Az események lehetséges, valószínű és véletlenszerű osztályozása. Az egyszerű és összetett elemi események fogalmai. Műveletek eseményeken. Egy véletlen esemény valószínűségének és tulajdonságainak klasszikus meghatározása. A kombinatorika elemei a valószínűségszámításban. geometriai valószínűség. A valószínűségelmélet axiómái.

A valószínűségszámítás egyik alapfogalma az esemény fogalma. Alatt esemény megérteni minden olyan tényt, amely a tapasztalat vagy a próba eredményeként adódhat. Alatt tapasztalat , vagy teszt , egy bizonyos feltételrendszer megvalósításaként értendő.

Példák az eseményekre:

• - a cél eltalálása fegyverből való lövéskor (tapasztalat - lövés eredménye; esemény - cél eltalálása);
• - két címer elvesztése háromszori érmefeldobás során (tapasztalat - háromszori érmefeldobás; esemény - két címer elvesztése);
• - mérési hiba megjelenése a megadott határokon belül a cél távolságának mérésekor (tapasztalat - távolságmérés; esemény - mérési hiba).

Számtalan ilyen példát lehetne felhozni. Az eseményeket latin nagybetűkkel jelöljük ábécé A,B,C stb.

Megkülönböztetni közös rendezvények És összeegyeztethetetlen . Együttesnek nevezzük az eseményeket, ha az egyik előfordulása nem zárja ki a másik bekövetkezését. Ellenkező esetben az eseményeket inkompatibilisnek nevezzük. Például két kockával dobnak fel. Az AA esemény három pont dobása az első kockán, a B esemény három pont dobása a második kockán. A és B közös események.

Hagyja, hogy a bolt azonos stílusú és méretű, de más színű cipőt kapjon. A esemény - véletlenszerűen kiválasztott doboz fekete cipővel, B esemény - barna cipővel lesz, A és B összeférhetetlen események.

Az esemény ún megbízható ha az adott kísérlet körülményei között szükségszerűen előfordul.

Egy eseményt akkor mondunk lehetetlennek, ha az adott élmény körülményei között nem következhet be. Például az az esemény, hogy egy szabvány alkatrészt egy köteg szabványos alkatrészből vesznek ki, biztos, de nem szabványos alkatrész lehetetlen.

Az esemény ún lehetséges , vagy véletlen , ha a tapasztalatok eredményeként megjelenhet vagy nem. A véletlenszerű eseményre példa a késztermék köteg ellenőrzése során fellépő termékhibák azonosítása, a feldolgozott termék és az adott termék mérete közötti eltérés, az automatizált vezérlőrendszer valamelyik láncszemének meghibásodása.

Az eseményeket ún ugyanúgy lehetséges ha a teszt körülményei között ezen események egyike sem valószínűbb, mint a többi. Tegyük fel például, hogy egy üzletet több gyártó lát el izzókkal (és egyenlő mennyiségben). Ugyanolyan valószínűek az események, amelyek abból állnak, hogy e gyárak közül valamelyik izzót vásárolnak.

Fontos koncepció az rendezvények teljes csoportja . Egy adott kísérletben több esemény is egy teljes csoportot alkot, ha ezek közül legalább egy szükségszerűen megjelenik a kísérlet eredményeként. Például egy urnában tíz golyó van, ebből hat piros és négy fehér, ebből öt számozott.

A - egy piros golyó megjelenése egyetlen kihúzással,

B - fehér golyó megjelenése,

C - a labda megjelenése a számmal. A,B,C események közös rendezvények teljes csoportját alkotják.

Vezessük be az ellentétes vagy járulékos esemény fogalmát. Alatt szemben esemény

Az AЇ olyan eseményként értendő, amelynek szükségszerűen meg kell történnie, ha valamilyen esemény nem történt meg

V. Az ellentétes események összeegyeztethetetlenek, és csak lehetségesek. Ezek egy teljes eseménycsoportot alkotnak.

Események és besorolásuk

A valószínűségszámítás alapfogalmai

Bármely matematikai elmélet megalkotásakor mindenekelőtt a legegyszerűbb fogalmakat különböztetjük meg, amelyeket kezdeti tényként fogadunk el. Ilyen alapfogalmak a valószínűségszámításban a fogalom véletlenszerű kísérlet, véletlenszerű esemény, véletlenszerű esemény valószínűsége.

véletlenszerű kísérletegy számunkra érdekes esemény megfigyelésének regisztrálásának folyamata, amelyet egy adott stacionárius körülmények között hajtanak végre (nem változik időben) egy valós feltételrendszer, beleértve a nagyszámú véletlenszerű (szigorú elszámolásnak és ellenőrzésnek nem tűrhető) tényező befolyásának elkerülhetetlenségét.

Ezek a tényezők viszont nem teszik lehetővé, hogy teljesen megbízható következtetéseket vonjunk le arról, hogy a számunkra érdekes esemény bekövetkezik-e vagy sem. Ugyanakkor feltételezzük, hogy megvan az alapvető (legalábbis mentálisan megvalósítható) lehetőségünk kísérletünk vagy megfigyelésünk ismételt megismétlésére ugyanazon feltételek között.

Íme néhány példa véletlenszerű kísérletekre.

1. A tökéletesen szimmetrikus érme feldobásából álló véletlenszerű kísérlet olyan véletlenszerű tényezőket foglal magában, mint az érme dobásának ereje, az érme repülési pályája, a kezdeti sebesség, a forgási nyomaték stb. Ezek a véletlenszerű tényezők lehetetlenné teszik az egyes tesztek eredményének pontos meghatározását: "a címer jelenik meg, amikor egy érme feldobják" vagy "a farok jelennek meg, amikor egy érme feldobják".

2. A "Stalkanat" üzem a gyártott kábeleket a megengedett legnagyobb terhelésre teszteli. A terhelés bizonyos határok között változik kísérletenként. Ez olyan véletlenszerű tényezőknek köszönhető, mint például a kábelek anyagának mikrohibái, a kábelek gyártása során fellépő különféle zavarok a berendezések működésében, a tárolási körülmények, a kísérletek végrehajtásának módja stb.

