Օրինակ, հաջորդականությունը \(2\); \(5\); \(8\); \(տասնմեկ\); \(14\)… թվաբանական պրոգրեսիա է, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը նախորդից տարբերվում է երեքով (կարելի է ստանալ նախորդից՝ ավելացնելով երեքը).
Այս առաջընթացում \(d\) տարբերությունը դրական է (հավասար է \(3\)-ին), և հետևաբար յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ ավելի մեծ է, քան նախորդը: Նման առաջընթացները կոչվում են աճող.
Այնուամենայնիվ, \(d\)-ը նույնպես կարող է լինել բացասական թիվ. Օրինակ, թվաբանական առաջընթացում \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… առաջընթացի տարբերությունը \(d\) հավասար է մինուս վեցի:
Եվ այս դեպքում յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը ավելի քիչ կլինի, քան նախորդը: Այս առաջընթացները կոչվում են նվազում է.
Թվաբանական առաջընթացի նշում
Առաջընթացը նշվում է փոքր լատինատառով:
Այն թվերը, որոնք կազմում են պրոգրեսիա, կոչվում են այն անդամներ(կամ տարրեր):
Նրանք նշվում են նույն տառով, ինչ թվաբանական պրոգրեսիան, բայց թվային ինդեքսով, որը հավասար է տարրի թվին ըստ հերթականության։
Օրինակ, թվաբանական առաջընթացը \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) բաղկացած է տարրերից \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) և այլն:
Այլ կերպ ասած, առաջընթացի համար \(a_n = \ձախ\(2; 5; 8; 11; 14…\աջ\)\)
Խնդիրների լուծում թվաբանական առաջընթացով
Սկզբունքորեն, վերը նշված տեղեկատվությունը արդեն բավական է թվաբանական պրոգրեսիայի վերաբերյալ գրեթե ցանկացած խնդիր լուծելու համար (ներառյալ OGE-ում առաջարկվողները):
Օրինակ (OGE):
Թվաբանական առաջընթացտրված է \(b_1=7; d=4\) պայմաններով: Գտեք \(b_5\):
Լուծում:
Պատասխան. \(b_5=23\)
Օրինակ (OGE):
Տրված են թվաբանական առաջընթացի առաջին երեք անդամները՝ \(62; 49; 36…\) Գտե՛ք այս առաջընթացի առաջին բացասական անդամի արժեքը։
Լուծում:
|
Մեզ տրված են հաջորդականության առաջին տարրերը և գիտենք, որ դա թվաբանական պրոգրեսիա է։ Այսինքն՝ յուրաքանչյուր տարր նույն թվով տարբերվում է հարեւանից։ Պարզի՛ր, թե որն է՝ հանելով նախորդը հաջորդ տարրից՝ \(d=49-62=-13\): |
|
|
Այժմ մենք կարող ենք վերականգնել մեր առաջընթացը դեպի ցանկալի (առաջին բացասական) տարրը: |
|
|
Պատրաստ. Դուք կարող եք գրել պատասխան. |
Պատասխան. \(-3\)
Օրինակ (OGE):
Տրված են թվաբանական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական տարրեր՝ \(...5; x; 10; 12.5...\) Գտե՛ք \(x\) տառով նշանակված տարրի արժեքը։
Լուծում:
|
|
\(x\) գտնելու համար մենք պետք է իմանանք, թե հաջորդ տարրը որքանով է տարբերվում նախորդից, այլ կերպ ասած՝ առաջընթացի տարբերությունը։ Գտնենք այն երկու հայտնի հարեւան տարրերից՝ \(d=12.5-10=2.5\): |
|
|
Եվ հիմա մենք առանց խնդիրների գտնում ենք այն, ինչ փնտրում ենք՝ \(x=5+2.5=7.5\): |
|
|
Պատրաստ. Դուք կարող եք գրել պատասխան. |
Պատասխան. \(7,5\).
Օրինակ (OGE):
Թվաբանական առաջընթացը տրվում է հետևյալ պայմաններով. \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Գտե՛ք այս պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամների գումարը:
Լուծում:
|
Մենք պետք է գտնենք առաջընթացի առաջին վեց անդամների գումարը: Բայց մենք չգիտենք դրանց իմաստները, մեզ տրված է միայն առաջին տարրը։ Հետևաբար, մենք նախ հաշվարկում ենք արժեքները՝ օգտագործելով մեզ տրվածը. \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Պահանջվող գումարը գտնվել է. |
Պատասխան. \(S_6=9\):
Օրինակ (OGE):
Թվաբանական առաջընթացում \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\): Գտեք այս առաջընթացի տարբերությունը:
Լուծում:
Պատասխան. \(d=7\):
Կարևոր թվաբանական առաջընթացի բանաձևեր
Ինչպես տեսնում եք, թվաբանական առաջընթացի շատ խնդիրներ կարելի է լուծել՝ պարզապես հասկանալով հիմնականը, որ թվաբանական առաջընթացը թվերի շղթա է, և այս շղթայի յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը ստացվում է նույն թիվը նախորդին ավելացնելով (տարբերությունը. առաջընթացի մասին):
Այնուամենայնիվ, երբեմն լինում են իրավիճակներ, երբ շատ անհարմար է լուծել «ճակատին»։ Օրինակ, պատկերացրեք, որ հենց առաջին օրինակում մենք պետք է գտնենք ոչ թե հինգերորդ տարրը \(b_5\), այլ երեք հարյուր ութսունվեցերորդ \(b_(386)\): Ի՞նչ է դա, մենք \ (385 \) անգամ ավելացնենք չորս: Կամ պատկերացրեք, որ նախավերջին օրինակում պետք է գտնել առաջին յոթանասուներեք տարրերի գումարը: Հաշվելը շփոթեցնող է...
