Hagyja a függvényt y = f(x) a [ a, b ], a < b. Végezzük el a következő műveleteket:

1) osztott [ a, b] pont a = x 0 < x 1 < ... < x én- 1 < x én < ... < x n = b tovább n részleges szegmensek [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x én- 1 , x én ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) minden részszakaszban [ x én- 1 , x én ], én = 1, 2, ... n, válasszon egy tetszőleges pontot, és számítsa ki a függvény értékét ezen a ponton: f(z i ) ;

3) találni műveket f(z i ) · Δ x én , ahol a részszakasz hossza [ x én- 1 , x én ], én = 1, 2, ... n;

4) komponálni integrál összeg funkciókat y = f(x) a szegmensen [ a, b ]:

Geometriai szempontból ez a σ összeg azon téglalapok területének összege, amelyek alapjai részszegmensek [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x én- 1 , x én ], ..., [x n- 1 , x n ], és a magasságok f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n), illetve (1. ábra). Jelölje λ a legnagyobb részszakasz hossza:

5) keresse meg az integrál összeg határát, amikor λ → 0.

Meghatározás. Ha az (1) integrálösszegnek van véges határa, és ez nem függ a szakasz felosztásának módjától [ a, b] részszegmensekbe, sem a pontok kiválasztásából z i bennük, akkor ezt a határt hívják határozott integrál funkcióból y = f(x) a szegmensen [ a, b] és jelölve

És így,

Ebben az esetben a függvény f(x) nak, nek hívják integrálható tovább [ a, b]. Számok aÉs b az integráció alsó és felső határának nevezzük, f(x) az integrandus, f(x ) dx- integrand, x– integrációs változó; vonalszakasz [ a, b] az integráció intervallumának nevezzük.

1. tétel. Ha a funkció y = f(x) folyamatos a [ szegmensen a, b], akkor ezen az intervallumon integrálható.

Az azonos integrálási határokkal rendelkező határozott integrál egyenlő nullával:

Ha a > b, akkor definíció szerint beállítjuk

2. Határozott integrál geometriai jelentése

Legyen a szegmens [ a, b] folytonos nemnegatív függvény y = f(x ) . Görbe vonalú trapéz függvény grafikonjával felülről határolt ábrának nevezzük y = f(x), alulról - az Ökör tengelyével, balra és jobbra - egyenes vonalakkal x = aÉs x = b(2. ábra).

Nem negatív függvény határozott integrálja y = f(x) geometriai szempontból területtel egyenlő görbe vonalú trapéz, amelyet felülről határol a függvény grafikonja y = f(x), a bal és a jobb oldalon - vonalszakaszok szerint x = aÉs x = b, alulról - az Ox tengely egy szegmensével.

3. Határozott integrál alapvető tulajdonságai

1. Jelentése határozott integrál nem függ az integrációs változó jelölésétől:

2. A határozott integrál előjeléből kivehető egy állandó tényező:

3. Két függvény algebrai összegének határozott integrálja egyenlő ezen függvények határozott integráljainak algebrai összegével:

4.if függvény y = f(x) integrálható a [ a, b] És a < b < c, Azt

5. (középérték tétel). Ha a funkció y = f(x) folyamatos a [ szegmensen a, b], akkor ezen a szegmensen létezik olyan pont, hogy

4. Newton–Leibniz képlet

2. tétel. Ha a funkció y = f(x) folyamatos a [ szegmensen a, b] És F(x) ezen a szegmensen található bármely antiderivatíve, akkor a következő képlet igaz:

amelyet úgy hívnak Newton-Leibniz képlet. Különbség F(b) - F(a) a következőképpen van írva:

ahol a karaktert dupla helyettesítő karakternek nevezik.

Így a (2) képlet a következőképpen írható fel:

1. példa Integrál kiszámítása

Megoldás. Mert integrand f(x ) = x 2 egy tetszőleges antiderivált alakja van

Mivel a Newton-Leibniz képletben bármilyen antiderivált használható, az integrál kiszámításához az antideriváltat vesszük, aminek a legegyszerűbb formája van:

5. Változó változása határozott integrálban

3. tétel. Hagyja a függvényt y = f(x) folyamatos a [ szegmensen a, b]. Ha:

1) funkció x = φ ( t) és származéka φ "( t) folyamatosak a ;

2) függvényértékek halmaza x = φ ( t) mert a szegmens [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, majd a képlet

amelyet úgy hívnak változó formula változása határozott integrálban .

nem úgy mint határozatlan integrál, ebben az esetben nem szükséges visszatérni az eredeti integrációs változóhoz - elég csak új α és β integrációs határokat találni (ehhez meg kell oldani a változóra t egyenletek φ ( t) = aés φ ( t) = b).

