I. Forradalomtestek kötetei. Előtanulmány G. M. Fikhtengolts tankönyve szerint fejezet XII, p ° p ° 197, 198 * Elemezze részletesen a p ° 198-ban megadott példákat.

508. Számítsa ki az ellipszis x tengely körüli forgásával létrejövő test térfogatát!

És így,

530. Határozza meg annak a felületnek a területét, amelyet az y szinusz ívének Ox tengelye körüli forgása alkot \u003d sin x az X \u003d 0 ponttól az X \u003d It pontig.

531. Számítsa ki egy h magasságú és r sugarú kúp felületét!

532. Számítsa ki az általa alkotott felületet!

az astroid x3 -) - y* - a3 forgása az x tengely körül.

533. Számítsa ki annak a felületnek a területét, amelyet a 18 y-x(6-x)r görbe hurkának az x tengely körüli megfordítása képez!

534. Határozza meg a tórusz felületét, amelyet az X2 - j - (y-3)2 = 4 kör x tengely körüli elforgatása eredményez!

535. Számítsa ki a kör forgásával képzett felület területét X = költség, y = asint az Ox tengely körül!

536. Számítsa ki annak a felületnek a területét, amelyet az x = 9t2, y = St - 9t3 görbe hurok Ox tengely körüli elforgatása alkot.

537. Határozza meg annak a felületnek a területét, amelyet az x = e * sint, y = el költség görbe ívének Ox tengely körüli elforgatása alkot.

t = 0-tól t = -ig.

538. Mutassuk meg, hogy az x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) cikloid ívének az Oy tengely körüli forgatása által létrehozott felület egyenlő 16 u2 o2-vel.

539. Határozza meg a kardioid poláris tengely körüli elforgatásával kapott felületet!

540. Határozza meg a lemniszkát elfordulása által alkotott felület területét! a poláris tengely körül.

További feladatok a IV. fejezethez

Síkfigurák területei

541. Keresse meg egy görbével határolt régió teljes területét És tengely Oh.

542. Keresse meg a görbe által határolt terület területét

És tengely Oh.

543. Keresse meg a régió területének azt a részét, amely az első kvadránsban található, és amelyet a görbe határol

l koordinátatengelyek.

544. Keresse meg a benne lévő terület területét

hurkok:

545. Keresse meg a görbe egy hurok által határolt terület területét:

546. Keresse meg a hurkon belüli terület területét:

547. Keresse meg a görbe által határolt terület területét

És tengely Oh.

548. Keresse meg a görbe által határolt terület területét

És tengely Oh.

549. Keresse meg az Oxr tengely által határolt terület területét

egyenes és görbe

A forgástest térfogata a következő képlettel számítható ki:

A képletben az integrál előtt egy számnak kell lennie. Így történt – minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.

Az "a" és a "be" integráció határait beállítani, azt hiszem, könnyen kitalálható az elkészült rajzból.

Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A lapos ábrát felülről a parabola-gráf határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.

Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt. Ez nem változtat semmit - a képletben a függvény négyzetes: , így egy forradalomtest térfogata mindig nem negatív, ami teljesen logikus.

Számítsa ki a forgástest térfogatát a segítségével! ezt a képletet:

Amint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.

Válasz:

A válaszban meg kell adni a méretet - köbegységet. Vagyis a mi forgástestünkben körülbelül 3,35 "kocka" van. Miért pont köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehet köbcenti, lehet Köbméter, esetleg köbkilométer stb., ennyi kis zöld emberke fér bele a képzeleted egy repülő csészealjba.

2. példa

Határozza meg annak a testnek a térfogatát, amelyet a vonalak által határolt ábra tengelye körüli elforgatás okoz,

Ez egy példa erre független megoldás. Komplett megoldásés a válasz a lecke végén.

Gondoljunk még kettőre kihívást jelentő feladatokat amelyekkel a gyakorlatban gyakran találkozunk.

3. példa

Számítsa ki a test térfogatát, amelyet a , és a vonalak által határolt ábra abszcissza tengelye körüli elforgatással kapunk

Megoldás: Mutasd a rajzon lapos alak, vonalak által határolt , , , , anélkül, hogy megfeledkeznénk arról, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:

A kívánt figura kék árnyalatú. A tengely körül forogva egy ilyen szürreális, négy sarkú fánkot kapunk.

