Ahhoz, hogy a számokat egyik számrendszerből a másikba lefordíthassuk, alapismeretek szükségesek a számrendszerekről és a számok ábrázolási formáiról.
Mennyiség s A számrendszerben használt különféle számjegyeket a számrendszer alapjának vagy alapjának nevezzük. Általában pozitív szám x pozíciórendszerben alappal s polinomként ábrázolható:
Ahol s- a számrendszer alapja, - ebben a számrendszerben megengedett számjegyek. A sorozat egy egész részt alkot x, és a sorozat a tört rész x.
BAN BEN Számítástechnika A bináris (BIN - bináris) és a bináris kódolású számrendszerek találták a legnagyobb felhasználást: oktális (OCT - oktális), hexadecimális (HEX - hexadecimális) és binárisan kódolt decimális (BCD - bináris kódolású decimális).
A következőkben az alkalmazott számrendszer jelzésére a szám zárójelbe kerül, az indexben pedig a rendszer alapja kerül feltüntetésre. Szám xésszel s meg lesz jelölve.
Bináris számrendszer
A számrendszer alapja a 2 ( s= 2) és csak két számjegyet használunk a számok írásához: 0 és 1. Egy bináris szám bármely bitjének ábrázolásához elegendő egy fizikai elem két egyértelműen eltérő stabil állapotú, amelyek közül az egyik 1-et, a másik 0-t jelent.
Mielőtt bármilyen számrendszerről binárisra fordítaná, alaposan tanulmányoznia kell a szám bináris számrendszerben történő írásának példáját:
Ha nem kell elmélyednie az elméletben, hanem csak az eredményt kell elérnie, akkor használja Online számológép Egész számok konvertálása decimálisról más rendszerre .
Oktális és hexadecimális számrendszerek
Ezek a számrendszerek bináris kódolásúak, amelyekben a számrendszer alapja kettő egész hatványa: - oktális és - hexadecimális.
Az oktális számrendszerben ( s= 8) 8 számjegyet használunk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Mielőtt bármilyen számrendszerről oktálisra fordítana, alaposan tanulmányoznia kell a szám oktális nyelvű írásának példáját:
Hexadecimális számrendszerben ( s= 16) 16 számjegyet használunk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Példa egy szám írására hexadecimális rendszerben:
Az oktális és hexadecimális számrendszer elterjedtsége két tényezőnek köszönhető.
Először is, ezek a rendszerek lehetővé teszik egy bináris szám jelölésének egy kompaktabb ábrázolással való helyettesítését (egy szám jelölése oktális és hexadecimális rendszerben 3-szor, illetve 4-szer rövidebb lesz, mint ennek a számnak a bináris jelölése). Másodszor, a számok kölcsönös átalakítása egyrészt a bináris rendszer, másrészt az oktális és hexadecimális rendszer között viszonylag egyszerű. Valójában, mivel egy oktális szám esetében minden számjegyet három bináris számjegyből álló csoport (triád), hexadecimális szám esetén pedig négy bináris számjegyből (tetradokból) álló csoport képviseli, akkor egy bináris szám konvertálásához elegendő a számjegyeit 3 vagy 4 számjegyű csoportokba kombinálni, az elválasztó jobbról és a balról vesszőbe lépve. Ebben az esetben, ha szükséges, nullákat adunk az egész rész bal oldalán és/vagy a tört rész jobb oldalán, és minden ilyen csoportot - egy triádot vagy egy tetradot - egy egyenértékű oktális vagy hexadecimális számjegyre cserélnek (lásd a táblázatot).
Ha nem kell elmélyednie az elméletben, hanem csak az eredményt kell elérnie, akkor használja Online számológép Egész számok konvertálása decimálisról más rendszerre .
