X առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալը պարամետրային է: Պարամետրականորեն սահմանված կորով սահմանափակված գործչի մակերեսի հաշվարկ: Առանցքի շուրջ հարթ պատկերի պտույտից առաջացած մարմնի ծավալի հաշվարկը

Բաժիններ: Մաթեմատիկա

Դասի տեսակը՝ համակցված։

Դասի նպատակը.սովորել ինտեգրալների միջոցով հաշվարկել հեղափոխության մարմինների ծավալները:

Առաջադրանքներ.

համախմբել մի շարք երկրաչափական ձևերից կորագիծ trapezoids ընտրելու ունակությունը և զարգացնել կորագիծ trapezoids տարածքները հաշվարկելու հմտությունը.
ծանոթանալ եռաչափ գործչի հայեցակարգին;
սովորել հաշվարկել հեղափոխության մարմինների ծավալները.
նպաստել զարգացմանը տրամաբանական մտածողություն, գրագետ մաթեմատիկական խոսք, գծագրերի կառուցման ճշգրտություն;
զարգացնել հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ, գործել մաթեմատիկական հասկացությունների և պատկերների հետ, ձևավորել կամք, անկախություն, հաստատակամություն վերջնական արդյունքի հասնելու համար:

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական պահ.

Խմբային ողջույններ. Ուսանողների հետ դասի նպատակների մասին հաղորդակցություն:

Արտացոլում. Հանգիստ մեղեդի.

Այսօրվա դասը կցանկանայի սկսել առակով. «Կար մի իմաստուն մարդ, ով գիտեր ամեն ինչ։ Մի մարդ ուզում էր ապացուցել, որ իմաստունն ամեն ինչ չգիտի։ Թիթեռը ձեռքերում բռնած՝ նա հարցրեց. «Ասա ինձ, իմաստուն, ո՞ր թիթեռնիկն է իմ ձեռքում՝ մեռա՞ծ, թե՞ ողջ»: Իսկ ինքը մտածում է. «Եթե կենդանին ասի՝ կսպանեմ, եթե մեռածն ասի՝ դուրս կթողնեմ»։ Իմաստունը, մտածելով, պատասխանեց. «Ամեն ինչ ձեր ձեռքերում է». (Ներկայացում.Սլայդ)

-Ուստի եկեք այսօր բեղմնավոր աշխատենք, գիտելիքների նոր պաշար ձեռք բերենք, իսկ ձեռք բերած հմտություններն ու կարողությունները կկիրառենք հետագա կյանքում և գործնական գործունեության մեջ։ «Ամեն ինչ ձեր ձեռքերում է».

II. Նախկինում սովորած նյութի կրկնություն:

Եկեք վերանայենք նախկինում ուսումնասիրված նյութի հիմնական կետերը: Դա անելու համար եկեք կատարենք առաջադրանքը «Հեռացրեք ավելորդ բառը».(Սլայդ.)

(Աշակերտը գնում է I.D. ռետինի օգնությամբ հանում է ավելորդ բառը):

- Ճիշտ «Դիֆերենցիալ». Փորձեք մնացած բառերը անվանել մեկ ընդհանուր բառով: (Ամբողջական հաշվարկ):

- Եկեք հիշենք ինտեգրալ հաշվարկի հետ կապված հիմնական փուլերն ու հասկացությունները ..

«Մաթեմատիկական փունջ».

Զորավարժություններ. Վերականգնել անցումները: (Աշակերտը դուրս է գալիս և գրիչով գրում է անհրաժեշտ բառերը):

- Ինտեգրալների կիրառման մասին հաշվետվություն կլսենք ավելի ուշ։

Աշխատեք նոթատետրերում.

– Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը մշակվել է անգլիացի ֆիզիկոս Իսահակ Նյուտոնի (1643–1727) և գերմանացի փիլիսոփա Գոթֆրիդ Լայբնիցի (1646–1716) կողմից։ Եվ դա զարմանալի չէ, քանի որ մաթեմատիկան այն լեզուն է, որով խոսում է հենց բնությունը:

– Մտածեք, թե ինչպես է այս բանաձևն օգտագործվում գործնական առաջադրանքներ լուծելիս:

Օրինակ 1: Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը

Լուծում. Կառուցեք կոորդինատային հարթությունֆունկցիայի գրաֆիկներ . Ընտրեք հայտնաբերվող գործչի տարածքը:

III. Նոր նյութ սովորելը.

- Ուշադրություն դարձրեք էկրանին. Ի՞նչ է պատկերված առաջին նկարում: (Սլայդ) (Նկարը ցույց է տալիս հարթ գործիչ):

Ի՞նչ է պատկերված երկրորդ նկարում: Արդյո՞ք այս ցուցանիշը հարթ է: (Սլայդ) (Նկարը ցույց է տալիս եռաչափ պատկեր):

տիեզերքում, երկրի վրա և ներսում Առօրյա կյանքմենք հանդիպում ենք ոչ միայն հարթ պատկերներով, այլև եռաչափ, բայց ինչպե՞ս հաշվարկել այդպիսի մարմինների ծավալը։ Օրինակ՝ մոլորակի, գիսաստղի, երկնաքարի ծավալը և այլն։

– Մտածեք ծավալի և տներ կառուցելու և մի նավից մյուսը ջուր լցնելու մասին: Ծավալների հաշվման կանոններ ու մեթոդներ պետք է առաջանային, այլ բան, թե որքանով էին դրանք ճշգրիտ ու հիմնավորված։

Ուսանողի ուղերձ. (Տյուրինա Վերա.)

