Fogalmak matematikai elvárás M(x) és diszperzió D(x A diszkrét valószínűségi változóra korábban bevezetett ) folytonos valószínűségi változókra is kiterjeszthető.
· Matematikai elvárás M(x) Az X folytonos valószínűségi változót a következő egyenlőség határozza meg:
feltéve, hogy ez az integrál konvergál.
· Diszperzió D(x) folytonos valószínűségi változó x az egyenlőség határozza meg:
· Szórásσ( x) A folytonos valószínűségi változót az egyenlőség határozza meg:
A diszkrét valószínűségi változókra korábban megvizsgált matematikai elvárás és diszperzió összes tulajdonsága a folytonos változókra is érvényes.
Probléma 5.3.Véletlenszerű érték x a differenciálfüggvény adja meg f(x):
megtalálja M(x), D(x), σ( x), és P(1 < x< 5).
Megoldás:
M(x)= =
+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,
D(x)=
= = /
P 1 =
Feladatok
5.1. x
f(x), és
R(‒1/2 < x< 1/2).
5.2. Folyamatos valószínűségi változó x az eloszlási függvény adja meg:
Keresse meg a differenciális eloszlási függvényt f(x), és
R(2π /9< x< π /2).
5.3. Folyamatos valószínűségi változó x
Keresse meg: a) számot Val vel; b) M(x), D(x).
5.4. Folyamatos valószínűségi változó x az eloszlási sűrűséggel megadva:
Keresse meg: a) számot Val vel; b) M(x), D(x).
5.5. x:
Találni) F(x) és ábrázolja a grafikonját; b) M(x), D(x), σ( x); c) annak a valószínűsége, hogy négy független kísérletben az érték x az (1;4) intervallumhoz tartozó érték pontosan 2-szeresét veszi fel.
5.6. Adott egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűsége x:
Találni) F(x) és ábrázolja a grafikonját; b) M(x), D(x), σ( x); c) annak a valószínűsége, hogy három független kísérletben az érték x intervallumhoz tartozó érték pontosan kétszeresét veszi fel.
5.7. Funkció f(x) a következőképpen van megadva:
Val vel x; b) eloszlásfüggvény F(x).
5.8. Funkció f(x) a következőképpen van megadva:
Keresse meg: a) az állandó értékét Val vel, amelynél a függvény valamilyen valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége lesz x; b) eloszlásfüggvény F(x).
5.9. Véletlenszerű érték x, a (3;7) intervallumra koncentrálva, az eloszlásfüggvény adja meg F(x)= x a következő értéket veszi fel: a) 5-nél kisebb, b) legalább 7.
5.10. Véletlenszerű érték x, a (-1; 4) intervallumra koncentrálva, az eloszlásfüggvény adja meg F(x)= . Határozza meg annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó x a következő értéket veszi fel: a) 2-nél kisebb, b) 4-nél kisebb.
5.11.
Keresse meg: a) számot Val vel; b) M(x); c) valószínűség R(X > M(x)).
5.12. A valószínűségi változót a differenciális eloszlásfüggvény adja meg:
Találni) M(x); b) valószínűség R(X ≤ M(x)).
5.13. Az időeloszlást a valószínűségi sűrűség adja meg:
Bizonyítsd f(x) valóban egy valószínűségi sűrűségeloszlás.
5.14. Adott egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűsége x:
Keressen egy számot Val vel.
5.15. Véletlenszerű érték x Simpson törvénye szerint (egyenlőszárú háromszög) eloszlik a [-2; 2] szakaszon (5.4. ábra). Keressen analitikus kifejezést a valószínűségi sűrűségre f(x) az egész számegyenesen.
Rizs. 5.4 ábra. 5.5
5.16. Véletlenszerű érték x törvény szerint osztják szét derékszögű háromszög" a (0; 4) intervallumban (5.5. ábra). Keressen egy analitikus kifejezést a valószínűségi sűrűségre f(x) az egész számegyenesen.
Válaszok
P (-1/2<x<1/2)=2/3.
P(2π /9<x< π /2)=1/2.
5.3. A) Val vel=1/6, b) M(x)=3 , c) D(x)=26/81.
5.4. A) Val vel=3/2, b) M(x)=3/5, c) D(x)=12/175.
b) M(x)= 3 , D(x)= 2/9, σ( x)= /3.
b) M(x)=2 , D(x)= 3 , σ( x)= 1,893.
5.7. a) c = ; b)
5.8. A) Val vel=1/2; b)
5.9. a) 1/4; b) 0.
5.10. a) 3/5; b) 1.
5.11. A) Val vel= 2; b) M(x)= 2; 1-ben ln 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. A) M(x)= π /2; b) 1/2
Meghatározás 13.1. Az X valószínűségi változót nevezzük diszkrét, ha véges vagy megszámlálható számú értéket vesz fel.
Meghatározás 13.2. Az X valószínűségi változó eloszlásának törvénye a számpárok halmaza ( , ), ahol a valószínűségi változó lehetséges értékei és azok a valószínűségek, amelyekkel a valószínűségi változó felveszi ezeket az értékeket, pl. =P( x= ), és =1.