3. Lövéssorozatot adnak le ugyanabból a fegyverből egy adott célpontra. A cél eltalálása számos véletlenszerű tényezőtől függ, beleértve a fegyver és a lövedék állapotát, a fegyver felszerelését, a lövész ügyességét, az időjárási viszonyokat (szél, világítás stb.).

Meghatározás. Egy bizonyos feltételrendszer megvalósítását ún teszt. A teszt eredményét ún esemény.

A véletlenszerű eseményeket a latin ábécé nagybetűivel jelöljük: A, B, C... vagy nagybetűvel indexelve: .

Például egy vizsga letétele adott feltételrendszer teljesítése mellett (írásbeli vizsga, beleértve értékelő rendszer osztályzatok stb.) egy teszt a tanuló számára, egy bizonyos osztályzat megszerzése pedig esemény;

adott körülmények között (időjárási viszonyok, a fegyver állapota stb.) egy fegyverből történő lövés végrehajtása próba, a cél eltalálása vagy eltévesztése pedig esemény.

Ugyanazt a kísérletet többször is megismételhetjük azonos körülmények között. Az egyes ilyen kísérletek elvégzésének feltételeit jellemző nagyszámú véletlenszerű tényező jelenléte lehetetlenné teszi, hogy teljesen határozott következtetést vonjunk le arról, hogy a számunkra érdekes esemény megtörténik-e vagy sem egy külön tesztben. Megjegyzendő, hogy a valószínűségszámítás nem vet fel ilyen problémát.

Eseménybesorolás

Események történnek megbízható, lehetetlenÉs véletlen.

Meghatározás. Az esemény ún megbízható ha egy adott feltételrendszer mellett szükségszerűen bekövetkezik.

Minden megbízható eseményt betű jelzi (az angol szó első betűje egyetemes- Tábornok)

Példák bizonyos eseményekre: fehér golyó megjelenése egy csak fehér golyókat tartalmazó urnából; nyerjen egy win-win lottón.

Meghatározás. Az esemény ún lehetetlen ha egy adott feltételrendszer mellett nem fordulhat elő.

Minden lehetetlen eseményt betűvel jelölünk.

Például az euklideszi geometriában egy háromszög szögeinek összege nem lehet nagyobb, mint , ötpontos osztályozási rendszerű vizsgán nem lehet "6"-os osztályzatot kapni.

Meghatározás. Az esemény ún véletlen, ha adott feltételrendszer mellett megjelenhet vagy nem.

Például a véletlenszerű események a következők: egy ász megjelenése a kártyapakliból; futballcsapat mérkőzés megnyerése; rendezvény nyeremény a pénzes és ruházati lottón; hibás TV vásárlása stb.

Meghatározás. Események hívott összeegyeztethetetlen ha ezen események egyikének bekövetkezése kizárja bármely másik esemény bekövetkezését.

1. példa Ha az érme feldobásából álló tesztet tekintjük, akkor az események - a címer megjelenése és - a szám megjelenése - összeférhetetlen események.

Meghatározás. Események hívott közös, ha ezen események valamelyikének bekövetkezése nem zárja ki más események bekövetkezését.

2. példa Ha három fegyverből adnak le lövést, akkor a következő események együttesen fordulnak elő: ütés az első fegyverből; ütés a második fegyverből; eltalálta a harmadik fegyvert.

Meghatározás. Események hívott az egyetlen lehetséges, ha az adott események közül legalább egynek szükségszerűen meg kell történnie egy adott feltételrendszer megvalósítása során.

3. példa Kockadobáskor csak a következők lehetségesek:

A 1 - egy pont megjelenése,

A 2 - két pont megjelenése,

A 3 - három pont megjelenése,

A 4 - négy pont megjelenése,

A 5 - öt pont megjelenése,

A 6 - hat pont megjelenése.

Meghatározás. Azt mondják, hogy az események formálódnak rendezvények teljes csoportja ha ezek az események az egyetlen lehetséges és összeegyeztethetetlen.

Az 1., 3. példában figyelembe vett események egy teljes csoportot alkotnak, mivel összeférhetetlenek és az egyetlen lehetségesek.

Meghatározás. Két olyan eseményt nevezünk, amelyek egy teljes csoportot alkotnak szemben.

Ha valamilyen esemény, akkor az ellenkező eseményt jelöli.

4. példa Ha az esemény egy címer, akkor az esemény farok.

Az ellentétes események is: „a diák sikeresen vizsgázott” és „a diák nem vizsgázott”, „az üzem teljesítette a tervet” és „az üzem nem teljesítette a tervet”.

Meghatározás. Események hívott azonos valószínűségű vagy ugyanúgy lehetséges ha a teszt során objektíven mindannyian azonos eséllyel jelennek meg.

Vegyük figyelembe, hogy egyformán valószínű események csak a kimenetel szimmetriájú kísérletekben jelenhetnek meg, amit speciális módszerekkel biztosítanak (például abszolút szimmetrikus érmék, dobókocka készítése, gondos kártyakeverés, dominó, golyók keverése urnában stb.).

Meghatározás. Ha egy teszt eredménye egyedien lehetséges, összeegyeztethetetlen és egyformán lehetséges, akkor ezeket hívjuk elemi eredmények, esetek vagy esélyei, és magát a tesztet ún eset diagram vagy "urna séma"(mivel a vizsgált teszt bármely valószínűségi problémája helyettesíthető a különböző színű urnák és golyók egyenértékű problémájával) .

5. példa Ha 3 fehér és 3 fekete golyó van az urnában, amelyek érintéssel azonosak, akkor az esemény A 1 - egy fehér labda és egy esemény megjelenése A 2 - egy fekete golyó megjelenése egyenrangú esemény.

Meghatározás. Azt mondják, hogy az esemény szívességet esemény vagy esemény jár esemény , ha a megjelenésnél esemény biztos eljön.

Ha egy esemény eseményt tartalmaz, akkor ezt a szimbólumok jelölik egyenértékű ill egyenértékűés jelöljük

Így ekvivalens események, és mindegyik kísérletnél vagy mindkettő előfordul, vagy mindkettő nem következik be.

Valószínűségelmélet felépítéséhez a már bevezetett alapfogalmakon (véletlenszerű kísérlet, véletlen esemény) kívül még egy alapfogalom bevezetése szükséges - véletlenszerű esemény valószínűsége.

Vegyük észre, hogy egy esemény valószínűségére vonatkozó elképzelések változtak a valószínűségszámítás fejlődése során. Kövessük nyomon e fogalom kialakulásának történetét.

Alatt valószínűség véletlenszerű esemény egy esemény bekövetkezésének objektív lehetőségének mértékét érti.

Ez a meghatározás minőségi szempontból tükrözi a valószínűség fogalmát. Az ókorban ismerték.

Egy esemény valószínűségének kvantitatív meghatározását először a valószínűségelmélet megalkotói adták meg, akik olyan véletlenszerű kísérleteket vettek figyelembe, amelyek szimmetriájúak vagy objektív kiegyenlítődéssel rendelkeznek. Az ilyen véletlenszerű kísérletek, amint fentebb megjegyeztük, leggyakrabban mesterségesen szervezett kísérleteket foglalnak magukban, amelyek során speciális módszereket alkalmaznak a kimenetel egyenlő esélyének biztosítására (kártya vagy dominó keverése, tökéletesen szimmetrikus kocka, érmék stb.). Az ilyen véletlenszerű kísérletekkel kapcsolatban a XVII. Laplace francia matematikus megfogalmazta a valószínűség klasszikus definícióját.

A valószínűségelmélet kezdetben, mivel csak a kockajátékkal kapcsolatos információk és empirikus megfigyelések gyűjteménye, szilárd tudomány lett. Fermat és Pascal adtak neki először matematikai keretet.

Az örökkévalóról szóló elmélkedésektől a valószínűségelméletig

Két olyan személyt, akiknek a valószínűségelmélet számos alapvető képletet köszönhet, Blaise Pascalt és Thomas Bayest mélyen vallásos emberként ismerik, utóbbi presbiteriánus lelkész volt. Nyilvánvalóan e két tudós azon vágya, hogy bebizonyítsák egy bizonyos vagyonról alkotott vélemény tévességét, szerencsét adva kedvenceinek, lendületet adott a kutatásnak ezen a területen. Valójában minden szerencsejáték a maga győzelmeivel és veszteségeivel együtt csak a matematikai elvek szimfóniája.

A Chevalier de Mere izgalmának köszönhetően, aki egyformán szerencsejátékos és nem közömbös a tudomány iránt, Pascal kénytelen volt megtalálni a valószínűségek kiszámításának módját. De Mere-t ez a kérdés érdekelte: "Hányszor kell két kockával párban dobni, hogy a 12 pont megszerzésének valószínűsége meghaladja az 50%-ot?". A második kérdés, ami az urat rendkívül érdekelte: "Hogyan osszuk el a tétet a befejezetlen játék résztvevői között?" Pascal természetesen sikeresen válaszolt de Mere mindkét kérdésére, aki akaratlanul is kezdeményezője lett a valószínűségelmélet kidolgozásának. Érdekes, hogy de Mere személye ezen a területen maradt ismert, és nem az irodalomban.

Korábban még egyetlen matematikus sem tett kísérletet az események valószínűségének kiszámítására, mivel azt hitték, hogy ez csak találgatás. Blaise Pascal megadta egy esemény valószínűségének első definícióját, és megmutatta, hogy ez egy konkrét szám, amely igazolható matematikailag. A valószínűségszámítás a statisztika alapjává vált, és széles körben alkalmazzák a modern tudományban.

Mi a véletlenszerűség

Ha egy végtelen sokszor ismételhető tesztet tekintünk, akkor definiálhatunk egy véletlenszerű eseményt. Ez az élmény egyik lehetséges eredménye.

A tapasztalat konkrét cselekvések végrehajtása állandó körülmények között.

Annak érdekében, hogy a tapasztalatok eredményeivel dolgozhassunk, az eseményeket általában A, B, C, D, E betűkkel jelöljük...

Egy véletlen esemény valószínűsége

Ahhoz, hogy tovább tudjunk lépni a valószínűség matematikai részéhez, meg kell határozni annak összes összetevőjét.

Az esemény valószínűsége annak a lehetőségének számszerű mérőszáma, hogy egy esemény (A vagy B) egy élmény eredményeként bekövetkezik. A valószínűséget P(A) vagy P(B) jelöléssel jelöljük.

A valószínűségelmélet a következő:

• megbízható az esemény garantáltan bekövetkezik a kísérlet eredményeként Р(Ω) = 1;
• lehetetlen az esemény soha nem történhet meg Р(Ø) = 0;
• véletlen az esemény a biztos és a lehetetlen között van, azaz bekövetkezésének valószínűsége lehetséges, de nem garantált (egy véletlen esemény valószínűsége mindig 0≤P(A)≤1 közé esik).

Az események közötti kapcsolatok

Mind az egyik, mind az A + B események összege figyelembe vehető, ha az eseményt legalább az egyik komponens, az A vagy B, vagy mindkettő - A és B - megvalósításában számítják.

Az események egymáshoz viszonyítva lehetnek:

• Ugyanúgy lehetséges.
• összeegyeztethető.
• Összeegyeztethetetlen.
• Ellentétes (egymást kizáró).
• Függő.

Ha két esemény azonos valószínűséggel megtörténhet, akkor azok ugyanúgy lehetséges.

Ha az A esemény bekövetkezése nem semmisíti meg a B esemény bekövetkezésének valószínűségét, akkor azok összeegyeztethető.

Ha az A és B események soha nem fordulnak elő ugyanabban az időben ugyanabban a kísérletben, akkor ezeket hívjuk összeegyeztethetetlen. Egy érme feldobása jó példa: a felfelé tartó farok automatikusan nem azt jelenti, hogy fejek jönnek fel.

Az ilyen összeférhetetlen események összegének valószínűsége az egyes események valószínűségeinek összegéből áll:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ha egy esemény bekövetkezése lehetetlenné teszi egy másik esemény bekövetkezését, akkor ezeket ellentétesnek nevezzük. Ezután az egyiket A-val jelöljük, a másikat - Ā (értsd: "nem A"). Az A esemény bekövetkezése azt jelenti, hogy  nem következett be. Ez a két esemény egy teljes csoportot alkot, amelynek valószínűségeinek összege 1.

Függő események vannak kölcsönös befolyásolás, csökkentve vagy növelve egymás valószínűségét.

Az események közötti kapcsolatok. Példák

Sokkal könnyebb megérteni a valószínűségszámítás alapelveit és az események kombinációját példák segítségével.

Az elvégzendő kísérlet a golyók kihúzása a dobozból, és minden kísérlet eredménye egy elemi eredmény.

Az esemény az élmény egyik lehetséges kimenetele – piros labda, kék labda, hatos labda stb.

1. számú teszt. 6 golyó van, ebből három kék páratlan számokkal, a másik három piros páros számokkal.

2. számú teszt. 6 kék golyó van egytől hatig.

A példa alapján elnevezhetjük a kombinációkat:

• Megbízható rendezvény. Spanyolul A 2-es számú, a "szerezd meg a kék labdát" esemény megbízható, mivel előfordulásának valószínűsége 1, mivel minden golyó kék, és nem lehet kihagyás. Míg a "szerezd meg a labdát az 1-es számmal" esemény véletlenszerű.
• Lehetetlen esemény. Spanyolul Az 1-es számú kék és piros golyókkal a "szerezd meg a lila golyót" esemény lehetetlen, mivel előfordulásának valószínűsége 0.
• Egyenértékű események. Spanyolul Az 1. számú esetben a „kapja meg a 2-es számú labdát” és a „kapja meg a 3-as labdát” események egyformán valószínűek, valamint a „kapja meg a labdát páros számmal” és „kapja meg a 2-es számú labdát” események. ” különböző valószínűséggel.
• Kompatibilis események. A hatos megszerzése a kockával kétszer egymás után dobva kompatibilis események.
• Összeférhetetlen események. Ugyanabban a spanyolban Az 1. számú események „kapd meg a piros labdát” és „kapd meg a labdát páratlan számmal” nem kombinálhatók ugyanabban az élményben.
• ellentétes események. Ennek legszembetűnőbb példája az érmefeldobás, ahol a fejek rajzolása megegyezik a farok nem rajzolásával, és valószínűségeik összege mindig 1 (teljes csoport).
• Függő események. Szóval spanyolul 1. számú, azt a célt tűzheti ki maga elé, hogy kétszer egymás után húzzon ki egy piros labdát. Az első alkalommal történő kinyerés vagy nem kinyerés befolyásolja a második alkalommal történő kivonás valószínűségét.

Látható, hogy az első esemény jelentősen befolyásolja a második valószínűségét (40% és 60%).

Eseményvalószínűségi képlet

A jóslásról a pontos adatokra való átmenet a téma matematikai síkra való áthelyezésével történik. Vagyis egy véletlen eseményre vonatkozó ítéletek, mint például a „nagy valószínűséggel” vagy a „minimális valószínűséggel”, lefordíthatók konkrét számadatokra. Az ilyen anyagok értékelése, összehasonlítása és összetettebb számításokba való beépítése már megengedett.

Számítási szempontból egy esemény valószínűségének meghatározása az elemi pozitív kimenetelek számának és a tapasztalat összes lehetséges kimenetelének aránya egy adott eseményre vonatkozóan. A valószínűséget P (A) jelöli, ahol P a "valószínűség" szót jelenti, ami a franciából "valószínűség"-nek van fordítva.

Tehát egy esemény valószínűségének képlete a következő:

Ahol m az A esemény kedvező kimeneteleinek száma, n a tapasztalat összes lehetséges kimenetelének összege. Egy esemény valószínűsége mindig 0 és 1 között van:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Egy esemény valószínűségének kiszámítása. Példa

Vegyük a spanyolt. 1. számú golyókkal, amit korábban leírtunk: 3 kék golyó 1/3/5 számmal és 3 piros golyó 2/4/6 számmal.

A teszt alapján több különböző feladat is megfontolható:

• A - piros golyó csepp. 3 piros golyó van, és összesen 6 lehetőség van a legegyszerűbb példa, amelyben egy esemény valószínűsége P(A)=3/6=0,5.
• B - páros szám eldobása. Összesen 3 (2,4,6) páros szám van, a lehetséges numerikus opciók száma összesen 6. Ennek az eseménynek a valószínűsége P(B)=3/6=0,5.
• C - 2-nél nagyobb szám elvesztése. 4 ilyen lehetőség van (3,4,5,6) a lehetséges kimenetelek teljes számából 6. A C esemény valószínűsége P(C)=4/6= 0,67.

Amint a számításokból látható, a C eseménynek nagyobb a valószínűsége, mivel a lehetséges pozitív kimenetelek száma magasabb, mint A-ban és B-ben.

Összeférhetetlen események

Az ilyen események nem jelenhetnek meg egyszerre ugyanabban az élményben. Mint spanyolul 1. számú, nem lehet egyszerre kék és piros labdát szerezni. Vagyis kaphat kék vagy piros golyót. Ugyanígy nem jelenhet meg egy páros és páratlan szám egy kockában egyszerre.

Két esemény valószínűségét az összegük vagy szorzatuk valószínűségének tekintjük. Az ilyen események A + B összegét olyan eseménynek tekintjük, amely egy A vagy B esemény megjelenéséből áll, és ezek AB szorzata - mindkettő megjelenéséből. Például egyszerre két hatos megjelenése két dobókocka arcán.

Több esemény összege olyan esemény, amely magában foglalja legalább az egyik esemény bekövetkezését. Több esemény eredménye ezek együttes előfordulása.

A valószínűségszámításban általában az "és" unió használata az összeget, az "vagy" unió - szorzást jelöli. A példákkal ellátott képletek segítenek megérteni az összeadás és szorzás logikáját a valószínűségszámításban.

Az összeférhetetlen események összegének valószínűsége

Ha figyelembe vesszük az összeférhetetlen események valószínűségét, akkor az események összegének valószínűsége egyenlő valószínűségeik összegével:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Például: kiszámítjuk annak valószínűségét, hogy spanyolul. A kék és piros golyós 1-es szám 1 és 4 közé esik. Nem egy művelettel számolunk, hanem az elemi komponensek valószínűségeinek összegével. Tehát egy ilyen kísérletben csak 6 golyó vagy 6 lehetséges az összes lehetséges kimenetel közül. A feltételt kielégítő számok 2 és 3. A 2-es szám megszerzésének valószínűsége 1/6, a 3-as szám valószínűsége szintén 1/6. Annak a valószínűsége, hogy 1 és 4 közötti számot kapunk:

Egy teljes csoport összeférhetetlen eseményeinek összegének valószínűsége 1.

