A VECTORS kereszttermékének használata

a terület kiszámításához

néhány geometriai formák

Kutatás matematika

10. B osztályos tanuló

MOU középiskola №73

Perevoznikov Mihail

Vezetők:

Matematika tanár MOU középiskola №73 Dragunova Svetlana Nikolaevna

Osztály asszisztens. matematikai elemzés SSU Mechanikai és Matematikai Kar N.G. Csernisevszkij Berdnikov Gleb Szergejevics

Szaratov, 2015

Bevezetés.

1. Elméleti áttekintés.

1.1. Vektorok és számítások vektorokkal.

1.2. A vektorok skaláris szorzatának felhasználása feladatok megoldásában

1.3 A vektorok pontszorzata koordinátákban

1.4. Vektorok vektorszorzata háromdimenziós euklideszi térben: a fogalom meghatározása.

1.5. Vektor koordináták vektorok szorzatai.

2. Gyakorlati rész.

2.1. A keresztszorzat és a háromszög és a paralelogramma területe közötti kapcsolat. A képlet levezetése és a vektorok vektorszorzatának geometriai jelentése.

2.2. Ha csak a pontok koordinátáit ismeri, keresse meg a háromszög területét. A tétel bizonyítása

2.3. Példákon ellenőrizze a képlet helyességét.

2.4. A vektoralgebra és a vektorok szorzatának gyakorlati alkalmazása.

Következtetés

Bevezetés

Mint tudják, sok geometriai problémának két kulcsfontosságú megoldása van - grafikus és analitikus. A grafikus módszer grafikonok és rajzok készítéséhez kapcsolódik, az analitikus módszer pedig főként a algebrai műveletek. Ez utóbbi esetben a feladatok megoldásának algoritmusa az analitikus geometriához kapcsolódik. Az analitikus geometria a matematikának egy olyan ága, vagy inkább lineáris algebra, amely geometriai feladatok megoldását a síkbeli és térbeli koordináták módszerén alapuló algebra segítségével veszi figyelembe. Az analitikus geometria lehetővé teszi a geometriai képek elemzését, a gyakorlati alkalmazásokhoz fontos vonalak és felületek felfedezését. Ezenkívül ebben a tudományban az ábrák térbeli megértésének bővítése érdekében néha a vektorok vektorszorzatát is használják.

A háromdimenziós térbeli technológiák széleskörű elterjedtsége miatt egyes geometriai alakzatok tulajdonságainak vektorszorzattal történő vizsgálata relevánsnak tűnik.

Ebben a tekintetben azonosították a projekt célját - a vektorok keresztszorzatának felhasználását egyes geometriai alakzatok területének kiszámításához.

Ehhez a célhoz kapcsolódóan a következő feladatokat oldották meg:

1. Elméletileg tanulmányozza a vektoralgebra szükséges alapjait, és határozza meg a vektorok vektorszorzatát koordináta-rendszerben;

2. Elemezze a vektorszorzat és a háromszög és a paralelogramma területe közötti kapcsolat meglétét;

3. Vezesse le a háromszög és a paralelogramma területének képletét koordinátákban;

4. Ellenőrizze a konkrét példák a származtatott képlet helyessége.

1. Elméleti áttekintés.

1. Vektorok és számítások vektorokkal

A vektor egy irányított szegmens, amelynek eleje és vége fel van tüntetve:

Ebben az esetben a szakasz eleje a pont A, a szakasz vége egy pont BAN BEN. Magát a vektort jelöli
vagy . Egy vektor koordinátáinak megtalálása
, ismerve az A kezdőpont és a B végpont koordinátáit, ki kell vonni a kezdőpont megfelelő koordinátáit a végpont koordinátáiból:

= { B x - A x ; B y - A y }

Azokat a vektorokat, amelyek párhuzamos egyeneseken vagy ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, kollineárisnak nevezzük. Ebben az esetben a vektor egy szakasz, amelyet hosszúság és irány jellemez.

Az irányított szakasz hossza határozza meg a vektor számértékét, és ezt a vektor hosszának vagy a vektor modulusának nevezzük.

Vektor hossza || téglalap alakban Derékszögű koordináták egyenlő négyzetgyök koordinátáinak négyzeteinek összegéből.

A vektorokkal meg tudod csinálni különféle tevékenységek.

Például az összeadás. Hozzáadásukhoz először meg kell rajzolni a második vektort az első végéről, majd az első elejét a második végéhez kell kötni (1. ábra). A vektorok összege egy másik vektor új koordinátákkal.

A vektorok összege = {a x ; a y) És = {b x ; b y) a következő képlettel kereshető meg:

+ = (a x +b x ; a y +b y }

Rizs. 1. Műveletek vektorokkal

A vektorok kivonásakor először egy pontból kell megrajzolni őket, majd a második végét össze kell kötni az első végével.

Vektor különbség = {a x ; a y) És = {b x ; b y } képlettel találhatjuk meg:

- = { a x -b x ; a y -b y }

Ezenkívül a vektorokat meg lehet szorozni egy számmal. Az eredmény egy olyan vektor is lesz, amely k-szor nagyobb (vagy kisebb), mint az adott. Iránya a k előjelétől függ: ha k pozitív, akkor a vektorok azonos irányúak, ha pedig k negatív, akkor ellentétes irányúak.

Vektoros termék = {a x ; a y } a k szám pedig a következő képlettel kereshető:

k = (k a x ; k a y }

Meg lehet-e szorozni egy vektort egy vektorral? Természetesen, és még két lehetőség is!

Az első lehetőség a skalárszorzat.

Rizs. 2. Pontszorzat koordinátákban

A vektorok szorzatának megtalálásához használhatja a vektorok közötti  szöget, a 3. ábrán látható módon.

A képletből az következik, hogy a skaláris szorzat egyenlő ezen vektorok hosszának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával, ennek eredménye egy szám. Fontos, hogy ha a vektorok merőlegesek, akkor a skaláris szorzatuk egyenlő nullával, mert koszinusz derékszög közöttük nulla.