A diszkrét valószínűségi változó megadásának legegyszerűbb formája egy táblázat, amely felsorolja egy valószínűségi változó lehetséges értékeit és a megfelelő valószínűségeket. Az ilyen táblázatot ún elosztás közelében diszkrét valószínűségi változó.
| x | … | … | |||
| R | … | … |
Az elosztási sorozat grafikusan ábrázolható. Ebben az esetben az abszcisszát az ordináta mentén, a valószínűséget pedig az ordináta mentén ábrázoljuk. A ( , ) koordinátájú pontokat szakaszok kötik össze, és egy szaggatott vonalat kapunk, amelyet nevezünk eloszlási sokszög, amely a diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényének megadásának egyik formája.
13.3. példa. Szerkesszünk meg egy X valószínűségi változó eloszlási sokszögét eloszlássorozattal
| x | ||||
| R | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
Meghatározás 13.4. Azt mondjuk, hogy van egy diszkrét X valószínűségi változó binomiális eloszlás paraméterekkel ( n, p), ha nem negatív egész értékeket vehet fel k {1,2,…,n) valószínűséggel Р( X=x)= .
A disztribúciós sorozat alakja:
| x | … | k | … | n | ||
| R | … | … |
Valószínűségek összege = =1.
Meghatározás 13.5. Azt mondják, hogy a valószínűségi változó diszkrét formája x Megvan Poisson-eloszlás a (>0) paraméterrel, ha egész értékeket vesz fel k(0,1,2,…) Р( X=k)= .
A terjesztési sorozatnak megvan a formája
| x | … | k | … | ||
| R | … | … |
Mivel a Maclaurin-sor kiterjesztésének a következő alakja van, akkor a valószínűségek összege = = =1.
Jelölje x az esemény első előfordulása előtt elvégzendő kísérletek száma A független kísérletekben, ha az A előfordulási valószínűsége mindegyikben egyenlő p (0<p <1), а вероятность непоявления . Возможными значениями x természetes számok.
Meghatározás 13.6. Azt mondják, hogy a valószínűségi változó x Megvan geometriai eloszlás paraméterrel p (0<p <1), если она принимает натуральные значения k N valószínűséggel Р(Х=k)= , ahol . Elosztási tartomány:
| x | … | n | … | |||
| R | … | … |
A valószínűségek összege = = =1.
13.7. példa. Az érmét 2-szer feldobják. Állítsd össze a "címer" előfordulási számának X valószínűségi változójának eloszlássorozatát!
P2(0)==; P2(1)===0,5; P 2 (2) = = .
| x | |||
| R |
A terjesztési sorozat a következő formában lesz:
13.8. példa. A fegyvert a célpont első találatáig elsütik. Az egy lövéssel való eltalálás valószínűsége 0,6. eltalálja a 3. lövést.
Mert a p=0,6, q=0,4, k=3, majd P( A)= =0,4 2 *0,6=0,096.
14 Diszkrét valószínűségi változók numerikus jellemzői
Az eloszlási törvény teljes mértékben jellemzi a valószínűségi változót, de gyakran ismeretlen, így kevesebb információra kell korlátozódnia. Néha még kifizetődőbb olyan számokat (paramétereket) használni, amelyek a valószínűségi változót összességében leírják. Úgy hívják numerikus jellemzők valószínűségi változó. Ide tartoznak: matematikai elvárás, variancia stb.
Meghatározás 14.1. matematikai elvárás A diszkrét valószínűségi változót az összes lehetséges értéke és valószínűségei szorzatának összegének nevezzük. Jelölje egy valószínűségi változó matematikai elvárását x M-en keresztül x=M( x)=E x.
Ha a valószínűségi változó x véges számú értéket vesz fel, akkor M x= .
Ha a valószínűségi változó x megszámlálható számú értéket vesz fel, majd M x= ,
és a matematikai elvárás akkor létezik, ha a sorozat abszolút konvergál.
Megjegyzés 14.2. A matematikai elvárás egy bizonyos szám, amely megközelítőleg egyenlő egy valószínűségi változó bizonyos értékével.
14.3. példa. Határozzuk meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását! x, ismerve a terjesztési sorozatát
| x | |||
| R | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
M x=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.
14.4. példa. Határozza meg egy esemény előfordulási számának matematikai elvárását! A egy kísérletben, ha egy esemény valószínűsége A egyenlő p.
Véletlenszerű érték x- az esemény előfordulásának száma A egy tesztben. 1 értéket vehet fel ( A történt) valószínűséggel pés =0 valószínűséggel, azaz. terjesztési sorozat
Ezért MS=C*1=C.
Megjegyzés 14.6. C állandó érték szorzata diszkrét valószínűségi változóval x Egy diszkrét C valószínűségi változóként definiálható x, amelynek lehetséges értékei megegyeznek a С állandó és a lehetséges értékek szorzatával x, ezen értékek valószínűsége С x egyenlők a megfelelő lehetséges értékek valószínűségével x.
Ingatlan 14.7. Az állandó tényezőt ki lehet venni az elvárás jeléből:
KISASSZONY x)=C∙M x.