A számjegyek megfeleltetése különböző számrendszerekben| DECEMBER | KUKA | OKTÓBER | HEX | BCD |
| 0 | 0000 | 0 | 0 | 0000 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 | 0001 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 | 0010 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 | 0011 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 | 0100 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 | 0101 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 | 0110 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 | 0111 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 | 1000 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 | 1001 |
| 10 | 1010 | 12 | A | 0001 0000 |
| 11 | 1011 | 13 | B | 0001 0001 |
| 12 | 1100 | 14 | C | 0001 0010 |
| 13 | 1101 | 15 | D | 0001 0011 |
| 14 | 1110 | 16 | E | 0001 0100 |
| 15 | 1111 | 17 | F | 0001 0101 |
Fordított fordításnál minden OCT vagy HEX számjegyet bináris számjegyekből álló triád vagy tetrad helyettesít, a bal és jobb oldali jelentéktelen nullákat figyelmen kívül hagyva.
Az előző példáknál ez így néz ki:
Ha nem kell elmélyednie az elméletben, hanem csak az eredményt kell elérnie, akkor használja Online számológép Egész számok konvertálása decimálisról más rendszerre .
Bináris decimális számrendszer
A BCD-ben minden számjegy súlya 10 hatványa, mint a decimálisban, és minden decimális számjegy négy bináris számjeggyel van kódolva. A rekord kedvéért decimális szám a BCD rendszerben elegendő minden decimális számjegyet egy megfelelő négyjegyű bináris kombinációval helyettesíteni:
Bármely decimális szám ábrázolható binárisan kódolt decimális jelöléssel, de ne feledje, hogy ez nem egy szám bináris megfelelője. Ez látható a következő példából:
Számok átalakítása egyik számrendszerből a másikba
Hadd x- egy szám egy bázissal rendelkező számrendszerben s, amelyet a rendszerben az alappal kell ábrázolni h. Kényelmes különbséget tenni két eset között.
Az első esetben, és ennek következtében a bázisra való áthaladáskor h használhatja ennek a rendszernek az aritmetikáját. A transzformációs módszer abból áll, hogy a számot hatványokban polinomként ábrázoljuk s, valamint ennek a polinomnak a számításánál a bázisos számrendszer aritmetikai szabályai szerint h. Így például kényelmes a kettes vagy oktális számrendszerről a decimális számrendszerre váltani. A leírt technikát a következő példák illusztrálják:
.
.
Az aritmetikai műveletek mindkét esetben a 10-es számrendszer szabályai szerint történnek.
A második esetben () kényelmesebb az alaparitmetika használata s. Itt figyelembe kell venni, hogy az egész számok és a megfelelő törtek fordítása a szerint történik különböző szabályokat. Átadáskor vegyes frakciók az egész és a tört részek mindegyikét a saját szabályai szerint fordítjuk le, majd a kapott számokat vesszővel elválasztva írjuk le.
Egész számok fordítása
Az egész számok fordításának szabályai a szám tetszőleges helyzetrendszerben történő felírásának általános képletéből válnak egyértelművé. Legyen a szám az eredeti számrendszerben súgy néz ki, mint a . Egy szám rekordját kell megszerezni egy számrendszerben, amelynek alapja h:
.
Az értékek meghatározásához ezt a polinomot elosztjuk vele h:
.
Mint látható, a legkisebb jelentőségű számjegy, azaz egyenlő az első maradékkal. A következő jelentős számjegyet a hányados elosztásával határozzuk meg h:
.
A többit is úgy számítjuk ki, hogy a hányadosokat addig osztjuk, amíg nulla lesz.
Ahhoz, hogy egy egész számot az s-számrendszerből h-árussá alakítsunk, ezt a számot és a kapott hányadosokat egymás után el kell osztani h-val (a h bázisú számrendszer szabályai szerint), amíg a hányados nullává nem válik. A h bázisú szám rekordjának legmagasabb számjegye az utolsó maradék, az ezt követő számjegyek pedig az előző osztások maradékait alkotják, a beérkezésük fordított sorrendjében kiírva.