Ավստրիական Լինց քաղաքի բնակիչների համար, որտեղ ապրում էր այն ժամանակ հայտնի աստղագետ Յոհաննես Կեպլերը, հատկապես խաղողի համար, 1612 թվականը շատ բեղմնավոր էր։ Մարդիկ պատրաստում էին գինու տակառներ և ցանկանում էին իմանալ, թե ինչպես կարելի է գործնականում որոշել դրանց ծավալները։ (Սլայդ 2)

- Այսպիսով, Կեպլերի դիտարկված աշխատությունները սկիզբ դրեցին հետազոտությունների մի ամբողջ հոսքի, որը գագաթնակետին հասավ 17-րդ դարի վերջին քառորդում։ դիզայն Ի. Նյուտոնի և Գ.Վ. Լայբնիցի դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկ. Այդ ժամանակից ի վեր մաթեմատիկական գիտելիքների համակարգում առաջատար տեղ է գրավել մեծության փոփոխականների մաթեմատիկան։

-Ուրեմն այսօր մենք զբաղվելու ենք նման գործնական գործունեությամբ, հետևաբար.

Մեր դասի թեման՝ «Հեղափոխության մարմինների ծավալների հաշվարկը որոշակի ինտեգրալով»։ (Սլայդ)

-Հեղափոխության մարմնի սահմանումը կսովորեք կատարելով հետևյալ առաջադրանքը.

«Լաբիրինթոս».

Լաբիրինթ (հունարեն բառ) նշանակում է անցում դեպի զնդան։ Լաբիրինթոսը արահետների, անցումների, սենյակների բարդ ցանց է, որոնք շփվում են միմյանց հետ:

Բայց «վթարի ենթարկվեց» սահմանումը, սլաքների տեսքով ակնարկներ եղան։

Զորավարժություններ. Գտեք ելք խառնաշփոթ իրավիճակից և գրեք սահմանումը:

Սլայդ. «Հրահանգային քարտ» Ծավալների հաշվարկ.

Օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ՝ կարող եք հաշվարկել մարմնի, մասնավորապես՝ հեղափոխության մարմնի ծավալը։

Հեղափոխության մարմինը այն մարմինն է, որը ստացվում է կորագիծ տրապիզոնի հիմքի շուրջը պտտելով (նկ. 1, 2):

Հեղափոխության մարմնի ծավալը հաշվարկվում է բանաձևերից մեկով.

1. x առանցքի շուրջ:

2. , եթե կորագիծ trapezoid-ի պտույտը y առանցքի շուրջ:

Յուրաքանչյուր ուսանող ստանում է հրահանգչական քարտ: Ուսուցիչը նշում է հիմնական կետերը.

Ուսուցիչը գրատախտակին բացատրում է օրինակների լուծումը:

Դիտարկենք մի հատված Ա. Ս. Պուշկինի հայտնի հեքիաթից «Ցար Սալթանի հեքիաթը, նրա փառահեղ և հզոր որդու՝ արքայազն Գվիդոն Սալտանովիչի և գեղեցիկ արքայադուստր Լեբեդի մասին» (Սլայդ 4):

…..
Եվ հարբած սուրհանդակ բերեց
Նույն օրը կարգը հետևյալն է.
«Ցարը պատվիրում է իր տղաներին.
Ժամանակ չկորցնելով,
Եվ թագուհին և սերունդը
Գաղտնի նետված ջրերի անդունդը»։
Անելիք չկա. տղաները,
Ինքնիշխանի համար սգալով
Եվ երիտասարդ թագուհին
Նրա ննջասենյակ եկավ բազմություն։
Հռչակեց թագավորական կամքը.
Նա և իր որդին չար ճակատագիր ունեն,
Բարձրաձայն կարդացեք հրամանագիրը
Եվ թագուհին միևնույն ժամանակ
Ինձ տղայիս հետ տակառի մեջ դրեցին,
Աղոթեց, գլորվեց
Եվ նրանք ինձ թույլ տվեցին մտնել օկիան...
Այսպես պատվիրեց ցար Սալթանը.