Ha a valószínűségi változó x elosztási számmal rendelkezik
| x | … | … | |||
| R | … | … |
Véletlen változó eloszlási sorozat
| CX | … | … | |||
| R | … | … |
KISASSZONY x)= = = С∙М( x).
Meghatározás 14.8. A , ,…, véletlenszerű változókat hívjuk független, ha azért, én=1,2,…,n
Р( , ,…, )= Р( ) Р( )… Р( ) (1)
Ha mint = , én=1,2,…,n, akkor (1)
R(< , < ,…, < }= Р{ < }Р{ < }… Р{ < }, откуда получается другая формула:
( , ,…, ) = () ()... () (2)
valószínűségi változók együttes eloszlásfüggvényére ,…, , amely egy valószínűségi változó függetlenségének definíciójaként is felfogható.
Ingatlan 14.9. A 2 szorzatának matematikai elvárása független valószínűségi változók egyenlő a matematikai elvárásaik szorzatával:
M( XY)=M x∙M Nál nél.
Ingatlan 14.10. 2 valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik összegével:
M( X+Y)=M x+M Nál nél.
Megjegyzés 14.11. A 14.9 és 14.10 tulajdonságok több valószínűségi változó esetére általánosíthatók.
Példa 14.12. Határozzuk meg a matematikai elvárásokat a 2 dobókocka dobásakor kieső pontok összegére!
Hadd x az első kockán dobott pontok száma, Nál nél a második kockán dobott pontok száma. Ugyanaz a terjesztési sorozatuk:
| x | ||||||
| R |
Aztán M x=M Nál nél= (1+2+3+4+5+6)= = . M( X+Y)=2* =7.
14.13. tétel. Az esemény előfordulási számának matematikai elvárása A V n független kísérletek egyenlő a kísérletek számának és az egyes kísérletekben bekövetkező események valószínűségének szorzatával: M x=np.
Hadd x– az esemény előfordulásának száma A V n független tesztek. – az esemény előfordulásának száma A V én- az a teszt, én=1,2,…,n. Ekkor = + +…+ . Az M matematikai elvárás tulajdonságai szerint x= . Példából 14,4M X i=p, i=1,2,…,n, ezért M x= =np.
Meghatározás 14.14.diszperzió a valószínűségi változót D számnak nevezzük x=M( x-M x) 2 .
Meghatározás 14.15.Szórás valószínűségi változó x hívott szám =.
Megjegyzés 14.16. A diszperzió egy valószínűségi változó értékeinek terjedésének mértéke a matematikai elvárása körül. Mindig nem negatív. A variancia kiszámításához kényelmesebb egy másik képlet használata:
D x=M( x-M x) 2 = M( x 2 - 2X∙ M x+ (M x) 2) = M( x 2) - 2M( X∙ M x) + M(M x) 2 = =M( x 2)-M X∙ M X+(M x) 2 = M( x 2) – (M x) 2 .
Innen D x=M( x 2) – (M x) 2 .
14.17. példa. Keresse meg egy valószínűségi változó varianciáját x, amelyet számos eloszlás ad meg
| x | |||
| P | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
M x=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5; M( x 2)= 4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3;
D x=13.3-(3,5) 2 =1,05.
Diszperziós tulajdonságok
Ingatlan 14.18. Egy állandó érték szórása 0:
DC=M(C-MC)2=M(C-C)2=0.
Ingatlan 14.19. A konstans tényező a diszperziós jelből négyzetre emelve kivehető
D(C x) =C 2 D x.
D(CX)=M(C-CM x) 2 \u003d M (C (X-M x) 2) = C 2 M( x-M x) 2 = C 2 D x.
Ingatlan 14.20. 2 összegének szórása független valószínűségi változók egyenlő e változók varianciáinak összegével
D( X+Y)=D x+D Y.
D( X + Y)=M(( X+Y) 2) – (M( X+Y)) 2 = M( x2+ 2XY+Y2) - (M x+ M Y) 2 = =M( x) 2 +2M x M Y+M( Y 2)-(M( x) 2 +2M x M Y+M( Y) 2)= M( x 2)-(M x) 2 +M( Y 2)-(M Y) 2 = D x+D Y.
Következmény 14.21. Többek összegének szórása független valószínűségi változók szórásaik összegével egyenlő.
14.22. tétel. Egy esemény előfordulási számának szórása A V n független tesztek, amelyek mindegyikében a valószínűség p) 2 =). Ezért D +2,
VÉLETLENSZERŰ ÉRTÉKEK
2.1. példa. Véletlenszerű érték x eloszlásfüggvény adja meg
Határozza meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként x(2,5; 3,6) közötti értékeket vesz fel.
Megoldás: x a (2.5; 3.6) intervallumban kétféleképpen határozható meg:
2.2. példa. A paraméterek milyen értékeinél AÉs BAN BEN funkció F(x) = A + Be - x eloszlásfüggvénye lehet egy valószínűségi változó nemnegatív értékeinek x.
Megoldás: Mivel a valószínűségi változó összes lehetséges értéke x intervallumhoz tartoznak, akkor ahhoz, hogy a függvény eloszlásfüggvénye legyen x, az ingatlannak rendelkeznie kell:
.