16-tól vagy 8-tól 2-ig
| Fordítás nyolcasÉs hexadecimális számok a bináris rendszerbe nagyon egyszerű: elég minden számjegyet a megfelelő binárisra cserélni triász(három számjegy) ill tetrad(négy számjegy) (lásd a táblázatot). | |||||||
| Bináris (2. alap) | Oktális (8. alap) | Tizedes (10-es) | Hexadecimális (16-os alap) | ||||
| triádok | tetradák | ||||||
| 0 1 | 0 1 2 3 4 5 6 7 | 000 001 010 011 100 101 110 111 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F | 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 |
Például:
a) Fordítsa le a 305.4 8 "2" s.s.
b) Fordítsa le a 7B2.E 16 "2" s.s.
16A 16 = 1 0110 1010 2 345 8 = 11 100 101 2
2-től 16-ig vagy 8-ig
Például:
a) Fordítás 1101111001.1101 2 "8" s.s.
b) Fordítás 11111111011.100111 2 "16" s.s.
1000101010010101 2 =1000 1010 1001 0101=8A95 16 = 1000 101 010 010 101=105225 8
16-tól 8-ig és vissza
Az oktálisról a hexadecimálisra és fordítva a bináris rendszeren keresztül történik a fordítás triádok és tetradok segítségével.
Például:
Fordítás 175,24 8 "16" s.s.
Eredmény: 175,24 8 = 7D,5 16 .
10-től bármely s.s.
Például:
a) Fordítsa le a 181 10 "8" s.s.
Eredmény: 181 10 = 265 8
b) Fordítsa le a 622 10 "16" s.s.
Eredmény: 622 10 = 26E 16
Helyes törtek fordítása
A helyes tizedes tört másik rendszerré alakításához ezt a törtet egymás után meg kell szorozni annak a rendszernek a bázisával, amelyre konvertálják. Ebben az esetben csak töredékrészek szorozódnak. Frakció be új rendszer egész műrészek formájában van megírva, az elsőtől kezdve.
Például:
Konvertálás 0,3125 10 "8" s.s.
Eredmény: 0,3125 10 = 0,24 8
Megjegyzés. Egy másik számrendszerben lévő véges tizedes tört egy végtelen (néha periodikus) törtnek felelhet meg. Ebben az esetben az új rendszerben a tört ábrázolásában szereplő karakterek számát a szükséges pontosság függvényében veszik.
Például:
Fordítás 0,65 10 "2" s.s. Pontosság 6 karakter.
Eredmény: 0,65 10 0,10(1001) 2
Helytelen tizedes tört átalakítása nem tizedes alapú számrendszerré külön kell lefordítani az egész részt és külön a töredéket.
Például:
Fordítás 23.125 10 "2" s.s.
Így: 23 10 = 10111 2 ; 0,12510 = 0,0012.
Eredmény: 23.125 10 = 10111.001 2 .
Meg kell jegyezni, hogy az egész számok egész számok maradnak, a megfelelő törtek pedig törtek maradnak bármilyen számrendszerben.
2-től, 8-tól vagy 16-tól 10-ig
Például:
a)10101101.101 2 = 1 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 5 17.
b) Fordítsa le a 703.04 8 "10" s.s.
703.04 8 = 7 8 2 + 0 8 1 + 3 8 0 + 0 8 -1 + 4 8 -2 = 451.0625 10
c) Fordítsa le a B2E.4 16 "10" s.s.
B2E.4 16 = 11 16 2 + 2 16 1 + 14 16 0 + 4 16 -1 = 2862,25 10
A számok egyik számrendszerből a másikba való konvertálási sémája
Aritmetikai műveletek helyszámrendszerekben
Tekintsük az alapvető számtani műveleteket: összeadás, kivonás, szorzás és osztás. Ezeknek a műveleteknek a decimális rendszerben történő végrehajtásának szabályai jól ismertek - ez az összeadás, kivonás, szorzás egy oszloppal és osztás szöggel. Ezek a szabályok az összes többi helyszámrendszerre vonatkoznak. Csak összeadási és szorzási táblázatokat szabad használni minden rendszerhez.
Kiegészítés
Összeadáskor a számok számjegyekkel összegződnek, és ha többlet lép fel, akkor balra kerül
Ha bináris számokat ad hozzá minden egyes számjegyhez, akkor a kifejezések számjegyei és a szomszédos alacsonyabb rendű számjegyből való átvitel, ha van ilyen, összeadódnak. Figyelembe kell venni, hogy az 1 + 1 egy nullát ad egy adott bitben, és egy egységnyi átvitelt a következőre.
Például:
Hajtsa végre a bináris összeadást:
a) X=1101, Y=101;
Eredmény 1101+101=10010.
b) X=1101, Y=101, Z=111;
Eredmény 1101+101+111=11001.
Összeadási táblázat a 8. számrendszerben
| 2+2=4 | 3+2=5 | 4+2=6 | 5+2=7 | 6+2=10 | 7+2=11 |
| 2+3=5 | 3+3=6 | 4+3=7 | 5+3=10 | 6+3=11 | 7+3=12 |
| 2+4=6 | 3+4=7 | 4+4=10 | 5+4=11 | 6+4=12 | 7+4=13 |
| 2+5=7 | 3+5=10 | 4+5=11 | 5+5=12 | 6+5=13 | 7+5=14 |
| 2+6=10 | 3+6=11 | 4+6=12 | 5+6=13 | 6+6=14 | 7+6=15 |
| 2+7=11 | 3+7=12 | 4+7=13 | 5+7=14 | 6+7=15 | 7+7=16 |
Összeadási táblázat a 16-os számrendszerben
| + | A | B | C | D | E | F | ||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | A | B | C | D | E | F | ||||||||||
| B | B | C | D | E | F | 1A | ||||||||||
| C | C | D | E | F | 1A | 1B | ||||||||||
| D | D | E | F | 1A | 1B | 1C | ||||||||||
| E | E | F | 1A | 1B | 1C | 1D | ||||||||||
| F | F | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E |
A számológép lehetővé teszi egész és tört számok konvertálását egyik számrendszerből a másikba. A számrendszer alapja nem lehet kevesebb 2-nél és több 36-nál (végül is 10 számjegy és 26 latin betű). A számok nem haladhatják meg a 30 karaktert. Bemenetre törtszámok szimbólum használata. vagy, . Egy szám egyik rendszerből a másikba való konvertálásához írja be az eredeti számot az első mezőbe, az eredeti számrendszer alapját a másodikba, és annak a számrendszernek a bázisát, amelyre a számot konvertálni szeretné, majd kattintson a „Bejegyzés” gombra.
eredeti szám rögzítve -adik számrendszer.
Egy szám rekordját szeretném bevinni 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -adik számrendszer.
Kap egy bejegyzést
Elkészült fordítások: 3336969
Ez is érdekes lehet:
- Igazságtáblázat-kalkulátor. SDNF. SKNF. Zhegalkin polinom
Számrendszerek
A számrendszerek két típusra oszthatók: helyzetiÉs nem pozicionális. Mi az arab rendszert használjuk, ez pozicionális, és van a római is - csak nem pozicionális. A helymeghatározó rendszerekben egy számjegy helye egy számban egyértelműen meghatározza a szám értékét. Ez könnyen megérthető, ha megnézzük néhány szám példáját.
1. példa. Vegyük az 5921-es számot a decimális számrendszerben. A számot jobbról balra nullától kezdve számozzuk:
Az 5921-es szám a következő formában írható fel: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . A 10-es szám a számrendszert meghatározó jellemző. Az adott szám pozíciójának értékeit foknak vesszük.
2. példa. Tekintsük az 1234.567 valós decimális számot. Számozzuk a szám nulla helyétől kezdve a tizedesvesszőtől balra és jobbra:
Az 1234.567 szám a következőképpen írható fel: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 +6 10 -2 +6 1 .
Számok átalakítása egyik számrendszerből a másikba
A legtöbb egyszerű módon egy szám egyik számrendszerből a másikba való átvitele a szám először a decimális számrendszerbe történő fordítása, majd a kapott eredmény a szükséges számrendszerbe.
Számok konvertálása tetszőleges számrendszerből decimális számrendszerbe
Ahhoz, hogy egy számot bármilyen számrendszerből decimálissá alakítsunk, elegendő a számjegyeit az 1. vagy 2. példához hasonlóan nullától (a tizedesvesszőtől balra eső számjegytől) kezdve számozni. Keressük meg a szám számjegyeinek szorzatának összegét a számrendszer alapján, ennek a számjegynek a pozíciójának hatványára:
1.
Alakítsa át a 1001101.1101 2 számot decimális számrendszerré.
Megoldás: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 -4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19.
Válasz: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Alakítsa át az E8F.2D 16 számot decimális számrendszerré.
Megoldás: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Válasz: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Számok átalakítása decimális számrendszerből másik számrendszerbe
A számok tizedes számrendszerből másik számrendszerbe való konvertálásához a szám egész és tört részét külön kell lefordítani.
Egy szám egész részének átalakítása decimális számrendszerből másik számrendszerbe
Az egész részt a decimális számrendszerből egy másik számrendszerbe fordítjuk úgy, hogy a szám egész részét egymás után elosztjuk a számrendszer alapjával, amíg egy egész maradékot nem kapunk, amely kisebb, mint a számrendszer alapja. Az átvitel eredménye rekord lesz a maradványokból, az utolsótól kezdve.
3.
A 273 10 szám átalakítása oktális számrendszerré.
Megoldás: 273 / 8 = 34 és a maradék 1, 34 / 8 = 4 és a maradék 2, 4 kisebb, mint 8, így a számítás kész. A maradványok rekordja így fog kinézni: 421
Vizsgálat: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , az eredmény ugyanaz. Tehát a fordítás helyes.
Válasz: 273 10 = 421 8
Tekintsük a helyes tizedes törtek különböző számrendszerekbe fordítását.
Egy szám tört részének átalakítása decimális számrendszerből másik számrendszerbe
Emlékezzen a helyesre decimális hívott valós szám nullával egész rész . Ahhoz, hogy egy ilyen számot N-es számrendszerré lefordíthasson, következetesen meg kell szoroznia a számot N-vel, amíg a tört részt nullázza, vagy el nem éri a szükséges számú számjegyet. Ha a szorzás során olyan számot kapunk, amelynek egész része nem nulla, akkor az egész részt a továbbiakban nem vesszük figyelembe, mivel az szekvenciálisan kerül be az eredménybe.
4.
Konvertálja a 0,125 10 számot bináris számrendszerré.
Megoldás: 0,125 2 = 0,25 (0 az egész rész, ami az eredmény első számjegye lesz), 0,25 2 = 0,5 (0 az eredmény második számjegye), 0,5 2 = 1,0 (1 az eredmény harmadik számjegye, és mivel a tört rész nulla, az átvitel kész).
Válasz: 0.125 10 = 0.001 2
Fontolja meg a számok egyik számrendszerből a másikba történő fordításának módjait.
a) Bináris szám átalakítása decimálissá.
Kettős hatványokat kell hozzáadni azoknak a pozícióknak megfelelően, ahol az egyesek binárisan vannak. Például:
Vegyük a 20-as számot. Binárisan így néz ki: 10100.
Tehát (balról jobbra számolva, 4-től 0-ig számolva; a nulla hatványához tartozó szám mindig egyenlő eggyel)
10100 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 = 20
16+0+4+0+0 = 20.
b) Tizedes szám átalakítása binárissá.
El kell osztani kettővel, a maradékot jobbról balra írva:
20/2 = 10, maradék 0
10/2=5, maradék 0
5/2=2, maradék 1
2/2=1, maradék 0
1/2=0, maradék 1
Ennek eredményeként a következőt kapjuk: 10100 = 20
c) Hexadecimális szám átalakítása decimálissá.
A hexadecimális rendszerben a számjegy pozíciószáma a számban megfelel annak a hatványnak, amelyre a 16-os számot fel kell emelni:
8A=8*16+10(0A)=138
Végül bemutatunk egy L. Radyuk által javasolt algoritmust a bináris rendszerből való konvertáláshoz.
Legyen A(cd) egy egész decimális szám. A 2. bázis hatványainak összegeként írjuk fel bináris együtthatókkal. Az ő rekord bővített formában hiányzik negatív fokok alapok (2-es számok):
A(cd) = a(n-1) * 2^(n-1) + a(n-2) * 2^(n-2) + ... + a(1) * 2^1 + a(0) * 2^0.
Első lépésben az A (tsd) számot elosztjuk a kettes rendszer alapjával, azaz 2-vel. Az osztás hányadosa egyenlő lesz:
a(n-1) * 2^(n-2) + a(n-2) * 2^(n-3) + ... + a(1) és a maradék a(0).
A második lépésben az egész hányadost ismét elosztjuk 2-vel, az osztás maradéka ekkor egyenlő lesz a (1).
Ha ezt az osztási folyamatot folytatjuk, akkor az n-edik lépés után egy maradék sorozatot kapunk:
a(0), a(1),…, a(n-1).
Könnyen belátható, hogy sorrendjük egybeesik egy hajtogatott formában írt bináris egész szám fordított sorrendjével:
A(2) = a(n-1)…a(1)a(0).
Így elég a maradékokat fordított sorrendben felírni, hogy megkapjuk a kívánt bináris számot.
Ekkor maga az algoritmus a következő lesz:
1. Következetesen hajtsa végre az eredeti egész decimális szám és a kapott egész hányadosok osztását a rendszer alapjával (2-vel), amíg olyan hányadost nem kapunk, amely kisebb, mint az osztó, azaz kisebb, mint 2.
2. Írja fel a kapott egyenlegeket fordított sorrendben, és adja hozzá a bal oldali utolsó hányadost.
A számok oktálisról és hexadecimálisról binárisra konvertálásához a számjegyeket bináris számjegyek csoportjaira kell konvertálnia. Az oktális rendszerből kettes számjegyűvé való konvertáláshoz a szám minden számjegyét három bináris számjegyből álló csoporttá kell alakítani triáddal, ha pedig hexadecimális számot négyjegyű csoporttá alakítunk, tetraddá.
KÖVETKEZTETÉS
A munka eredményeit összegezve a következő következtetések vonhatók le.
A helyzetszámrendszer korlátozott számú számjegy használatából áll, de az egyes számjegyek pozíciója a számban adja meg ennek a számjegynek a jelentőségét (súlyát). A számjegy helye a számban matematikai nyelv rangnak nevezik.
A helyzetszámrendszer alapja az adott rendszerben a számok megjelenítésére használt különböző karakterek vagy szimbólumok (számjegyek) száma.
Annak érdekében, hogy a meglehetősen jelentős hosszúságban eltérő bináris számok könnyebben érzékelhetők és megjeleníthetők legyenek, oktális és hexadecimális számrendszerekbe tömörítik őket.
BAN BEN számítógépes technológia minden információtípust csak számok kódolnak, pontosabban olyan számok, amelyek a bináris rendszerben vannak ábrázolva, tetszőleges számok két karakterrel (számmal) történő ábrázolásának módja a pozícióelv szerint.
A sikeres vizsga és nem csak...
