1. Lineáris törtfüggvény és grafikonja

Az y = P(x) / Q(x) alakú függvényt, ahol P(x) és Q(x) polinomok, tört racionális függvénynek nevezzük.

Valószínűleg már ismeri a racionális számok fogalmát. Hasonlóképpen racionális függvények olyan függvények, amelyek két polinom hányadosaként ábrázolhatók.

Ha egy tört racionális függvény két lineáris függvény - elsőfokú polinomok - hányadosa, azaz. nézet funkció

y = (ax + b) / (cx + d), akkor ezt tört lineárisnak nevezzük.

Vegye figyelembe, hogy az y = (ax + b) / (cx + d) függvényben c ≠ 0 (egyébként a függvény lineárissá válik y = ax/d + b/d), és hogy a/c ≠ b/d (egyébként a függvény egy állandó ). A lineáris-tört függvény minden valós számra definiálva van, kivéve x = -d/c. A lineáris-törtfüggvények grafikonjai formailag nem különböznek az általunk ismert y = 1/x gráftól. Meghívjuk azt a görbét, amely az y = 1/x függvény grafikonja túlzás. Ha x abszolút értékben korlátlanul nő, az y = 1/x függvény abszolút értékben korlátlanul csökken, és a grafikon mindkét ága megközelíti az abszcissza tengelyt: a jobb felülről, a bal pedig alulról. A hiperbola ágai által megközelített vonalakat annak nevezzük aszimptoták.

1. példa

y = (2x + 1) / (x - 3).

Megoldás.

Jelöljük ki az egész részt: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Most könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1/x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: eltolás 3 egységnyi szegmenssel jobbra, nyújtás az Oy tengely mentén 7-szeresre és eltolás 2 egység szegmenssel feljebb.

Bármely y = (ax + b) / (cx + d) tört ugyanúgy felírható, kiemelve az „egész részt”. Következésképpen az összes lineáris-törtfüggvény grafikonja a koordinátatengelyek mentén különféle módon eltolt és az Oy tengely mentén kifeszített hiperbolák.

Egy tetszőleges grafikon felépítéséhez lineáris törtfüggvény egyáltalán nem szükséges átalakítani az ezt a függvényt meghatározó törtet. Mivel tudjuk, hogy a gráf hiperbola, elég lesz megtalálni azokat az egyeneseket, amelyekhez az ágai közelítenek - az x = -d/c és y = a/c hiperbola-aszimptotákat.

2. példa

Keresse meg az y = (3x + 5)/(2x + 2) függvény gráfjának aszimptotáit!

Megoldás.

A függvény nincs definiálva, ha x = -1. Ezért az x = -1 egyenes függőleges aszimptotaként szolgál. A vízszintes aszimptota megtalálásához nézzük meg, hogy az y(x) függvény értékei mihez közelednek, amikor az x argumentum abszolút értékben nő.

Ehhez elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét x-szel:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Mint x → ∞, a tört 3/2-re hajlik. Ezért a vízszintes aszimptota az y = 3/2 egyenes.

3. példa

Ábrázolja az y = (2x + 1)/(x + 1) függvényt!

Megoldás.

Kiválasztjuk a tört „egész részét”:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Most könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1/x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: 1 egységnyi balra tolódás, szimmetrikus megjelenítés az Ox-hoz képest és eltolás 2 egységnyi intervallumból felfelé az Oy tengely mentén.

Definíciós tartomány D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

ÉrtéktartományE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Metszéspontok tengelyekkel: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). A függvény a definíciós tartomány mindegyik intervallumán növekszik.

Válasz: 1. ábra.

2. Tört-racionális függvény

Tekintsünk egy y = P(x) / Q(x) alakú tört racionális függvényt, ahol P(x) és Q(x) az elsőnél magasabb fokú polinomok.

Példák ilyen racionális függvényekre:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) vagy y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ha az y = P(x) / Q(x) függvény két, az elsőnél magasabb fokú polinom hányadosa, akkor a gráfja általában bonyolultabb lesz, és néha nehéz lehet pontosan megépíteni. , minden részlettel. Azonban gyakran elég azokhoz hasonló technikákat alkalmazni, amelyekkel fentebb már találkoztunk.