Հետևաբար, նման դեպքերում նրանք ոչ թե լուծում են «ճակատի վրա», այլ օգտագործում են թվաբանական առաջընթացի համար ստացված հատուկ բանաձևեր։ Իսկ հիմնականներն են առաջընթացի n-րդ անդամի և առաջին անդամների \(n\) գումարի բանաձևը։
\(n\)-րդ անդամի բանաձևը՝ \(a_n=a_1+(n-1)d\), որտեղ \(a_1\) պրոգրեսիայի առաջին անդամն է;
\(n\) – պահանջվող տարրի համարը;
\(a_n\) պրոգրեսիայի անդամ է \(n\) թվով:
Այս բանաձևը թույլ է տալիս արագ գտնել առնվազն երեք հարյուրերորդ, նույնիսկ միլիոներորդ տարրը՝ իմանալով միայն առաջինի և առաջընթացի տարբերությունը:
Օրինակ.
Թվաբանական առաջընթացը տրվում է հետևյալ պայմաններով՝ \(b_1=-159\); \(d=8,2\): Գտեք \(b_(246)\):
Լուծում:
Պատասխան. \(b_(246)=1850\):
Առաջին n տերմինների գումարի բանաձևը հետևյալն է. \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), որտեղ
\(a_n\) վերջին ամփոփված անդամն է.
Օրինակ (OGE):
Թվաբանական առաջընթացը տրվում է \(a_n=3.4n-0.6\) պայմաններով։ Գտեք այս առաջընթացի առաջին \(25\) անդամների գումարը:
Լուծում:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) |
Առաջին քսանհինգ տարրերի գումարը հաշվարկելու համար մենք պետք է իմանանք առաջին և քսանհինգերորդ անդամի արժեքը։ |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\) |
Հիմա եկեք գտնենք քսանհինգերորդ անդամը՝ փոխարինելով քսանհինգը՝ \(n\) փոխարեն։ |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\) |
Դե, հիմա մենք առանց խնդիրների հաշվում ենք պահանջվող գումարը։ |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Պատասխանը պատրաստ է. |
Պատասխան. \(S_(25)=1090\):
Առաջին անդամների \(n\) գումարի համար կարող եք ստանալ մեկ այլ բանաձև. պարզապես անհրաժեշտ է \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\)-ի փոխարեն փոխարինեք դրա բանաձևը \(a_n=a_1+(n-1)d\): Մենք ստանում ենք.
Առաջին n տերմինների գումարի բանաձևը հետևյալն է. \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), որտեղ
\(S_n\) – առաջին տարրերի պահանջվող գումարը \(n\);
\(a_1\) առաջին անդամն է, որը պետք է ամփոփվի;
\(d\) - առաջընթացի տարբերություն;
\(n\) - գումարի տարրերի քանակը:
Օրինակ.
Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին \(33\)-նախ անդամների գումարը՝ \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Լուծում:
Պատասխան. \(S_(33)=-231\):
Ավելի բարդ թվաբանական առաջընթացի խնդիրներ
Այժմ դուք ունեք բոլոր անհրաժեշտ տեղեկությունները թվաբանական առաջընթացի գրեթե ցանկացած խնդիր լուծելու համար: Եկեք ավարտենք թեման՝ դիտարկելով խնդիրներ, որոնցում անհրաժեշտ է ոչ միայն կիրառել բանաձևեր, այլև մի փոքր մտածել (մաթեմատիկայի մեջ դա կարող է օգտակար լինել ☺)
Օրինակ (OGE):
Գտեք առաջընթացի բոլոր բացասական անդամների գումարը. \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Լուծում:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Առաջադրանքը շատ նման է նախորդին. Մենք սկսում ենք լուծել նույն կերպ՝ նախ գտնում ենք \(d\): |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Այժմ մենք կփոխարինենք \(d\)-ը գումարի բանաձևում ... և այստեղ մի փոքր նրբերանգ է առաջանում. մենք չգիտենք \(n\): Այսինքն՝ մենք չգիտենք, թե քանի տերմին պետք կլինի ավելացնել։ Ինչպե՞ս պարզել: Եկեք մտածենք. Մենք կդադարենք ավելացնել տարրերը, երբ հասնենք առաջին դրական տարրին: Այսինքն, դուք պետք է պարզեք այս տարրի թիվը: Ինչպե՞ս: Եկեք գրենք թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած տարրի հաշվարկման բանաձևը՝ \(a_n=a_1+(n-1)d\) մեր դեպքի համար։ |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\) |
Մեզ անհրաժեշտ է, որ \(a_n\) լինի զրոյից մեծ: Եկեք պարզենք, թե ինչի համար \(n\) կլինի սա: |
|
|
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\) |
||
|
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Անհավասարության երկու կողմերը բաժանում ենք \(0,3\): |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Մենք փոխանցում ենք մինուս մեկ՝ չմոռանալով փոխել նշանները |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Հաշվողական... |
|
|
\(n>65,333…\) |
…և ստացվում է, որ առաջին դրական տարրը կունենա \(66\) թիվը։ Համապատասխանաբար, վերջին բացասականն ունի \(n=65\): Ամեն դեպքում, եկեք ստուգենք այն: |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) |
Այսպիսով, մենք պետք է ավելացնենք առաջին \(65\) տարրերը: |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Պատասխանը պատրաստ է. |
Պատասխան. \(S_(65)=-630.5\):
Օրինակ (OGE):
Թվաբանական առաջընթացը տրվում է հետևյալ պայմաններով՝ \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\): Գտեք \(26\)րդից \(42\) տարրի գումարը ներառյալ:
Լուծում:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Այս խնդրի մեջ պետք է գտնել նաև տարրերի գումարը, բայց սկսած ոչ թե առաջինից, այլ \(26\)րդից։ Մենք դրա համար բանաձեւ չունենք. Ինչպե՞ս որոշել: |
|
|
Մեր \(a_1=-33\) առաջընթացի և \(d=4\) տարբերության համար (ի վերջո, մենք ավելացնում ենք չորսը նախորդ տարրին՝ հաջորդը գտնելու համար): Իմանալով սա՝ մենք գտնում ենք առաջին \(42\)-uh տարրերի գումարը: |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Այժմ առաջին \(25\)-րդ տարրերի գումարը: |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Եվ վերջապես, մենք հաշվարկում ենք պատասխանը. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Պատասխան. \(S=1683\):
Թվաբանական առաջընթացի համար կան ևս մի քանի բանաձևեր, որոնք մենք չենք դիտարկել այս հոդվածում իրենց ցածր գործնական օգտակարության պատճառով: Այնուամենայնիվ, դուք հեշտությամբ կարող եք գտնել դրանք:
Թվաբանական առաջընթացի գումարը:
Թվաբանական առաջընթացի գումարը պարզ բան է։ Ե՛վ իմաստով, և՛ բանաձևով։ Բայց այս թեմայի շուրջ կան բոլոր տեսակի առաջադրանքներ: Տարրականից մինչև բավականին ամուր:
Նախ անդրադառնանք գումարի իմաստին և բանաձևին։ Եվ հետո մենք կորոշենք. Ձեր իսկ հաճույքի համար:) Գումարի իմաստը նույնքան պարզ է, որքան ցածրացնելը: Թվաբանական առաջընթացի գումարը գտնելու համար պարզապես անհրաժեշտ է ուշադիր ավելացնել դրա բոլոր անդամները: Եթե այս տերմինները քիչ են, կարող եք ավելացնել առանց որևէ բանաձևի: Բայց եթե կա շատ, կամ շատ ... ավելացումը նյարդայնացնում է:) Այս դեպքում բանաձևը փրկում է:
Գումարի բանաձևը պարզ է.