Válasz: 
.
2.3. példa. Az X valószínűségi változót az eloszlásfüggvény adja
Határozza meg annak valószínűségét, hogy négy független próba eredményeként az érték x pontosan 3-szor az intervallumhoz tartozó értéket vesz fel (0,25; 0,75).
Megoldás: Egy érték elérésének valószínűsége x a (0,25; 0,75) intervallumban a következő képlettel találjuk:
2.4. példa. Annak a valószínűsége, hogy egy dobás során a labda kosarat talál, 0,3. Rajzolja fel a három dobásban elért találatok számának eloszlásának törvényét!
Megoldás: Véletlenszerű érték x- a kosárba dobott találatok száma három dobással - a következő értékeket veheti fel: 0, 1, 2, 3. x
x:
2.5. példa. Két lövő lő egyet a célba. Annak a valószínűsége, hogy az első lövő eltalálja, 0,5, a második 0,4. Írd le a célponton elért találatok számának eloszlási törvényét!
Megoldás: Határozzuk meg egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvényét! x- a célponton elért találatok száma. Legyen az esemény az első lövő célba ütése, és - a második lövő találata, illetve - a hibái.
Állítsuk össze az SV valószínűségi eloszlásának törvényét x:
2.6. példa. 3 elemet tesztelnek, amelyek egymástól függetlenül működnek. Az elemek hibamentes működési idejének (órában) eloszlási sűrűségfüggvényei vannak: először: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, a másodikhoz: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, a harmadikhoz: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a 0 és 5 óra közötti időintervallumban: csak egy elem fog meghibásodni; csak két elem fog meghibásodni; mindhárom elem meghibásodik.
Megoldás: Használjuk a valószínűségeket generáló függvény definícióját:
Annak valószínűsége, hogy független kísérletekben, amelyek közül az elsőben egy esemény bekövetkezésének valószínűsége A egyenlő , a másodikban stb., az esemény A pontosan egyszer jelenik meg, egyenlő az at együtthatóval a generáló függvény hatványaiban. Határozzuk meg az első, a második és a harmadik elem meghibásodásának és meghibásodásának valószínűségét 0 és 5 óra közötti időintervallumban:
Hozzunk létre egy generáló függvényt:
A at együttható egyenlő annak a valószínűségével, hogy az esemény A pontosan háromszor jelenik meg, vagyis mindhárom elem meghibásodásának valószínűsége; az at együttható egyenlő annak a valószínűségével, hogy pontosan két elem fog meghibásodni; együttható at egyenlő annak a valószínűségével, hogy csak egy elem hibásodik meg.
Példa 2.7. Adott egy valószínűségi sűrűség f(x) valószínűségi változó x:
Keresse meg az F(x) eloszlásfüggvényt!
Megoldás: A képletet használjuk:
.
Így az elosztási függvény alakja:
Példa 2.8. A készülék három egymástól függetlenül működő elemből áll. Az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egy kísérletben 0,1. Állítsd össze egy kísérletben a sikertelen elemek számának eloszlási törvényét!
Megoldás: Véletlenszerű érték x- az egy kísérletben sikertelen elemek száma - a következő értékeket veheti fel: 0, 1, 2, 3. Valószínűség, hogy x ezeket az értékeket veszi, a Bernoulli-képlet alapján kapjuk meg:
Így megkapjuk egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának következő törvényét x:
Példa 2.9. 4 szabvány alkatrész van sok 6 alkatrészben. Véletlenszerűen 3 elem került kiválasztásra. Rajzolja fel a szabványos részek számának eloszlási törvényét a kiválasztottak között!
Megoldás: Véletlenszerű érték x- a standard részek száma a kiválasztottak között - 1, 2, 3 értékeket vehet fel és hipergeometrikus eloszlású. Annak a valószínűsége x
Ahol -- a tételben lévő alkatrészek száma;
-- a szabványos alkatrészek száma a tételben;
– a kiválasztott alkatrészek száma;
-- a standard alkatrészek száma a kiválasztottak között.
.
.
.
2.10. példa. A valószínűségi változó eloszlási sűrűséggel rendelkezik
ahol és nem ismertek, de , a és . Keresse meg és.
Megoldás: Ebben az esetben a valószínűségi változó x háromszögeloszlású (Simpson-eloszlás) a [ a, b]. Numerikus jellemzők x:
Ennélfogva, 
. Ezt a rendszert megoldva két értékpárt kapunk: . Mivel a probléma állapotának megfelelően végre megvan: 
.
Válasz: .
Példa 2.11.Átlagosan a szerződések 10%-ánál fizeti ki a biztosító a biztosítási esemény bekövetkeztével kapcsolatos biztosítási összegeket. Számítsa ki az ilyen szerződések számának matematikai elvárását és szórását négy véletlenszerűen kiválasztott szerződés között!
Megoldás: A matematikai elvárás és szórás a következő képletekkel határozható meg:
.
SV lehetséges értékei (a biztosítási esemény bekövetkeztével kötött szerződések száma (négyből): 0, 1, 2, 3, 4.