A forgástest térfogatát a következőképpen számítjuk ki testtérfogat különbség.

Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Amikor a tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelöljük ennek a csonka kúpnak a térfogatát .

Tekintsük a bekarikázott ábrát zöldben. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatod, akkor egy csonka kúpot is kapsz, csak kicsit kisebbet. A térfogatát jelöljük .

És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.

A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk:

1) A pirossal bekarikázott alakot felülről egy egyenes határolja, ezért:

2) A zölddel bekarikázott ábrát felülről egy egyenes határolja, ezért:

3) A kívánt forgástest térfogata:

Válasz:

Érdekes, hogy ebben az esetben a megoldást a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével lehet ellenőrizni.

Maga a döntés gyakran lerövidül, valami ilyesmi:

Most tartsunk egy kis szünetet, és beszéljünk a geometriai illúziókról.

Az embereknek gyakran vannak illúziói a kötetekkel kapcsolatban, amit Perelman (nem ugyanaz) vett észre a könyvben Érdekes geometria. Nézze meg a megoldott probléma lapos alakját - úgy tűnik, hogy kicsi a területe, és a forgástest térfogata valamivel több, mint 50 köbegység, ami túl nagynak tűnik. Egyébként az átlagember egész életében egy 18-as szoba térfogatú folyadékot iszik. négyzetméter, ami éppen ellenkezőleg, túl kicsinek tűnik.

Általában véve a Szovjetunió oktatási rendszere valóban a legjobb volt. Ugyanaz a Perelman-könyv, amelyet még 1950-ben írt, nagyon jól fejleszt, ahogy a humorista mondta, érvelést, és megtanít eredeti, nem szabványos megoldásokat keresni a problémákra. Mostanában nagy érdeklődéssel újraolvastam néhány fejezetet, ajánlom, még humanitáriusok számára is hozzáférhető. Nem, nem kell mosolyogni azon, hogy a beszpontosult időtöltést javasoltam, a műveltség és a széleskörű kommunikációs szemlélet nagyszerű dolog.

Egy lírai kitérő után éppen illik kreatív feladatot megoldani:

4. példa

Számítsa ki a , , egyenesekkel határolt lapos alak tengelye körüli elforgatással létrejött test térfogatát.

Ez egy „csináld magad” példa. Vedd figyelembe, hogy a zenekarban minden megtörténik, vagyis szinte kész integrációs határok adottak. Próbálja meg helyesen megrajzolni a grafikonokat is. trigonometrikus függvények, ha az argumentum osztható kettővel: , akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Próbálj meg legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerintés pontosabbá tegye a rajzot. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.

A forgással képzett test térfogatának kiszámítása
tengely körül lapos alak

A második bekezdés még érdekesebb lesz, mint az első. Az y tengely körüli forgástest térfogatának kiszámítása is meglehetősen gyakori vendég ellenőrzési munka. Mellesleg figyelembe kell venni az ábra területének megtalálásának problémája a második út - a tengely mentén történő integráció, ez lehetővé teszi nemcsak készségeinek fejlesztését, hanem megtanítja Önt, hogyan találja meg a legjövedelmezőbb megoldást. Praktikus is van benne élet értelme! A matematikatanítási módszereket tanító tanárom mosolyogva emlékezett vissza, sok végzős a következő szavakkal köszönte meg: „A tantárgya sokat segített nekünk, most már hatékony vezetők vagyunk, és optimálisan irányítjuk munkatársainkat.” Megragadva az alkalmat, nagy köszönetemet is kifejezem neki, főleg, hogy a megszerzett tudást rendeltetésszerűen használom =).

5. példa

Adott egy lapos ábra, amelyet vonalak határolnak , , .

1) Keresse meg egy lapos alak területét, amelyet ezek a vonalak határolnak.
2) Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet ezen vonalak által határolt lapos alak tengely körüli elforgatásával kapunk!

Figyelem! Még akkor is, ha először csak a második bekezdést szeretné elolvasni Szükségszerűen olvasd el az elsőt!

Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.

1) Végezzük el a rajzot:

Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát, a függvény pedig a parabola alsó ágát határozza meg. Előttünk egy triviális parabola, amely "az oldalán fekszik".

A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.

