Նախքան մանրամասն նկարագրենք բնական թվերը մնացորդով բաժանելու ալգորիթմի բոլոր քայլերը, մենք կպատասխանենք երեք հարցի. ի՞նչ գիտենք ի սկզբանե, ի՞նչ պետք է գտնենք և ի՞նչ նկատառումների հիման վրա կանենք դա։ Սկզբում մենք գիտենք a շահաբաժինն ու b բաժանարարը: Մենք պետք է գտնենք թերի c քանորդը և մնացորդը d: a=b c+d հավասարությունը սահմանում է դիվիդենտի, բաժանարարի, մասնակի քանորդի և մնացորդի հարաբերությունը: Գրավոր հավասարությունից բխում է, որ եթե a շահաբաժինը ներկայացնենք որպես b c + d գումար, որում d-ն փոքր է b-ից (քանի որ մնացորդը միշտ փոքր է բաժանարարից), ապա կտեսնենք և՛ c թերի գործակիցը, և՛ մնացորդը դ.

Մնում է միայն պարզել, թե ինչպես կարելի է ներկայացնել a շահաբաժինը որպես b c + d գումար: Դա անելու ալգորիթմը շատ նման է բնական թվերն առանց մնացորդի բաժանելու ալգորիթմին։ Մենք կնկարագրենք բոլոր քայլերը, և միևնույն ժամանակ կիրականացնենք օրինակի լուծումը ավելի հստակության համար։ 899-ը բաժանեք 47-ի։

Ալգորիթմի առաջին հինգ կետերը թույլ կտան դիվիդենտը ներկայացնել որպես մի քանի անդամների գումար: Հարկ է նշել, որ այս կետերից գործողությունները ցիկլային կերպով կրկնվում են նորից ու նորից, մինչև հայտնաբերվեն բոլոր այն պայմանները, որոնք գումարում են շահաբաժինը: Վերջնական վեցերորդ պարբերությունում ստացված գումարը վերածվում է b c + d ձևի (եթե ստացված գումարն արդեն չունի այս ձևը), որից տեսանելի են դառնում ցանկալի թերի գործակիցը և մնացորդը։

Այսպիսով, մենք անցնում ենք 899 դիվիդենտի ներկայացմանը որպես մի քանի ժամկետների գումար:

Նախ, մենք հաշվարկում ենք, թե որքանով է դիվիդենտի մուտքագրման նիշերի թիվը ավելի մեծ, քան բաժանարար մուտքագրման նիշերի թիվը, և հիշեք այս թիվը:

Մեր օրինակում շահաբաժնի գրանցման մեջ կա 3 նիշ (899 - եռանիշ թիվ), իսկ բաժանարարի գրառումում՝ երկու նիշ (47 - երկնիշ թիվ), հետևաբար շահաբաժնի հաշվառման մեջ կա ևս մեկ նշան, և մենք հիշում ենք 1 թիվը։

Այժմ, աջ կողմում գտնվող բաժանարար մուտքագրում, մենք ավելացնում ենք 0 թվերը նախորդ պարբերությունում ստացված թվով որոշված ​​քանակով: Ընդ որում, եթե գրված թիվը մեծ է դիվիդենտից, ապա նախորդ պարբերությունում մտապահված թվից հանեք 1։

Վերադառնանք մեր օրինակին։ 47 բաժանարարի գրառումում աջ 0-ին ավելացնում ենք մեկ թվանշան և ստանում ենք 470 թիվը։ 470 թվականից<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

Դրանից հետո աջ կողմում գտնվող 1 թվին վերագրում ենք 0 թվերը նախորդ պարբերությունում մտապահված թվով որոշված ​​քանակով։ Այս դեպքում մենք ստանում ենք արտանետման միավոր, որի հետ մենք կաշխատենք հետագա:

Մեր օրինակում 1 թվին 1-ին վերագրում ենք 0 թիվը, այս դեպքում ստանում ենք 10 թիվը, այսինքն՝ կաշխատենք տասնյակների թվանշանով։

Այժմ բաժանարարը հաջորդաբար բազմապատկում ենք աշխատանքային թվանշանի 1, 2, 3, ... միավորներով, մինչև ստացվի բաժանելիից մեծ կամ հավասար թիվ։

Մենք պարզեցինք, որ մեր օրինակում աշխատանքային թվանշանը տասնյակների թվանշանն է։ Հետևաբար, մենք նախ բազմապատկում ենք բաժանարարը տասնյակների տեղի մեկ միավորով, այսինքն, մենք 47-ը բազմապատկում ենք 10-ով, ստանում ենք 47 10 \u003d 470: Ստացված 470 թիվը փոքր է 899 դիվիդենտից, ուստի մենք անցնում ենք բաժանարարը բազմապատկել տասնյակ թվանշանի երկու միավորով, այսինքն՝ 47-ը բազմապատկել ենք 20-ով։ Մենք ունենք 47 20=940: Մենք ստացանք թիվ, որը մեծ է 899-ից:

Հաջորդական բազմապատկման նախավերջին քայլում ստացված թիվը պահանջվող անդամներից առաջինն է։

Վերլուծվող օրինակում ցանկալի տերմինը 470 թիվն է (այս թիվը հավասար է 47 100 արտադրյալին, այս հավասարությունը կօգտագործենք ավելի ուշ):

Դրանից հետո մենք գտնում ենք շահաբաժնի և հայտնաբերված առաջին ժամկետի տարբերությունը: Եթե ​​ստացված թիվը մեծ է բաժանարարից, ապա շարունակեք գտնել երկրորդ անդամը: Դա անելու համար մենք կրկնում ենք ալգորիթմի բոլոր նկարագրված քայլերը, բայց այստեղ ստացված թիվը արդեն ընդունում ենք որպես շահաբաժին։ Եթե ​​այս պահին կրկին ստացվում է բաժանարարից մեծ թիվ, ապա մենք անցնում ենք գտնելու երրորդ անդամը՝ ևս մեկ անգամ կրկնելով ալգորիթմի քայլերը՝ որպես դիվիդենտ վերցնելով ստացված թիվը։ Եվ այսպես, մենք շարունակում ենք հետագա՝ գտնելով չորրորդ, հինգերորդ և հաջորդ անդամները, մինչև որ այս պահին ստացված թիվը պակասի բաժանարարից: Հենց դա եղավ, այստեղ ստացված թիվը վերցնում ենք որպես վերջին պահանջվող ժամկետ (առաջ նայելով, ասենք, որ այն հավասար է մնացորդին), և անցնում վերջնական փուլ։

Վերադառնանք մեր օրինակին։ Այս քայլում մենք ունենք 899−470=429: Քանի որ 429>47 , մենք վերցնում ենք այս թիվը որպես դիվիդենտ և կրկնում ենք ալգորիթմի բոլոր քայլերը դրանով։

429 թվի մուտքագրում մեկ նշան ավելի է, քան 47 թվի մուտքագրում, ուստի հիշեք 1 թիվը։

Այժմ, աջ կողմում գտնվող դիվիդենտի գրանցման մեջ ավելացնում ենք մեկ նիշ 0, ստանում ենք 470 թիվը, որը. ավելի շատ համար 429 . Հետեւաբար, նախորդ պարբերությունում անգիր արված 1 թվից հանում ենք 1, ստանում ենք 0 թիվը, որը հիշում ենք։

Քանի որ նախորդ պարբերությունում մենք հիշեցինք 0 թիվը, այնուհետև 1 թվին պետք չէ աջ նիշ նշանակել 0: Այս դեպքում մենք ունենք 1 թիվը, այսինքն՝ աշխատանքային թվանշանը միավորների թվանշանն է։

Այժմ մենք հաջորդաբար բազմապատկում ենք 47 բաժանարարը 1-ով, 2-ով, 3-ով, ... Սրա վրա մանրամասն չենք կանգնի: Միայն ասենք, որ 47 9=423<429 , а 47·10=470>429 . Երկրորդ պահանջվող տերմինը 423 թիվն է (որը հավասար է 47 9-ի, որը մենք կօգտագործենք հետագա):

429-ի և 423-ի տարբերությունը 6 է: Այս թիվը փոքր է 47 բաժանարարից, ուստի այն երրորդ (և վերջին) անդամն է, որը մենք փնտրում ենք: Այժմ մենք կարող ենք անցնել վերջնական քայլին:

Դե, ահա մենք գալիս ենք եզրափակիչ փուլ։ Նախորդ բոլոր գործողություններն ուղղված էին շահաբաժինները որպես մի քանի ժամկետների հանրագումար ներկայացնելուն։ Այժմ մնում է ստացված գումարը վերածել b·c+d ձևի: Գումարի նկատմամբ բազմապատկման բաշխիչ հատկությունը կօգնի մեզ հաղթահարել այս խնդիրը: Դրանից հետո ցանկալի թերի գործակիցը և մնացածը տեսանելի կդառնան։

Մեր օրինակում 899 դիվիդենտը հավասար է 470, 423 և 6 երեք անդամների գումարին։ 470+423+6 գումարը կարելի է վերաշարադրել որպես 47 10+47 9+6 (հիշենք, ուշադրություն դարձրինք 470=47 10 և 423=47 9 հավասարություններին): Այժմ կիրառում ենք բնական թիվը գումարով բազմապատկելու հատկությունը և ստանում ենք 47 10+47 9+6= 47 (10+9)+6= 47 19+6 ։ Այսպիսով, դիվիդենտը փոխարկվել է մեզ անհրաժեշտ 899=47 19+6 ձևի, որից հեշտ է գտնել 19-ի թերի գործակիցը և մնացորդը՝ 6-ը։

Այսպիսով, 899:47=19 (մեկ. 6) .

Իհարկե, օրինակներ լուծելիս այդքան մանրամասն չեք նկարագրի մնացորդով բաժանման գործընթացը։

Դիտարկենք մի պարզ օրինակ.
15:5=3
Այս օրինակում բնական թիվը բաժանեցինք 15 ամբողջությամբ 3, մնացորդ չկա:

Երբեմն բնական թիվը չի կարելի ամբողջությամբ բաժանել։ Օրինակ, հաշվի առեք խնդիրը.
Պահարանում կար 16 խաղալիք։ Խմբում հինգ երեխա կար։ Յուրաքանչյուր երեխա վերցրեց նույն թվով խաղալիքներ: Քանի՞ խաղալիք ունի յուրաքանչյուր երեխա:

Լուծում:
16 թիվը սյունակի վրա բաժանեք 5-ի և ստացեք.

Մենք գիտենք, որ 16 անգամ 5-ը չի բաժանվում: Մոտակա փոքր թիվը, որը բաժանվում է 5-ի, 15-ն է՝ 1-ի մնացորդով։ 15 թիվը կարող ենք գրել 5⋅3։ Արդյունքում (16 - շահաբաժին, 5 - բաժանարար, 3 - մասնակի քանորդ, 1 - մնացորդ): Ստացել է բանաձեւը բաժանում մնացորդովորը կարելի է անել լուծման ստուգում.

ա= բ⋅ գ+ դ
ա - բաժանելի
բ - բաժանարար,
գ - թերի գործակից,
դ - մնացորդը.

Պատասխան. Յուրաքանչյուր երեխա կվերցնի 3 խաղալիք և կմնա մեկ խաղալիք:

Բաժանման մնացորդը

Մնացորդը միշտ պետք է փոքր լինի բաժանարարից:

Եթե ​​բաժանելիս մնացորդը զրո է, ապա դիվիդենտը բաժանելի է։ ամբողջությամբկամ ոչ մի մնացորդ մեկ բաժանարարի համար:

Եթե ​​բաժանելիս մնացորդը մեծ է բաժանարարից, դա նշանակում է, որ հայտնաբերված թիվը ամենամեծը չէ։ Կա ավելի մեծ թիվ, որը կբաժանի դիվիդենտը, իսկ մնացորդը պակաս կլինի բաժանարարից:

Հարցեր «Բաժանում մնացորդով» թեմայով.
Կարո՞ղ է մնացորդը մեծ լինել բաժանարարից:
Պատասխան՝ ոչ։

Կարո՞ղ է մնացորդը հավասար լինել բաժանարարին:
Պատասխան՝ ոչ։

Ինչպե՞ս գտնել դիվիդենտը ոչ լրիվ քանորդի, բաժանարարի և մնացորդի վրա:
Պատասխան՝ թերի քանորդի, բաժանարարի և մնացորդի արժեքները փոխարինում ենք բանաձևի մեջ և գտնում դիվիդենտը։ Բանաձև:
a=b⋅c+d

Օրինակ #1:
Կատարեք բաժանումը մնացորդով և ստուգեք՝ ա) 258:7 բ) 1873:8.

Լուծում:
ա) Սյունակի մեջ բաժանել.

258 - բաժանելի,
7 - բաժանարար,
36 - ոչ լրիվ գործակից,
6 - մնացորդ: Մնացորդը 6-ից փոքր է<7.

7⋅36+6=252+6=258

բ) սյունակի մեջ բաժանել.

1873 - բաժանելի,
8 - բաժանարար,
234 - թերի գործակից,
1-ը մնացորդն է: Մնացածը փոքր է բաժանարար 1-ից<8.

Փոխարինեք բանաձևում և ստուգեք, թե արդյոք ճիշտ ենք լուծել օրինակը.
8⋅234+1=1872+1=1873

Օրինակ #2:
Ի՞նչ մնացորդներ են ստացվում բնական թվերը բաժանելիս՝ ա) 3 բ) 8.

Պատասխան.
ա) Մնացորդը փոքր է բաժանարարից, հետևաբար՝ 3-ից: Մեր դեպքում մնացորդը կարող է լինել 0, 1 կամ 2:
բ) Մնացորդը փոքր է բաժանարարից, հետևաբար՝ 8-ից փոքր։ Մեր դեպքում մնացորդը կարող է լինել 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 կամ 7։

Օրինակ #3:
Ո՞րն է ամենամեծ մնացորդը, որը կարելի է ստանալ բնական թվերը բաժանելով՝ ա) 9 բ) 15.

Պատասխան.
ա) Մնացորդը փոքր է բաժանարարից, հետևաբար՝ 9-ից փոքր: Բայց մենք պետք է նշենք ամենամեծ մնացորդը: Այսինքն՝ ամենամոտ թիվը բաժանարարին։ Այս թիվը 8 է:
բ) Մնացորդը փոքր է բաժանարարից, հետևաբար՝ փոքր է 15-ից։ Բայց մենք պետք է նշենք ամենամեծ մնացորդը։ Այսինքն՝ ամենամոտ թիվը բաժանարարին։ Այս թիվը 14 է։

Օրինակ #4:
Գտեք շահաբաժինը՝ ա) ա՝ 6 \u003d 3 (մնաց. 4) բ) գ՝ 24 \u003d 4 (մեկ. 11)

Լուծում:
ա) Լուծեք բանաձևով.
a=b⋅c+d
(a-ն շահաբաժինն է, b-ն բաժանարարն է, c-ն մասնակի քանորդն է, d-ն մնացորդն է):
ա:6=3(հանգիստ.4)
(a-ն շահաբաժինն է, 6-ը` բաժանարարը, 3-ը` թերի քանորդը, 4-ը` մնացորդը:) Փոխարինեք թվերը բանաձևում.
a=6⋅3+4=22
Պատասխան՝ a=22

բ) Լուծեք բանաձևով.
a=b⋅c+d
(a-ն շահաբաժինն է, b-ն բաժանարարն է, c-ն մասնակի քանորդն է, d-ն մնացորդն է):
s:24=4(հանգիստ.11)
(c-ը շահաբաժինն է, 24-ը` բաժանարարը, 4-ը` թերի քանորդը, 11-ը` մնացորդը:) Փոխարինեք թվերը բանաձևում.
c=24⋅4+11=107
Պատասխան՝ s=107

Առաջադրանք.

Լար 4 մ. պետք է կտրել 13 սմ կտորների։ Այս կտորներից քանի՞սը կլինեն:

Լուծում:
Նախ անհրաժեշտ է մետրերը վերածել սանտիմետրերի:
4մ.=400սմ.
Դուք կարող եք բաժանել սյունակով կամ ձեր մտքում մենք ստանում ենք.
400:13=30 (հանգիստ 10)
Եկեք ստուգենք.
13⋅30+10=390+10=400

Պատասխան՝ 30 հատ կստացվի ու կմնա 10 սմ մետաղալար։

Հոդվածում վերլուծվում է ամբողջ թվերի մնացորդով բաժանման հայեցակարգը։ Մենք կապացուցենք ամբողջ թվերի բաժանելիության թեորեմը մնացորդով և կդիտարկենք բաժանվողների և բաժանարարների, թերի քանորդների և մնացորդների կապերը։ Դիտարկենք այն կանոնները, երբ կատարվում է ամբողջ թվերի բաժանումը մնացորդներով՝ մանրամասն ուսումնասիրելով օրինակներով։ Լուծման վերջում մենք կկատարենք ստուգում:

Ամբողջ թվերի մնացորդներով բաժանման ընդհանուր պատկերացում

Ամբողջ թվերի բաժանումը մնացորդով համարվում է ընդհանրացված բաժանում բնական թվերի մնացորդով։ Դա արվում է, քանի որ բնական թվերը ամբողջ թվերի բաղադրիչ են:

Կամայական թվի մնացորդով բաժանումը ասում է, որ a ամբողջ թիվը բաժանվում է b թվի վրա, որը տարբերվում է զրոյից: Եթե ​​b = 0, ապա մնացորդով բաժանում չի կատարվում:

Ինչպես նաև բնական թվերի բաժանումը մնացորդով, կատարվում է a և b ամբողջ թվերի բաժանումը զրոյից տարբերվող b-ով c-ով և d-ով։ Այս դեպքում a-ն և b-ն կոչվում են դիվիդենտ և բաժանարար, իսկ d-ն բաժանման մնացորդն է, c-ն ամբողջ կամ մասնակի քանորդ է:

Եթե ​​ենթադրենք, որ մնացորդը ոչ բացասական ամբողջ թիվ է, ապա դրա արժեքը մեծ չէ b թվի մոդուլից։ Գրենք այսպես՝ 0 ≤ d ≤ b . Անհավասարությունների այս շղթան օգտագործվում է 3 կամ ավելի թվեր համեմատելիս։

Եթե ​​c-ն թերի քանորդ է, ապա d-ն a ամբողջ թիվը b-ի բաժանելու մնացորդն է, կարող եք հակիրճ ուղղել՝ a: b \u003d c (մնաց d):

a թվերը b-ի բաժանելիս մնացորդը հնարավոր է զրո, հետո ասում են, որ a-ն ամբողջությամբ բաժանվում է b-ի, այսինքն՝ առանց մնացորդի։ Առանց մնացորդի բաժանումը համարվում է բաժանման հատուկ դեպք։

Եթե ​​զրոն բաժանենք ինչ-որ թվի, արդյունքում կստացվի զրո։ Բաժանման մնացորդը նույնպես զրո կլինի։ Դա երևում է զրոյի ամբողջ թվով բաժանելու տեսությունից։

Այժմ դիտարկենք ամբողջ թվերի մնացորդով բաժանման իմաստը:

Հայտնի է, որ դրական ամբողջ թվերը բնական են, ապա մնացորդով բաժանելիս կստացվի նույն նշանակությունը, ինչ բնական թվերը մնացորդով բաժանելիս։

Բացասական a ամբողջ թիվը բաժանելը դրական ամբողջ թվի վրա իմաստ ունի: Դիտարկենք մի օրինակ։ Պատկերացրեք մի իրավիճակ, երբ մենք ունենք ապրանքների պարտք՝ a չափով, որը պետք է մարվի բ մարդկանց կողմից: Դրա համար բոլորը պետք է հավասարապես ներդրում ունենան: Յուրաքանչյուրի համար պարտքի չափը որոշելու համար անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել մասնավոր ք. Մնացած d-ը ցույց է տալիս, որ պարտքերը մարելուց հետո ապրանքների քանակը հայտնի է:

Բերենք խնձորի օրինակ. Եթե ​​2 հոգու պետք է 7 խնձոր. Եթե ​​հաշվենք, որ բոլորը պետք է վերադարձնեն 4 խնձոր, լրիվ հաշվարկից հետո կմնա 1 խնձոր։ Սա գրենք որպես հավասարություն՝ (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) ։

Ցանկացած a թիվ ամբողջ թվի վրա բաժանելն իմաստ չունի, բայց դա հնարավոր է որպես տարբերակ։

Մնացորդով ամբողջ թվերի բաժանելիության թեորեմ

Մենք գտանք, որ a-ն շահաբաժինն է, ապա b-ն բաժանարարն է, c-ն մասնակի քանորդն է, իսկ d-ն մնացորդն է: Դրանք փոխկապակցված են։ Մենք ցույց կտանք այս հարաբերությունը՝ օգտագործելով a = b · c + d հավասարությունը: Նրանց միջև կապը բնութագրվում է մնացորդի հետ բաժանելիության թեորեմով։

Թեորեմ

Ցանկացած ամբողջ թիվ կարող է ներկայացվել միայն ամբողջ թվի և ոչ զրոյական b թվի տեսքով՝ a = b · q + r, որտեղ q և r որոշ ամբողջ թվեր են: Այստեղ մենք ունենք 0 ≤ r ≤ b:

Ապացուցենք a = b · q + r գոյության հնարավորությունը:

Ապացույց

Եթե ​​կան երկու a և b թվեր, իսկ a-ն առանց մնացորդի բաժանվում է b-ի, ապա սահմանումից բխում է, որ կա q թիվ, որ a = b · q հավասարությունը ճիշտ կլինի։ Այնուհետև հավասարությունը կարելի է համարել ճշմարիտ՝ a = b q + r r = 0-ի համար:

Այնուհետև անհրաժեշտ է q վերցնել այնպիսին, որ տրված է b · q անհավասարությամբ< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Ունենք, որ a − b · q արտահայտության արժեքը զրոյից մեծ է և b թվի արժեքից մեծ չէ, հետևաբար՝ r = a − b · q: Մենք ստանում ենք, որ a թիվը կարող է ներկայացվել որպես a = b · q + r:

Այժմ մենք պետք է դիտարկենք a = b · q + r ներկայացնելու հնարավորությունը b-ի բացասական արժեքների համար:

Թվի մոդուլը ստացվում է դրական, այնուհետև մենք ստանում ենք a = b q 1 + r, որտեղ q 1 արժեքը որոշ ամբողջ թիվ է, r-ն ամբողջ թիվ է, որը համապատասխանում է 0 ≤ r պայմանին:< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Եզակիության ապացույց

Ենթադրենք, որ a = b q + r, q և r ամբողջ թվեր են 0 ≤ r պայմանով< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1Եվ r1որոշ թվեր են, որտեղ q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .

Երբ անհավասարությունը հանվում է ձախ և աջ կողմերից, ապա ստանում ենք 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 , որը համարժեք է r - r 1 = b · q 1 - q . Քանի որ մոդուլն օգտագործվում է, մենք ստանում ենք հավասարություն r - r 1 = b · q 1 - q:

Տրված պայմանն ասում է, որ 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что քԵվ q 1- ամբողջ, և q ≠ q 1, ապա q 1 - q ≥ 1: Այսպիսով, մենք ունենք, որ b · q 1 - q ≥ b: Ստացված անհավասարությունները r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Այստեղից հետևում է, որ a թիվը այլ կերպ չի կարող ներկայացվել, բացառությամբ a = b · q + r նման նշումով։

Շահաբաժնի, բաժանարարի, մասնակի քանորդի և մնացորդի հարաբերությունը

Օգտագործելով a \u003d b c + d հավասարությունը, դուք կարող եք գտնել անհայտ դիվիդենտը, երբ b բաժանարարը հայտնի է թերի c գործակցով, իսկ մնացորդը d:

Օրինակ 1

Որոշե՛ք դիվիդենտը, եթե բաժանելիս ստանում ենք՝ 21, ոչ լրիվ գործակից՝ 5, իսկ մնացորդը՝ 12։

Լուծում

Անհրաժեշտ է հաշվարկել a շահաբաժինը՝ b = − 21 հայտնի բաժանարարով, c=5 թերի քանորդով, իսկ մնացորդը՝ d=12։ Մենք պետք է անդրադառնանք a = b c + d հավասարությանը, այստեղից ստանում ենք a = (− 21) 5 + 12: Գործողությունների կարգի համաձայն՝ մենք 21-ը բազմապատկում ենք 5-ով, որից հետո ստանում ենք (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93:

Պատասխան. - 93 .

Բաժանարարի և մասնակի քանորդի և մնացորդի միջև կապը կարելի է արտահայտել՝ օգտագործելով հավասարությունները՝ b = (a − d) : c , c = (a − d) : b և d = a − b · c : Նրանց օգնությամբ մենք կարող ենք հաշվարկել բաժանարարը, մասնակի քանորդը և մնացորդը: Սա հանգում է նրան, որ անընդհատ a ամբողջ թիվը b-ի բաժանելու մնացորդը հայտնի դիվիդենտով, բաժանարարով և մասնակի գործակցով է: Կիրառվում է d = a − b · c բանաձևը: Եկեք մանրամասն քննարկենք լուծումը:

Օրինակ 2

Գտե՛ք ամբողջ թիվը 19-ը 3-ի վրա բաժանելու մնացորդը, որի հայտնի ոչ լրիվ քանորդը հավասար է -7-ի:

Լուծում

Բաժանման մնացորդը հաշվարկելու համար մենք կիրառում ենք d = a − b c ձևի բանաձևը: Ըստ պայմանի՝ բոլոր տվյալները a = − 19 , b = 3 , c = − 7 հասանելի են։ Այստեղից մենք ստանում ենք d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (տարբերությունը - 19 - (- 21)... Այս օրինակը հաշվարկվում է ամբողջ բացասական թվով հանման կանոնով։

Պատասխան. 2 .

Բոլոր դրական ամբողջ թվերը բնական են: Դրանից բխում է, որ բաժանումը կատարվում է բնական թվերի մնացորդով բաժանման բոլոր կանոններով։ Բնական թվերի մնացորդով բաժանման արագությունը կարևոր է, քանի որ դրա վրա հիմնված է ոչ միայն դրական թվերի բաժանումը, այլև կամայական ամբողջ թվերի բաժանման կանոնները։

Բաժանման ամենահարմար մեթոդը սյունակն է, քանի որ մնացորդով թերի կամ պարզապես գործակից ստանալն ավելի հեշտ և արագ է: Դիտարկենք լուծումը ավելի մանրամասն:

Օրինակ 3

14671-ը բաժանեք 54-ի։

Լուծում

Այս բաժանումը պետք է կատարվի սյունակում.

Այսինքն՝ թերի գործակիցը հավասար է 271-ի, իսկ մնացորդը՝ 37։

Պատասխան. 14671՝ 54 = 271։ (հանգստ. 37)

Դրական ամբողջ թվի մնացորդով բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու կանոնը, օրինակներ

Դրական թվի մնացորդի հետ բացասական ամբողջ թվով բաժանում կատարելու համար անհրաժեշտ է ձևակերպել կանոն.

Սահմանում 1

a դրական ամբողջ թիվը բացասական b ամբողջ թվի վրա բաժանելու ոչ լրիվ գործակիցը տալիս է մի թիվ, որը հակառակ է a թվերի մոդուլները b-ի բաժանելու թերի գործակցին։ Այնուհետև մնացորդը մնացորդ է, երբ a-ն բաժանվում է b-ի:

Այսպիսով, մենք ունենք, որ դրական ամբողջ թիվը բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու ոչ լրիվ գործակիցը համարվում է ոչ դրական ամբողջ թիվ:

Մենք ստանում ենք ալգորիթմ.

• շահաբաժնի մոդուլը բաժանում ենք բաժանարարի մոդուլի վրա, այնուհետև ստանում ենք թերի քանորդ և
• մնացորդ;
• գրի՛ր հակառակ թիվը։

Դիտարկենք դրական ամբողջ թիվը բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու ալգորիթմի օրինակը:

Օրինակ 4

Կատարեք բաժանում 17-ի մնացորդով 5-ի վրա:

Լուծում

Եկեք կիրառենք բաժանման ալգորիթմը դրական ամբողջ թվի մնացորդի հետ բացասական ամբողջ թվով։ Անհրաժեշտ է 17-ը բաժանել - 5 մոդուլի։ Այստեղից ստանում ենք, որ թերի գործակիցը 3 է, իսկ մնացորդը՝ 2։

Մենք ստանում ենք, որ ցանկալի թիվը 17-ը բաժանելով - 5 \u003d - 3-ի մնացորդով, որը հավասար է 2-ի:

Պատասխան. 17: (− 5) = − 3 (մնացյալ 2):

Օրինակ 5

45-ը բաժանեք 15-ի:

Լուծում

Անհրաժեշտ է բաժանել թվերի մոդուլը: 45 թիվը բաժանում ենք 15-ի, առանց մնացորդի ստանում ենք 3 գործակից։ Այսպիսով, 45 թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է 15-ի։ Պատասխանում ստանում ենք՝ 3, քանի որ բաժանումն իրականացվել է մոդուլով։

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Պատասխան. 45: (− 15) = − 3 .

Մնացորդով բաժանման կանոնի ձևակերպումը հետևյալն է.

Սահմանում 2

Բացասական   a ամբողջ թիվը դրական b-ի վրա բաժանելիս թերի c գործակից ստանալու համար անհրաժեշտ է կիրառել այս թվի հակառակը և դրանից հանել 1-ը, այնուհետև d մնացորդը կհաշվարկվի բանաձևով. d = a − b: · գ.

Կանոնից ելնելով կարող ենք եզրակացնել, որ բաժանելիս ստանում ենք ոչ բացասական ամբողջ թիվ։ Լուծման ճշտության համար օգտագործվում է a-ը մնացորդի հետ b-ի բաժանելու ալգորիթմը.

• գտնել դիվիդենտի և բաժանարարի մոդուլները.
• բաժանել մոդուլ;
• գրի՛ր տրված թվի հակառակը և հանի՛ր 1;
• օգտագործեք բանաձևը մնացորդի համար d = a − b c.

Դիտարկենք լուծման օրինակ, որտեղ կիրառվում է այս ալգորիթմը:

Օրինակ 6

Գտե՛ք կիսատ գործակիցը և բաժանման մնացորդը՝ 17-ը 5-ի։

Լուծում

Տրված թվերը մոդուլով ենք բաժանում. Ստանում ենք, որ բաժանելիս գործակիցը 3 է, իսկ մնացորդը՝ 2։ Քանի որ մենք ստացել ենք 3, հակառակը 3 է: Անհրաժեշտ է հանել 1:

− 3 − 1 = − 4 .

Ցանկալի արժեքը հավասար է - 4-ի:

Մնացորդը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , ապա d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .

Սա նշանակում է, որ բաժանման թերի գործակիցը 4 թիվն է՝ 3-ի հավասար մնացորդով։

Պատասխան.(− 17) : 5 = − 4 (մնաց 3)։

Օրինակ 7

Բացասական ամբողջ թիվը՝ 1404, բաժանիր 26-ի վրա։

Լուծում

Անհրաժեշտ է բաժանել սյունակով և մոդուլով։

Մենք ստացանք թվերի մոդուլների բաժանումը առանց մնացորդի։ Սա նշանակում է, որ բաժանումը կատարվում է առանց մնացորդի, իսկ ցանկալի գործակիցը = - 54:

Պատասխան. (− 1 404) : 26 = − 54 .

Բաժանման կանոն բացասական ամբողջ թվերի մնացորդով, օրինակներ

Անհրաժեշտ է ձևակերպել բաժանման կանոն ամբողջ բացասական թվերի մնացորդով։

Սահմանում 3

Բացասական a ամբողջ թիվը բացասական b-ի վրա բաժանելուց թերի գործակից ստանալու համար անհրաժեշտ է կատարել մոդուլային հաշվարկներ, որից հետո ավելացնել 1, ապա կարող ենք հաշվարկել d = a − b · c բանաձևով։

Այստեղից հետևում է, որ բացասական ամբողջ թվերի բաժանման ոչ լրիվ գործակիցը կլինի դրական թիվ։

Մենք այս կանոնը ձևակերպում ենք ալգորիթմի տեսքով.

• գտնել դիվիդենտի և բաժանարարի մոդուլները.
• բաժանել դիվիդենտի մոդուլը բաժանարարի մոդուլի վրա, որպեսզի ստացվի ոչ լրիվ քանորդ
• մնացորդ;
• թերի գործակցին ավելացնելով 1;
• մնացորդի հաշվարկ՝ հիմնվելով d = a − b c բանաձևի վրա:

Դիտարկենք այս ալգորիթմը օրինակով։

Օրինակ 8

Գտե՛ք անավարտ քանորդը և մնացորդը 17-ը 5-ի բաժանելիս:

Լուծում

Լուծման ճիշտության համար կիրառում ենք մնացորդով բաժանման ալգորիթմը։ Նախ, բաժանեք թվերի մոդուլը: Այստեղից մենք ստանում ենք, որ թերի գործակիցը \u003d 3, իսկ մնացորդը 2 է: Ըստ կանոնի՝ անհրաժեշտ է ավելացնել թերի քանորդը և 1. Մենք ստանում ենք, որ 3 + 1 = 4: Այստեղից ստանում ենք, որ տրված թվերը բաժանելու ոչ լրիվ գործակիցը 4 է։

Մնացածը հաշվարկելու համար մենք կկիրառենք բանաձևը. Պայմանով մենք ունենք, որ a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, այնուհետև, օգտագործելով բանաձևը, մենք ստանում ենք d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = − 17 + 20 = 3: Ցանկալի պատասխանը, այսինքն՝ մնացորդը, 3 է, իսկ թերի գործակիցը՝ 4։

Պատասխան.(− 17) : (− 5) = 4 (մնաց 3)։

Ամբողջ թվերը մնացորդով բաժանելու արդյունքի ստուգում

Թվերի մնացորդով բաժանումը կատարելուց հետո անհրաժեշտ է ստուգում կատարել։ Այս ստուգումը ներառում է 2 փուլ. Նախ, d մնացորդը ստուգվում է ոչ բացասական լինելու համար, պայմանը 0 ≤ ​​d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Եկեք նայենք օրինակներին:

Օրինակ 9

Արտադրված բաժանում - 521 - 12: Գործակիցը 44 է, մնացորդը՝ 7։ Ստուգեք:

Լուծում

Քանի որ մնացորդը դրական թիվ է, դրա արժեքը փոքր է բաժանարարի մոդուլից։ Բաժանարարը -12 է, ուստի նրա մոդուլը 12 է։ Դուք կարող եք անցնել հաջորդ անցակետին:

Պայմանով մենք ունենք a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 : Այստեղից մենք հաշվարկում ենք b c + d , որտեղ b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521: Դրանից բխում է, որ հավասարությունը ճիշտ է։ Ստուգումն անցավ։

Օրինակ 10

Ստուգեք բաժանումը (− 17)՝ 5 = − 3 (մնաց − 2): Ճի՞շտ է արդյոք հավասարությունը։

Լուծում

Առաջին փուլի իմաստն այն է, որ անհրաժեշտ է ստուգել ամբողջ թվերի բաժանումը մնացորդով։ Սա ցույց է տալիս, որ գործողությունը սխալ է կատարվել, քանի որ մնացորդը տրված է՝ հավասար է - 2-ի: Մնացածը բացասական թիվ չէ։

Ունենք, որ երկրորդ պայմանը բավարարված է, բայց անբավարար այս դեպքի համար։

Պատասխան.Ոչ

Օրինակ 11

Թիվ - 19 բաժանված - 3-ի: Մասնակի գործակիցը 7 է, իսկ մնացորդը՝ 1։ Ստուգեք՝ արդյոք այս հաշվարկը ճիշտ է։

Լուծում

Տրվում է 1 մնացորդ: Նա դրական է տրամադրված։ Արժեքը ավելի քիչ է, քան բաժանարար մոդուլը, ինչը նշանակում է, որ առաջին փուլը կատարվում է: Անցնենք երկրորդ փուլին։

Հաշվենք b · c + d արտահայտության արժեքը: Ըստ պայմանի, մենք ունենք, որ b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, հետևաբար, փոխարինելով թվային արժեքները, մենք ստանում ենք b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Հետևում է, որ a = b · c + d հավասարությունը չի բավարարվում, քանի որ պայմանը տրվում է a = - 19:

Սա ենթադրում է, որ բաժանումը կատարվել է սխալմամբ։

Պատասխան.Ոչ

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Բազմանիշ թվերի բաժանումն ամենահեշտն է սյունակում: Սյունակների բաժանումը նույնպես կոչվում է անկյունային բաժանում.

Նախքան սյունակով բաժանումը սկսելը, եկեք մանրամասն քննարկենք սյունակով բաժանման ձայնագրման ձևը: Նախ, մենք գրում ենք շահաբաժինը և դրա աջ կողմում տեղադրում ենք ուղղահայաց բար.

Ուղղահայաց գծի հետևում, դիվիդենտի հակառակ, մենք գրում ենք բաժանարարը և դրա տակ հորիզոնական գիծ գծում.

Հորիզոնական գծի տակ հաշվարկների արդյունքում ստացված գործակիցը կգրվի փուլերով.

Շահաբաժնի տակ կգրվեն միջանկյալ հաշվարկներ.

Սյունակով բաժանման ամբողջական ձևը հետևյալն է.

Ինչպես բաժանել սյունակով

Ենթադրենք, պետք է 780-ը բաժանենք 12-ի, գործողությունը գրենք սյունակում և սկսենք բաժանել.

Սյունակով բաժանումն իրականացվում է փուլերով. Առաջին բանը, որ մենք պետք է անենք, թերի դիվիդենտի սահմանումն է: Դիտեք շահաբաժնի առաջին նիշը.

այս թիվը 7-ն է, քանի որ այն փոքր է բաժանարարից, ուրեմն մենք չենք կարող դրանից բաժանել, ուստի պետք է դիվիդենտից վերցնել ևս մեկ թվանշան, 78 թիվը մեծ է բաժանարարից, ուստի սկսում ենք բաժանել դրանից.

Մեր դեպքում կլինի 78 թիվը անավարտ բաժանելի, այն կոչվում է թերի, քանի որ այն ընդամենը բաժանելիի մի մասն է։

Թերի դիվիդենտը որոշելով՝ կարող ենք պարզել, թե քանի նիշ կլինի քանորդում, դրա համար պետք է հաշվարկել, թե թերի դիվիդենտից հետո քանի թվանշան է մնացել դիվիդենտում, մեր դեպքում կա միայն մեկ նիշ՝ 0, ինչը նշանակում է, որ գործակիցը բաղկացած կլինի 2 թվանշանից։

Պարզելով թվանշանների քանակը, որոնք պետք է հայտնվեն մասնավորում, կարող եք դրա տեղում կետեր դնել: Եթե ​​բաժանման վերջում թվանշանների թիվը նշված կետերից շատ կամ պակաս է ստացվել, ապա ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել.

Սկսենք բաժանել. Մենք պետք է որոշենք, թե քանի անգամ է 12-ը պարունակվում 78 թվի մեջ: Դա անելու համար բաժանարարը հաջորդաբար բազմապատկում ենք 1, 2, 3, ... բնական թվերով, մինչև ստանանք թերի բաժանվողին կամ հնարավորինս մոտ թիվ: դրան հավասար, բայց չգերազանցող։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք 6 թիվը, գրում ենք այն բաժանարարի տակ և 78-ից հանում 72 (ըստ սյունակի հանման կանոնների) (12 6 \u003d 72): Այն բանից հետո, երբ մենք հանեցինք 72-ը 78-ից, ստացանք 6-ի մնացորդ:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բաժանման մնացորդը ցույց է տալիս, թե արդյոք մենք ճիշտ թիվ ենք ընտրել: Եթե ​​մնացորդը հավասար է կամ մեծ է բաժանարարին, ապա մենք ճիշտ թիվը չենք ընտրել և պետք է վերցնել ավելի մեծ թիվ։

Ստացված մնացորդին՝ 6-ին, քանդում ենք դիվիդենտի հաջորդ թվանշանը՝ 0։ Արդյունքում ստացանք թերի դիվիդենտ՝ 60։ Որոշում ենք, թե քանի անգամ է 12-ը պարունակվում 60 թվի մեջ։ Ստանում ենք 5 թիվը, գրում ենք։ այն 6 թվից հետո գործակիցի մեջ և 60-ից հանել 60 (12 5 = 60): Մնացածը զրո է.

Քանի որ դիվիդենտում այլ թվեր չեն մնացել, նշանակում է, որ 780-ը ամբողջությամբ բաժանվում է 12-ի։ Սյունակով բաժանում կատարելու արդյունքում գտանք քանորդը - բաժանարարի տակ գրված է.

Դիտարկենք մի օրինակ, որտեղ զրոները ստացվում են քանորդում: Ենթադրենք, պետք է 9027-ը բաժանենք 9-ի։

Որոշում ենք թերի շահաբաժինը՝ սա 9 թիվն է: Այն գրում ենք 1 քանորդի մեջ և 9-ից հանում 9: Մնացածը զրո է: Սովորաբար, եթե միջանկյալ հաշվարկներում մնացորդը զրո է, այն չի գրվում.

Մենք քանդում ենք դիվիդենտի հաջորդ թվանշանը՝ 0։ Հիշում ենք, որ զրոն որևէ թվի բաժանելիս կլինի զրո։ Մենք գրում ենք մասնավոր զրոյին (0: 9 = 0) և միջանկյալ հաշվարկներում 0-ից հանում ենք 0: Սովորաբար միջանկյալ հաշվարկները կուտակելու համար զրոյով հաշվարկը չի գրվում.

Քանդում ենք դիվիդենտի հաջորդ թվանշանը՝ 2: Միջանկյալ հաշվարկներում պարզվեց, որ թերի դիվիդենտը (2) փոքր է բաժանարարից (9): Այս դեպքում գործակցի մեջ զրո է գրվում, իսկ շահաբաժնի հաջորդ թվանշանը հանվում է.

Որոշում ենք, թե քանի անգամ է 9-ը պարունակվում 27 թվի մեջ։ Ստանում ենք 3 թիվը, գրում ենք քանորդի մեջ և 27-ից հանում 27։ Մնացածը զրո է։

Քանի որ դիվիդենտում այլ թվեր չեն մնացել, նշանակում է, որ 9027 թիվը ամբողջությամբ բաժանվում է 9-ի.

Դիտարկենք մի օրինակ, որտեղ շահաբաժինն ավարտվում է զրոյով: Ենթադրենք, պետք է 3000-ը բաժանենք 6-ի։

Մենք որոշում ենք թերի շահաբաժինը՝ սա 30 թիվն է: Այն գրում ենք 5-ի քանորդի մեջ և 30-ից հանում 30: Մնացածը զրո է: Ինչպես արդեն նշվեց, միջանկյալ հաշվարկներում անհրաժեշտ չէ մնացորդում զրո գրել.

Մենք քանդում ենք դիվիդենտի հաջորդ թվանշանը՝ 0: Քանի որ զրոն որևէ թվի վրա բաժանելիս կլինի զրո, այն գրում ենք մասնավոր զրոյի և միջանկյալ հաշվարկներում 0-ից հանում ենք 0.

Քանդում ենք դիվիդենտի հաջորդ թվանշանը՝ 0։ Քվեի մեջ ևս մեկ զրո ենք գրում և միջանկյալ հաշվարկներում 0-ից հանում ենք 0։ Հաշվարկի հենց վերջում սովորաբար գրվում է՝ ցույց տալու համար, որ բաժանումն ավարտված է.

Քանի որ դիվիդենտում այլ թվեր չեն մնացել, նշանակում է, որ 3000-ը ամբողջությամբ բաժանվում է 6-ի.

Բաժանում մնացորդով սյունակով

Ենթադրենք, պետք է 1340-ը բաժանենք 23-ի։

Մենք որոշում ենք թերի շահաբաժինը՝ սա 134 թիվն է։ Մենք գրում ենք 5 քանորդում և 134-ից հանում 115։ Մնացածը ստացվեց 19։

Քանդում ենք դիվիդենտի հաջորդ թվանշանը՝ 0։ Որոշեք, թե քանի անգամ է 23-ը պարունակում 190 թիվը։ Ստանում ենք 8 թիվը, գրում ենք քանորդի մեջ և 190-ից հանում 184։ Ստանում ենք մնացորդը 6.

Քանի որ դիվիդենտում այլ թվեր չեն մնացել, բաժանումն ավարտված է։ Արդյունքը 58-ի թերի գործակիցն է և 6-ի մնացորդը:

1340: 23 = 58 (մնացորդը 6)

Մնում է դիտարկել մնացորդով բաժանման օրինակ, երբ շահաբաժինն ավելի փոքր է, քան բաժանարարը։ Ենթադրենք, մենք պետք է բաժանենք 3-ը 10-ի: Մենք տեսնում ենք, որ 10-ը երբեք չի պարունակվում 3 թվի մեջ, ուստի այն գրում ենք 0-ի գործակցի վրա և 3-ից հանում 0 (10 0 = 0): Մենք հորիզոնական գիծ ենք գծում և մնացորդը գրում ենք՝ 3:

3: 10 = 0 (մնացորդը 3)

Սյունակի բաժանման հաշվիչ

Այս հաշվիչը կօգնի ձեզ կատարել բաժանում ըստ սյունակի: Պարզապես մուտքագրեք դիվիդենտը և բաժանարարը և սեղմեք Հաշվել կոճակը:

Կարդացեք դասի թեման՝ «Բաժանում մնացորդով»։ Ի՞նչ գիտեք արդեն այս թեմայի մասին:

Կարո՞ղ եք 8 սալոր հավասարապես բաժանել երկու ափսեի վրա (նկ. 1):

Բրինձ. 1. Օրինակ՝ նկարազարդում

Յուրաքանչյուր ափսեի մեջ կարող եք դնել 4 սալոր (նկ. 2):

Բրինձ. 2. Օրինակ՝ նկարազարդում

Մեր կատարած գործողությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

8: 2 = 4

Ի՞նչ եք կարծում, հնարավո՞ր է 8 սալոր հավասարապես բաժանել 3 ափսեի (նկ. 3):

Բրինձ. 3. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք այսպես վարվենք. Նախ յուրաքանչյուր ափսեի մեջ լցրեք մեկական սալոր, ապա երկրորդը։ Մեզ կմնա 2 սալոր, բայց 3 ափսե։ Այսպիսով, մենք չենք կարող այն հավասարապես բաժանել: Յուրաքանչյուր ափսեի մեջ լցնում ենք 2 սալոր, մեզ մնում է 2 սալոր (նկ. 4):

Բրինձ. 4. Օրինակ՝ նկարազարդում

Շարունակենք մոնիտորինգը։

Կարդացեք թվերը. Տրված թվերից գտե՛ք նրանք, որոնք բաժանվում են 3-ի։

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Փորձեք ինքներդ:

Մնացած թվերը (11, 13, 14, 16, 17, 19) չեն բաժանվում 3-ի, կամ ասում են. «մնացորդով բաժանիր»։

Գտնենք մասնավորի արժեքը։

Եկեք պարզենք, թե քանի անգամ է 3-ը պարունակում 17 թիվը (նկ. 5):

Բրինձ. 5. Օրինակ՝ նկարազարդում

Մենք տեսնում ենք, որ 3 օվալները տեղավորվում են 5 անգամ, և մնացել է 2 օվալ:

Կատարված գործողությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

17: 3 = 5 (հանգստություն 2)

Այն կարելի է գրել նաև սյունակում (նկ. 6):

Բրինձ. 6. Օրինակ՝ նկարազարդում

Վերանայեք գծագրերը: Բացատրեք այս պատկերների վերնագրերը (նկ. 7):

Բրինձ. 7. Օրինակ՝ նկարազարդում

Դիտարկենք առաջին նկարը (նկ. 8):

Բրինձ. 8. Օրինակ՝ նկարազարդում

Տեսնում ենք, որ 15 օվալները բաժանվել են 2-ի։ 2-ը կրկնվել է 7 անգամ, մնացածում՝ 1 օվալ։

Դիտարկենք երկրորդ նկարը (նկ. 9):

Բրինձ. 9. Օրինակ՝ նկարազարդում

Այս նկարում 15 քառակուսիները բաժանվել են 4-ի: 4-ը կրկնվել է 3 անգամ, մնացածում՝ 3 քառակուսի:

Դիտարկենք երրորդ նկարը (նկ. 10):

Բրինձ. 10. Օրինակ՝ նկարազարդում

Կարելի է ասել, որ 15 օվալները բաժանվել են 3-ի։ 3-ը կրկնվել է 5 անգամ հավասար։ Նման դեպքերում մնացորդը համարվում է 0:

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Յոթ քառակուսիները բաժանում ենք երեքի։ Մենք ստանում ենք երկու խումբ, և մնում է մեկ քառակուսի: Գրենք լուծումը (նկ. 11):

Բրինձ. 11. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Պարզում ենք, թե քանի անգամ է չորսը պարունակվում 10 թվի մեջ։ Տեսնում ենք, որ 10 թվի մեջ չորսը պարունակվում է 2 անգամ և մնում է 2 քառակուսի։ Գրենք լուծումը (նկ. 12):

Բրինձ. 12. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Պարզում ենք, թե քանի անգամ է երկուսը պարունակվում 11 թվի մեջ։ Տեսնում ենք, որ 11 թվի մեջ երկուսը պարունակվում են 5 անգամ և մնում է 1 քառակուսի։ Գրենք լուծումը (նկ. 13):

Բրինձ. 13. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք եզրակացություն անենք. Մնացորդով բաժանել նշանակում է պարզել, թե քանի անգամ է բաժանարարը պարունակվում դիվիդենտում և քանի միավոր է մնում:

Մնացորդով բաժանումը կարող է կատարվել նաև թվային տողի վրա։

Թվային տողի վրա մենք նշում ենք 3 բաժանման հատվածներ և կտեսնենք, որ երեք բաժանում ստացվեց երեք անգամ, և մնաց մեկ բաժանում (նկ. 14):

Բրինձ. 14. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք գրենք լուծումը.

10: 3 = 3 (հանգիստ. 1)

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Թվային փնջի վրա մենք նշում ենք 3 բաժանմունքների հատվածներ և կտեսնենք, որ երեք բաժանում ստացվեց երեք անգամ, և մնաց երկու բաժանում (նկ. 15):

Բրինձ. 15. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք գրենք լուծումը.

11: 3 = 3 (հանգիստ. 2)

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Թվային ճառագայթի վրա նշում ենք 3 բաժանման հատվածներ և կտեսնենք, որ ստացել ենք ուղիղ 4 անգամ, մնացորդ չկա (նկ. 16)։

Բրինձ. 16. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք գրենք լուծումը.

12: 3 = 4

Այսօր դասին մենք ծանոթացանք մնացորդով բաժանմանը, սովորեցինք, թե ինչպես կատարել անվանված գործողությունը նկարի և թվային ճառագայթի միջոցով, պարապեցինք դասի թեմայի օրինակների լուծմանը։

Մատենագիտություն

1. Մ.Ի. Մորո, Մ.Ա. Բանտովա և ուրիշներ Մաթեմատիկա՝ Դասագիրք. Դասարան 3. 2 մասից, մաս 1. - Մ .: «Լուսավորություն», 2012 թ.
2. Մ.Ի. Մորո, Մ.Ա. Բանտովա և ուրիշներ Մաթեմատիկա՝ Դասագիրք. Դասարան 3. 2 մասից, մաս 2. - Մ .: «Լուսավորություն», 2012 թ.
3. Մ.Ի. Մորո. Մաթեմատիկայի դասեր. Ուղեցույց ուսուցիչների համար. 3-րդ դասարան - Մ.: Կրթություն, 2012:
4. Կարգավորող փաստաթուղթ. Ուսուցման արդյունքների մոնիտորինգ և գնահատում. - Մ.: «Լուսավորություն», 2011 թ.
5. «Ռուսաստանի դպրոց». Ծրագրեր տարրական դպրոցի համար. - Մ.: «Լուսավորություն», 2011 թ.
6. Ս.Ի. Վոլկովը։ Մաթեմատիկա՝ թեստային աշխատանք. 3-րդ դասարան - Մ.: Կրթություն, 2012:
7. Վ.Ն. Ռուդնիցկայա. Թեստեր. - Մ.՝ «Քննություն», 2012 թ.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Տնային աշխատանք

1. Առանց մնացորդի գրի՛ր այն թվերը, որոնք բաժանվում են 2-ի:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Կատարե՛ք բաժանում մնացորդով, օգտագործելով գծագիրը:

3. Կատարե՛ք բաժանում մնացորդի հետ՝ օգտագործելով թվային տողը:

4. Դասի թեմայով առաջադրանք կազմիր ընկերներիդ համար։