A Bernoulli képlet segítségével számítjuk ki, hogy mekkora valószínűséggel kötöttek (négyből) eltérő számú szerződést, amelyre a biztosítási összeget fizették:
.
Az önéletrajz terjesztési sorozata (a biztosítási esemény bekövetkeztével kötött szerződések száma) a következőképpen alakul:
| 0,6561 | 0,2916 | 0,0486 | 0,0036 | 0,0001 |
Válasz: , .
Példa 2.12. Az öt rózsa közül kettő fehér. Írjon egy eloszlási törvényt egy valószínűségi változóra, amely kifejezi, hogy hány fehér rózsa van két egyidejűleg vett rózsa között!
Megoldás: Egy két rózsából álló mintában vagy nincs fehér rózsa, vagy lehet egy vagy két fehér rózsa. Ezért a valószínűségi változó xértékeket vehet fel: 0, 1, 2. A valószínűségek, hogy x ezeket az értékeket a következő képlettel találjuk meg:
Ahol -- rózsák száma;
-- fehér rózsák száma;
– az egyidejűleg kivett rózsák száma;
-- a fehér rózsák száma az elvittek között.
.
.
.
Ekkor egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye a következő lesz:
2.13. példa. A 15 összeszerelt egység közül 6 további kenést igényel. Rajzolja fel a kiegészítő kenést igénylő egységek számának eloszlási törvényét az összes számból véletlenszerűen kiválasztott öt között.
Megoldás: Véletlenszerű érték x- a további kenést igénylő egységek száma az öt kiválasztott közül - a következő értékeket veheti fel: 0, 1, 2, 3, 4, 5 és hipergeometrikus eloszlású. Annak a valószínűsége x ezeket az értékeket a következő képlettel találjuk meg:
Ahol -- az összeszerelt egységek száma;
-- a kiegészítő kenést igénylő egységek száma;
– a kiválasztott aggregátumok száma;
-- a kiegészítő kenést igénylő egységek száma a kiválasztottak közül.
.
.
.
.
.
.
Ekkor egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye a következő lesz:
2.14. példa. A javításra kapott 10 órából 7-nek van szüksége a mechanizmus általános tisztítására. Az órák nincsenek a javítás típusa szerint válogatva. A mester, aki tisztításra szoruló órát szeretne találni, egyenként megvizsgálja, és miután talált egy ilyen órát, abbahagyja a további nézegetést. Keresse meg a nézett órák számának matematikai elvárását és szórását!
Megoldás: Véletlenszerű érték x- a további kenést igénylő egységek száma az öt kiválasztott közül - a következő értékeket veheti fel: 1, 2, 3, 4. Annak a valószínűsége, hogy x ezeket az értékeket a következő képlettel találjuk meg:
.
.
.
.
Ekkor egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye a következő lesz:
Most számítsuk ki a mennyiség numerikus jellemzőit:
Válasz: , .
2.15. példa. Az előfizető elfelejtette a szükséges telefonszám utolsó számjegyét, de eszébe jut, hogy az furcsa. Határozza meg a kívánt szám leütése előtt végzett tárcsázások számának matematikai elvárását és szórását, ha az utolsó számjegyet véletlenszerűen tárcsázza, és a jövőben nem tárcsázza a tárcsázott számjegyet.
Megoldás: A véletlenszerű változó értékeket vehet fel: . Mivel az előfizető a jövőben nem tárcsázza a tárcsázott számot, ezeknek az értékeknek a valószínűsége egyenlő.
Készítsünk eloszlássorozatot egy valószínűségi változóból:
| 0,2 |
Számítsuk ki a tárcsázási kísérletek számának matematikai elvárását és szórását:
Válasz: , .
2.16. példa. A meghibásodás valószínűsége a megbízhatósági tesztek során a sorozat minden eszközénél egyenlő p. Határozza meg a meghibásodott eszközök számának matematikai elvárását, ha tesztelték N készülékek.
Megoldás: Az X diszkrét valószínűségi változó a meghibásodott eszközök száma N független tesztek, amelyek mindegyikében a meghibásodás valószínűsége egyenlő p, a binomiális törvény szerint oszlik el. A binomiális eloszlás matematikai elvárása megegyezik a próbák számának és egy kísérletben bekövetkező esemény valószínűségének szorzatával:
2.17. példa. Diszkrét valószínűségi változó x 3 lehetséges értéket vesz fel: valószínűséggel ; valószínűséggel és valószínűséggel . Találd meg és tudd, hogy M( x) = 8.
Megoldás: A matematikai elvárás definícióit és egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényét használjuk:
Találunk: .
2.18. példa. A műszaki ellenőrzési osztály ellenőrzi a termékek szabványosságát. Annak a valószínűsége, hogy az elem szabványos, 0,9. Minden tétel 5 elemet tartalmaz. Határozzuk meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását! x- a tételek száma, amelyek mindegyike pontosan 4 szabványos terméket tartalmaz, ha 50 tételt kell ellenőrizni.
Megoldás: Ebben az esetben minden elvégzett kísérlet független, és annak a valószínűsége, hogy minden tétel pontosan 4 standard terméket tartalmaz, azonos, ezért a matematikai elvárás a következő képlettel határozható meg:
,
hol a felek száma;
Annak a valószínűsége, hogy egy köteg pontosan 4 szabványos elemet tartalmaz.