Tehát, ha a kockával végzett kísérletben összeadjuk az összes szám megszerzésének valószínűségét, akkor eredményül kapunk egyet.

Ez az ellentétes eseményekre is igaz, például az érmével végzett kísérletben, ahol az egyik oldala az A esemény, a másik pedig az ellentétes esemény Ā, mint ismeretes.

Р(А) + Р(Ā) = 1

Összeférhetetlen események előidézésének valószínűsége

A valószínűségek szorzását akkor használjuk, ha egy megfigyelésben két vagy több összeférhetetlen esemény előfordulását vizsgáljuk. Annak a valószínűsége, hogy az A és B események egyszerre jelennek meg benne, egyenlő valószínűségeik szorzatával, vagy:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Például annak a valószínűsége, hogy be Az 1. számú két kísérlet eredményeként kétszer jelenik meg egy kék golyó, ami egyenlő

Vagyis 25% annak a valószínűsége, hogy egy esemény bekövetkezik, amikor a golyók kihúzásával végzett két kísérlet eredményeként csak kék golyókat húznak ki. Nagyon könnyű gyakorlati kísérleteket végezni ezzel a problémával, és megnézni, hogy ez valóban így van-e.

Közös rendezvények

Az események akkor tekinthetők közösnek, ha az egyik megjelenése egybeeshet a másik megjelenésével. Annak ellenére, hogy közösek, figyelembe veszik a független események valószínűségét. Például két dobókocka dobása olyan eredményt adhat, amikor mindkettőre a 6. Bár az események egybeestek és egyszerre jelentek meg, függetlenek egymástól - csak egy hatos eshet ki, a második kockának nincs hatással rá.

Az együttes események valószínűségét az összegük valószínűségének tekintjük.

Az együttes események összegének valószínűsége. Példa

Az egymáshoz képest együttes A és B események összegének valószínűsége megegyezik az esemény valószínűségeinek összegével mínusz szorzatuk (vagyis közös megvalósításuk) valószínűsége:

R ízület. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Tegyük fel, hogy annak a valószínűsége, hogy egy lövéssel eltaláljuk a célt, 0,4. Ezután A esemény - célba találás az első kísérletben, B - a másodikban. Ezek az események közösek, mivel lehetséges, hogy az első és a második lövésből is el lehet találni a célt. De az események nem függnek egymástól. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két lövéssel (legalább egy) eltalálja a célt? A képlet szerint:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

A kérdésre a válasz: "64% annak a valószínűsége, hogy két lövéssel célt találunk."

Ez az esemény valószínűségének képlete alkalmazható inkompatibilis eseményekre is, ahol az esemény együttes előfordulásának valószínűsége P(AB) = 0. Ez azt jelenti, hogy az inkompatibilis események összegének valószínűsége speciális esetnek tekinthető a javasolt képletből.

Valószínűségi geometria az érthetőség kedvéért

Érdekes módon az együttes események összegének valószínűsége két egymást metsző A és B területként ábrázolható. Amint a képen látható, az egyesülésük területe egyenlő a teljes területtel, mínusz a metszéspontjuk területével. Ez a geometriai magyarázat érthetőbbé teszi a logikátlannak tűnő képletet. Vegye figyelembe, hogy a geometriai megoldások nem ritkák a valószínűségszámításban.

A közös események halmaza (kettőnél több) összegének valószínűségének meghatározása meglehetősen körülményes. Kiszámításához az ezekre az esetekre megadott képleteket kell használni.

Függő események

Függő eseményeket akkor hívunk, ha az egyik (A) bekövetkezése befolyásolja a másik (B) bekövetkezésének valószínűségét. Sőt, mind az A esemény bekövetkezésének, mind pedig annak be nem következésének befolyását figyelembe veszik. Bár az eseményeket definíció szerint függőnek nevezzük, csak az egyikük függő (B). A szokásos valószínűséget P(B)-ként vagy független események valószínűségeként jelöltük. Az eltartottak esetében egy új fogalom kerül bevezetésre - a P A (B) feltételes valószínűség, amely a B függő esemény valószínűsége azzal a feltétellel, hogy az A esemény (hipotézis) bekövetkezett, amelytől függ.

De az A esemény is véletlenszerű, így ennek is van egy valószínűsége, amit figyelembe kell és lehet is venni a számításoknál. A következő példa bemutatja, hogyan kell dolgozni a függő eseményekkel és egy hipotézissel.

Példa a függő események valószínűségének kiszámítására

A függő események kiszámítására jó példa egy szabványos kártyapakli.

Egy 36 lapból álló pakli példáján tekintsünk függő eseményeket. Meg kell határozni annak valószínűségét, hogy a pakliból kihúzott második lap gyémánt színű lesz, ha az első húzott kártya:

1. Csörgődob.
2. Egy másik öltöny.

Nyilvánvaló, hogy a második B esemény valószínűsége az első A-tól függ. Tehát ha az első opció igaz, ami 1 lappal (35) és 1 gyémánttal (8) kevesebb a pakliban, a B esemény valószínűsége:

P A (B) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Ha a második lehetőség igaz, akkor 35 kártya van a pakliban, és a tamburák teljes száma (9) továbbra is megmarad, akkor a következő esemény valószínűsége B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Látható, hogy ha az A esemény feltétele, hogy az első lap gyémánt legyen, akkor a B esemény valószínűsége csökken, és fordítva.

Függő események sokszorozása

Az előző fejezet alapján az első eseményt (A) elfogadjuk tényként, de lényegében véletlenszerű jellege van. Ennek az eseménynek, nevezetesen egy tambura kártyapakliból való kiemelésének valószínűsége egyenlő:

P(A) = 9/36=1/4

Mivel az elmélet nem létezik önmagában, hanem arra van hivatva, hogy szolgáljon gyakorlati célokra, jogos megjegyezni, hogy leggyakrabban a függő események szorzatának valószínűségére van szükség.