Որքա՞ն պետք է լինի տակառի ծավալը, որպեսզի թագուհին և նրա որդին տեղավորվեն դրա մեջ։

- Հաշվի առեք հետևյալ առաջադրանքները

1. Գտե՛ք այն մարմնի ծավալը, որը ստացվել է գծերով սահմանափակված կորագիծ տրապեզի y առանցքի շուրջ պտտվելուց. x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0:

Պատասխան՝ 1163 սմ 3 .

Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է աբսցիսայի շուրջ պարաբոլիկ trapezoid պտտելով y =, x = 4, y = 0:

IV. Նոր նյութի ամրագրում

Օրինակ 2. Հաշվի՛ր x առանցքի շուրջ ծաղկաթերթի պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը. y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Եկեք գծենք ֆունկցիայի գրաֆիկները։ y=x2, y2=x. Ժամանակացույց y 2 = xվերածվել ձևի y= .

Մենք ունենք V \u003d V 1 - V 2Եկեք հաշվարկենք յուրաքանչյուր ֆունկցիայի ծավալը

- Հիմա եկեք նայենք Մոսկվայի ռադիոկայանի աշտարակին Շաբոլովկայի վրա, որը կառուցվել է հիանալի ռուս ինժեներ, պատվավոր ակադեմիկոս Վ.Գ. Շուխովի նախագծով: Այն բաղկացած է մասերից՝ հեղափոխության հիպերբոլոիդներից։ Ընդ որում, դրանցից յուրաքանչյուրը պատրաստված է հարակից շրջանները միացնող ուղղագիծ մետաղական ձողերից (նկ. 8, 9):

-Խնդիրը հաշվի առեք.

Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է հիպերբոլայի աղեղների պտտմամբ իր երևակայական առանցքի շուրջ, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 8, որտեղ

խորանարդ միավորներ

Խմբային առաջադրանքներ. Սովորողները առաջադրանքներով վիճակահանություն են անում, Whatman թղթի վրա նկարներ են արվում, խմբի ներկայացուցիչներից մեկը պաշտպանում է աշխատանքը։

1-ին խումբ.

Հարվածե՛ք Հարվածե՛ք Եվս մեկ հիթ!
Գնդակը թռչում է դարպասի մեջ - ԳՆԴԱԿ:
Եվ սա ձմերուկի գնդակ է
Կանաչ, կլոր, համեղ։
Նայեք ավելի լավ, ինչ գնդակ:
Այն կազմված է շրջանակներից։
Ձմերուկը օղակների մեջ կտրատել
Եվ համտեսեք դրանք:

Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է սահմանափակված ֆունկցիայի OX առանցքի շուրջ պտտվելուց

Սխալ. Էջանիշը սահմանված չէ:

- Ասացեք, խնդրում եմ, որտե՞ղ ենք մենք հանդիպում այս գործչի հետ:

Տուն. առաջադրանք 1-ին խմբի համար. ԳԼՈՆ (Սլայդ) .

«Գլան - ինչ է դա»: Ես հարցրեցի հայրիկիս.
Հայրը ծիծաղեց. Գլխարկը գլխարկ է:
Ունենալ ներկայացումը ճիշտ է,
Մխոցը, ասենք, թիթեղյա տարա է։
Շոգենավի խողովակը գլան է,
Մեր տանիքի խողովակը նույնպես,

Բոլոր խողովակները նման են գլան:
Եվ ես այսպիսի օրինակ բերեցի.
Իմ սիրելի կալեիդոսկոպ
Դուք չեք կարող ձեր աչքերը կտրել նրանից:
Այն նաև նման է մխոցի:

- Մարզվել. Տնային աշխատանքգծել ֆունկցիան և հաշվարկել ծավալը:

2-րդ խումբ. ԿՈՆ (Սլայդ).

Մայրիկը ասաց. Եվ հիմա
Կոնի մասին կլինի իմ պատմությունը:
Stargazer բարձր գլխարկով
Ամբողջ տարին հաշվում է աստղերը:
ԿՈՆ - աստղադիտողի գլխարկ:
Ահա թե ինչ է նա։ Հասկացա՞ր: վերջ։
Մայրիկը սեղանի մոտ էր
Նա յուղ լցրեց շշերի մեջ:
-Որտե՞ղ է ձագարը: Ձագար չկա:
Նայել. Մի կանգնեք կողքի վրա:
- Մայրիկ, ես տեղից չեմ շարժվի,
Ասա ինձ ավելի շատ կոնի մասին:
- Ձագարը ջրցանի կոնի տեսքով է։
Արի, շուտ գտիր ինձ:
Ես չկարողացա գտնել ձագարը
Բայց մայրիկը պայուսակ պատրաստեց,
Փաթաթեք ստվարաթուղթ ձեր մատի շուրջը
Եվ վարպետորեն ամրացվում է թղթի սեղմակով:
Նավթը թափվում է, մայրիկը ուրախ է
Կոնը ճիշտ դուրս եկավ:

Զորավարժություններ. Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է x առանցքի շուրջ պտտվելուց

Տուն. առաջադրանք 2-րդ խմբի համար. ԲՈՒՐԳ(Սլայդ).