Եկեք պարզենք, թե ինչպիսի տառեր են ներառված բանաձևում: Սա շատ բան կպարզի:
Ս ն թվաբանական պրոգրեսիայի գումարն է։ Լրացման արդյունք բոլորըանդամներ, հետ առաջինԸստ վերջին.Դա կարեւոր է. Ճշգրիտ գումարեք Բոլորըանդամներ անընդմեջ՝ առանց բացերի ու ցատկերի։ Եվ, ճիշտ, սկսած առաջին.Այնպիսի խնդիրներում, ինչպիսիք են երրորդ և ութերորդ անդամների գումարը գտնելը կամ հինգից քսաներորդ անդամների գումարը, բանաձևի ուղղակի կիրառումը հիասթափեցնող կլինի:
ա 1 - առաջինառաջընթացի անդամ։ Այստեղ ամեն ինչ պարզ է, պարզ է առաջինշարքի համարը.
a n- վերջինառաջընթացի անդամ։ Շարքի վերջին համարը. Շատ ծանոթ անուն չէ, բայց, երբ կիրառվում է գումարի վրա, այն շատ հարմար է։ Հետո ինքներդ կտեսնեք։
n վերջին անդամի թիվն է։ Կարևոր է հասկանալ, որ բանաձևում այս թիվը համընկնում է ավելացված անդամների թվի հետ:
Եկեք սահմանենք հայեցակարգը վերջինանդամ a n. Լրացնող հարց՝ ինչպիսի՞ անդամ կլինի վերջին,եթե տրվի անվերջթվաբանական առաջընթաց?
Վստահ պատասխանի համար դուք պետք է հասկանաք թվաբանական առաջընթացի տարրական նշանակությունը և ... ուշադիր կարդացեք առաջադրանքը:)
Թվաբանական առաջընթացի գումարը գտնելու առաջադրանքում միշտ հայտնվում է վերջին անդամը (ուղղակի կամ անուղղակի). որը պետք է սահմանափակվի։Հակառակ դեպքում՝ վերջավոր, կոնկրետ գումար պարզապես գոյություն չունի:Լուծման համար նշանակություն չունի, թե ինչպիսի պրոգրեսիա է տրված՝ վերջավոր, թե անսահման։ Կարևոր չէ, թե ինչպես է տրված՝ թվերի շարքով, թե n-րդ անդամի բանաձևով։
Ամենակարևորը հասկանալն է, որ բանաձևը գործում է առաջընթացի առաջին անդամից մինչև թվով տերմին n.Փաստորեն, բանաձևի ամբողջական անվանումն ունի հետևյալ տեսքը. թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը։Այս առաջին անդամների թիվը, այսինքն. n, որոշվում է բացառապես առաջադրանքով։ Առաջադրանքում այս ամբողջ արժեքավոր տեղեկատվությունը հաճախ կոդավորված է, այո ... Բայց ոչինչ, ստորև բերված օրինակներում մենք կբացահայտենք այս գաղտնիքները:)
Թվաբանական առաջընթացի գումարի առաջադրանքների օրինակներ:
Նախ եւ առաջ, օգտակար տեղեկատվություն:
Թվաբանական առաջընթացի գումարի առաջադրանքների հիմնական դժվարությունը բանաձևի տարրերի ճիշտ որոշումն է:
Առաջադրանքների հեղինակներն անսահման երևակայությամբ կոդավորում են հենց այս տարրերը։) Այստեղ գլխավորը չվախենալն է։ Հասկանալով տարրերի էությունը՝ բավական է միայն վերծանել դրանք։ Եկեք մանրամասն նայենք մի քանի օրինակների: Սկսենք իրական GIA-ի վրա հիմնված առաջադրանքից:
1. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է պայմանով՝ a n = 2n-3.5: Գտե՛ք առաջին 10 անդամների գումարը:
Լավ աշխատանք. Հեշտ։) Բանաձևով գումարը որոշելու համար ի՞նչ է պետք իմանալ։ Առաջին անդամ ա 1, վերջին ժամկետը a n, այո վերջին կիսամյակի թիվը n.
Որտեղ ստանալ վերջին անդամի համարը n? Այո, այնտեղ, վիճակում! Ասում է՝ գտիր գումարը առաջին 10 անդամները.Դե ինչ թիվ կլինի վերջին,տասներորդ անդամ?) Չեք հավատա, նրա թիվը տասներորդն է:) Հետևաբար, փոխարենը a nմենք կփոխարինենք բանաձևի մեջ ա 10, բայց փոխարենը n- տասը: Դարձյալ վերջին անդամի թիվը նույնն է, ինչ անդամների թիվը։
Մնում է պարզել ա 1Եվ ա 10. Սա հեշտությամբ հաշվարկվում է n-րդ անդամի բանաձևով, որը տրված է խնդրի դրույթում։ Չգիտե՞ք ինչպես դա անել: Այցելեք նախորդ դասը, առանց դրա՝ ոչինչ:
ա 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
ա 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5
Ս ն = Ս 10.