Hogyan lehet megtalálni egy figura területét? Megtalálható a "szokásos" módon, amiről a leckében szó volt. Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ezenkívül az ábra területe a területek összegeként található:
- a szegmensen ;
- a szegmensen.

Ezért:

Mi a baj ebben az esetben a szokásos megoldással? Először is két integrál van. Másodszor, az integrálok alatti gyökök, illetve az integrálokban lévő gyökök nem ajándék, sőt, az integráció határainak helyettesítésében is megzavarodhatunk. Valójában az integrálok persze nem halálosak, de a gyakorlatban minden sokkal szomorúbb, csak „jobb” függvényeket vettem fel a feladathoz.

Létezik racionálisabb megoldás is: ez az átmenetből áll inverz függvényekés a tengely mentén történő integráció.

Hogyan lehet áttérni inverz függvényekre? Nagyjából az "x"-t "y"-n keresztül kell kifejeznie. Először is foglalkozzunk a parabolával:

Ennyi is elég, de ügyeljünk arra, hogy az alsó ágból is származtatható-e ugyanaz a függvény:

Egyenes vonallal minden könnyebb:

Most nézze meg a tengelyt: kérjük, időnként döntse el fejét 90 fokkal jobbra, miközben magyarázza (ez nem vicc!). A számunkra szükséges ábra a szegmensen fekszik, amelyet a piros pontozott vonal jelöl. Ezenkívül a szegmensen az egyenes a parabola felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az ábra területét a már ismert képlet segítségével kell megtalálni: . Mi változott a képletben? Csak egy levél, és semmi több.

! Megjegyzés: A tengely mentén történő integráció határait be kell állítani szigorúan alulról felfelé!

A terület megkeresése:

A szegmensben tehát:

Ügyeljen arra, hogyan végeztem az integrációt, ez a legracionálisabb módja, és a feladat következő bekezdésében kiderül, hogy miért.

Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok:

A rendszer megkapja az eredeti integrandust, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történik.

Válasz:

2) Számítsa ki a test térfogatát, amelyet ennek az alaknak a tengely körüli elforgatása képez!

A rajzot átrajzolom egy kicsit más dizájnban:

Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy "lebegő pillangó", amely a tengelye körül forog.

A forgástest térfogatának meghatározásához a tengely mentén integráljuk. Először is át kell térnünk az inverz függvényekre. Ezt már megtettük, és az előző bekezdésben részletesen leírtuk.

Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvalóan a forgástest térfogatát a térfogatok közötti különbségként kell keresni.

A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet -vel.

A zölddel bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, és a kapott forgástest térfogatán keresztül jelöljük.

Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.

A forradalomtest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk:

Miben különbözik az előző bekezdés képletétől? Csak betűkkel.

És itt van az integráció előnye, amiről régebben beszéltem, sokkal könnyebb megtalálni mint előre felállított integrand a 4. fokig.

Válasz:

Azonban egy beteges pillangó.

Vegye figyelembe, hogy ha ugyanazt a lapos alakot forgatjuk a tengely körül, akkor teljesen más forgástest alakul ki, természetesen más térfogatú.

6. példa

Adott egy vonallal határolt lapos ábra és egy tengely.

1) Menjen az inverz függvényekhez, és keresse meg egy lapos alakzat területét, amelyet ezek a vonalak határolnak a változó feletti integrálással.
2) Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha egy lapos alakzatot forgatunk a tengely körül, amelyet ezek a vonalak határolnak!

Egy forgástest térfogata a képlettel számítható ki:

A képletben az integrál előtt egy számnak kell lennie. Így történt – minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.

Az "a" és a "be" integráció határait beállítani, azt hiszem, könnyen kitalálható az elkészült rajzból.

Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A lapos ábrát felül a parabola gráf határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.

Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt. Ez nem változtat semmit - a képlet integrandusa négyzetes:, így az integrál mindig nem negatív , ami teljesen logikus.

Számítsa ki a forgástest térfogatát a következő képlettel:

Amint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.

Válasz:

A válaszban meg kell adni a méretet - köbegységet. Vagyis a mi forgástestünkben körülbelül 3,35 "kocka" van. Miért pont köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehet köbcenti, lehet köbméter, lehet köbkilométer stb., ennyi kis zöld emberke fér bele egy repülő csészealjba.