Ես տեսա նկարը։ Այս նկարում
Ավազոտ անապատում ԲՈՒՐԳ կա։
Բուրգում ամեն ինչ արտասովոր է,
Դրա մեջ ինչ-որ առեղծված ու առեղծված կա:
Սպասկայա աշտարակը Կարմիր հրապարակում
Հայտնի են և՛ երեխաները, և՛ մեծահասակները:
Նայեք աշտարակին՝ սովորական տեսքով,
Ի՞նչ կա նրա գլխավերեւում: Բուրգ!

Զորավարժություններ.Տնային առաջադրանքը գծեք ֆունկցիա և հաշվարկեք բուրգի ծավալը

- Մենք հաշվարկել ենք տարբեր մարմինների ծավալները՝ հիմնվելով մարմինների ծավալների հիմնական բանաձևի վրա՝ օգտագործելով ինտեգրալը:

Սա ևս մեկ հաստատում է, որ որոշակի ինտեգրալը որոշակի հիմք է մաթեմատիկայի ուսումնասիրության համար:

«Հիմա մի քիչ հանգստանանք»։

Գտեք զույգ:

Մաթեմատիկական դոմինոյի մեղեդին նվագում է:

«Ճանապարհը, որը նա ինքն էր փնտրում, երբեք չի մոռացվի…»:

Հետազոտական աշխատանք. Ինտեգրալի կիրառումը տնտեսագիտության և տեխնոլոգիայի մեջ.

Թեստեր ուժեղ սովորողների և մաթեմատիկայի ֆուտբոլի համար:

Մաթեմատիկայի սիմուլյատոր.

2. Տրված ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը կոչվում է

Ա) անորոշ ինտեգրալ

բ) գործառույթը,

Բ) տարբերակում.

7. Գտե՛ք այն մարմնի ծավալը, որը ստացվել է գծերով սահմանափակված կորագծային տրապեզի աբսցիսային առանցքի շուրջ պտտվելուց.

Դ/Զ. Հաշվեք հեղափոխության մարմինների ծավալները:

Արտացոլում.

Արտացոլման ընդունումը ձևով ծանոթ(հինգ տող):

1-ին տող - թեմայի անվանումը (մեկ գոյական):

2-րդ տող - թեմայի նկարագրությունը համառոտ, երկու ածական:

3-րդ տող - այս թեմայի շրջանակներում գործողության նկարագրությունը երեք բառով:

4-րդ տող - չորս բառից բաղկացած արտահայտություն, ցույց է տալիս վերաբերմունքը թեմային (մի ամբողջ նախադասություն):

5-րդ տողը հոմանիշ է, որը կրկնում է թեմայի էությունը։

Ծավալը.
Որոշակի ինտեգրալ, ինտեգրվող ֆունկցիա:
Կառուցում ենք, պտտում, հաշվարկում։
Մարմին, որը ստացվում է կորագիծ տրապիզոնի պտտմամբ (նրա հիմքի շուրջը)։
Հեղափոխության մարմին (3D երկրաչափական մարմին):

Եզրակացություն (Սլայդ).

Որոշակի ինտեգրալը մաթեմատիկայի ուսումնասիրության մի տեսակ հիմք է, որն անփոխարինելի ներդրում է կատարում գործնական բովանդակության խնդիրների լուծման գործում:
«Ինտեգրալ» թեման հստակ ցույց է տալիս կապը մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի, կենսաբանության, տնտեսագիտության և տեխնիկայի միջև։
Զարգացում ժամանակակից գիտանհնար է պատկերացնել առանց ինտեգրալի օգտագործման: Այս առումով անհրաժեշտ է սկսել այն ուսումնասիրել միջնակարգ մասնագիտացված կրթության շրջանակներում՛՛։

Գնահատում. (Մեկնաբանությամբ):

Մեծն Օմար Խայամը մաթեմատիկոս, բանաստեղծ և փիլիսոփա է: Նա կոչ է անում լինել իր ճակատագրի տերը: Լսեք մի հատված նրա ստեղծագործությունից.

Դուք ասում եք, որ այս կյանքը ընդամենը մի պահ է:
Գնահատե՛ք այն, ոգեշնչե՛ք դրանից։
Ինչպես ծախսես, այնպես էլ կանցնի։
Մի մոռացեք, որ նա ձեր ստեղծագործությունն է:

Եկեք գտնենք մարմնի ծավալը, որն առաջանում է ցիկլոիդ կամարի պտտման արդյունքում նրա հիմքի շուրջ: Ռոբերվալը գտել է այն՝ կոտրելով ստացված ձվաձեւ մարմինը (նկ. 5.1) անսահման բարակ շերտերի, այդ շերտերի մեջ գլաններ գրելով և դրանց ծավալներն ավելացնելով։ Ապացույցը երկար է, հոգնեցուցիչ և ոչ ամբողջովին խիստ: Ուստի այն հաշվարկելու համար դիմում ենք բարձրագույն մաթեմատիկային։ Եկեք պարամետրորեն սահմանենք ցիկլոիդ հավասարումը:

Ինտեգրալ հաշվում ծավալներն ուսումնասիրելիս օգտագործում է հետևյալ դիտողությունը.

Եթե կորագիծը սահմանափակող կորը տրված է պարամետրային հավասարումներով, և այդ հավասարումների ֆունկցիաները բավարարում են որոշակի ինտեգրալում փոփոխականի փոփոխության թեորեմի պայմանները, ապա Ox առանցքի շուրջ տրապեզի պտտման մարմնի ծավալը կլինի. հաշվարկել բանաձևով.

Եկեք օգտագործենք այս բանաձեւը՝ մեզ անհրաժեշտ ծավալը գտնելու համար։

Նույն կերպ մենք հաշվարկում ենք այս մարմնի մակերեսը։

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - ծախս), 0 ? t ? 2р)

Ինտեգրալ հաշվարկում կա հետևյալ բանաձևը՝ պտտվող մարմնի մակերեսի մակերեսը գտնելու կորի x առանցքի շուրջ, որը նշված է հատվածի վրա պարամետրականորեն (t 0 ?t ?t 1).

Կիրառելով այս բանաձևը մեր ցիկլոիդ հավասարմանը, մենք ստանում ենք.

Դիտարկենք նաև մեկ այլ մակերես, որը առաջացել է ցիկլոիդ աղեղի պտույտից: Դա անելու համար մենք կկառուցենք ցիկլոիդ կամարի հայելային արտացոլումը դրա հիմքի համեմատ, և մենք կպտտենք ցիկլոիդից ձևավորված ձվաձև պատկերը և դրա արտացոլումը KT առանցքի շուրջ (նկ. 5.2):

Նախ գտնենք մարմնի ծավալը, որը առաջացել է ԿՏ առանցքի շուրջ ցիկլոիդ կամարի պտույտից։ Դրա ծավալը կհաշվարկվի բանաձևով (*):

Այսպիսով, մենք հաշվարկեցինք այս շաղգամի մարմնի կեսի ծավալը։ Այնուհետեւ ընդհանուր ծավալը կլինի

Դիտարկենք ստացված բանաձևի կիրառման օրինակներ, որոնք թույլ են տալիս հաշվարկել պարամետրականորեն նշված գծերով սահմանափակված թվերի տարածքները:

Օրինակ.

Հաշվե՛ք այն գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է մի ուղիղով, որի պարամետրային հավասարումները նման են.

Լուծում.

Մեր օրինակում պարամետրականորեն սահմանված գիծը 2 և 3 միավորների կիսաառանցքներով էլիպս է։ Եկեք կառուցենք այն:

Գտեք էլիպսի քառորդի մակերեսը, որը գտնվում է առաջին քառորդում: Այս տարածքը ընկած է միջակայքում . Մենք հաշվարկում ենք ամբողջ գործչի մակերեսը՝ ստացված արժեքը չորսով բազմապատկելով։

Ինչ ունենք.

Համար k = 0 մենք ստանում ենք միջակայքը . Այս ընդմիջումով ֆունկցիան միապաղաղ նվազում (տես բաժինը): Մենք կիրառում ենք բանաձևը՝ մակերեսը հաշվարկելու և որոշյալ ինտեգրալը գտնելու համար՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

Այսպիսով, բնօրինակ գործչի մակերեսը կազմում է .

Մեկնաբանություն.

Տրամաբանական հարց է ծագում՝ ինչո՞ւ վերցրեցինք էլիպսի քառորդ մասը, ոչ թե կեսը։ Հնարավոր էր հաշվի առնել գործչի վերին (կամ ստորին) կեսը: Նա տիրույթում է . Այս դեպքի համար մենք կունենայինք

Այսինքն, k = 0-ի համար մենք ստանում ենք միջակայքը: Այս ընդմիջումով ֆունկցիան միապաղաղ նվազում:

Այնուհետև տրված է էլիպսի կեսի մակերեսը

Բայց էլիպսի աջ կամ ձախ կեսը չի կարելի վերցնել։

Էլիպսի պարամետրային պատկերը, որը կենտրոնացած է սկզբնաղբյուրի և a և b կիսաառանցքների վրա, ունի ձև: Եթե մենք գործենք այնպես, ինչպես վերլուծված օրինակում, կստանանք էլիպսի մակերեսը հաշվարկելու բանաձև .

T պարամետրով R շառավղով կոորդինատների սկզբնակետում կենտրոն ունեցող շրջանագիծը տրված է հավասարումների համակարգով: Եթե օգտագործենք ստացված բանաձևը էլիպսի մակերեսի համար, ապա կարող ենք անմիջապես գրել շրջանագծի տարածքը գտնելու բանաձևըշառավիղ R:

Եկեք ևս մեկ օրինակ լուծենք.

Օրինակ.

Հաշվե՛ք պարամետրականորեն տրված կորով սահմանափակված գործչի մակերեսը:

Լուծում.

Մի փոքր առաջ նայելով՝ կորը «երկարացված» աստրոիդ է։ (Աստրոիդն ունի հետևյալ պարամետրային պատկերը).

Եկեք մանրամասն անդրադառնանք գործիչը սահմանափակող կորի կառուցմանը: Մենք այն կկառուցենք կետ առ կետ: Սովորաբար նման շինարարությունը բավարար է խնդիրների մեծ մասի լուծման համար։ Ավելի շատ դժվար դեպքեր, անկասկած, պարամետրի մանրամասն ուսումնասիրություն տրված գործառույթըօգտագործելով դիֆերենցիալ հաշվարկ:

Մեր օրինակում.

Այս ֆունկցիաները սահմանվում են t պարամետրի բոլոր իրական արժեքների համար, և սինուսի և կոսինուսի հատկություններից մենք գիտենք, որ դրանք պարբերական են երկու pi պարբերությամբ: Այսպիսով, որոշների համար ֆունկցիաների արժեքների հաշվարկը (Օրինակ ), մենք ստանում ենք միավորների մի շարք .

Հարմարության համար մենք աղյուսակում մուտքագրելու ենք արժեքները.

Կետերը նշում ենք հարթության վրա և ՀԵՐԹԱԿԱՆ գծով կապում։

Հաշվարկենք առաջին կոորդինատային եռամսյակում գտնվող տարածքի մակերեսը։ Այս տարածքի համար .

ժամը k=0 ստանում ենք միջակայքը , որի վրա ֆունկցիան միապաղաղ նվազում է. Տարածքը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Ստացել է որոշակի ինտեգրալներմենք հաշվարկում ենք՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, և մենք գտնում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի հակաածանցյալները՝ օգտագործելով ձևի ռեկուրսիվ բանաձևը , Որտեղ .

Այսպիսով, նկարի քառորդ մակերեսը կազմում է , ապա ամբողջ գործչի մակերեսը հավասար է.

Նմանապես, կարելի է դա ցույց տալ astroid տարածքգտնվում է որպես , իսկ գծով սահմանափակված գործչի մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով.

Ողջույն Արգեմոնի համալսարանի սիրելի ուսանողներ:

Մի փոքր ավելին, և դասընթացը կավարտվի, և հիմա մենք դա կանենք:

Ժուլին թեթևակի թափահարեց ձեռքը, և օդում հայտնվեց մի կերպար: Ավելի ճիշտ՝ ուղղանկյուն trapezoid էր։ Այն պարզապես կախված էր օդում՝ ստեղծված կախարդական էներգիայից, որը հոսում էր իր կողքերի երկայնքով, ինչպես նաև պտտվում էր հենց trapezoid-ի ներսում, ինչը նրան դարձնում էր փայլ և շողշողում:
Այնուհետև ուսուցիչը փոքր-ինչ նկատելիորեն շրջանաձև շարժում արեց իր մատներով, և տրապիզոիդը սկսեց պտտվել անտեսանելի առանցքի շուրջ: Սկզբում դանդաղ, այնուհետև ավելի արագ և արագ, այնպես որ ծավալային գործիչ սկսեց հստակորեն հայտնվել օդում: Կարծես կախարդական էներգիա էր հոսում նրա միջով:

Այնուհետև տեղի ունեցավ հետևյալը. ֆիգուրի շողշողացող ուրվագծերը և նրա ինտերիերը սկսեցին լցվել ինչ-որ նյութով, փայլը դառնում էր ավելի ու ավելի քիչ նկատելի, բայց կերպարն ինքնին ավելի ու ավելի շատ շոշափելի էր թվում: Նյութի հատիկները հավասարաչափ բաշխված էին պատկերի վրա: Եվ հիմա ամեն ինչ ավարտված է՝ և՛ պտույտը, և՛ փայլը: Օդում կախվել է ձագար հիշեցնող առարկա։ Ժուլին նրբորեն տեղափոխեց այն սեղանի մոտ։