Մենք պարզեցինք թվաբանական առաջընթացի գումարի բանաձևի բոլոր տարրերի նշանակությունը: Մնում է դրանք փոխարինել և հաշվել.
Դա այն ամենն է, ինչ կա դրա համար: Պատասխան՝ 75։
Մեկ այլ խնդիր՝ հիմնված GIA-ի վրա. Մի փոքր ավելի բարդ.
2. Տրվում է թվաբանական պրոգրեսիա (a n), որի տարբերությունը 3,7 է; a 1 \u003d 2.3. Գտե՛ք առաջին 15 անդամների գումարը:
Մենք անմիջապես գրում ենք գումարի բանաձևը.
Այս բանաձեւը թույլ է տալիս մեզ գտնել ցանկացած անդամի արժեքը իր թվով: Մենք փնտրում ենք պարզ փոխարինում.
ա 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1
Մնում է թվաբանական առաջընթացի գումարի բանաձևի բոլոր տարրերը փոխարինել և հաշվարկել պատասխանը.
Պատասխան՝ 423։
Ի դեպ, եթե գումարի բանաձեւում փոխարեն a nպարզապես փոխարինելով n-րդ անդամի բանաձևը՝ ստանում ենք.
Մենք տալիս ենք նմանատիպերը, ստանում ենք թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարի նոր բանաձև.
 |
Ինչպես տեսնում եք, կարիք չկա n-րդ անդամ a n. Որոշ առաջադրանքներում այս բանաձեւը շատ է օգնում, այո... Դուք կարող եք հիշել այս բանաձեւը: Եվ դուք կարող եք պարզապես հետ վերցնել այն ճիշտ ժամանակին, ինչպես այստեղ: Ի վերջո, գումարի և n-րդ անդամի բանաձևը պետք է ամեն կերպ հիշել:)
Այժմ առաջադրանքը կարճ գաղտնագրման տեսքով).
3. Գտի՛ր բոլոր դրականների գումարը երկնիշ թվեր, երեքի բազմապատիկ։
Ինչպես! Ոչ առաջին անդամ, ոչ վերջին, ոչ մի առաջընթաց... Ինչպե՞ս ապրել:
Ստիպված կլինեք գլխով մտածել և վիճակից դուրս հանել թվաբանական առաջընթացի գումարի բոլոր տարրերը։ Որոնք են երկնիշ թվերը - մենք գիտենք: Դրանք բաղկացած են երկու թվից։) Ո՞ր երկնիշ թիվն է լինելու առաջին? 10, հավանաբար): վերջին բանըերկնիշ թիվ? 99, իհարկե! Եռանիշները կհետևեն նրան ...
Երեքի բազմապատիկները... Հմ... Սրանք թվեր են, որոնք հավասարապես բաժանվում են երեքի, ահա՛։ Տասը չի բաժանվում երեքի, 11-ը չի բաժանվում... 12... բաժանվում է։ Այսպիսով, ինչ-որ բան է առաջանում. Դուք արդեն կարող եք գրել շարք ըստ խնդրի պայմանի.
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Արդյո՞ք այս շարքը կլինի թվաբանական առաջընթաց: Անշուշտ։ Յուրաքանչյուր տերմին նախորդից տարբերվում է խիստ երեքով։ Եթե տերմինին ավելացվում է 2 կամ 4, ասենք, արդյունքը, այսինքն. նոր թիվն այլևս չի բաժանվի 3-ի: Դուք կարող եք անմիջապես որոշել թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը դեպի կույտ. d = 3.Օգտակար!)
Այսպիսով, մենք կարող ենք ապահով կերպով գրել առաջընթացի որոշ պարամետրեր.
Ինչ թիվը կլինի nվերջին անդամը? Ամեն ոք, ով կարծում է, որ 99-ը չարաչար սխալվում է... Թվերը. դրանք միշտ անընդմեջ են գնում, և մեր անդամները ցատկում են լավագույն եռյակը: Նրանք չեն համընկնում:
Այստեղ երկու լուծում կա. Ճանապարհներից մեկը գերաշխատասերների համար է: Կարելի է նկարել պրոգրեսիան, թվերի ամբողջ շարքը և մատով հաշվել տերմինների քանակը։) Երկրորդ ճանապարհը մտածվածների համար է։ Պետք է հիշել n-րդ անդամի բանաձևը. Եթե բանաձևը կիրառվում է մեր խնդրի նկատմամբ, մենք ստանում ենք, որ 99-ը առաջընթացի երեսուներորդ անդամն է: Նրանք. n = 30:
Մենք նայում ենք թվաբանական առաջընթացի գումարի բանաձևին.
Նայում ենք և ուրախանում։) Խնդրի վիճակից հանեցինք գումարը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ ամեն ինչ.
ա 1= 12.
ա 30= 99.
Ս ն = S 30.
Մնում է տարրական թվաբանություն։ Փոխարինեք բանաձևի թվերը և հաշվարկեք.
Պատասխան՝ 1665 թ
Հանրաճանաչ հանելուկների մեկ այլ տեսակ.
4. Տրված է թվաբանական պրոգրեսիա.
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Գտե՛ք քսաներորդից մինչև երեսունչորրորդ թվերի գումարը:
Նայում ենք գումարի բանաձևը և ... նեղվում ենք։) Բանաձևը, հիշեցնեմ, հաշվարկում է գումարը։ առաջինիցանդամ. Իսկ խնդրի մեջ պետք է հաշվարկել գումարը քսաներորդից...Բանաձևը չի աշխատի.
Դուք, իհարկե, կարող եք նկարել ամբողջ պրոգրեսիան անընդմեջ, և անդամներին դնել 20-ից մինչև 34: Բայց ... ինչ-որ կերպ հիմար և երկար ժամանակ է ստացվում, չէ՞):
Կա ավելի էլեգանտ լուծում. Եկեք բաժանենք մեր շարքը երկու մասի. Առաջին մասը կլինի առաջին կիսամյակից մինչև տասնիններորդը:Երկրորդ մաս - քսանից երեսունչորս.Հասկանալի է, որ եթե հաշվարկենք առաջին մասի պայմանների գումարը Ս 1-19, ավելացնենք երկրորդ մասի անդամների գումարին Ս 20-34, ստանում ենք առաջին անդամից մինչև երեսունչորրորդ առաջընթացի գումարը Ս 1-34. Սրա նման:
Ս 1-19 + Ս 20-34 = Ս 1-34
Սա ցույց է տալիս, որ գումարը գտնելու համար Ս 20-34կարելի է անել պարզ հանումով
Ս 20-34 = Ս 1-34 - Ս 1-19
Հաշվի են առնվում աջ կողմի երկու գումարները առաջինիցանդամ, այսինքն. ստանդարտ գումարի բանաձևը բավականին կիրառելի է նրանց համար: Մենք սկսում ենք?
Առաջընթացի պարամետրերը մենք հանում ենք առաջադրանքի պայմանից.
դ = 1,5:
ա 1= -21,5.
Առաջին 19 և առաջին 34 անդամների գումարները հաշվարկելու համար մեզ անհրաժեշտ կլինեն 19-րդ և 34-րդ անդամները։ Մենք դրանք հաշվում ենք ըստ n-րդ անդամի բանաձևի, ինչպես 2-րդ խնդիրում.
ա 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
ա 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
ոչինչ չի մնացել։ 19 անդամի գումարը հանել 34 անդամի գումարից.
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Պատասխան՝ 262.5
Մեկ կարևոր նշում. Այս խնդիրը լուծելու համար շատ օգտակար հատկություն կա. Ուղղակի հաշվարկի փոխարեն այն, ինչ ձեզ հարկավոր է (S 20-34),մենք հաշվել ենք ինչ, թվում է, պետք չէ - S 1-19:Եվ հետո որոշեցին Ս 20-34, լրիվ արդյունքից հեռացնելով ավելորդը։ Նման «ականջներով արվածը» հաճախ փրկում է չար հանելուկների մեջ):
Այս դասում մենք ուսումնասիրեցինք խնդիրներ, որոնց համար բավական է հասկանալ թվաբանական առաջընթացի գումարի իմաստը: Դե, դուք պետք է իմանաք մի քանի բանաձև):
Թվաբանական առաջընթացի գումարի համար որևէ խնդիր լուծելիս խորհուրդ եմ տալիս անմիջապես դուրս գրել այս թեմայից երկու հիմնական բանաձևերը։
n-րդ կիսամյակի բանաձևը.
Այս բանաձևերը ձեզ անմիջապես կասեն, թե ինչ պետք է փնտրել, որ ուղղությամբ մտածել խնդիրը լուծելու համար։ Օգնում է.
Իսկ հիմա ինքնուրույն լուծման առաջադրանքները։
5. Գտի՛ր երեքի չբաժանվող բոլոր երկնիշ թվերի գումարը:
Հա՞յլ է:) Հուշումը թաքնված է 4-րդ խնդրի նշումում: Դե, խնդիրը 3-ը կօգնի:
6. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է պայմանով՝ a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0.5. Գտե՛ք առաջին 24 անդամների գումարը:
Անսովոր?) Սա կրկնվող բանաձև է: Դրա մասին կարող եք կարդալ նախորդ դասում։ Մի անտեսեք հղումը, նման հանելուկներ հաճախ հանդիպում են GIA-ում:
7. Վասյան գումար է կուտակել տոնի համար: Մինչև 4550 ռուբլի: Եվ ես որոշեցի ամենասիրելի մարդուն (ինքս) մի քանի օր երջանկություն պարգեւել): Ապրիր գեղեցիկ՝ չուրանալով քեզ ոչինչ։ Առաջին օրը ծախսեք 500 ռուբլի, իսկ հաջորդ օրը ծախսեք 50 ռուբլի ավելի, քան նախորդ օրը: Մինչև փողը վերջանա։ Քանի՞ օր երջանկություն ուներ Վասյան:
Դժվա՞ր է։) Կօգնի՞ լրացուցիչ բանաձեւառաջադրանքից 2.
Պատասխաններ (խառնաշփոթ). 7, 3240, 6:
Եթե Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...
Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)
Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)
կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։
Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացներ
Տեսական տեղեկատվություն
Տեսական տեղեկատվություն
Թվաբանական առաջընթաց |
Երկրաչափական առաջընթաց |
|
Սահմանում |
Թվաբանական առաջընթաց a nկոչվում է հաջորդականություն, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ անդամին՝ գումարված նույն թվով. դ (դ- առաջընթացի տարբերություն) |
երկրաչափական առաջընթաց b nկոչվում է ոչ զրոյական թվերի հաջորդականություն, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ անդամին բազմապատկած նույն թվով. ք (ք- առաջընթացի հայտարար) |
Կրկնվող բանաձեւ |
Ցանկացած բնականի համար n |
Ցանկացած բնականի համար n |
n-րդ տերմինի բանաձևը |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| բնորոշ հատկություն |  |
|
| Առաջին n անդամների գումարը |  |
 |
Առաջադրանքների օրինակներ մեկնաբանություններով
Վարժություն 1
Թվաբանական առաջընթացով ( a n) ա 1 = -6, ա 2
n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.
ա 22 = ա 1+ d (22 - 1) = ա 1+ 21 դ
Ըստ պայմանի.
ա 1= -6, ուրեմն ա 22= -6 + 21դ.
Անհրաժեշտ է գտնել առաջընթացների տարբերությունը.
դ= ա 2 – ա 1 = -8 – (-6) = -2
ա 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Պատասխան. ա 22 = -48.
