A matematikai egyenlőtlenség fogalma az ókorban keletkezett. Ez akkor történt, amikor egy primitív embernek össze kellett hasonlítania a számát és méretét, amikor számlál, és különféle tárgyakkal cselekszik. Arkhimédész, Eukleidész és más híres tudósok: matematikusok, csillagászok, tervezők és filozófusok ősidők óta használják az egyenlőtlenségeket az érvelésük során.

De általában verbális terminológiát használtak munkáikban. Először Angliában találták ki és alkalmazták a modern jeleket, amelyek a "több" és a "kevesebb" fogalmát jelölik olyan formában, amelyet ma minden iskolás ismer. Thomas Harriot matematikus ilyen szolgálatot tett a leszármazottaknak. És ez körülbelül négy évszázaddal ezelőtt történt.

Sokféle egyenlőtlenség létezik. Köztük egyszerűek, egy, két vagy több változót, négyzet-, tört-, összetett arányokat tartalmaznak, sőt kifejezésrendszerrel is ábrázolhatók. És az egyenlőtlenségek megoldásának megértéséhez a legjobb, ha különféle példákat használ.

Ne maradj le a vonatról

Először képzeld el, hogy egy lakos vidéki táj siet a vasútállomásra, amely 20 km-re van falujától. Annak érdekében, hogy ne késse le a 11 órakor induló vonatot, időben el kell hagynia a házat. Mikor kell ezt megtenni, ha a mozgás sebessége 5 km/h? Ennek a gyakorlati feladatnak a megoldása a következő kifejezés feltételeinek teljesítésére redukálódik: 5 (11 - X) ≥ 20, ahol X az indulási idő.

Ez érthető, mert az a távolság, amelyet egy falusi embernek le kell tennie az állomásig, egyenlő a mozgási sebesség és az úton töltött órák számának szorzatával. jön korábbi ember talán, de nem késhet el. Ha ismerjük az egyenlőtlenségek megoldását, és készségeinket a gyakorlatban alkalmazzuk, végül X ≤ 7-et kapunk, ami a válasz. Ez azt jelenti, hogy a falusi ember reggel hétkor vagy valamivel korábban menjen a vasútállomásra.

Számhézagok a koordináta egyenesen

Most nézzük meg, hogyan lehet a leírt összefüggéseket leképezni a fent kapott nem szigorú egyenlőtlenségre. Ez azt jelenti, hogy a változó 7-nél kisebb értéket vehet fel, és egyenlő lehet ezzel a számmal. Mondjunk más példákat is. Ehhez alaposan vegye figyelembe az alábbi négy ábrát.

Az elsőn a [-7; intervallum grafikus ábrázolása látható; 7]. A koordinátavonalon elhelyezkedő és -7 és 7 között elhelyezkedő számok halmazából áll, beleértve a határokat is. Ebben az esetben a grafikon pontjai kitöltött körökként jelennek meg, és az intervallumot a segítségével rögzítjük

A második ábra a szigorú egyenlőtlenség grafikus ábrázolása. Ebben az esetben a szúrt (nem kitöltött) pontokkal jelölt -7 és 7 határszámok nem szerepelnek a megadott halmazban. Magát az intervallumot pedig zárójelben a következőképpen rögzítjük: (-7; 7).

Azaz, miután kitaláltuk, hogyan lehet megoldani az ilyen típusú egyenlőtlenségeket, és hasonló választ kaptunk, arra a következtetésre juthatunk, hogy az olyan számokból áll, amelyek a -7 és 7 kivételével a figyelembe vett határok között vannak. A következő két esetet ki kell értékelni hasonló módon. A harmadik ábra a rések képeit mutatja (-∞; -7] U - szögletes zárójelek).

*Ez nem csak a négyzetes egyenlőtlenségekre vonatkozik. A szögletes zárójel azt jelenti, hogy maga az intervallumhatár is benne van a megoldásban.

Ezt látni fogja a példákban. Nézzünk meg néhányat, hogy eltávolítsunk minden ezzel kapcsolatos kérdést. Elméletileg az algoritmus kissé bonyolultnak tűnhet, valójában minden egyszerű.

1. PÉLDA: Döntse el x 2 – 60 x+500 ≤ 0

Mi döntünk másodfokú egyenlet x 2 –60 x+500=0

D = b 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Gyökerek keresése:

Az együtthatót helyettesítjük a

x 2 –60 x+500 = (x-50) (x-10)

Az egyenlőtlenséget a formába írjuk (х–50) (х–10) ≤ 0

Az egyenlet gyökei intervallumokra osztják a számegyenest. Mutassuk meg őket a számegyenesen:

Három intervallumot kaptunk (–∞;10), (10;50) és (50;+∞).