BAN BEN Koordináta sík a vektornak is vannak koordinátái. BAN BEN A vektorok, azok koordinátái és a pontszorzat a legkényelmesebb módszerek a vonalak (vagy szakaszaik) közötti szög kiszámítására, ha koordinátarendszert adunk meg.És ha a koordináták
, akkor a skalárszorzatuk:

A háromdimenziós térben 3 tengely van, és ennek megfelelően egy ilyen rendszerben a pontoknak és vektoroknak 3 koordinátája lesz, és a vektorok skaláris szorzatát a következő képlettel számítják ki:

1.2. Vektor szorzata háromdimenziós térben.

A vektorok szorzatának kiszámításának második lehetősége a vektorszorzat. De a meghatározásához már nem síkra van szükség, hanem egy háromdimenziós térre, amelyben a vektor eleje és vége 3-3 koordinátával rendelkezik.

A háromdimenziós térben lévő vektorok skaláris szorzatával ellentétben a vektorokon végzett „vektorszorzás” művelet más eredményre vezet. Ha az előző esetben két vektor skaláris szorzásakor az eredmény egy szám volt, akkor a vektorok vektoros szorzása esetén az eredmény egy másik, a szorzatba belépett mindkét vektorra merőleges vektor lesz. Ezért a vektorok szorzatát vektorszorzatnak nevezzük.

Nyilvánvalóan a kapott vektor megalkotásakor , merőleges a szorzatba belépő kettőre - és , két ellentétes irány választható. Ebben az esetben a kapott vektor iránya Ha a vektorokat úgy rajzolja meg, hogy kezdetük egybeessen, és az első szorzóvektort a legrövidebb úton forgatja a második szorzóvektorhoz, és a jobb kéz négy ujja mutatja a forgásirányt (mintha átölelné a forgó hengert), akkor a hüvelykujj kiálló vektora mutatja a (7) irányt.

Rizs. 7. Jobb kéz szabály

1.3. A vektorok keresztszorzatának tulajdonságai.

A kapott vektor hosszát a képlet határozza meg

.

Ahol
vektor termék. Amint fentebb említettük, a kapott vektor merőleges lesz
, irányát pedig a jobbkéz szabály határozza meg.

A vektorszorzat a tényezők sorrendjétől függ, nevezetesen:

A nullától eltérő vektorok keresztszorzata 0, ha kollineárisak, akkor a köztük lévő szög szinusza 0 lesz.

A háromdimenziós térben lévő vektorok koordinátáit a következőképpen fejezzük ki: . Ezután a kapott vektor koordinátáit a képlet határozza meg

A kapott vektor hosszát a következő képlet határozza meg:

.

2. Gyakorlati rész.

2.1. A vektorszorzat összekapcsolása egy háromszög és egy paralelogramma területével egy síkban. A vektorok keresztszorzatának geometriai jelentése.

Adjunk meg egy ABC háromszöget (8. ábra). Ismeretes, hogy .

Ha az AB és AC háromszög oldalait két vektorként ábrázoljuk, akkor a háromszög terület képletében megtaláljuk a vektorok keresztszorzatának kifejezését:

A fentiek alapján meghatározhatjuk a vektorszorzat geometriai jelentését (9. ábra):

a vektorok keresztszorzatának hossza egyenlő annak a háromszögnek a területének kétszeresével, amelynek oldalai a vektorok és , ha egy pontból félre vannak helyezve.

Más szóval, a vektorok keresztszorzatának hossza és egyenlő paralelogramma területe, vektorokra épülés , amelynek oldalai és és a köztük lévő szög egyenlő .

Rizs. 9. A vektorok vektorszorzatának geometriai jelentése

Ezzel kapcsolatban a vektorok vektorszorzatának egy másik definícióját is megadhatjuk :

Egy vektor keresztszorzata vektort vektornak nevezzük , melynek hossza számszerűen megegyezik a vektorokra épített paralelogramma területével és , ezeknek a vektoroknak a síkjára merőlegesen és úgy irányítva, hogy a legkevesebb forgás legyen k vektor körül a vektor végéről nézve az óramutató járásával ellentétes irányban végeztük el (10. ábra).

Rizs. 10. A vektorok keresztszorzatának meghatározása

paralelogramma segítségével

2.2. Képlet levezetése a háromszög területének koordinátákban történő meghatározására.

Tehát kapunk egy ABC háromszöget a síkban és annak csúcsainak koordinátáit. Keressük meg ennek a háromszögnek a területét (11. ábra).

Rizs. 11. Példa a háromszög területének a csúcsok koordinátái alapján történő megtalálásának problémájára

Megoldás.

Először vegyük figyelembe a térbeli csúcsok koordinátáit, és számítsuk ki az AB és AC vektorok koordinátáit.

A fent megadott képlet szerint kiszámítjuk a vektorszorzatuk koordinátáit. Ennek a vektornak a hossza egyenlő az ABC háromszög 2 területével. Egy háromszög területe 10.

Sőt, ha egy síkon lévő háromszöget tekintünk, akkor a vektorszorzat első 2 koordinátája mindig nulla lesz, így megfogalmazhatjuk a következő tételt.

Tétel: Legyen adott egy ABC háromszög és csúcsainak koordinátái (12. ábra).

Akkor .

Rizs. 12. A tétel bizonyítása

Bizonyíték.

Tekintsünk pontokat a térben, és számítsuk ki a BC és BA vektorok koordinátáit. . A fenti képlet segítségével kiszámítjuk ezen vektorok keresztszorzatának koordinátáit. Vegye figyelembe, hogy az összes olyan kifejezést tartalmazzaz 1 ill z 2 egyenlő 0-val, mert z 1i z 2 = 0. TÁVOLÍTSA!!!

És ezért, ezáltal,

2.3. A képlet helyességének ellenőrzése példákon

Keresse meg a vektorok által alkotott háromszög területét a = (-1; 2; -2) és b = (2; 1; -1).

