Minden esetre nézzük meg.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Így hozzá kell adnunk az első \(65\) elemeket.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		A válasz kész.

Válasz: \(S_(65)=-630,5\).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a feltételek adják meg: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Keresse meg a \(26\)-edik és \(42\) elem közötti összeget.
Megoldás:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Ebben a feladatban is meg kell találni az elemek összegét, de nem az elsőtől, hanem a \(26\)-ediktől kezdve. Erre nincs képletünk. Hogyan döntsünk? Egyszerű - a \(26\)-edik és a \(42\)-edik összeg eléréséhez először meg kell találni az \(1\)-edik és a \(42\)-edik összeget, majd ki kell vonni belőle az elsőtől a \(25\)-edikig terjedő összeget (lásd a képet).
	A \(a_1=-33\) progressziónkhoz és a \(d=4\) különbséghez (végül is négyet adunk az előző elemhez, hogy megtaláljuk a következőt). Ennek ismeretében megtaláljuk az első \(42\)-uh elemek összegét.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Most az első \(25\)-edik elem összege.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	És végül kiszámítjuk a választ.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Válasz: \(S=1683\).

Az aritmetikai progresszióhoz számos további képlet van, amelyeket ebben a cikkben nem vettünk figyelembe, mivel alacsony gyakorlati hasznosságuk. Azonban könnyen megtalálhatja őket.

Utasítás

Az aritmetikai sorozat az a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d formájú sorozat. d számú lépés progressziók.Nyilvánvalóan az aritmetika tetszőleges n-edik tagjának összege progressziók alakja: An = A1+(n-1)d. Aztán ismerve az egyik tagot progressziók, tag progressziókés lépj progressziók, lehet , azaz a progressziós tag száma. Nyilvánvalóan az n = (An-A1+d)/d képlet határozza meg.

Legyen most ismert az m-edik tag progressziókés néhány másik tagja progressziók- n-edik, de n , mint az előző esetben, de ismert, hogy n és m nem egyezik. progressziók képlettel számítható ki: d = (An-Am)/(n-m). Ekkor n = (An-Am+md)/d.

Ha egy aritmetika több elemének összege progressziók, valamint az első és az utolsó , akkor ezeknek az elemeknek a száma is meghatározható Az aritmetika összege progressziók egyenlő lesz: S = ((A1+An)/2)n. Ekkor n = 2S/(A1+An) chdenov progressziók. Felhasználva azt a tényt, hogy An = A1+(n-1)d, ez a képlet átírható így: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Ebből ki lehet fejezni n-t egy másodfokú egyenlet megoldásával.

A számtani sorozat olyan rendezett számhalmaz, amelynek minden tagja az első kivételével ugyanannyival különbözik az előzőtől. Ezt az állandót a haladás vagy lépése különbségének nevezzük, és az aritmetikai progresszió ismert tagjaiból számítható ki.

Utasítás

Ha az első és a második vagy bármely más szomszédos tag pár értéke ismert a feladat feltételeiből, a különbség kiszámításához (d) egyszerűen vonja ki az előző tagot a következő tagból. A kapott érték lehet pozitív vagy negatív – ez attól függ, hogy a progresszió növekszik-e. Általános formában írja fel a megoldást a haladás szomszédos tagjainak tetszőleges párjára (aᵢ és aᵢ₊₁) a következőképpen: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Egy ilyen haladás tagpárjára, amelyek közül az egyik az első (a1), a másik pedig bármely más, tetszőlegesen kiválasztott, egy képletet is készíthetünk a (d) különbség megállapítására. Ebben az esetben azonban ismerni kell a sorozat egy tetszőlegesen kiválasztott tagjának sorszámát (i). A különbség kiszámításához adja össze mindkét számot, és az eredményt ossza el egy tetszőleges tag eggyel csökkentett sorszámával. BAN BEN Általános nézetírja fel ezt a képletet így: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ha az aritmetikai sorozat i sorszámú tetszőleges tagja mellett egy másik u sorszámú tag is ismert, akkor ennek megfelelően változtassa meg az előző lépés képletét. Ebben az esetben a progresszió különbsége (d) ennek a két tagnak az összege lesz osztva a sorszámuk különbségével: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

A (d) különbség kiszámításának képlete némileg bonyolultabbá válik, ha az első tagjának (a₁) értékét és az összeget (Sᵢ) megadjuk a feladat feltételei között. adott szám(i) az aritmetikai sorozat első tagjai. A kívánt érték eléréséhez el kell osztani az összeget az azt alkotó tagok számával, kivonni a sorozat első számának értékét, és megduplázni az eredményt. A kapott értéket osszuk el az eggyel csökkentett összeget alkotó tagok számával. Általában írja le a diszkrimináns kiszámításának képletét a következőképpen: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

A numerikus sorozat fogalma azt jelenti, hogy minden természetes szám valamilyen valós értéknek felel meg. Egy ilyen számsorozat lehet tetszőleges, és rendelkezhet bizonyos tulajdonságokkal - progresszióval. Ez utóbbi esetben a sorozat minden következő eleme (tagja) kiszámítható az előzővel.

Az aritmetikai progresszió olyan számértékek sorozata, amelyben a szomszédos tagjai azonos számmal különböznek egymástól (a sorozat minden eleme, a 2.-tól kezdve, hasonló tulajdonsággal rendelkezik). Ez a szám – az előző és a következő tag közötti különbség – állandó, és progressziós különbségnek nevezzük.

Progressziós különbség: definíció

Tekintsünk egy j értékekből álló sorozatot A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j a halmazhoz tartozik természetes számok N. Az aritmetikai sorozat definíciója szerint olyan sorozat, amelyben a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. A d értéke ennek a progressziónak a kívánt különbsége.

d = a(j)-a(j-1).

Kioszt:

• Növekvő progresszió, ebben az esetben d > 0. Példa: 4, 8, 12, 16, 20, …
• csökkenő progresszió, majd d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

A progresszió különbsége és tetszőleges elemei

Ha a progresszió 2 tetszőleges tagja (i-edik, k-edik) ismert, akkor ennek a sorozatnak a különbsége az összefüggés alapján megállapítható:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, tehát d = (a(i) - a(k))/(i-k).

A progressziókülönbség és annak első tagja

Ez a kifejezés csak abban az esetben segít meghatározni az ismeretlen értéket, ha a sorozatelem száma ismert.

Progressziós különbség és összege

A progresszió összege a tagok összege. Az első j elem összértékének kiszámításához használja a megfelelő képletet:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, de mivel a(j) = a(1) + d(j – 1), akkor S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=((2a(1) + d(– 1))/2)*j.