2. példa

Határozza meg a vonalak által határolt ábra tengelye körüli elforgatással létrejövő test térfogatát,

Ez egy „csináld magad” példa. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Nézzünk meg két összetettebb problémát, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozunk.

3. példa

Számítsa ki a test térfogatát, amelyet az ábra abszcissza tengelye körüli elforgatásával kapunk, és amelyet a vonalak határolnak, és

Megoldás: Rajzoljunk a rajzba egy lapos ábrát ,,, vonalakkal határolva, közben ne felejtsük el, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:

A kívánt figura kék árnyalatú. A tengely körül forogva egy ilyen szürreális, négy sarkú fánkot kapunk.

A forgástest térfogatát a következőképpen számítjuk ki testtérfogat különbség.

Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Amikor a tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelölje ennek a csonka kúpnak a térfogatát.

Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatod, akkor egy csonka kúpot is kapsz, csak kicsit kisebbet. A térfogatát jelöljük -vel.

És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.

A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk:

1) A pirossal bekarikázott alakot felülről egy egyenes határolja, ezért:

2) A zölddel bekarikázott ábrát felülről egy egyenes határolja, ezért:

3) A kívánt forgástest térfogata:

Válasz:

Érdekes, hogy ebben az esetben a megoldást a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével lehet ellenőrizni.

Maga a döntés gyakran lerövidül, valami ilyesmi:

Most tartsunk egy kis szünetet, és beszéljünk a geometriai illúziókról.

Az embereknek gyakran vannak illúziói a kötetekkel kapcsolatban, amire Perelman (egy másik) is felfigyelt a könyvben Érdekes geometria. Nézze meg a megoldott probléma lapos alakját - úgy tűnik, hogy kicsi a területe, és a forgástest térfogata valamivel több, mint 50 köbegység, ami túl nagynak tűnik. Mellesleg, az átlagember egész életében 18 négyzetméteres helyiség térfogatú folyadékot iszik, amely éppen ellenkezőleg, túl kicsinek tűnik.

Általában véve a Szovjetunió oktatási rendszere valóban a legjobb volt. Ugyanaz a Perelman-könyv, amelyet még 1950-ben adtak ki, nagyon jól fejleszt, ahogy a humorista mondta, okoskodni, és megtanít eredeti, nem szabványos megoldásokat keresni a problémákra. Mostanában nagy érdeklődéssel újraolvastam néhány fejezetet, ajánlom, még humanitáriusok számára is hozzáférhető. Nem, nem kell mosolyogni azon, hogy a beszpontosult időtöltést javasoltam, a műveltség és a széleskörű kommunikációs szemlélet nagyszerű dolog.

Egy lírai kitérő után éppen illik kreatív feladatot megoldani:

4. példa

Számítsd ki egy lapos alak tengelye körüli elforgatással keletkezett térfogatát, amelyet a vonalak határolnak,, ahol.

Ez egy „csináld magad” példa. Vegyük észre, hogy minden a sávban történik, más szóval, kész integrációs korlátok adottak. Helyesen rajzolja meg a trigonometrikus függvények grafikonjait, emlékeztetem a lecke anyagát gráfok geometriai transzformációi : ha az argumentum osztható kettővel: , akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Kívánatos legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerint a rajz pontosabb befejezéséhez. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.

Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát
használva határozott integrál?

Általában sok érdekes alkalmazás létezik az integrálszámításban, egy határozott integrál segítségével kiszámíthatja az ábra területét, a forgástest térfogatát, az ív hosszát, a forgás felülete és még sok más. Szóval jó móka lesz, légy optimista!

Képzelj el valami síkfigurát Koordináta sík. Képviselt? ... Vajon ki mit mutatott be... =))) A területét már megtaláltuk. De emellett ez az ábra is elforgatható és kétféleképpen forgatható:

- az x tengely körül;
- az y tengely körül.

Ebben a cikkben mindkét esetet tárgyaljuk. A második forgatási mód különösen érdekes, ez okozza a legnagyobb nehézségeket, de valójában a megoldás szinte ugyanaz, mint az elterjedtebb x tengely körüli forgatásnál. Bónuszként visszatérek az ábra területének megtalálásának problémája, és elmondja, hogyan találhatja meg a területet a második módon - a tengely mentén. Nem is annyira bónusz, mint az anyag jól illeszkedik a témához.

Kezdjük a legnépszerűbb forgatási típussal.

tengely körül lapos alak

Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha a vonalak által határolt ábrát a tengely körül elforgatjuk!

Megoldás: Mint a területi problémánál, a megoldás egy lapos figura rajzával kezdődik. Vagyis a síkon meg kell építeni egy , , vonallal határolt ábrát, miközben nem szabad elfelejteni, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt. A rajz racionálisabb és gyorsabb elkészítésének módja az oldalakon található Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságaiÉs . Ez egy kínai emlékeztető, és nem állok meg ennél a pontnál.

A rajz itt nagyon egyszerű:

A kívánt lapos figurát kékre árnyékoljuk, és ez a figura az, amely a tengely körül forog, elforgatás eredményeként olyan enyhén tojás alakú repülő csészealjat kapunk, amely szimmetrikus a tengelyre. Valójában a testnek van matematikai neve, de lusta valamit megadni a referenciakönyvben, ezért továbblépünk.

Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát?

Egy forgástest térfogata a képlettel számítható ki:

A képletben az integrál előtt egy számnak kell lennie. Így történt - minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.

Az "a" és a "be" integráció határait beállítani, azt hiszem, könnyen kitalálható az elkészült rajzból.

Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A lapos ábrát felülről a parabola-gráf határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.

Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt. Ez nem változtat semmit - a képlet integrandusa négyzetes: , így az integrál mindig nem negatív, ami teljesen logikus.

Számítsa ki a forgástest térfogatát a következő képlettel:

Amint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.

Válasz:

A válaszban meg kell adni a méretet - köbegységet. Vagyis a mi forgástestünkben körülbelül 3,35 "kocka" van. Miért pont köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehet köbcenti, lehet köbméter, lehet köbkilométer stb., ennyi kis zöld emberke fér bele egy repülő csészealjba.

Határozza meg annak a testnek a térfogatát, amelyet a vonalak által határolt ábra tengelye körüli elforgatás okoz,

Ez egy „csináld magad” példa. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Nézzünk meg két összetettebb problémát, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozunk.

Számítsa ki a test térfogatát, amelyet a , és a vonalak által határolt ábra abszcissza tengelye körüli elforgatással kapunk

Megoldás: Rajzoljon a rajzon egy lapos alakzatot , , , , vonalakkal határolva, de ne felejtse el, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:

A kívánt figura kék árnyalatú. A tengely körül forogva egy ilyen szürreális, négy sarkú fánkot kapunk.

A forgástest térfogatát a következőképpen számítjuk ki testtérfogat különbség.

Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Amikor a tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelöljük ennek a csonka kúpnak a térfogatát .

Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatod, akkor egy csonka kúpot is kapsz, csak kicsit kisebbet. A térfogatát jelöljük .

És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.

A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk:

1) A pirossal bekarikázott alakot felülről egy egyenes határolja, ezért:

2) A zölddel bekarikázott ábrát felülről egy egyenes határolja, ezért:

3) A kívánt forgástest térfogata:

Válasz:

Érdekes, hogy ebben az esetben a megoldást a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével lehet ellenőrizni.

Maga a döntés gyakran lerövidül, valami ilyesmi:

Most tartsunk egy kis szünetet, és beszéljünk a geometriai illúziókról.

Egy lírai kitérő után éppen illik kreatív feladatot megoldani:

Számítsa ki a , , egyenesekkel határolt lapos alak tengelye körüli elforgatással létrejött test térfogatát.

Ez egy „csináld magad” példa. Vegyük észre, hogy minden a sávban történik, más szóval, kész integrációs korlátok adottak. Helyesen rajzolja meg a trigonometrikus függvények grafikonjait, emlékeztetem a lecke anyagát gráfok geometriai transzformációi: ha az argumentum osztható kettővel: , akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Kívánatos legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerint a rajz pontosabb befejezéséhez. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.

A forgással képzett test térfogatának kiszámítása
tengely körül lapos alak

A második bekezdés még érdekesebb lesz, mint az első. Az y tengely körüli forgástest térfogatának kiszámítása is meglehetősen gyakori látogató a tesztekben. Mellesleg figyelembe kell venni az ábra területének megtalálásának problémája a második mód - a tengely mentén történő integráció révén ez nemcsak készségeinek fejlesztését teszi lehetővé, hanem megtanítja a legjövedelmezőbb megoldás megtalálására is. Ennek gyakorlati jelentése is van! A matematikatanítási módszereket tanító tanárom mosolyogva emlékezett vissza, sok végzős a következő szavakkal köszönte meg: „A tantárgya sokat segített nekünk, most már hatékony vezetők vagyunk, és optimálisan irányítjuk munkatársainkat.” Megragadva az alkalmat, nagy köszönetemet is kifejezem neki, főleg, hogy a megszerzett tudást rendeltetésszerűen használom =).

Mindenkinek ajánlom olvasásra, még komplett bábuknak is. Ezenkívül a második bekezdés asszimilált anyaga felbecsülhetetlen segítséget jelent a kettős integrálok kiszámításához.

Adott egy lapos ábra, amelyet vonalak határolnak , , .

Figyelem! Még ha csak a második bekezdést szeretnéd elolvasni, mindenképpen az elsőt olvasd el először!

Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.

1) Végezzük el a rajzot:

Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát, a függvény pedig a parabola alsó ágát határozza meg. Előttünk egy triviális parabola, amely "az oldalán fekszik".

A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.

Ezért:

Van egy racionálisabb megoldás is: ez az inverz függvényekre való áttérésből és a tengely mentén történő integrációból áll.

Hogyan lehet áttérni inverz függvényekre? Nagyjából az "x"-t "y"-n keresztül kell kifejeznie. Először is foglalkozzunk a parabolával:

Ennyi is elég, de ügyeljünk arra, hogy az alsó ágból is származtatható-e ugyanaz a függvény:

Egyenes vonallal minden könnyebb:

! jegyzet: A tengely mentén integrálási határokat kell beállítani szigorúan alulról felfelé!

A terület megkeresése:

A szegmensben tehát:

Ügyeljen arra, hogyan végeztem az integrációt, ez a legracionálisabb módja, és a feladat következő bekezdésében kiderül, hogy miért.

Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok:

A rendszer megkapja az eredeti integrandust, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történik.

Válasz:

2) Számítsa ki a test térfogatát, amelyet ennek az alaknak a tengely körüli elforgatása képez!

A rajzot átrajzolom egy kicsit más dizájnban:

Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy "lebegő pillangó", amely a tengelye körül forog.

Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvalóan a forgástest térfogatát a térfogatok közötti különbségként kell keresni.

A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet -vel.

A zölddel bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, és a kapott forgástest térfogatán keresztül jelöljük.

Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.

A forradalomtest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk:

Miben különbözik az előző bekezdés képletétől? Csak betűkkel.

És itt van az integráció előnye, amiről régebben beszéltem, sokkal könnyebb megtalálni mint előzetesen a 4. hatványra emelni az integrandust.

Válasz:

Vegye figyelembe, hogy ha ugyanazt a lapos alakot forgatjuk a tengely körül, akkor teljesen más forgástest alakul ki, természetesen más térfogatú.

Adott egy vonallal határolt lapos ábra és egy tengely.

Ez egy „csináld magad” példa. Aki szeretne, az a „szokásos” módon is megtalálhatja az ábra területét, ezzel kitöltve az 1. pont tesztjét. De ha, ismétlem, egy lapos figurát forgatsz a tengely körül, akkor egy teljesen más forgástestet kapsz más hangerővel, mellesleg a helyes választ (a megoldani szeretőknek is).

A feladat két javasolt tételének teljes megoldása az óra végén.

Ja, és ne felejtsd el jobbra dönteni a fejed, hogy megértsd a forgástesteket és az integráción belül!

Szerettem volna, már az is volt, hogy befejezzem a cikket, de ma egy érdekes példát hoztak csak az y tengely körüli forradalomtest térfogatának megtalálására. Friss:

Számítsa ki a görbék és görbék által határolt ábra tengelye körüli elforgatással keletkezett test térfogatát!

Megoldás: Készítsünk rajzot:

Útközben még néhány függvény grafikonjával ismerkedünk. Ez egy nagyon érdekes diagram. páros funkció ….

3. definíció. A forgástest olyan test, amelyet egy lapos alakzat olyan tengely körüli elforgatásával kapunk, amely nem metszi az alakot és egy síkban fekszik vele.

A forgástengely is metszheti az ábrát, ha az az ábra szimmetriatengelye.