Legyen a tört megfelelő (n< m). Известно, что любую несократимую racionális törtábrázolható, ráadásul egyedi módon, véges számú elemi tört összegeként, amelynek formáját a Q(x) tört nevezőjének valós tényezők szorzatára való kiterjesztésével határozzuk meg:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Nyilvánvaló, hogy egy tört racionális függvény grafikonja megkapható elemi törtek grafikonjainak összegeként.

Tört racionális függvények ábrázolása

Tekintsünk több módot egy tört-racionális függvény ábrázolására.

4. példa

Ábrázoljuk az y = 1/x 2 függvényt.

Megoldás.

Az y \u003d x 2 függvény grafikonját használjuk az y \u003d 1 / x 2 grafikon ábrázolásához, és a grafikonok „osztásának” módszerét használjuk.

D(y) tartomány = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Értéktartomány E(y) = (0; +∞).

Nincsenek metszéspontok a tengelyekkel. A funkció egyenletes. Növekszik minden x-re a (-∞; 0) intervallumból, x esetén csökken 0-tól +∞-ig.

Válasz: 2. ábra.

5. példa

Ábrázolja az y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) függvényt.

Megoldás.

D(y) tartomány = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Itt a faktorizálás, redukció és lineáris függvényre való redukció technikáját alkalmaztuk.

Válasz: 3. ábra.

6. példa

Ábrázolja az y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) függvényt.

Megoldás.

A definíciós tartomány D(y) = R. Mivel a függvény páros, a gráf szimmetrikus az y tengelyre. Az ábrázolás előtt ismét átalakítjuk a kifejezést az egész rész kiemelésével:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Figyeljük meg, hogy a tört-racionális függvény képletében az egész rész kiválasztása az egyik legfontosabb a grafikonok ábrázolásakor.

Ha x → ±∞, akkor y → 1, azaz, az y = 1 egyenes vízszintes aszimptota.

Válasz: 4. ábra.

7. példa

Tekintsük az y = x/(x 2 + 1) függvényt, és próbáljuk meg pontosan megtalálni a legnagyobb értékét, pl. a legtöbb csúcspont a grafikon jobb fele. Ennek a grafikonnak a pontos felépítéséhez a mai tudás nem elegendő. Nyilvánvaló, hogy a görbénk nem "kúszhat" nagyon magasra, hiszen a nevező gyorsan elkezdi „előzni” a számlálót. Nézzük meg, hogy a függvény értéke egyenlő lehet-e 1-gyel. Ehhez meg kell oldani az x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 egyenletet. Ennek az egyenletnek nincs valódi gyökere. Tehát a feltevésünk téves. Hogy megtalálja a legtöbbet nagyon fontos függvény, meg kell találnia, hogy melyik legnagyobb A-ra lesz megoldása az A \u003d x / (x 2 + 1) egyenletnek. Cseréljük ki az eredeti egyenletet másodfokúra: Ax 2 - x + A = 0. Ennek az egyenletnek van megoldása, ha 1 - 4A 2 ≥ 0. legmagasabb érték A = 1/2.

Válasz: 5. ábra, max y(x) = ½.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell függvénygrafikonokat készíteni?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

A függvénygráf valamilyen funkció viselkedésének vizuális megjelenítése Koordináta sík. A grafikonok segítenek megérteni egy függvény különböző aspektusait, amelyek nem határozhatók meg magából a függvényből. Számos függvény grafikonját készítheti, és mindegyiket egy adott képlet adja meg. Bármely függvény grafikonja egy bizonyos algoritmus szerint épül fel (ha elfelejtette egy adott függvény grafikonjának ábrázolásának pontos folyamatát).

Lépések

Lineáris függvény ábrázolása

Határozza meg, hogy a függvény lineáris-e. A lineáris függvényt a forma képlete adja meg F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) vagy y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(például ), grafikonja pedig egy egyenes. Így a képlet egy változót és egy állandót (konstanst) tartalmaz kitevők, gyökjelek és hasonlók nélkül. Ha adott egy hasonló alakú függvény, egy ilyen függvény ábrázolása meglehetősen egyszerű. Íme további példák a lineáris függvényekre:

Használjon konstanst egy pont megjelölésére az y tengelyen. A (b) konstans a gráf Y tengellyel való metszéspontjának „y” koordinátája, azaz olyan pont, amelynek „x” koordinátája 0. Tehát ha x = 0 behelyettesítjük a képletbe , akkor y = b (konstans). Példánkban y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) a konstans 5, azaz az Y tengellyel való metszéspont koordinátái (0,5). Ábrázolja ezt a pontot a koordinátasíkon.

Keresse meg a vonal meredekségét. Ez egyenlő a változó szorzójával. Példánkban y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) az "x" változóval 2-es tényező; így a meredekség 2. A meredekség határozza meg az egyenes dőlésszögét az X tengelyhez képest, vagyis minél nagyobb a meredekség, annál gyorsabban nő vagy csökken a függvény.

Írja fel a lejtőt törtként! A lejtő egyenlő a dőlésszög érintőjével, vagyis a függőleges távolság (egy egyenes két pontja között) és a vízszintes távolság (ugyanazon pontok közötti) arányával. Példánkban a meredekség 2, tehát azt mondhatjuk, hogy a függőleges távolság 2, a vízszintes pedig 1. Írja ezt törtként: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Ha a meredekség negatív, a függvény csökken.

1. Abból a pontból, ahol a vonal metszi az Y tengellyel, rajzoljon egy második pontot a függőleges és vízszintes távolságok használatával. Egy lineáris függvény két pont segítségével ábrázolható. Példánkban az Y tengellyel való metszéspont koordinátái (0,5); ettől a ponttól 2 szóközzel feljebb, majd 1 szóközzel jobbra. Jelöljön meg egy pontot; koordinátái lesznek (1,7). Most egyenes vonalat húzhat.

   Vonalzó segítségével húzzon egyenes vonalat két ponton keresztül. A hibák elkerülése érdekében keresse meg a harmadik pontot, de a legtöbb esetben a grafikon két pont felhasználásával is felépíthető. Így egy lineáris függvényt ábrázolt.

Pontok rajzolása a koordinátasíkon

Határozzon meg egy függvényt. A függvény jelölése f(x). Az "y" változó minden lehetséges értékét a függvény tartományának, az "x" változó összes lehetséges értékét pedig a függvény tartományának nevezzük. Például vegyük az y = x+2 függvényt, nevezetesen f(x) = x+2.

Rajzolj két egymást metsző merőleges vonalat. A vízszintes vonal az X tengely, a függőleges az Y tengely.

Jelölje be a koordinátatengelyeket. Vágja fel az egyes tengelyeket egyenlő szegmensekre, és számozza meg őket. A tengelyek metszéspontja 0. Az X tengelynél: a pozitív számok a jobb oldalon vannak ábrázolva (0-tól), a negatív számok a bal oldalon. Az Y tengelyen: a pozitív számok felül (0-tól), a negatív számok pedig alul vannak ábrázolva.

Keresse meg az "y" értékeket az "x" értékek közül. Példánkban f(x) = x+2. Helyettesítsen bizonyos "x" értékeket ebbe a képletbe a megfelelő "y" értékek kiszámításához. Ha adott egy összetett függvény, akkor egyszerűsítse azt az "y" elválasztásával az egyenlet egyik oldalán.

• -1: -1 + 2 = 1
• 0: 0 +2 = 2
• 1: 1 + 2 = 3

1. Rajzolj pontokat a koordinátasíkra. Minden koordinátapárnál tegye a következőket: keresse meg a megfelelő értéket az x tengelyen, és rajzoljon egy függőleges vonalat (szaggatott vonal); keresse meg a megfelelő értéket az y tengelyen, és rajzoljon egy vízszintes vonalat (szaggatott vonal). Jelölje meg a két szaggatott vonal metszéspontját; így ábrázolt egy gráfpontot.

   Törölje a pontozott vonalakat. Ezt az összes gráfpont koordinátasíkon való ábrázolása után tegye meg. Megjegyzés: az f(x) = x függvény grafikonja a koordináták középpontján átmenő egyenes [pont koordinátákkal (0,0)]; az f(x) = x + 2 gráf az f(x) = x egyenessel párhuzamos, de két egységgel feljebb eltolt egyenes, így átmegy a (0,2) koordinátájú ponton (mert az állandó 2) .

Összetett függvény ábrázolása

Keresse meg a függvény nulláit! Egy függvény nullái az "x" változó értékei, ahol y = 0, vagyis ezek a grafikon és az x tengellyel való metszéspontok. Ne feledje, hogy nem minden függvénynek van nullája, de ez az első lépése bármely függvény grafikonjának ábrázolásának. Egy függvény nulláinak megkereséséhez állítsa azt nullára. Például:

Keresse meg és címkézze fel a vízszintes aszimptotákat. Az aszimptota egy olyan egyenes, amelyet egy függvény grafikonja megközelít, de soha nem keresztez (vagyis a függvény nincs definiálva ezen a területen, ha például elosztjuk 0-val). Jelölje meg az aszimptotát szaggatott vonallal. Ha az "x" változó egy tört nevezőjében van (pl. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), állítsa a nevezőt nullára, és keresse meg az "x"-et. Az "x" változó kapott értékeiben a függvény nincs definiálva (példánkban szaggatott vonalakat húzzon x = 2 és x = -2 között), mert nem oszthat 0-val. De aszimptoták nem csak azokban az esetekben léteznek, amikor a függvény tartalmazza tört kifejezés. Ezért ajánlott a józan ész használata:

1. Keresse meg több pont koordinátáit, és ábrázolja azokat a koordinátasíkon. Egyszerűen válasszon ki több x értéket, és csatlakoztassa őket a függvényhez, hogy megtalálja a megfelelő y értékeket. Ezután ábrázoljuk a pontokat a koordinátasíkon. Minél összetettebb a függvény, annál több pontot kell megtalálnia és alkalmaznia. A legtöbb esetben helyettesítő x = -1; x = 0; x = 1, de ha a függvény összetett, keress három pontot az origó mindkét oldalán.

   • Funkció esetén y = 5x2 + 6 (\displaystyle y=5x^(2)+6) cserélje ki a következő "x" értékeket: -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Elegendő pontot kap.
   • Okosan válassza ki az x értékeit. Példánkban könnyen érthető, hogy a negatív előjel nem játszik szerepet: az "y" értéke x \u003d 10 és x \u003d -10 pontban ugyanaz lesz.
3. Ha nem tudja, mit tegyen, kezdje azzal, hogy behelyettesíti egy függvénybe különböző jelentések"x" az "y" értékek (és így a pontok koordinátái) megtalálásához. Elméletileg csak ezzel a módszerrel lehet függvénygráfot megszerkeszteni (ha természetesen az x értékek végtelen sokféleségét behelyettesítjük).

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Abban az esetben, ha ez szükséges – a törvénynek, a bírósági végzésnek, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén működő állami szervek nyilvános megkeresései vagy kérései alapján – adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű okokból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A koordinátatengelyen lévő szakasz hosszát a következő képlet határozza meg:

A koordinátasíkon lévő szakasz hosszát a következő képlettel keressük:

Egy háromdimenziós koordinátarendszerben egy szakasz hosszának meghatározásához a következő képletet kell használni:

A szakasz közepének koordinátáit (a koordinátatengelyre csak az első képletet használják, a koordinátasíkra - az első két képletet, a háromdimenziós koordinátarendszerre - mindhárom képletet) a képletekkel számítják ki:

Funkció az űrlap megfelelése y= f(x) változók között, ami miatt minden egyes figyelembe vett értéke néhány változó x(argumentum vagy független változó) egy másik változó egy bizonyos értékének felel meg, y(függő változó, néha ezt az értéket egyszerűen a függvény értékének nevezik). Vegye figyelembe, hogy a függvény az argumentum egy értékét feltételezi x a függő változónak csak egy értéke lehet nál nél. Azonban ugyanaz az érték nál nél különféle változatokkal beszerezhető x.

Funkció hatóköre a független változó összes értéke (általában a függvény argumentuma x), amelyre a függvény definiálva van, azaz. jelentése létezik. Meg van adva a definíció tartománya D(y). Nagyjából Ön már ismeri ezt a fogalmat. Egy függvény hatókörét más néven érvényes értékek tartományának, vagy ODZ-nek hívják, amelyet már régóta meg tud találni.