Megoldás: Keressük meg ezeknek a vektoroknak a keresztszorzatát:

a ×b=

I(2 (-1) - (-2) 1) - j((-1) (-1) - (-2) 2) + k((-1) 1 - 2 2) =

I(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5 j - 5 k = (0; -5; -5)

A vektorszorzat tulajdonságaiból:

SΔ =

| a×b| =

√ 02 + 52 + 52 =

√ 25 + 25 =

√ 50 =

5√ 2

Válasz: SΔ = 2,5√2.

Következtetés

2.4. A vektoralgebra alkalmazásai

valamint a vektorok skaláris és keresztszorzata.

Hol van szükség vektorokra? A vektortér és a vektorok nemcsak elméletiek, hanem nagyon reális gyakorlati alkalmazásai is vannak modern világ.

A mechanikában és a fizikában sok mennyiségnek nemcsak számértéke van, hanem iránya is. Az ilyen mennyiségeket vektormennyiségeknek nevezzük. Az elemi mechanikai fogalmak használatával együtt, azokra támaszkodva fizikai jelentése, sok mennyiséget csúszóvektornak tekintünk, és tulajdonságaikat az elméleti mechanikában megszokott axiómákkal és a matematikai tulajdonságok vektorok. A legszembetűnőbb példák vektor mennyiségek sebesség, lendület és erő (12. ábra). Például a szögimpulzus és a Lorentz-erő matematikailag vektorok segítségével van felírva.

A fizikában nemcsak maguk a vektorok fontosak, hanem nagymértékben fontosak azok szorzatai is, amelyek segítenek bizonyos mennyiségek kiszámításában. A keresztszorzat jól használható vektorok kollinearitásának meghatározására: két vektor keresztszorzatának modulusa egyenlő a modulusaik szorzatával, ha egymásra merőlegesek, és nullára csökken, ha a vektorok együtt vagy ellentétes irányúak.

Egy másik példaként a pontszorzatot használjuk a munka kiszámításához az alábbi képlet segítségével, ahol F az erővektor és s az elmozdulásvektor.

A vektorok szorzatának egyik példája az erőnyomaték, amely egyenlő a forgástengelytől az erő alkalmazási pontjáig húzott sugárvektor és az erő vektorának szorzatával.

A fizikában a jobbkéz szabály által kiszámított dolgok nagy része keresztszorzat. Keress bizonyítékokat, mondj példákat.

Azt is érdemes megjegyezni, hogy a vektorterek lehetséges változatai nem korlátozódnak a kétdimenziós és háromdimenziós térre. A felsőbb matematika a nagyobb dimenziójú tereket veszi figyelembe, amelyekben a skalár- és vektorszorzatok képleteinek analógjait is meghatározzák. Annak ellenére, hogy a 3-nál nagyobb méretű tereket az emberi elme képtelen megjeleníteni, meglepő módon a tudomány és az ipar számos területén találnak alkalmazást.

Ugyanakkor a háromdimenziós euklideszi térben a vektorok keresztszorzatának eredménye nem egy szám, hanem a kapott vektor saját koordinátákkal, irányával és hosszával.

A kapott vektor irányát a jobbkéz szabály határozza meg, amely az analitikus geometria egyik legmeglepőbb rendelkezése.

A vektorok keresztszorzata felhasználható egy háromszög vagy paralelogramma területének megkeresésére a csúcsok koordinátáinak megadásával, amit a képlet levezetésével, a tétel bizonyításával és megoldásával igazoltunk. gyakorlati feladatokat.

A vektorokat széles körben használják a fizikában, ahol az olyan mutatók, mint a sebesség, lendület és erő vektormennyiségként ábrázolhatók és geometriailag számíthatók.

A felhasznált források listája

Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B. et al. Geometry. 7-9. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények számára. M.: , 2013. 383 p.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. és munkatársai: Geometry. 10-11. évfolyam: tankönyv oktatási szervezetek számára: alap- ill profilszintek. M.: , 2013. 255 p.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Felső matematika. Első kötet: A lineáris algebra és az analitikus geometria elemei.

Kletenik D.V. Feladatgyűjtemény az analitikus geometriában. Moszkva: Nauka, Fizmatlit, 1998.

Analitikus geometria.

Matematika. Lóhere.

Matematika tanulás online.

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/

V. Glaznev honlapja.

http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm

Wikipédia.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED%E8%E5

Nyilvánvaló, hogy keresztszorzat esetén a vektorok felvételi sorrendje számít, sőt,

Közvetlenül a definícióból az is következik, hogy bármely k skalártényezőre (szám) igaz a következő:

A kollineáris vektorok keresztszorzata egyenlő a nulla vektorral. Ráadásul két vektor keresztszorzata akkor és csak akkor nulla, ha kollineárisak. (Amennyiben az egyik egy nulla vektor, akkor emlékezni kell arra, hogy a nulla vektor definíció szerint kollineáris bármely vektorral).

A vektoros termék rendelkezik elosztó tulajdon, vagyis

A keresztszorzat kifejezése a vektorok koordinátáiban.

Legyen két vektor adott

(Hogyan lehet megkeresni egy vektor koordinátáit a kezdetének és végének koordinátái alapján – lásd a Vektorok pontszorzata című cikket, A pontszorzat alternatív definíciója, vagy két vektor koordinátáival megadott pontszorzatának kiszámítása című bekezdést.)

Miért van szüksége vektoros termékre?

A keresztszorzat felhasználásának számos módja van, például, ahogy fentebb már írtuk, két vektor keresztszorzatának kiszámításával megtudhatja, hogy kollineárisak-e.

Vagy használható az ezekből a vektorokból épített paralelogramma területének kiszámítására. A definíció alapján a kapott vektor hossza ennek a paralelogrammának a területe.

Ezenkívül számos alkalmazás létezik az elektromosság és a mágnesesség területén.

Online számológép vektor termék.

Két vektor skaláris szorzatának meghatározásához ezzel a számológéppel az első sorba be kell írni az első vektor koordinátáit. második - második. A vektorok koordinátái a kezdő- és végkoordinátáikból számíthatók ki (lásd a cikket Vektorok pontszorzata, item A pontszorzat alternatív definíciója, vagy két vektor pontszorzatának kiszámítása a koordinátáik alapján.)

Szög vektorok között

Ahhoz, hogy bemutassuk a két vektor keresztszorzatának fogalmát, először foglalkoznunk kell egy olyan fogalommal, mint a vektorok közötti szög.

Adjunk két vektort $\overline(α)$ és $\overline(β)$. Vegyünk egy $O$ pontot a térben, és tegyük félre belőle a $\overline(α)=\overline(OA)$ és $\overline(β)=\overline(OB)$ vektorokat, ekkor az $AOB$ szöget ezen vektorok közötti szögnek nevezzük (1. ábra).

Jelölés: $∠(\overline(α),\overline(β))$

A vektorok keresztszorzatának fogalma és a keresési képlet

1. definíció

Két vektor vektorszorzata egy mindkét adott vektorra merőleges vektor, és hossza megegyezik ezen vektorok hosszának szorzatával a vektorok közötti szög szinuszával, és ez a vektor két kezdeti vektorral megegyezik a derékszögű koordináta-rendszerrel.

Jelölés: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematikailag így néz ki:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. A $(\overline(α)х\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ és a $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ tájolása azonos módon történik (2. ábra).

Nyilvánvaló, hogy a vektorok külső szorzata két esetben egyenlő lesz a nulla vektorral:

1. Ha az egyik vagy mindkét vektor hossza nulla.
2. Ha ezeknek a vektoroknak a szöge $180^\circ$ vagy $0^\circ$ (mert ebben az esetben a szinusz egyenlő nullával).

Ha világosan látni szeretné, hogyan található a vektorok keresztszorzata, tekintse meg a következő megoldási példákat.

1. példa

Határozzuk meg a $\overline(δ)$ vektor hosszát, amely a vektorok keresztszorzatának eredménye lesz, a $\overline(α)=(0,4,0)$ és $\overline(β)=(3,0,0)$ koordinátákkal.

Megoldás.

Ábrázoljuk ezeket a vektorokat a derékszögű koordinátatérben (3. ábra):

3. ábra Vektorok derékszögű koordinátatérben. Author24 - hallgatói dolgozatok online cseréje

Látjuk, hogy ezek a vektorok az $Ox$ és a $Oy$ tengelyeken fekszenek. Ezért a köztük lévő szög 90$^\circ$ lesz. Nézzük meg ezeknek a vektoroknak a hosszát:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Ezután az 1. definíció alapján megkapjuk a $|\overline(δ)|$ modult

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Válasz: 12 dollár.

A keresztszorzat kiszámítása a vektorok koordinátái alapján

Az 1. definíció azonnal magában foglalja a két vektor keresztszorzatának megtalálásának módját. Mivel egy vektornak az érték mellett iránya is van, lehetetlen csak skaláris értékkel megtalálni. De emellett van egy másik módja is annak, hogy a koordináták segítségével megtaláljuk a nekünk adott vektorokat.

Adjuk meg a $\overline(α)$ és $\overline(β)$ vektorokat, amelyeknek $(α_1,α_2,α_3)$ és $(β_1,β_2,β_3)$ koordinátái lesznek. Ekkor a keresztszorzat vektora (nevezetesen a koordinátái) megtalálható a következő képlettel:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Ellenkező esetben a determinánst kibővítve a következő koordinátákat kapjuk

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

2. példa

Keresse meg a $\overline(α)$ és $\overline(β)$ kollineáris vektorok keresztszorzatának vektorát $(0,3,3)$ és $(-1,2,6)$ koordinátákkal.

Megoldás.

Használjuk a fenti képletet. Kap

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18-6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)+ =(12,-3,3)$

Válasz: $(12,-3,3)$.

A vektorok keresztszorzatának tulajdonságai

A $\overline(α)$, $\overline(β)$ és $\overline(γ)$, valamint a $r∈R$ tetszőleges kevert három vektorra a következő tulajdonságok érvényesek:

3. példa

Keresse meg annak a paralelogrammának a területét, amelynek csúcsai $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ és $(3,8,0)$ koordinátákkal rendelkeznek.

Megoldás.

Először rajzolja meg ezt a paralelogrammát a koordinátatérben (5. ábra):

5. ábra Párhuzamos a koordinátatérben. Author24 - hallgatói dolgozatok online cseréje

Látjuk, hogy ennek a paralelogrammának a két oldala a $\overline(α)=(3,0,0)$ és a $\overline(β)=(0,8,0)$ koordinátákkal rendelkező kollineáris vektorok felhasználásával készült. A negyedik tulajdonságot használva a következőket kapjuk:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Keresse meg a $\overline(α)х\overline(β)$ vektort:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline(i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,2)

Ennélfogva

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Mielőtt megadnánk a vektorszorzat fogalmát, térjünk rá az a → , b → , c → vektorok rendezett hármasának háromdimenziós térben való tájolásának kérdésére.

Kezdésként tegyük félre az a → , b → , c → vektorokat egy pontból. Az a → , b → , c → hármas tájolása a c → vektor irányától függően jobb vagy bal. Abból az irányból, amerre a legrövidebb fordulat az a → vektorból b → a c → vektor végétől, az a → , b → , c → hármas alakja lesz meghatározva.

Ha a legrövidebb forgás az óramutató járásával ellentétes, akkor az a → , b → , c → vektorok hármasát ún. jobb ha az óramutató járásával megegyezően - bal.

Ezután vegyünk két nem kollineáris a → és b → vektort. Ezután halasszuk el az A B → = a → és A C → = b → vektorokat az A pontból. Szerkesszünk egy A D → = c → vektort, amely egyszerre merőleges mind A B → -re, mind A C → -re. Így az A D → = c → vektor megalkotásakor két dolgot tehetünk, vagy az egyik irányt vagy az ellenkezőjét adjuk neki (lásd az ábrát).

Az a → , b → , c → vektorok rendezett triója, mint megtudtuk, a vektor irányától függően lehet jobb vagy bal.

A fentiekből bevezethetjük a vektorszorzat definícióját. Ez a meghatározás pontban meghatározott két vektorra adott téglalap alakú rendszer háromdimenziós térkoordináták.

1. definíció

Két a → és b → vektor vektorszorzata egy háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében megadott vektort nevezzük úgy, hogy:

• ha az a → és b → vektorok kollineárisak, akkor nulla lesz;
• merőleges lesz mind az a →​​, mind a b → vektorra, azaz. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• hosszát a következő képlet határozza meg: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• az a → , b → , c → vektorok hármasa az adott koordinátarendszerrel azonos tájolású.

Az a → és b → vektorok keresztszorzatának jelölése a következő: a → × b → .

Kereszt termék koordináták

Mivel bármely vektornak vannak bizonyos koordinátái a koordinátarendszerben, bevezethető a vektorszorzat egy második definíciója, amely lehetővé teszi, hogy a vektorok adott koordinátáiból megtalálja a koordinátáit.

2. definíció

Háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében két vektor szorzata a → = (a x ; a y ; a z) és b → = (b x ; b y ; b z) a c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → vektort nevezzük, ahol i → , j → , k → koordinátavektorok.

A vektorszorzat egy harmadrendű négyzetmátrix determinánsaként ábrázolható, ahol az első sor az i → , j → , k → vektorok, a második sor az a → vektor koordinátáit, a harmadik pedig a b → a vektor koordinátáit tartalmazza egy adott derékszögű koordinátarendszerben, ez a mátrix determináns a következőképpen néz ki: a x a → → i × b j = → z → b: x b y b z

Ezt a determinánst kiterjesztve az első sor elemeire, megkapjuk az egyenlőséget: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a k → z = b x a × z = z i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Kereszttermék tulajdonságai

Ismeretes, hogy a koordinátákban megadott vektorszorzatot a c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z mátrix determinánsaként ábrázoljuk, majd a bázison mátrix meghatározó tulajdonságai a következő vektor termék tulajdonságai:

1. antikommutativitás a → × b → = - b → × a → ;
2. disztributivitás a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → vagy a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asszociativitás λ a → × b → = λ a → × b → vagy a → × (λ b →) = λ a → × b → , ahol λ tetszőleges valós szám.

Ezeknek a tulajdonságoknak nincs bonyolult bizonyítása.

Például be tudjuk bizonyítani egy vektorszorzat antikommutatív tulajdonságát.

Az antikommutativitás bizonyítéka

Definíció szerint a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z és b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. És ha a mátrix két sorát felcseréljük, akkor a mátrix determinánsának értékének az ellenkezőjére kell változnia, ezért a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a szorzata bizonyítja az antimutátor szorzatát.

Vektoros termék - példák és megoldások

A legtöbb esetben háromféle feladat létezik.

Az első típusú feladatoknál általában két vektor hosszát és a köztük lévő szöget adják meg, de meg kell találni a keresztszorzat hosszát. Ebben az esetben használja a következő képletet: c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

1. példa

Határozzuk meg az a → és b → vektorok keresztszorzatának hosszát, ha a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 ismert.

Megoldás

Az a → és b → vektorok vektorszorzatának hosszának definíciójával megoldjuk ezt a feladatot: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Válasz: 15 2 2 .

A második típusú feladatok a vektorok koordinátáival állnak kapcsolatban, tartalmaznak vektorszorzatot, annak hosszát stb. az adott vektorok ismert koordinátáin keresztül keresnek a → = (a x ; a y ; a z) És b → = (b x ; b y ; b z) .

Az ilyen típusú feladatokhoz számos feladatlehetőséget lehet megoldani. Például nem az a → és a b → vektorok koordinátái, hanem azok kiterjesztései a forma koordinátavektoraiban b → = b x i → + b y j → + b z k → és c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , vagy az a → és b → vektorok a kezdő- és végpontjuk koordinátái alapján adhatók meg.

Tekintsük a következő példákat.

2. példa

Két vektor adott egy téglalap alakú koordinátarendszerben a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Keresse meg vektorszorzatukat.

Megoldás

A második definíció szerint két vektor vektorszorzatát találjuk meg a megadott koordinátákon: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (-3) (- 2) (- 1 ) - 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ha a vektorszorzatot a mátrixdeterminánson keresztül írjuk fel, akkor ennek a példának a megoldása a következő: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Válasz: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

3. példa

Határozzuk meg az i → - j → és i → + j → + k → vektorok keresztszorzatának hosszát, ahol i → , j → , k → - orts egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben!

Megoldás

Először keressük meg az adott i → - j → × i → + j → + k → vektorszorzat koordinátáit az adott derékszögű koordinátarendszerben.

Ismeretes, hogy az i → - j → és i → + j → + k → vektorok koordinátái (1 ; - 1 ; 0), illetve (1 ; 1 ; 1) vannak. Határozzuk meg a vektorszorzat hosszát a mátrix determináns segítségével, ekkor i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Ezért az i → - j → × i → + j → + k → vektorszorzat koordinátái (- 1 ; - 1 ; 2) adott rendszer koordináták.

A vektorszorzat hosszát a következő képlettel találjuk meg (lásd a vektor hosszának megállapításáról szóló részt): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Válasz: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

4. példa

Három pont A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) koordinátái derékszögű derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva. Keress egy olyan vektort, amely merőleges A B → és A C → egyidejűleg.

Megoldás

Az A B → és A C → vektorok a következő koordinátákkal rendelkeznek (- 1 ; 2 ; 2), illetve (0 ; 4 ; 1). Miután megtaláltuk az A B → és A C → vektorok vektorszorzatát, nyilvánvaló, hogy ez definíció szerint merőleges vektor mind A B → -re, mind A C → -re, vagyis ez a probléma megoldása. Keresse meg A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Válasz: - 6 i → + j → - 4 k → . az egyik merőleges vektor.

A harmadik típusú problémák a vektorok vektorszorzatának tulajdonságaira összpontosítanak. Melynek alkalmazása után kapunk megoldást az adott problémára.

5. példa

Az a → és b → vektorok merőlegesek, hosszuk 3, illetve 4. Határozzuk meg a keresztszorzat hosszát 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Megoldás

A keresztszorzat disztribúciós tulajdonsága alapján 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Az asszociativitás tulajdonsága alapján az utolsó kifejezésben szereplő vektorszorzatok előjeléből kivesszük a numerikus együtthatókat: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) → = b × b (- 1) → 2 × b) → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Az a → × a → és b → × b → vektorszorzatok egyenlőek 0-val, mivel a → × a → = a → a → sin 0 = 0 és b → × b → = b → b → sin 0 = 0, majd 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → a → b → -. .

A vektorszorzat antikommutativitásából következik - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

A vektorszorzat tulajdonságait felhasználva a 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → egyenlőséget kapjuk.

Feltétel szerint az a → és b → vektorok merőlegesek, azaz a köztük lévő szög egyenlő π 2 -vel. Most már csak a talált értékeket kell behelyettesíteni a megfelelő képletekkel: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a → , b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Válasz: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

A vektorok keresztszorzatának hossza definíció szerint a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Mivel már ismert (tól iskolai tanfolyam), hogy egy háromszög területe a két oldala hosszának a fele, szorozva az adott oldalak közötti szög szinuszával. Ezért a vektorszorzat hossza megegyezik egy paralelogramma - egy megkettőzött háromszög - területével, nevezetesen az a → és a b → vektorok formájának oldalainak szorzatával, amelyeket egy pontból leraktak, a köztük lévő szög szinuszával sin ∠ a → , b → .

Ez a vektorszorzat geometriai jelentése.

A vektorszorzat fizikai jelentése

A mechanikában, a fizika egyik ágában a vektorszorzatnak köszönhetően meg lehet határozni a térbeli ponthoz viszonyított erőnyomatékot.

3. definíció

A B pontra alkalmazott F → erőnyomaték alatt az A ponthoz viszonyítva a következő A B → × F → vektorszorzatot fogjuk megérteni.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ebben a leckében további két műveletet nézünk meg vektorokkal: vektorok keresztszorzataÉs vektorok vegyes szorzata (azonnali link akinek szüksége van rá). Nem baj, néha megesik, hogy a teljes boldogság érdekében, ráadásul vektorok pontszorzata, egyre többre van szükség. Ilyen a vektorfüggőség. Az embernek az a benyomása lehet, hogy az analitikus geometria dzsungelébe kerülünk. Ez rossz. A felsőbb matematikának ebben a részében általában kevés a tűzifa, kivéve talán elég Pinokkiót. Valójában az anyag nagyon gyakori és egyszerű – aligha bonyolultabb, mint ugyanaz skaláris szorzat, még kevesebb tipikus feladat is lesz. A legfontosabb dolog az analitikus geometriában, amint azt sokan látják vagy már látták, az, hogy NE VEGYE KI A SZÁMÍTÁSOKAT. Ismételd, mint egy varázslatot, és boldog leszel =)

Ha valahol távol csillognak a vektorok, mint a villám a láthatáron, akkor nem számít, kezdje a leckével Vektorok bábokhoz a vektorokkal kapcsolatos alapvető ismeretek helyreállítása vagy visszaszerzése. A felkészültebb olvasók szelektíven ismerkedhetnek meg az információkkal, igyekeztem a legteljesebb példagyűjteményt összegyűjteni, amelyek gyakran megtalálhatók praktikus munka

Mitől leszel boldog? Kicsi koromban két, sőt három labdával is tudtam zsonglőrködni. Jól sikerült. Most már egyáltalán nem kell zsonglőrködni, hiszen megfontoljuk csak térvektorok, és a két koordinátájú lapos vektorok kimaradnak. Miért? Így születtek ezek az akciók - a vektorok és a vektorok vegyes szorzata definiálva és háromdimenziós térben működik. Már könnyebb!

Ebben a műveletben, ugyanúgy, mint a skaláris szorzatnál, két vektor. Legyenek múlhatatlan betűk.

Maga az akció jelöljük a következő módon: . Vannak más lehetőségek is, de én a vektorok keresztszorzatát szoktam így jelölni, szögletes zárójelben kereszttel.

És azonnal kérdés: ha bent vektorok pontszorzata két vektorról van szó, és itt is két vektort szorozunk, akkor mi a különbség? Egyértelmű különbség mindenekelőtt az EREDMÉNYBEN:

A vektorok skaláris szorzatának eredménye egy SZÁM:

A vektorok keresztszorzatának eredménye egy VEKTOR: , azaz megszorozzuk a vektorokat és ismét vektort kapunk. Zárt klub. Valójában innen ered a művelet neve. A különböző oktatási irodalomban a megnevezések is változhatnak, én a betűt használom.

A keresztszorzat definíciója

Először lesz egy definíció képpel, majd kommentek.

Meghatározás: kereszttermék nem kollineáris vektorok, ebben a sorrendben szedve, a neve VECTOR, hossz ami számszerűen egyenlő a paralelogramma területével, ezekre a vektorokra épül; vektor merőleges a vektorokra, és úgy van irányítva, hogy az alap megfelelő tájolású legyen:

A meghatározást csontok szerint elemezzük, sok érdekesség van!

Tehát a következő lényeges pontokat emelhetjük ki:

1) Forrásvektorok, definíció szerint piros nyilakkal jelölve nem kollineáris. A kollineáris vektorok esetét egy kicsit később célszerű megvizsgálni.

2) Felvett vektorok szigorú sorrendben: – "a" szorozva "be", nem a "legyen" "a"-ra. A vektorszorzás eredménye a VECTOR , amelyet kékkel jelölünk. Ha a vektorokat fordított sorrendben szorozzuk, akkor egyenlő hosszúságú és ellentétes irányú (bíbor színű) vektort kapunk. Vagyis az egyenlőség .

3) Most ismerkedjünk meg a vektorszorzat geometriai jelentésével. Ez egy nagyon fontos szempont! A kék vektor HOSSZA (és így a bíbor vektor) numerikusan egyenlő a vektorokra épített paralelogramma TERÜLETÉVEL. Az ábrán ez a paralelogramma feketével van árnyékolva.

jegyzet : a rajz sematikus, és természetesen a keresztszorzat névleges hossza nem egyenlő a paralelogramma területével.

Emlékszünk az egyikre geometriai képletek: a paralelogramma területe egyenlő a szomszédos oldalak és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával. Ezért a fentiek alapján a vektorszorzat HOSSZ-számítási képlete érvényes:

Hangsúlyozom, hogy a képletben a vektor HOSSZÁRÓL van szó, és nem magáról a vektorról. Mi a gyakorlati jelentése? A jelentése pedig olyan, hogy az analitikus geometria problémáiban a paralelogramma területét gyakran a vektorszorzat fogalmán keresztül találják meg:

Vegyünk egy percet fontos képlet. A paralelogramma átlója (piros pontozott vonal) kettéosztja egyenlő háromszög. Ezért a vektorokra épített háromszög területe (piros árnyékolás) a következő képlettel kereshető:

4) Ugyanilyen fontos tény, hogy a vektor ortogonális a vektorokra, azaz . Természetesen az ellentétes irányú vektor (bíbor nyíl) is merőleges az eredeti vektorokra.

5) A vektort úgy irányítjuk, hogy alapján Megvan jobb irányultság. Egy leckében kb áttérni egy új alapra részletesen beszéltem róla sík tájolás, és most kitaláljuk, mi a tér tájolása. Az ujjadon elmagyarázom jobb kéz. Szellemileg kombinálni mutatóujj vektorral és középső ujj vektorral. Gyűrűsujj és kisujj nyomd a tenyeredbe. Ennek eredményeként hüvelykujj- a vektorszorzat felfelé néz. Ez a jobboldali alap (az ábrán látható). Most cserélje fel a vektorokat ( mutató és középső ujj) helyenként ennek hatására a hüvelykujj megfordul, és a vektorszorzat máris lefelé néz. Ez is egy jobboldali alap. Talán van egy kérdés: mi alapján áll a baloldali irányultság? "Hozzárendelni" ugyanazokat az ujjakat bal kéz vektorokat, és megkapja a bal bázist és a bal térbeli tájolást (ebben az esetben a hüvelykujj az alsó vektor irányába fog elhelyezkedni). Képletesen szólva ezek az alapok különböző irányokba „csavarják” vagy orientálják a teret. És ezt a koncepciót nem szabad távolinak vagy elvontnak tekinteni - például a leghétköznapibb tükör megváltoztatja a tér tájolását, és ha „kihúzza a visszavert tárgyat a tükörből”, akkor általában nem lehet kombinálni az „eredetivel”. Mellesleg, vidd három ujjad a tükörhöz, és elemezd a visszaverődést ;-)

... milyen jó, hogy most már tudsz róla jobbra és balra orientált alapokon, mert borzasztóak egyes előadók kijelentései az irányváltásról =)

Kollineáris vektorok vektorszorzata

A definíciót részletesen kidolgoztuk, még ki kell deríteni, mi történik, ha a vektorok kollineárisak. Ha a vektorok kollineárisak, akkor egy egyenesre helyezhetők, és a paralelogrammánk is egy egyenesbe „gyűrődik”. Az ilyenek területe, ahogy a matematikusok mondják, elfajzott paralelogramma nulla. Ugyanez következik a képletből - a nulla vagy 180 fok szinusza egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy a terület nulla

Így ha , akkor És . Kérjük, vegye figyelembe, hogy maga a keresztszorzat egyenlő a nulla vektorral, de a gyakorlatban ezt gyakran figyelmen kívül hagyják, és azt írják, hogy ez is egyenlő nullával.

Egy speciális eset egy vektor és önmagának vektorszorzata:

A keresztszorzat segítségével ellenőrizhető a háromdimenziós vektorok kollinearitása, ill ez a feladat többek között azt is elemezni fogjuk.

Megoldásokért gyakorlati példák talan szukseges trigonometrikus táblázat hogy kikeresse belőle a szinuszok értékeit.

Nos, gyújtsunk tüzet:

1. példa

a) Határozza meg a vektorok vektorszorzatának hosszát, ha

b) Határozza meg a vektorokra épített paralelogramma területét, ha

Megoldás: Nem, ez nem elírás, szándékosan tettem azonossá a kezdeti adatokat a feltételelemekben. Mert a megoldások kialakítása más lesz!

a) A feltétel szerint meg kell találni hossz vektor (vektorszorzat). A megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Mivel a hosszra kérdezték, a válaszban megadjuk a méretet - mértékegységeket.

b) A feltétel szerint meg kell találni négyzet vektorokra épített paralelogramma . Ennek a paralelogrammának a területe számszerűen megegyezik a keresztszorzat hosszával:

Válasz:

Felhívjuk figyelmét, hogy a vektoros szorzatra adott válaszban egyáltalán nem esik szó, arról kérdeztünk ábra terület, illetve a méret négyzetegység.

Mindig megnézzük, hogy a feltétel MIT igényel, és ennek alapján fogalmazunk egyértelmű válasz. Lehet, hogy szószerintiségnek tűnik, de a tanárok között van elég literalista, és a feladat jó eséllyel visszakerül átdolgozásra. Bár ez nem egy különösebben megerőltető trükk - ha a válasz helytelen, akkor az a benyomásunk támad, hogy az illető nem ért egyszerű dolgokat és/vagy nem értette a feladat lényegét. Ezt a pillanatot mindig kordában kell tartani, megoldani bármilyen feladatot a felsőbb matematikában és más tárgyakban is.

Hová tűnt a nagy "en" betű? Elvileg rá lehetne ragasztani a megoldásra, de a rekord lerövidítése érdekében nem tettem. Remélem ezt mindenki megérti, és ugyanaz a megjelölés.

Népszerű példa erre független megoldás:

2. példa

Keresse meg a vektorokra épített háromszög területét, ha

A háromszög területének vektorszorzaton keresztüli meghatározásának képlete a definíció megjegyzéseiben található. Megoldás és válasz a lecke végén.

A gyakorlatban a feladat valóban nagyon gyakori, a háromszögeket általában meg lehet kínozni.

Más problémák megoldásához szükségünk van:

A vektorok keresztszorzatának tulajdonságai

A vektorszorzat néhány tulajdonságát már megvizsgáltuk, de ebbe a listába felveszem őket.

Tetszőleges vektorokra és tetszőleges számokra a következő tulajdonságok igazak:

1) Más információforrásokban ezt az elemet általában nem különböztetik meg a tulajdonságokban, de gyakorlati szempontból nagyon fontos. Úgyhogy legyen.

2) - fentebb is szó van az ingatlanról, néha ún antikommutativitás. Más szóval, a vektorok sorrendje számít.

3) - kombináció vagy asszociációs vektor szorzat törvényei. Az állandók könnyen kivehetők a vektorszorzat határaiból. Tényleg, mit keresnek ott?

4) - elosztás ill terjesztés vektor szorzat törvényei. Nincs probléma a zárójelek nyitásával sem.

Szemléltetésként vegyünk egy rövid példát:

3. példa

Keresse meg, ha

Megoldás: Feltétel alapján ismét meg kell találni a vektorszorzat hosszát. Festjük meg miniatűrünket:

(1) Az asszociatív törvények szerint a vektorszorzat határain túli állandókat kivesszük.

(2) Kivesszük a konstanst a modulból, miközben a modul „megeszi” a mínusz jelet. A hossza nem lehet negatív.

(3) A következők világosak.

Válasz:

Ideje fát dobni a tűzre:

4. példa

Számítsa ki a vektorokra épített háromszög területét, ha

Megoldás: Keresse meg egy háromszög területét a képlet segítségével . A bökkenő az, hogy a "ce" és a "te" vektorok maguk is vektorok összegeként vannak ábrázolva. Az itt található algoritmus szabványos, és némileg emlékeztet a lecke 3. és 4. példájára. Vektorok pontszorzata. Az egyértelműség kedvéért bontsuk három lépésre:

1) Az első lépésben a vektorszorzatot a vektorszorzaton keresztül fejezzük ki, valójában fejezzük ki a vektort a vektorral. A hosszról még nem esett szó!

(1) Behelyettesítjük a vektorok kifejezéseit.

(2) Distributív törvények segítségével nyissuk meg a zárójeleket a polinomok szorzási szabálya szerint!

(3) Az asszociatív törvények segítségével kivesszük a vektorszorzatokon túli összes állandót. Kevés tapasztalattal a 2. és 3. művelet egyszerre is végrehajtható.

(4) A kellemes tulajdonság miatt az első és az utolsó tag egyenlő nullával (nulla vektor). A második tagban a vektorszorzat antikommutatív tulajdonságát használjuk:

(5) Hasonló kifejezéseket mutatunk be.

Ennek eredményeként kiderült, hogy a vektor egy vektoron keresztül fejeződik ki, amit el kellett érni:

2) A második lépésben megkeressük a szükséges vektorszorzat hosszát. Ez a művelet hasonló a 3. példához:

3) Keresse meg a kívánt háromszög területét:

A megoldás 2-3 lépéseit egy sorba lehetne rendezni.

Válasz:

A vizsgált probléma meglehetősen gyakori a ellenőrzési munka, íme egy példa a barkácsolható megoldásra:

5. példa

Keresse meg, ha

Rövid megoldás és válasz a lecke végén. Lássuk, milyen figyelmes voltál az előző példák tanulmányozásakor ;-)

A vektorok keresztszorzata koordinátákban

ortonormális alapon megadva , képlettel fejezzük ki:

A képlet nagyon egyszerű: a determináns felső sorába írjuk a koordináta vektorokat, a második és harmadik sorba „pakoljuk” a vektorok koordinátáit, és szigorú sorrendben- először a "ve" vektor koordinátái, majd a "double-ve" vektor koordinátái. Ha a vektorokat más sorrendben kell szorozni, akkor a sorokat is fel kell cserélni:

10. példa

Ellenőrizze, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:
A)
b)

Megoldás: A teszt a leckében található egyik állításon alapul: ha a vektorok kollineárisak, akkor a keresztszorzatuk nulla (nulla vektor): .

a) Keresse meg a vektorszorzatot:

Tehát a vektorok nem kollineárisak.

b) Keresse meg a vektorszorzatot:

Válasz: a) nem kollineáris, b)

Itt van talán minden alapvető információ a vektorok vektorszorzatáról.

Ez a szakasz nem lesz túl nagy, mivel kevés probléma adódik a vektorok vegyes szorzatának felhasználásával. Valójában minden a meghatározáson, a geometriai jelentésen és néhány működő képleten fog nyugodni.

vegyes termék A vektorok három vektor szorzata:

Így álltak sorba, mint a vonat, és várnak, alig várják, amíg kiszámolják őket.

Először is a definíció és a kép:

Meghatározás: Vegyes termék nem egysíkú vektorok, ebben a sorrendben szedve, nak, nek hívják a paralelepipedon térfogata, ezekre a vektorokra épül, "+" jellel, ha az alap jobb, és "-" jellel, ha a bázis bal.

Csináljuk a rajzot. A számunkra láthatatlan vonalakat szaggatott vonal húzza:

Merüljünk el a definícióban:

2) Felvett vektorok egy bizonyos sorrendben, vagyis a vektorok permutációja a szorzatban, ahogy sejthető, nem marad következmények nélkül.

3) Mielőtt hozzászólnék a geometriai jelentéshez, megjegyzem a nyilvánvaló tényt: vektorok vegyes szorzata SZÁM: . Az oktatási irodalomban a kialakítás némileg eltérhet, én a vegyes terméket szoktam jelölni, a számítások eredményét pedig "pe" betűvel.

A-priory a kevert termék a paralelepipedon térfogata, vektorokra épített (az ábra piros vektorokkal és fekete vonalakkal van megrajzolva). Azaz a szám megegyezik az adott paralelepipedon térfogatával.

jegyzet : A rajz sematikus.

4) Ne foglalkozzunk ismét az alap és a tér orientációjának fogalmával. A záró rész jelentése az, hogy mínusz jelet lehet adni a kötethez. Egyszerű szavakkal, a vegyes termék negatív is lehet: .

A definícióból közvetlenül következik a vektorokra épített paralelepipedon térfogatának kiszámításának képlete.