Furcsa, hogy az iskolákban a számítástechnika órákon általában megmutatják a diákoknak a legbonyolultabb és legkényelmetlenebb módszert a számok egyik rendszerről a másikra való átfordítására. Ez a módszer abból áll, hogy az eredeti számot szekvenciálisan elosztjuk az alappal, és az osztás maradékát fordított sorrendben összegyűjtjük.
Például a 810 10 számot bináris rendszerré kell konvertálnia:
Az eredményt fordított sorrendben alulról felfelé írjuk. Kiderül, hogy 81010 = 11001010102
Ha bináris rendszerré kell konvertálnia, akkor elég nagy számok, akkor az osztólépcső egy többszintes épület méretét ölti fel. És hogyan lehet összegyűjteni az összes nullát, és egyetlen egyet sem hagyni ki?
A számítástechnikai USE program számos olyan feladatot tartalmaz, amelyek a számok egyik rendszerről a másikra történő fordításával kapcsolatosak. Általában ez egy 8 és 16 tagú rendszerek és bináris konverzió. Ezek az A1, B11 szakaszok. De más számrendszerekkel is vannak problémák, például a B7-es szakaszban.
Kezdésként idézzünk fel két táblázatot, amit jó lenne fejből tudni azoknak, akik az informatikát választják leendő szakmájuknak.
A 2. szám hatványtáblázata:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Könnyen megkapható az előző szám 2-vel való megszorzásával. Tehát, ha nem emlékszik mindezekre a számokra, nem nehéz a többit is az eszébe jutni azokból, amelyekre emlékszik.
0 és 15 közötti bináris számok táblázata hexadecimális ábrázolással:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
A hiányzó értékek is könnyen kiszámíthatók, ha az ismert értékekhez hozzáadunk 1-et.
Egész számok fordítása
Tehát kezdjük közvetlenül a bináris rendszerre való konvertálással. Vegyük ugyanazt a 810 10 számot. Ezt a számot kettő hatványaival egyenlő tagokra kell bontanunk.
- A 810-hez legközelebbi kettős hatványt keressük, nem lépve túl. Ez 29 = 512.
- 810-ből kivonva 512-t, 298-at kapunk.
- Ismételje meg az 1. és 2. lépést, amíg 1 vagy 0 marad.
- Így kaptuk: 810 \u003d 512 + 256 + 32 + 8 + 2 \u003d 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.
1. módszer: Rendezd az 1-et azon számjegyek szerint, amelyeknek a kifejezések mutatói kiderültek. Példánkban ezek 9, 8, 5, 3 és 1. A többi hely nulla lesz. Tehát megkaptuk a 810 10 = 1100101010 2 szám bináris reprezentációját. Az egységek a 9., 8., 5., 3. és 1. helyen vannak, nullától jobbról balra számolva.
2. módszer: Írjuk a kifejezéseket kettő hatványaként egymás alá, a legnagyobbkal kezdve.
810 =
És most rakjuk össze ezeket a lépéseket, mint egy ventilátort összehajtva: 1100101010.
Ez minden. Útközben egyszerűen megoldódik a „hány egység van a 810-es szám bináris ábrázolásában?” probléma is.
A válasz annyi, ahány kifejezés (kettő hatványa) van ebben az ábrázolásban. A 810-ben 5 van.
Most a példa egyszerűbb.
Fordítsuk le a 63-as számot 5-ös számrendszerbe. Az 5 és 63 közötti legközelebbi hatvány 25 (5-ös négyzet). A kocka (125) már sok lesz. Vagyis a 63 az 5-ös négyzete és a kocka között van. Ezután kiválasztjuk az 5 2 együtthatót. Ez a 2.
63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 kapjuk.
És végül, nagyon egyszerű fordítások 8 és 16 tizedes rendszer között. Mivel alapjuk kettő hatványa, a fordítás automatikusan megtörténik, egyszerűen a számjegyek bináris reprezentációjukkal való helyettesítésével. Az oktális rendszerben minden számjegyet három bináris számjegy helyettesít, a hexadecimális rendszerben pedig négyet. Ebben az esetben az összes kezdő nullát meg kell adni, kivéve a legjelentősebb számjegyet.
Fordítsuk le az 547 8 számot bináris rendszerre.
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Még egy, például 7D6A 16.
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | A |
Fordítsuk le a 7368-as számot hexadecimális rendszerre. Először írjuk fel a számokat hármasra, majd a végétől osszuk négyre: 736 8 \u003d 111 011 110 \u003d 1 1101 1110 \u003d 1DE. Alakítsuk át a C25 16 számot 8-as rendszerré. Először négyesre írjuk a számokat, majd a végétől hármasra osztjuk: C25 16 \u003d 1100 0010 0101 \u003d 110 000 100 101 \u003d 6045 8. Most fontolja meg a decimálisra való visszakonvertálást. Nem nehéz, a lényeg az, hogy ne kövess el hibákat a számításokban. A számot polinomra bontjuk alapfokokkal és együtthatókkal. Utána szorozunk és mindent összeadunk. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 \u003d 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 \u003d 474 .
Negatív számok fordítása
Itt figyelembe kell venni, hogy a szám egy további kódban jelenik meg. Ahhoz, hogy egy számot további kódmá fordíthassunk, ismernünk kell a szám végső méretét, vagyis azt, hogy mibe szeretnénk írni - bájtba, két bájtba, négybe. A szám legjelentősebb számjegye a jelet jelenti. Ha 0, akkor a szám pozitív, ha 1, akkor negatív. A bal oldalon a szám egy jelbittel van kitömve. Az előjel nélküli számokat nem vesszük figyelembe, ezek mindig pozitívak, és a bennük lévő legjelentősebb számjegy tájékoztató jellegű.
A fordításhoz negatív szám A bináris kiegészítő kódban egy pozitív számot kell konvertálnia bináris rendszerré, majd a nullákat egyesekre, az egyeseket pedig nullákra kell változtatnia. Ezután adjunk hozzá 1-et az eredményhez.
Tehát fordítsuk le a -79 számot bináris rendszerre. A szám egy bájtot vesz igénybe.
A 79-et bináris rendszerre fordítjuk, 79 = 1001111. A bájtmérethez balra nullákat adunk, 8 bitet, így 01001111-et kapunk. 1-et 0-ra és 0-t 1-re változtatunk. 10110000-et kapunk. Az eredményhez 1-et adunk, 01110 választ kapunk. Útközben válaszolunk arra a USE kérdésre, hogy „hány egység van a -79 szám bináris reprezentációjában?”. A válasz: 4.
Ha a szám inverzéhez 1-et adunk, akkor a +0 = 00000000 és a -0 = 11111111 reprezentációk közötti különbség megszűnik. A kettő komplementer kódjában ugyanaz a 00000000 lesz írva.
Törtszámok fordítása
A törtszámokat fordított módon fordítjuk le az egész számok bázissal való osztásához, amit a legelején figyelembe vettünk. Vagyis egymást követő szorzással egy új bázissal az egész részek gyűjtésével. A szorzással kapott egész részeket a rendszer összegyűjti, de nem vesz részt a következő műveletekben. Csak a törtek szorozódnak. Ha az eredeti szám nagyobb, mint 1, akkor az egész és a tört részt külön lefordítja, majd összeragasztja.
Fordítsuk le a 0,6752 számot bináris rendszerre.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
A folyamat sokáig folytatható, amíg a törtrészben minden nullát meg nem kapunk, vagy a kívánt pontosságot el nem érjük. Egyelőre álljunk meg a 6-os táblánál.
Kiderül, hogy 0,6752 = 0,101011.
Ha a szám 5,6752, akkor binárisan 101,101011 lenne.