A valószínűséget a Bernoulli-képlet segítségével találjuk meg:
Válasz: 
.
2.19. példa. Keresse meg egy valószínűségi változó varianciáját x– az esemény előfordulásának száma A két független kísérletben, ha ezekben a próbákban egy esemény bekövetkezésének valószínűsége azonos, és ismert, hogy M(x) = 0,9.
Megoldás: A probléma kétféleképpen oldható meg.
1) Lehetséges CB értékek x: 0, 1, 2. A Bernoulli-képlet segítségével meghatározzuk ezeknek az eseményeknek a valószínűségét:
,
,
.
Aztán az elosztási törvény xúgy néz ki, mint a:
A matematikai elvárás definíciójából meghatározzuk a valószínűséget:
Határozzuk meg az SW varianciáját x:
.
2) Használhatja a következő képletet:
.
Válasz: 
.
2.20. példa. Egy normális eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárása és szórása x 20, illetve 5. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként x a (15; 25) intervallumban lévő értéket veszi fel.
Megoldás: Normál valószínűségi változó eltalálásának valószínűsége x a től ig szakaszon a Laplace-függvényben kifejezve:
Példa 2.21. Adott egy függvény: 
A paraméter melyik értékénél C ez a függvény valamilyen folytonos valószínűségi változó eloszlási sűrűsége x? Határozzuk meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását és varianciáját! x.
Megoldás: Ahhoz, hogy egy függvény valamely valószínűségi változó eloszlássűrűsége legyen, nem negatívnak kell lennie, és teljesítenie kell a tulajdonságot:
.
Ennélfogva:
Számítsa ki a matematikai elvárást a következő képlettel:
.
Számítsa ki az eltérést a képlet segítségével:
T az p. Meg kell találni ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárását és szórását.
Megoldás: Egy diszkrét X valószínűségi változó eloszlási törvényét - egy esemény előfordulásának számát független kísérletekben, amelyek mindegyikében egy esemény bekövetkezésének valószínűsége , binomiálisnak nevezzük. A binomiális eloszlás matematikai elvárása megegyezik a próbák számának és az A esemény bekövetkezésének valószínűségének szorzatával egy kísérletben:
.
2.25. példa. Három egymástól független lövést adnak le a célpontra. Az egyes lövések eltalálásának valószínűsége 0,25. Határozza meg három lövéssel a találatok számának szórását!
Megoldás: Mivel három független próbát végzünk, és az A esemény (találat) bekövetkezésének valószínűsége minden kísérletben azonos, feltételezzük, hogy az X diszkrét valószínűségi változó – a célponton elért találatok száma – a binomiális szerint oszlik el. törvény.
A binomiális eloszlás varianciája megegyezik a kísérletek számának és az esemény bekövetkezésének és meg nem következésének valószínűségének szorzatával egy kísérletben:
2.26. példa. A biztosítót 10 perc alatt átlagosan három ügyfél keresi fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a következő 5 percben legalább egy ügyfél megérkezik.
Az 5 perc alatt érkező ügyfelek átlagos száma: 
. .
2.29. példa. A processzorsorban lévő alkalmazások várakozási ideje egy exponenciális eloszlási törvénynek engedelmeskedik, átlagosan 20 másodperc. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a következő (tetszőleges) kérés 35 másodpercnél tovább vár a processzorra.
Megoldás: Ebben a példában az elvárás 
, és a meghibásodási arány .
Ekkor a kívánt valószínűség:
2.30. példa. Egy 15 fős diákcsoport egy 20, egyenként 10 ülőhellyel rendelkező teremben tart megbeszélést. Minden tanuló véletlenszerűen foglal helyet a teremben. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legfeljebb három ember lesz a hetedik helyen a sorban?
Megoldás:
2.31. példa.
Ezután a valószínűség klasszikus definíciója szerint:
Ahol -- a tételben lévő alkatrészek száma;
-- a nem szabványos alkatrészek száma a tételben;
– a kiválasztott alkatrészek száma;
-- a nem szabványos alkatrészek száma a kiválasztottak között.
Ekkor a valószínűségi változó eloszlási törvénye a következő lesz.
Példák a „Véletlen változók” témával kapcsolatos problémák megoldására.
Feladat 1 . A sorsoláson 100 db jegyet bocsátanak ki. Egy 50 USD nyereményt játszottak. és tíz, egyenként 10 dolláros nyeremény. Keresse meg az X érték eloszlási törvényét - a lehetséges nyereség költségét.
Megoldás. X lehetséges értékei: x 1 = 0; x 2 = 10 és x 3 = 50. Mivel 89 „üres” jegy van, akkor p 1 = 0,89, a nyerési valószínűség 10 c.u. (10 jegy) – p 2 = 0,10 és 50 c.u. – o 3 = 0,01. És így:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Könnyen irányítható: .
