Tekintsünk egy tetszőleges ABC háromszöget és egy D pontot, amely nem ennek a háromszögnek a síkjában fekszik. Kösd össze ezt a pontot szakaszokkal az ABC háromszög csúcsaival. Ennek eredményeként ADC , CDB , ABD háromszögeket kapunk. A négy ABC , ADC , CDB és ABD háromszög által határolt felületet tetraédernek nevezzük és DABC - nek jelöljük .
A tetraédert alkotó háromszögeket lapoknak nevezzük.
Ezeknek a háromszögeknek az oldalait a tetraéder éleinek nevezzük. A csúcsaik pedig egy tetraéder csúcsai

A tetraédernek van 4 arc, 6 bordaÉs 4 csúcs.
Két olyan élt, amelyeknek nincs közös csúcsa, ellentétesnek nevezzük.
Gyakran a kényelem kedvéért a tetraéder egyik lapját hívják alapján, a maradék három lap pedig oldallap.

Így a tetraéder a legegyszerűbb poliéder, amelynek lapjai négy háromszögből állnak.

De az is igaz, hogy bármely tetszőleges háromszög alakú piramis tetraéder. Akkor az is igaz, hogy tetraédert ún piramis, amelynek alapja háromszög.

A tetraéder magassága szakasznak nevezzük, amely egy csúcsot összeköt egy, a szemközti oldalon lévő és arra merőleges ponttal.
Tetraéder mediánja szakasznak nevezzük, amely összeköti a csúcsot a szemközti lap mediánjainak metszéspontjával.
Bimedián tetraéder szakasznak nevezzük, amely a tetraéder keresztező éleinek felezőpontjait köti össze.

Mivel a tetraéder egy piramis azzal háromszög alakú alap, akkor bármely tetraéder térfogata kiszámítható a képlettel

• S bármely arc területe,
• H- a magasság leeresztve ezen az arcon

Szabályos tetraéder - egy speciális tetraéder

Olyan tetraédert nevezünk, amelynek minden lapja egyenlő oldalú háromszög helyes.
A szabályos tetraéder tulajdonságai:

• Minden él egyenlő.
• A szabályos tetraéder minden síkszöge 60°
• Mivel minden csúcsa három szabályos háromszög csúcsa, a síkszögek összege minden csúcsban 180°
• A szabályos tetraéder bármely csúcsát a szemközti lap ortocentrumába (a háromszög magasságainak metszéspontjába) vetítjük.

Adjunk egy ABCD szabályos tetraédert, amelynek élei egyenlőek a -val. DH a magassága.
Készítsünk további konstrukciókat BM - az ABC háromszög magassága és DM - az ACD háromszög magassága.
Magasság BM egyenlő BM és egyenlő
Tekintsük a BDM háromszöget, ahol DH , amely a tetraéder magassága, egyben ennek a háromszögnek a magassága is.
Az MB oldalra esett háromszög magasságát a képlet segítségével találhatjuk meg

, Ahol
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Helyettesítse ezeket az értékeket a magassági képletbe. Kap


Vegyünk ki 1/2a. Kap

Alkalmazza a négyzetek képletkülönbségét

Kisebb átalakítások után megkapjuk


Bármely tetraéder térfogata kiszámítható a képlet segítségével
,
Ahol ,

Ezeket az értékeket behelyettesítve azt kapjuk

Így a szabályos tetraéder térfogati képlete a következő

Ahol a–tetraéder él

Egy tetraéder térfogatának kiszámítása, ha ismertek csúcsainak koordinátái

Adjuk meg a tetraéder csúcsainak koordinátáit

Rajzoljon vektorokat a , , csúcsból.
Az egyes vektorok koordinátáinak megtalálásához vonja ki a megfelelő kezdőkoordinátát a végkoordinátából. Kap

A tetraéder térfogatának alapképletéből

Ahol S bármely arc területe, és H- a magassága le van engedve rajta, többet megjeleníthet egész sor a térfogatot a tetraéder különböző elemeivel kifejező képletek. Ezeket a képleteket adjuk meg a tetraéderhez ABCD.

(2) ,

ahol ∠ ( HIRDETÉS,ABC) az élek közötti szög HIRDETÉSés az arc síkja ABC;

(3) ,

ahol ∠ ( ABC,ABD) a lapok közötti szög ABCÉs ABD;

ahol | AB,CD| - az ellentétes bordák közötti távolság ABÉs CD, ∠ (AB,CD) az ezen élek közötti szög.

A (2)–(4) képletekkel megkereshetjük az egyenesek és síkok közötti szögeket; különösen hasznos a (4) képlet, mellyel a ferde vonalak közötti távolságot találhatjuk meg ABÉs CD.

A (2) és (3) képlet hasonló a képlethez S = (1/2)ab bűn C egy háromszög területére. Képlet S = rp hasonló képlet

Ahol r a tetraéder beírt gömbjének sugara, Σ annak teljes felület(az összes lap területének összege). Van egy gyönyörű képlet is, amely összeköti a tetraéder térfogatát egy sugárral R leírt hatóköre ( Crelle formula):

ahol Δ annak a háromszögnek a területe, amelynek oldalai számszerűen egyenlőek a szemközti élek szorzatával ( AB× CD, AC× BD,HIRDETÉS× időszámításunk előtt). A (2) képletből és a triéderszögekre vonatkozó koszinusztételből (lásd Szférikus trigonometria) a Heron-féle háromszög-képlethez hasonló képlet származtatható.

A tetraéder definíciója

Tetraéder- a legegyszerűbb poliédertest, amelynek lapjai és alapjai háromszögek.