Առաջադրանք 2
Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հինգերորդ անդամը՝ -3; 6;....
1-ին ճանապարհ (n-term բանաձևի օգտագործմամբ)
Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Որովհետեւ բ 1 = -3,
2-րդ ճանապարհ (օգտագործելով ռեկուրսիվ բանաձև)
Քանի որ պրոգրեսիայի հայտարարը -2 է (q = -2), ապա.
բ 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
բ 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
բ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Պատասխան. բ 5 = -48.
Առաջադրանք 3
Թվաբանական առաջընթացով ( ա ժդ) 74 = 34; ա 76= 156. Գտե՛ք այս առաջընթացի յոթանասունհինգերորդ անդամը:
Թվաբանական առաջընթացի համար բնորոշ հատկությունն ունի ձևը 
.
Հետևաբար.
.
Տվյալները փոխարինեք բանաձևով.
Պատասխան՝ 95։
Առաջադրանք 4
Թվաբանական առաջընթացով ( a n ) a n= 3n - 4. Գտե՛ք առաջին տասնյոթ անդամների գումարը:
Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը գտնելու համար օգտագործվում են երկու բանաձև.
.
Դրանցից ո՞րն է ավելի հարմար կիրառել այս դեպքում։
Ըստ պայմանի, հայտնի է սկզբնական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը ( a n) a n= 3n - 4. Կարելի է անմիջապես գտնել և ա 1, Եվ ա 16առանց գտնելու դ. Հետեւաբար, մենք օգտագործում ենք առաջին բանաձեւը.
Պատասխան՝ 368։
Առաջադրանք 5
Թվաբանական առաջընթացի մեջ a n) ա 1 = -6; ա 2= -8. Գտեք առաջընթացի քսաներկուերորդ անդամը:
n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.
ա 22 = ա 1 + դ (22 – 1) = ա 1+ 21 դ.
Պայմանով, եթե ա 1= -6, ապա ա 22= -6 + 21դ. Անհրաժեշտ է գտնել առաջընթացների տարբերությունը.
դ= ա 2 – ա 1 = -8 – (-6) = -2
ա 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Պատասխան. ա 22 = -48.
Առաջադրանք 6
Գրանցվում են երկրաչափական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական անդամներ.
Գտե՛ք պրոգրեսիայի տերմինը, որը նշվում է x տառով:
Լուծելիս օգտագործում ենք n-րդ անդամի բանաձևը b n \u003d b 1 ∙ q n - 1Համար երկրաչափական առաջընթացներ. Առաջընթացի առաջին անդամը. q պրոգրեսիայի հայտարարը գտնելու համար անհրաժեշտ է վերցնել պրոգրեսիայի այս անդամներից որևէ մեկը և բաժանել նախորդի վրա։ Մեր օրինակում կարող եք վերցնել և բաժանել: Մենք ստանում ենք, որ q \u003d 3. n-ի փոխարեն բանաձևում փոխարինում ենք 3-ը, քանի որ անհրաժեշտ է գտնել տվյալ երկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը:
Գտնված արժեքները բանաձևի մեջ փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք.
.
Պատասխան.
Առաջադրանք 7
n-րդ անդամի բանաձևով տրված թվաբանական առաջընթացներից ընտրե՛ք այն մեկը, որի համար պայմանը բավարարված է. ա 27 > 9:
Քանի որ նշված պայմանը պետք է բավարարվի առաջընթացի 27-րդ անդամի համար, չորս առաջընթացներից յուրաքանչյուրում n-ի փոխարեն փոխարինում ենք 27-ը: 4-րդ առաջընթացում մենք ստանում ենք.
.
Պատասխան՝ 4.
Առաջադրանք 8
Թվաբանական առաջընթացի մեջ ա 1= 3, d = -1,5: Նշեք ամենաբարձր արժեքը n , որի համար անհավասարությունը a n > -6.
Ինչ-որ մեկը զգուշությամբ է վերաբերվում «առաջընթաց» բառին, որպես շատ բարդ տերմինբարձրագույն մաթեմատիկայի ճյուղերից։ Մինչդեռ ամենապարզ թվաբանական առաջընթացը տաքսիների հաշվիչի աշխատանքն է (որտեղ դեռ մնում են)։ Իսկ թվաբանական հաջորդականության էությունը հասկանալը (իսկ մաթեմատիկայի մեջ ավելի կարևոր բան չկա, քան «էությունը հասկանալը») այնքան էլ դժվար չէ՝ վերլուծելով մի քանի տարրական հասկացություններ։
Մաթեմատիկական թվերի հաջորդականություն
Ընդունված է թվային հաջորդականություն անվանել թվերի շարք, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի իր համարը։
իսկ 1-ը հաջորդականության առաջին անդամն է.
իսկ 2-ը հաջորդականության երկրորդ անդամն է.
իսկ 7-ը հաջորդականության յոթերորդ անդամն է.
իսկ n-ը հաջորդականության n-րդ անդամն է.
Այնուամենայնիվ, ոչ մի կամայական թվեր և թվեր մեզ չեն հետաքրքրում։ Մենք կկենտրոնացնենք մեր ուշադրությունը թվային հաջորդականության վրա, որտեղ n-րդ անդամի արժեքը կապված է նրա հերթական թվի հետ կախվածության միջոցով, որը կարող է հստակ ձևակերպվել մաթեմատիկորեն: Այլ կերպ ասած՝ n-րդ թվի թվային արժեքը n-ի որոշ ֆունկցիա է:
a - թվային հաջորդականության անդամի արժեքը.
n-ը նրա սերիական համարն է.
f(n) ֆունկցիան է, որտեղ n թվային հաջորդականության հերթականությունը արգումենտն է:
Սահմանում
Թվաբանական առաջընթացը սովորաբար կոչվում է թվային հաջորդականություն, որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը նույն թվով մեծ է (պակաս) նախորդից։ Թվաբանական հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը հետևյալն է.
a n - թվաբանական առաջընթացի ընթացիկ անդամի արժեքը.
a n+1 - հաջորդ թվի բանաձևը.