Csere helyett x = φ ( t) használhatja a helyettesítést t = g(x) . Ebben az esetben új integrációs korlátok keresése a változó tekintetében t leegyszerűsíti: α = g(a) , β = g(b) .

2. példa. Számítsa ki az integrált

Megoldás. Vezessünk be egy új változót a képlet szerint. Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve 1 +-ot kapunk x= t 2 , ahol x= t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Új korlátokat találunk az integrációnak. Ehhez a régi határértékeket behelyettesítjük a képletbe x= 3 és x= 8. Kapjuk: , honnan t= 2 és α = 2; , ahol t= 3 és β = 3. Tehát

3. példa Kiszámítja

Megoldás. Hadd u=ln x, Akkor , v = x. A (4) képlet szerint

Ez a cikk részletesen szól a határozott integrál főbb tulajdonságairól. Ezek bizonyítása a Riemann és Darboux integrál fogalmával történik. A határozott integrál számítása 5 tulajdonságnak köszönhetően megy. A többit különféle kifejezések értékelésére használják.

Mielőtt áttérnénk a határozott integrál főbb tulajdonságaira, meg kell győződni arról, hogy a nem haladja meg a b -t.

Határozott integrál alapvető tulajdonságai

1. definíció

Az x \u003d a-hoz definiált y \u003d f (x) függvény hasonló a ∫ a a f (x) d x \u003d 0 igazságos egyenlőséghez.

1. bizonyíték

Innen látjuk, hogy az egybeeső határértékekkel rendelkező integrál értéke nulla. Ez a Riemann-integrál következménye, mert minden σ integrálösszeg bármely partícióra az [ a ; a ] és a ζ i pontok bármely választása nullával egyenlő, mert x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , így azt kapjuk, hogy az integrálfüggvények határértéke nulla.

2. definíció

Az [ a ; b ] , a ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x feltétel teljesül.

2. bizonyítás

Más szóval, ha helyenként megváltoztatja az integráció felső és alsó határát, akkor az integrál értéke az ellenkezőjére változtatja az értéket. Ez a tulajdonság a Riemann integrálból származik. A szakasz felosztásának számozása azonban az x = b pontból indul.

3. definíció

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x az y = f (x) és y = g (x) típusú integrálható függvényekhez használatos az [ a ; b] .

3. bizonyítás

Írja fel az y = f (x) ± g (x) függvény integrálösszegét adott ζ i pontválasztású szegmensekre való felosztáshoz: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

ahol σ f és σ g az y = f (x) és y = g (x) függvények integrálösszegei a szakasz felosztásához. A határértékre való átlépés után λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 azt kapjuk, hogy lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Riemann definíciójából ez a kifejezés egyenértékű.

4. definíció

A konstans tényező kivonása a határozott integrál előjeléből. Integrálható függvény az [ a ; b ] tetszőleges k értékkel rendelkezik ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x alakú egyenlőtlenséggel.

4. bizonyítás

A határozott integrál tulajdonságának bizonyítása hasonló az előzőhöz:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k) σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

5. definíció

Ha egy y = f (x) alakú függvény integrálható egy x intervallumon a ∈ x , b ∈ x , akkor ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

5. bizonyítás

A tulajdonságot érvényesnek tekintjük c ∈ a esetén; b , ha c ≤ a és c ≥ b . A bizonyítás az előző tulajdonságokhoz hasonlóan történik.

6. definíció

Amikor egy függvény képes integrálni a szegmensből [ a ; b ], akkor ez bármely c belső szegmensre megvalósítható; d ∈ a; b.

6. bizonyítás

A bizonyítás a Darboux tulajdonságon alapul: ha egy szegmens egy meglévő partíciójához pontokat adunk, akkor az alsó Darboux összeg nem csökken, a felső pedig nem növekszik.

7. definíció

Ha egy függvény integrálható [ a ; b ] -ból f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 x ∈ a bármely értékére; b , akkor azt kapjuk, hogy ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

A tulajdonság a Riemann-integrál definíciójával igazolható: tetszőleges integrálösszeg a szakasz és a ζ i pontok tetszőleges választására azzal a feltétellel, hogy f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 nem negatív.

