Ez egy periodikus rezgés, amelyben a mozgást jellemző koordináta, sebesség, gyorsulás a szinusz vagy koszinusz törvény szerint változik. A harmonikus rezgési egyenlet megállapítja a test koordinátájának időfüggőségét

A koszinusz gráf a kezdeti pillanatban maximális értékű, a szinuszos gráf pedig nulla a kezdeti pillanatban. Ha az oszcillációt az egyensúlyi helyzetből kezdjük vizsgálni, akkor a rezgés megismétli a szinuszost. Ha az oszcillációt a maximális eltérés helyétől kezdjük figyelembe venni, akkor az oszcilláció a koszinuszot írja le. Vagy egy ilyen rezgés leírható a szinusz képlettel a kezdeti fázissal.

Matematikai inga

ingadozások matematikai inga.
Matematikai inga egy súlytalan nyújthatatlan menetre felfüggesztett anyagi pont (fizikai modell).
Az inga mozgását akkor vesszük figyelembe, ha kicsi az elhajlási szög, akkor ha radiánban mérjük a szöget, akkor igaz az állítás: .
A gravitációs erő és a fonal feszültsége hat a testre. Ezen erők eredőjének két összetevője van: egy érintőleges, amely megváltoztatja a gyorsulást nagyságrendben, és egy normál, amely megváltoztatja az irány gyorsulást (centripetális gyorsulás, a test ívben mozog).
Mert a szög kicsi, akkor a tangenciális komponens egyenlő a gravitáció vetületével a pálya érintőjére: . Szög radiánban egyenlő az aránnyalív hossza a sugárhoz (menethossz), és az ív hossza megközelítőleg egyenlő az eltolás ( x ≈ s): .
Hasonlítsa össze a kapott egyenletet az egyenlettel! oszcilláló mozgás. Ez egyértelmű vagy - ciklikus frekvencia a matematikai inga lengései során.
Oszcillációs periódus vagy (Galilei képlete).	Galilei képlet
A legfontosabb következtetés: a matematikai inga lengési periódusa nem függ a test tömegétől!
Hasonló számításokat végezhetünk az energiamegmaradás törvénye alapján. Figyelembe vesszük, hogy a gravitációs térben a test potenciális energiája egyenlő, a teljes mechanikai energia pedig egyenlő a maximális potenciállal vagy kinetikaival:
Írjuk fel az energia megmaradás törvényét, és vegyük az egyenlet bal és jobb oldali részének deriváltját: . Mert egy állandó érték deriváltja egyenlő nullával, akkor . Az összeg deriváltja egyenlő a deriváltak összegével: és.
Ezért: , ami azt jelenti.

Ideális gáz állapotegyenlete (Mengyelejev-Clapeyron egyenlet).
Az állapotegyenlet egy olyan egyenlet, amely egy fizikai rendszer paramétereit hozza összefüggésbe, és egyedileg határozza meg annak állapotát. 1834-ben a francia fizikus B. Clapeyron, aki hosszú ideig dolgozott Szentpéterváron, levezette az ideális gáz állapotegyenletét állandó gáztömegre. 1874-ben D. I. Mengyelejev levezetett egy egyenletet tetszőleges számú molekulára.
Az MKT-ban és az ideális gáztermodinamikában a makroszkopikus paraméterek: p, V, T, m. Tudjuk . Ennélfogva,. Tekintettel arra , kapunk:.
Az állandó értékek szorzata állandó érték, ezért: - univerzális gázállandó (univerzális, mert minden gázra azonos).
Így a következőkkel rendelkezünk: Állapotegyenlet (Mengyelejev-Clapeyron egyenlet).
Az ideális gáz állapotegyenletének más felírási formái.
1. Egyenlet 1 mol anyagra. Ha n \u003d 1 mol, akkor egy mól V m térfogatát jelölve a következőt kapjuk:. Mert normál körülmények között kapunk:
2. Írja fel az egyenletet a sűrűség szempontjából: - A sűrűség függ a hőmérséklettől és a nyomástól!
3. Clapeyron egyenlet. Gyakran kell vizsgálni azt a helyzetet, amikor a gáz halmazállapota állandó mennyiségével (m=állandó) változik, és ha nincs kémiai reakciók(M = állandó). Ez azt jelenti, hogy az anyag mennyisége n=áll. Akkor:
Ez a bejegyzés azt jelenti adott gáz adott tömegére az egyenlőség igaz:
Állandó tömegű ideális gáz esetén a nyomás és a térfogat szorzatának aránya abszolút hőmérséklet ebben az állapotban van egy állandó érték: .
gáztörvények.
1. Avogadro törvénye. Azonos külső körülmények között azonos térfogatú különböző gázok azonos számú molekulát (atomot) tartalmaznak. Feltétel: V 1 =V 2 =…=V n ; p 1 \u003d p 2 \u003d ... \u003d p n; T 1 \u003d T 2 \u003d ... \u003d T n
Bizonyíték: Ezért azonos feltételek mellett (nyomás, térfogat, hőmérséklet) a molekulák száma nem függ a gáz természetétől, és azonos.
2. Dalton törvénye. A gázkeverék nyomása megegyezik az egyes gázok parciális (magán) nyomásának összegével. Bizonyítsuk be: p=p 1 +p 2 +…+p n Bizonyíték:
3. Pascal törvénye. A folyadékon vagy gázon keletkező nyomás minden irányban változás nélkül továbbítódik.

Az ideális gáz állapotegyenlete. gáztörvények.

A szabadságfokok számai: ez a független változók (koordináták) száma, amelyek teljesen meghatározzák a rendszer helyzetét a térben. Egyes feladatokban egy monoatomi gázmolekulát (1. ábra, a) tekintünk anyagi pontnak, amely három szabadsági fokot kap a transzlációs mozgásra. Ez nem veszi figyelembe a forgó mozgás energiáját. A mechanikában egy kétatomos gáz molekuláját az első közelítésben két molekula kombinációjának tekintjük. anyagi pontok, melyeket nem deformálódó kötés mereven köt össze (1. ábra, b). Ez a rendszer a transzlációs mozgás három szabadságfokán kívül további két forgómozgási szabadságfokkal rendelkezik. A mindkét atomon áthaladó harmadik tengely körüli forgás értelmetlen. Ez azt jelenti, hogy a kétatomos gáznak öt szabadsági foka van ( én= 5). Egy háromatomos (1. ábra, c) és többatomos nemlineáris molekulának hat szabadsági foka van: három transzlációs és három rotációs. Természetes azt feltételezni, hogy az atomok között nincs merev kötés. Ezért a valódi molekuláknál a rezgésmozgás szabadsági fokait is figyelembe kell venni.

Egy adott molekula tetszőleges számú szabadsági foka esetén a három szabadságfok mindig transzlációs. A transzlációs szabadságfok egyikének sincs előnye a többihez képest, ami azt jelenti, hogy mindegyiknek átlagosan az érték 1/3-ával egyenlő energiája van.<ε 0 >(a molekulák transzlációs mozgásának energiája): A statisztikai fizikában Boltzmann törvénye az energia egyenletes eloszlásáról a molekulák szabadsági fokai között: egy termodinamikai egyensúlyi állapotban lévő statisztikai rendszernél minden transzlációs és forgási szabadságfok átlagos kinetikus energiája kT / 2, és minden rezgési szabadságfok átlagos energiája kT. A rezgésfok kétszer annyi energiával rendelkezik, mert a kinetikus energiát (mint a transzlációs és forgó mozgások esetében) és a potenciális energiát is figyelembe veszi, és a potenciális és a mozgási energia átlagos értéke megegyezik. Tehát a molekula átlagos energiája Ahol én- a transzlációs, a forgásszám összege a molekula vibrációs szabadságfokainak kétszeresében: én=én bejegyzés + én forgás +2 én rezgések A klasszikus elméletben a molekulákat az atomok közötti merev kötéssel tekintik; nekik én egybeesik a molekula szabadságfokainak számával. Mivel egy ideális gázban a molekulák kölcsönös kölcsönhatási energiája nulla (a molekulák nem lépnek kölcsönhatásba egymással), akkor egy mól gáz belső energiája egyenlő lesz a molekulák N A kinetikai energiáinak összegével: (1) Belső energia tetszőleges m tömegű gázhoz. ahol M- moláris tömeg, ν - anyagmennyiség.

Maximális sebesség és gyorsulás értékek

A v(t) és a(t) függőség egyenleteinek elemzése után sejthető, hogy a sebesség és a gyorsulás maximális értékeit akkor veszik fel, ha a trigonometrikus tényező 1 vagy -1. A képlet határozza meg

Hogyan kaphatunk függőséget v(t) és a(t)

7. Szabad rezgések. Az oszcilláló mozgás sebessége, gyorsulása és energiája. Rezgések hozzáadása

Szabad rezgések(vagy természetes rezgések) egy oszcillációs rendszer rezgései, amelyek csak az eredetileg jelentett energia (potenciális vagy kinetikai) hatására jönnek létre, külső hatások nélkül.

A potenciális vagy kinetikus energia kommunikálható például mechanikai rendszerekben egy kezdeti elmozdulással vagy egy kezdeti sebességgel.

A szabadon rezgő testek mindig kölcsönhatásba lépnek más testekkel, és velük együtt testrendszert alkotnak, ún oszcillációs rendszer.

Például egy rugó, egy golyó és egy függőleges oszlop, amelyhez a rugó felső vége csatlakozik (lásd az alábbi ábrát), egy oszcillációs rendszer része. Itt a labda szabadon csúszik a húr mentén (a súrlódási erők elhanyagolhatóak). Ha jobbra viszi a labdát és magára hagyja, akkor szabadon oszcillál az egyensúlyi helyzet körül (pont RÓL RŐL) a rugó egyensúlyi helyzet felé irányuló rugalmas erejének hatása miatt.

A mechanikus oszcillációs rendszer másik klasszikus példája a matematikai inga (lásd az alábbi ábrát). Ebben az esetben a labda szabad rezgéseket hajt végre két erő hatására: a gravitáció és a szál rugalmas ereje (a Föld is belép az oszcillációs rendszerbe). Eredményüket az egyensúlyi helyzetbe irányítják.

Az oszcillációs rendszer testei között ható erőket ún belső erők. Külső erők az abban nem szereplő testekből a rendszerre ható erőket nevezzük. Ebből a szempontból a szabad rezgések úgy definiálhatók, mint egy rendszerben belső erők hatására bekövetkező rezgések, miután a rendszer kikerül az egyensúlyi helyzetből.

A szabad oszcillációk előfordulásának feltételei a következők:

1) olyan erő megjelenése bennük, amely visszaállítja a rendszert stabil egyensúlyi helyzetbe, miután kikerült ebből az állapotból;

2) nincs súrlódás a rendszerben.

A szabad rezgések dinamikája.

A test rezgései rugalmas erők hatására. Egy test lengő mozgásának egyenlete rugalmas erő hatására F(lásd ábra) Newton második törvényének ( F = ma) és Hooke törvénye ( F vezérlés= -kx), Ahol m a labda tömege, és a labda által a rugalmas erő hatására elért gyorsulás, k- rugómerevségi együttható, x- a test elmozdulása az egyensúlyi helyzetből (mindkét egyenlet vízszintes tengelyre vetítve van felírva Ó). Ezen egyenletek jobb oldalainak egyenlővé tétele, és figyelembe véve, hogy a gyorsulás A a koordináta második deriváltja x(eltolások), kapjuk:

.

Ez differenciálegyenlet rugalmas erő hatására rezgő test mozgása: a koordináta időhöz viszonyított második deriváltja (a test gyorsulása) egyenesen arányos az ellenkező előjellel vett koordinátájával.

Matematikai inga oszcillációi. A matematikai inga lengési egyenletének megszerzéséhez (ábra) ki kell terjeszteni a gravitációs erőt F T= mg normálra F n(a menet mentén irányítva) és érintőleges F τ(a labda röppályájának érintője – kör) komponensek. A gravitáció normál összetevője F nés a szál rugalmas ereje Fynpösszességében centrifugális gyorsulást adnak az ingának, ami nem befolyásolja a sebesség nagyságát, csak az irányt változtatja, és a tangenciális komponens F τ az az erő, amely visszaállítja a labdát egyensúlyi helyzetébe, és oszcillációt okoz. Az előző esethez hasonlóan a Newton-törvényt használva az érintőleges gyorsulásra ma τ = F τés tekintettel arra F τ= -mg sinα, kapunk:

a τ= -g sinα,

A mínusz jel az erő és az egyensúlyi helyzettől való eltérés szöge miatt jelent meg α ellentétes előjelei vannak. Kis elhajlási szögekhez sinα ≈ α. viszont α = s/l, Ahol s- ív OA, én- menethossz. Tekintettel arra és τ= s", végre megkapjuk:

Az egyenlet alakja hasonló az egyenlethez . Csak itt a rendszer paraméterei a menet hossza és a szabadesés gyorsulása, nem pedig a rugó merevsége és a golyó tömege; a koordináta szerepét az ív hossza (vagyis a megtett út, mint az első esetben) játssza.

Így a szabad rezgéseket azonos típusú egyenletek írják le (azonos törvények szerint), függetlenül fizikai természet erők, amelyek ezeket a rezgéseket okozzák.

Egyenletek megoldása és a forma függvénye:

x = xmcos ω 0t(vagy x = xmsin ω 0t).

Vagyis a szabad rezgéseket végző test koordinátája idővel a koszinusz vagy szinusz törvény szerint változik, és ezért ezek a rezgések harmonikusak:

Az egyenletben x = xmcos ω 0t(vagy x = xmsin ω 0t), x m- oszcillációs amplitúdó, ω 0 - saját ciklikus (kör) oszcillációs frekvencia.

A ciklikus frekvenciát és a szabad harmonikus rezgések periódusát a rendszer tulajdonságai határozzák meg. Tehát egy rugóra erősített test rezgéseire a következő összefüggések igazak:

.

Minél nagyobb a sajátfrekvencia, minél nagyobb a rugó merevsége vagy annál kisebb a terhelés tömege, amit a tapasztalatok teljes mértékben alátámasztanak.

Egy matematikai ingára ​​a következő egyenlőségek érvényesek:

.

Ezt a képletet először a hollandok szerezték be és tesztelték Huygens tudós(Newton kortársa).

A lengés periódusa az inga hosszával nő, és nem függ a tömegétől.

Külön meg kell jegyezni, hogy a harmonikus rezgések szigorúan periodikusak (mivel engedelmeskednek a szinusz- vagy koszinusztörvénynek), és még egy matematikai inga esetében is, amely egy valós (fizikai) inga idealizálása, csak kis rezgési szögek mellett lehetséges. Ha az elhajlási szögek nagyok, akkor a terhelés elmozdulása nem lesz arányos az elhajlási szöggel (a szög szinuszával), és a gyorsulás sem lesz arányos az elmozdulással.

A szabad rezgéseket végző test sebessége és gyorsulása harmonikus rezgéseket is végrehajt. A ( x = xmcos ω 0t(vagy x = xmsin ω 0t)), megkapjuk a sebesség kifejezését:

v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

Ahol v m= ω 0 x m- sebesség amplitúdója.

Hasonlóképpen a gyorsulás kifejezése A megkülönböztetéssel kapjuk ( v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0t,

Ahol a m= ω 2 0x m- gyorsulási amplitúdó. Így a harmonikus rezgések sebességének amplitúdója arányos a frekvenciával, a gyorsulási amplitúdó pedig a rezgési frekvencia négyzetével.

HARMONIKUS OSZILLÁCIÓK
Azok az ingadozások, amelyekben a fizikai mennyiségek változása a koszinusz vagy szinusz törvény (harmonikus törvény) szerint történik, ún. harmonikus rezgések. Például mechanikai harmonikus rezgések esetén: Ezekben a képletekben ω az oszcillációs frekvencia, x m az oszcillációs amplitúdó, φ 0 és φ 0 ’ a rezgés kezdeti fázisai. A fenti képletek a kezdeti fázis definíciójában különböznek és φ 0 ’ = φ 0 + π/2 esetén teljesen egybeesnek.
Ez a periodikus rezgések legegyszerűbb formája. A függvény konkrét formája (szinusz vagy koszinusz) attól függ, hogy a rendszert hogyan hozzuk ki az egyensúlyból. Ha a kihúzás lökéssel történik (kinetikus energiát jelentenek), akkor t \u003d 0 esetén az elmozdulás x \u003d 0, ezért kényelmesebb a használata sin függvény, beállítás φ 0 ’=0; az egyensúlyi helyzettől való eltéréskor (a potenciális energiát jelentik) t \u003d 0, az elmozdulás x \u003d x m, ezért kényelmesebb használni cos funkcióés φ 0 =0.
A cos vagy sin jel alatti kifejezés, ún. oszcillációs fázis:. Az oszcilláció fázisát radiánban mérjük, és meghatározza az elmozdulás értékét (fluktuáló értéket) egy adott időpontban.
Az oszcillációs amplitúdó csak a kezdeti eltéréstől (az oszcilláló rendszer kezdeti energiájától) függ.
Sebesség és gyorsulás at harmonikus rezgések.
A sebesség definíciója szerint a sebesség a koordináta deriváltja az idő függvényében
Így azt látjuk, hogy a harmonikus rezgőmozgás során a sebesség is a harmonikus törvény szerint változik, de a sebességingadozások π/2-vel megelőzik a fázisbeli elmozdulási ingadozásokat.
Az érték az oszcilláló mozgás maximális sebessége (sebesség-ingadozások amplitúdója).
Ezért a harmonikus oszcilláció alatti sebességre: , és nulla kezdeti fázis esetén (lásd a grafikont).
A gyorsulás definíciója szerint a gyorsulás a sebesség deriváltja az idő függvényében: a koordináta második deriváltja az idő függvényében. Akkor: . A harmonikus rezgőmozgás során a gyorsulás is a harmonikus törvény szerint változik, de a gyorsulási rezgések π/2-vel megelőzik a sebességrezgéseket és π-vel az elmozdulásos rezgéseket (ezek szerint oszcillációk lépnek fel fázison kívül).
Érték - maximális gyorsulás (a gyorsulás ingadozásának amplitúdója). Ezért a gyorsításhoz a következőket kínáljuk: és nulla kezdeti fázis esetén: (lásd a grafikont).
Az oszcillációs mozgás folyamatának elemzéséből grafikonok és megfelelők matematikai kifejezések látható, hogy amikor a rezgő test átmegy az egyensúlyi helyzeten (az elmozdulás nulla), akkor a gyorsulás nulla, a test sebessége pedig maximális (a test tehetetlenséggel halad át az egyensúlyi helyzeten), és amikor a test amplitúdóértéke az elmozdulást elérjük, a sebesség nulla, a gyorsulás abszolút értékben maximális (a test mozgásirányt vált).
Hasonlítsuk össze a harmonikus rezgések elmozdulásának és gyorsulásának kifejezéseit: és .
Tudsz írni: - azaz az elmozdulás második deriváltja egyenesen arányos (ellentétes előjellel) az elmozdulással. Az ilyen egyenletet ún harmonikus rezgési egyenlet. Ez a függőség minden harmonikus rezgésre teljesül, függetlenül annak természetétől. Mivel konkrét oszcillációs rendszer paramétereit sehol nem használtuk, csak a ciklikus frekvencia függhet tőlük.
Gyakran célszerű az oszcillációk egyenleteit a következő formában írni: , ahol T az oszcillációs periódus. Ezután, ha az időt egy periódus töredékében fejezzük ki, a számítások egyszerűsödnek. Például, ha meg kell találni az eltolást a periódus 1/8-a után, akkor a következőt kapjuk: . Hasonlóan a sebességhez és a gyorsuláshoz.

Nem ritka, hogy egy rendszer egyidejűleg két vagy több független rezgésben vesz részt. Ezekben az esetekben komplex rezgőmozgás jön létre, amely rezgések egymásra helyezésével (összeadásával) jön létre. Nyilvánvalóan az oszcillációk összegzésének esetei nagyon sokfélék lehetnek. Nem csak a hozzáadott rezgések számától függenek, hanem az oszcillációs paraméterektől, azok frekvenciáitól, fázisaitól, amplitúdóitól, irányaitól. Nem lehet áttekinteni az oszcillációk összegzésének minden lehetséges változatát, ezért csak egyedi példákra szorítkozunk.
1. Rezgések hozzáadása egy irányba. Adjunk hozzá két azonos frekvenciájú, de eltérő fázisú és amplitúdójú rezgést.

(4.40)
Amikor az oszcillációk egymásra helyezkednek


Új A és j paramétereket vezetünk be az egyenletek szerint:

(4.42)
A (4.42) egyenletrendszer könnyen megoldható.

(4.43)

(4.44)
Így x-re végül megkapjuk az egyenletet

(4.45)
Tehát azonos frekvenciájú egyirányú rezgések összeadása eredményeként harmonikus (szinuszos) oszcillációt kapunk, melynek amplitúdóját és fázisát a (4.43) és (4.44) képlet határozza meg.
Tekintsünk olyan speciális eseteket, amikor két összegzett rezgés fázisainak aránya eltérő:


(4.46)
Adjuk most hozzá az azonos amplitúdójú, azonos fázisú, de eltérő frekvenciájú egyirányú rezgéseket.


(4.47)
Tekintsük azt az esetet, amikor a frekvenciák közel vannak egymáshoz, azaz w1~w2=w
Ekkor hozzávetőlegesen feltételezzük, hogy (w1+w2)/2= w, és (w2-w1)/2 kicsi. Az eredményül kapott oszcillációs egyenlet így fog kinézni:

(4.48)
Ennek grafikonja az ábrán látható. 4.5 Ezt az oszcillációt ütemnek nevezzük. W frekvenciával hajtják végre, de amplitúdója nagy periódussal ingadozik.

2. Két egymásra merőleges oszcilláció összeadása. Tegyük fel, hogy az egyik rezgést az x tengely mentén, a másikat az y tengely mentén hajtjuk végre. Az így létrejövő mozgás nyilvánvalóan az xy síkban helyezkedik el.
1. Tegyük fel, hogy a rezgési frekvenciák és fázisok azonosak, de az amplitúdók eltérőek.

(4.49)
Az eredményül kapott mozgás pályájának megtalálásához ki kell zárni az időt a (4.49) egyenletekből. Ehhez elég tagonként elosztani az egyik egyenletet a másikkal, aminek eredményeként azt kapjuk,

(4.50)
A (4.50) egyenlet azt mutatja, hogy ebben az esetben az oszcillációk összeadása egyenes vonal mentén oszcillációhoz vezet, amelynek lejtőszögének érintőjét az amplitúdók aránya határozza meg.
2. Legyen a hozzáadott rezgések fázisai /2-vel különböznek egymástól, és az egyenletek a következő alakúak:

(4.51)
Az eredményül kapott mozgás idő nélküli pályájának meghatározásához a (4.51) egyenleteket négyzetre kell emelni, először el kell osztani A1-el, illetve A2-vel, majd össze kell adni őket. A pályaegyenlet a következő formában lesz:

(4.52)
Ez az ellipszis egyenlete. Bizonyítható, hogy két azonos frekvenciájú, egymásra merőleges rezgés bármely kezdeti fázisa és tetszőleges amplitúdója esetén az eredő rezgés egy ellipszis mentén történik. Az iránya a hozzáadott rezgések fázisaitól és amplitúdóitól függ.
Ha a hozzáadott rezgések különböző frekvenciájúak, akkor a létrejövő mozgások pályái nagyon változatosak. Csak akkor kapunk zárt trajektóriákat, ha az x és y rezgési frekvenciái egymás többszörösei. Az ilyen mozgások az időszakosok számának tudhatók be. Ebben az esetben a mozgások pályáit Lissajous-figuráknak nevezzük. Tekintsük az egyik Lissajous-figurát, amelyet 1:2 frekvenciaarányú, azonos amplitúdójú és fázisú rezgések összeadásával kapunk a mozgás elején.

(4.53)
Az y tengely mentén a rezgések kétszer olyan gyakran fordulnak elő, mint az x tengely mentén. Az ilyen oszcillációk összeadása nyolcas alakzatú mozgáspályát eredményez (4.7. ábra).

8. Csillapított rezgések és paramétereik: csökkenés és rezgési együttható, relaxációs idő

)A csillapított oszcillációk periódusa:

T = (58)

Nál nél δ << ω o a rezgések nem különböznek a harmonikusoktól: T = 2π/ o.

2) A csillapított rezgések amplitúdója a (119) képlet fejezi ki.

3) csillapítás csökkentés, egyenlő két egymást követő rezgésamplitúdó arányával A(t) És A(t+T), jellemzi az amplitúdócsökkenés mértékét az adott periódusban:

= e d T (59)

4) Logaritmikus csillapítás csökkenése- két egymást követő oszcilláció amplitúdóinak arányának természetes logaritmusa, amelyek egy periódusban eltérő időpontoknak felelnek meg

q \u003d ln \u003d ln e d T \u003d dT(60)

A logaritmikus csillapítás csökkenése egy adott rezgőrendszer állandó értéke.

5) Pihenő idő időszaknak nevezzük ( t), amely során a csillapított rezgések amplitúdója e-szeresére csökken:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

A (60) és (61) kifejezések összehasonlításából a következőket kapjuk:

q= = , (62)

Ahol N e - a relaxációs idő alatt végzett oszcillációk száma.

Ha az idő alatt t készít a rendszer Ν akkor az ingadozások t = Ν . Τ és a csillapított rezgések egyenlete a következőképpen ábrázolható:

S \u003d A 0 e -d N T cos(w t+j)\u003d A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Az oszcillációs rendszer minőségi tényezője(K) a rendszerben a rezgési periódus alatti energiaveszteséget jellemző mennyiséget szokás nevezni:

Q= 2p , (63)

Ahol W a rendszer teljes energiája, ∆W az időszak alatt disszipált energia. Minél kevesebb a disszipált energia, annál nagyobb a rendszer minőségi tényezője. A számítások azt mutatják

Q = = pNe = = . (64)

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, a minőségi tényező fordítottan arányos a logaritmikus csillapítás csökkenésével. A (64) képletből az következik, hogy a minőségi tényező arányos a rezgések számával N e a relaxációs idő alatt a rendszer végzi.

7) Helyzeti energia rendszer a t időpontban potenciális energiával fejezhető ki W 0 a legnagyobb eltérésnél:

W = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

Általában feltételesen úgy tekintik, hogy a rezgések gyakorlatilag megszűntek, ha energiájuk 100-szorosára csökkent (az amplitúdó 10-szeresére csökkent). Innen egy kifejezést kaphat a rendszer által keltett oszcillációk számának kiszámításához:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Kényszerrezgések. Rezonancia. időszakos ingadozások. Önrezgések.

Ahhoz, hogy a rendszer csillapítatlan lengéseket tudjon végrehajtani, szükséges a kívülről érkező súrlódásból adódó rezgések energiaveszteségének pótlása. Annak biztosítására, hogy a rendszer rezgésének energiája ne csökkenjen, általában egy olyan erőt vezetnek be, amely periodikusan hat a rendszerre (ezt nevezzük kényszerítőés kényszerrezgések).

MEGHATÁROZÁS: kényszerű Olyan rezgéseknek nevezzük, amelyek egy oszcillációs rendszerben egy külső, periodikusan változó erő hatására lépnek fel.

Ez az erő általában kettős szerepet tölt be:

először is megrázza a rendszert, és bizonyos mennyiségű energiát ad neki;

másodszor, időszakonként pótolja az energiaveszteséget (energiafogyasztást), hogy leküzdje az ellenállási és súrlódási erőket.

Hagyja, hogy a hajtóerő idővel változzon a törvény szerint:

.

Állítsunk össze egy mozgásegyenletet egy ilyen erő hatására rezgő rendszerre. Feltételezzük, hogy a rendszerre hat a kvázi rugalmas erő és a közeg húzóereje is (ami kis rezgések feltételezése esetén érvényes). Ekkor a rendszer mozgásegyenlete így fog kinézni:

Vagy .

A rendszer oszcillációinak sajátfrekvenciájának , , – helyettesítésével egy nem homogén lineáris differenciálegyenletet kapunk 2 th rendelés:

A differenciálegyenletek elméletéből ismert, hogy egy inhomogén egyenlet általános megoldása egyenlő egy homogén egyenlet általános megoldásának és egy inhomogén egyenlet egyedi megoldásának összegével.

A homogén egyenlet általános megoldása ismert:

,

Ahol ; a 0 és a– önkényes konst.

.

Egy vektordiagram segítségével megbizonyosodhat arról, hogy ez a feltételezés igaz, és meghatározhatja a " a"És" j”.

Az oszcilláció amplitúdóját a következő kifejezés határozza meg:

.

jelentése " j”, amely a kényszerrezgés fáziskésleltetésének nagysága az azt okozó hajtóerőtől, szintén a vektordiagramból van meghatározva, és ez:

.

Végül az inhomogén egyenlet egy adott megoldása a következő formában lesz:

(8.18)

Ez a funkció a

(8.19)

általános megoldást ad egy inhomogén differenciálegyenletre, amely leírja a rendszer viselkedését kényszerrezgések hatására. A (8.19) kifejezés a folyamat kezdeti szakaszában, az ún. rezgések felállítása során játszik jelentős szerepet (8.10. ábra). Az idő múlásával az exponenciális tényező hatására a második tag (8.19) szerepe egyre inkább csökken, és kellő idő elteltével elhanyagolható, csak a (8.18) tagot tartva a megoldásban.

Így a (8.18) függvény az állandó, kényszerített rezgéseket írja le. Ezek olyan harmonikus rezgések, amelyek frekvenciája megegyezik a hajtóerő frekvenciájával. A kényszerrezgések amplitúdója arányos a hajtóerő amplitúdójával. Egy adott oszcillációs rendszernél (w 0 és b) az amplitúdó a hajtóerő frekvenciájától függ. Az erőltetett rezgések fázisban elmaradnak a hajtóerőtől, és a "j" késés mértéke a hajtóerő frekvenciájától is függ.

A kényszerrezgések amplitúdójának a hajtóerő frekvenciájától való függése oda vezet, hogy egy adott rendszerre meghatározott frekvencián az oszcillációs amplitúdó eléri a maximális értéket. Az oszcillációs rendszer ezen a frekvencián különösen érzékeny a hajtóerő hatására. Ezt a jelenséget az ún rezonancia, és a megfelelő frekvencia az rezonanciafrekvencia.

DEFINÍCIÓ: azt a jelenséget, amelyben az erőltetett rezgések amplitúdója meredeken emelkedik, ún. rezonancia.

A rezonanciafrekvencia a kényszerrezgések amplitúdójának maximális feltételéből kerül meghatározásra:

. (8.20)

Ezután ezt az értéket behelyettesítve az amplitúdó kifejezésébe, a következőt kapjuk:

. (8.21)

Közepes ellenállás hiányában a rezgések amplitúdója a rezonanciánál a végtelenbe fordulna; a rezonanciafrekvencia azonos feltételek mellett (b=0) egybeesik a természetes rezgési frekvenciával.

A kényszerrezgések amplitúdójának a hajtóerő frekvenciájától (vagy ami ugyanaz, a rezgés frekvenciájától) való függése grafikusan ábrázolható (8.11. ábra). Külön görbék felelnek meg a „b” különböző értékeinek. Minél kisebb a „b”, annál magasabban és jobbra van ennek a görbének a maximuma (lásd a w res. kifejezést). Nagyon nagy csillapítás esetén rezonancia nem figyelhető meg - a frekvencia növekedésével a kényszerrezgések amplitúdója monoton csökken (alsó görbe a 8.11. ábrán).

A b különböző értékeinek megfelelő bemutatott grafikonok halmazát nevezzük rezonancia görbék.

Megjegyzések a rezonancia görbékről:

a w®0 tendenciájának megfelelően minden görbe ugyanarra a nullától eltérő értékre jön, amely egyenlő . Ez az érték azt az elmozdulást jelenti az egyensúlyi helyzetből, amelyet a rendszer állandó erő hatására kap F 0 .

mivel w®¥ minden görbe aszimptotikusan nullára hajlik, mivel nagy frekvencián az erő olyan gyorsan változtatja irányát, hogy a rendszernek nincs ideje észrevehetően elmozdulni az egyensúlyi helyzetből.

minél kisebb b, annál erősebben változik a rezonancia közelében lévő amplitúdó a frekvenciával, annál "élesebb" a maximum.

A rezonancia jelensége gyakran hasznos, különösen az akusztikában és a rádiótechnikában.

Önrezgések- csillapítatlan rezgések egy disszipatív dinamikus rendszerben, nemlineáris visszacsatolással, amelyet az állandó energiája támogat, azaz nem időszakos külső hatás.

Az önrezgések különböznek a kényszerű rezgések mert az utóbbiak okozzák időszakos külső hatások, és ennek gyakoriságával fordulnak elő, míg az önrezgések előfordulását és gyakoriságát magának az önrezgő rendszernek a belső tulajdonságai határozzák meg.

Term önrezgések 1928-ban A. A. Andronov vezette be az orosz terminológiába.

Példák[

Példák az önrezgésekre:

· az óra inga csillapítatlan lengései az óraszerkezet súlyának állandó gravitációja miatt;

hegedűhúr rezgései az egyenletesen mozgó íj hatására

váltakozó áram előfordulása a multivibrátor áramkörökben és más elektronikus generátorokban állandó tápfeszültség mellett;

a légoszlop fluktuációja az orgona csövében, egyenletes levegőellátással. (lásd még állóhullám)

mágnesre felfüggesztett és csavart acéltengelyű sárgaréz óra fogaskerék forgási oszcillációi (Gamazkov kísérlete) (a kerék mozgási energiája, mint egy unipoláris generátornál, az elektromos tér potenciális energiájává alakul át, a az elektromos mező, mint egy unipoláris motornál, átalakul a kerék mozgási energiájává stb.)

Maklakov kalapács

Olyan kalapács, amely a váltakozó áram energiája miatt üt be, amelynek frekvenciája sokszor kisebb, mint az elektromos áramkörben folyó áram frekvenciája.

Az oszcillációs kör L tekercsét az asztal (vagy más ütni kell) fölé kell helyezni. Alulról egy vascső kerül bele, melynek alsó vége a kalapács ütköző része. A csőnek van egy függőleges nyílása a Foucault-áramok csökkentése érdekében. Az oszcillációs áramkör paraméterei olyanok, hogy rezgésének természetes frekvenciája egybeesik az áramkörben lévő áram frekvenciájával (például váltakozó városi áram, 50 hertz).

Az áram bekapcsolása és az oszcillációk létrejötte után az áramkör és a külső áramkör áramainak rezonanciája figyelhető meg, és a vascsövet behúzzák a tekercsbe. A tekercs induktivitása növekszik, az oszcillációs áramkör kimegy a rezonanciából, és a tekercsben az áramingadozások amplitúdója csökken. Ezért a cső a gravitáció hatására visszatér eredeti helyzetébe - a tekercsen kívül. Ezután az áramkörön belüli áramingadozások növekedni kezdenek, és újra beindul a rezonancia: a csövet ismét behúzzák a tekercsbe.

cső vállalja önrezgések, vagyis periodikus fel-le mozdulatokat, és egyben hangosan kopogtat az asztalon, akár egy kalapács. Ezeknek a mechanikai önrezgéseknek a periódusa tízszer nagyobb, mint az őket támogató váltóáram periódusa.

A kalapács M. I. Maklakovról, a Moszkvai Fizikai és Technológiai Intézet előadóasszisztenséről kapta a nevét, aki egy ilyen kísérletet javasolt és végzett az önrezgések demonstrálására.

Az önrezgések mechanizmusa

1. ábra. Az önrezgések mechanizmusa

Az önrezgések eltérő természetűek lehetnek: mechanikai, termikus, elektromágneses, kémiai. Az önrezgések előfordulásának és fenntartásának mechanizmusa a különböző rendszerekben a fizika vagy a kémia különböző törvényein alapulhat. A különböző rendszerek önrezgésének pontos kvantitatív leírásához különböző matematikai apparátusra lehet szükség. Ennek ellenére elképzelhető egy olyan séma, amely minden önoszcilláló rendszerben közös, és minőségileg leírja ezt a mechanizmust (1. ábra).

A diagramon: S- állandó (nem időszakos) hatás forrása; R- egy nemlineáris vezérlő, amely az állandó hatást változóvá alakítja (például időben szaggatottá), amely „leng” oszcillátor V- a rendszer oszcilláló eleme (elemei), és az oszcillátor rezgései visszacsatoláson keresztül B szabályozza a szabályozó működését R, beállítás fázisÉs frekvencia tetteit. A disszipációt (energia disszipációt) egy önoszcilláló rendszerben az állandó hatásforrásból bejutó energia kompenzálja, melynek köszönhetően az önrezgések nem csillapodnak.

Rizs. 2 Az ingaóra racsnis mechanizmusának vázlata

Ha a rendszer egy oszcilláló eleme képes a saját csillapított rezgések(úgynevezett. harmonikus disszipatív oszcillátor), az önrezgések (az időszak alatt egyenlő disszipációval és a rendszerbe történő energiabevitellel) közeli frekvencián jönnek létre. rezonáns ennél az oszcillátornál az alakjuk közel harmonikussá válik, és az amplitúdó egy bizonyos értéktartományban minél nagyobb, annál nagyobb az állandó külső hatás.

Egy ilyen rendszerre példa egy ingaóra racsnis mechanizmusa, melynek diagramja az 1. ábrán látható. 2. A racsnis kerék tengelyén A(amely ebben a rendszerben egy nemlineáris vezérlő funkcióját látja el) állandó erőnyomaték van M a fogaskereken keresztül a főrugótól vagy a súlytól továbbítódik. Amikor a kerék forog A fogai rövid távú erőimpulzusokat adnak az ingának P(oszcillátor), melynek köszönhetően rezgései nem fakulnak el. A mechanizmus kinematikája a visszacsatolás szerepét tölti be a rendszerben, szinkronizálva a kerék forgását az inga lengéseivel oly módon, hogy a lengés teljes időtartama alatt a kerék egy fognak megfelelő szögben elfordul.

A harmonikus oszcillátort nem tartalmazó önoszcilláló rendszereket nevezzük kikapcsolódás. A bennük lévő rezgések nagyon eltérhetnek a harmonikusoktól, és téglalap, háromszög vagy trapéz alakúak lehetnek. A relaxációs önrezgések amplitúdóját és periódusát az állandó hatás nagyságának és a rendszer tehetetlenségének és disszipációjának az aránya határozza meg.

Rizs. 3 Elektromos csengő

A relaxációs önrezgések legegyszerűbb példája egy elektromos csengő működése, amely az ábrán látható. 3. Az állandó (nem periodikus) expozíció forrása itt egy elektromos akkumulátor U; a nemlineáris vezérlő szerepét egy chopper látja el T, az elektromos áramkör zárása és kinyitása, aminek következtében szakaszos áram keletkezik benne; Az oszcilláló elemek az elektromágnes magjában periodikusan indukált mágneses tér E, és horgony A váltakozó mágneses tér hatására mozog. Az armatúra rezgései működtetik a choppert, amely a visszacsatolást képezi.

Ennek a rendszernek a tehetetlenségét két különböző fizikai mennyiség határozza meg: az armatúra tehetetlenségi nyomatéka Aés az elektromágnes tekercs induktivitása E. Ezen paraméterek bármelyikének növekedése az önrezgések időtartamának növekedéséhez vezet.

Ha több olyan elem is van a rendszerben, amelyek egymástól függetlenül oszcillálnak, és egyidejűleg hatnak egy nemlineáris vezérlőre vagy vezérlőkre (amiből több is lehet), akkor az önoszcillációk összetettebb jelleget ölthetnek, pl. időszakos, vagy dinamikus káosz.

A természetben és a technikában

Az önrezgések számos természeti jelenség hátterében állnak:

a növényi levelek ingadozása egyenletes légáramlás hatására;

· turbulens áramlások kialakulása folyók zúgóin és zúgóin;

A szabályos gejzírek akciója stb.

Számos különféle műszaki eszköz és eszköz működési elve az önrezgéseken alapul, beleértve:

mindenféle óra megmunkálása, mind mechanikus, mind elektromos;

· minden fúvós és vonós hangszer megszólaltatása;

©2015-2019 oldal
Minden jog a szerzőket illeti. Ez az oldal nem igényel szerzői jogot, de ingyenesen használható.
Az oldal létrehozásának dátuma: 2017-04-04

A harmonikus rezgés valamely mennyiség periodikus változásának jelensége, amelyben az argumentumtól való függés szinusz- vagy koszinuszfüggvény jellegű. Például egy mennyiség, amely az alábbiak szerint változik, harmonikusan ingadozik:

ahol x a változó mennyiség értéke, t az idő, a fennmaradó paraméterek állandóak: A a rezgések amplitúdója, ω a rezgések ciklikus frekvenciája, a rezgések teljes fázisa, az oszcilláció kezdeti fázisa az oszcillációkat.

Általánosított harmonikus rezgés differenciális formában

(Ennek a differenciálegyenletnek bármely nem triviális megoldása ciklikus frekvenciájú harmonikus rezgés)

A rezgések fajtái

A szabad rezgések a rendszer belső erőinek hatására jönnek létre, miután a rendszer kikerült az egyensúlyi helyzetből. Ahhoz, hogy a szabad rezgések harmonikusak legyenek, szükséges, hogy az oszcillációs rendszer lineáris legyen (lineáris mozgásegyenletekkel írja le), és ne legyen benne energiadisszipáció (ez utóbbi csillapítást okozna).

A kényszerrezgések külső periodikus erő hatására jönnek létre. Ahhoz, hogy harmonikusak legyenek, elegendő, ha az oszcillációs rendszer lineáris (lineáris mozgásegyenletekkel írható le), és maga a külső erő is idővel harmonikus rezgésként változik (azaz ennek az erőnek az időfüggése szinuszos) .

Harmonikus rezgésegyenlet

(1) egyenlet

megadja az S ingadozó érték t időtől való függését; ez a szabad harmonikus rezgések egyenlete explicit formában. Az oszcillációk egyenlete azonban általában ennek az egyenletnek egy másik, differenciális rekordját jelenti. A határozottság kedvéért az (1) egyenletet az alakba vesszük

Kétszer különböztesse meg az idő függvényében:

Látható, hogy a következő összefüggés áll fenn:

amelyet a szabad harmonikus rezgések egyenletének neveznek (differenciális formában). Az (1) egyenlet a (2) differenciálegyenlet megoldása. Mivel a (2) egyenlet egy másodrendű differenciálegyenlet, két kezdeti feltétel szükséges a teljes megoldáshoz (vagyis az (1) egyenletben szereplő A és   állandók meghatározásához; például egy oszcillációs rendszer helyzete és sebessége t = 0-nál.

A matematikai inga egy oszcillátor, amely egy olyan anyagi pontból álló mechanikai rendszer, amely egy súlytalan, nyújthatatlan szálon vagy egy súlytalan rúdon helyezkedik el egyenletes gravitációs erőtérben. Egy l hosszúságú, egyenletes gravitációs térben mozdulatlanul felfüggesztett matematikai inga kis saját rezgéseinek periódusa g szabadesési gyorsulással egyenlő

és nem függ az inga amplitúdójától és tömegétől.

A fizikai inga egy oszcillátor, amely egy merev test, amely bármely erő mezejében olyan pont körül rezeg, amely nem ennek a testnek a tömegközéppontja, vagy egy rögzített tengely körül, amely merőleges az erők irányára, és nem halad át a testen. ennek a testnek a tömegközéppontja.

Külső, periodikusan változó erők hatására fellépő rezgések (időszakos energiaellátás kívülről az oszcillációs rendszerbe)

Energia átalakulás

Rugós inga

A ciklikus frekvencia és az oszcillációs periódus rendre:

Tökéletesen rugalmas rugóra erősített anyagpont

Ø rugóinga potenciális és mozgási energiájának ábrázolása az x koordinátán.

Ø a kinetikus és potenciális energia időfüggésének kvalitatív grafikonjai.

Ø Kényszerű

Ø A kényszerrezgések gyakorisága megegyezik a külső erő változásainak gyakoriságával

Ø Ha az Fbc a szinusz vagy koszinusz törvény szerint változik, akkor az erőltetett rezgések harmonikusak lesznek

Ø Önrezgések esetén az oszcillációs rendszeren belül saját forrásból periodikus energiaellátás szükséges

A harmonikus rezgések olyan rezgések, amelyekben az oszcilláció értéke idővel változik a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint

a harmonikus rezgések (a pontok mozgásának törvényei) egyenletek alakja

Harmonikus rezgések olyan oszcillációkat nevezünk, amelyekben az oszcillációs érték a törvény szerint idővel változiksinus vagykoszinusz .
Harmonikus rezgésegyenlet úgy néz ki, mint a:

,
hol egy - oszcillációs amplitúdó (a rendszer egyensúlyi helyzettől való legnagyobb eltérésének értéke); -körkörös (ciklikus) frekvencia. Időnként változó koszinusz argumentum - ún oszcillációs fázis . Az oszcillációs fázis határozza meg a rezgő mennyiség elmozdulását az egyensúlyi helyzetből egy adott t időpontban. A φ konstans a fázis értéke t = 0 időpontban, és ún az oszcilláció kezdeti fázisa . A kezdeti fázis értékét a referenciapont megválasztása határozza meg. Az x érték -A és +A közötti értékeket vehet fel.
A T időintervallum, amely után az oszcillációs rendszer bizonyos állapotai ismétlődnek, az oszcilláció periódusának nevezzük . A koszinusz 2π periódusú periodikus függvény, ezért egy T időtartamon keresztül, amely után a rezgési fázis 2π-vel egyenlő növekményt kap, a harmonikus rezgéseket végző rendszer állapota megismétlődik. Ezt a T időtartamot harmonikus rezgések periódusának nevezzük.
A harmonikus rezgések periódusa az : T = 2π/.
Az egységnyi idő alatti rezgések számát ún oszcillációs frekvencia ν.
A harmonikus rezgések frekvenciája egyenlő: ν = 1/T. Frekvencia mértékegysége hertz(Hz) - egy oszcilláció másodpercenként.
A körfrekvencia = 2π/T = 2πν megadja a rezgések számát 2π másodpercben.

Általánosított harmonikus rezgés differenciális formában

Grafikusan a harmonikus rezgések ábrázolhatók x t-től való függéseként (1.1.A ábra), és forgó amplitúdó módszer (vektordiagram módszer)(1.1.B ábra) .

A forgó amplitúdós módszer lehetővé teszi a harmonikus rezgések egyenletében szereplő összes paraméter megjelenítését. Valóban, ha az amplitúdóvektor A az x tengellyel φ szöget zár be (lásd 1.1. B ábra), akkor a vetülete az x tengelyre egyenlő lesz: x = Acos(φ). A φ szög a kezdeti fázis. Ha a vektor A a rezgések körfrekvenciájával megegyező szögsebességgel forog, akkor a vektor végének vetülete az x tengely mentén elmozdul és -A-tól +A-ig terjedő értékeket vesz fel, és ennek a vetületnek a koordinátáját törvény szerint idővel változni fog:
.
Így a vektor hossza megegyezik a harmonikus rezgés amplitúdójával, a vektor iránya a kezdeti pillanatban az x tengellyel szöget zár be, amely megegyezik a φ rezgés kezdeti fázisával, és az irányváltozás Az idővel bezárt szög egyenlő a harmonikus rezgések fázisával. Az az idő, ameddig az amplitúdóvektor egy teljes fordulatot tesz, megegyezik a harmonikus rezgések T periódusával. A vektor másodpercenkénti fordulatszáma megegyezik a ν rezgési frekvenciával.

>> Harmonikus rezgések

22. § HARMONIKUS OSZILLÁCIÓK

Tudva, hogy egy rezgő test gyorsulása és koordinátája hogyan függ össze, matematikai elemzés alapján meg lehet határozni a koordináta időfüggőségét.

A gyorsulás a koordináta második deriváltja az idő függvényében. Azonnali sebesség a pont, amint azt a matematika tantárgyból tudja, a pont koordinátájának deriváltja az idő függvényében. Egy pont gyorsulása a sebességének időhöz viszonyított deriváltja, vagy a koordinátának az időhöz viszonyított második deriváltja. Ezért a (3.4) egyenlet a következőképpen írható fel:

ahol x " a koordináta második deriváltja az idő függvényében. A (3.11) egyenlet szerint a szabad rezgések során az x koordináta idővel úgy változik, hogy a koordináta időbeli második deriváltja magával a koordinátával egyenesen arányos és ellentétes előjelű vele.

A matematika kurzusából ismert, hogy a szinusz és a koszinusz második deriváltjai az argumentummal arányosak magukkal az ellenkező előjellel vett függvényekkel. BAN BEN matematikai elemzés bebizonyosodott, hogy más függvények nem rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. Mindez alapos okkal állítja, hogy a szabad rezgéseket végző test koordinátája idővel a szinusz vagy pasine törvénye szerint változik. A 3.6. ábra egy pont koordinátájának időbeli változását mutatja a koszinusztörvény szerint.

Időszakos változások fizikai mennyiség az időtől függően, a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint fellépő, harmonikus rezgéseknek nevezzük.

Oszcillációs amplitúdó. A harmonikus rezgések amplitúdója a test egyensúlyi helyzetből való legnagyobb elmozdulásának modulja.

Az amplitúdó lehet különféle jelentések attól függően, hogy a kezdeti pillanatban mennyire mozdítjuk ki a testet az egyensúlyi helyzetből, vagy milyen sebességgel számolunk a testnek. Az amplitúdót a kezdeti feltételek, vagy inkább a testnek adott energia határozza meg. De a szinuszmodul és a koszinuszmodul maximális értéke eggyel egyenlő. Ezért a (3.11) egyenlet megoldása nem fejezhető ki egyszerűen szinuszos vagy koszinuszos. Az x m rezgési amplitúdó szinuszos vagy koszinuszos szorzatának alakja legyen.

A szabad rezgéseket leíró egyenlet megoldása. A (3.11) egyenlet megoldását a következő formában írjuk fel:

és a második származék a következő lesz:

Megkaptuk a (3.11) egyenletet. Ezért a (3.12) függvény az eredeti (3.11) egyenlet megoldása. Ennek az egyenletnek a megoldása is a függvény lesz

A (3.14) szerint a test koordinátájának időfüggőségének grafikonja koszinuszhullám (lásd 3.6. ábra).

A harmonikus rezgések periódusa és gyakorisága. A rezgések során a testmozgások időszakosan ismétlődnek. Azt a T időtartamot, amely alatt a rendszer egy teljes rezgésciklust teljesít, rezgésperiódusnak nevezzük.

A periódus ismeretében meghatározhatja az oszcillációk gyakoriságát, azaz az időegységenkénti rezgések számát, például másodpercenként. Ha egy rezgés következik be a T időben, akkor a másodpercenkénti oszcillációk száma

A Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) a rezgések gyakorisága eggyel egyenlő, ha másodpercenként egy oszcilláció történik. A frekvencia mértékegységét G. Hertz német fizikus tiszteletére hertznek (rövidítve: Hz) nevezik.

Az oszcillációk száma 2 s alatt:

Érték - ciklikus vagy körkörös rezgések frekvenciája. Ha a (3.14) egyenletben a t idő egyenlő egy periódussal, akkor T = 2. Így, ha a t időpontban \u003d 0 x \u003d x m, akkor t időpontban \u003d T x \u003d x m, azaz egy periódusnak megfelelő időtartam, a rezgések megismétlődnek.

A szabad rezgések frekvenciáját az oszcillációs rendszer 1 sajátfrekvenciájával határozzuk meg.

A szabad rezgések gyakoriságának és periódusának függősége a rendszer tulajdonságaitól. Egy rugóra kapcsolt test rezgésének természetes frekvenciája a (3.13) egyenlet szerint egyenlő:

Minél nagyobb, minél nagyobb a k rugó merevsége, és minél kisebb, annál nagyobb az m testtömeg. Ez könnyen érthető: a merev rugó nagyobb gyorsulást ad a testnek, gyorsabban változtatja a test sebességét. És minél masszívabb a test, annál lassabban változtatja a sebességet az erő hatására. Az oszcillációs periódus a következő:

Különböző merevségű rugókészlettel és különböző tömegű testekkel, tapasztalatból könnyen igazolható, hogy a (3.13) és (3.18) képletek helyesen írják le u T k-tól és m-től való függésének természetét.

Figyelemre méltó, hogy a test rugón való rezgési periódusa és az inga kis elhajlási szögű lengési periódusa nem függ a lengési amplitúdótól.

Az inga lengéseit leíró (3.10) egyenletben a t gyorsulás és az x elmozdulás közötti arányossági együttható modulja a (3.11) egyenlethez hasonlóan a ciklikus frekvencia négyzete. Következésképpen a matematikai inga lengéseinek természetes frekvenciája a szál függőlegestől való kis eltérési szögeinél az inga hosszától és a szabadesési gyorsulástól függ:

Ezt a képletet először G. Huygens holland tudós szerezte meg és tesztelte, I. Newton kortársa. Csak a menet kis elhajlási szögeire érvényes.

1 A következőkben a rövidség kedvéért gyakran a ciklikus frekvenciát egyszerűen frekvenciának nevezzük. A ciklikus frekvenciát jelöléssel lehet megkülönböztetni a szokásos frekvenciától.

A lengés periódusa az inga hosszával növekszik. Nem függ az inga tömegétől. Ez könnyen ellenőrizhető különféle ingákkal végzett kísérletekkel. Megtalálható az oszcillációs periódus függése a szabadesési gyorsulástól is. Minél kisebb g, annál hosszabb az inga lengési periódusa, következésképpen annál lassabban jár az inga óra. Így egy rúdon lévő súly formájában ingával ellátott óra majdnem 3 másodperccel lemarad egy nap alatt, ha felemelik a pincéből a Moszkvai Egyetem felső szintjére (magasság 200 m). És ez csak a szabadesés gyorsulásának a magassággal való csökkenésének köszönhető.

Az inga lengési periódusának g értékétől való függését a gyakorlatban alkalmazzák. Az oszcilláció periódusának mérésével g nagyon pontosan meghatározható. A gravitáció okozta gyorsulás a földrajzi szélesség függvényében változik. De még egy adott szélességi körön sem mindenhol egyforma. Végül is a sűrűség földkéreg nem mindenhol ugyanaz. Azokon a területeken, ahol sűrű kőzetek fordulnak elő, a g gyorsulás valamivel nagyobb. Ezt figyelembe veszik az ásványok felkutatása során.

Így a vasérc sűrűsége megnövekedett a hagyományos kőzetekhez képest. A Kurszk melletti gravitációs gyorsulás mérései, amelyeket A. A. Mikhailov akadémikus irányításával végeztek, lehetővé tették a vasérc helyének tisztázását. Először mágneses mérésekkel fedezték fel őket.

A mechanikai rezgések tulajdonságait a legtöbb elektronikus mérleg eszközei alkalmazzák. A lemérendő testet egy platformra helyezik, amely alá merev rugót szerelnek fel. Ennek eredményeként vannak mechanikai rezgések, melynek frekvenciáját a megfelelő érzékelő méri. Az ehhez az érzékelőhöz csatlakoztatott mikroprocesszor az oszcillációs frekvenciát lefordítja a lemért test tömegére, mivel ez a frekvencia a tömegtől függ.

A kapott (3.18) és (3.20) képletek az oszcillációs periódusra azt jelzik, hogy a harmonikus rezgések periódusa a rendszer paramétereitől (rugó merevség, menethossz stb.) függ.

Myakishev G. Ya., fizika. 11. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények: alap és profil. szintek / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; szerk. V. I. Nikolaev, N. A. Parfenteva. - 17. kiadás, átdolgozva. és további - M.: Oktatás, 2008. - 399 p.: ill.

A témák teljes listája osztályonként, naptári terv a fizika iskolai tantervének megfelelően online, fizika videóanyag letöltése a 11. osztály számára

Az óra tartalma óra összefoglalója támogatási keret óra bemutató gyorsító módszerek interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önvizsgálat műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések a tanulóktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek grafika, táblázatok, sémák humor, anekdoták, viccek, képregények példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek chipek érdeklődő csaló lapok tankönyvek alapvető és kiegészítő kifejezések szószedete egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben az innováció elemei a leckében az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári tervet az évre iránymutatásokat vitaprogramok Integrált leckék