Funkció tartomány a függvény függő változójának összes lehetséges értéke. Jelölve E(nál nél).

A funkció emelkedik azon az intervallumon, amelyen az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg. Funkció csökken azon az intervallumon, amelyen az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

Funkcióintervallumok a független változó azon intervallumai, amelyeknél a függő változó megtartja pozitív vagy negatív előjelét.

Funkció nullák az argumentum azon értékei, amelyeknél a függvény értéke nulla. Ezeken a pontokon a függvény grafikonja metszi az abszcissza tengelyt (OX tengely). Nagyon gyakran egy függvény nulláinak megtalálása az egyenlet egyszerű megoldását jelenti. Ezenkívül gyakran az állandó előjelű intervallumok keresésének szükségessége azt jelenti, hogy egyszerűen meg kell oldani az egyenlőtlenséget.

Funkció y = f(x) hívják még x

Ez azt jelenti, hogy az argumentum bármely ellentétes értéke esetén a páros függvény értéke egyenlő. Menetrend páros funkció mindig szimmetrikus az y y tengelyére.

Funkció y = f(x) hívják páratlan, ha szimmetrikus halmazon van definiálva és bármely x a definíció tartományából az egyenlőség teljesül:

Ez azt jelenti, hogy az argumentum bármely ellentétes értéke esetén a páratlan függvény értékei is ellentétesek. A páratlan függvény grafikonja mindig szimmetrikus az origóra.

A páros és a gyökök összege furcsa tulajdonságok(az x tengely OX metszéspontjai) mindig nulla, mert minden pozitív gyökérre x negatív gyökere van x.

Fontos megjegyezni, hogy néhány függvénynek nem kell párosnak vagy páratlannak lennie. Sok olyan függvény van, amely nem páros és nem páratlan. Az ilyen függvényeket ún funkciókat Általános nézet , és a fenti egyenlőségek vagy tulajdonságok egyike sem áll fenn rájuk.

Lineáris függvény függvénynek nevezzük, amely a következő képlettel adható meg:

Egy lineáris függvény grafikonja egy egyenes, és általános esetben így néz ki (egy példa arra az esetre, amikor k> 0, ebben az esetben a függvény növekszik; az esethez k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

A másodfokú függvény grafikonja (parabola)

A parabola grafikonját egy másodfokú függvénnyel adjuk meg:

A másodfokú függvény, mint minden más függvény, az OX tengelyt azokban a pontokban metszi, amelyek a gyökerei: ( x 1; 0) és ( x 2; 0). Ha nincsenek gyökök, akkor a másodfokú függvény nem metszi az OX tengelyt, ha van egy gyök, akkor ezen a ponton ( x 0; 0) a másodfokú függvény csak érinti az OX tengelyt, de nem metszi azt. A másodfokú függvény mindig egy pontban metszi az OY tengelyt, melynek koordinátái: (0; c). Egy másodfokú függvény (parabola) grafikonja így nézhet ki (az ábrán olyan példák láthatók, amelyek messze nem merítik ki az összes lehetséges parabolatípust):

Ahol:

• ha az együttható a> 0, a függvényben y = fejsze 2 + bx + c, akkor a parabola ágai felfelé irányulnak;
• ha a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

A parabola csúcskoordinátái a következő képletekkel számíthatók ki. X felsők (p- a fenti ábrákon) egy parabola (vagy az a pont, ahol a négyzetháromtag eléri maximális vagy minimális értékét):

Y felsők (q- a fenti ábrákon) egy parabola vagy a maximum, ha a parabola ágai lefelé irányulnak ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), érték négyzetes trinomikus:

Egyéb függvények grafikonjai

teljesítmény funkció

Íme néhány példa a hatványfüggvények grafikonjaira:

Fordítottan arányos függőség hívja meg a képlettel megadott függvényt:

A szám előjelétől függően k Egy fordítottan arányos gráfnak két alapvető lehetősége lehet:

Aszimptota az az egyenes, amelyhez a függvény grafikonjának egyenese végtelenül közelít, de nem metszi egymást. Grafikonok aszimptotái fordított arányosság a fenti ábrán láthatók azok a koordinátatengelyek, amelyekhez a függvény grafikonja végtelenül közelít, de nem metszi őket.

exponenciális függvény alappal A hívja meg a képlettel megadott függvényt:

a menetrend exponenciális függvény két alapvető opciója lehet (a példákat is hozzuk, lásd alább):

logaritmikus függvény hívja meg a képlettel megadott függvényt:

Attól függően, hogy a szám nagyobb vagy kisebb egynél a A logaritmikus függvény grafikonjának két alapvető lehetősége lehet:

Függvénygrafikon y = |x| alábbiak szerint:

Periodikus (trigonometrikus) függvények grafikonjai

Funkció nál nél = f(x) nak, nek hívják időszakos, ha létezik ilyen nem nulla szám T, Mit f(x + T) = f(x), bárkinek x kívül esik a funkció hatókörén f(x). Ha a funkció f(x) periodikus a ponttal T, akkor a függvény:

Ahol: A, k, bállandó számok, és k nem egyenlő nullával, periodikus is ponttal T 1 , amelyet a következő képlet határoz meg:

A periodikus függvények legtöbb példája trigonometrikus függvény. Itt vannak a fő grafikonjai trigonometrikus függvények. A következő ábra a függvény grafikonjának egy részét mutatja y= bűn x(a teljes gráf végtelenségig folytatódik balra és jobbra), a függvény grafikonja y= bűn x hívott szinuszos:

Függvénygrafikon y= cos x hívott koszinusz hullám. Ez a grafikon a következő ábrán látható. A szinusz grafikonja óta korlátlanul folytatódik az OX tengely mentén balra és jobbra:

Függvénygrafikon y=tg x hívott tangentoid. Ez a grafikon a következő ábrán látható. Más periodikus függvények grafikonjaihoz hasonlóan ez a grafikon is korlátlanul ismétlődik az OX tengely mentén balra és jobbra.

És végül a függvény grafikonja y=ctg x hívott kotangentoid. Ez a grafikon a következő ábrán látható. Más periodikus és trigonometrikus függvények grafikonjaihoz hasonlóan ez a gráf korlátlanul ismétlődik az OX tengely mentén balra és jobbra.

Tanuljon meg minden képletet és törvényt a fizikában, valamint képleteket és módszereket a matematikában. Valójában ezt is nagyon egyszerű megtenni, a fizikában csak körülbelül 200 szükséges képlet van, a matematikában pedig még egy kicsit kevesebb. Mindegyik tantárgyban körülbelül egy tucat standard módszer található az alapvető bonyolultságú problémák megoldására, amelyek megtanulhatók is, és így teljesen automatikusan és nehézségek nélkül, a megfelelő időben megoldják a digitális átalakulás nagy részét. Ezután már csak a legnehezebb feladatokra kell gondolnia.

Vegyen részt a fizika és a matematika próbatételének mindhárom szakaszában. Mindegyik RT kétszer látogatható mindkét lehetőség megoldásához. A CT-n ismét a gyors és hatékony problémamegoldó képesség, a képletek és módszerek ismerete mellett szükséges az idő megfelelő tervezése, az erők elosztása, és ami a legfontosabb a válaszlap helyes kitöltése is. , anélkül, hogy összekeverné sem a válaszok és feladatok számát, sem a saját nevét. Emellett az RT során fontos megszokni a feladatokban a kérdések feltevésének stílusát, ami a DT-n egy felkészületlen ember számára nagyon szokatlannak tűnhet.

Ennek a három pontnak a sikeres, szorgalmas és felelősségteljes végrehajtása lehetővé teszi, hogy a CT-n kiváló eredményt mutasson, a maximumot, amire képes.

Hibát talált?

Ha úgy gondolja, hogy hibát talált képzési anyagok, majd írj, kérlek, erről mailben. Bejelentheti a hibát is közösségi háló(). A levélben tüntesse fel a tantárgyat (fizika vagy matematika), a téma vagy teszt megnevezését vagy számát, a feladat számát, vagy azt a helyet a szövegben (oldal), ahol Ön szerint hiba található. Írja le azt is, hogy mi az állítólagos hiba. Levele nem marad észrevétlen, a hibát vagy kijavítják, vagy elmagyarázzák, miért nem tévedésről van szó.