"A Pitagorasz-tétel leckéje" - A Pitagorasz-tétel. Határozza meg a KMNP négyszög típusát! Bemelegít. Bevezetés a tételbe. Határozza meg a háromszög típusát: Óraterv: Történelmi kitérő. Egyszerű problémák megoldása. És keress egy 125 láb hosszú létrát. Számítsa ki az ABCD trapéz CF magasságát! Bizonyíték. Képek megjelenítése. A tétel bizonyítása.
"Prizma térfogata" - A prizma fogalma. közvetlen prizma. Az eredeti prizma térfogata megegyezik az S · h szorzattal. Hogyan találjuk meg az egyenes prizma térfogatát? A prizma h magasságú egyenes háromszög hasábokra osztható. Rajzold le az ABC háromszög magasságát! A probléma megoldása. Óracélok. A direkt prizmatétel bizonyításának alapvető lépései? A prizmatérfogat-tétel tanulmányozása.
"Prizma poliéder" - Határozzon meg egy poliédert. A DABC egy tetraéder, egy konvex poliéder. A prizmák használata. Hol használják a prizmákat? Az ABCDMP egy oktaéder, amely nyolc háromszögből áll. Az ABCDA1B1C1D1 egy paralelepipedon, egy konvex poliéder. Konvex poliéder. A poliéder fogalma. Az A1A2..AnB1B2..Bn poliéder egy prizma.
"10-es prizmaosztály" – A prizma olyan poliéder, amelynek lapjai párhuzamos síkban helyezkednek el. A prizma használata a mindennapi életben. Sside = Palapú. + h Egyenes prizma esetén: Sp.p = Pmain. h + 2Smain. Hajlamos. Helyes. Egyenes. Prizma. Képletek a terület megtalálásához. A prizma használata az építészetben. Sp.p \u003d S oldal + 2 S alapú.
"A Pitagorasz-tétel bizonyítása" - Geometriai bizonyítás. A Pitagorasz-tétel jelentése. Pitagorasz tétel. Eukleidész bizonyítéka. "Egy derékszögű háromszögben a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével." A tétel bizonyításai. A tétel jelentősége abban rejlik, hogy a geometria tételeinek nagy része levezethető belőle, illetve segítségével.
Általános információk az egyenes prizmáról
A prizma oldalfelületét (pontosabban az oldalfelületét) ún összeg oldalsó arcterületek. A prizma teljes felülete egyenlő az oldalfelület és az alapok területeinek összegével.
19.1. Tétel. Oldalsó felület egy egyenes prizma egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával, azaz az oldalél hosszával.
Bizonyíték. Oldalsó arcok az egyenes prizmák téglalapok. Ezeknek a téglalapoknak az alapjai a sokszög oldalai, amelyek a prizma alapjában helyezkednek el, és a magasságuk megegyezik az oldalélek hosszával. Ebből következik, hogy a prizma oldalfelülete egyenlő
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
ahol a 1 és n az alap bordáinak hossza, p a prizma alapjának kerülete, I pedig az oldalbordák hossza. A tétel bizonyítást nyert.
Gyakorlati feladat
Feladat (22) . Ferde prizmában szakasz, merőleges az oldalélekre és metszi az összeset oldalbordák. Határozzuk meg a prizma oldalfelületét, ha a szelvény kerülete p, oldalélei l.
Megoldás. A megrajzolt metszet síkja két részre osztja a prizmát (411. ábra). Vegyük alá az egyiket egy párhuzamos fordításnak, amely egyesíti a prizma alapjait. Ebben az esetben egy egyenes prizmát kapunk, amelyben az eredeti prizma szakasza szolgál alapként, és az oldalélek egyenlőek l-lel. Ennek a prizmának az oldalfelülete megegyezik az eredetivel. Így az eredeti prizma oldalfelülete egyenlő pl.
A téma általánosítása
És most próbáljuk meg összefoglalni a prizma témáját, és emlékezzünk arra, hogy milyen tulajdonságai vannak a prizmának.
Prizma tulajdonságai
Először is, egy prizmánál minden alapja egyenlő sokszög;
Másodszor, egy prizma esetében az összes oldallapja paralelogramma;
Harmadszor, egy ilyen sokoldalú ábrán, mint egy prizma, minden oldalél egyenlő;
Emlékeztetni kell arra is, hogy a poliéderek, például a prizmák lehetnek egyenesek és ferdeek.
Mi az az egyenes prizma?
Ha egy prizma oldaléle merőleges az alapja síkjára, akkor az ilyen prizmát egyenesnek nevezzük.
Nem lesz felesleges felidézni, hogy az egyenes prizma oldallapjai téglalapok.
Mi az a ferde prizma?
De ha a prizma oldaléle nem merőleges az alapja síkjára, akkor nyugodtan mondhatjuk, hogy ez egy ferde prizma.
Mi a helyes prizma?
Ha egy egyenes prizma tövében fekszik szabályos sokszög, akkor egy ilyen prizma a helyes.
Most emlékezzünk vissza a szabályos prizmák tulajdonságaira.
Szabályos prizma tulajdonságai
Először is, mindig indokol jobb prizma szabályos sokszögek;
Másodszor, ha egy szabályos prizma oldallapjait tekintjük, akkor ezek mindig egyenlő téglalapok;
Harmadszor, ha összehasonlítjuk az oldalbordák méretét, akkor a megfelelő prizmában mindig egyenlőek.
Negyedszer, a szabályos prizma mindig egyenes;
Ötödször, ha egy szabályos prizmában az oldallapok négyzet alakúak, akkor egy ilyen alakzatot általában félig szabályos sokszögnek neveznek.
Prizma szakasz
Most nézzük egy prizma keresztmetszetét:
Házi feladat
És most próbáljuk meg a vizsgált témát problémák megoldásával megszilárdítani.
Rajzoljunk egy ferde háromszög alakú prizmát, amelyben az élei közötti távolság: 3 cm, 4 cm és 5 cm, ennek a prizmának az oldalfelülete pedig 60 cm2 lesz. Ezekkel a paraméterekkel keresse meg az adott prizma oldalélét.
Ès te ezt tudod geometriai alakzatok nem csak a geometria órákon vesznek körül minket, hanem azokon is Mindennapi élet vannak olyan tárgyak, amelyek hasonlítanak egyik vagy másik geometriai alakzatra.
Minden otthonban, iskolában vagy munkahelyen van számítógép, melynek rendszeregysége egyenes prizma alakú.
Ha felvesz egy egyszerű ceruzát, látni fogja, hogy a ceruza fő része egy prizma.
A város főutcáján sétálva azt látjuk, hogy a lábunk alatt hatszögletű hasáb alakú cserép hever.
A. V. Pogorelov, Geometria 7-11. osztályosoknak, Tankönyv oktatási intézmények számára
Definíció 1. Prizmás felület
Tétel 1. Prizmás felület párhuzamos szakaszain
Definíció 2. Prizmás felület merőleges metszete
Definíció 3. Prizma
Definíció 4. Prizmamagasság
Definíció 5. Közvetlen prizma
2. Tétel. A prizma oldalfelületének területe
Párhuzamos :
Definíció 6. Paralleleppiped
3. Tétel Egy paralelepipedon átlóinak metszéspontjáról
Definíció 7. Jobb oldali paralelepipedon
Definíció 8. Téglalap alakú paralelepipedon
Definíció 9. A paralelepipedon méretei
Definíció 10. Kocka
Definíció 11. Romboéder
Tétel 4. Átlókon kocka alakú
5. Tétel. Prizma térfogata
Tétel 6. Egyenes prizma térfogata
7. Tétel. Téglalap alakú paralelepipedon térfogata
prizma poliédernek nevezzük, amelyben két lap (alap) párhuzamos síkban fekszik, és az ezeken a lapokon nem fekvő élek párhuzamosak egymással.
Az alapoktól eltérő arcokat hívják oldalsó.
Az oldallapok és alapok oldalait ún prizma élei, az élek végeit ún a prizma csúcsai. Oldalsó bordákéleknek nevezzük, amelyek nem tartoznak az alapokhoz. Az oldallapok egyesülését ún a prizma oldalfelülete, és az összes arc egyesülését hívják a prizma teljes felülete. Prizma magassága a felső alap pontjából az alsó alap síkjába ejtett merőlegest vagy ennek a merőlegesnek a hosszát nevezzük. 
egyenes prizma prizmának nevezzük, amelyben az oldalélek merőlegesek az alapok síkjaira. 
Helyes egyenes prizmának nevezzük (3. ábra), melynek alapjában szabályos sokszög fekszik.
Megnevezések:
l - oldalsó borda;
P - alap kerülete;
S o - alapterület;
H - magasság;
P ^ - a merőleges szakasz kerülete;
S b - oldalfelület;
V - térfogat;
S p - terület teljes felület prizmák.
|
V=SH |
*Feltételezzük, hogy minden két egymást követő sík metszi egymást, és az utolsó sík metszi az elsőt.
1. tétel . A prizmatikus felület egymással párhuzamos (de az éleivel nem párhuzamos) síkok metszete egyenlő sokszögek.
Legyen ABCDE és A"B"C"D"E egy prizmatikus felület két párhuzamos sík metszete. A két sokszög egyenlőségének ellenőrzéséhez elegendő megmutatni, hogy az ABC és az A"B"C" háromszögek egyenlőek és azonos forgási irányuk van, és ugyanez érvényes az ABD és A"B"D", ABE és A"B"E háromszögekre is. De ezeknek a háromszögeknek a megfelelő oldalai párhuzamosak (például AC párhuzamos A "C"-vel), mint egy bizonyos sík és két párhuzamos sík metszésvonala; ebből következik, hogy ezek az oldalak egyenlőek (pl. AC egyenlő A"C") mint ellentétes oldalak paralelogramma, és hogy az ezen oldalak által alkotott szögek egyenlőek és azonos irányúak.
2. definíció . A prizmatikus felület merőleges metszete ennek a felületnek az éleire merőleges sík metszete. Az előző tétel alapján ugyanannak a prizmatikus felületnek minden merőleges szakasza egyenlő sokszög lesz.
3. definíció
. A prizma olyan poliéder, amelyet egy prizmás felület és két egymással párhuzamos sík határol (de nem párhuzamos a prizmafelület éleivel).
Az ezekben az utolsó síkokban fekvő arcokat ún prizma alapok; prizmás felülethez tartozó lapok - oldalsó arcok; a prizmatikus felület élei - a prizma oldalélei. Az előző tétel értelmében a prizma alapjai az egyenlő sokszögek. A prizma minden oldallapja paralelogrammák; minden oldalél egyenlő egymással.
Nyilvánvaló, hogy ha az ABCDE prizma alapja és az AA" élek egyike adott nagyságrendben és irányban, akkor a BB", CC", .. élekkel egyenlő és párhuzamos élek megrajzolásával lehet prizmát építeni a széle AA".
4. definíció . A prizma magassága az alapjainak síkjai közötti távolság (HH").
5. definíció
. Egy prizmát egyenesnek nevezünk, ha alapjai egy prizmatikus felület merőleges metszetei. Ebben az esetben a prizma magassága természetesen az övé oldalborda; oldalsó élek lesznek téglalapok.
A prizmák az oldallapok száma szerint osztályozhatók, egyenlő számú az alapjául szolgáló sokszög oldalai. Így a prizmák lehetnek háromszögűek, négyszögletesek, ötszögűek stb.
2. tétel
. A prizma oldalfelületének területe megegyezik az oldalsó él és a merőleges szakasz kerületének szorzatával.
Legyen az ABCDEA"B"C"D"E" az adott prizma, abcde pedig a merőleges metszete úgy, hogy az ab, bc, .. szakaszok merőlegesek az oldaléleire. Az ABA"B" lap paralelogramma, területe egyenlő az AA " alap szorzatával egy olyan magassághoz, amely megegyezik az ab-val; a VSV "C" felület területe egyenlő a BB alap szorzatával "bc magassággal stb. Ezért az oldalfelület (azaz az oldallapok területének összege) egyenlő az oldalél szorzatával, vagyis az AA", BB " .. szakaszok teljes hosszával, az ab+bc+cd+de+ea összeggel.
A különböző prizmák különböznek egymástól. Ugyanakkor sok a közös bennük. A prizma alapterületének meghatározásához ki kell találnia, hogy milyen fajta.
Általános elmélet
Prizma minden olyan poliéder, amelynek oldalai paralelogramma alakúak. Sőt, bármely poliéder lehet az alapján - a háromszögtől az n-szögig. Ráadásul a prizma alapjai mindig egyenlőek egymással. Ami nem vonatkozik az oldalfelületekre - ezek mérete jelentősen eltérhet.
A problémák megoldása során nem csak a prizma alapterületével találkozunk. Szükséges lehet az oldalfelület ismerete, vagyis minden olyan lap, amely nem alap. A teljes felület már a prizmát alkotó összes lap egyesülése lesz.
Néha magasságok jelennek meg a feladatokban. Az alapokra merőleges. A poliéder átlója olyan szakasz, amely páronként összeköt két olyan csúcsot, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.
Meg kell jegyezni, hogy az egyenes vagy ferde prizma alapjának területe nem függ a köztük és az oldallapok közötti szögtől. Ha ugyanazok az ábrák vannak a felső és az alsó oldalon, akkor területük egyenlő lesz.
háromszög prizma
Az alján van egy három csúcsú alak, azaz egy háromszög. Köztudott, hogy más. Ha akkor elég felidézni, hogy a területét a lábak szorzatának fele határozza meg.
A matematikai jelölés így néz ki: S = ½ av.
A bázis területének megkereséséhez Általános nézet, hasznosak a képletek: Gém és amelyikben az oldal felét a hozzá húzott magasságba veszik.
Az első képletet így kell felírni: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Ez a bejegyzés egy fél kerületet (p) tartalmaz, azaz három oldal összegét osztva kettővel.
Második: S = ½ n a * a.
Ha meg akarjuk tudni egy háromszög hasáb alapjának területét, amely szabályos, akkor a háromszög egyenlő oldalú. Saját képlete van: S = ¼ a 2 * √3.
négyszögű prizma
Alapja bármely ismert négyszög. Lehet téglalap vagy négyzet, paralelepipedon vagy rombusz. A prizma alapterületének kiszámításához minden esetben saját képletre lesz szüksége.
Ha az alap téglalap, akkor a területét a következőképpen határozzuk meg: S = av, ahol a, b a téglalap oldalai.
Ha négyszögletű prizmáról van szó, a szabályos prizma alapterületét a négyzet képletével számítják ki. Mert ő fekszik a bázison. S \u003d a 2.
Abban az esetben, ha az alap paralelepipedon, a következő egyenlőségre lesz szükség: S \u003d a * n a. Előfordul, hogy a paralelepipedon oldala és az egyik szög adott. Ezután a magasság kiszámításához használnia kell kiegészítő képlet: n a \u003d b * sin A. Ezenkívül az A szög szomszédos a "b" oldallal, az n magasság pedig ezzel a sarokkal ellentétes.
Ha egy rombusz a prizma alapjában fekszik, akkor a terület meghatározásához ugyanaz a képlet szükséges, mint a paralelogramma esetében (mivel ez egy speciális eset). De használhatja ezt is: S = ½ d 1 d 2. Itt d 1 és d 2 a rombusz két átlója.
Szabályos ötszögletű prizma
Ebben az esetben a sokszöget háromszögekre kell felosztani, amelyek területei könnyebben kideríthetők. Bár előfordul, hogy a figurák különböző számú csúcsúak lehetnek.
Mivel a prizma alapja az szabályos ötszög, akkor öt egyenlő oldalú háromszögre osztható. Ekkor a prizma alapterülete egyenlő egy ilyen háromszög területével (a képlet fent látható), megszorozva öttel.
Szabályos hatszögletű prizma
Az ötszögű prizmánál leírt elv szerint az alap hatszög 6 egyenlő oldalú háromszögre osztható. Az ilyen prizma alapterületének képlete hasonló az előzőhöz. Csak benne kell hattal szorozni.
A képlet így fog kinézni: S = 3/2 és 2 * √3.
Feladatok
1. sz. Adott egy szabályos egyenes, melynek átlója 22 cm, a poliéder magassága 14 cm. Számítsa ki a prizma alapjának és a teljes felületének területét!
Megoldás. A prizma alapja négyzet, de az oldala nem ismert. Értékét a négyzet átlójából (x), amely a prizma átlójához (d) és magasságához (n) viszonyít. x 2 \u003d d 2 - n 2. Másrészt ez az "x" szakasz egy olyan háromszög hipotenusza, amelynek lábai egyenlők a négyzet oldalával. Vagyis x 2 \u003d a 2 + a 2. Így kiderül, hogy a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Helyettesítse a d helyett a 22-es számot, és cserélje ki az „n”-et annak értékére - 14, így kiderül, hogy a négyzet oldala 12 cm. Most már könnyen megtudhatja az alapterületet: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
A teljes felület területének meghatározásához hozzá kell adni az alapterület értékének kétszeresét, és megnégyszereznie kell az oldalt. Ez utóbbit könnyű megtalálni a téglalap képletével: szorozzuk meg a poliéder magasságát és az alap oldalát. Vagyis 14 és 12, ez a szám 168 cm 2 lesz. A prizma teljes felülete 960 cm 2 .
Válasz. A prizma alapterülete 144 cm2. A teljes felület - 960 cm 2 .
2. szám Dana Az alapon egy 6 cm-es oldalú háromszög fekszik, ebben az esetben az oldallap átlója 10 cm. Számítsa ki a területeket: az alap és az oldalfelület!
Megoldás. Mivel a prizma szabályos, az alapja egy egyenlő oldalú háromszög. Ezért a területe egyenlő 6 négyzet-szer ¼-vel és 3 négyzetgyökével. Egyszerű számítással a következő eredményt kapjuk: 9√3 cm 2. Ez a prizma egyik alapterülete.