Meghatározzuk a „jeleket” az intervallumokon, ezt úgy tesszük, hogy az (x–50) (x–10) kifejezésbe behelyettesítjük az egyes kapott intervallumok tetszőleges értékeit, és megnézzük a kapott „jel” megfelelését a jelentkezzen be az egyenlőtlenségbe (х–50) (х–10) ≤ 0:

x=2 (x–50) (x–10) = 384 > 0 rossz

x=20 (x–50) (x–10) = –300 < 0 верно

x=60 (x–50) (x–10) = 500 > 0 hamis

A megoldás az intervallum lesz.

Ebből az intervallumból származó x összes értékére az egyenlőtlenség igaz lesz.

*Kérjük, vegye figyelembe, hogy szögletes zárójeleket is mellékeltünk.

x = 10 és x = 50 esetén az egyenlőtlenség is igaz lesz, vagyis a határok benne vannak a megoldásban.

Válasz: x∊

Újra:

- Az intervallum határai BEVEZETETTEK az egyenlőtlenség megoldásába, ha a feltétel ≤ vagy ≥ (nem szigorú egyenlőtlenség) előjelet tartalmaz. Ugyanakkor a kapott gyökereket HASHED körrel szokás megjeleníteni a vázlatban.

- Az intervallum határai NEM TARTALMAZNAK bele az egyenlőtlenség megoldásába, ha a feltétel tartalmazza az előjelet< или >(szigorú egyenlőtlenség). Ugyanakkor a vázlatban a gyökeret UNSHATCHED körrel szokás megjeleníteni.

2. PÉLDA: Oldja meg x 2 + 4 x–21 > 0

Megoldunk egy másodfokú egyenletet x 2 + 4 x–21 = 0

D = b 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Gyökerek keresése:

Az együtthatót helyettesítjük aés a (2) képletbe gyökerezve kapjuk:

x 2 + 4 x–21 = (x–3) (x+7)

Az egyenlőtlenséget a formába írjuk (х–3) (х+7) > 0.

Az egyenlet gyökei intervallumokra osztják a számegyenest. Jelöljük őket a számegyenesen:

*Az egyenlőtlenség nem szigorú, ezért a gyökök jelölése NINCS árnyékolt. Három intervallumot kaptunk (–∞;–7), (–7;3) és (3;+∞).

Meghatározzuk az intervallumokon az előjeleket, ezt úgy, hogy ezeknek az intervallumoknak tetszőleges értékeit behelyettesítjük az (x–3) (x + 7) kifejezésbe, és megnézzük az egyenlőtlenségnek való megfelelést. (х–3) (х+7)> 0:

x= -10 (-10-3) (-10 +7) = 39 > 0 igaz

x \u003d 0 (0–3) (0 + 7) \u003d -21< 0 неверно

x=10-nél (10–3) (10 +7) = 119 > 0 igaz

A megoldás két intervallum (–∞;–7) és (3;+∞) lesz. Az ezen intervallumokból származó x összes értékére az egyenlőtlenség igaz lesz.

*Kérjük, vegye figyelembe, hogy zárójeleket is tartalmaztunk. x = 3 és x = -7 esetén az egyenlőtlenség rossz lesz - a határok nem szerepelnek a megoldásban.

Válasz: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

3. PÉLDA: Oldja meg – x 2 –9 x–20 > 0

Megoldunk egy másodfokú egyenletet – x 2 –9 x–20 = 0.

a = –1 b = –9 c = –20

D = b 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Gyökerek keresése:

Az együtthatót helyettesítjük aés a (2) képletbe gyökerezve kapjuk:

– x 2 –9 x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

Az egyenlőtlenséget a formába írjuk –(x+5)(x+4) > 0.

Az egyenlet gyökei intervallumokra osztják a számegyenest. Megjegyzés a számsorban:

*Az egyenlőtlenség szigorú, ezért a gyökerek szimbólumai nincsenek árnyékolva. Három intervallumot kaptunk (–∞;–5), (–5; –4) és (–4;+∞).

Meghatározzuk a "jeleket" az intervallumokon, ezt úgy tesszük, hogy behelyettesítjük a kifejezésbe –(x+5)(x+4) ezeknek az intervallumoknak tetszőleges értékeit, és nézze meg az egyenlőtlenségnek való megfelelést –(x+5)(x+4)>0:

x= -10 -nél (-10+5)(-10 +4) = -30< 0 неверно

x= -4,5 - (-4,5+5) (-4,5+4) = 0,25 > 0 igaz

x \u003d 0 - (0 + 5) (0 + 4) \u003d -20< 0 неверно

A megoldás a (-5; -4) intervallum lesz. A hozzá tartozó "x" minden értékére az egyenlőtlenség igaz lesz.

*Kérjük, vegye figyelembe, hogy a megoldás nem tartalmazza a határokat. Ha x = -5 és x = -4, az egyenlőtlenség nem lesz igaz.

MEGJEGYZÉS!

Másodfokú egyenlet megoldásakor előfordulhat, hogy egy gyöket kapunk, vagy egyáltalán nem lesz gyök, akkor vakon alkalmazva ezt a módszert nehéz lehet a megoldás meghatározása.

Kis összefoglaló! A módszer jó és kényelmes a használata, különösen, ha ismeri a másodfokú függvényt és ismeri a gráf tulajdonságait. Ha nem, akkor kérjük, olvassa el, és lépjen tovább a következő részre.

Grafikonhasználat másodfokú függvény. Ajánlom!

A kvadratikus az alak függvénye:

A grafikonja egy parabola, a parabola ágai felfelé vagy lefelé irányulnak:

A grafikon a következőképpen helyezhető el: az x tengelyt két ponton keresztezheti, egy ponton (felül) érintheti, nem keresztezheti. Erről később.

Most nézzük meg ezt a megközelítést egy példán keresztül. A teljes döntési folyamat abból áll három szakaszban. Oldjuk meg az egyenlőtlenséget x 2 +2 x –8 >0.

Első fázis

Oldja meg az egyenletet x 2 +2 x–8=0.

D = b 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Gyökerek keresése:

Kaptunk x 1 \u003d 2 és x 2 \u003d - 4.

Második fázis

Parabola építése y=x 2 +2 x–8 pontok szerint:

A 4. és 2. pont a parabola és az x tengely metszéspontja. Minden egyszerű! Mit csináltak? Megoldottuk a másodfokú egyenletet x 2 +2 x–8=0. Nézze meg a következő bejegyzését:

0 = x2+2x-8

Nálunk a nulla az "y" értéke. Ha y = 0, akkor megkapjuk a parabola és az x tengellyel való metszéspontjainak abszcisszáját. Azt mondhatjuk, hogy "y" nulla értéke az x tengely.

Most nézd meg, hogy az x milyen értékei a kifejezésnek x 2 +2 x – 8 nagyobb (vagy kisebb) nullánál? A parabola grafikon szerint ezt nem nehéz meghatározni, ahogy mondják, minden jól látható:

1. x-nél< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 pozitív lesz.

2. -4-kor< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 negatív lesz.

3. Ha x > 2, a parabola ága az x tengely felett van. Az adott x-re a trinom x 2 +2 x –8 pozitív lesz.

Harmadik szakasz

A parabolából azonnal láthatjuk, hogy melyik x-re a kifejezés x 2 +2 x–8 nullánál nagyobb, nullával egyenlő, nullánál kisebb. Ez a megoldás harmadik szakaszának lényege, hogy meglássuk és meghatározzuk a pozitív és negatív területeket az ábrán. Összehasonlítjuk az eredményt az eredeti egyenlőtlenséggel, és felírjuk a választ. Példánkban meg kell határozni x összes olyan értékét, amelyre a kifejezés vonatkozik x 2 +2 x–8 Nulla felett. Ezt a második lépésben tettük meg.

Már csak a választ le kell írni.

Válasz: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Összefoglalva: miután az első lépésben kiszámítottuk az egyenlet gyökereit, a kapott pontokat az x tengelyen jelölhetjük (ezek a parabola és az x tengellyel való metszéspontok). Ezután sematikusan megépítünk egy parabolát, és már látjuk is a megoldást. Miért vázlatos? Nincs szükségünk matematikailag pontos ütemtervre. Igen, és képzeljük el például, ha a gyökök 10 és 1500, akkor próbáljunk meg pontos grafikont építeni egy lapon egy ilyen értéktartománnyal. Felmerül a kérdés! Nos, megkaptuk a gyökereket, nos, megjelöltük őket az x tengelyen, és felvázoltuk magának a parabolának a helyét - az ágakkal felfelé vagy lefelé? Itt minden egyszerű! Az x 2 együttható megmondja:

- ha nagyobb nullánál, akkor a parabola ágai felfelé irányulnak.

- ha kisebb, mint nulla, akkor a parabola ágai lefelé irányulnak.

Példánkban egyenlő eggyel, azaz pozitív.

*Jegyzet! Ha az egyenlőtlenségben nem szigorú előjel van, azaz ≤ vagy ≥, akkor a számegyenesen lévő gyököket árnyékolni kell, ez feltételesen azt jelzi, hogy magának az intervallumnak a határa is benne van az egyenlőtlenség megoldásában. Ebben az esetben a gyökerek nincsenek árnyékolva (kiütve), mivel az egyenlőtlenségünk szigorú (van egy „>” jel). Mit jelent a válasz, ebben az esetben ne szögletes zárójeleket, hanem kerek zárójeleket (a határvonalakat nem tartalmazza a megoldás).

Sokat írt, valószínűleg valaki összezavarodott. De ha legalább 5 egyenlőtlenséget megoldasz parabolákkal, akkor a csodálatodnak nem lesz határa. Minden egyszerű!

Szóval röviden:

1. Felírjuk az egyenlőtlenséget, hozzuk a standardba.

2. Felírjuk a másodfokú egyenletet és megoldjuk.

3. Megrajzoljuk az x tengelyt, megjelöljük a kapott gyököket, sematikusan felrajzolunk egy parabolát, felfelé ágazunk, ha az együttható x 2-nél pozitív, vagy leágazunk, ha negatív.

4. Határozzuk meg a vizuálisan pozitív vagy negatív területeket, és írjuk le a választ az eredeti egyenlőtlenség szerint.

Vegye figyelembe a példákat.

1. PÉLDA: Döntse el x 2 –15 x+50 > 0

Első fázis.

Megoldunk egy másodfokú egyenletet x 2 –15 x+50=0

D = b 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Gyökerek keresése:

Második fázis.

Építünk egy tengelyt oh. Jelöljük meg a kapott gyökereket. Mivel az egyenlőtlenségünk szigorú, nem árnyaljuk őket. Sematikusan megépítünk egy parabolát, amely felfelé ágakkal van elhelyezve, mivel az x 2 együttható pozitív:

Harmadik szakasz.

Meghatározzuk a vizuálisan pozitív és negatív területeket, itt különböző színekkel jelöltük őket az áttekinthetőség kedvéért, ezt nem teheti meg.

Leírjuk a választ.

Válasz: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*Az U jel az egyesülési megoldást jelöli. Képletesen szólva a megoldás „ez” ÉS „ez” intervallum.

2. PÉLDA: Oldja meg – x 2 + x+20 ≤ 0

Első fázis.

Megoldunk egy másodfokú egyenletet – x 2 + x+20=0

D = b 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Gyökerek keresése:

Második fázis.

Építünk egy tengelyt oh. Jelöljük meg a kapott gyökereket. Mivel az egyenlőtlenségünk nem szigorú, árnyékoljuk a gyökök jelölését. Sematikusan megépítünk egy parabolát, amely ágakkal lefelé helyezkedik el, mivel az x 2 együttható negatív (egyenlő: -1):

Harmadik szakasz.

Meghatározzuk a vizuálisan pozitív és negatív területeket. Hasonlítsuk össze az eredeti egyenlőtlenséggel (jelünk ≤ 0). Az egyenlőtlenség igaz lesz x ≤ - 4 és x ≥ 5 esetén.

Leírjuk a választ.

Válasz: x∊(–∞;–4] U ∪[ \frac(2)(3);∞)\)

Másodfokú egyenlőtlenségek negatív és nulla diszkriminánssal

A fenti algoritmus akkor működik, ha a diszkrimináns nagyobb, mint nulla, azaz \(2\) gyöke van. Mi a teendő más esetekben? Például ezek:

Ha \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

Vagyis a kifejezés:
\(x^2+2x+9\) pozitív bármely \(x\) esetén, mert \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - negatív bármely \(x\), mert \(a=-1<0\)

Ha \(D=0\), akkor a \(x\) egyik értékének négyzetes hármasrésze egyenlő nullával, és az összes többire állandó előjelű, ami egybeesik a \(a\) együttható előjelével. .

Vagyis a kifejezés:
\(x^2+6x+9\) nulla \(x=-3\) esetén, és pozitív az összes többi x esetén, mert \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) egyenlő nullával \(x=-2\) esetén, és negatív az összes többinél, mert \(a=-1<0\).

Hogyan találjuk meg az x-et, amelynél a négyzetháromtag nullával egyenlő? Meg kell oldania a megfelelő másodfokú egyenletet.

Ezzel az információval oldjuk meg a másodfokú egyenlőtlenségeket: