Regresszió- és korrelációelemzés - statisztikai kutatási módszerek. Ezek a leggyakoribb módok egy paraméter egy vagy több független változótól való függésének kimutatására.
Lent konkrétan gyakorlati példák Tekintsük ezt a két, a közgazdászok körében igen népszerű elemzést. Példát adunk az eredmények elérésére is, ha ezeket kombináljuk.
Regressziós elemzés Excelben
Megmutatja néhány érték (független, független) hatását a függő változóra. Például hogyan függ a gazdaságilag aktív népesség száma a vállalkozások számától, értékétől bérekés egyéb paraméterek. Vagy: hogyan befolyásolják a GDP szintjét a külföldi befektetések, az energiaárak stb.
Az elemzés eredménye lehetővé teszi a rangsorolást. A főbb tényezők alapján pedig előre jelezni, megtervezni a kiemelt területek fejlesztését, meghozni a vezetői döntéseket.
Regresszió történik:
- lineáris (y = a + bx);
- parabola (y = a + bx + cx 2);
- exponenciális (y = a * exp(bx));
- teljesítmény (y = a*x^b);
- hiperbolikus (y = b/x + a);
- logaritmikus (y = b * 1n(x) + a);
- exponenciális (y = a * b^x).
Tekintsük a regressziós modell Excelben való felépítésének és az eredmények értelmezésének példáját. Vessünk lineáris típus regresszió.
Feladat. 6 vállalkozásnál elemezték a havi átlagkeresetet és a kilépők számát. Meg kell határozni a nyugdíjba vonult alkalmazottak számának az átlagkeresettől való függését.
A lineáris regressziós modellnek a következő formája van:
Y \u003d a 0 + a 1 x 1 + ... + a k x k.
Ahol a a regressziós együtthatók, x a befolyásoló változók, és k a tényezők száma.
Példánkban Y a kilépő dolgozók mutatója. A befolyásoló tényező a bérek (x).
Az Excel beépített függvényekkel rendelkezik, amelyek segítségével kiszámítható a lineáris regressziós modell paraméterei. De az Analysis ToolPak bővítmény gyorsabban megteszi.
Aktiváljon egy hatékony elemző eszközt:
Az aktiválás után a kiegészítő elérhető lesz az Adatok lapon.
Most közvetlenül a regressziós elemzéssel fogunk foglalkozni.
Mindenekelőtt az R-négyzetre és az együtthatókra figyelünk.
Az R-négyzet a determinációs együttható. Példánkban ez 0,755, azaz 75,5%. Ez azt jelenti, hogy a modell számított paraméterei 75,5%-ban magyarázzák a vizsgált paraméterek közötti kapcsolatot. Minél nagyobb a determinációs együttható, annál jobb a modell. Jó - 0,8 felett. Gyenge - kevesebb, mint 0,5 (egy ilyen elemzés aligha tekinthető ésszerűnek). Példánkban - "nem rossz".
A 64,1428 együttható azt mutatja meg, hogy mi lesz Y, ha a vizsgált modellben minden változó 0-val egyenlő. Vagyis a modellben nem leírt egyéb tényezők is befolyásolják az elemzett paraméter értékét.
A -0,16285 együttható az X változó súlyát mutatja az Y-n. Vagyis az átlagos havi fizetés ebben a modellben -0,16285 súllyal befolyásolja a kilépők számát (ez kis mértékű befolyást jelent). A "-" jel jelzi rossz hatás: minél magasabb a fizetés, annál kevésbé mond ki. Ami tisztességes.
Korrelációelemzés Excelben
A korrelációs elemzés segít megállapítani, hogy egy vagy két mintában van-e kapcsolat a mutatók között. Például a gép üzemideje és a javítási költség között, a felszerelések ára és a működés időtartama, a gyerekek magassága és súlya stb.
Ha van kapcsolat, akkor az egyik paraméter növekedése a másikban növekedést (pozitív korrelációt) vagy csökkenést (negatív) eredményez-e. A korrelációs elemzés segít az elemzőnek eldönteni, hogy az egyik mutató értéke előre jelezheti-e egy másik mutató lehetséges értékét.
A korrelációs együtthatót r-vel jelöljük. +1 és -1 között változik. A korrelációk osztályozása a különböző területekre eltérő lesz. 0 együttható értékkel lineáris függőség nem létezik a minták között.
Fontolja meg, hogyan használja az Excelt a korrelációs együttható meghatározásához.
A CORREL függvény a párosított együtthatók megkeresésére szolgál.
Feladat: Állapítsa meg, hogy van-e összefüggés egy eszterga üzemideje és karbantartási költsége között!
Helyezze a kurzort bármelyik cellába, és nyomja meg az fx gombot.
- A "Statisztika" kategóriában válassza ki a CORREL funkciót.
- "1. tömb" argumentum - az első értéktartomány - a gép ideje: A2: A14.
- A "2. tömb" argumentum - a második értéktartomány - a javítási költségek: B2:B14. Kattintson az OK gombra.
A kapcsolat típusának meghatározásához meg kell nézni az együttható abszolút számát (minden tevékenységi területnek saját skálája van).
Számos paraméter (több mint 2) korrelációs elemzéséhez kényelmesebb az "Adatelemzés" ("Analysis Package" kiegészítő) használata. A listában ki kell választania egy korrelációt, és ki kell jelölnie egy tömböt. Minden.
Az eredményül kapott együtthatók a korrelációs mátrixban jelennek meg. Mint ez:
Korrelációs-regressziós elemzés
A gyakorlatban ezt a két technikát gyakran együtt alkalmazzák.
Példa:
Az adatok most láthatók regresszió analízis.
A modern politikatudomány a társadalom összes jelenségének és folyamatának kapcsolatára vonatkozó álláspontból indul ki. Lehetetlen megérteni az eseményeket és folyamatokat, megjósolni és kezelni a politikai élet jelenségeit a társadalom politikai szférájában fennálló összefüggések és függőségek tanulmányozása nélkül. A politikakutatás egyik leggyakoribb feladata néhány megfigyelhető változó közötti kapcsolat vizsgálata. Segít megoldani ezt a problémát a statisztikai elemzési módszerek egész osztálya, kombinálva gyakori név"regressziós elemzés" (vagy más néven "korrelációs-regressziós elemzés"). Ha azonban a korrelációelemzés lehetővé teszi két változó közötti kapcsolat erősségének felmérését, akkor regressziós elemzéssel meg lehet határozni ennek a kapcsolatnak a típusát, megjósolni bármely változó értékének függőségét egy másik változó értékétől.
Először is emlékezzünk arra, hogy mi a korreláció. Korrelatív a statisztikai kapcsolat legfontosabb speciális esetének nevezzük, amely abból áll, hogy egy változó azonos értékei különböző átlagos értékek egy másik. Az x attribútum értékének változásával az y attribútum átlagértéke természetesen változik, míg minden esetben az attribútum értéke nál nél(különböző valószínűséggel) sokféle értéket vehet fel.
A „korreláció” kifejezés megjelenése a statisztikában (és a politikatudomány vonzza a statisztika eredményeit problémáinak megoldására, amely tehát a politikatudományhoz kapcsolódó tudományág) az angol biológus és statisztikus, Francis Galton nevéhez fűződik, aki a XIX. elméleti alapja korrelációs és regressziós elemzés. A "korreláció" kifejezés a tudományban korábban is ismert volt. Különösen a paleontológiában még a 18. században. Georges Cuvier francia tudós alkalmazta. Bevezette az úgynevezett korrelációs törvényt, amelynek segítségével az ásatások során talált állatmaradványok szerint vissza lehetett állítani azok megjelenését.
A tudós nevéhez és korrelációs törvényéhez egy jól ismert történet kapcsolódik. Így hát az egyetemi szünidő napjain a diákok, akik úgy döntöttek, hogy trükköznek egy híres professzorral, egy szarvú és patás kecskebőrt húztak az egyik diákra. Bemászott Cuvier hálószobájának ablakába, és azt kiáltotta: – Megeszlek. A professzor felébredt, megnézte a sziluettet, és így válaszolt: „Ha szarvai és patáid vannak, akkor növényevő vagy, és nem tudsz megenni engem. És a korreláció törvényének tudatlanságáért kettőt kapsz. Megfordult és elaludt. A vicc vicc, de ebben a példában egy speciális esetet látunk a többszörös korrelációs-regressziós elemzés használatának. Itt a professzor a két megfigyelt tulajdonság értékének ismeretében (szarv és pata jelenléte), a korreláció törvénye alapján levezette a harmadik tulajdonság átlagértékét (az osztály, amelybe ez az állat tartozik, növényevő). Ebben az esetben nem ennek a változónak a konkrét értékéről beszélünk (tehát ez az állat veheti különféle jelentések névleges léptékben - lehet kecske, kos és bika ...).
Most térjünk át a „regresszió” kifejezésre. Szigorúan véve nem kapcsolódik ezek jelentéséhez statisztikai feladatokat amelyeket ezzel a módszerrel oldanak meg. A fogalom magyarázata csak a jellemzők közötti összefüggések vizsgálatára szolgáló módszerek fejlődéstörténetének ismerete alapján adható. Az ilyen jellegű vizsgálatok egyik első példája F. Galton és K. Pearson statisztikusok munkája volt, akik két megfigyelhető jel alapján próbáltak mintát találni az apák és gyermekeik növekedése között (ahol X- apa magassága és U- gyermekek növekedése). Tanulmányukban megerősítették azt a kezdeti hipotézist, hogy átlagosan a magas apák átlagosan magas gyerekeket nevelnek. Ugyanez az elv vonatkozik az alacsony apákra és gyermekekre is. Ha azonban a tudósok itt megálltak volna, munkáikat soha nem említik volna a statisztikai tankönyvek. A kutatók egy másik mintát találtak a már említett megerősített hipotézisen belül. Bebizonyították, hogy a nagyon magas apák átlagosan magas, de nem nagyon eltérő magasságú gyerekeket szülnek azoktól a gyerekektől, akiknek apja, bár átlag feletti, nem nagyon tér el az átlagos magasságtól. Ugyanez igaz a nagyon kis termetű apákra (eltérve az alacsony csoport átlagától) - gyermekeik átlagosan nem különböztek magasságban azoktól a társaiktól, akiknek apja egyszerűen alacsony volt. Ezt a szabályosságot leíró függvényt nevezték el regressziós függvény. E tanulmány után minden hasonló függvényt leíró és hasonló módon felépített egyenletet regressziós egyenletnek neveztek.
A regresszióanalízis a többváltozós statisztikai adatelemzés egyik módszere, amely egy függő és több (vagy egy) független változó közötti kapcsolatok tanulmányozására vagy modellezésére tervezett statisztikai technikák összességét kombinálja. A függő változót a statisztikában elfogadott hagyomány szerint válasznak nevezzük, és mint jelöljük V A független változókat prediktoroknak nevezzük, és így jelöljük x. Az elemzés során egyes változók gyengén kapcsolódnak a válaszhoz, és végül kikerülnek az elemzésből. A függőhöz kapcsolódó többi változót faktornak is nevezhetjük.
A regressziós elemzés lehetővé teszi egy vagy több változó értékének előrejelzését egy másik változótól függően (például a nem szokványos politikai magatartásra való hajlam az iskolai végzettségtől függően) vagy több változótól függően. Számítása PC-n történik. Egy olyan regressziós egyenlet összeállításához, amely lehetővé teszi a vezérelt jellemző faktorfüggésének mértékét, hivatásos matematikus-programozók bevonása szükséges. A regresszióelemzés felbecsülhetetlen értékű szolgálatot nyújthat egy politikai helyzet alakulására vonatkozó prediktív modellek felépítésében, a társadalmi feszültségek okainak felmérésében, elméleti kísérletek lefolytatásában. A regressziós elemzést aktívan használják számos társadalmi-demográfiai paraméter – nem, életkor, szakma, lakóhely, nemzetiség, jövedelem szintje és jellege – polgárok választási magatartására gyakorolt hatásának tanulmányozására.
A regresszióanalízis kapcsán a fogalmak függetlenÉs függő változók. A független változó olyan változó, amely egy másik változó változását magyarázza vagy okozza. A függő változó olyan változó, amelynek értékét az első változó hatása magyarázza. Például a 2004-es elnökválasztáson a meghatározó tényezők, pl. független változók olyan mutatók voltak, mint az ország lakosságának pénzügyi helyzetének stabilizálódása, a jelöltek népszerűségi szintje és a kötelesség. Ebben az esetben a jelöltekre leadott szavazatok százalékos aránya függő változónak tekinthető. Hasonlóan, a „választó kora” és a „választási aktivitás szintje” változópárban az első független, a második függő.
A regressziós elemzés lehetővé teszi a következő problémák megoldását:
- 1) állapítsa meg a Ci közötti statisztikailag szignifikáns kapcsolat meglétének vagy hiányának tényét x;
- 2) készítse el a regressziós függvény legjobb (statisztikai értelemben vett) becsléseit;
- 3) a megadott értékek szerint x jóslatot készíteni az ismeretlenre Nál nél
- 4) értékelje az egyes tényezők hatásának fajsúlyát x tovább Nál nélés ennek megfelelően kizárja a jelentéktelen jellemzőket a modellből;
- 5) a változók közötti ok-okozati összefüggések azonosításával a P értékeinek részbeni kezelése a magyarázó változók értékeinek beállításával x.
A regresszióanalízis összefügg a vizsgált mutató értékét befolyásoló, egymástól független változók kiválasztásával, a regressziós egyenlet formájának meghatározásával és a paraméterek értékelésével az elsődleges szociológiai adatok feldolgozására szolgáló statisztikai módszerekkel. Az ilyen típusú elemzés a kapcsolat formájának, irányának és szorosságának (sűrűségének) elgondolásán alapul. Megkülönböztetni gőzszobaÉs többszörös regresszió a vizsgált jellemzők számától függően. A gyakorlatban a regresszióanalízist általában a korrelációs elemzéssel együtt végzik. Regressziós egyenlet a mennyiségek közötti numerikus összefüggést írja le, amely tendenciaként fejeződik ki, hogy az egyik változó nő vagy csökken, míg a másik nő vagy csökken. Ugyanakkor a razl és a h a yut l fagyÉs nemlineáris regresszió. Leíráskor politikai folyamatokat a regresszió mindkét változata egyformán kimutatható.
Szórványrajz a politikai cikkek érdeklődési körének megoszlására ( U)és a válaszadók oktatása (X) lineáris regresszió (30. ábra).
Rizs. harminc.
Szórványrajz a választási aktivitás szintjének megoszlására ( U)és a válaszadó életkora (A) (feltételes példa) egy nemlineáris regresszió (31. ábra).