Feladat 2. Annak a valószínűsége, hogy a vásárló előzetesen megismerkedett a termék hirdetésével, 0,6 (p = 0,6). A reklámok szelektív minőség-ellenőrzését úgy végzik el, hogy a vásárlókat még azelőtt megkérdezik, aki először tanulmányozta a hirdetést. Készítsen sorozatot a megkérdezett vásárlók számának megoszlásáról.
Megoldás. A feladat feltétele szerint p = 0,6. Kezdő: q=1 -p = 0,4. Ezeket az értékeket behelyettesítve a következőket kapjuk:és készítsünk egy eloszlási sorozatot:
|
pi |
0,24 |
Feladat 3. A számítógép három egymástól függetlenül működő elemből áll: egy rendszeregységből, egy monitorból és egy billentyűzetből. A feszültség egyszeri éles növekedésével az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége 0,1. A Bernoulli-eloszlás alapján készítse el az elosztási törvényt a hálózat túlfeszültség-emelkedése során meghibásodott elemek számára.
Megoldás. Fontolgat Bernoulli eloszlás(vagy binomiális): annak a valószínűsége, hogy be n tesztek esetén az A esemény pontosan megjelenik k egyszer: 
, vagy:
|
q n |
p n |
BAN BEN térjünk vissza a feladathoz.
X lehetséges értékei (a hibák száma):
x 0 =0 - egyik elem sem sikerült;
x 1 =1 - egy elem meghibásodása;
x 2 =2 - két elem meghibásodása;
x 3 =3 - minden elem meghibásodása.
Mivel feltétel szerint p = 0,1, akkor q = 1 – p = 0,9. A Bernoulli-képlet segítségével azt kapjuk
, ,
, .
Vezérlés: .
Ezért a kívánt elosztási törvény:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
4. feladat. 5000 darabot gyártottak. Annak a valószínűsége, hogy az egyik patron hibás 
. Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan 3 hibás patron lesz a teljes tételben?
Megoldás. Alkalmazható Poisson-eloszlás: ez az eloszlás annak a valószínűségének meghatározására szolgál, hogy egy nagyon nagy
kísérletek száma (tömegpróbák), amelyek mindegyikében az A esemény valószínűsége nagyon kicsi, az A esemény k-szer fog bekövetkezni: 
, Ahol .
Itt n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Megtaláljuk, majd a kívánt valószínűséget: 
.
5. feladat. Amikor az első találat előtt lő a p találati valószínűséggel = 0,6 egy lövés esetén, meg kell találnia annak valószínűségét, hogy a találat a harmadik lövésnél bekövetkezik.
Megoldás. Alkalmazzuk a geometriai eloszlást: végezzünk független próbákat, amelyek mindegyikében az A esemény p bekövetkezési valószínűséggel (és q = 1 - p be nem következéssel) rendelkezik. A kísérletek azonnal véget érnek, amint az A esemény bekövetkezik.
Ilyen feltételek mellett annak valószínűségét, hogy az A esemény bekövetkezik a k-adik teszten, a következő képlet határozza meg: . Itt p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Ezért .
6. feladat. Legyen adott egy X valószínűségi változó eloszlásának törvénye:
Keresse meg a matematikai elvárást.
Megoldás. .
Vegyük észre, hogy a matematikai elvárás valószínűségi jelentése egy valószínűségi változó átlagos értéke.
7. feladat. Keresse meg egy X valószínűségi változó varianciáját a következő eloszlási törvény szerint:
Megoldás. Itt .
X négyzetének eloszlási törvénye 2 :
|
x 2 |
|||
Kötelező szórás: .
A diszperzió egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének (szórásának) mértékét jellemzi.
8. feladat. Adjuk meg a valószínűségi változót az eloszlás:
|
10 m |
|||
Keresse meg a numerikus jellemzőit!
Megoldás: m, m 2 ,
M 2 , m.
Egy X valószínűségi változóról azt is mondhatjuk, hogy matematikai elvárása 6,4 m, szórása 13,04 m 2 , vagy - matematikai elvárása 6,4 m, m eltéréssel A második megfogalmazás nyilvánvalóan világosabb.
Feladat 9.
Véletlenszerű érték x az eloszlási függvény adja meg: 
.
Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként az X érték az intervallumban foglalt értéket veszi fel 
.
Megoldás. Annak a valószínűsége, hogy X értéket vesz fel egy adott intervallumból, egyenlő az integrálfüggvény növekményével ebben az intervallumban, azaz. . A mi esetünkben és ezért
.
Feladat 10. Diszkrét valószínűségi változó x az elosztási törvény szerint:
Keresse meg az elosztási függvényt F(x ), és készítse el a grafikonját.
Megoldás. Mivel az elosztási függvény
Mert 
, Azt
nál nél ;
nál nél ;
nál nél ;
nál nél ;
Vonatkozó diagram:
11. feladat. Folyamatos valószínűségi változó x a differenciáleloszlási függvény adja meg: 
.
Keresse meg az elütés valószínűségét X az intervallumhoz
Megoldás. Vegye figyelembe, hogy ez az exponenciális eloszlás törvényének egy speciális esete.
Használjuk a képletet: 
.
Feladat 12. Határozzuk meg az eloszlási törvény által adott X diszkrét valószínűségi változó numerikus jellemzőit:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2:
|
a Laplace függvény.………………………………………………………
An - egy X valószínűségi változó felvette An értékét.