7. bizonyítás

Ha az y = f (x) és y = g (x) függvények integrálhatók az [ a ; b ] , akkor a következő egyenlőtlenségeket tekintjük érvényesnek:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Az állításnak köszönhetően tudjuk, hogy az integráció megengedhető. Ezt a következményt más tulajdonságok bizonyításánál is felhasználjuk.

8. definíció

Egy y = f (x) integrálható függvényre az [ a ; b ] érvényes egyenlőtlenségünk van ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x alakú.

8. bizonyítás

Azt kaptuk, hogy - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Az előző tulajdonságból azt kaptuk, hogy az egyenlőtlenség tagonként integrálható, és egy - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x alakú egyenlőtlenségnek felel meg. Ez a kettős egyenlőtlenség más formában is felírható: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

9. definíció

Ha az y = f (x) és y = g (x) függvényeket integráljuk az [ a ; b ] ha g (x) ≥ 0 bármely x ∈ a esetén; b , egy m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x alakú egyenlőtlenséget kapunk, ahol m = m i n x ∈ a ; b f (x) és M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

9. bizonyítás

A bizonyítás is hasonló módon történik. M és m tekinthető a legnagyobbnak és a legkisebb érték függvény y = f (x) , az [ a ; b ] , akkor m ≤ f (x) ≤ M . A kettős egyenlőtlenséget meg kell szorozni az y = g (x) függvénnyel, ami az m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) alakú kettős egyenlőtlenség értékét kapja. Integrálni kell a szegmensre [ a ; b ] , akkor megkapjuk a bizonyítandó állítást.

Következmény: g (x) = 1 esetén az egyenlőtlenség m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) lesz.

Első átlagképlet

10. definíció

Ha y = f (x) integrálható az [ a ; b ] ahol m = m i n x ∈ a ; b f (x) és M = m a x x ∈ a ; b f (x) van egy μ ∈ m szám; M , amely illeszkedik ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Következmény: Amikor az y = f (x) függvény folytonos az [ a ; b ], akkor van egy c ∈ a szám; b , amely kielégíti a ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a egyenlőséget.

Az átlagérték első képlete általánosított formában

11. definíció

Amikor az y = f (x) és y = g (x) függvények integrálhatók az [ a ; b ] ahol m = m i n x ∈ a ; b f (x) és M = m a x x ∈ a ; b f (x) és g (x) > 0 x ∈ a bármely értékére; b. Tehát van egy μ ∈ m szám; M , amely kielégíti a ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x egyenlőséget.

Második átlagérték képlet

12. definíció

Amikor az y = f (x) függvény integrálható az [ a ; b ] , és y = g (x) monoton, akkor van egy szám, amely c ∈ a ; b , ahol a ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x formájú igazságos egyenlőséget kapjuk

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Antiderivatív függvény és határozatlan integrál

1. tény. Az integráció a differenciálás ellentéte, nevezetesen egy függvény helyreállítása ennek a függvénynek az ismert deriváltjából. A funkció így helyreállt F(x) nak, nek hívják primitív funkcióhoz f(x).

Definíció 1. Funkció F(x f(x) bizonyos időközönként x, ha minden értékre x ebből az intervallumból az egyenlőség F "(x)=f(x), vagyis ezt a függvényt f(x) az antiderivatív függvény deriváltja F(x). .

Például a függvény F(x) = bűn x a függvény antideriváltja f(x) = cos x a teljes számegyenesen, hiszen x bármely értékére (bűn x)" = (cos x) .

Definíció 2. Függvény határozatlan integrálja f(x) az összes antiderivatív gyűjteménye. Ez a jelölést használja

∫

f(x)dx

,

hol a jel ∫ integráljelnek, függvénynek nevezzük f(x) egy integrandus, és f(x)dx az integrandus.

Így ha F(x) valamilyen antiderivatív a f(x), Ez

∫

f(x)dx = F(x) +C

Ahol C - tetszőleges állandó (konstans).

A függvény antideriváltjainak mint határozatlan integrál jelentésének megértéséhez a következő analógia megfelelő. Legyen ajtó (hagyományos faajtó). A funkciója az, hogy „ajtó legyen”. Miből van az ajtó? Egy fáról. Ez azt jelenti, hogy a "to be a door" integrandus, vagyis annak határozatlan integrálja antiderivált halmaza a "fának lenni + C" függvény, ahol C egy konstans, ami ebben az összefüggésben jelölheti, például egy fafaj. Ahogy az ajtót fából készítik néhány szerszámmal, egy függvény származékát az antiderivatív függvényből "készítik". képlet, amelyet a derivált tanulmányozásával tanultunk meg .

Ekkor a gyakori tárgyak és a hozzájuk tartozó primitívek függvénytáblázata ("ajtónak lenni" - "fának lenni", "kanálnak lenni" - "fémnek lenni" stb.) hasonló a táblázathoz. alapvető határozatlan integrálok, amelyeket az alábbiakban adunk meg. A határozatlan integrálok táblázata felsorolja a gyakori függvényeket, jelezve azokat az antiderivatívákat, amelyekből ezek a függvények „készültek”. A határozatlan integrál keresési feladatainak részeként olyan integránsokat adunk meg, amelyek külön erőfeszítés nélkül közvetlenül integrálhatók, vagyis a határozatlan integrálok táblázata szerint. Bonyolultabb feladatoknál először az integrandust kell átalakítani, hogy táblázatos integrálokat lehessen használni.

2. tény. Egy függvény antideriváltként való visszaállítása során figyelembe kell vennünk egy tetszőleges állandót (konstanst) C, és annak érdekében, hogy ne írjon listát az antiderivatívákról 1-től végtelenig különböző állandókkal, fel kell írnia egy tetszőleges állandóval rendelkező antiderivált készletet. C, így: 5 x³+C. Tehát egy tetszőleges állandó (konstans) szerepel az antiderivált kifejezésében, mivel az antiderivált lehet függvény, például 5 x³+4 vagy 5 x³+3 és a 4 vagy 3 vagy bármely más állandó megkülönböztetésekor eltűnik.

Beállítjuk az integrációs problémát: adott függvényre f(x) találni egy ilyen funkciót F(x), amelynek származéka egyenlő f(x).

1. példa Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát

Megoldás. Ennél a függvénynél az antiderivatív a függvény

Funkció F(x) a függvény antideriváltjának nevezzük f(x) ha a származék F(x) egyenlő f(x), vagy ami ugyanaz, a differenciál F(x) egyenlő f(x) dx, azaz

(2)

Ezért a függvény a függvény antideriváltja. Azonban nem ez az egyetlen antiderivatív a . Ezek is funkciók

Ahol VAL VEL egy tetszőleges állandó. Ezt differenciálással lehet igazolni.

Így, ha egy függvénynek van egy antiderivatívája, akkor annak végtelen számú antideriváltája van, amelyek egy állandó összeggel különböznek egymástól. Egy függvény összes antideriváltja a fenti formában van írva. Ez a következő tételből következik.

Tétel (2. formális tényállítás). Ha F(x) a függvény antideriváltja f(x) bizonyos időközönként x, majd bármely más származékellenes szer számára f(x) ugyanazon az intervallumon ábrázolható mint F(x) + C, Ahol VAL VEL egy tetszőleges állandó.

A következő példában már áttérünk az integrálok táblázatára, amelyet a 3. bekezdésben adunk meg, a határozatlan integrál tulajdonságai után. Ezt a teljes táblázat megismerése előtt tesszük meg, hogy a fentiek lényege világos legyen. A tábla és tulajdonságok után pedig teljes egészükben fogjuk használni az integráció során.

2. példa Keressen antiderivatív készleteket:

Megoldás. Találunk olyan antiderivatív függvénykészleteket, amelyekből ezek a függvények „készülnek”. Az integráltáblázat képleteinek említésekor egyelőre csak fogadjuk el, hogy léteznek ilyen formulák, és egy kicsit tovább fogjuk tanulmányozni a határozatlan integrálok táblázatát.

1) A (7) képlet alkalmazása az integrálok táblázatából n= 3, kapjuk

2) A (10) képlet segítségével az integrálok táblázatából n= 1/3, megvan

3) Azóta

majd a (7) képlet szerint at n= -1/4 lelet

Az integráljel alá magát a függvényt nem írják f, és szorzata a differenciálművel dx. Ez elsősorban annak jelzésére szolgál, hogy az antiderivált melyik változót keresi. Például,

, ;

itt az integrandus mindkét esetben egyenlő -vel, de határozatlan integráljai a vizsgált esetekben eltérőnek bizonyulnak. Az első esetben ezt a függvényt egy változó függvényének tekintjük x, a másodikban pedig - függvényében z .

Egy függvény határozatlan integráljának megtalálásának folyamatát a függvény integrálásának nevezzük.

A határozatlan integrál geometriai jelentése

Legyen szükséges egy görbe megtalálásához y=F(x)és már tudjuk, hogy az érintő meredekségének érintője minden pontjában az adott funkciót f(x) ennek a pontnak abszcisszán.

A derivált geometriai jelentése szerint az érintő meredekségének érintője a görbe adott pontjában y=F(x) egyenlő a származék értékével F"(x). Tehát meg kell találnunk egy ilyen függvényt F(x), amelyekre F"(x)=f(x). Kötelező funkció a feladatban F(x)-ből származik f(x). A probléma feltételét nem egy görbe, hanem egy görbecsalád elégíti ki. y=F(x)- ezen görbék egyike, és abból bármely más görbe a tengely mentén párhuzamos transzlációval előállítható Oy.

Nevezzük az antiderivatív függvény grafikonját f(x) integrálgörbe. Ha F"(x)=f(x), akkor a függvény grafikonja y=F(x) egy integrálgörbe.

3. tény. A határozatlan integrált geometriailag az összes integrálgörbe családja ábrázolja mint az alábbi képen. Az egyes görbék távolságát az origótól egy tetszőleges integrációs állandó (konstans) határozza meg C.

A határozatlan integrál tulajdonságai

4. tény. 1. Tétel. Egy határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal, differenciále pedig egyenlő az integrandusszal.

5. tény. 2. Tétel. Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja f(x) egyenlő a függvénnyel f(x) állandó időtartamig , azaz

(3)

Az 1. és 2. tétel azt mutatja, hogy a differenciálás és az integráció kölcsönösen inverz műveletek.

6. tény. 3. Tétel. Az integrandus állandó tényezője kivehető a határozatlan integrál előjeléből , azaz

Ezekkel a tulajdonságokkal hajtjuk végre az integrál transzformációját annak érdekében, hogy az egyik elemi integrálba kerüljön, és további számításokat végezzünk.

1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal:

2. A határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal:

3. Valamely függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő ennek a függvénynek és egy tetszőleges állandónak az összegével:

4. Az integrál előjelből kivehető egy állandó tényező:

Ráadásul a ≠ 0

5. Az összeg (különbség) integrálja egyenlő az integrálok összegével (különbség):

6. A tulajdonság a 4. és 5. tulajdonság kombinációja:

Ezenkívül a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. A határozatlan integrál invariancia tulajdonsága:

Ha akkor

8. Ingatlan:

Ha akkor

Valójában ez a tulajdonság a változóváltoztatási módszerrel történő integráció speciális esete, amelyről a következő részben részletesebben is lesz szó.

Vegyünk egy példát:

Először az 5-ös, majd a 4-es tulajdonságot alkalmaztuk, majd az antiderivatív táblát használtuk és megkaptuk az eredményt.

Online integrálszámítógépünk algoritmusa támogatja az összes fent felsorolt ​​tulajdonságot, és könnyen talál részletes megoldást integráljára.

Ezekkel a tulajdonságokkal hajtjuk végre az integrál transzformációját annak érdekében, hogy az egyik elemi integrálba kerüljön, és további számításokat végezzünk.

1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal:

2. A határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal:

3. Valamely függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő ennek a függvénynek és egy tetszőleges állandónak az összegével:

4. Az integrál előjelből kivehető egy állandó tényező:

Ráadásul a ≠ 0

5. Az összeg (különbség) integrálja egyenlő az integrálok összegével (különbség):

6. A tulajdonság a 4. és 5. tulajdonság kombinációja:

Ezenkívül a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. A határozatlan integrál invariancia tulajdonsága:

Ha akkor

8. Ingatlan:

Ha akkor

Valójában ez a tulajdonság a változóváltoztatási módszerrel történő integráció speciális esete, amelyről a következő részben részletesebben is lesz szó.

Vegyünk egy példát:

Először az 5-ös, majd a 4-es tulajdonságot alkalmaztuk, majd az antiderivatív táblát használtuk és megkaptuk az eredményt.

Online integrálszámítógépünk algoritmusa támogatja az összes fent felsorolt ​​tulajdonságot, és könnyen talál részletes megoldást integráljára.