Rizs. 31.
Két jellemző (A "és Y) kapcsolatának leírásához egy páros regressziós modellben használja a lineáris egyenlet
ahol a, az egyenlet hibájának véletlenszerű értéke a jellemzők változásával, azaz. az egyenlet eltérése a "linearitástól".
Az együtthatók értékelésére AÉs b használja a legkisebb négyzetek módszerét, amely feltételezi, hogy a szóródiagram egyes pontjainak a regressziós egyenestől való eltérésének négyzetes összege minimális legyen. Esély a h b az egyenletrendszer segítségével számítható ki: 
A legkisebb négyzetek becslésének módszere ilyen becsléseket ad az együtthatókra AÉs b, amelyre az egyenes átmegy a ponton koordinátákkal xÉs y, azok. van kapcsolat nál nél = fejsze + b. A regressziós egyenlet grafikus ábrázolását ún elméleti regressziós egyenes. Lineáris függés esetén a regressziós együttható a grafikonon az elméleti regressziós egyenes meredekségének az x tengelyhez mért érintőjét ábrázolja. Az együtthatónál lévő előjel a kapcsolat irányát mutatja. Ha nagyobb, mint nulla, akkor a kapcsolat közvetlen, ha kisebb, akkor inverz.
A „Politikai Pétervár-2006” című tanulmány alábbi példája (56. táblázat) lineáris kapcsolatot mutat be a polgárok életükkel való elégedettségük mértékéről a jelenben és az életminőség jövőbeni változásaival kapcsolatos elvárásai között. A kapcsolat közvetlen, lineáris (a standardizált regressziós együttható 0,233, a szignifikancia szintje 0,000). Ebben az esetben a regressziós együttható nem magas, de meghaladja a statisztikailag szignifikáns mutató alsó határát (a Pearson-együttható statisztikailag szignifikáns mutatója négyzetének alsó határát).
56. táblázat
Az állampolgárok életminőségének hatása a jelenben az elvárásokra
(Szentpétervár, 2006)
* Függő változó: "Szerinted hogyan fog megváltozni az életed a következő 2-3 évben?"
A politikai életben a vizsgált változó értéke legtöbbször egyszerre több jellemzőtől is függ. Például a politikai tevékenység szintjét és jellegét egyszerre befolyásolja az állam politikai rezsimje, a politikai hagyományok, az adott területen élő emberek politikai magatartásának sajátosságai és a megkérdezett társadalmi mikrocsoportja, életkora, iskolai végzettsége, jövedelmi szintje, politikai irányultsága stb. Ebben az esetben az egyenletet kell használni többszörös regresszió, amelynek a következő formája van:
ahol együttható b.- parciális regressziós együttható. Megmutatja az egyes független változók hozzájárulását a független (eredmény) változó értékeinek meghatározásához. Ha a parciális regressziós együttható közel 0, akkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a független és a függő változók között nincs közvetlen kapcsolat.
Egy ilyen modell számítása elvégezhető PC-n mátrixalgebra segítségével. A többszörös regresszió lehetővé teszi, hogy tükrözze a társadalmi kapcsolatok többtényezős jellegét, és tisztázza az egyes tényezők egyéni és együttes hatásának mértékét a kapott tulajdonságra.
Együttható jelölve b, lineáris regresszió együtthatójának nevezzük, és a faktorjellemző változása közötti kapcsolat erősségét mutatja xés variáció hatékony funkció Y Ez az együttható a kapcsolat erősségét a jellemzők abszolút mértékegységeiben méri. A jellemzők korrelációjának szorossága azonban kifejezhető a kapott jellemző szórásával is (az ilyen együtthatót korrelációs együtthatónak nevezzük). Ellentétben a regressziós együtthatóval b a korrelációs együttható nem függ a jellemzők elfogadott mértékegységeitől, ezért bármely jellemzővel összehasonlítható. Általában a csatlakozást akkor tekintik erősnek, ha /> 0,7, közepes tömítettség - 0,5 g-nál 0,5.
Mint tudják, a legszorosabb kapcsolat a funkcionális kapcsolat, amikor minden egyes érték Y egyedileg hozzárendelhető az értékhez x.Így minél közelebb van a korrelációs együttható 1-hez, annál közelebb áll a kapcsolat egy funkcionálishoz. A regressziós elemzés szignifikanciaszintje nem haladhatja meg a 0,001-et.
A korrelációs együtthatót régóta a jellemzők kapcsolatának szorosságának fő mutatójaként tartják számon. Később azonban a determinációs együttható lett ilyen mutató. Ennek az együtthatónak a jelentése a következő - az eredményül kapott jellemző teljes variancia hányadát tükrözi Nál nél, amit a jellemző varianciája magyaráz x. Ezt úgy találjuk meg, hogy a korrelációs együtthatót egyszerűen négyzetre emeljük (0-ról 1-re változik), és viszont egy lineáris kapcsolat esetén a 0-tól (0%-ig) való részesedést tükrözi. 1 (100%) jellemző értékek Y, attribútum értékei határozzák meg x.Így van rögzítve én 2,és a kapott regresszióanalízis táblázatokban az SPSS csomagban - négyzet nélkül.
Jelöljük a többszörös regressziós egyenlet megalkotásának főbb problémáit.
- 1. A regressziós egyenletben szereplő tényezők megválasztása. Ebben a szakaszban a kutató először összeállít egy általános listát azokról a fő okokról, amelyek az elmélet szerint meghatározzák a vizsgált jelenséget. Ezután ki kell választania a regressziós egyenlet jellemzőit. A fő kiválasztási szabály az, hogy az elemzésbe bevont tényezők a lehető legkevésbé korreláljanak egymással; csak ebben az esetben lehet egy bizonyos faktor-attribútumhoz kvantitatív hatásmértéket rendelni.
- 2. A többszörös regressziós egyenlet formájának kiválasztása(a gyakorlatban gyakrabban használják a lineáris vagy lineáris-logaritmikus). Tehát a többszörös regresszió használatához a kutatónak először fel kell építenie egy hipotetikus modellt több független változónak a kapott változóra gyakorolt hatásáról. Ahhoz, hogy a kapott eredmények megbízhatóak legyenek, szükséges, hogy a modell pontosan illeszkedjen a valós folyamathoz, pl. a változók közötti kapcsolatnak lineárisnak kell lennie, egyetlen szignifikáns független változó sem hagyható figyelmen kívül, ugyanígy egyetlen olyan változó sem kerülhet be az elemzésbe, amely nem kapcsolódik közvetlenül a vizsgált folyamathoz. Ezenkívül a változók minden mérésének rendkívül pontosnak kell lennie.
A fenti leírásból a módszer alkalmazásának számos feltétele következik, amelyek nélkül lehetetlen a többszörös regressziós analízis (MRA) eljárása folytatni. Csak az alábbi pontok mindegyikének betartása teszi lehetővé a regressziós elemzés helyes végrehajtását.
Tanulmányaik során a hallgatók nagyon gyakran találkoznak különféle egyenletekkel. Ezek egyikét - a regressziós egyenletet - tárgyaljuk ebben a cikkben. Ezt az egyenlettípust kifejezetten a matematikai paraméterek közötti kapcsolat jellemzőinek leírására használják. Ezt a fajta egyenlőséget a statisztikában és az ökonometriában használják.
