Հիմնական երկրաչափական ձևերից մեկը եռանկյունն է: Այն ձևավորվում է, երբ երեք գծային հատվածներ հատվում են: Այս ուղիղ հատվածները կազմում են նկարի կողմերը, իսկ դրանց հատման կետերը կոչվում են գագաթներ։ Երկրաչափության դասընթաց սովորող յուրաքանչյուր ուսանող պետք է կարողանա գտնել այս ցուցանիշի պարագիծը: Ձեռք բերված հմտությունը օգտակար կլինի շատերի համար և ներս չափահաս կյանքօրինակ՝ օգտակար ուսանողի, ինժեների, շինարարի համար,

Գոյություն ունենալ տարբեր ճանապարհներգտե՛ք եռանկյան պարագիծը. Ձեզ անհրաժեշտ բանաձևի ընտրությունը կախված է առկա աղբյուրի տվյալներից: Այս արժեքը մաթեմատիկական տերմինաբանության մեջ գրելու համար օգտագործվում է հատուկ նշանակում՝ P. Հաշվի առեք, թե որն է պարագիծը, տարբեր տեսակի եռանկյունաձև թվերի համար այն հաշվարկելու հիմնական մեթոդները:

առավելապես պարզ ձևովԳտե՛ք պատկերի պարագիծը, եթե տրված են բոլոր կողմերը: Այս դեպքում օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը.

«P» տառը նշանակում է հենց պարագծի արժեքը: Իր հերթին «a», «b» և «c» կողմերի երկարություններն են:

Իմանալով երեք մեծությունների չափը՝ բավական կլինի ստանալ դրանց գումարը, որը պարագիծն է։

Այլընտրանքային տարբերակ

IN մաթեմատիկական խնդիրներբոլոր տրված երկարությունները հազվադեպ են հայտնի: Նման դեպքերում խորհուրդ է տրվում օգտագործել ցանկալի արժեքը գտնելու այլընտրանքային միջոց։ Երբ պայմանները սահմանում են երկու ուղիղ գծերի երկարությունը, ինչպես նաև նրանց միջև եղած անկյունը, ապա հաշվարկը կատարվում է երրորդի որոնման միջոցով։ Այս թիվը գտնելու համար անհրաժեշտ է ստանալ Քառակուսի արմատըստ բանաձևի.

.

Պարագծը երկու կողմից

Պարագիծը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ չէ իմանալ բոլոր տվյալները երկրաչափական պատկեր. Դիտարկենք երկու կողմից հաշվարկման մեթոդները:

Isosceles եռանկյունի

Եռանկյունը կոչվում է հավասարաչափ, եթե նրա կողմերից առնվազն երկուսն ունեն նույն երկարությունը: Նրանք կոչվում են կողային, իսկ երրորդ կողմը կոչվում է հիմք: Հավասար գծերը կազմում են գագաթային անկյուն: Հավասարաչափ եռանկյունու հատկանիշը համաչափության մեկ առանցքի առկայությունն է: Axis-ը ուղղահայաց գիծ է, որը սկսվում է վերին անկյունից և ավարտվում հիմքի մեջտեղում: Իր հիմքում համաչափության առանցքը ներառում է հետևյալ հասկացությունները.

• գագաթային անկյունի բիսեկտոր;
• միջինից մինչև հիմք;
• եռանկյունու բարձրությունը;
• միջին ուղղահայաց:

Հավասարաչափ եռանկյունի պատկերի պարագիծը որոշելու համար օգտագործեք բանաձևը.

Այս դեպքում դուք պետք է իմանաք միայն երկու քանակություն՝ հիմքը և մի կողմի երկարությունը: «2a» նշանակումը ենթադրում է կողքի երկարությունը 2-ով բազմապատկել: Ստացված թվին պետք է ավելացնել հիմքի արժեքը՝ «b»:

Բացառիկ դեպքում, երբ հավասարաչափ եռանկյան հիմքի երկարությունը հավասար է նրա կողային գծին, կարելի է օգտագործել ավելի պարզ մեթոդ։ Այն արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով.