Ահա դուք գնացեք: Նման մի բան կարող է նյութականացնել բազմաթիվ առարկաներ՝ երևակայական գծերի շուրջ պտտելով որոշ հարթ պատկերներ: Իհարկե, նյութականացման համար անհրաժեշտ է որոշակի քանակությամբ նյութ, որը կլցնի կախարդական էներգիայի օգնությամբ գոյացած և ժամանակավորապես պահվող ամբողջ ծավալը։ Բայց ճշգրիտ հաշվարկելու համար, թե որքան նյութ է անհրաժեշտ, պետք է նաև իմանալ ստացված մարմնի ծավալը։ Հակառակ դեպքում, եթե նյութը փոքր է, ապա այն չի լրացնի ամբողջ ծավալը, և մարմինը կարող է պարզվել, որ փխրուն է, թերություններով: Եվ նյութականացնելը և դեռևս նյութի մեծ ավելցուկը պահպանելը կախարդական էներգիայի անհարկի ծախս է:
Բայց ի՞նչ կլինի, եթե մենք ունենք նյութի սահմանափակ քանակություն: Այնուհետև, իմանալով, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել մարմինների ծավալները, մենք կարող ենք գնահատել, թե ինչ չափի մարմին կարող ենք ստեղծել առանց կախարդական էներգիայի մեծ ծախսերի:
Ինչ վերաբերում է ներգրավված նյութի ավելցուկին, ապա կա մեկ այլ միտք. Ո՞ւր է գնում ավելորդ նյութը: Արդյո՞ք դրանք քանդվում են, երբ չեն օգտագործվում: Կամ ամեն դեպքում կպչե՞ք մարմնին:
Ընդհանուր առմամբ, դեռ մտածելու բան կա։ Եթե դուք ունեք մտքեր, ես կցանկանայի լսել դրանք: Միևնույն ժամանակ անցնենք այս եղանակով ստացված մարմինների ծավալների հաշվարկին։
Այստեղ դիտարկվում են մի քանի դեպքեր.

Դեպք 1

Տարածքը, որը մենք կպտտենք, ամենադասական կորագիծ trapezoid է:

Բնականաբար, մենք կարող ենք այն պտտել միայն OX առանցքի շուրջ: Եթե այս trapezoid-ը տեղափոխվի աջ հորիզոնական, որպեսզի այն չհատի OY առանցքը, ապա այն կարող է պտտվել այս առանցքի շուրջ: Երկու դեպքերի համար մատնանշման բանաձևերը հետևյալն են.

Դուք և ես արդեն բավականին լավ յուրացրել ենք հիմնական կախարդական էֆեկտները գործառույթների վրա, այնպես որ, կարծում եմ, ձեզ համար դժվար չի լինի, անհրաժեշտության դեպքում, պատկերն այնպես տեղափոխել կոորդինատային առանցքներով, որպեսզի այն հարմար լինի դրա հետ աշխատելու համար: .

Դեպք 2

Դուք կարող եք պտտել ոչ միայն դասական կորագիծ trapezoid-ը, այլ նաև այսպիսի գործիչ.

Պտտվելիս ստանում ենք մի տեսակ օղակ։ Եվ նկարը տեղափոխելով դրական տարածք, մենք կարող ենք նաև պտտել այն OY առանցքի շուրջ: Մենք էլ մատանի կստանանք, թե ոչ։ Ամեն ինչ կախված է նրանից, թե ինչպես կտեղակայվի գործիչը. եթե նրա ձախ եզրագիծն անցնի հենց OY առանցքի երկայնքով, ապա օղակը չի աշխատի: Դուք կարող եք հաշվարկել հեղափոխության նման մարմինների ծավալները՝ օգտագործելով հետևյալ կախարդանքները.

Դեպք 3

Հիշեցնենք, որ մենք ունենք հիանալի կորեր, բայց դրանք դրված են ոչ թե սովորական ձևով, այլ պարամետրային ձևով։ Նման կորերը հաճախ փակ են: t պարամետրը պետք է փոխվի այնպես, որ կորի (սահմանի) երկայնքով անցնելիս փակ գործիչը մնա ձախ կողմում։

Այնուհետև OX կամ OY առանցքի նկատմամբ պտտվող մարմինների ծավալները հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել հետևյալ ուղղագրությունները.

Նույն բանաձևերը կարող են օգտագործվել նաև ոչ փակ կորերի դեպքում. երբ երկու ծայրերը ընկած են OX առանցքի կամ OY առանցքի վրա: Նկարը ինչ-որ կերպ փակ է ստացվում՝ ծայրերը փակված են առանցքի մի հատվածով։

Դեպք 4

Մեր ունեցած հրաշալի կորերից մի քանիսը տրված են բևեռային կոորդինատներով (r=r(fi)): Եվ հետո գործիչը կարող է պտտվել բևեռային առանցքի շուրջ: Այս դեպքում դեկարտյան կոորդինատային համակարգը զուգակցվում է բևեռայինի հետ և ենթադրվում է
x=r(fi)*cos(fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Այսպիսով, մենք գալիս ենք կորի պարամետրային ձևին, որտեղ fi պարամետրը պետք է փոխվի այնպես, որ երբ կորը կտրվի, տարածքը մնա ձախ կողմում:
Եվ մենք օգտագործում ենք 3-րդ դեպքի ոգեշնչման բանաձևերը:

Այնուամենայնիվ, բևեռային կոորդինատների դեպքում կա նաև ուղղագրության բանաձև.

Իհարկե, ինքնաթիռի թվերը կարող են պտտվել նաև ցանկացած այլ գծի շուրջ, ոչ միայն OX և OY առանցքների, բայց այս մանիպուլյացիաներն արդեն ավելի բարդ են, ուստի մենք կսահմանափակվենք դասախոսության մեջ դիտարկված դեպքերով:

Իսկ հիմա Տնային աշխատանք . Ես ձեզ կոնկրետ թվեր չեմ տա։ Մենք արդեն սովորել ենք բազմաթիվ գործառույթներ, և ես կցանկանայի, որ դուք ինքներդ կառուցեք մի բան, որը ձեզ կարող է անհրաժեշտ լինել կախարդական պրակտիկայում: Դասախոսության մեջ նշված բոլոր դեպքերի համար, կարծում եմ, բավարար կլինի չորս օրինակ։

Նախքան հեղափոխության մակերեսի տարածքի բանաձևերին անցնելը, մենք տալիս ենք հեղափոխության մակերեսի համառոտ ձևակերպում: Հեղափոխության մակերեսը կամ, նույնը, պտտվող մարմնի մակերեսը տարածական պատկեր է, որը ձևավորվում է հատվածի պտույտից։ ԱԲկոր առանցքի շուրջը Եզ(ստորև նկարը):

Պատկերացնենք կորագիծ տրապիզոիդ՝ վերևից սահմանափակված կորի նշված հատվածով։ Նույն առանցքի շուրջ այս trapezoid-ի պտույտից առաջացած մարմինը Եզ, և կա հեղափոխության մարմին։ Իսկ պտտման մակերեսը կամ պտտման մարմնի մակերեսը նրա արտաքին թաղանթն է՝ չհաշված գծերի առանցքի շուրջ պտույտից առաջացած շրջանակները։ x = աԵվ x = բ .

Նկատի ունեցեք, որ պտտման մարմինը և, համապատասխանաբար, դրա մակերեսը նույնպես կարող են ձևավորվել՝ պտտելով գործիչը առանց առանցքի շուրջը Եզ, և առանցքի շուրջը Օյ.

Ուղղանկյուն կոորդինատներով տրված հեղափոխության մակերեսի մակերեսի հաշվարկ

Ներս թողնել ուղղանկյուն կոորդինատներհարթության վրա՝ ըստ հավասարման y = զ(x) տրված է կոր, որի պտույտը կոորդինատային առանցքի շուրջ կազմում է պտույտի մարմին։

Հեղափոխության մակերեսը հաշվարկելու բանաձևը հետևյալն է.

(1).

Օրինակ 1Գտեք պարաբոլոիդի մակերեսը, որը ձևավորվում է առանցքի շուրջ պտտվելով Եզփոփոխությանը համապատասխան պարաբոլայի աղեղը x-ից x= 0-ից x = ա .

Լուծում. Մենք հստակորեն արտահայտում ենք պարաբոլայի աղեղը սահմանող ֆունկցիան.

Գտնենք այս ֆունկցիայի ածանցյալը.

Հեղափոխության մակերևույթի մակերեսը գտնելու բանաձևն օգտագործելուց առաջ գրենք դրա ինտեգրման այն մասը, որը արմատն է և փոխարինենք այն ածանցյալին, որը մենք հենց այստեղ գտանք.

Պատասխան՝ կորի աղեղի երկարությունն է

Օրինակ 2Գտեք առանցքի շուրջ պտտվող մակերեսի մակերեսը Եզաստրոիդներ.

Լուծում. Բավական է հաշվարկել առաջին քառորդում գտնվող ասրոիդի մեկ ճյուղի պտույտի արդյունքում առաջացած մակերեսը և այն բազմապատկել 2-ով: Ասրոիդային հավասարումից մենք հստակ արտահայտում ենք այն ֆունկցիան, որը մեզ անհրաժեշտ կլինի փոխարինել բանաձևում: պտտման մակերեսը գտնելու համար.

Մենք կատարում ենք ինտեգրում 0-ից մինչև ա:

Պարամետրական տրված հեղափոխության մակերեսի հաշվարկը

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ պտույտի մակերեսը կազմող կորը տրված է պարամետրային հավասարումներով

Այնուհետև հեղափոխության մակերեսի մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով

(2).

Օրինակ 3Գտեք առանցքի շուրջ պտույտի արդյունքում ձևավորված հեղափոխության մակերեսի մակերեսը Օյպատկեր, որը սահմանափակված է ցիկլոիդով և ուղիղ գծով y = ա. Ցիկլոիդը տրվում է պարամետրային հավասարումներով