A regresszió definíciója
A matematikában a regresszió egy bizonyos mennyiség, amely leírja egy adathalmaz átlagos értékének egy másik mennyiség értékétől való függőségét. A regressziós egyenlet egy adott jellemző függvényében egy másik jellemző átlagos értékét mutatja. A regressziós függvénynek van formája egyszerű egyenlet y \u003d x, amelyben y a függő változó, x pedig a független változó (jellemző tényező). Valójában a regressziót a következőképpen fejezzük ki: y = f (x).
Milyen típusú kapcsolatok vannak a változók között
Általában két ellentétes típusú kapcsolat különböztethető meg: a korreláció és a regresszió.
Az elsőt a feltételes változók egyenlősége jellemzi. Ebben az esetben nem tudni biztosan, hogy melyik változó függ a másiktól.
Ha a változók között nincs egyenlőség, és a feltételek azt mondják, hogy melyik változó magyarázó és melyik függő, akkor beszélhetünk a második típusú kapcsolat meglétéről. A lineáris regressziós egyenlet felépítéséhez meg kell találni, hogy milyen típusú összefüggést figyelünk meg.
A regresszió típusai
A mai napig 7 különböző típusú regresszió létezik: hiperbolikus, lineáris, többszörös, nemlineáris, páronkénti, inverz, logaritmikusan lineáris.
Hiperbolikus, lineáris és logaritmikus
A lineáris regressziós egyenletet a statisztikában az egyenlet paramétereinek egyértelmű magyarázatára használják. Úgy néz ki, hogy y = c + m * x + E. A hiperbolikus egyenlet reguláris hiperbola y \u003d c + m / x + E alakja. A logaritmikusan lineáris egyenlet a következőképpen fejezi ki az összefüggést: logaritmikus függvény: In y \u003d In c + t * In x + In E.
Többszörös és nemlineáris
A regresszió két összetettebb típusa a többszörös és a nemlineáris. A többszörös regressziós egyenletet az y \u003d f (x 1, x 2 ... x c) + E függvény fejezi ki. Ebben a helyzetben y a függő változó és x a magyarázó változó. Az E változó sztochasztikus, és más tényezők hatását is magában foglalja az egyenletben. A nemlineáris regressziós egyenlet kissé inkonzisztens. Egyrészt a figyelembe vett mutatók tekintetében nem lineáris, másrészt az indikátorokat értékelő szerepében lineáris.
Inverz és páros regressziók
Az inverz egyfajta függvény, amelyet lineáris formává kell konvertálni. A leghagyományosabb alkalmazási programokban y \u003d 1 / c + m * x + E függvény alakja van. A páros regressziós egyenlet az adatok közötti kapcsolatot az y = f(x) + E függvényében mutatja. Csakúgy, mint a többi egyenlet, y függ x-től, E pedig sztochasztikus paraméter.
A korreláció fogalma
Ez egy olyan mutató, amely két jelenség vagy folyamat közötti kapcsolat meglétét mutatja. A kapcsolat erősségét korrelációs együtthatóval fejezzük ki. Értéke a [-1;+1] intervallumon belül ingadozik. A negatív mutató a visszacsatolás jelenlétét, a pozitív mutató pedig a közvetlen visszacsatolást jelzi. Ha az együttható értéke 0, akkor nincs kapcsolat. Minél közelebb van az érték az 1-hez - annál erősebb a kapcsolat a paraméterek között, minél közelebb van a 0-hoz - annál gyengébb.
Mód
A korrelációs paraméteres módszerekkel meg lehet becsülni a kapcsolat szorosságát. Eloszlásbecslések alapján használják azokat a paramétereket, amelyek megfelelnek a normál eloszlási törvénynek.
A lineáris regressziós egyenlet paraméterei szükségesek a függőség típusának, a regressziós egyenlet függvényének azonosításához és a választott kapcsolati képlet mutatóinak értékeléséhez. A korrelációs mező a kapcsolat azonosításának módszere. Ehhez az összes létező adatot grafikusan kell ábrázolni. Egy téglalap alakú kétdimenziós koordinátarendszerben minden ismert adatot ábrázolni kell. Így jön létre a korrelációs mező. A leíró tényező értéke az abszcissza mentén, míg a függő tényező értéke az ordináta mentén van jelölve. Ha a paraméterek között funkcionális kapcsolat van, akkor sor formájában sorakoznak fel.
Ha az ilyen adatok korrelációs együtthatója kisebb, mint 30%, akkor szinte teljes kapcsolathiányról beszélhetünk. Ha ez 30% és 70% között van, akkor ez közepes szorosságú láncszemek jelenlétét jelzi. A 100%-os jelző a működőképes kapcsolat bizonyítéka.
A nemlineáris regressziós egyenletet, akárcsak a lineárist, ki kell egészíteni egy korrelációs indexszel (R).
Korreláció többszörös regresszióhoz
A determinációs együttható a többszörös korreláció négyzetének mutatója. A bemutatott indikátorkészlet és a vizsgált tulajdonság közötti kapcsolat szorosságáról beszél. Beszélhet a paraméterek eredményre gyakorolt hatásának természetéről is. A többszörös regressziós egyenletet ezzel az indikátorral értékeljük ki.
A többszörös korrelációs index kiszámításához ki kell számítani az indexét.
Legkisebb négyzet alakú módszer
Ez a módszer a regressziós tényezők becslésének egyik módja. Lényege, hogy minimalizálja a faktor függvénytől való függése miatt kapott négyzetes eltérések összegét.
Egy páros lineáris regressziós egyenlet megbecsülhető ilyen módszerrel. Ezt a fajta egyenletet a páros lineáris kapcsolat indikátorai közötti detektálás esetén alkalmazzuk.
Egyenlet opciók
A lineáris regressziós függvény minden paramétere sajátos jelentéssel bír. A párosított lineáris regressziós egyenlet két paramétert tartalmaz: c és m. A t paraméter az y függvény végső mutatójának átlagos változását mutatja, az x változó egy egyezményes egységgel való csökkenésének (növekedésének) függvényében. Ha az x változó nulla, akkor a függvény egyenlő a c paraméterrel. Ha az x változó nem nulla, akkor a c tényezőnek nincs közgazdasági értelme. A függvényt csak a c faktor előtti jel befolyásolja. Ha van mínusz, akkor a faktorhoz képest lassú eredményváltozásról beszélhetünk. Ha van plusz, akkor ez az eredmény felgyorsult változását jelzi.
Minden olyan paraméter, amely megváltoztatja a regressziós egyenlet értékét, kifejezhető egyenletben. Például a c tényező alakja c = y - mx.
Csoportosított adatok
A feladatnak vannak olyan feltételei, amelyekben minden információ az x attribútum szerint van csoportosítva, ugyanakkor egy bizonyos csoporthoz a függő mutató megfelelő átlagértékei vannak feltüntetve. Ebben az esetben az átlagértékek azt jellemzik, hogy a mutató hogyan függ x-től. Így a csoportosított információ segít megtalálni a regressziós egyenletet. Kapcsolatelemzésként használják. Ennek a módszernek azonban megvannak a maga hátrányai. Sajnos az átlagok gyakran ki vannak téve a külső ingadozásoknak. Ezek az ingadozások nem tükrözik a kapcsolat mintáit, csak elfedik a „zajt”. Az átlagok sokkal rosszabb összefüggéseket mutatnak, mint a lineáris regressziós egyenlet. Ezek azonban alapul szolgálhatnak egy egyenlet megtalálásához. Ha egy adott populáció méretét megszorozzuk a megfelelő átlaggal, megkaphatjuk y összegét a csoporton belül. Ezután ki kell ütnie az összes kapott összeget, és meg kell találnia az y végső mutatót. Az xy összegmutatóval kicsit nehezebb a számítások elvégzése. Abban az esetben, ha az intervallumok kicsik, akkor feltételesen vehetjük az x mutatót minden egységre (a csoporton belül) azonosnak. Szorozzuk meg y összegével, hogy megkapjuk x és y szorzatának összegét. Továbbá az összes összeget összeütjük, és megkapjuk a teljes xy összeget.
Többpáros egyenlet regresszió: kapcsolat fontosságának felmérése
Amint azt korábban tárgyaltuk, a többszörös regresszió függvénye y \u003d f (x 1, x 2, ..., x m) + E. Leggyakrabban egy ilyen egyenletet az áruk kereslet-kínálatának, a visszavásárolt részvények kamatjövedelmének problémájának megoldására, a termelési költségfüggvény okainak és típusának tanulmányozására használnak. A makroökonómiai tanulmányok és számítások széles skálájában is aktívan használják, de a mikroökonómia szintjén ezt az egyenletet kicsit ritkábban használják.
A többszörös regresszió fő feladata egy hatalmas mennyiségű információt tartalmazó adatmodell felépítése annak érdekében, hogy tovább meghatározzuk, hogy az egyes tényezők külön-külön és összességükben milyen hatással vannak a modellezendő mutatóra és annak együtthatóira. A regressziós egyenlet sokféle értéket vehet fel. Ebben az esetben általában kétféle függvényt használnak a kapcsolat értékelésére: lineáris és nemlineáris.
Egy lineáris függvényt egy ilyen összefüggés formájában ábrázolunk: y \u003d a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2, + ... + a m x m. Ebben az esetben a2, a m a "tiszta" regresszió együtthatóinak tekinthető. Szükségesek az y paraméter átlagos változásának jellemzésére minden megfelelő x paraméter egy egységnyi változásával (csökkenésével vagy növekedésével), más mutatók stabil értékének feltételével.
A nemlineáris egyenletek például y=ax 1 b1 x 2 b2 ...x m bm hatványfüggvény alakúak. Ebben az esetben a b 1, b 2 ..... b m - mutatókat rugalmassági együtthatóknak nevezzük, ezek azt mutatják meg, hogy az eredmény hogyan változik (mennyivel) a megfelelő x mutató 1%-os növekedésével (csökkenésével), valamint egyéb tényezők stabil mutatójával.
Milyen tényezőket kell figyelembe venni a többszörös regresszió felépítésénél
A többszörös regresszió helyes felépítéséhez ki kell deríteni, hogy mely tényezőkre kell különös figyelmet fordítani.
Szükséges valamennyire megérteni a gazdasági tényezők és a modellezett kapcsolat természetét. A beillesztendő tényezőknek meg kell felelniük a következő kritériumoknak:
- Mérhetőnek kell lennie. Ahhoz, hogy egy tárgy minőségét leíró tényezőt használjunk, mindenképpen mennyiségi formát kell adni.
- Tényezők közötti korrelációnak vagy funkcionális kapcsolatnak nem szabad lennie. Az ilyen cselekvések leggyakrabban visszafordíthatatlan következményekhez vezetnek - a közönséges egyenletrendszer feltétel nélkülivé válik, és ez megbízhatatlanságával és homályos becsléseivel jár.
- Hatalmas korrelációs mutató esetén nincs mód a mutató végeredményére gyakorolt tényezők elszigetelt hatásának megállapítására, ezért az együtthatók értelmezhetetlenné válnak.
Építési módszerek
Rengeteg módszer és mód létezik annak magyarázatára, hogyan választhatja ki az egyenlethez szükséges tényezőket. Mindezek a módszerek azonban az együtthatók kiválasztásán alapulnak a korrelációs index segítségével. Ezek közé tartozik:
- Kizárási módszer.
- Kapcsolja be a módszert.
- Lépésenkénti regressziós elemzés.
Az első módszer az összes együttható kiszűrését jelenti az összesített halmazból. A második módszer számos további tényező bevezetésével jár. Nos, a harmadik a korábban az egyenletre alkalmazott tényezők kiküszöbölése. Ezen módszerek mindegyikének joga van létezni. Vannak előnyei és hátrányai, de a felesleges mutatók kiszűrését a maguk módján meg tudják oldani. Általában az egyes módszerekkel kapott eredmények meglehetősen közel állnak egymáshoz.
A többváltozós elemzés módszerei
Az ilyen tényezők meghatározására szolgáló módszerek az egymással összefüggő jellemzők egyedi kombinációinak figyelembevételén alapulnak. Ide tartozik a megkülönböztető elemzés, a mintafelismerés, a főkomponens-elemzés és a klaszteranalízis. Ezen kívül létezik faktoranalízis is, azonban ez a komponensmódszer fejlesztésének eredményeként jelent meg. Mindegyiket bizonyos körülmények között, bizonyos feltételek és tényezők mellett alkalmazzák.
1. A "regresszió" kifejezést először a biometria alapítója, F. Galton vezette be (XIX. század), akinek az ötleteit követője, K. Pearson dolgozta ki.
Regresszió analízis- statisztikai adatfeldolgozási módszer, amely lehetővé teszi egy vagy több ok (faktoriális előjel) és egy következmény (hatásjel) közötti kapcsolat mérését.
jel- ez a vizsgált jelenség vagy folyamat fő megkülönböztető jegye, jellemzője.
Hatékony jel - vizsgált mutató.
Tényező jel- az effektív jellemző értékét befolyásoló mutató.
A regressziós elemzés célja az effektív jellemző átlagértékének funkcionális függésének értékelése ( nál nél) faktoriálisból ( x 1, x 2, ..., x n), így fejezzük ki regressziós egyenletek
nál nél= f(x 1, x 2, ..., x n). (6.1)
A regressziónak két típusa van: páros és többszörös.
Páros (egyszerű) regresszió- formaegyenlet:
nál nél= f(x). (6.2)
A páronkénti regresszióban kapott jellemzőt egy argumentum függvényének tekintjük, azaz. egy tényező.
A regressziós elemzés a következő lépéseket tartalmazza:
a függvénytípus meghatározása;
regressziós együtthatók meghatározása;
Az effektív jellemző elméleti értékeinek kiszámítása;
A regressziós együtthatók statisztikai szignifikanciájának ellenőrzése;
A regressziós egyenlet statisztikai szignifikanciájának ellenőrzése.
Többszörös regresszió- formaegyenlet:
nál nél= f(x 1, x 2, ..., x n). (6.3)
Az eredő jellemzőt több argumentum függvényének tekintjük, pl. sok tényező.
2. A függvény típusának helyes meghatározásához elméleti adatok alapján meg kell találni a kapcsolat irányát.
A kapcsolat iránya szerint a regresszió a következőkre oszlik:
· közvetlen regresszió, amelyek azzal a feltétellel merülnek fel, hogy a független érték növekedésével vagy csökkenésével" X" a függő mennyiség értékei" nál nél" ennek megfelelően növelni vagy csökkenteni is;
· fordított regresszió, amelyek azzal a feltétellel merülnek fel, hogy a független érték növekedésével vagy csökkenésével "X" függő érték" nál nél" ennek megfelelően csökken vagy nő.
Az összefüggések jellemzésére a következő típusú páros regressziós egyenleteket használjuk:
· y=a+bx– lineáris;
· y=e ax + b – exponenciális;
· y=a+b/x – hiperbolikus;
· y=a+b 1 x+b 2 x 2 – parabola;
· y=ab x – exponenciális satöbbi.
Ahol a, b 1, b 2- az egyenlet együtthatói (paraméterei); nál nél- hatásos jel; x- faktor jel.
3. A regressziós egyenlet felépítése az együtthatók (paraméterek) becslésére redukálódik, ehhez a legkisebb négyzetes módszer(MNK).
A legkisebb négyzetek módszere lehetővé teszi a paraméterek olyan becslését, amelyben az effektív jellemző tényleges értékeinek négyzetes eltéréseinek összege " nál nél"elméletiből" y x» minimális, azaz
Regressziós egyenlet opciók y=a+bx a legkisebb négyzetek módszerével a következő képletekkel becsüljük meg:
Ahol A - szabad együttható, b- regressziós együttható, megmutatja, hogy az eredő előjel mennyit fog változni y» a faktorattribútum megváltoztatásakor « x» mértékegységenként.
4. A regressziós együtthatók statisztikai szignifikanciájának felmérésére Student-féle t-próbát alkalmazunk.
A regressziós együtthatók szignifikanciájának ellenőrzési sémája:
1) H 0: a=0, b=0 - a regressziós együtthatók jelentéktelen mértékben különböznek a nullától.
H 1: a≠ 0, b≠ 0 - a regressziós együtthatók jelentősen eltérnek a nullától.
2) R=0,05 – szignifikancia szint.
Ahol m b,m a- véletlenszerű hibák:
; 
. (6.7)
4) t asztal(R; f),
Ahol f=n-k- 1 - a szabadságfokok száma (táblázati érték), n- megfigyelések száma, k X".
5) Ha , akkor eltér, azaz. jelentős együttható.
Ha , akkor elfogadják, i.e. együttható jelentéktelen.
5. A megszerkesztett regressziós egyenlet helyességének ellenőrzésére a Fisher-kritériumot használjuk.
A regressziós egyenlet jelentőségének ellenőrzésére szolgáló séma:
1) H 0: a regressziós egyenlet nem szignifikáns.
H 1: a regressziós egyenlet szignifikáns.
2) R=0,05 – szignifikancia szint.
3) 
, (6.8)
hol a megfigyelések száma; k- a paraméterek száma a változókkal ellátott egyenletben " X"; nál nél- az effektív jellemző tényleges értéke; y x- az effektív jellemző elméleti értéke; - párkorrelációs együttható.
4) F táblázat(R; f 1; f2),
Ahol f 1 \u003d k, f 2 \u003d n-k-1- szabadsági fokok száma (táblázati értékek).
5) Ha F calc >F táblázat, akkor a regressziós egyenlet helyesen van megválasztva és a gyakorlatban is alkalmazható.
Ha F számolt:
6. A regressziós elemzés minőségének mérőszámát tükröző fő mutató az determinációs együttható (R 2).
Meghatározási együttható megmutatja, hogy a függő változó mekkora hányadát nál nél» figyelembe veszik az elemzésben, és az elemzésbe bevont tényezők hatása okozza.
Meghatározási együttható (R2) tartományba eső értékeket vesz fel. A regressziós egyenlet kvalitatív, ha R2 ≥0,8.
A determinációs együttható egyenlő a korrelációs együttható négyzetével, azaz.
6.1. példa. A következő adatok alapján állítsa össze és elemezze a regressziós egyenletet:
Megoldás.
1) Számítsa ki a korrelációs együtthatót: . A jelek közötti kapcsolat közvetlen és mérsékelt.
2) Készítsen páros lineáris regressziós egyenletet.
2.1) Készítsen számítási táblázatot!
| № | x | nál nél | HU | x 2 | y x | (y-y x) 2 | ||
| 55,89 | 47,54 | 65,70 | ||||||
| 45,07 | 15,42 | 222,83 | ||||||
| 54,85 | 34,19 | 8,11 | ||||||
| 51,36 | 5,55 | 11,27 | ||||||
| 42,28 | 45,16 | 13,84 | ||||||
| 47,69 | 1,71 | 44,77 | ||||||
| 45,86 | 9,87 | 192,05 | ||||||
| Összeg | 159,45 | 558,55 | ||||||
| Átlagos | 77519,6 | 22,78 | 79,79 | 2990,6 |
,
Páros lineáris regressziós egyenlet: y x \u003d 25,17 + 0,087x.
3) Keresse meg az elméleti értékeket" y x» a regressziós egyenletben a tényleges értékek behelyettesítésével « x».
4) Ábrázolja a tényleges " nál nél"és elméleti értékek" y x» effektív jellemző (6.1. ábra): r xy =0,47) és kis számú megfigyelés.
7) Számítsa ki a determinációs együtthatót: R2=(0,47)2 =0,22. A megszerkesztett egyenlet rossz minőségű.
Mert A regressziós elemzés során végzett számítások meglehetősen terjedelmesek, ajánlott speciális programok használata ("Statistica 10", SPSS stb.).
A 6.2. ábra egy táblázatot mutat be a "Statistica 10" programmal végzett regressziós elemzés eredményeivel.
6.2. ábra. A "Statistica 10" programmal végzett regressziós elemzés eredményei
5. Irodalom:
1. Gmurman V.E. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika: Proc. kézikönyv egyetemeknek / V.E. Gmurman. - M.: Felsőiskola, 2003. - 479 p.
2. Koichubekov B.K. Biostatisztika: Tankönyv. - Almaty: Evero, 2014. - 154 p.
3. Lobotskaya N.L. Felső matematika. / N.L. Lobotskaya, Yu.V. Morozov, A.A. Dunaev. - Minszk: Felsőiskola, 1987. - 319 p.
4. Medic V.A., Tokmachev M.S., Fishman B.B. Statisztikák az orvostudományban és a biológiában: Útmutató. 2 kötetben / Szerk. Yu.M. Komarov. T. 1. Elméleti statisztika. - M.: Orvostudomány, 2000. - 412 p.
5. Statisztikai elemzési módszerek alkalmazása a népegészségügy és az egészségügy tanulmányozására: tankönyv / szerk. Kucherenko V.Z. - 4. kiadás, átdolgozva. és további - M.: GEOTAR - Média, 2011. - 256 p.
A regresszióanalízis fő célja a kapcsolat analitikus formájának meghatározásából áll, amelyben az eredő attribútum változása egy vagy több tényezőjel hatására következik be, és az összes többi tényező halmazát, amely szintén befolyásolja az eredő attribútumot, állandó és átlagos értéknek vesszük.A regresszióanalízis feladatai:
a) A függőség formájának megállapítása. A jelenségek közötti kapcsolat természetét és formáját tekintve létezik pozitív lineáris és nemlineáris, valamint negatív lineáris és nemlineáris regresszió.
b) A regressziós függvény meghatározása egy vagy olyan típusú matematikai egyenlet formájában, és a magyarázó változók hatásának megállapítása a függő változóra.
c) A függő változó ismeretlen értékeinek becslése. A regressziós függvény segítségével reprodukálhatja a függő változó értékeit a magyarázó változók adott értékeinek intervallumán belül (azaz megoldhatja az interpolációs feladatot), vagy kiértékelheti a folyamat menetét a megadott intervallumon kívül (azaz megoldhatja az extrapolációs feladatot). Az eredmény a függő változó értékének becslése.
Páros regresszió - két y és x változó kapcsolatának egyenlete: y=f(x), ahol y a függő változó (eredményjel); x - független, magyarázó változó (feature-faktor).
Léteznek lineáris és nemlineáris regressziók.
Lineáris regresszió: y = a + bx + ε
A nemlineáris regressziók két osztályba sorolhatók: azok a regressziók, amelyek az elemzésben szereplő magyarázó változók tekintetében nem lineárisak, de a becsült paraméterek tekintetében lineárisak, és a becsült paraméterek tekintetében nem lineárisak.
A magyarázó változókban nem lineáris regressziók:
A becsült paraméterekben nem lineáris regressziók:
- teljesítmény y=a x b ε
- exponenciális y=a b x ε
- exponenciális y=e a+b x ε
.
Lineárisra redukálható lineáris és nemlineáris egyenleteknél a következő rendszert kell megoldani a és b esetén:
Használhat kész képleteket, amelyek ebből a rendszerből következnek:
A vizsgált jelenségek közötti kapcsolat szorosságát a lineáris regresszióhoz tartozó r xy lineáris párkorrelációs együtthatóval becsüljük meg (-1≤r xy ≤1):
és p xy korrelációs index – a nemlineáris regresszióhoz (0≤p xy ≤1):
A megszerkesztett modell minőségének értékelését a meghatározási együttható (index), valamint az átlagos közelítési hiba adja.
Az átlagos közelítési hiba a számított értékek átlagos eltérése a tényleges értékektől:
.
A megengedett értékhatár A - legfeljebb 8-10%.
Az E átlagos rugalmassági együttható azt mutatja meg, hogy az y eredmény átlagosan hány százalékkal változik átlagosan az átlagos értékéhez képest, ha az x tényező 1%-kal változik az átlagos értékéhez képest:
.
A varianciaanalízis feladata a függő változó varianciájának elemzése:
∑(y-y )²=∑(y x -y )²+∑(y-y x)²
ahol ∑(y-y)² az eltérések négyzetes összege;
∑(y x -y)² - a regresszióból eredő eltérések négyzetes összege ("magyarázott" vagy "tényező");
∑(y-y x)² - az eltérések négyzetes maradék összege.
A regresszióval magyarázott variancia részarányát az y effektív jellemző teljes varianciájában az R2 meghatározás együtthatójával (indexével) jellemezzük: 
A determinációs együttható az együttható vagy korrelációs index négyzete.
Az F-teszt - a regressziós egyenlet minőségének értékelése - a hipotézis teszteléséből áll, de a regressziós egyenlet statisztikai jelentéktelenségéről és a kapcsolat szorosságának mutatójáról. Ehhez a tényleges F tény és a Fisher F-kritérium értékeinek kritikus (táblázatos) F táblázatának összehasonlítása történik. Az F tényt az egy szabadságfokra számított faktoriális és reziduális variancia értékeinek arányából határozzuk meg: 
,
ahol n a lakossági egységek száma; m az x változók paramétereinek száma.
Az F táblázat a kritérium maximális lehetséges értéke véletlenszerű tényezők hatására adott szabadsági fokra és a szignifikancia szintre. A szignifikancia szint - a helyes hipotézis elutasításának valószínűsége, feltéve, hogy igaz. Általában a értéke 0,05 vagy 0,01.
Ha F táblázat< F факт, то Н о - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F табл >F tény, akkor a H hipotézist nem utasítjuk el, és felismerjük a regressziós egyenlet statisztikai jelentéktelenségét, megbízhatatlanságát.
A regressziós és korrelációs együtthatók statisztikai szignifikanciájának értékeléséhez a Student-féle t-próbát és az egyes mutatók konfidenciaintervallumát kiszámítjuk. A mutatók véletlenszerűségére vonatkozóan egy H hipotézist teszünk fel, azaz. a nullától való jelentéktelen különbségükről. A regressziós és korrelációs együtthatók szignifikanciájának értékelése a Student-féle t-próbával úgy történik, hogy az értékeket összehasonlítjuk a véletlen hiba nagyságával:
; ; .
A lineáris regressziós paraméterek és a korrelációs együttható véletlenszerű hibáit a következő képletek határozzák meg: 
A t-statisztika tényleges és kritikus (táblázatos) értékeit - t tabl és t fact - összehasonlítva elfogadjuk vagy elvetjük a H o hipotézist.
A Fisher-féle F-próba és a Student-féle t-statisztika közötti kapcsolatot az egyenlőség fejezi ki
Ha t táblázat< t факт то H o отклоняется, т.е. a , b и r xy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t табл >t az a tény, hogy a H kb hipotézist nem utasítjuk el, és felismerjük az a, b vagy r xy képződésének véletlenszerűségét.
A konfidenciaintervallum kiszámításához minden mutatóhoz meghatározzuk a D határhibát:
Δ a =t táblázat m a, Δ b =t táblázat m b.
A konfidenciaintervallumok kiszámításának képlete a következő:
γ a \u003d aΔ a; γ a \u003d a-Δ a; γ a =a+Δa
γb = bΔb; γb = b-Δb; γb =b+Δb
Ha a nulla a konfidenciaintervallum határain belül esik, pl. Ha az alsó határ negatív és a felső határ pozitív, akkor a becsült paramétert nullának kell tekinteni, mivel nem tud egyszerre pozitív és negatív értéket felvenni.
Az y p előrejelzési értéket úgy határozzuk meg, hogy a megfelelő (előrejelzett) x p értéket behelyettesítjük az y x =a+b·x regressziós egyenletbe. Az m y x előrejelzés átlagos standard hibáját számítjuk ki: 
,
Ahol 
és épül megbízhatósági intervallum előrejelzés:
γ y x =y p Δ y p ; y y x min=y p -Δ y p; γ y x max=y p +Δ y p
ahol Δ y x =t táblázat ·m y x .
Megoldási példa
1. számú feladat. Az uráli régió hét területén 199X-ben két jel értéke ismert.Asztal 1.
Kívánt: 1. Az y x-től való függésének jellemzéséhez számítsa ki a következő függvények paramétereit!
a) lineáris;
b) hatványtörvény (korábban mindkét rész logaritmusának felvételével kellett végrehajtani a változók linearizálását);
c) demonstratív;
d) egyenlő oldalú hiperbola (azt is ki kell találnia, hogyan lehet előre linearizálni ezt a modellt).
2. Értékelje az egyes modelleket az átlagos A közelítési hibával és a Fisher-féle F-próbával.