Արդյունք ստանալու համար բավական է այս թիվը բազմապատկել երեքով։ Այս բանաձևն օգտագործվում է կանոնավոր եռանկյունու պարագիծը գտնելու համար։

Օգտակար տեսանյութ՝ խնդիրներ եռանկյունու պարագծի վրա

Ուղղանկյուն եռանկյուն

Հիմնական տարբերությունը ուղղանկյուն եռանկյունԱյս կատեգորիայի այլ երկրաչափական պատկերներից 90 ° անկյան առկայությունն է: Այս հիման վրա որոշվում է գործչի տեսակը: Նախքան որոշել, թե ինչպես գտնել ուղղանկյուն եռանկյան պարագիծը, հարկ է նշել, որ ցանկացած հարթ երկրաչափական գործչի համար այս արժեքը բոլոր կողմերի գումարն է: Այսպիսով, այս դեպքում արդյունքը պարզելու ամենահեշտ ձևը երեք արժեքների գումարումն է:

Գիտական ​​տերմինաբանության մեջ այն կողմերը, որոնք հարում են Աջ անկյունը, կոչվում են «ոտքեր», իսկ 90º անկյան հակառակը հիպոթենուսն է։ Այս գործչի առանձնահատկություններն ուսումնասիրել է հին հույն գիտնական Պյութագորասը։ Պյութագորասի թեորեմի համաձայն՝ հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին։

.

Այս թեորեմի հիման վրա ստացվել է մեկ այլ բանաձև, որը բացատրում է, թե ինչպես կարելի է գտնել եռանկյան պարագիծը՝ տրված երկու հայտնի կողմերից: Դուք կարող եք հաշվարկել պարագիծը ոտքերի նշված երկարությամբ՝ օգտագործելով հետևյալ մեթոդը.

.

Պարագիծը պարզելու համար, ունենալով տեղեկություն մեկ ոտքի չափի և հիպոթենուսի մասին, պետք է որոշել երկրորդ հիպոթենուզայի երկարությունը։ Այդ նպատակով օգտագործվում են հետևյալ բանաձևերը.

.

Նաև նկարագրված տեսակի գործչի պարագիծը որոշվում է առանց ոտքերի չափերի վերաբերյալ տվյալների:

Դուք պետք է իմանաք հիպոթենուսի երկարությունը, ինչպես նաև դրա հարակից անկյունը: Իմանալով ոտքերից մեկի երկարությունը, եթե դրան կից անկյուն կա, գործչի պարագիծը հաշվարկվում է բանաձևով.

.

Հաշվարկը բարձրության միջոցով

Դուք կարող եք հաշվարկել այնպիսի կատեգորիաների պարագիծը, ինչպիսիք են հավասարաչափ և ուղղանկյուն եռանկյունները նրանց միջնագծի ցուցիչի միջոցով: Ինչպես գիտեք, եռանկյան բարձրությունը կիսում է նրա հիմքը: Այսպիսով, այն կազմում է երկու ուղղանկյուն պատկեր: Ավելին, ցանկալի ցուցանիշը հաշվարկվում է Պյութագորասի թեորեմի միջոցով: Բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

.

Եթե ​​դուք գիտեք բազայի բարձրությունը և կեսը, այս մեթոդով դուք կստանաք ցանկալի թիվը՝ չփնտրելով մնացած թվային տվյալները:

Օգտակար տեսանյութ՝ գտնել եռանկյան պարագիծը

Եռանկյան պարագիծը, ինչպես և այլ իրերում և ցանկացած պատկերում, կոչվում է բոլոր կողմերի երկարությունների գումարը: Շատ հաճախ այս արժեքը օգնում է գտնել տարածքը կամ օգտագործվում է գործչի այլ պարամետրերը հաշվարկելու համար:
Եռանկյան պարագծի բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.

Եռանկյան պարագծի հաշվարկման օրինակ. Թող տրվի եռանկյունի կողմերով a = 4 սմ, b = 6 սմ, c = 7 սմ: Տվյալները փոխարինեք սմ բանաձևով:

Պարագծի հաշվարկման բանաձևը հավասարաչափ եռանկյունկունենա հետևյալ տեսքը.