2. tétel.
, tengely
és egyenes szakaszok
És

tengely körül forog
. Ekkor a képlettel kiszámítható a kapott forgástest térfogata

(2)

Bizonyíték. Egy ilyen testnél az abszcisszával ellátott szakasz egy sugarú kör
, Azt jelenti
és az (1) képlet adja a kívánt eredményt.

Ha az ábrát két folytonos függvény grafikonja korlátozza
És
, és vonalszakaszok
És
, ráadásul
És
, akkor az abszcissza tengelye körül forogva olyan testet kapunk, amelynek térfogata

3. példa Számítsd ki a kör által határolt kör elforgatásával kapott tórusz térfogatát!

az x tengely körül.

R megoldás. A megadott kört alulról a függvény grafikonja határolja
, és fölötte -
. A függvények négyzeteinek különbsége:

Kívánt hangerő

(az integrandus gráfja a felső félkör, tehát a fent írt integrál a félkör területe).

4. példa Parabola szakasz alappal
, és magasság , az alap körül forog. Számítsa ki a kapott test térfogatát (Cavalieri "citrom").

R megoldás. Helyezze el a parabolát az ábrán látható módon. Aztán az egyenlete
, és
. Keressük meg a paraméter értékét :
. Tehát a kívánt hangerő:

3. tétel. Legyen egy görbe trapéz, amelyet egy folytonos nemnegatív függvény grafikonja határol
, tengely
és egyenes szakaszok
És
, ráadásul
, egy tengely körül forog
. Ekkor a képlettel meghatározható a kapott forgástest térfogata

(3)

bizonyíték ötlet. A szegmens felosztása
pontok

, részekre, és rajzoljon egyenes vonalakat
. Az egész trapéz csíkokra bomlik, amelyek megközelítőleg alappal rendelkező téglalapoknak tekinthetők
és magasság
.

Az ilyen téglalap forgatásából származó hengert a generatrix mentén levágjuk és kihajtjuk. Kapunk egy „majdnem” paralelepipedont méretekkel:
,
És
. A térfogata
. Tehát egy forradalmi test térfogatára hozzávetőleges egyenlőségünk lesz

A pontos egyenlőség eléréséhez el kell jutnunk a határértékhez
. A fent írt összeg a függvény integrálösszege
, ezért a határértékben megkapjuk az integrált a (3) képletből. A tétel bizonyítást nyert.

Megjegyzés 1. A 2. és 3. tételben a feltétel
elhagyható: a (2) képlet általában érzéketlen a jelre
, és a (3) képletben elegendő
kicserélve
.

5. példa Parabola szegmens (bázis
, magasság ) a magasság körül forog. Keresse meg a kapott test térfogatát.

Megoldás. Rendezd el a parabolát az ábrán látható módon! És bár a forgástengely keresztezi az ábrát, ez - a tengely - a szimmetria tengelye. Ezért csak a szegmens jobb felét kell figyelembe venni. Parabola egyenlet
, és
, Azt jelenti
. Nálunk a mennyiség:

2. megjegyzés. Ha egy görbe vonalú trapéz görbe határát a paraméteres egyenletek adják meg
,
,
És
,
akkor a (2) és (3) képlet használható a helyettesítéssel tovább
És
tovább
amikor megváltozik t tól től
előtt .

6. példa Az ábrát a cikloid első íve határolja
,
,
, és az abszcissza tengely. Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet az ábra: 1) tengely körüli elforgatásával kapunk
; 2) tengelyek
.

Megoldás. 1) Általános képlet
A mi esetünkben:

2) Általános képlet
A mi alakunkhoz:

Arra biztatjuk a tanulókat, hogy minden számítást maguk végezzenek el.

3. megjegyzés. Legyen egy görbe vonalú szektor, amelyet egy folytonos vonal határol
és sugarak
,

, a poláris tengely körül forog. A kapott test térfogata a képlettel számítható ki.

7. példa Kardioid által határolt alakzat része
, a körön kívül fekszik
, a poláris tengely körül forog. Keresse meg a kapott test térfogatát.

Megoldás. Mindkét vonal, és így az általuk határolt ábra szimmetrikus a poláris tengelyre. Ezért csak azt a részt kell figyelembe venni, amelyhez
. A görbék metszik egymást
És