Minden oldallap egyforma, téglalap 6 és 10 cm oldalakkal. Területük kiszámításához elegendő ezeket a számokat megszorozni. Ezután szorozza meg őket hárommal, mert a prizmának pontosan annyi oldallapja van. Ezután az oldalfelület területét 180 cm 2 -re tekerjük.
Válasz. Területek: alap - 9√3 cm 2, a prizma oldalfelülete - 180 cm 2.
Meghatározás.
Ez egy hatszög, amelynek alapja két egyenlő négyzet, oldallapjai pedig egyenlő téglalapok.
Oldalsó borda két szomszédos oldallap közös oldala
Prizma magassága a prizma alapjaira merőleges szakasz
Prizma átlós- egy szakasz, amely összeköti az alapok két csúcsát, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz
Átlós sík- egy sík, amely átmegy a prizma átlóján és oldalélein
Átlós szakasz- a prizma és az átlósík metszéspontjának határai. A szabályos négyszögű prizma átlós metszete egy téglalap
Merőleges metszet (merőleges metszet)- ez a prizma és az oldaléleire merőleges sík metszéspontja
Szabályos négyszögű prizma elemei
Az ábrán két szabályos négyszög alakú prizma látható, amelyek a megfelelő betűkkel vannak jelölve:
- Az ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 bázisok egyenlőek és párhuzamosak egymással
- AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C és CC 1 D 1 D oldallapok, amelyek mindegyike téglalap
- Oldalsó felület - a prizma összes oldalfelületének területeinek összege
- Teljes felület - az összes alap és oldalfelület területének összege (az oldalfelület és az alapok területének összege)
- Oldalbordák AA 1 , BB 1 , CC 1 és DD 1 .
- Átló B 1 D
- Alapátló BD
- Átlós metszet BB 1 D 1 D
- Merőleges metszet A 2 B 2 C 2 D 2 .
Szabályos négyszögű prizma tulajdonságai
- Az alap két egyenlő négyzet
- Az alapok párhuzamosak egymással
- Az oldalak téglalap alakúak.
- Az oldallapok egyenlőek egymással
- Az oldallapok merőlegesek az alapokra
- Az oldalsó bordák egymással párhuzamosak és egyenlőek
- Merőleges metszet, amely merőleges az összes oldalbordára és párhuzamos az alapokkal
- Merőleges metszetszögek – jobbra
- A szabályos négyszögű prizma átlós metszete egy téglalap
- Az alapokra merőleges (merőleges metszet) párhuzamos
Szabályos négyszögű prizma képletei
Útmutató a problémák megoldásához
Amikor problémákat old meg a témában " szabályos négyszögű prizma" azt jelenti, hogy:Helyes prizma- prizma, amelynek alapjában szabályos sokszög fekszik, és az oldalélek merőlegesek az alap síkjaira. Ez azt jelenti, hogy egy szabályos négyszög alakú prizma az alján van négyzet. (lásd fent a szabályos négyszögű prizma tulajdonságait) jegyzet. Ez a lecke része a geometriai feladatokkal (metszet szilárd geometria - prizma). Itt vannak azok a feladatok, amelyek megoldása nehézséget okoz. Ha meg kell oldania egy geometriai problémát, amely nincs itt, írjon róla a fórumban. A kivonás műveletének jelzésére négyzetgyök szimbólumot használják a problémamegoldásban√ .
Feladat.
Egy szabályos négyszög alakú prizmában az alapterület 144 cm 2, a magassága pedig 14 cm. Határozza meg a prizma átlóját és a teljes felületét!Megoldás.
A szabályos négyszög négyzet.
Ennek megfelelően az alap oldala egyenlő lesz
Ahonnan egy szabályos téglalap alakú prizma alapjának átlója egyenlő lesz
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
A szabályos prizma átlója az alap átlójával és a prizma magasságával alakul ki derékszögű háromszög. Ennek megfelelően a Pitagorasz-tétel szerint egy adott szabályos négyszögű prizma átlója egyenlő lesz:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm
Válasz: 22 cm
Feladat
Határozzuk meg egy szabályos négyszög alakú prizma teljes felületét, ha az átlója 5 cm, az oldallap átlója pedig 4 cm.Megoldás.
Mivel egy szabályos négyszögű prizma alapja négyzet, ezért az alap oldalát (a-val jelöljük) a Pitagorasz-tétel határozza meg:
A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Az oldallap magassága (h-val jelölve) ekkor egyenlő lesz:
H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5
A teljes felület egyenlő lesz az oldalfelület és az alapterület kétszeresének összegével
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.
Válasz: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.