Պարագծի հաշվարկման բանաձևը հավասարակողմ եռանկյուն:

Հավասարակողմ եռանկյան պարագծի հաշվարկման օրինակ. Երբ պատկերի բոլոր կողմերը հավասար են, ապա դրանք պարզապես կարելի է բազմապատկել երեքով։ Ասենք, այս դեպքում տրված է 5 սմ կողմ ունեցող կանոնավոր եռանկյուն՝ սմ

Ընդհանուր առմամբ, երբ բոլոր կողմերը տրվում են, պարագիծը գտնելը բավականին հեշտ է: Այլ իրավիճակներում պահանջվում է գտնել բացակայող կողմի չափը: Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ կարող եք գտնել երրորդ կողմը Պյութագորասի թեորեմը. Օրինակ, եթե ոտքերի երկարությունը հայտնի է, ապա կարող եք գտնել հիպոթենուսը՝ օգտագործելով բանաձևը.

Դիտարկենք հավասարաչափ եռանկյան պարագծի հաշվարկման օրինակ, պայմանով, որ մենք գիտենք ուղղանկյուն հավասարաչափ եռանկյունու ոտքերի երկարությունը:
Տրվում է եռանկյունի ոտքերով a \u003d b \u003d 5 սմ: Գտեք պարագիծը: Նախ, եկեք գտնենք բացակայող կողմը . սմ
Հիմա հաշվենք պարագիծը՝ սմ
Ուղղաձիգ հավասարաչափ եռանկյան պարագիծը կլինի 17 սմ։

Այն դեպքում, երբ հայտնի են հիպոթենուսը և մեկ ոտքի երկարությունը, բացակայողին կարելի է գտնել բանաձևով.
Եթե ​​ուղղանկյուն եռանկյունում հայտնի են հիպոթենուսը և սուր անկյուններից մեկը, ապա բացակայող կողմը հայտնաբերվում է բանաձևով.

Ուղղանկյուն եռանկյունը եռանկյուն է, որտեղ անկյուններից մեկը 90 աստիճան է, իսկ մյուս երկուսը սուր անկյուններ են: Նմանների պարագծի հաշվարկը եռանկյունկախված կլինի նրա մասին հայտնի տվյալների քանակից։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• Կախված դեպքից՝ եռանկյան երեք կողմերից երկուսի, ինչպես նաև նրա սուր անկյուններից մեկի իմացություն։

Հրահանգ

• Մեթոդ 1. Եթե երեք կողմերն էլ հայտնի են եռանկյուն, ապա, անկախ նրանից՝ եռանկյունն ուղղանկյուն է, թե ոչ, նրա պարագիծը կհաշվարկվի հետևյալ կերպ.
  P = a + b + c, որտեղ, ասենք,
  գ - հիպոթենուս;
  a և b - ոտքեր:
• Մեթոդ 2. Եթե ուղղանկյան մեջ հայտնի են միայն 2 կողմեր, ապա օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը՝ դրա պարագիծը. եռանկյունկարելի է հաշվարկել բանաձևով.
  P = v(a2 + b2) + a + b, կամ
  P = v(c2 - b2) + b + c.
• Մեթոդ 3. Ենթադրենք c հիպոթենուսը տրված է ուղղանկյուն եռանկյան մեջ և սուր անկյուն?, ապա դուք կարող եք գտնել պարագիծը հետևյալ կերպ.
  P \u003d (1 + մեղք? + cos?) * s.
• Մեթոդ 4. Տրված է, որ ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ոտքերից մեկի երկարությունը հավասար է a-ի, իսկ դրա դիմաց գտնվում է սուր անկյուն։ Այնուհետև հաշվարկելով դրա պարագիծը եռանկյունկիրականացվի ըստ բանաձևի.
  P = a*(1/tg ? + 1/sin ? + 1)
• Մեթոդ 5. Տեղեկացնենք, որ a ոտքը և նրա հարակից անկյունը ?, ապա պարագիծը կհաշվարկվի հետևյալ կերպ.
  P \u003d a * (1 / сtg ? + 1 / cos ? + 1)

Ուղղանկյուն եռանկյունը եռանկյուն է, որտեղ անկյուններից մեկը 90 աստիճան է, իսկ մյուս երկուսը սուր անկյուններ են: Հաշվարկ պարագծայինայդպիսին եռանկյունկախված կլինի նրա մասին հայտնի տվյալների քանակից։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• Կախված դեպքից՝ եռանկյան 3 կողմերից 2-ի, ինչպես նաև նրա սուր անկյուններից մեկի հմտությունը։