A függő események valószínűségeinek szorzatára vonatkozó tétel szerint az A és B együttesen függő események bekövetkezésének valószínűsége egyenlő egy A esemény valószínűségével, megszorozva a B esemény feltételes valószínűségével (A-tól függően):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Ekkor a pakli példájában annak a valószínűsége, hogy két gyémántszínű kártyát húzunk:

9/36*8/35=0,0571 vagy 5,7%

És annak a valószínűsége, hogy először nem gyémántot, majd gyémántot nyerünk ki, egyenlő:

27/36*9/35=0,19 vagy 19%

Látható, hogy a B esemény bekövetkezésének valószínűsége nagyobb, feltéve, hogy először nem gyémánt színű kártyát húznak. Ez az eredmény logikus és érthető.

Egy esemény teljes valószínűsége

Ha a feltételes valószínűségekkel kapcsolatos probléma sokrétűvé válik, azt nem lehet hagyományos módszerekkel kiszámítani. Ha kettőnél több hipotézis létezik, nevezetesen A1, A2, ..., A n , .. események teljes csoportját alkotja a következő feltétel mellett:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Tehát a B esemény teljes valószínűségének képlete A1, A2, ..., A n véletlenszerű események teljes csoportjával:

Kitekintés a jövőbe

A véletlenszerű események valószínűsége a tudomány számos területén nélkülözhetetlen: ökonometria, statisztika, fizika stb. Mivel egyes folyamatok nem írhatók le determinisztikusan, mivel maguk is valószínűségiek, speciális munkamódszerekre van szükség. Az eseményelmélet valószínűsége bármely technológiai területen felhasználható a hiba vagy meghibásodás lehetőségének meghatározására.

Elmondható, hogy a valószínűség felismerésével valamiképpen elméleti lépést teszünk a jövőbe, a képletek prizmáján keresztül szemlélve azt.

Terv.

1. Véletlenszerű változó (CV) és egy esemény valószínűsége.

2. SW eloszlás törvénye.

3. Binomiális eloszlás (Bernoulli eloszlás).

4. Poisson-eloszlás.

5. Normál (Gauss) eloszlás.

6. Egységes eloszlás.

7. Hallgatói megoszlás.

2.1 Véletlen változó és eseményvalószínűség

A matematikai statisztika szorosan összefügg másokkal matematikai tudomány- a valószínűségelmélet, és annak matematikai apparátusán alapul.

Valószínűségi elmélet egy olyan tudomány, amely véletlenszerű események által generált mintákat vizsgál.

A pedagógiai jelenségek a tömegesek közé tartoznak: nagy népességet fednek le, évről évre ismétlődnek és folyamatosan előfordulnak. A pedagógiai folyamat mutatói (paraméterei, eredményei) valószínűségi jellegűek: ugyanaz a pedagógiai hatás különböző következményekkel járhat (véletlen események, Véletlen változók). Ennek ellenére a feltételek ismételt reprodukálásakor bizonyos következmények gyakrabban jelentkeznek, mint mások - ez az úgynevezett statisztikai törvényszerűségek megnyilvánulása (amelyeket a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika tanulmányoz).

Véletlen változó (CV) - ez egy numerikus jellemző, amelyet a kísérlet során mérnek és a véletlen kimeneteltől függően. A kísérlet során megvalósított SW maga is véletlenszerű. Minden RV meghatároz egy valószínűségi eloszlást.

fő ingatlan pedagógiai folyamatok, a jelenségek valószínűségi jellegük (adott körülmények között előfordulhatnak, megvalósulhatnak, de előfordulhatnak nem). Az ilyen jelenségeknél a valószínűség fogalma alapvető szerepet játszik.

A valószínűség (P) egy adott esemény, jelenség, eredmény lehetőségének mértékét mutatja. Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla p = 0, megbízható - egy p = 1 (100%). Bármely esemény valószínűsége 0 és 1 között van, attól függően, hogy az esemény mennyire véletlenszerű.

Ha érdekel minket az A esemény, akkor nagy valószínűséggel megfigyelhetjük, rögzíthetjük a bekövetkezésének tényeit. A valószínűség fogalmának és kiszámításának szükségessége nyilvánvalóan csak akkor fog felmerülni, ha ezt az eseményt nem minden alkalommal figyeljük meg, vagy rájövünk, hogy előfordulhat, vagy nem. Mindkét esetben célszerű az f(A) esemény előfordulási gyakoriságának fogalmát használni, mint az előfordulási esetek számának (kedvező kimenetelnek) az összes megfigyelésszámhoz viszonyított arányát. Egy véletlen esemény előfordulási gyakorisága nemcsak magának az eseménynek a véletlenszerűségének mértékétől függ, hanem ezen SW megfigyeléseinek számától (számától is).

Kétféle SV-minta létezik: függőÉs független. Ha egy bizonyos tulajdonság mérésének eredményei az első minta objektumaiban nem befolyásolják a tulajdonság mérésének eredményeit a második minta objektumaiban, akkor az ilyen mintákat függetlennek tekintjük. Ha egy minta eredményei befolyásolják egy másik minta eredményeit, a mintákat figyelembe veszik függő. A függő mérések klasszikus módja ugyanazon tulajdonság kétszeri mérése (vagy különböző tulajdonságok) ugyanazon csoport tagjai számára.

Az A esemény nem függ a B eseménytől, ha az A esemény valószínűsége nem függ attól, hogy B esemény megtörtént-e vagy sem. Az A és B események függetlenek, ha P(AB)=P(A)P(B). A gyakorlatban az esemény függetlensége a tapasztalati feltételektől, a kutató intuíciójától és a gyakorlattól jön létre.

A CV diszkrét (lehetséges értékeit számozhatjuk), például egy kocka dobása = 4, 6, 2, és folyamatos (F(x) eloszlásfüggvénye folytonos), például egy izzó élettartama .

A matematikai elvárás az SW numerikus jellemzője, amely megközelítőleg megegyezik az SW átlagos értékével:

M(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n

2.2 Az SW eloszlás törvénye

A véletlenszerű természetű jelenségekre vonatkoznak-e törvények? Igen ám, de ezek a törvények eltérnek attól, amit megszoktunk. fizikai törvények. Az SW értékeit ismert kísérleti körülmények között sem lehet megjósolni, csak azt tudjuk jelezni, hogy az SW milyen valószínűséggel vesz fel egy vagy másik értéket. De ismerve az SW valószínűségi eloszlását, következtetéseket vonhatunk le azokról az eseményekről, amelyekben ezek a valószínűségi változók részt vesznek. Igaz, ezek a következtetések is valószínűségi jellegűek lesznek.

Legyen néhány SW diszkrét, pl. csak rögzített X i értékeket vehet fel. Ebben az esetben a P(X i) valószínűségek sorozatát ennek a mennyiségnek az összes (i=1…n) megengedett értékére eloszlási törvényének nevezzük.

Az SW eloszlási törvénye egy reláció, amely kapcsolatot hoz létre az SW lehetséges értékei és az értékek elfogadásának valószínűsége között. Az elosztási törvény teljes mértékben jellemzi az SW-t.

Amikor matematikai modellt készítünk egy statisztikai hipotézis tesztelésére, be kell vezetni egy matematikai feltételezést az SW eloszlás törvényéről (a modell felépítésének paraméteres módja).

A matematikai modell leírásának nem-paraméteres megközelítése (az SW-nek nincs parametrikus eloszlási törvénye) kevésbé pontos, de tágabb a hatóköre.

Ugyanúgy, mint egy véletlen esemény valószínűségét, az önéletrajz-eloszlási törvényhez csak kétféleképpen lehet megtalálni. Vagy összeállítunk egy véletlenszerű esemény sémáját, és keresünk egy analitikus kifejezést (képletet) a valószínűség kiszámításához (lehet, hogy valaki már megtette, vagy megteszi előtted!), vagy kísérletet kell használnunk, és a a megfigyelések gyakoriságát, tegyen néhány feltételezést (hipotézist állít fel) a törvényeloszlással kapcsolatban.

Természetesen a „klasszikus” eloszlások mindegyikénél ez a munka már régóta megtörténik – széles körben ismertek és az alkalmazott statisztikában igen gyakran használtak a binomiális és polinomiális eloszlások, a geometriai és hipergeometriai eloszlások, a Pascal és Poisson eloszlások, és sokan mások.

Szinte minden klasszikus eloszlásra azonnal speciális statisztikai táblázatokat készítettek és publikáltak, amelyeket a számítások pontosságának növekedésével finomítottak. E táblázatok sok kötetének felhasználása, használatuk szabályainak megismerése nélkül a statisztikák gyakorlati felhasználása az elmúlt két évszázadban lehetetlen volt.

Mára a helyzet megváltozott - nincs szükség a számítási adatok képletekkel történő tárolására (bármilyen bonyolultak is ezek az utóbbiak!), Az elosztási törvény gyakorlati használatának ideje percekre, sőt másodpercekre csökken. Már most is elegendő számú különféle számítógépes programcsomag létezik erre a célra.

Az összes valószínűségi eloszlás között vannak olyanok, amelyeket a gyakorlatban leggyakrabban használnak. Ezeket az eloszlásokat részletesen tanulmányozták, tulajdonságaik jól ismertek. Ezen eloszlások közül sok egész tudásterület alapját képezi, mint például a sorbanállás-elmélet, a megbízhatóságelmélet, a minőség-ellenőrzés, a játékelmélet stb.

2.3 Binomiális eloszlás (Bernoulli eloszlás)

Felmerül azokban az esetekben, amikor felmerül a kérdés: hányszor fordul elő egy esemény bizonyos számú független megfigyelés (kísérlet) sorozatában, azonos feltételek mellett.

A kényelem és az áttekinthetőség kedvéért feltételezzük, hogy ismerjük a p értéket - annak valószínűségét, hogy az üzletbe belépő látogató vásárló lesz, és (1 - p) = q - annak valószínűsége, hogy az üzletbe belépő látogató nem lesz vásárló.

Ha X a vevők száma teljes szám n látogató, akkor annak a valószínűsége, hogy n látogató között van k vásárló

P(X= k) = , ahol k=0,1,…n (1)

Az (1) képletet Bernoulli-képletnek nevezik. Nagyszámú kísérlet esetén a binomiális eloszlás általában normális.

2.4 Poisson-eloszlás

Számos kérdésben fontos szerepet játszik a fizika, a kommunikációelmélet, a megbízhatóságelmélet, a sorbanálláselmélet stb. Mindenhol, ahol egy bizonyos idő alatt véletlenszerű számú esemény (radioaktív bomlás, telefonhívás, berendezés meghibásodás, baleset stb.) történhet.

Tekintsük azt a legjellemzőbb helyzetet, amelyben a Poisson-eloszlás előfordul. Legyen néhány esemény (bolti vásárlás) véletlenszerű időpontokban. Határozzuk meg, hány ilyen esemény fordul elő 0-tól T-ig terjedő időintervallumban.

A 0-tól T-ig tartó időben bekövetkezett véletlenszámú eseményeket a Poisson-törvény szerint osztjuk el az l=aT paraméterrel, ahol a>0 egy feladatparaméter, amely az események átlagos gyakoriságát tükrözi. K vásárlás valószínűsége nagy időintervallumban (például egy napon) a következő lesz

P(Z=k) =

(2)

2.5 Normál (Gauss) eloszlás

A normális (Gauss-) eloszlás központi helyet foglal el a valószínűségi-statisztikai kutatás elméletében és gyakorlatában. Folyamatos közelítésként a binomiális eloszlás először A. Moivre vette figyelembe 1733-ban. Egy idő után a normális eloszlást ismét felfedezte és tanulmányozta K. Gauss (1809) és P. Laplace, akik a megfigyelés elméletével kapcsolatos munkája során jutottak el a normális függvényhez. hibákat.

Folyamatos valószínűségi változó x hívott a normál törvény szerint osztják el, ha eloszlássűrűsége egyenlő

Ahol

egybeesik X matematikai elvárásával:
=M(X), az s paraméter egybeesik X szórásával: s =s(X). A normál eloszlási függvény grafikonja, amint az az ábráról is látható, egy kupola alakú, Gauss-görbe alakú, a maximális pontnak vannak koordinátái (a;

Ez a μ=0, σ=1 görbe standard státuszt kapott, egységnormális görbének nevezzük, vagyis minden összegyűjtött adatot úgy kell transzformálni, hogy az eloszlási görbéjük a lehető legközelebb legyen ehhez a standard görbéhez. .

A normalizált görbét a valószínűségszámítási problémák megoldására találták ki, de a gyakorlatban kiderült, hogy számos változó esetén nagyszámú megfigyeléssel tökéletesen közelíti a gyakorisági eloszlást. Feltételezhető, hogy az objektumok számára és a kísérlet idejére vonatkozó lényeges korlátozások nélkül, statisztikai tanulmány normál görbére csökkentjük.

2.6 Egységes eloszlás

Az egyenletes valószínűség-eloszlás a legegyszerűbb, és lehet diszkrét vagy folytonos. A diszkrét egyenletes eloszlás olyan eloszlás, amelynél a CB minden egyes értékének a valószínűsége azonos, azaz:

ahol N a lehetséges SW értékek száma.

Egy folytonos CB X valószínűségi eloszlását, amely minden értékét az [a; b] szakaszból veszi, egyenletesnek nevezzük, ha a valószínűségi sűrűsége ezen a szakaszon állandó, kívül pedig nullával egyenlő:

(5)

2.7 Hallgatói megoszlás

Ez az eloszlás a normál eloszláshoz kapcsolódik. Ha RV x 1 , x 2 , … x n függetlenek, és mindegyiknek van szabványa normális eloszlás N(0,1), akkor az SW-nek van egy nevezett eloszlása terjesztés Diák:

valószínűségi esemény kombinatorikai statisztika

A valószínűségszámítás a matematikának egy olyan ága, amely véletlenszerű jelenségek mintázatait vizsgálja. A véletlenszerű jelenségek olyan bizonytalan kimenetelű jelenségek, amelyek akkor fordulnak elő, amikor egy bizonyos feltételrendszer ismétlődően reprodukálódik. A valószínűségelmélet kialakulása és fejlődése olyan nagy tudósok nevéhez fűződik, mint: Cardano, Pascal, Fermat, Bernoulli, Gauss, Csebisev, Kalmogorov és még sokan mások. A véletlenszerű jelenségek mintázatait először a 16-17. században fedezték fel. a szerencsejáték példáján, hasonlóan a kockajátékhoz. A születés és halál törvényei szintén nagyon régóta ismertek. Például ismert, hogy az újszülött fiúgyermeknek számít? 0,515. A 19. és 20. században nyitva volt nagy szám fizika, kémia, biológia stb. törvényei. Jelenleg a valószínűségszámítás módszereit széles körben alkalmazzák különféle iparágak természettudományok és technika: a megbízhatóság elméletében, a sorban állás elméletében, in elméleti fizika, geodézia, csillagászat, lövéselmélet, megfigyelési hiba elmélet, automatikus vezérlés elmélet, általános elmélet kommunikációban és sok más elméleti és alkalmazott tudományban. A valószínűségelmélet a matematikai és alkalmazott statisztika alátámasztására is szolgál, amelyet viszont a termelés tervezésében és megszervezésében, a technológiai folyamatok elemzésében, a termékminőség megelőző és átvételi ellenőrzésében és sok más célra használnak fel. BAN BEN utóbbi évek a valószínűségelmélet módszerei egyre szélesebb körben hatolnak be különböző területeken tudomány és technológia, hozzájárulva fejlődésükhöz.

Próba. Esemény. Eseménybesorolás

A teszt ugyanazon feltételek ismételt reprodukálása, amelyek mellett a megfigyelés történik. A kvalitatív vizsgálat eredménye esemény. 1. példa: Egy urna színes golyókat tartalmaz. Egy labdát elvesznek az urnából a szerencsét hozó. Teszt - a labda kiemelése az urnából; Esemény - a labda megjelenése bizonyos színt. V.2: Egy próba egymást kölcsönösen kizáró kimeneteleinek halmazát elemi események vagy elemi eredmények halmazának nevezzük. 2. példa: Egy kockát egyszer feldobnak. Teszt – csont feldobása; Esemény - bizonyos számú pont elvesztése. Az elemi eredmények halmaza (1,2,3,4,5,6). Az eseményeket a latin ábécé nagybetűivel jelöljük: A 1, A 2, ..., A, B, C, ... A megfigyelt eseményeket (jelenségeket) a következő három típusra oszthatjuk: megbízható, lehetetlen, véletlenszerű. V. 3: Egy eseményt akkor nevezünk biztosnak, ha a teszt eredményeként biztosan bekövetkezik. V4: Egy eseményt lehetetlennek mondunk, ha a teszt eredményeként soha nem fog bekövetkezni. V.5: Egy eseményt véletlennek nevezünk, ha a teszt eredményeként megtörténik, vagy nem következik be. 3. példa: Teszt – a labda fel van dobva. A esemény = (a labda leesik) - megbízható; Esemény B=(a labda a levegőben fog lógni) lehetetlen; A C= esemény (a labda a dobó fejére esik) véletlenszerű. A véletlenszerű események (jelenségek) a következő típusokra oszthatók: együttes, összeférhetetlen, ellentétes, egyformán lehetséges. V. 6: Két eseményt nevezünk együttesnek, ha az egyik kísérletben az egyik előfordulása nem zárja ki a másik előfordulását. 7. válasz: Két eseményt összeegyeztethetetlennek mondunk, ha az egyik vizsgálat során az egyik esemény bekövetkezése kizárja a másik bekövetkezését. 4. példa: Egy érmét kétszer dobnak fel. A esemény - (Először dobták le az emblémát); B esemény - (Kiesett a második címer); C esemény - (Először indul). Az A és B események együttesek, A és C nem kompatibilisek. 8. válasz: Több esemény egy teljes csoportot alkot egy adott próbában, ha páronként nem kompatibilis, és a próba eredményeként ezek közül az események közül egy biztosan megjelenik. 5. példa: Egy fiú bedob egy pénzérmét a játékgépbe. A esemény =(fiú nyer); B esemény=(a fiú nem nyer); A és B - események teljes csoportját alkotják. V.9: Két összeférhetetlen eseményt, amelyek egy teljes csoportot alkotnak, ellentétesnek nevezünk. Az A eseménnyel ellentétes eseményt jelöljük. 6. példa Egy lövést adnak le a célpontra. A esemény – találat; Az esemény egy hiányzó.