Megoldás (1. lehetőség)
Az y=a+b·x lineáris regresszió a és b paramétereinek kiszámításához (a számítás elvégezhető számológéppel).tekintetében oldja meg a normálegyenletrendszert AÉs b:
A kiindulási adatok alapján kiszámítjuk ∑y, ∑x, ∑y x, ∑x², ∑y²:
| y | x | yx | x2 | y2 | y x | y-y x | Ai | |
| l | 68,8 | 45,1 | 3102,88 | 2034,01 | 4733,44 | 61,3 | 7,5 | 10,9 |
| 2 | 61,2 | 59,0 | 3610,80 | 3481,00 | 3745,44 | 56,5 | 4,7 | 7,7 |
| 3 | 59,9 | 57,2 | 3426,28 | 3271,84 | 3588,01 | 57,1 | 2,8 | 4,7 |
| 4 | 56,7 | 61,8 | 3504,06 | 3819,24 | 3214,89 | 55,5 | 1,2 | 2,1 |
| 5 | 55,0 | 58,8 | 3234,00 | 3457,44 | 3025,00 | 56,5 | -1,5 | 2,7 |
| 6 | 54,3 | 47,2 | 2562,96 | 2227,84 | 2948,49 | 60,5 | -6,2 | 11,4 |
| 7 | 49,3 | 55,2 | 2721,36 | 3047,04 | 2430,49 | 57,8 | -8,5 | 17,2 |
| Teljes | 405,2 | 384,3 | 22162,34 | 21338,41 | 23685,76 | 405,2 | 0,0 | 56,7 |
| Házasodik érték (Össz./n) | 57,89 y | 54,90 x | 3166,05 x y | 3048,34 x² | 3383,68 y² | x | x | 8,1 |
| s | 5,74 | 5,86 | x | x | x | x | x | x |
| s2 | 32,92 | 34,34 | x | x | x | x | x | x |
a=y -b x = 57,89+0,35 54,9 ≈ 76,88
Regressziós egyenlet: y= 76,88 - 0,35X. Az átlagos napibér 1 rubel emelésével. az élelmiszerek vásárlására fordított kiadások aránya átlagosan 0,35%-ponttal csökken.
Számítsa ki a párkorrelációs lineáris együtthatót: 
A kommunikáció mérsékelt, fordított.
Határozzuk meg a determinációs együtthatót: r² xy =(-0,35)=0,127
Az eredmény 12,7%-os eltérését az x tényező változása magyarázza. A tényleges értékek behelyettesítése a regressziós egyenletbe x, meghatározzuk y x elméleti (számított) értékeit. Határozzuk meg az átlagos A közelítési hiba értékét:
A számított értékek átlagosan 8,1%-kal térnek el a tényleges értékektől.
Számítsuk ki az F-kritériumot: 
A kapott érték azt jelzi, hogy el kell fogadni a feltárt függőség véletlenszerűségére vonatkozó H 0 hipotézist, valamint az egyenlet paramétereinek statisztikai jelentéktelenségét és a kapcsolat szorosságát jelző mutatót.
1b. Az y=a x b hatványmodell felépítését a változók linearizálási eljárása előzi meg. A példában a linearizálás az egyenlet mindkét oldalának logaritmusával történik:
lg y=lg a + b lg x
Y=C+b Y
ahol Y=lg(y), X=lg(x), C=lg(a).
A számításokhoz a táblázat adatait használjuk. 1.3.
1.3. táblázat
| Y | x | YX | Y2 | x2 | y x | y-y x | (y-yx)² | Ai | |
| 1 | 1,8376 | 1,6542 | 3,0398 | 3,3768 | 2,7364 | 61,0 | 7,8 | 60,8 | 11,3 |
| 2 | 1,7868 | 1,7709 | 3,1642 | 3,1927 | 3,1361 | 56,3 | 4,9 | 24,0 | 8,0 |
| 3 | 1,7774 | 1,7574 | 3,1236 | 3,1592 | 3,0885 | 56,8 | 3,1 | 9,6 | 5,2 |
| 4 | 1,7536 | 1,7910 | 3,1407 | 3,0751 | 3,2077 | 55,5 | 1,2 | 1,4 | 2,1 |
| 5 | 1,7404 | 1,7694 | 3,0795 | 3,0290 | 3,1308 | 56,3 | -1,3 | 1,7 | 2,4 |
| 6 | 1,7348 | 1,6739 | 2,9039 | 3,0095 | 2,8019 | 60,2 | -5,9 | 34,8 | 10,9 |
| 7 | 1,6928 | 1,7419 | 2,9487 | 2,8656 | 3,0342 | 57,4 | -8,1 | 65,6 | 16,4 |
| Teljes | 12,3234 | 12,1587 | 21,4003 | 21,7078 | 21,1355 | 403,5 | 1,7 | 197,9 | 56,3 |
| Átlagos érték | 1,7605 | 1,7370 | 3,0572 | 3,1011 | 3,0194 | x | x | 28,27 | 8,0 |
| σ | 0,0425 | 0,0484 | x | x | x | x | x | x | x |
| σ2 | 0,0018 | 0,0023 | x | x | x | x | x | x | x |
Számítsd ki C-t és b-t:
C=Y-b X = 1,7605+0,298 1,7370 = 2,278126
Lineáris egyenletet kapunk: Y=2,278-0,298 X
Potencírozása után a következőt kapjuk: y=10 2,278 x -0,298
Ebben az egyenletben behelyettesítve a tényleges értékeket X, megkapjuk az eredmény elméleti értékeit. Ezek alapján kiszámítjuk a mutatókat: a kapcsolat szorossága - a p xy korrelációs index és az átlagos közelítési hiba A . 
A teljesítménymodell jellemzői azt mutatják, hogy valamivel jobb lineáris függvény leírja a kapcsolatot.
1v. Az y \u003d a b x exponenciális görbe egyenletének felépítését a változók linearizálásának eljárása előzi meg, ha az egyenlet mindkét részének logaritmusát vesszük:
lg y=lg a + x lg b
Y=C+B x
A számításokhoz a táblázat adatait használjuk.
| Y | x | Yx | Y2 | x2 | y x | y-y x | (y-yx)² | Ai | |
| 1 | 1,8376 | 45,1 | 82,8758 | 3,3768 | 2034,01 | 60,7 | 8,1 | 65,61 | 11,8 |
| 2 | 1,7868 | 59,0 | 105,4212 | 3,1927 | 3481,00 | 56,4 | 4,8 | 23,04 | 7,8 |
| 3 | 1,7774 | 57,2 | 101,6673 | 3,1592 | 3271,84 | 56,9 | 3,0 | 9,00 | 5,0 |
| 4 | 1,7536 | 61,8 | 108,3725 | 3,0751 | 3819,24 | 55,5 | 1,2 | 1,44 | 2,1 |
| 5 | 1,7404 | 58,8 | 102,3355 | 3,0290 | 3457,44 | 56,4 | -1,4 | 1,96 | 2,5 |
| 6 | 1,7348 | 47,2 | 81,8826 | 3,0095 | 2227,84 | 60,0 | -5,7 | 32,49 | 10,5 |
| 7 | 1,6928 | 55,2 | 93,4426 | 2,8656 | 3047,04 | 57,5 | -8,2 | 67,24 | 16,6 |
| Teljes | 12,3234 | 384,3 | 675,9974 | 21,7078 | 21338,41 | 403,4 | -1,8 | 200,78 | 56,3 |
| Házasodik zn. | 1,7605 | 54,9 | 96,5711 | 3,1011 | 3048,34 | x | x | 28,68 | 8,0 |
| σ | 0,0425 | 5,86 | x | x | x | x | x | x | x |
| σ2 | 0,0018 | 34,339 | x | x | x | x | x | x | x |
Az A és a regressziós paraméterek értékei BAN BENösszege:
A=Y -B x = 1,7605+0,0023 54,9 = 1,887
Lineáris egyenletet kapunk: Y=1,887-0,0023x. Potencírozzuk a kapott egyenletet, és a szokásos formában írjuk fel:
y x = 10 1,887 10 -0,0023x = 77,1 0,9947 x
A kapcsolat szorosságát a p xy korrelációs indexen keresztül becsüljük meg: 