Online számológép

A tetraédernek négy lapja van, amelyek mindegyikét három oldal alkotja. A tetraédernek négy csúcsa van, mindegyiknek három éle van.

Ez a test több típusra oszlik. Az alábbiakban az osztályozásukat mutatjuk be.

1. Izoéderes tetraéder- minden lapja ugyanaz a háromszög;
2. Ortocentrikus tetraéder- minden csúcstól a szemközti lapig húzott magasságok azonos hosszúságúak;
3. Téglalap alakú tetraéder- az egyik csúcsból kiinduló élek 90 fokos szöget zárnak be egymással;
4. keret;
5. Arányos;
6. incentrikus.

Tetraéder térfogat képletek

Egy adott test térfogata többféleképpen is meghatározható. Elemezzük őket részletesebben.

A vektorok vegyes szorzatán keresztül

Ha a tetraéder három koordinátájú vektorra épül:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

akkor ennek a tetraédernek a térfogata az vegyes termék ezen vektorok közül, azaz egy ilyen determináns:

Egy tetraéder térfogata a determinánson keresztül

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmátrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\_c_x & c)V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

1. feladat

Az oktaéder négy csúcsának koordinátái ismertek. A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9), B(8,7,3)B(8,7,3) B(8, 7, 3), C(1,2,3)C(1,2,3) C (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D (7 , 1 2 , 1 ). Keresse meg a térfogatát.

Megoldás

A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9)
B(8,7,3)B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C(1,2,3)C(1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D (7 , 1 2 , 1 )

Első lépésként meg kell határozni azoknak a vektoroknak a koordinátáit, amelyekre az adott test épül.
Ehhez meg kell találni a vektor minden koordinátáját két pont megfelelő koordinátáinak kivonásával. Például vektorkoordináták A B → \overrightarrow(AB) A B, azaz egy pontból irányított vektor A A A lényegre törő B B B, ezek a pontok megfelelő koordinátáinak különbségei B B BÉs A A A:

A B → = (8 - 1 , 7 - 4 , 3 - 9) = (7 , 3 , - 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 - 1, 2 - 4, 3 - 9) = (0, -2, -6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, -2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 - 1 , 12 - 4 , 1 - 9) = (6 , 8 , - 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Most keressük meg ezeknek a vektoroknak a vegyes szorzatát, ehhez állítunk össze egy harmadrendű determinánst, miközben feltételezzük, hogy A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= a, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= c.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 − 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) = 1 3 ⋅ 8 08 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmátrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmátrix)= \begin(vmátrix)= \begin(vmátrix)= \begin(vmátrix) \ - \ - \ 6 & - 6 - \ - \ 6 & 8 \ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot(-2 )\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot8 - 3\cdot0\cdot8 - 3\cdot0\cdot8 - 3\cdot0\cdot (-2) = 1 + 0 -8 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Vagyis a tetraéder térfogata:

$V=61\cdot |$

Válasz

$44.8\text{cm3 .}$

Az oldala mentén lévő izoéder tetraéder térfogatának képlete

Ez a képlet csak egy izoéder tetraéder térfogatának kiszámítására érvényes, vagyis olyan tetraéderre, amelyben minden lap egyforma szabályos háromszög.

Izoéder tetraéder térfogata

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

a aa a tetraéder élének hossza.

2. feladat

Határozzuk meg egy tetraéder térfogatát, ha az oldala egyenlő: $11\text{cm.}$

Megoldás

$a=11$

Helyettes a aa a tetraéder térfogatának képletébe:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Válasz

$156.8\text{cm3 .}$

jegyzet. Ez a lecke része a geometriai problémákkal (metszet szilárd geometriája, problémák a piramisról). Ha meg kell oldania egy geometriai problémát, amely nincs itt, írjon róla a fórumban. A feladatokban a "négyzetgyök" szimbólum helyett az sqrt () függvényt használjuk, amelyben az sqrt a szimbólum négyzetgyök, zárójelben pedig a gyökérkifejezés.Egyszerű radikális kifejezéseknél a "√" jel használható. szabályos tetraéder egy szabályos háromszög alakú gúla, amelynek minden lapja egyenlő oldalú háromszög.

Szabályos tetraéder esetén az éleken lévő összes diéderszög és a csúcsokban lévő háromszög egyenlő

A tetraédernek 4 lapja, 4 csúcsa és 6 éle van.

A szabályos tetraéder alapképleteit a táblázat tartalmazza.

Ahol:
S - Egy szabályos tetraéder felülete
V - kötet
h - az alapra süllyesztett magasság
r - a tetraéderbe írt kör sugara
R - a körülírt kör sugara
a - borda hossza

Gyakorlati példák

Feladat.
Keresse meg egy háromszög alakú gúla felületét, amelynek minden éle √3

Megoldás.
Mivel a háromszög alakú gúla minden éle egyenlő, így helyes. Egy szabályos háromszög alakú piramis felülete S = a 2 √3.
Akkor
S = 3√3

Válasz: 3√3

Feladat.
Egy szabályos háromszög alakú gúla minden éle 4 cm. Határozza meg a gúla térfogatát!

Megoldás.
Mivel egy szabályos háromszög alakú gúlában a gúla magasságát az alap középpontjába vetítjük, ami egyben a körülírt kör középpontja is, akkor

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3/3

Tehát az OM piramis magassága innen állapítható meg derékszögű háromszög AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

A piramis térfogatát a következő képlettel határozzuk meg: V = 1/3 Sh
Ebben az esetben az alap területét az S \u003d √3/4 a 2 képlettel találjuk meg

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Válasz: 16√2/3cm