Nyilvánvalóan az A1 A2, az események összege. , An egy bizonyos esemény, mivel a valószínűségi változó szükségszerűen az x1, x2, xn értékek közül legalább egyet vesz fel.
Ezért P (A1 È A2 È . È An) = 1.
Ezenkívül az A1, A2, ., An események nem kompatibilisek, mivel egyetlen kísérletben egy valószínűségi változó csak az x1, x2, ., xn értékek egyikét veheti fel. Az inkompatibilis események összeadási tételével azt kapjuk, hogy
P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,
azaz p1+p2+ . +pn = 1, vagy röviden,
Ezért az 1. táblázat második sorában található összes szám összegének, amely az X valószínűségi változó eloszlási törvényét adja meg, egyenlőnek kell lennie eggyel.
1. PÉLDA. Legyen az X valószínűségi változó a kockával dobott pontok száma. Keresse meg az eloszlási törvényt (táblázat formájában).
Az X véletlenszerű változó értéket vesz fel
x1=1, x2=2, … , x6=6
valószínűségekkel
p1 = p2 = … = p6 =
Az elosztási törvényt a táblázat adja meg:
2. táblázat
2. PÉLDA. Binomiális eloszlás. Tekintsünk egy X valószínűségi változót - az A esemény előfordulásának számát egy független kísérletsorozatban, amelyek mindegyikében A p valószínűséggel fordul elő.
Az X valószínűségi változó nyilvánvalóan a következő értékek egyikét veheti fel:
0, 1, 2, ., k, ., n.
Egy olyan esemény valószínűségét, amely abból áll, hogy az X valószínűségi változó k értéket vesz fel, a Bernoulli-képlet határozza meg:
Рn(k)= ahol q=1- р.
Egy valószínűségi változó ilyen eloszlását binomiális vagy Bernoulli-eloszlásnak nevezzük. A Bernoulli-eloszlást teljesen két paraméter határozza meg: az összes próba n száma és a p valószínűsége, amellyel az esemény bekövetkezik az egyes kísérletekben.
A binomiális eloszlás feltétele a következő:
Ennek az egyenlőségnek az érvényességének bizonyításához elegendő az azonosság
(q+px)n= 
tegye x=1.
3. PÉLDA. Poisson-eloszlás. Ez az űrlap valószínűségi eloszlásának neve:
P(k)= 
.
Egyetlen (pozitív) paraméter határozza meg a. Ha ξ egy Poisson-eloszlású valószínűségi változó, akkor a megfelelő a - paraméter ennek a valószínűségi változónak az átlagos értéke:
a=Mξ=, ahol M a matematikai elvárás.
A valószínűségi változó a következő:
4. PÉLDA. exponenciális eloszlás.
Ha az idő egy valószínűségi változó, akkor jelöljük τ-val, így
ahol 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.
A t valószínűségi változó átlagértéke:
Az eloszlási sűrűség a következőképpen alakul:
4) Normál eloszlás
Legyen független, azonos eloszlású valószínűségi változók és legyen 
Ha a tagok elég kicsik, és az n szám elég nagy, - ha n à ∞ esetén a Мξ valószínűségi változó matematikai elvárása és a Dξ variancia egyenlő Dξ=M(ξ–Мξ)2, akkor Мξ~ а, Dξ~σ2, akkor
- normál vagy gauss eloszlás
.
5) Geometriai eloszlás. Jelölje ξ az első "sikert" megelőző próbálkozások számát. Ha feltételezzük, hogy minden teszt egy egységnyi ideig tart, akkor ξ-t tekinthetjük az első „sikerig” tartó várakozási időnek. Az elosztás így néz ki:
Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0
6) Hipergeometrikus eloszlás.
Van N - objektum, amelyek között n - "speciális objektumok". Az összes objektum közül a k-objektumok véletlenszerűen kerülnek kiválasztásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a kiválasztott objektumok között egyenlő r - "speciális objektumok". Az elosztás így néz ki:
7) Pascal-eloszlás.
Legyen x az r-edik "siker" érkezését megelőző "kudarcok" összes száma. Az elosztás így néz ki:
Az elosztási függvény alakja:
A kiegyenlített eloszlás azt jelenti, hogy az x valószínűségi változó azonos valószínűséggel tetszőleges értéket vehet fel az intervallumon. Ebben az esetben az eloszlási sűrűséget a következőképpen számítjuk ki 
Az alábbiakban az eloszlási sűrűség és az eloszlási függvény diagramjait mutatjuk be.
A „fehér zaj” fogalmának magyarázata előtt számos definíciót kell megadni.
A véletlen függvény egy nem véletlenszerű t argumentum függvénye, amely az argumentum minden rögzített értékéhez egy valószínűségi változó. Például, ha U egy valószínűségi változó, akkor az X(t)=t2U függvény véletlenszerű.
A véletlenfüggvény szakasza a véletlen függvény argumentumának fix értékének megfelelő valószínűségi változó. Így egy véletlenfüggvény a t paramétertől függően valószínűségi változók halmazának tekinthető (X(t)).
