X թվի քառակուսի արմատը a թիվն է, որը բազմապատկելով ինքն իրեն տալիս է x թիվը՝ a * a = a^2 = x, √x = a: Ինչպես ցանկացած թվի դեպքում, դուք կարող եք կատարել գումարման և հանման թվաբանական գործողություններ քառակուսի արմատների վրա:

Հրահանգ

• Նախ՝ ավելացնելիս քառակուսի արմատներփորձեք հանել այս արմատները: Դա հնարավոր կլինի, եթե արմատի նշանի տակ թվերը կատարյալ քառակուսիներ լինեն։ Օրինակ, թող տրվի √4 + √9 արտահայտությունը։ Առաջին թիվը 4-ը 2 թվի քառակուսին է: Երկրորդ թիվը 9-ը 3 թվի քառակուսին է: Այսպիսով, ստացվում է, որ՝ √4 + √9 = 2 + 3 = 5:
• Եթե ​​նշանի տակ արմատ չկա լրիվ քառակուսիներ, ապա փորձեք արմատի նշանի տակից հանել թվի բազմապատկիչը։ Օրինակ, ենթադրենք տրված է √24 + √54: Գործոնացնել թվերը՝ 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. 24 թիվը ունի 4 գործակից, որը կարելի է հանել քառակուսի արմատի նշանից։ 54 թիվն ունի 9 գործակից: Այսպիսով, ստացվում է, որ. . Այս օրինակում բազմապատկիչն արմատային նշանից հանելու արդյունքում պարզվեց տրված արտահայտությունը.
• Թող երկու քառակուսի արմատների գումարը լինի կոտորակի հայտարար, օրինակ՝ A / (√a + √b): Եվ թող ձեր խնդիրը լինի «Ազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից»։ Այնուհետև կարող եք օգտագործել հետևյալ մեթոդը. Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք √a - √b արտահայտությամբ: Այսպիսով, հայտարարում կստացվի կրճատ բազմապատկման բանաձևը՝ (√a + √b) * (√a - √b) = a - b: Համեմատությամբ, եթե արմատների տարբերությունը տրված է հայտարարում՝ √a - √b, ապա կոտորակի համարիչն ու հայտարարը պետք է բազմապատկել √a + √b արտահայտությամբ։ Օրինակ, տրված է 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3):
• Դիտել ավելին բարդ օրինակիռացիոնալությունից ազատվել հայտարարի մեջ. Թող տրվի 12 / (√2 + √3 + √5) կոտորակը: Անհրաժեշտ է կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել √2 + √3 - √5 արտահայտությամբ.
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Եվ վերջապես, եթե ձեզ անհրաժեշտ է միայն մոտավոր արժեք, ապա կարող եք հաշվարկել քառակուսի արմատները հաշվիչի վրա: Յուրաքանչյուր թվի համար առանձին հաշվարկեք արժեքները և գրեք անհրաժեշտ ճշգրտությամբ (օրինակ՝ երկու տասնորդական տեղ): Եվ հետո կատարեք անհրաժեշտ թվաբանական գործողությունները, ինչպես սովորական թվերի դեպքում։ Օրինակ, ենթադրենք, որ ցանկանում եք իմանալ √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 արտահայտության մոտավոր արժեքը։

Թվի քառակուսի արմատ հանելը միակ գործողությունը չէ, որ կարելի է կատարել այս մաթեմատիկական երևույթի հետ։ Ինչպես նաեւ սովորական թվեր, քառակուսի արմատները գումարվում և հանվում են։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Քառակուսի արմատներ գումարելու և հանելու կանոններ

Սահմանում 1

Քառակուսի արմատ ավելացնելն ու հանելը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատային արտահայտությունը նույնն է:

Օրինակ 1

Դուք կարող եք ավելացնել կամ հանել արտահայտությունները 2 3 և 6 3, բայց ոչ 5 6 Եվ 9 4 . Եթե ​​կարելի է արտահայտությունը պարզեցնել և արմատների բերել նույն արմատային թվով, ապա պարզեցնել, հետո գումարել կամ հանել։

Արմատային գործողություններ. հիմունքներ

Օրինակ 2

6 50 - 2 8 + 5 12

Գործողությունների ալգորիթմ.

1. Պարզեցնել արմատային արտահայտությունը. Դա անելու համար անհրաժեշտ է արմատային արտահայտությունը տարրալուծել 2 գործոնի, որոնցից մեկը քառակուսի թիվ է (թիվը, որից հանվում է ամբողջ թիվը. Քառակուսի արմատօրինակ 25 կամ 9):
2. Այնուհետև պետք է վերցնել քառակուսի թվի արմատըև ստացված արժեքը գրի՛ր արմատային նշանից առաջ։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երկրորդ գործոնը մուտքագրվում է արմատային նշանի տակ:
3. Պարզեցման գործընթացից հետո անհրաժեշտ է արմատները ընդգծել նույն արմատական ​​արտահայտություններով՝ միայն դրանք կարելի է ավելացնել և հանել։
4. Նույն արմատական ​​արտահայտություններով արմատների համար անհրաժեշտ է գումարել կամ հանել արմատային նշանին նախորդող գործոնները։ Արմատային արտահայտությունը մնում է անփոփոխ: Մի գումարեք կամ հանեք արմատային թվերը:

Հուշում 1

Եթե ​​ունեք օրինակ մեծ գումարմիանման արմատական ​​արտահայտություններ, ապա ընդգծեք այդպիսի արտահայտությունները մեկ, կրկնակի և եռակի տողերով, որպեսզի հեշտացնեք հաշվարկի գործընթացը:

Օրինակ 3

Փորձենք այս օրինակը.

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2: Նախ պետք է 50-ը քայքայել 2 գործոնի 25-ի և 2-ի, հետո վերցնել 25-ի արմատը, որը 5-ն է, իսկ արմատի տակից հանել 5-ը։ Դրանից հետո անհրաժեշտ է 5-ը բազմապատկել 6-ով (բազմապատկիչը արմատից) և ստանալ 30 2:

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2: Նախ պետք է 8-ը քայքայել 2 գործոնի՝ 4-ի և 2-ի, այնուհետև 4-ից հանել արմատը, որը հավասար է 2-ի, իսկ արմատի տակից հանել 2-ը։ Դրանից հետո պետք է 2-ը բազմապատկել 2-ով (արմատի գործակիցը) և ստանալ 4 2:

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3: Նախ պետք է 12-ը քայքայել 2 գործոնի՝ 4-ի և 3-ի: Այնուհետև 4-ից հանել արմատը, որը 2-ն է, և հանել արմատի տակից: Դրանից հետո անհրաժեշտ է 2-ը բազմապատկել 5-ով (արմատի գործակիցը) և ստանալ 10 3:

Պարզեցման արդյունք. 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Արդյունքում մենք տեսանք, թե որքան նույնական արմատական ​​արտահայտություններ կան այս օրինակում: Հիմա եկեք պարապենք այլ օրինակներով։

Օրինակ 4

• Պարզեցնել (45) . Մենք գործոնացնում ենք 45. (45) = (9 × 5) ;
• Արմատի տակից հանում ենք 3-ը (9 \u003d 3)՝ 45 \u003d 3 5;
• Արմատներում ավելացնում ենք գործոնները՝ 3 5 + 4 5 = 7 5:

Օրինակ 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Պարզեցում 6 40 . Մենք գործոնացնում ենք 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10);
• Արմատի տակից հանում ենք 2-ը (4 \u003d 2)՝ 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Բազմապատկում ենք այն գործոնները, որոնք գտնվում են արմատի դիմաց՝ 12 10;
• Արտահայտությունը գրում ենք պարզեցված ձևով՝ 12 10 - 3 10 + 5;
• Քանի որ առաջին երկու անդամներն ունեն նույն արմատային թվերը, մենք կարող ենք դրանք հանել՝ (12 - 3) 10 = 9 10 + 5:

Օրինակ 6

Ինչպես տեսնում ենք, հնարավոր չէ պարզեցնել արմատական ​​թվերը, հետևաբար օրինակում փնտրում ենք նույն արմատական ​​թվերով անդամներ, իրականացնում ենք. մաթեմատիկական գործողություններ(ավելացնել, հանել և այլն) և արդյունքը գրել.

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Խորհուրդ.

• Նախքան գումարելը կամ հանելը, անհրաժեշտ է պարզեցնել (հնարավորության դեպքում) արմատական ​​արտահայտությունները:
• Տարբեր արմատային արտահայտություններով արմատներ ավելացնելն ու հանելը խստիվ արգելվում է։
• Մի գումարեք կամ հանեք ամբողջ թիվ կամ քառակուսի արմատ՝ 3 + (2 x) 1/2:
• Կոտորակների հետ գործողություններ կատարելիս պետք է գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է յուրաքանչյուր հայտարարի վրա, այնուհետև կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի, ապա գումարել համարիչները, իսկ հայտարարները թողնել անփոփոխ։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր ուժեղ են «ոչ շատ. »
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ հավասար. «»)

Նախորդ դասում մենք պարզեցինք, թե ինչ է քառակուսի արմատը: Ժամանակն է պարզել, թե որոնք են բանաձեւեր արմատների համար, ինչ են արմատային հատկություններև ինչ կարելի է անել այդ ամենի հետ կապված:

Արմատային բանաձևեր, արմատային հատկություններ և արմատներով գործողությունների կանոններըստ էության նույն բանն են: Քառակուսի արմատների համար զարմանալիորեն քիչ բանաձևեր կան: Ինչը, իհարկե, հաճելի է: Ավելի շուտ, դուք կարող եք գրել շատ բոլոր տեսակի բանաձևեր, բայց միայն երեքը բավարար են արմատների հետ գործնական և վստահ աշխատանքի համար: Մնացած ամեն ինչ բխում է այս երեքից։ Չնայած շատերը շեղվում են արմատների երեք բանաձեւերում, այո:

Սկսենք ամենապարզից. Ահա նա.

Հիշեցնում եմ ձեզ (նախորդ դասից). a և b-ն ոչ բացասական թվեր են! Հակառակ դեպքում, բանաձեւը իմաստ չունի։

Արմատների այս հատկությունը, ինչպես տեսնում եք՝ պարզ, կարճ ու անվնաս։ Բայց այս արմատային բանաձևով դուք կարող եք շատ օգտակար բաներ անել: Եկեք նայենք օրինակներայս բոլոր օգտակար բաները:

Օգտակար բան առաջին հերթին. Այս բանաձեւը մեզ թույլ է տալիս բազմապատկել արմատները.

Ինչպե՞ս բազմապատկել արմատները:

Այո, շատ պարզ: Ուղիղ բանաձևին. Օրինակ:

Թվում է, թե դրանք շատացել են, իսկ ի՞նչ։ Շատ ուրախություն կա՞: Համաձայն եմ, մի քիչ։ Բայց ինչպես է ձեզ դուր գալիս սա օրինակ?

Արմատները ճշգրիտ չեն արդյունահանվում գործոններից: Եվ արդյունքը հիանալի է: Արդեն ավելի լավ է, չէ՞: Համենայն դեպս, տեղյակ կպահեմ, որ մուլտիպլիկատոր կարող է լինել այնքան, որքան ուզեք։ Արմատների բազմապատկման բանաձևը դեռ գործում է: Օրինակ:

Այսպիսով, բազմապատկմամբ ամեն ինչ պարզ է, թե ինչու է դա անհրաժեշտ արմատների հատկությունը- նույնպես հասկանալի է.

Օգտակար բան երկրորդ. Արմատի նշանի տակ թվի մուտքագրում։

Ինչպե՞ս մուտքագրել թիվ արմատի տակ:

Եկեք ասենք, որ ունենք այս արտահայտությունը.

Հնարավո՞ր է դյուզը թաքցնել արմատի ներսում: Հեշտությամբ! Եթե ​​երկուսից արմատ եք պատրաստում, արմատների բազմապատկման բանաձեւը կաշխատի։ Իսկ ինչպես կարելի է արմատ պատրաստել դյուզից: Այո, դա նույնպես հարց չէ: Կրկնակն է քառակուսի արմատ չորս!

Արմատը, ի դեպ, կարելի է պատրաստել ցանկացած ոչ բացասական թվից։ Սա կլինի այս թվի քառակուսու արմատը: 3-ը 9-ի արմատն է: 8-ը 64-ի արմատն է: 11-ը 121-ի արմատն է: Դե և այլն:

Իհարկե, այդքան մանրամասն նկարելու կարիք չկա։ Բացառությամբ սկսնակների համար: Բավական է հասկանալ, որ արմատի տակ կարելի է բերել ցանկացած ոչ բացասական թիվ, որը բազմապատկվում է արմատով։ Բայց մի մոռացեք. - արմատի տակ այս թիվը կդառնա քառակուսիինքն իրեն։ Այս գործողությունը՝ արմատի տակ թիվ մուտքագրելը, կարելի է անվանել նաև թվի արմատով բազմապատկել։ Ընդհանուր առմամբ, կարելի է գրել.

Գործընթացը պարզ է, ինչպես տեսնում եք: Ինչու է նա պետք:

Ինչպես ցանկացած փոխակերպում, այս ընթացակարգը ընդլայնում է մեր հնարավորությունները: Դաժան և անհարմար արտահայտությունը փափուկ և փափուկ արտահայտության վերածելու հնարավորություններ): Ահա ձեզ համար պարզ մեկը օրինակ:

Ինչպես տեսնում ես արմատային հատկություն,ինչը հնարավորություն է տալիս արմատի նշանի տակ գործոն ներմուծել, բավականին հարմար է պարզեցման համար։

Բացի այդ, արմատի տակ բազմապատկիչ ավելացնելը հեշտ և պարզ է դարձնում տարբեր արմատների արժեքների համեմատությունը: Առանց որևէ հաշվարկի և հաշվիչի: Երրորդ օգտակար բանը.

Ինչպե՞ս համեմատել արմատները:

Այս հմտությունը շատ կարևոր է ամուր առաքելություններում, մոդուլներ բացելիս և այլ հետաքրքիր բաներում:

Համեմատեք այս արտահայտությունները. Ո՞րն է ավելի շատ: Առանց հաշվիչի! Յուրաքանչյուրը հաշվիչով: հ-ուհ: Մի խոսքով, բոլորը կարող են դա անել:)

Միանգամից չես ասում։ Իսկ եթե արմատի նշանի տակ թվեր եք մուտքագրում.

Հիշեք (հանկարծ չգիտեի՞ք). եթե արմատի նշանի տակ թիվն ավելի մեծ է, ուրեմն արմատն ինքնին ավելի մեծ է: Այստեղից անմիջապես ճիշտ պատասխանը, առանց որևէ բարդ հաշվարկների և հաշվարկների.

Հիանալի է, չէ՞: Բայց սա դեռ ամենը չէ։ Հիշեցնենք, որ բոլոր բանաձևերն աշխատում են ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ աջից ձախ: Մենք մինչ այժմ օգտագործել ենք արմատները ձախից աջ բազմապատկելու բանաձևը։ Եկեք գործարկենք այս արմատային հատկությունը հետընթաց՝ աջից ձախ: Սրա նման:

Իսկ ո՞րն է տարբերությունը։ Դա ձեզ ինչ-որ բան տալիս է: Անշուշտ։ Այժմ դուք ինքներդ կտեսնեք:

Ենթադրենք, որ մենք պետք է հանենք (առանց հաշվիչի) 6561 թվի քառակուսի արմատը: Որոշ մարդիկ այս փուլում կնվազեն առաջադրանքի հետ անհավասար պայքարում: Բայց մենք համառ ենք, չենք հանձնվում։ Օգտակար բան չորրորդ.

Ինչպե՞ս արմատներ հանել մեծ թվերից:

Մենք հիշում ենք արտադրանքից արմատներ հանելու բանաձևը. Այն մեկը, որը ես տեղադրել եմ վերեւում: Բայց որտե՞ղ է մեր աշխատանքը: Մենք ունենք հսկայական թիվ 6561 և վերջ։ Այո, արվեստ չկա։ Բայց եթե դա մեզ պետք է, մենք եկեք անենք! Հաշվի առնենք այս թիվը: Մենք իրավունք ունենք.

Նախ, եկեք պարզենք, թե կոնկրետ ինչի վրա է բաժանվում այս թիվը: Ինչ է, դուք չգիտեք! Մոռացե՞լ եք բաժանելիության նշանները։ Իզուր. Գնացեք հատուկ բաժին 555, թեմա «Կոտորակներ», ահա դրանք: Այս թիվը բաժանվում է 3-ի և 9-ի։ Որովհետև թվանշանների գումարը (6+5+6+1=18) բաժանվում է այս թվերի վրա։ Սա բաժանելիության նշաններից մեկն է։ Մեզ պետք չէ երեքի բաժանել (հիմա կհասկանաք, թե ինչու), բայց մենք կբաժանենք 9-ի։ Գոնե մի անկյունում։ Մենք ստանում ենք 729: Այսպիսով, մենք գտանք երկու գործոն: Առաջինը ինն է (մենք ինքներս ենք ընտրել), իսկ երկրորդը՝ 729 (այդպես է ստացվել)։ Արդեն կարող եք գրել.

Ստացե՞լ եք գաղափարը: Նույնը անենք 729 թվի հետ։ Այն նաև բաժանվում է 3-ի և 9-ի: Կրկին, մենք չենք բաժանում 3-ի, մենք բաժանում ենք 9-ի: Մենք ստանում ենք 81: Եվ մենք գիտենք այս թիվը: Մենք գրում ենք.

Ամեն ինչ պարզվեց հեշտ և էլեգանտ: Արմատը պետք էր մաս առ մաս հեռացնել, լավ, լավ: Դա կարելի է անել ցանկացածի հետ մեծ թվեր. Բազմացրե՛ք դրանք և գնացե՛ք։

Ի դեպ, ինչո՞ւ պետք չէր բաժանել 3-ի, գուշակեցի՞ք։ Այո, քանի որ երեքի արմատը ճիշտ չի հանվում: Իմաստ ունի քայքայվել այնպիսի գործոնների մեջ, որ գոնե մեկ արմատը լավ արդյունահանվի։ Դա 4, 9, 16 լավ է և այլն: Ձեր ահռելի թիվը հերթով բաժանեք այս թվերի վրա, տեսնում եք, և դուք հաջողակ եք:

Բայց ոչ պարտադիր: Միգուցե բախտավոր չէ: Ենթադրենք, 432 թիվը, երբ գործակցվի և օգտագործվի արտադրանքի արմատային բանաձևը, կտա հետևյալ արդյունքը.

Դե, լավ: Մենք ամեն դեպքում պարզեցրել ենք արտահայտությունը: Մաթեմատիկայի մեջ ընդունված է ամենաշատը թողնել փոքր թիվհնարավորից։ Լուծման գործընթացում ամեն ինչ կախված է օրինակից (գուցե ամեն ինչ կրճատվում է առանց պարզեցման), բայց պատասխանում պետք է տալ մի արդյունք, որը հնարավոր չէ ավելի պարզեցնել։

Ի դեպ, գիտե՞ք, թե հիմա ինչ ենք արել 432-ի արմատի հետ։

Մենք արմատի նշանի տակից հանել գործոններ ! Այդպես է կոչվում այս գործողությունը։ Եվ հետո խնդիրը կընկնի. հանել գործոնը արմատի նշանի տակից«Բայց տղամարդիկ նույնիսկ չգիտեն։) Ահա ևս մեկ օգուտ ձեզ համար արմատային հատկությունները.Օգտակար բան հինգերորդ.

Ինչպե՞ս հանել բազմապատկիչը արմատի տակից:

Հեշտությամբ. Գործոնացրեք արմատային արտահայտությունը և հանեք արդյունահանվող արմատները: Մենք նայում ենք.

Ոչ մի գերբնական բան: Կարևոր է ընտրել ճիշտ բազմապատկիչներ: Այստեղ մենք քայքայել ենք 72-ը որպես 36 2: Եվ ամեն ինչ լավ ստացվեց։ Կամ նրանք կարող էին այն այլ կերպ քայքայել՝ 72 = 6 12: Եւ ինչ!? Ո՛չ 6-ից, ո՛չ 12-ից արմատ չի հանվում։ Ինչ անել?!

Ամեն ինչ կարգին է. Կամ փնտրեք տարրալուծման այլ տարբերակներ, կամ շարունակեք ամեն ինչ մինչև վերջ դնել: Սրա նման:

Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ ստացվեց։ Սա, ի դեպ, ոչ թե ամենաարագ, այլ ամենահուսալի միջոցն է։ Թիվը տարրալուծեք ամենափոքր գործոնների, այնուհետև հավաքեք նույնը կույտերով: Մեթոդը հաջողությամբ կիրառվում է նաև անհարմար արմատները բազմապատկելիս։ Օրինակ, դուք պետք է հաշվարկեք.

Բազմապատկեք ամեն ինչ, դուք ստանում եք խելագար թիվ: Եվ հետո ինչպե՞ս արմատը հանել դրանից: Կրկին բազմապատկե՞լ: Ոչ, մեզ լրացուցիչ աշխատանք պետք չէ։ Մենք անմիջապես քայքայվում ենք գործոնների և նույնը հավաքում կույտերով.

Այսքանը: Իհարկե, պետք չէ կանգառ դնել: Ամեն ինչ որոշվում է ձեր անձնական ունակություններով։ Օրինակը բերեց մի վիճակ, որտեղ ձեզ համար ամեն ինչ պարզ էայնպես որ դուք արդեն կարող եք հաշվել: Գլխավորը սխալներ թույլ չտալն է։ Ոչ թե մարդ մաթեմատիկայի համար, այլ մաթեմատիկա տղամարդու համար:)

Կիրառե՞նք գիտելիքները պրակտիկային։ Սկսենք պարզից.

Քառակուսի արմատներ ավելացնելու կանոն

Քառակուսի արմատների հատկությունները

Մինչ այժմ մենք թվերի վրա հինգ թվաբանական գործողություն ենք կատարել՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանումը և աստիճանավորումը և այդ գործողությունների տարբեր հատկությունները ակտիվորեն օգտագործվում էին հաշվարկներում, օրինակ՝ a + b = b + a, և n -b n = (ab) n և այլն:

Այս գլուխը ներկայացնում է նոր գործողություն- հանելով ոչ բացասական թվի քառակուսի արմատը: Այն հաջողությամբ օգտագործելու համար դուք պետք է ծանոթանաք այս գործողության հատկություններին, ինչը մենք կանենք այս բաժնում։

Ապացույց. Ներկայացնենք հետևյալ նշումը.
Մենք պետք է դա ապացուցենք բացասական թվեր x, y, z, x = yz.

Այսպիսով, x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b: Այնուհետև x 2 \u003d y 2 z 2, այսինքն x 2 \u003d (yz) 2:

Եթե քառակուսիներերկու ոչ բացասական թվեր հավասար են, այնուհետև թվերն իրենք են հավասար, ինչը նշանակում է, որ x 2 \u003d (yz) 2 հավասարությունից հետևում է, որ x \u003d yz, և դա պահանջվում էր ապացուցել:

Մենք տալիս ենք թեորեմի ապացույցի համառոտ գրառումը.

Դիտողություն 1. Թեորեմը ուժի մեջ է մնում այն ​​դեպքում, երբ արմատական ​​արտահայտությունը երկուից ավելի ոչ բացասական գործոնների արտադրյալ է։

Դիտողություն 2. Թեորեմ 1-ը կարելի է գրել «եթե. , ապա» (ինչպես ընդունված է մաթեմատիկայի թեորեմների համար): Տալիս ենք համապատասխան ձևակերպում. եթե a-ն և b-ը ոչ բացասական թվեր են, ապա հավասարությունը .

Այսպես ձևակերպում ենք հետևյալ թեորեմը.

(Կարճ ձևակերպում, որն ավելի հարմար է գործնականում օգտագործելու համար. կոտորակի արմատը հավասար է արմատների կոտորակին, կամ գործակցի արմատը հավասար է արմատների գործակցին):

Այս անգամ մենք կտրամադրենք միայն հակիրճ ապացույցը, և դուք կարող եք փորձել անել համապատասխան մեկնաբանություններ, որոնք նման են թեորեմ 1-ի ապացուցման էությանը:

Օրինակ 1. Հաշվել.
Լուծում. Օգտագործելով առաջին գույքը քառակուսի արմատներ(Թեորեմ 1), մենք ստանում ենք

Դիտողություն 3. Իհարկե, այս օրինակը կարելի է լուծել այլ կերպ, հատկապես, եթե ձեռքի տակ ունեք հաշվիչ՝ բազմապատկեք 36, 64, 9 թվերը, ապա վերցրեք ստացված արդյունքի քառակուսի արմատը։ Այնուամենայնիվ, կհամաձայնեք, որ վերը ներկայացված լուծումն ավելի մշակութային տեսք ունի:

Դիտողություն 4. Առաջին մեթոդով մենք իրականացրել ենք գլխի հաշվարկներ։ Երկրորդ ճանապարհն ավելի էլեգանտ է.
մենք դիմել ենք բանաձեւը a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) և օգտագործեց քառակուսի արմատների հատկությունը:

Դիտողություն 5. Որոշ «տաք գլուխներ» երբեմն առաջարկում են հետևյալ «լուծումը» օրինակ 3-ին.

Սա, իհարկե, ճիշտ չէ. տեսնում եք, արդյունքը նույնը չէ, ինչ մեր օրինակ 3-ում: Փաստն այն է, որ սեփականություն չկա: որպես ոչ և հատկություններ Կան միայն հատկություններ, որոնք վերաբերում են քառակուսի արմատների բազմապատկմանը և բաժանմանը: Եղե՛ք զգույշ և զգույշ, մի՛ ընդունեք ցանկական մտքեր։

Օրինակ 4. Հաշվիր՝ ա)
Լուծում. Հանրահաշվում ցանկացած բանաձև օգտագործվում է ոչ միայն «աջից ձախ», այլև «ձախից աջ»: Այսպիսով, քառակուսի արմատների առաջին հատկությունը նշանակում է, որ անհրաժեշտության դեպքում այն ​​կարող է ներկայացվել որպես , և հակառակը, որը կարող է փոխարինվել նույնը վերաբերում է քառակուսի արմատների երկրորդ հատկությանը: Սա հաշվի առնելով՝ լուծենք առաջարկվող օրինակը։

Եզրափակելով պարբերությունը, մենք նշում ենք ևս մեկ բավականին պարզ և միևնույն ժամանակ կարևոր հատկություն.
եթե a > 0 և n - բնական թիվ , Դա

Օրինակ 5Հաշվիր , առանց թվերի քառակուսիների աղյուսակի և հաշվիչի օգտագործման։

Լուծում. Եկեք տարանջատենք արմատային թիվը պարզ գործոնների.

Դիտողություն 6. Այս օրինակը կարող է լուծվել այնպես, ինչպես § 15-ի նմանատիպ օրինակը: Հեշտ է կռահել, որ պատասխանը կլինի «80 պոչով», քանի որ 80 2 2: Եկեք գտնենք «պոչը», այսինքն՝ ցանկալի թվի վերջին նիշը։ Առայժմ մենք գիտենք, որ եթե արմատը հանված է, ապա պատասխանը կարող է լինել 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 կամ 89: Միայն երկու թիվ է պետք ստուգել՝ 84 և 86, քանի որ միայն նրանք, երբ քառակուսի է, արդյունք կտա քառանիշ 6-ով վերջացող թիվ, այսինքն. նույն թվանշանը, որն ավարտվում է 7056 թվով: Մենք ունենք 84 2 \u003d 7056, սա այն է, ինչ մեզ անհրաժեշտ է: Նշանակում է,

Մորդկովիչ Ա.Գ., Հանրահաշիվ. Դասարան 8: Պրոց. հանրակրթության համար հաստատություններ.- 3-րդ հրատ., ամփոփված. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 էջ: հիվանդ.

Գրքեր, մաթեմատիկայի դասագրքեր ներբեռնում, ռեֆերատ՝ օգնելու ուսուցչին և ուսանողներին, սովորել առցանց

Եթե ​​ունեք ուղղումներ կամ առաջարկություններ այս դասի համար, գրեք մեզ:

Եթե ​​ցանկանում եք տեսնել դասերի այլ ուղղումներ և առաջարկներ, տես այստեղ՝ Կրթական ֆորում:

Ինչպես ավելացնել քառակուսի արմատները

Թվի քառակուսի արմատը Xհամար է կանչել Ա, որն ինքն իրենով բազմանալու գործընթացում ( Ա*Ա) կարող է թիվ տալ X.
Նրանք. A * A = A 2 = X, Եվ √X = Ա.

Քառակուսի արմատներից ( √x), ինչպես մյուս թվերի դեպքում, դուք կարող եք կատարել թվաբանական գործողություններ, ինչպիսիք են հանումը և գումարումը: Արմատները հանելու և ավելացնելու համար դրանք պետք է միացվեն այս գործողություններին համապատասխանող նշանների միջոցով (օրինակ √x - √ տ ).
Եվ հետո արմատները բերեք իրենց ամենապարզ ձևին. եթե նրանց միջև կան նմանատիպեր, ապա պետք է գիպս պատրաստել: Այն բաղկացած է նրանից, որ համանման տերմինների գործակիցները վերցվում են համապատասխան տերմինների նշաններով, այնուհետև դրանք փակցվում են փակագծերում և ընդհանուր արմատը ցուցադրվում է բազմապատկիչ փակագծերից դուրս։ Մեր ստացած գործակիցը պարզեցված է սովորական կանոններով։

Քայլ 1. Քառակուսի արմատների արդյունահանում

Նախ, քառակուսի արմատներ ավելացնելու համար նախ պետք է հանել այս արմատները: Դա կարելի է անել, եթե արմատի նշանի տակ թվերը կատարյալ քառակուսիներ են: Օրինակ վերցրեք տրված արտահայտությունը √4 + √9 . Առաջին համարը 4 թվի քառակուսին է 2 . Երկրորդ համարը 9 թվի քառակուսին է 3 . Այսպիսով, կարելի է ստանալ հետևյալ հավասարությունը. √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Ամեն ինչ, օրինակը լուծված է։ Բայց միշտ չէ, որ այդպես է լինում։

Քայլ 2. Արմատի տակից հանելով թվի բազմապատկիչը

Եթե ​​արմատի նշանի տակ լրիվ քառակուսիներ չկան, կարող եք փորձել արմատական ​​նշանի տակից հանել թվի բազմապատկիչը։ Օրինակ, վերցրեք արտահայտությունը √24 + √54 .

Եկեք ֆակտորիզացնենք թվերը.
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Ի թիվս 24 մենք ունենք բազմապատկիչ 4 , այն կարելի է հանել քառակուսի արմատի նշանի տակից։ Ի թիվս 54 մենք ունենք բազմապատկիչ 9 .

Մենք ստանում ենք հավասարություն.
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Նկատի ունենալով այս օրինակը՝ ստանում ենք գործոնի հեռացում արմատի նշանի տակից՝ դրանով իսկ պարզեցնելով տրված արտահայտությունը։

Քայլ 3. Հայտարարի կրճատում

Դիտարկենք հետևյալ իրավիճակը. երկու քառակուսի արմատների գումարը կոտորակի հայտարարն է, օրինակ. A / (√a + √b).
Հիմա մեր առջեւ խնդիր է դրված «ձերբազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից»։
Կիրառենք հետևյալ մեթոդը՝ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկենք արտահայտությամբ. √a - √b.

Այժմ մենք ստանում ենք կրճատված բազմապատկման բանաձևը հայտարարի մեջ.
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Նմանապես, եթե հայտարարը պարունակում է արմատների տարբերությունը. √a - √b, կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են արտահայտությամբ √a + √b.

Որպես օրինակ վերցնենք կոտորակը.
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Բարդ հայտարարի կրճատման օրինակ

Այժմ մենք կդիտարկենք հայտարարի մեջ իռացիոնալությունից ազատվելու բավականին բարդ օրինակ։

Որպես օրինակ վերցնենք կոտորակը. 12 / (√2 + √3 + √5) .
Դուք պետք է վերցնեք դրա համարիչը և հայտարարը և բազմապատկեք արտահայտությամբ √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Քայլ 4. Հաշվեք հաշվիչի մոտավոր արժեքը

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է միայն մոտավոր արժեք, ապա դա կարելի է անել հաշվիչի վրա՝ հաշվարկելով քառակուսի արմատների արժեքը: Առանձին-առանձին, յուրաքանչյուր թվի համար արժեքը հաշվարկվում և գրանցվում է պահանջվող ճշգրտությամբ, որը որոշվում է տասնորդական տեղերի քանակով: Այնուհետև կատարվում են բոլոր անհրաժեշտ գործողությունները, ինչպես սովորական թվերի դեպքում:

Մոտավոր հաշվարկի օրինակ

Անհրաժեշտ է հաշվարկել այս արտահայտության մոտավոր արժեքը √7 + √5 .

Արդյունքում մենք ստանում ենք.

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ոչ մի դեպքում չի կարելի քառակուսի արմատները որպես պարզ թվեր ավելացնել, դա բացարձակապես անընդունելի է: Այսինքն, եթե գումարեք հինգի և երեքի քառակուսի արմատը, մենք չենք կարող ստանալ ութի քառակուսի արմատը։

Օգտակար խորհուրդ. եթե որոշել եք թիվը ֆակտորիզացնել, արմատի նշանի տակից քառակուսի հանելու համար անհրաժեշտ է կատարել հակադարձ ստուգում, այսինքն՝ բազմապատկել բոլոր այն գործոնները, որոնք ստացվել են հաշվարկներից և դրա վերջնական արդյունքը. մաթեմատիկական հաշվարկը պետք է լինի այն թիվը, որը մեզ սկզբում տրվել է:

Գործողություն արմատներով՝ գումարում և հանում

Թվի քառակուսի արմատ հանելը միակ գործողությունը չէ, որ կարելի է կատարել այս մաթեմատիկական երևույթի հետ։ Ինչպես սովորական թվերը, այնպես էլ քառակուսի արմատները կարելի է գումարել և հանել:

Քառակուսի արմատներ գումարելու և հանելու կանոններ

Քառակուսի արմատ ավելացնելն ու հանելը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատային արտահայտությունը նույնն է:

Դուք կարող եք ավելացնել կամ հանել արտահայտությունները 2 3 և 6 3, բայց ոչ 5 6 Եվ 9 4 . Եթե ​​կարելի է արտահայտությունը պարզեցնել և արմատների բերել նույն արմատային թվով, ապա պարզեցնել, հետո գումարել կամ հանել։

Արմատային գործողություններ. հիմունքներ

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Պարզեցնել արմատային արտահայտությունը. Դրա համար անհրաժեշտ է արմատային արտահայտությունը տարրալուծել 2 գործոնի, որոնցից մեկը քառակուսի թիվ է (թիվը, որից հանվում է ամբողջ քառակուսի արմատը, օրինակ՝ 25 կամ 9)։
2. Այնուհետև պետք է վերցնել քառակուսի թվի արմատըև ստացված արժեքը գրի՛ր արմատային նշանից առաջ։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երկրորդ գործոնը մուտքագրվում է արմատային նշանի տակ:
3. Պարզեցման գործընթացից հետո անհրաժեշտ է արմատները ընդգծել նույն արմատական ​​արտահայտություններով՝ միայն դրանք կարելի է ավելացնել և հանել։
4. Նույն արմատական ​​արտահայտություններով արմատների համար անհրաժեշտ է գումարել կամ հանել արմատային նշանին նախորդող գործոնները։ Արմատային արտահայտությունը մնում է անփոփոխ: Մի գումարեք կամ հանեք արմատային թվերը:

Եթե ​​դուք ունեք մի օրինակ շատ նույնական արմատական ​​արտահայտություններով, ապա ընդգծեք նման արտահայտությունները մեկ, կրկնակի և եռակի տողերով, որպեսզի հեշտացնեք հաշվարկի գործընթացը:

Փորձենք այս օրինակը.

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2: Նախ պետք է 50-ը քայքայել 2 գործոնի 25-ի և 2-ի, հետո վերցնել 25-ի արմատը, որը 5-ն է, իսկ արմատի տակից հանել 5-ը։ Դրանից հետո անհրաժեշտ է 5-ը բազմապատկել 6-ով (բազմապատկիչը արմատից) և ստանալ 30 2:

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2: Նախ պետք է 8-ը քայքայել 2 գործոնի՝ 4-ի և 2-ի, այնուհետև 4-ից հանել արմատը, որը հավասար է 2-ի, իսկ արմատի տակից հանել 2-ը։ Դրանից հետո պետք է 2-ը բազմապատկել 2-ով (արմատի գործակիցը) և ստանալ 4 2:

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3: Նախ պետք է 12-ը քայքայել 2 գործոնի՝ 4-ի և 3-ի: Այնուհետև 4-ից հանել արմատը, որը 2-ն է, և հանել արմատի տակից: Դրանից հետո անհրաժեշտ է 2-ը բազմապատկել 5-ով (արմատի գործակիցը) և ստանալ 10 3:

Պարզեցման արդյունք. 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Արդյունքում մենք տեսանք, թե որքան նույնական արմատական ​​արտահայտություններ կան այս օրինակում: Հիմա եկեք պարապենք այլ օրինակներով։

• Պարզեցնել (45) . Մենք գործոնացնում ենք 45. (45) = (9 × 5) ;
• Արմատի տակից հանում ենք 3-ը (9 \u003d 3)՝ 45 \u003d 3 5;
• Արմատներում ավելացնում ենք գործոնները՝ 3 5 + 4 5 = 7 5:
• Պարզեցում 6 40 . Մենք գործոնացնում ենք 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10);
• Արմատի տակից հանում ենք 2-ը (4 \u003d 2)՝ 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Բազմապատկում ենք այն գործոնները, որոնք գտնվում են արմատի դիմաց՝ 12 10;
• Արտահայտությունը գրում ենք պարզեցված ձևով՝ 12 10 - 3 10 + 5;
• Քանի որ առաջին երկու անդամներն ունեն նույն արմատային թվերը, մենք կարող ենք դրանք հանել՝ (12 - 3) 10 = 9 10 + 5:

Ինչպես տեսնում ենք, հնարավոր չէ պարզեցնել արմատական ​​թվերը, հետևաբար օրինակում փնտրում ենք նույն արմատական ​​թվերով անդամներ, կատարում մաթեմատիկական գործողություններ (գումարում, հանում և այլն) և արդյունքը գրում.

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Խորհուրդ.

• Նախքան գումարելը կամ հանելը, անհրաժեշտ է պարզեցնել (հնարավորության դեպքում) արմատական ​​արտահայտությունները:
• Տարբեր արմատային արտահայտություններով արմատներ ավելացնելն ու հանելը խստիվ արգելվում է։
• Մի գումարեք կամ հանեք ամբողջ թիվ կամ քառակուսի արմատ՝ 3 + (2 x) 1/2:
• Կոտորակների հետ գործողություններ կատարելիս պետք է գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է յուրաքանչյուր հայտարարի վրա, այնուհետև կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի, ապա գումարել համարիչները, իսկ հայտարարները թողնել անփոփոխ։

Թվաբանական քառակուսի արմատի հատկությունները. Թվաբանական քառակուսի արմատի հզորությունը

Թվաբանական քառակուսի արմատների փոխակերպում. Քառակուսի արմատների թվաբանական փոխարկում

Արդյունահանելու համար բազմանդամի քառակուսի արմատ, անհրաժեշտ է հաշվել բազմանդամը և ստացված թվից հանել արմատը։

Ուշադրություն.Յուրաքանչյուր տերմինից (կրճատված և հանված) արմատը առանձին հանել հնարավոր չէ։

Շչոբը հաղթելու համար բազմանդամի քառակուսի արմատ, պահանջն է՝ հաշվարկել հարուստ անդամը և հանված թվից վերցնել արմատը։

Հարգանք.Անհնար է արմատը հանել մաշկի հավելումից (փոփոխված և տեսանելի) OKremo-ից:

Արտադրանքի քառակուսի արմատը հանելու համար (քանակավոր), կարող եք հաշվարկել յուրաքանչյուր գործոնի քառակուսի արմատը (շահաբաժին և բաժանարար), և ստացված արժեքները վերցնել արտադրյալով (քանակով):

Դոբուտկայի քառակուսի արմատը շահելու համար (մասեր), կարող եք հաշվարկել մաշկի բազմապատկիչի քառակուսի արմատը (բաժանված և դիլնիկ), իսկ արժեքը հանել՝ ընդունելով լրացուցիչ (հաճախակի):

Վերցնել կոտորակի քառակուսի արմատը, անհրաժեշտ է համարիչի և հայտարարի քառակուսի արմատը հանել առանձին, իսկ ստացված արժեքները թողնել որպես կոտորակ կամ հաշվարկել որպես գործակից (եթե հնարավոր է ըստ պայմանի):

Կոտորակի քառակուսի արմատը շահելու համար, պետք է վերցնել թվագրքի քառակուսի արմատը և օկրեմոյի դրոշակը և կոտորակի արժեքը զրկել կոտորակի արժեքից կամ հաշվել որպես մաս (ինչպես դա հնարավոր է մտքի համար):

Արմատային նշանի տակից կարելի է գործոն հանել և արմատային նշանի տակ գործոն ներմուծել։ Երբ գործոնը հանվում է, դրանից արմատը հանվում է, իսկ ներմուծվելիս՝ բարձրացվում է համապատասխան հզորության։

3-րդ արմատային նշանը կարելի է բազմապատկել, իսկ արմատային նշանը՝ բազմապատկել։ Բազմապատկիչի մեղքով արմատները ոլորվում են, իսկ ներդրմամբ՝ արմատները կառուցվում են ավելի բարձր ոտքերի մոտ։

Օրինակներ. Դիմել

Քառակուսի արմատների գումարը (տարբերությունը) փոխարկելու համար անհրաժեշտ է արմատային արտահայտությունները հասցնել աստիճանի մեկ հիմքի, հնարավորության դեպքում արմատները հանել աստիճաններից և գրել դրանք արմատների նշաններից առաջ, իսկ մնացած քառակուսի արմատները՝ կարելի է ավելացնել նույն արմատային արտահայտությունները, որոնց համար գործակիցները գումարվում են նշանի արմատից առաջ և ավելացվում նույն քառակուսի արմատը։

Քառակուսի արմատների գումարը (արժեքը) վերակազմավորելու համար անհրաժեշտ է արմատային արմատները հասցնել աստիճանի հիմքերից մեկին, քանի որ դա հնարավոր է, վերցնել քայլերի արմատը և գրել դրանք նախքան նշանները. արմատները, իսկ քառակուսի արմատների լուծումը նույն արմատական ​​բառերով, ինչ կարող եմ գումարել և ավելացնել նույն քառակուսի արմատը։

Բոլոր արմատական ​​արտահայտությունները բերում ենք 2-րդ հիմքին:

Սկսած նույնիսկ աստիճանարմատն ամբողջությամբ հանվում է, կենտ աստիճանից, 1-ին աստիճանի հիմքի արմատը մնում է արմատի նշանի տակ։

Տալիս ենք միանման ամբողջ թվեր և գումարում ենք նույն արմատներով գործակիցները։ Երկանդամը գրում ենք որպես թվի արտադրյալ և գումարի երկանդամ:

Վիրազիի բոլոր ենթ արմատները բերեք 2-րդ հիմքին:

Զույգ փուլից արմատները գծվում են անընդմեջ, չզույգված փուլից 1-ին փուլի հիմքի արմատները լցվում են արմատի նշանի տակ։

Առաջարկվում է նույն արմատներին գումարել համանման թվեր և գործակիցներ։ Երկանդամը գրում ենք որպես սումի երկանդամի i թվի լրացում։

Արմատական ​​արտահայտությունները բերում ենք ամենափոքր հիմքին կամ ամենափոքր հիմքերով հզորությունների արտադրյալին։ Արմատը հանում ենք ռադիկալ արտահայտությունների հավասար աստիճաններից, մնացորդները թողնում ենք աստիճանի հիմքի տեսքով՝ 1 ցուցիչով կամ նման հիմքերի արտադրյալով արմատի նշանի տակ։ Մենք տալիս ենք նմանատիպ տերմիններ (ավելացնում ենք նույն արմատների գործակիցները):

Վիրազիի արմատը տանում ենք դեպի ամենափոքր հիմքը կամ ամենափոքր հիմքերով քայլերի ավելացումը։ Վիրազի արմատների տակ գտնվող գոլորշու աստիճաններից վերցվում են արմատները, 1-ին ցուցիչով աստիճանի հիմքում ավելցուկը կամ նման հիմքերի ավելացումը լրացվում է արմատի նշանի տակ։ Առաջարկում ենք նմանատիպ տերմիններ (գումարում ենք նույն արմատների գործակիցները)։

Կոտորակների բաժանումը փոխարինենք բազմապատկմամբ (երկրորդ կոտորակի փոխարինմամբ փոխադարձով)։ Առանձին-առանձին բազմապատկեք համարիչները և հայտարարները: Արմատի յուրաքանչյուր նշանի տակ մենք ընդգծում ենք աստիճանները: Չեղարկենք համարիչի և հայտարարի նույն գործոնները։ Մենք արմատներ ենք հանում նույնիսկ ուժերից:

Կոտորակների բաժանումը փոխարինում ենք բազմապատկմամբ (մեկ այլ կոտորակի փոխարինում վերադարձով): Բազմապատկեք okremo թվերը և կոտորակների դրոշակները: Արմատի մաշկային նշանի տակ քայլերը տեսանելի են։ Մենք կարագացնենք նույն բազմապատկիչները թվագրքում և դրոշակում: Մեղադրեք զույգ քայլերի արմատը:

Երկու քառակուսի արմատները համեմատելու համար, դրանց արմատական ​​արտահայտությունները պետք է կրճատվեն միևնույն հիմքով աստիճանի, ապա որքան շատ ցույց տրվեն արմատական ​​արտահայտության աստիճանները, այնքան մեծ կլինի քառակուսի արմատի արժեքը։

Այս օրինակում արմատական ​​արտահայտությունները չեն կարող կրճատվել մեկ հիմքի, քանի որ հիմքը առաջինում 3 է, իսկ երկրորդում՝ 3 և 7:

Համեմատության երկրորդ եղանակը արմատական ​​արտահայտության մեջ արմատի գործակիցը մուտքագրելն է և արմատական ​​արտահայտությունների թվային արժեքները համեմատելը: Քառակուսի արմատի համար որքան մեծ է արմատային արտահայտությունը, այնքան մեծ է արմատի արժեքը:

Երկու քառակուսի արմատներին համապատասխանելու համար, դրանց ենթաարմատները նույն հիմքով պետք է հասցվեն մակարդակի, մինչդեռ որքան մեծ է վիրուսի ենթարմատի աստիճանի ցուցանիշը, այնքան մեծ է քառակուսի արմատի արժեքը։

Այս դեպքում հնարավոր չէ մի հիմքի վրա բերել վիրազիի արմատային արմատները, քանի որ առաջինում հիմքը 3-ն է, իսկ մյուսում՝ 3-ը և 7-ը։

Հավասարեցնելու մեկ այլ միջոց է արմատային վիրուսի գործակիցը ավելացնելը և արմատային վիրուսի թվային արժեքները հավասարեցնելը: Քառակուսի արմատն ավելի շատ ենթարմատ ունի վիրազ, այնքան արմատի արժեքը։

Օգտագործելով բազմապատկման բաշխիչ օրենքը և միևնույն ցուցիչներով արմատները (մեր դեպքում՝ քառակուսի արմատները) բազմապատկելու կանոնը՝ ստացանք երկու քառակուսի արմատների գումարը՝ արմատի նշանի տակ գտնվող արտադրյալով։ Մենք 91-ը տարրալուծում ենք պարզ գործոնների և արմատը հանում փակագծերից՝ ընդհանուր արմատական ​​գործակիցներով (13 * 5):

Ստացել ենք արմատի և երկանդամի արտադրյալը, որի միանդամներից մեկն ամբողջ թիվ է (1):

Բազմապատկման Vikoristovuyuchi rozpodilny օրենքը և նույն ցուցանիշներով արմատների բազմապատկման կանոնը (մեր դեպքում՝ քառակուսի արմատներ), վերցրեց երկու քառակուսի արմատների գումարը՝ արմատի լրացուցիչ նշանով: Մենք կարող ենք պարզ ձևով դասավորել 91 բազմապատկիչ և կամարների արմատը վերցնել արմատային բազմապատկիչներից (13 * 5):

Վերցրինք արմատի և երկուականի գումարում, որն ունի ամբողջ թվի միանդամներից մեկը (1):

Օրինակ 9:

Արմատական ​​արտահայտություններում մենք գործոններով ընտրում ենք այն թվերը, որոնցից կարող ենք հանել ամբողջ քառակուսի արմատը։ Հզորություններից հանում ենք քառակուսի արմատները և թվերը դնում քառակուսի արմատների գործակիցներով։

Այս բազմանդամի անդամներն ունեն ընդհանուր գործակից √3, որը կարելի է հանել փակագծերից։ Ներկայացնենք նմանատիպ տերմիններ.

Ենթարմատային վիրուսներում այն ​​դիտվում է որպես թվի բազմապատկիչներ, որոնցից կարելի է վերցնել քառակուսի արմատը։ Մենք մեղադրում ենք քայլերի քառակուսի արմատներին և թվերը դնում ենք քառակուսի արմատների գործակիցներով։

Այս բազմանդամի պայմանները ունեն ընդհանուր բազմապատկիչ √3, որը կարելի է մեղադրել բազուկների համար: Առաջարկում ենք նմանատիպ լրացումներ։

Երկուսի գումարի և տարբերության արտադրյալը նույն հիմքերը(3 և √5)՝ օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևը, կարելի է գրել որպես հիմքերի քառակուսիների տարբերություն։

Քառակուսի արմատը միշտ հավասար է արմատական ​​արտահայտությանը, ուստի մենք կազատվենք արտահայտության մեջ արմատականից (արմատի նշան):

Արագ բազմապատկման բանաձևից երկու միանման հիմքերի (3 і √5) գումարը և տարբերությունը կարելի է գրել որպես քառակուսի հիմքերի տարբերություն։

Քառակուսու զավժդ քառակուսի արմատը հավասար է ենթարմատային վիրուսին, ուստի կանվանենք վիրուսի արմատական ​​(արմատային նշան):

Վերադառնալ դպրոց. Արմատների ավելացում

Մեր ժամանակներում, ժամանակակից էլեկտրոնային համակարգիչներում, թվի արմատի հաշվարկը ներկայացված չէ դժվար առաջադրանք. Օրինակ՝ √2704=52, ցանկացած հաշվիչ սա կհաշվի ձեզ համար: Բարեբախտաբար, հաշվիչը ոչ միայն Windows-ում է, այլև սովորական, նույնիսկ ամենապարզ հեռախոսում։ Ճիշտ է, եթե հանկարծ (հավանականության փոքր աստիճանով, որի հաշվարկը, ի դեպ, ներառում է արմատների ավելացում) դուք հայտնվեք առանց հասանելի միջոցների, ապա, ավաղ, ստիպված կլինեք ապավինել միայն ձեր ուղեղին։

Մտքի մարզումը երբեք չի ձախողվում: Հատկապես նրանց համար, ովքեր այդքան հաճախ չեն աշխատում թվերի հետ, իսկ առավել եւս՝ արմատներով։ Արմատներ ավելացնելն ու հանելը լավ մարզանք է ձանձրալի մտքի համար: Եվ ես քայլ առ քայլ ցույց կտամ արմատների ավելացումը: Արտահայտությունների օրինակներ կարող են լինել հետևյալը.

Պարզեցման ենթակա հավասարումը հետևյալն է.

Սա իռացիոնալ արտահայտություն է։ Այն պարզեցնելու համար դուք պետք է կրճատեք բոլոր արմատական ​​արտահայտությունները ընդհանուր տեսարան. Մենք դա անում ենք փուլերով.

Առաջին համարն այլևս չի կարելի պարզեցնել։ Անցնենք երկրորդ ժամկետին։

3√48 մենք գործոնացնում ենք 48-ը՝ 48=2×24 կամ 48=3×16: 24-ի քառակուսի արմատը ամբողջ թիվ չէ, այսինքն. ունի կոտորակային մնացորդ։ Քանի որ մեզ անհրաժեշտ է ճշգրիտ արժեք, մոտավոր արմատները մեզ հարմար չեն: 16-ի քառակուսի արմատը 4 է, հանեք այն արմատի նշանի տակից։ Ստանում ենք՝ 3×4×√3=12×√3

Մեր հաջորդ արտահայտությունը բացասական է, այսինքն. գրված է մինուս նշանով -4×√(27.) Ֆակտորինգ 27. Ստանում ենք 27=3×9։ Մենք չենք օգտագործում կոտորակային գործակիցներ, քանի որ քառակուսի արմատը կոտորակներից ավելի դժվար է հաշվարկել։ Նշանի տակից հանում ենք 9-ը, այսինքն. հաշվարկել քառակուսի արմատը. Ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը՝ -4×3×√3 = -12×√3

Հաջորդ √128 անդամը հաշվարկում է այն մասը, որը կարելի է հանել արմատի տակից։ 128=64×2 որտեղ √64=8: Եթե ​​դա հեշտացնում է ձեզ համար, կարող եք այս արտահայտությունը ներկայացնել այսպես. √128=√(8^2×2)

Մենք վերագրում ենք արտահայտությունը պարզեցված տերմիններով.

Այժմ գումարում ենք նույն արմատական ​​արտահայտությամբ թվերը։ Դուք չեք կարող ավելացնել կամ հանել արտահայտություններ տարբեր արմատական ​​արտահայտություններով: Արմատների ավելացումը պահանջում է համապատասխանություն այս կանոնին:

Ստանում ենք հետևյալ պատասխանը.

√2=1×√2 - Հուսով եմ, որ հանրահաշիվում ընդունված է բաց թողնել նման տարրերը ձեզ համար նորություն չի լինի:

Արտահայտությունները կարող են ներկայացվել ոչ միայն քառակուսի արմատներով, այլև խորանարդով կամ n-րդ արմատներով։

Արմատների գումարում և հանում հետ տարբեր ցուցանիշներաստիճան, բայց համարժեք արմատական ​​արտահայտությամբ, տեղի է ունենում հետևյալ կերպ.

Եթե ​​ունենք √a+∛b+∜b նման արտահայտություն, ապա կարող ենք պարզեցնել այս արտահայտությունն այսպես.

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Մենք կրճատել ենք երկու նմանատիպ տերմիններ արմատի ընդհանուր արտահայտիչին: Այստեղ օգտագործվել է արմատների հատկությունը, որն ասում է՝ եթե արմատական ​​արտահայտության աստիճանի թիվը և արմատային ցուցիչի թիվը բազմապատկվեն նույն թվով, ապա դրա հաշվարկը կմնա անփոփոխ։

Նշում. ցուցիչները ավելացվում են միայն բազմապատկելիս:

Դիտարկենք մի օրինակ, որտեղ կոտորակները առկա են արտահայտության մեջ:

Եկեք քայլ առ քայլ լուծենք.

5√8=5*2√2 - արդյունահանված մասը հանում ենք արմատի տակից։

Եթե ​​արմատի մարմինը ներկայացված է կոտորակով, ապա հաճախ այդ կոտորակը չի փոխվի, եթե վերցվի դիվիդենտի և բաժանարարի քառակուսի արմատը։ Արդյունքում մենք ստացել ենք վերը նկարագրված հավասարությունը։

Ահա պատասխանը.

Հիմնական բանը, որ պետք է հիշել, այն է, որ զույգ ցուցիչ ունեցող արմատը չի հանվում բացասական թվերից: Եթե ​​նույնիսկ աստիճանի արմատական ​​արտահայտությունը բացասական է, ապա արտահայտությունն անլուծելի է:

Արմատների ավելացումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատական ​​արտահայտությունները համընկնում են, քանի որ դրանք նման տերմիններ են։ Նույնը վերաբերում է տարբերությանը.

Տարբեր թվային ցուցիչներով արմատների ավելացումն իրականացվում է երկու տերմիններն էլ ընդհանուր արմատային աստիճանի իջեցնելով։ Այս օրենքը գործում է այնպես, ինչպես կրճատումը ընդհանուր հայտարարի կոտորակներ գումարելիս կամ հանելիս:

Եթե ​​արմատական ​​արտահայտությունը պարունակում է մի թիվ, որը հասցված է աստիճանի, ապա այս արտահայտությունը կարող է պարզեցվել, պայմանով, որ արմատի և ցուցիչի միջև կա ընդհանուր հայտարար:

Արտադրանքի և կոտորակի քառակուսի արմատը

a-ի քառակուսի արմատը այն թիվն է, որի քառակուսին a է: Օրինակ, -5 և 5 թվերը 25 թվի քառակուսի արմատներն են: Այսինքն, x^2=25 հավասարման արմատները 25 թվի քառակուսի արմատներն են: Այժմ դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել թվի հետ: քառակուսի արմատի գործողություն. ուսումնասիրել դրա հիմնական հատկությունները.

Արտադրանքի քառակուսի արմատը

√(a*b)=√a*√b

Երկու ոչ բացասական թվերի արտադրյալի քառակուսի արմատը հավասար է այս թվերի քառակուսի արմատների արտադրյալին։ Օրինակ՝ √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Կարևոր է հասկանալ, որ այս հատկությունը վերաբերում է նաև այն դեպքում, երբ արմատական ​​արտահայտությունը երեքի, չորսի և այլնի արտադրյալն է։ ոչ բացասական բազմապատկիչներ.

Երբեմն այս հատկության մեկ այլ ձևակերպում կա. Եթե ​​a-ն և b-ն ոչ բացասական թվեր են, ապա գործում է հետևյալ հավասարությունը՝ √(a*b) =√a*√b: Նրանց միջև բացարձակապես ոչ մի տարբերություն չկա, կարող եք օգտագործել կամ մեկը, կամ մյուս ձևակերպումը (որն ավելի հարմար է հիշել):

Կոտորակի քառակուսի արմատը

Եթե ​​a>=0 և b>0, ապա ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը.

√(a/b)=√a/√b.

Օրինակ՝ √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Այս հատկությունն ունի նաև այլ ձևակերպում, իմ կարծիքով՝ ավելի հարմար հիշելու համար։
Քառակուսի արմատը հավասար է արմատների գործակցին:

Հարկ է նշել, որ այս բանաձևերը գործում են ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ աջից ձախ: Այսինքն՝ անհրաժեշտության դեպքում մենք կարող ենք արմատների արտադրանքը ներկայացնել որպես արտադրանքի արմատ։ Նույնը վերաբերում է երկրորդ գույքին:

Ինչպես տեսնում եք, այս հատկությունները շատ հարմար են, և ես կցանկանայի ունենալ նույն հատկությունները գումարման և հանման համար.

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Բայց, ցավոք, նման հատկությունները քառակուսի են արմատներ չունեն, եւ այսպես չի կարելի անել հաշվարկներում:.

• 13. Քշել երթևեկության խաչմերուկներով 2018 առցանց մեկնաբանություններով 13.1. Աջ կամ ձախ թեքվելիս վարորդը պետք է ճանապարհը զիջի հետիոտներին և հեծանվորդներին, ովքեր անցնում են այն երթևեկելի հատվածը, որի վրա նա թեքվում է: Այս հրահանգը վերաբերում է բոլոր […]
• Ծնողների ժողով«Ծնողների իրավունքներ, պարտականություններ և պարտականություններ» Դասի ներկայացում Ներբեռնեք ներկայացում (536.6 kB) Ուշադրություն. Սլայդի նախադիտումը միայն տեղեկատվական նպատակների համար է և կարող է չներկայացնել բոլոր […]
• Տարածաշրջանային մայրական կապիտալըՕրելի մարզում Տարածաշրջանային մայրության մայրաքաղաքը (MK) Օրելում և Օրյոլի շրջանում հիմնադրվել է 2011թ. Այժմ դա սոցիալական աջակցության լրացուցիչ միջոց է բազմազավակ ընտանիքների համար՝ միանվագ […]
• 2018 թվականին վաղաժամ գրանցման համար միանվագ նպաստի չափը Ձեր հայցած էջը չի գտնվել: Հնարավոր է՝ սխալ հասցե եք մուտքագրել, կամ էջը ջնջվել է։ Օգտագործեք […]
• Տնտեսական գործերի իրավաբան տնտեսական ոլորտբավականին լայն հասկացություն է։ Նման գործողությունները ներառում են խարդախություն, անօրինական բիզնես, փողերի լվացում, անօրինական բանկային […]
• Կենտրոնական բանկի մամուլի ծառայություն Ռուսաստանի Դաշնություն(Ռուսաստանի բանկ) Մամուլի ծառայություն 107016, Մոսկվա, փող. Նեգլիննայա, 12www.cbr.ru Ժամանակավոր ադմինիստրացիայի նշանակման մասին Ռուսաստանի Բանկի արտաքին և հասարակայնության հետ կապերի վարչությունը տեղեկացնում է, որ համաձայն 2-րդ կետի […]
• ընդհանուր բնութագրերըև ջրային ուղիների համառոտ ակնարկ Ջրային ավազանների դասակարգում Հաճույքների (փոքր) նավակների նավիգացիայի համար ջրային ավազանների դասակարգումը, որը վերահսկվում է Ռուսաստանի GIMS-ի կողմից, իրականացվում է կախված […]
• Կուչերենա = Վիկտոր Ցոյի փաստաբանը Եվ սա բացառություն է՝ Անատոլի Կուչերենայի այսօրվա նամակը։ Թեմայի շարունակության մեջ. Այս նամակը դեռ ոչ ոք չի հրապարակել։ Եվ դա պետք է, կարծում եմ: Մաս 1-ն առայժմ. Շուտով կհրապարակեմ երկրորդ մասը՝ հայտնի իրավաբանի ստորագրությամբ։ Ինչու է դա կարևոր: […]

Արմատների գումարում և հանում- ամենատարածված «գայթակղություններից» մեկը նրանց համար, ովքեր ավագ դպրոցում մաթեմատիկայի (հանրահաշվի) դասընթաց են անցնում: Այնուամենայնիվ, սովորելը, թե ինչպես դրանք ճիշտ գումարել և հանել, շատ կարևոր է, քանի որ արմատների գումարի կամ տարբերության օրինակները ներառված են հիմնական Unified-ի ծրագրում: Պետական ​​քննություն«մաթեմատիկա» առարկայից։

Նման օրինակների լուծմանը տիրապետելու համար անհրաժեշտ է երկու բան՝ հասկանալ կանոնները, ինչպես նաև պրակտիկա ձեռք բերել։ Մեկ-երկու տասնյակ բնորոշ օրինակներ լուծելով՝ ուսանողն այս հմտությունը կբերի ավտոմատիզմի, այնուհետև քննությանը վախենալու ոչինչ չի ունենա։ Թվաբանական գործողությունները խորհուրդ է տրվում սկսել յուրացնել գումարումով, քանի որ դրանք գումարելը մի փոքր ավելի հեշտ է, քան հանելը։

Սա բացատրելու ամենահեշտ ձևը քառակուսի արմատի օրինակով է: Մաթեմատիկայում գոյություն ունի հաստատված «քառակուսի» տերմինը։ «Քառակուսի» նշանակում է կոնկրետ թիվ մեկ անգամ բազմապատկել ինքն իրենով։. Օրինակ, եթե քառակուսի ես դնում 2-ը, ապա կստանաս 4: Եթե քառակուսի ես դնում 7-ը, ապա կստանաս 49: 9-ի քառակուսին 81 է: Այսպիսով, 4-ի քառակուսի արմատը 2-ն է, 49-ի քառակուսի արմատը 7 է, իսկ 81-ի քառակուսինը՝ 9:

Որպես կանոն, այս թեմայի ուսուցումը մաթեմատիկայից սկսվում է քառակուսի արմատներով։ Անմիջապես որոշելու համար աշակերտը ավագ դպրոցպետք է անգիր իմանա բազմապատկման աղյուսակը: Նրանց համար, ովքեր լավ չգիտեն այս աղյուսակը, դուք պետք է օգտագործեք ակնարկներ: Սովորաբար թվից արմատային քառակուսի հանելու գործընթացը տրվում է աղյուսակի տեսքով շատերի շապիկներին. դպրոցական տետրերՄաթեմատիկա.

Արմատները հետևյալ տեսակներից են.

• քառակուսի;
• խորանարդ (կամ այսպես կոչված երրորդ աստիճան);
• չորրորդ աստիճան;
• հինգերորդ աստիճան.

Լրացման կանոններ

Տիպիկ օրինակը հաջողությամբ լուծելու համար պետք է նկատի ունենալ, որ ոչ բոլոր արմատային թվերն են կարելի է շարել միմյանց հետ. Որպեսզի կարողանանք դրանք միասին դնել, դրանք պետք է բերվեն մեկ օրինակի: Եթե ​​դա հնարավոր չէ, ապա խնդիրը լուծում չունի։ Նման խնդիրներ հաճախ հանդիպում են նաև մաթեմատիկայի դասագրքերում՝ որպես յուրօրինակ ծուղակ ուսանողների համար։

Հանձնարարություններում ավելացում չի թույլատրվում, երբ արմատական ​​արտահայտությունները տարբերվում են միմյանցից: Սա կարելի է նկարազարդել լավ օրինակ:

• Աշակերտի առաջ խնդիր է դրվում՝ ավելացնել 4-ի և 9-ի քառակուսի արմատները.
• անփորձ ուսանող, իմանալով կանոնները, սովորաբար գրում է. «4-ի քառակուսի արմատը + 9-ի արմատը \u003d 13-ի արմատը»:
• շատ հեշտ է ապացուցել, որ լուծման այս ճանապարհը սխալ է։ Դա անելու համար հարկավոր է գտնել 13-ի քառակուսի արմատը և ստուգել՝ արդյոք օրինակը ճիշտ է լուծված;
• օգտագործելով միկրոհաշվիչը, կարող եք որոշել, որ այն մոտավորապես 3.6 է: Այժմ մնում է ստուգել լուծումը.
• 4=2-ի և 9=3-ի արմատը;
• Երկուսի և երեքի գումարը հինգ է։ Այսպիսով, լուծման այս ալգորիթմը կարելի է սխալ համարել։

Եթե ​​արմատները ունեն նույն աստիճանը, բայց տարբեր թվային արտահայտություններ, ապա այն հանվում է փակագծերից, և երկու արմատական ​​արտահայտությունների գումարը. Այսպիսով, այն արդեն արդյունահանվում է այս գումարից։

Ավելացման ալգորիթմ

Ամենապարզ խնդիրը ճիշտ լուծելու համար անհրաժեշտ է.

1. Որոշեք, թե կոնկրետ ինչն է պահանջում ավելացում:
2. Պարզեք, թե արդյոք հնարավոր է միմյանց արժեքներ ավելացնել՝ առաջնորդվելով մաթեմատիկայի կանոններով։
3. Եթե ​​դրանք հնարավոր չէ ավելացնել, դուք պետք է փոխակերպեք դրանք այնպես, որ դրանք ավելացվեն:
4. Կատարելով բոլոր անհրաժեշտ փոխակերպումները՝ անհրաժեշտ է կատարել լրացում և գրել պատրաստի պատասխանը։ Հավելումը կարող է կատարվել մտովի կամ հաշվիչի միջոցով՝ կախված օրինակի բարդությունից։

Որոնք են նմանատիպ արմատները

Լրացման օրինակը ճիշտ լուծելու համար անհրաժեշտ է, առաջին հերթին, մտածել, թե ինչպես կարելի է այն պարզեցնել։ Դա անելու համար դուք պետք է ունենաք հիմնական գիտելիքներ, թե ինչ է նմանությունը:

Նմաններին նույնականացնելու ունակությունն օգնում է արագ լուծել նույն տեսակի հավելումների օրինակները՝ դրանք բերելով պարզեցված ձևի: Տիպիկ լրացման օրինակը պարզեցնելու համար անհրաժեշտ է.

1. Գտեք նմանատիպերը և դրանք հատկացրեք մեկ խմբի (կամ մի քանի խմբի):
2. Գոյություն ունեցող օրինակը վերագրիր այնպես, որ նույն ցուցանիշն ունեցող արմատները հստակորեն հաջորդեն միմյանց (սա կոչվում է «խմբավորում»):
3. Այնուհետև պետք է նորից գրել արտահայտությունը, այս անգամ այնպես, որ նմանները (որոնք ունեն նույն ցուցիչը և նույն արմատական ​​պատկերը) նույնպես հաջորդեն միմյանց։

Դրանից հետո պարզեցված օրինակը սովորաբար հեշտ է լուծել:

Ցանկացած հավելման օրինակ ճիշտ լուծելու համար հարկավոր է հստակ հասկանալ գումարման հիմնական կանոնները, ինչպես նաև իմանալ, թե ինչ է արմատը և ինչպես է դա տեղի ունենում:

Երբեմն նման առաջադրանքները առաջին հայացքից շատ բարդ են թվում, բայց սովորաբար դրանք հեշտությամբ լուծվում են՝ խմբավորելով նմանատիպերը: Ամենակարևորը պրակտիկան է, և այդ ժամանակ ուսանողը կսկսի «սեղմել առաջադրանքները, ինչպես ընկույզը»: Արմատային գումարումը մաթեմատիկայի ամենակարևոր ճյուղերից մեկն է, ուստի ուսուցիչները պետք է բավականաչափ ժամանակ հատկացնեն այն ուսումնասիրելու համար:

Տեսանյութ

Այս տեսանյութը կօգնի ձեզ հասկանալ քառակուսի արմատներով հավասարումները:

Թվի արմատն ամենահեշտն է հանել հաշվիչի միջոցով: Բայց, եթե դուք չունեք հաշվիչ, ապա դուք պետք է իմանաք քառակուսի արմատը հաշվարկելու ալգորիթմը: Փաստն այն է, որ քառակուսու մի թիվ նստած է արմատի տակ: Օրինակ՝ 4 քառակուսին 16 է։ Այսինքն՝ 16-ի քառակուսի արմատը հավասար կլինի չորսի։ Նաև 5 քառակուսին 25 է։ Հետևաբար, 25-ի արմատը կլինի 5։ Եվ այսպես շարունակ։

Եթե ​​թիվը փոքր է, ապա այն կարելի է հեշտությամբ հանել բանավոր, օրինակ՝ 25-ի արմատը կլինի 5, իսկ արմատը՝ 144-12։ Դուք կարող եք նաև հաշվարկել հաշվիչի վրա, կա հատուկ արմատային պատկերակ, դուք պետք է քշեք թվով և սեղմեք պատկերակի վրա:

Քառակուսի արմատների աղյուսակը կօգնի նաև.

Կան այլ ուղիներ, որոնք ավելի բարդ են, բայց շատ արդյունավետ.

Ցանկացած թվի արմատը կարելի է հանել հաշվիչի միջոցով, մանավանդ որ դրանք այսօր կան յուրաքանչյուր հեռախոսում։

Դուք կարող եք փորձել կոպիտ կերպով պարզել, թե ինչպես կարող է ստացվել տրված թիվը՝ մեկ թիվ ինքն իրենով բազմապատկելով:



Թվի քառակուսի արմատը հաշվարկելը դժվար չէ, հատկապես եթե կա հատուկ աղյուսակ։ Հայտնի աղյուսակ հանրահաշվի դասերից. Նման գործողությունը կոչվում է a թվի քառակուսի արմատ վերցնել, այլ կերպ ասած՝ լուծել հավասարումը։ Սմարթֆոնների գրեթե բոլոր հաշվիչներն ունեն քառակուսի արմատի ֆունկցիա:



Հայտնի թվի քառակուսի արմատը հանելու արդյունքը կլինի մեկ այլ թիվ, որը, երբ բարձրացնենք երկրորդ աստիճանի (քառակուսի), կստանանք նույն թիվը, որը մենք գիտենք: Դիտարկենք բնակավայրերի նկարագրություններից մեկը, որը կարճ և հասկանալի է թվում.







Ահա թեմայի վերաբերյալ տեսանյութ.

Թվի քառակուսի արմատը հաշվարկելու մի քանի եղանակ կա։

Ամենատարածված միջոցը հատուկ արմատային աղյուսակի օգտագործումն է (տես ստորև):

Նաև յուրաքանչյուր հաշվիչի վրա կա գործառույթ, որով կարող եք գտնել արմատը:

Կամ օգտագործելով հատուկ բանաձեւ:



Թվի քառակուսի արմատը հանելու մի քանի եղանակ կա։ Դրանցից մեկն ամենաարագն է՝ օգտագործելով հաշվիչ։

Բայց եթե հաշվիչ չկա, ապա դուք կարող եք դա անել ձեռքով:

Արդյունքը ճշգրիտ կլինի:

Սկզբունքը գրեթե նույնն է, ինչ սյունակով բաժանելը.



















Փորձենք առանց հաշվիչի գտնել թվի քառակուսի արմատի արժեքը, օրինակ՝ 190969 թ.







Այսպիսով, ամեն ինչ չափազանց պարզ է. Հաշվարկներում գլխավորը որոշակիին հավատարիմ մնալն է պարզ կանոններև տրամաբանորեն մտածիր:

Դրա համար անհրաժեշտ է քառակուսիների աղյուսակ



Օրինակ, 100 = 10-ի արմատը, 20-ի = 43-ի 400 = 1849 թ.

Այժմ գրեթե բոլոր հաշվիչները, այդ թվում՝ սմարթֆոնների վրա, կարող են հաշվարկել թվի քառակուսի արմատը։ ԲԱՅՑ եթե դուք չունեք հաշվիչ, ապա կարող եք գտնել թվի արմատը մի քանի պարզ եղանակներով.

Հիմնական ֆակտորիզացիա



Արմատային թիվը վերածեք այն գործոնների, որոնք քառակուսի թվեր են: Կախված արմատային թվից, դուք կստանաք մոտավոր կամ ճշգրիտ պատասխան: Քառակուսի թվերը թվեր են, որոնցից կարելի է վերցնել ամբողջ քառակուսի արմատը: Թվի գործակիցներ, որոնք բազմապատկելով տալիս են սկզբնական թիվը: Օրինակ, 8 թվի գործակիցները 2-ն են և 4-ը, քանի որ 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 թվերը քառակուսի թվեր են, քանի որ 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7: Քառակուսի գործոնները գործոններ են, որոնք քառակուսի թվեր են: Նախ, փորձեք արմատային թիվը վերածել քառակուսի գործոնների:

Օրինակ, հաշվարկեք 400-ի քառակուսի արմատը (ձեռքով): Նախ փորձեք 400-ը վերածել քառակուսի գործակիցների: 400-ը 100-ի բազմապատիկն է, որը քառակուսի թիվ է, որը բաժանվում է 25-ի: 400-ը 25-ի բաժանելուց ստացվում է 16, որը նույնպես քառակուսի թիվ է: Այսպիսով, 400-ը կարող է վերագրվել 25 և 16 քառակուսի գործակիցների, այսինքն՝ 25 x 16 = 400:

Գրեք այն այսպես՝ 400 = (25 x 16):



Որոշ անդամների արտադրյալի քառակուսի արմատը հավասար է յուրաքանչյուր անդամի քառակուսի արմատների արտադրյալին, այսինքն՝ (a x b) = a x b։ Օգտագործելով այս կանոնը, վերցրեք յուրաքանչյուր քառակուսի գործոնի քառակուսի արմատը և արդյունքները բազմապատկեք՝ պատասխանը գտնելու համար:

Մեր օրինակում վերցրեք 25-ի և 16-ի քառակուսի արմատը:



Եթե ​​արմատական ​​թիվը չի քայքայվում երկուսի քառակուսի բազմապատկիչ(որը տեղի է ունենում շատ ժամանակ), դուք չեք կարողանա գտնել ճշգրիտ պատասխանը որպես ամբողջ թիվ: Բայց դուք կարող եք պարզեցնել խնդիրը՝ տարրալուծելով արմատային թիվը քառակուսի գործոնի և սովորական գործոնի (թիվ, որից ամբողջ քառակուսի արմատը չի կարելի վերցնել): Այնուհետև դուք կվերցնեք քառակուսի գործակցի քառակուսի արմատը և կվերցնեք սովորական գործակցի արմատը:

Օրինակ՝ հաշվե՛ք 147 թվի քառակուսի արմատը։ 147 թիվը չի կարող վերագրվել երկու քառակուսի գործակցի, սակայն այն կարելի է վերագրել հետևյալ գործոններով՝ 49 և 3։ Խնդիրը լուծե՛ք հետևյալ կերպ.



Այժմ դուք կարող եք գնահատել արմատի արժեքը (գտնել մոտավոր արժեքը)՝ համեմատելով այն քառակուսի արմատների արժեքների հետ, որոնք ամենամոտ են (թվային գծի երկու կողմերում) արմատային թվին: Դուք կստանաք արմատի արժեքը որպես տասնորդական կոտորակ, որը պետք է բազմապատկվի արմատային նշանի ետևում գտնվող թվով։

Վերադառնանք մեր օրինակին։ Արմատի թիվը 3 է: Դրան ամենամոտ քառակուսի թվերը կլինեն 1 (1 \u003d 1) և 4 (4 \u003d 2) թվերը: Այսպիսով, 3-ի արժեքը գտնվում է 1-ի և 2-ի միջև: Քանի որ 3-ի արժեքը հավանաբար ավելի մոտ է 2-ին, քան 1-ին, մեր գնահատականը հետևյալն է. 3 = 1,7: Մենք այս արժեքը բազմապատկում ենք արմատային նշանի թվով. 7 x 1.7 \u003d 11.9: Եթե ​​հաշվարկները կատարում եք հաշվիչի վրա, կստանաք 12.13, որը բավականին մոտ է մեր պատասխանին:

Այս մեթոդը գործում է նաև մեծ թվերի դեպքում: Օրինակ՝ հաշվի առեք 35-ը։ Արմատի թիվը 35 է։ Դրան ամենամոտ քառակուսի թվերն են՝ 25 (25 = 5) և 36 (36 = 6)։ Այսպիսով, 35 արժեքը գտնվում է 5-ի և 6-ի միջև: Քանի որ 35-ը շատ ավելի մոտ է 6-ին, քան 5-ին (որովհետև 35-ը միայն 1-ով փոքր է 36-ից), կարող ենք ասել, որ 35-ը մի փոքր փոքր է 6-ից: Հաշվիչի վրա ստուգելը տալիս է. մեզ պատասխանը 5.92 - մենք ճիշտ էինք:



Մեկ այլ եղանակ է արմատային թիվը պարզ գործոնների վերածել: Մի թվի պարզ գործոններ, որոնք բաժանվում են միայն 1-ի և իրենց վրա: Շարքով գրի՛ր պարզ գործակիցները և գտիր միանման գործակիցների զույգեր: Նման գործոնները կարելի է հանել արմատի նշանից.

Օրինակ՝ հաշվարկեք 45-ի քառակուսի արմատը: Արմատի թիվը տարրալուծում ենք պարզ գործակիցների՝ 45 \u003d 9 x 5 և 9 \u003d 3 x 3: Այսպիսով, 45 \u003d (3 x 3 x 5): Արմատային նշանից կարելի է հանել 3-ը՝ 45 = 35։ Այժմ կարող ենք գնահատել 5։

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ՝ 88։

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11): Դուք ստացել եք երեք բազմապատկիչ 2; մի երկու հատ վերցրու ու արմատի նշանից հանիր։

2(2 x 11) = 22 x 11: Այժմ կարող եք գնահատել 2-ը և 11-ը և գտնել մոտավոր պատասխան:

Այս ուսումնական տեսանյութը կարող է նաև օգտակար լինել.

Արմատը թվից հանելու համար պետք է օգտագործել հաշվիչը, կամ եթե համապատասխանը չկա, խորհուրդ եմ տալիս գնալ այս կայք և լուծել խնդիրը՝ օգտագործելով առցանց հաշվիչ, որը վայրկյանների ընթացքում կտա ճիշտ արժեքը։