դ - տարբերություն (որոշակի թիվ):
Հեշտ է որոշել, որ եթե տարբերությունը դրական է (d>0), ապա դիտարկվող շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ ավելի մեծ կլինի, քան նախորդը, և նման թվաբանական առաջընթացը կաճի։
Ստորև բերված գրաֆիկում հեշտ է հասկանալ, թե ինչու է թվերի հաջորդականությունը կոչվում «աճող»:
Այն դեպքերում, երբ տարբերությունը բացասական է (դ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Նշված անդամի արժեքը
Երբեմն անհրաժեշտ է որոշել թվաբանական պրոգրեսիայի որոշ կամայական a n անդամի արժեքը: Դուք կարող եք դա անել՝ հաջորդաբար հաշվարկելով թվաբանական առաջընթացի բոլոր անդամների արժեքները՝ առաջինից մինչև ցանկալիը: Սակայն այս ճանապարհը միշտ չէ, որ ընդունելի է, եթե, օրինակ, անհրաժեշտ է գտնել հինգ հազարերորդ կամ ութ միլիոներորդ անդամի արժեքը։ Ավանդական հաշվարկը երկար ժամանակ կպահանջի։ Այնուամենայնիվ, որոշակի թվաբանական առաջընթացը կարող է ուսումնասիրվել որոշակի բանաձևերի միջոցով: Գոյություն ունի նաև n-րդ անդամի բանաձև՝ թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամի արժեքը կարող է որոշվել որպես առաջընթացի առաջին անդամի գումար՝ առաջընթացի տարբերությամբ՝ բազմապատկելով ցանկալի անդամի թվով, հանած մեկ։ .
Բանաձևը ունիվերսալ է առաջընթացի ավելացման և նվազման համար:
Տվյալ անդամի արժեքը հաշվարկելու օրինակ
Լուծենք թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի արժեքը գտնելու հետևյալ խնդիրը.
Պայման՝ առկա է թվաբանական առաջընթաց՝ պարամետրերով.
Հերթականության առաջին անդամը 3-ն է;
Թվերի շարքի տարբերությունը 1,2 է։
Առաջադրանք՝ անհրաժեշտ է գտնել 214 տերմինների արժեքը
Լուծում. տվյալ անդամի արժեքը որոշելու համար օգտագործում ենք բանաձևը.
a(n) = a1 + d(n-1)
Խնդրի դրույթի տվյալները փոխարինելով արտահայտության մեջ՝ ունենք.
a (214) = a1 + d (n-1)
ա(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
Պատասխան՝ հաջորդականության 214-րդ անդամը հավասար է 258,6-ի։
Այս հաշվարկման մեթոդի առավելություններն ակնհայտ են. ամբողջ լուծումը տևում է ոչ ավելի, քան 2 տող:
Տրված թվով անդամների գումարը
Շատ հաճախ, տվյալ թվաբանական շարքում պահանջվում է որոշել դրա որոշ հատվածների արժեքների գումարը: Նաև կարիք չկա հաշվարկել յուրաքանչյուր տերմինի արժեքները և այնուհետև ամփոփել դրանք: Այս մեթոդը կիրառելի է, եթե այն տերմինների թիվը, որոնց գումարը պետք է գտնել, փոքր է: Այլ դեպքերում ավելի հարմար է օգտագործել հետեւյալ բանաձեւը.
1-ից n թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարը հավասար է առաջին և n-րդ անդամների գումարին՝ բազմապատկված n անդամի վրա և բաժանված երկուսի։ Եթե բանաձևում n-րդ անդամի արժեքը փոխարինվում է հոդվածի նախորդ պարբերության արտահայտությամբ, ապա ստանում ենք.
Հաշվարկի օրինակ
Օրինակ՝ լուծենք խնդիր հետևյալ պայմաններով.
Հերթականության առաջին անդամը զրո է.
Տարբերությունը 0,5 է։
Խնդրում պահանջվում է որոշել շարքի տերմինների գումարը 56-ից մինչև 101։
Լուծում. Առաջընթացի գումարը որոշելու համար օգտագործենք բանաձևը.
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Նախ՝ մենք որոշում ենք պրոգրեսիայի 101 անդամների արժեքների գումարը՝ մեր խնդրի տվյալ պայմանները փոխարինելով բանաձևով.
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Ակնհայտ է, որ 56-րդից 101-րդ առաջընթացի պայմանների գումարը պարզելու համար անհրաժեշտ է S 101-ից հանել S 55-ը։
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Այսպիսով, այս օրինակի համար թվաբանական առաջընթացի գումարը հետևյալն է.
s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782.5
Թվաբանական առաջընթացի գործնական կիրառման օրինակ
Հոդվածի վերջում վերադառնանք առաջին պարբերությունում տրված թվաբանական հաջորդականության օրինակին՝ տաքսիմետր (տաքսի մեքենայի հաշվիչ)։ Դիտարկենք նման օրինակ.
Տաքսի նստելը (որը ներառում է 3 կմ) արժե 50 ռուբլի։ Յուրաքանչյուր հաջորդ կիլոմետրը վճարվում է 22 ռուբլի / կմ փոխարժեքով: Ճանապարհորդության հեռավորությունը 30 կմ: Հաշվեք ուղևորության արժեքը.
1. Եկեք դեն նետենք առաջին 3 կմ-ը, որի գինը ներառված է վայրէջքի արժեքի մեջ։
30 - 3 = 27 կմ.
2. Հետագա հաշվարկը ոչ այլ ինչ է, քան թվաբանական թվերի շարքի վերլուծություն:
Անդամի համարը անցած կիլոմետրերի թիվն է (բացի առաջին երեքը):
Անդամի արժեքը գումարն է:
Այս խնդրի առաջին տերմինը հավասար կլինի 1 = 50 ռուբլի:
Առաջընթացի տարբերություն d = 22 p.
մեզ հետաքրքրող թիվը - թվաբանական առաջընթացի (27 + 1) անդամի արժեքը - 27-րդ կիլոմետրի վերջում մետրի ցուցանիշը - 27,999 ... = 28 կմ:
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Օրացույցային տվյալների հաշվարկները կամայականորեն երկար ժամանակահատվածի համար հիմնված են որոշակի թվային հաջորդականություններ նկարագրող բանաձևերի վրա: Աստղագիտության մեջ ուղեծրի երկարությունը երկրաչափորեն կախված է երկնային մարմնի և լուսատուի հեռավորությունից։ Բացի այդ, տարբեր թվային շարքեր հաջողությամբ օգտագործվում են վիճակագրության և մաթեմատիկայի այլ կիրառական ճյուղերում։
Թվերի հաջորդականության մեկ այլ տեսակ երկրաչափական է
Երկրաչափական պրոգրեսիան բնութագրվում է փոփոխությունների մեծ արագությամբ, համեմատած թվաբանականի հետ: Պատահական չէ, որ քաղաքականության, սոցիոլոգիայի, բժշկության մեջ հաճախ, որպեսզի ցույց տան կոնկրետ երեւույթի տարածման մեծ արագությունը, օրինակ՝ հիվանդության համաճարակի ժամանակ, ասում են, որ այդ գործընթացը զարգանում է երկրաչափական ծավալով։
Երկրաչափական թվերի շարքի N-րդ անդամը տարբերվում է նախորդից նրանով, որ այն բազմապատկվում է ինչ-որ հաստատուն թվով` հայտարարով, օրինակ, առաջին անդամը 1 է, հայտարարը համապատասխանաբար 2 է, ապա.
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4՝ 8 ∙ 2 = 16
n=5՝ 16 ∙ 2 = 32,
b n - երկրաչափական պրոգրեսիայի ընթացիկ անդամի արժեքը.
b n+1 - երկրաչափական պրոգրեսիայի հաջորդ անդամի բանաձեւը.
q-ն երկրաչափական պրոգրեսիայի (հաստատուն թվի) հայտարարն է։
Եթե թվաբանական առաջընթացի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, ապա երկրաչափականը մի փոքր այլ պատկեր է գծում.
Ինչպես թվաբանության դեպքում, երկրաչափական պրոգրեսիան ունի կամայական անդամի արժեքի բանաձև։ Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած n-րդ անդամ հավասար է առաջին անդամի արտադրյալին և n-ի հզորության առաջընթացի հայտարարին՝ կրճատված մեկով.
Օրինակ. Մենք ունենք երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը հավասար է 3-ի, իսկ առաջընթացի հայտարարը հավասար է 1,5-ի: Գտե՛ք առաջընթացի 5-րդ անդամը
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875
Տվյալ թվի անդամների գումարը նույնպես հաշվարկվում է հատուկ բանաձևով. Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը հավասար է պրոգրեսիայի n-րդ անդամի և նրա հայտարարի արտադրյալի և պրոգրեսիայի առաջին անդամի արտադրյալի տարբերությանը, որը բաժանվում է մեկով կրճատված հայտարարի վրա.
Եթե b n-ը փոխարինվի վերը քննարկված բանաձևով, ապա դիտարկվող թվային շարքի առաջին n անդամների գումարի արժեքը կստանա հետևյալ ձևը.
Օրինակ. Երկրաչափական պրոգրեսիան սկսվում է առաջին անդամից, որը հավասար է 1-ի: Հայտարարը հավասար է 3-ի: Գտնենք առաջին ութ անդամների գումարը:
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Թվային հաջորդականության հասկացությունը ենթադրում է, որ յուրաքանչյուր բնական թիվ համապատասխանում է իրական արժեքի: Թվերի նման շարքը կարող է լինել և՛ կամայական, և՛ որոշակի հատկություններ՝ առաջընթաց: Վերջին դեպքում, հաջորդականության յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը (անդամը) կարող է հաշվարկվել նախորդի միջոցով:
Թվաբանական առաջընթացը թվային արժեքների հաջորդականություն է, որով նրա հարևան անդամները տարբերվում են միմյանցից նույն թվով (շարքի բոլոր տարրերը, սկսած 2-րդից, ունեն նմանատիպ հատկություն): Այս թիվը՝ նախորդ և հաջորդ անդամի տարբերությունը, հաստատուն է և կոչվում է առաջընթացի տարբերություն։
Առաջընթացի տարբերություն. սահմանում
Դիտարկենք j արժեքներից բաղկացած հաջորդականություն՝ A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j պատկանում է N բնական թվերի բազմությանը: Թվաբանական առաջընթաց, ըստ իր սահմանման, այն հաջորդականություն է, որում a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = դ. d-ի արժեքը այս առաջընթացի ցանկալի տարբերությունն է:
d = a (j) - a (j-1):
Հատկացնել:
- Աճող առաջընթաց, որի դեպքում d > 0: Օրինակ՝ 4, 8, 12, 16, 20, …
- նվազող պրոգրեսիան, ապա դ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Առաջընթացի և դրա կամայական տարրերի տարբերությունը
Եթե հայտնի են պրոգրեսիայի 2 կամայական անդամներ (i-րդ, k-րդ), ապա այս հաջորդականության տարբերությունը կարող է սահմանվել՝ հիմնվելով հարաբերությունների վրա.
a(i) = a(k) + (i - k)*d, ուրեմն d = (a(i) - a(k))/(i-k):
Առաջընթացի տարբերությունը և դրա առաջին տերմինը
Այս արտահայտությունը կօգնի որոշել անհայտ արժեքը միայն այն դեպքերում, երբ հայտնի է հաջորդականության տարրի թիվը:
Պրոգրեսիայի տարբերությունը և դրա գումարը
Պրոգրեսիայի գումարը նրա անդամների գումարն է: Նրա առաջին j տարրերի ընդհանուր արժեքը հաշվարկելու համար օգտագործեք համապատասխան բանաձևը.
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, բայց քանի որ a(j) = a(1) + d(j – 1), ապա S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