Հրահանգ

1. Մեթոդ 1. Եթե երեք կողմերն էլ հայտնի են եռանկյուն, ապա, անկախ նրանից՝ եռանկյունն ուղղանկյուն է, թե ոչ, նրա պարագիծը կհաշվարկվի հետևյալ կերպ՝ P = a + b + c, որտեղ, հնարավոր է, c-ն հիպոթենուսն է, a և b՝ ոտքերը։

2. Մեթոդ 2. Եթե ուղղանկյան մեջ հայտնի է միայն 2 կողմ, ապա, օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, սրա պարագիծը. եռանկյունկարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձեւը՝ P = v(a2 + b2) + a + b, կամ P = v(c2 - b2) + b + c:

3. Մեթոդ 3. Թողեք c հիպոթենուսը և սուր անկյունը տրվեն ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ, այնուհետև հնարավոր կլինի գտնել պարագիծը այս կերպ՝ P \u003d (1 + sin ? + cos ?) * s:

4. Մեթոդ 4. Տրված է, որ ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ոտքերից մեկի երկարությունը հավասար է a-ի, բայց ընդհակառակը, այն ունի սուր անկյուն ?: Հետո հաշվարկը պարագծայինսա եռանկյունկանցկացվի բանաձևի համաձայն. P \u003d a * (1 / tg ? + 1 / sin ? + 1)

5. Մեթոդ 5. Եկեք տանենք a ոտքը և դրան հարող անկյունը, ապա պարագիծը կհաշվարկվի հետևյալ կերպ. P \u003d a * (1 / сtg ? + 1 / cos ? + 1)

Առնչվող տեսանյութեր

Ուղղանկյուն եռանկյունը պարզ, բայց չափազանց կարևոր գործիչ է մաթեմատիկայի համար: Իմանալով դրա հատկությունների և ուղղանկյուն եռանկյունու հիմնական պարամետրերով աշխատելու ունակության մասին՝ թույլ կտան հաղթահարել ինչպես դպրոցական, այնպես էլ իրական առաջադրանքները:

Ուղղանկյուն եռանկյան երկրաչափություն

Երկրաչափական առումով եռանկյունը երեք կետեր է, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա, որոնք միացված են հատվածներով։ Ուղղանկյուն եռանկյունը այն պատկերն է, որի երկու կողմերը կազմում են ուղիղ անկյուն: Այս կողմերը կոչվում են եռանկյան ոտքեր, իսկ երրորդ, ամենաերկար կողմը կոչվում է հիպոթենուս: Ոտքերի և հիպոթենուսի քառակուսիների հարաբերակցությունը հաստատում է Պյութագորասի թեորեմը՝ Էվկլիդեսի երկրաչափության հիմնարար թեորեմներից մեկը։

Հիպոթենուսի և ոտքերի հարաբերակցությունները նույնպես հիմք դրեցին մաթեմատիկայի մի ամբողջ հատվածի՝ եռանկյունաչափության համար: Սկզբում սինուսները և կոսինուսները սահմանվում էին որպես ուղղանկյուն եռանկյան անկյունների ֆունկցիաներ, սակայն ժամանակակից իմաստ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներտարածվում է ամբողջ թվային առանցքի վրա: Այսօր եռանկյունաչափությունն օգտագործվում է մարդկային գործունեության բազմաթիվ ոլորտներում՝ աստղագիտության և օվկիանոսագիտությանից մինչև ֆինանսական շուկաների վերլուծություն և համակարգչային խաղերի զարգացում:

Ուղղանկյուն եռանկյուն իրականում

Ուղղանկյուն եռանկյունին ինքնին իրականում գտնվում է ամեն անկյունում՝ թե՛ բառացի, թե՛ փոխաբերական իմաստով: Չորրանկյունների և պրիզմաների երեսներն ունեն ուղղանկյուն եռանկյունու ձև, որոնք իրականում վերածվում են մեքենայի մասերի, կերամիկական սալիկների կամ տանիքի թեքությունների։ Քառակուսին նկարչական գործիք է, որը մարդն առաջին անգամ հանդիպում է երկրաչափության դասին, ունի ուղղանկյուն եռանկյունու ձև և օգտագործվում է դիզայնի, շինարարության և ատաղձագործության մեջ։

Եռանկյան պարագիծ

Պարագիծը հարթ երկրաչափական պատկերի բոլոր կողմերի երկարությունների թվային գնահատումն է: n-անկյունի պարագիծը գտնվում է որպես n կողմերի երկարությունների գումար: Ուղղանկյուն եռանկյան պարագիծը որոշելու համար օգտագործվում է պարզ բանաձև.

a-ն և b-ն ոտքեր են, c-ն հիպոթենուսն է:

Եռանկյան պարագիծը ձեռքով հաշվարկելով՝ դուք պետք է չափեք բոլոր երեք կողմերը, կատարեք լրացուցիչ եռանկյունաչափական գործողություններ կամ կատարեք հաշվարկներ՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը։ Օգտագործելով առցանց հաշվիչը, դուք պարզապես պետք է պարզեք հետևյալ զույգ փոփոխականները.

• երկու ոտք;
• ոտքը և անկյունը;
• հիպոթենուզա և անկյուն:

Դպրոցական առաջադրանքներում կամ գործնականում ձեզ կտրվեն նախնական տվյալներ, ուստի հաշվիչը թույլ է տալիս գտնել պարագիծը՝ իմանալով տարբեր զույգ պարամետրեր: Բացի այդ, գործիքը ավտոմատ կերպով հաշվարկում է ուղղանկյուն եռանկյունու բոլոր մյուս հատկանիշները, այսինքն՝ բոլոր կողմերի երկարությունները և բոլոր անկյունների արժեքները: Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Իրական կյանքի օրինակներ

դպրոցական առաջադրանք

Թույլ տվեք, որ դպրոցական խնդիրում ձեզ տրված է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի երկարությունը 5 սմ է և ներառված անկյունը 60 աստիճան է: Պահանջվում է գտնել երկրաչափական պատկերի պարագիծը։ Առցանց հաշվիչը ուղեկցվում է գծագրով, որը ցույց է տալիս ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերն ու անկյունները: Մենք տեսնում ենք, որ եթե ոտքը \u003d 5 սմ է, ապա դրա ներառված անկյունը բետա անկյունն է: Սա կարևոր կետ, քանի որ եթե հաշվարկների համար օգտագործեք ալֆա անկյունը, արդյունքը սխալ կլինի։ Մենք այս տվյալները տեղափոխում ենք ձևի մեջ և պատասխան ենք ստանում հետևյալ ձևով.

Բացի բուն պարագծից, մեր ծրագիրը որոշեց նաև հակառակ անկյան արժեքը, ինչպես նաև երկրորդ ոտքի և հիպոթենուսի երկարությունը:

Ծաղկե մահճակալի կազմակերպում

Ենթադրենք, դուք ցանկանում եք ծաղկե մահճակալի ցանկապատ պատրաստել, որն ունի ուղղանկյուն եռանկյունու ձև: Դա անելու համար դուք պետք է իմանաք գործչի պարագիծը: Իհարկե, իրականում դուք կարող եք պարզապես չափել բոլոր երեք կողմերը, բայց հեշտ է պարզեցնել ձեր խնդիրը և չափել միայն երկու ոտք: Թող ունենան 8 և 15 մետր երկարություն։ Մենք այս տվյալները տեղափոխում ենք հաշվիչի ձևի մեջ և ստանում ենք պատասխանը.

Այսպիսով, անհրաժեշտ կլինի ձեռք բերել նյութեր 40 մետրանոց ցանկապատի կազմակերպման համար։ Մեր հաշվիչը հաշվարկել է նաև հիպոթենուսի երկարությունը՝ 17 մետր։ 8, 15 և 17 թվերը կազմում են Պյութագորաս եռյակ - ամբողջ թվեր, որոնք բավարարում են Պյութագորասի թեորեմի պայմանները։

Եզրակացություն

Ուղղանկյուն եռանկյունները լայնորեն օգտագործվում են առօրյա կյանքում, ուստի երկրաչափական գործչի տարածքը կամ պարագիծը որոշելը, անշուշտ, օգտակար կլինի դպրոցական կամ առօրյա խնդիրներ լուծելիս: