Հաջորդը, մենք դիտարկում ենք արդյունավետ Պյութագորասի եռյակներ ստեղծելու հայտնի մեթոդները: Պյութագորասի ուսանողներն առաջինն էին, որ մշակեցին Պյութագորասի եռյակներ առաջացնելու պարզ միջոց՝ օգտագործելով մի բանաձև, որի մասերը ներկայացնում են Պյութագորասի եռյակը.

մ 2 + ((մ 2 − 1)/2) 2 = ((մ 2 + 1)/2) 2 ,

Որտեղ մ- չզույգված, մ>2. Իսկապես,

4մ 2 + մ 4 − 2մ 2 + 1
մ 2 + ((մ 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((մ 2 + 1)/2) 2 .
4

Նմանատիպ բանաձև առաջարկել է հին հույն փիլիսոփա Պլատոնը.

(2մ) 2 + (մ 2 − 1) 2 = (մ 2 + 1) 2 ,

Որտեղ մ- ցանկացած թիվ: Համար մ= 2,3,4,5 ստեղծվում են հետևյալ եռյակները.

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Ինչպես տեսնում եք, այս բանաձեւերը չեն կարող տալ բոլոր հնարավոր պարզունակ եռյակները:

Դիտարկենք հետևյալ բազմանդամը, որը քայքայվում է բազմանդամների գումարի.

(2մ 2 + 2մ + 1) 2 = 4մ 4 + 8մ 3 + 8մ 2 + 4մ + 1 =
=4մ 4 + 8մ 3 + 4մ 2 + 4մ 2 + 4մ + 1 = (2մ(մ+1)) 2 + (2մ +1) 2 .

Հետևաբար պարզունակ եռյակներ ստանալու հետևյալ բանաձևերը.

ա = 2մ +1 , բ = 2մ(մ+1) = 2մ 2 + 2մ , գ = 2մ 2 + 2մ + 1.

Այս բանաձևերը առաջացնում են եռյակներ, որոնցում միջին թիվը տարբերվում է ամենամեծից ուղիղ մեկով, այսինքն՝ ոչ բոլոր հնարավոր եռյակներն են առաջանում: Այստեղ առաջին եռյակներն են՝ (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61):

Որոշելու համար, թե ինչպես ստեղծել բոլոր պարզունակ եռյակները, պետք է ուսումնասիրել դրանց հատկությունները: Նախ, եթե ( ա, բ, գ) պարզունակ եռյակ է, ուրեմն աԵվ բ, բԵվ գ, ԱԵվ գ- պետք է լինի coprime: Թող աԵվ բբաժանվում են դ. Հետո ա 2 + բ 2-ը նույնպես բաժանվում է դ. Համապատասխանաբար, գ 2 և գպետք է բաժանել դ. Այսինքն՝ պարզունակ եռյակ չէ։

Երկրորդ՝ թվերի շարքում ա, բմեկը պետք է զուգակցված լինի, իսկ մյուսը՝ չզույգված: Իսկապես, եթե աԵվ բ- զուգավորված, ուրեմն Հետզուգակցվելու են, և թվերը կարելի է բաժանել առնվազն 2-ի: Եթե երկուսն էլ չզույգացված են, ապա կարող են ներկայացվել որպես 2: կ+1 i 2 լ+1, որտեղ կ,լ- որոշ թվեր. Հետո ա 2 + բ 2 = 4կ 2 +4կ+1+4լ 2 +4լ+1, այսինքն. Հետ 2, ինչպես նաև ա 2 + բ 2-ն ունի 2-ի մնացորդ, երբ բաժանվում է 4-ի:

Թող Հետ- ցանկացած թիվ, այսինքն Հետ = 4կ+ես (ես=0,…,3): Հետո Հետ 2 = (4կ+ես) 2-ն ունի 0-ի կամ 1-ի մնացորդ և չի կարող ունենալ 2-ի մնացորդ: Այսպիսով, աԵվ բչի կարող չզուգակցվել, այսինքն ա 2 + բ 2 = 4կ 2 +4կ+4լ 2 +4լ+1 և մնացորդ Հետ 2-ը 4-ը պետք է լինի 1, ինչը նշանակում է, որ Հետպետք է չզուգակցվի:

Պյութագորասյան եռյակի տարրերի նման պահանջները բավարարվում են հետևյալ թվերով.

ա = 2մն, բ = մ 2 − n 2 , գ = մ 2 + n 2 , մ > n, (2)

Որտեղ մԵվ nտարբեր զույգերով համապարփակ են։ Առաջին անգամ այդ կախվածությունները հայտնի դարձան Էվկլիդեսի աշխատություններից, որն ապրել է 2300 ռ. ետ.

Եկեք ապացուցենք կախվածությունների վավերականությունը (2): Թող Ա- կրկնակի, ուրեմն բԵվ գ- չզույգված: Հետո գ + բես գ − բ- զույգեր. Նրանք կարող են ներկայացվել որպես գ + բ = 2uԵվ գ − բ = 2v, Որտեղ u,vորոշ ամբողջ թվեր են: Ահա թե ինչու

ա 2 = Հետ 2 − բ 2 = (գ + բ)(գ − բ) = 2u 2 v = 4Ուլտրամանուշակագույն

Եւ, հետեւաբար ( ա/2) 2 = Ուլտրամանուշակագույն.

Հակասությամբ կարելի է ապացուցել, որ uԵվ vհամապրայմ են։ Թող uԵվ v- բաժանվում են դ. Հետո ( գ + բ) Եվ ( գ − բ) բաժանվում են դ. Եւ, հետեւաբար գԵվ բպետք է բաժանել դ, և դա հակասում է Պյութագորասի եռյակի պայմանին։

Որովհետեւ Ուլտրամանուշակագույն = (ա/2) 2 և uԵվ v coprime, դա հեշտ է ապացուցել uԵվ vպետք է լինի որոշ թվերի քառակուսիներ:

Այսպիսով, կան դրական ամբողջ թվեր մԵվ n, այնպիսին է, որ u = մ 2 և v = n 2. Հետո

Ա 2 = 4Ուլտրամանուշակագույն = 4մ 2 n 2 այսպես
Ա = 2մն; բ = u − v = մ 2 − n 2 ; գ = u + v = մ 2 + n 2 .

Որովհետեւ բ> 0, ապա մ > n.

Մնում է դա ցույց տալ մԵվ nունեն տարբեր զույգեր. Եթե մԵվ n- զուգավորված, ուրեմն uԵվ vպետք է զուգակցվեն, բայց դա անհնար է, քանի որ դրանք համատեղելի են: Եթե մԵվ n- չզույգված, ուրեմն բ = մ 2 − n 2 և գ = մ 2 + n 2-ը կզույգվեր, ինչը անհնար է, քանի որ գԵվ բհամապրայմ են։

Այսպիսով, Պյութագորասի ցանկացած պարզունակ եռյակ պետք է բավարարի պայմանները (2): Միաժամանակ թվերը մԵվ nկանչեց թվեր առաջացնելըպարզունակ եռյակներ. Օրինակ, եկեք ունենանք պարզունակ Պյութագորաս եռյակ (120,119,169): Այս դեպքում

Ա= 120 = 2 12 5, բ= 119 = 144 − 25, և գ = 144+25=169,

Որտեղ մ = 12, n= 5 - գեներացնող թվեր, 12 > 5; 12-ը և 5-ը նույնական են և տարբեր զույգերով:

Կարելի է ապացուցել, որ թվերը մ, nբանաձևերը (2) տալիս են պարզունակ Պյութագորասի եռյակ (a,b,c): Իսկապես,

Ա 2 + բ 2 = (2մն) 2 + (մ 2 − n 2) 2 = 4մ 2 n 2 + (մ 4 − 2մ 2 n 2 + n 4) =
= (մ 4 + 2մ 2 n 2 + n 4) = (մ 2 + n 2) 2 = գ 2 ,

Այն է ( ա,բ,գ) պյութագորասյան եռյակ է։ Եկեք ապացուցենք, որ այն ժամանակ ա,բ,գհակասական թվեր են։ Թող այս թվերը բաժանվեն էջ> 1. Քանի որ մԵվ nունեն տարբեր զույգեր, ապա բԵվ գ- չզույգված, այսինքն էջ≠ 2. Քանի որ Ռբաժանում է բԵվ գ, Դա Ռպետք է բաժանել 2 մ 2 և 2 n 2, ինչը անհնար է, քանի որ էջ≠ 2. Հետեւաբար մ, nեն համապրայմ ու ա,բ,գեն նաև համապրայմ.

Աղյուսակ 1-ում ներկայացված են բոլոր պարզունակ Պյութագորասի եռյակները, որոնք ստեղծվել են (2) բանաձևերով մ≤10.

Աղյուսակ 1. Նախնադարյան Պյութագորասի եռապատկերները համար մ≤10

մ	n	ա	բ	գ	մ	n	ա	բ	գ
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Այս աղյուսակի վերլուծությունը ցույց է տալիս օրինաչափությունների հետևյալ շարքի առկայությունը.

• կամ ա, կամ բբաժանվում են 3-ի;
• թվերից մեկը ա,բ,գբաժանվում է 5-ի;
• թիվ Աբաժանվում է 4-ի;
• աշխատանք ա· բբաժանվում է 12-ի։

1971 թվականին ամերիկացի մաթեմատիկոսներ Թեյգանը և Հեդվինը առաջարկեցին նման քիչ հայտնի պարամետրեր եռյակների սերնդի համար. ուղղանկյուն եռանկյուն, ինչպես նրա հասակը (բարձրությունը) հ = գ− բ և ավելցուկ (հաջողություն) ե = ա + բ − գ. Նկ.1-ում: այս մեծությունները ցուցադրվում են որոշակի ուղղանկյուն եռանկյունու վրա:

Նկար 1. Ուղղանկյուն եռանկյունը և դրա աճն ու ավելցուկը

«Ավելորդ» անվանումը առաջացել է այն փաստից, որ սա այն լրացուցիչ հեռավորությունն է, որը պետք է անցնի եռանկյան ոտքերի երկայնքով մեկ գագաթից դեպի հակառակ կողմը, եթե դուք չեք անցնում դրա անկյունագծով:

Ավելցուկի և աճի միջոցով Պյութագորասի եռանկյունու կողմերը կարող են արտահայտվել հետևյալ կերպ.

ե 2 ե 2
ա = հ + ե, բ = ե + ——, գ = հ + ե + ——, (3)
2հ 2հ

Ոչ բոլոր համակցությունները հԵվ եկարող է համապատասխանել Պյութագորասի եռանկյուններին։ Տրվածի համար հհնարավոր արժեքներ եինչ-որ թվի արտադրյալ է դ. Այս թիվը դկոչվում է աճ և վերաբերում է հհետևյալ կերպ. դամենափոքր դրական ամբողջ թիվն է, որի քառակուսին բաժանվում է 2-ի հ. Որովհետեւ եբազմակի դ, ապա գրվում է այսպես ե = կդ, Որտեղ կդրական ամբողջ թիվ է:

Զույգերի օգնությամբ ( կ,հԴուք կարող եք ստեղծել բոլոր Պյութագորասի եռանկյունները, ներառյալ ոչ պարզունակ և ընդհանրացված, հետևյալ կերպ.

(դկ) 2 (դկ) 2
ա = հ + դկ, բ = դկ + ——, գ = հ + դկ + ——, (4)
2հ 2հ

Ընդ որում, եռյակը պարզունակ է, եթե կԵվ հհամապրայմ են և եթե հ =± ք 2 ժամը ք- չզույգված:
Ընդ որում, դա կլինի հենց պյութագորասյան եռակի եթե կ> √2 հ/դԵվ հ > 0.

Գտնել կԵվ հսկսած ( ա,բ,գ) կատարեք հետևյալը.

• հ = գ − բ;
• գրի առնել հԻնչպես հ = pq 2, որտեղ էջ> 0 և այնպիսին, որը քառակուսի չէ.
• դ = 2pqԵթե էջ- չզույգված և դ = pq, եթե p-ն զուգակցված է;
• կ = (ա − հ)/դ.

Օրինակ, եռակի համար (8,15,17) ունենք հ= 17−15 = 2 1, ուրեմն էջ= 2 և ք = 1, դ= 2, և կ= (8 − 2)/2 = 3: Այսպիսով, այս եռապատիկը տրված է որպես ( կ,հ) = (3,2).

Եռակի համար (459,1260,1341) ունենք հ= 1341 − 1260 = 81, ուրեմն էջ = 1, ք= 9 և դ= 18, հետևաբար կ= (459 − 81)/18 = 21, ուստի այս եռակի կոդը ( կ,հ) = (21, 81).

Նշելով եռակի հետ հԵվ կունի մի շարք հետաքրքիր հատկություններ. Պարամետր կհավասար է

կ = 4Ս/(dP), (5)

Որտեղ Ս = աբ/2-ը եռանկյան մակերեսն է, և Պ = ա + բ + գնրա պարագիծն է։ Սա բխում է հավասարությունից eP = 4Ս, որը բխում է Պյութագորասի թեորեմից։

Ուղղանկյուն եռանկյունու համար եհավասար է եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի տրամագծին: Սա գալիս է այն փաստից, որ հիպոթենուսը Հետ = (Ա − r)+(բ − r) = ա + բ − 2r, Որտեղ rշրջանագծի շառավիղն է։ Այստեղից հ = գ − բ = Ա − 2rԵվ ե = ա − հ = 2r.

Համար հ> 0 և կ > 0, կեռյակների հերթական թիվն է ա-բ-գՊյութագորասի եռանկյունների հաջորդականությամբ՝ աճող հ. Աղյուսակ 2-ից, որը ցույց է տալիս զույգերի կողմից ստեղծված եռյակների մի քանի տարբերակներ հ, կ, երևում է, որ աճի հետ կեռանկյան կողմերը մեծանում են: Այսպիսով, ի տարբերություն դասական համարակալման, համարակալումը զույգերով հ, կունի եռյակների հաջորդականության ավելի բարձր կարգ։

Աղյուսակ 2. Պյութագորասյան եռյակներ, առաջացած h, k զույգերով։

հ	կ	ա	բ	գ	հ	կ	ա	բ	գ
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Համար հ > 0, դբավարարում է 2√ անհավասարությունը հ ≤ դ ≤ 2հ, որում ստորին սահմանը հասնում է էջ= 1, իսկ վերինը՝ ժամը ք= 1. Հետեւաբար, արժեքը դ 2√-ի նկատմամբ հչափանիշ է, թե որքան հինչ-որ թվի քառակուսուց հեռու:

կրթականուսումնասիրել Պյութագորասի մի շարք եռյակներ, մշակել ալգորիթմ դրանց կիրառման համար տարբեր իրավիճակներ, դրանց օգտագործման վերաբերյալ հուշագիր կազմեք։

Ուսումնականուսուցման նկատմամբ գիտակցված վերաբերմունքի ձևավորում, ճանաչողական գործունեության զարգացում, կրթական աշխատանքի մշակույթ:

Ուսումնականերկրաչափական, հանրահաշվական և թվային ինտուիցիայի, սրամտության, դիտողականության, հիշողության զարգացում։

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական պահ

II. Նոր նյութի բացատրություն

Ուսուցիչ. Պյութագորասյան եռյակների գրավիչ ուժի առեղծվածը վաղուց անհանգստացրել է մարդկությանը: Պյութագորասյան եռյակների յուրահատուկ հատկությունները բացատրում են նրանց հատուկ դերը բնության, երաժշտության և մաթեմատիկայի մեջ։ Պյութագորասյան կախարդանքը՝ Պյութագորասի թեորեմը, մնում է միլիոնավոր, եթե ոչ միլիարդավոր մարդկանց ուղեղներում: Սա հիմնարար թեորեմ է, որը յուրաքանչյուր դպրոցական ստիպված է անգիր անել։ Թեև տասը տարեկանների համար հասկանալի է, Պյութագորասի թեորեմը ոգեշնչող սկիզբն է այն խնդրի, որը մաթեմատիկայի պատմության մեծագույն մտքերը չեն կարողացել լուծել՝ Ֆերմատի թեորեմը: Պյութագորասը Սամոս կղզուց (տես. Հավելված 1 , սլայդ 4) մաթեմատիկայի ամենաազդեցիկ, բայց առեղծվածային դեմքերից մեկն էր։ Քանի որ նրա կյանքի և ստեղծագործության մասին հավաստի գրառումներ չկան, նրա կյանքը պարուրված է առասպելներով և լեգենդներով, և պատմաբանները դժվարանում են առանձնացնել փաստը գեղարվեստականից: Այնուամենայնիվ, կասկած չկա, որ Պյութագորասը զարգացրել է թվերի տրամաբանության գաղափարը, և որ հենց նրան ենք պարտական ​​մաթեմատիկայի առաջին ոսկե դարաշրջանին: Նրա հանճարի շնորհիվ թվերն այլևս չեն օգտագործվել միայն հաշվելու և հաշվարկելու համար և առաջին հերթին գնահատվել են։ Պյութագորասը ուսումնասիրել է թվերի որոշ դասերի հատկությունները, նրանց միջև փոխհարաբերությունները և թվեր կազմող թվերը։ Պյութագորասը հասկացավ, որ թվերը գոյություն ունեն նյութական աշխարհից անկախ, և, հետևաբար, մեր զգայարանների անճշտությունը չի ազդում թվերի ուսումնասիրության վրա: Սա նշանակում էր, որ Պյութագորասը ձեռք է բերել ճշմարտություններ՝ անկախ որևէ մեկի կարծիքից կամ նախապաշարմունքներից: Ճշմարտությունները ավելի բացարձակ են, քան ցանկացած նախկին գիտելիք: Ելնելով Պյութագորասի եռյակների վերաբերյալ ուսումնասիրված գրականությունից՝ մեզ կհետաքրքրի եռանկյունաչափության խնդիրների լուծման համար Պյութագորասի եռյակների օգտագործման հնարավորությունը: Հետևաբար, մենք նպատակ ենք դնելու՝ ուսումնասիրել Պյութագորասի մի շարք եռյակներ, մշակել դրանց կիրառման ալգորիթմ, կազմել հուշագիր դրանց օգտագործման վերաբերյալ, ուսումնասիրել տարբեր իրավիճակներում դրանց կիրառման վերաբերյալ:

Եռանկյուն ( սլայդ 14), որի կողմերը հավասար են Պյութագորասյան թվերին, ուղղանկյուն է։ Ընդ որում, ցանկացած նման եռանկյունի հերոնյան է, ի. մեկը, որի բոլոր կողմերն ու տարածքը ամբողջ թվեր են: Դրանցից ամենապարզը եգիպտական ​​եռանկյունն է՝ կողմերով (3, 4, 5):

Կազմենք Պյութագորասի եռյակների շարք՝ բազմապատկելով թվերը (3, 4, 5) 2-ով, 3-ով, 4-ով: Կստանանք պյութագորասյան եռյակների շարք, դասակարգենք դրանք առավելագույն թվի աճման կարգով, ընտրենք պարզունակները:

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Դասերի ժամանակ

1. Եկեք շրջենք առաջադրանքների շուրջ.

1) Օգտագործելով նույն արգումենտի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հարաբերությունները, գտե՛ք, եթե

հայտնի է, որ.

2) Գտե՛ք անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքը., եթե հայտնի է, որ.

3) «Լրացման բանաձևեր» թեմայով ուսումնական առաջադրանքների համակարգը.

իմանալով, որ sin = 8/17, cos = 4/5, և առաջին քառորդի անկյուններն են, գտե՛ք արտահայտության արժեքը.

իմանալով, որ և երկրորդ քառորդի անկյուններն են, sin = 4/5, cos = - 15/17, գտե՛ք.

4) «Կրկնակի անկյան բանաձևեր» թեմայով ուսումնական առաջադրանքների համակարգը.

ա) Թող մեղք = 5/13, լինի երկրորդ քառորդի անկյունը: Գտեք sin2, cos2, tg2, ctg2:

բ) Հայտնի է, որ տ.գ. \u003d 3/4, - երրորդ քառորդի անկյուն: Գտեք sin2, cos2, tg2, ctg2:

գ) Հայտնի է, որ 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

դ) Հայտնի է, որ , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

ե) Գտե՛ք tg( + ), եթե հայտնի է, որ cos = 3/5, cos = 7/25, որտեղ և են առաջին քառորդի անկյունները։

զ) Գտեք , երրորդ քառորդի անկյունն է։

Մենք խնդիրը լուծում ենք ավանդական եղանակով՝ օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական նույնականությունները, իսկ հետո նույն խնդիրները լուծում ենք ավելի ռացիոնալ կերպով։ Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք խնդիրներ լուծելու ալգորիթմ՝ օգտագործելով Պյութագորաս եռյակները: Մենք հուշագիր ենք կազմում Պյութագորասի եռյակներով խնդիրների լուծման համար: Դա անելու համար մենք հիշում ենք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումը, սուր անկյունուղղանկյուն եռանկյունին, պատկերիր այն, կախված ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի խնդրի պայմաններից՝ մենք ճիշտ դասավորում ենք Պյութագորասի եռյակները ( բրինձ. 1) Գրում ենք հարաբերակցությունը և դասավորում նշանները։ Ալգորիթմը մշակվել է.

Նկար 1

Խնդիրների լուծման ալգորիթմ

Կրկնել (ուսումնասիրել) տեսական նյութը.

Անգիր իմացիր Պյութագորասի պարզունակ եռյակները և, անհրաժեշտության դեպքում, կարողացի՛ր կառուցել նորերը։

Կիրառել Պյութագորասի թեորեմը ռացիոնալ կոորդինատներով կետերի համար:

Իմանալ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումը, կարողանալ ուղղանկյուն եռանկյուն գծել և, կախված խնդրի վիճակից, ճիշտ դասավորել պյութագորասյան եռանկյունները եռանկյան կողմերի վրա։

Իմացեք սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի նշանները՝ կախված դրանց գտնվելու վայրից կոորդինատային հարթություն.

Պահանջվող պահանջներ.

1. իմանալ, թե ինչ նշաններ ունեն սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը, կոտանգենսը կոորդինատային հարթության յուրաքանչյուր քառորդում.
2. իմանալ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումը.
3. իմանալ և կարողանալ կիրառել Պյութագորասի թեորեմը.
4. իմանալ հիմնականը եռանկյունաչափական ինքնություններ, գումարման բանաձևեր, կրկնակի անկյան բանաձևեր, կես արգումենտի բանաձևեր;
5. իմանալ կրճատման բանաձևերը.

Ելնելով վերը նշվածից՝ լրացրեք աղյուսակը ( Աղյուսակ 1) Այն պետք է լրացվի՝ հետևելով սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի սահմանմանը կամ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը ռացիոնալ կոորդինատներով կետերի համար: Այս դեպքում անընդհատ անհրաժեշտ է հիշել սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի նշանները՝ կախված կոորդինատային հարթությունում դրանց տեղակայությունից։

Աղյուսակ 1

		Թվերի եռյակներ		մեղք	cos	tg	ctg
		(3, 4, 5)	I ժամ
		(6, 8, 10)	II ժամ			-	-
		(5, 12, 13)	3-րդ ժամ	-	-
		(8, 15, 17)	IV ժամ	-		-	-
		(9, 40, 41)	I ժամ

Հաջող աշխատանքի համար կարող եք օգտագործել Պյութագորաս եռյակների օգտագործման հուշագիրը։

աղյուսակ 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Մենք միասին ենք որոշում.

1) Առաջադրանք՝ գտնել cos, tg և ctg, եթե sin = 5/13, եթե - երկրորդ քառորդի անկյունը:

Պյութագորասյան թվերի եռյակներ

ստեղծագործական աշխատանք

ուսանող 8 «Ա»դաս

ՄԱՈՒ «Թիվ 1 գիմնազիա»

Սարատովի Օկտյաբրսկի շրջան

Պանֆիլովա Վլադիմիր

Ղեկավար՝ բարձրագույն կարգի մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Գրիշինա Իրինա Վլադիմիրովնա

Բովանդակություն

Ներածություն………………………………………………………………………………………………… 3

Աշխատանքի տեսական մասը

Գտնելով Պյութագորասի հիմնական եռանկյունը

(հին հինդուիստների բանաձևերը) ………………………………………………………………………………………………

Աշխատանքի գործնական մասը

Պյութագորասյան եռյակներ կազմելը տարբեր ձևերով…………………………………………………………………………………

Պյութագորասի եռանկյունների կարևոր հատկությունը………………………………………………………

Եզրակացություն……………………………………………………………………………………………………..

Գրականություն……………………………………………………………………………………………………………………………

Ներածություն

Դրանում ուսումնական տարինՄաթեմատիկայի դասերին մենք ուսումնասիրեցինք երկրաչափության ամենահայտնի թեորեմներից մեկը՝ Պյութագորասի թեորեմը: Պյութագորասի թեորեմը կիրառվում է երկրաչափության մեջ ամեն քայլափոխի, այն լայն կիրառություն է գտել գործնականում և առօրյա կյանքում։ Բայց, բացի բուն թեորեմից, մենք նաև ուսումնասիրեցինք Պյութագորասի թեորեմին հակադարձ թեորեմը: Այս թեորեմի ուսումնասիրության հետ կապված մենք ծանոթացանք Պյութագորասի թվերի եռյակներին, այսինքն. 3 հատ կոմպլեկտներով բնական թվեր ա , բ Եվգ , որի համար հարաբերությունը վավեր է. = + . Նման հավաքածուները ներառում են, օրինակ, հետևյալ եռյակները.

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Անմիջապես ինձ մոտ հարցեր առաջացան՝ քանի՞ Պյութագորասյան եռյակ կարող եք գտնել: Իսկ ինչպե՞ս դրանք կազմել։

Մեր երկրաչափության դասագրքում Պյութագորասի թեորեմին հակադարձ թեորեմը ներկայացնելուց հետո մի կարևոր նկատառում արվեց. կարելի է ապացուցել, որ ոտքերը.Ա Եվբ և հիպոթենուզաՀետ Ուղղանկյուն եռանկյունները, որոնց կողմերի երկարությունները արտահայտված են բնական թվերով, կարելի է գտնել բանաձևերով.

Ա = 2կմ b = k( - )c = k( + , (1)

Որտեղկ , մ , n ցանկացած բնական թվեր են, ևմ > n .

Բնականաբար, հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս ապացուցել այս բանաձեւերը։ Եվ մի՞թե միայն այս բանաձեւերով կարող են գոյանալ պյութագորասյան եռյակներ։

Իմ աշխատանքում ես փորձել եմ պատասխանել մտքումս ծագած հարցերին։

Աշխատանքի տեսական մասը

Գտնել Պյութագորասի հիմնական եռանկյունին (հին հինդուների բանաձևերը)

Եկեք նախ ապացուցենք բանաձևերը (1).

Եկեք նշենք ոտքերի երկարություններըX Եվժամը , և հիպոթենուսի երկարությունը միջովզ . Պյութագորասի թեորեմով մենք ունենք հավասարություն.+ = .(2)

Այս հավասարումը կոչվում է Պյութագորասյան հավասարում։ Պյութագորասի եռանկյունների ուսումնասիրությունը կրճատվում է բնական թվերով (2) հավասարումը լուծելով։

Եթե ​​Պյութագորասի որոշ եռանկյան յուրաքանչյուր կողմը մեծացվի նույնքան անգամ, ապա մենք ստանում ենք նոր ուղղանկյուն եռանկյունի, որը նման է տրվածին, բնական թվերով արտահայտված կողմերով, այսինքն. կրկին Պյութագորասի եռանկյունին:

Բոլոր նմանատիպ եռանկյունների մեջ կա ամենափոքրը, հեշտ է կռահել, որ սա կլինի եռանկյուն, որի կողմերըX Եվժամը արտահայտված համապարփակ թվերով

(gcd (x, y )=1).

Այդպիսին մենք անվանում ենք Պյութագորասյան եռանկյունիհիմնական .

Գտեք Պյութագորասի հիմնական եռանկյունները:

Թող եռանկյունը (x , y , զ ) Պյութագորասի գլխավոր եռանկյունին է։ ԹվերX Եվժամը համապարփակ են, և, հետևաբար, երկուսն էլ չեն կարող լինել զույգ: Եկեք ապացուցենք, որ նրանք երկուսն էլ չեն կարող տարօրինակ լինել։ Դրա համար մենք նշում ենք, որԿենտ թվի քառակուսին 8-ի բաժանելիս ստացվում է 1 մնացորդ: Իրոք, ցանկացած կենտ բնական թիվ կարող է ներկայացվել որպես2 կ -1 , Որտեղկ պատկանում էՆ .

Այստեղից. = -4 կ +1 = 4 կ ( կ -1)+1.

Թվեր( կ -1) Եվկ հաջորդական են, դրանցից մեկը պետք է լինի զույգ։ Հետո արտահայտությունըկ ( կ -1) բաժանված2 , 4 կ ( կ -1) բաժանվում է 8-ի, ինչը նշանակում է 8-ի բաժանելիս մնացորդը 1 է։

Երկու կենտ թվերի քառակուսիների գումարը 8-ի բաժանելիս տալիս է 2-ի մնացորդ, հետևաբար, երկու կենտ թվերի քառակուսիների գումարը զույգ թիվ է, բայց ոչ 4-ի բազմապատիկ, հետևաբար այս թիվը.չի կարող լինել բնական թվի քառակուսի:

Այսպիսով, հավասարությունը (2) չի կարող լինել, եթեx Եվժամը երկուսն էլ տարօրինակ են:

Այսպիսով, եթե Պյութագորասի եռանկյունը (x, y, զ ) - հիմնականը, ապա թվերի մեջX Եվժամը մեկը պետք է լինի զույգ, մյուսը՝ կենտ։ Թող y թիվը զույգ լինի: ԹվերX Եվզ տարօրինակ (կենտզ հետևում է հավասարությունից (2)):

Հավասարումից+ = մենք դա ստանում ենք= ( զ + x )( զ - x ) (3).

Թվերզ + x Եվզ - x քանի որ երկու կենտ թվերի գումարն ու տարբերությունը զույգ թվեր են, և հետևաբար (4).

զ + x = 2 ա , զ - x = 2 բ , ՈրտեղԱ Եվբ պատկանելՆ .

զ + x =2 ա , զ - x = 2 բ ,

զ = ա+բ , x = ա - բ. (5)

Այս հավասարություններից բխում է, որա Եվբ համեմատաբար պարզ թվեր են։

Մենք դա ապացուցում ենք հակառակը վիճելով։

Թող GCD (ա , բ )= դ , Որտեղդ >1 .

Հետոդ զ Եվx , և հետևաբար թվերըզ + x Եվզ - x . Այնուհետև, հիմնվելով հավասարության վրա (3) կլինի բաժանարար . Այս դեպքումդ կլիներ ընդհանուր բաժանարարթվերժամը ԵվX , բայց թվերըժամը ԵվX պետք է լինի coprime.

Թիվժամը հայտնի է, որ նույնիսկ, այնպեսy = 2 վրկ , ՈրտեղՀետ - բնական թիվ. Հավասարությունը (3) հիմնված է հավասարության վրա (4) ունի հետևյալ ձևը. =2a*2 բ , կամ =աբ.

Թվաբանությունից հայտնի է, որեթե երկու պարզ թվերի արտադրյալը բնական թվի քառակուսին է, ապա այդ թվերից յուրաքանչյուրը նաև բնական թվի քառակուսին է։

Նշանակում է,ա = Եվբ = , Որտեղմ Եվn համապարփակ թվեր են, քանի որ դրանք համապարփակ թվերի բաժանարարներ ենԱ Եվբ .

Հավասարության հիման վրա (5) ունենք.

զ = + , x = - , = աբ = * = ; գ = մն

Հետոy = 2 մն .

Թվերմ Եվn , որովհետեւ միևնույն ժամանակ չեն կարող նույնիսկ լինել: Բայց դրանք չեն կարող միաժամանակ տարօրինակ լինել, քանի որ այս դեպքումx = - կլիներ հավասարաչափ, ինչը անհնար է: Այսպիսով, թվերից մեկըմ կամn զույգ է, իսկ մյուսը՝ կենտ: Ակնհայտորեն,y = 2 մն բաժանվում է 4-ի: Հետևաբար, Պյութագորասի յուրաքանչյուր հիմնական եռանկյունում առնվազն մեկը ոտքը բաժանվում է 4-ի: Հետևում է, որ չկան Պյութագորասի եռանկյուններ, որոնց բոլոր կողմերը պարզ թվեր կլինեն:

Ստացված արդյունքները կարող են արտահայտվել հետևյալ թեորեմով.

Բոլոր հիմնական եռանկյունները, որոնցումժամը զույգ թիվ է, ստացվում են բանաձևից

x = - , y =2 մն , զ = + ( մ > n ), Որտեղմ Եվn - համապարփակ թվերի բոլոր զույգերը, որոնցից մեկը զույգ է, մյուսը կենտ (կարևոր չէ, թե որ մեկը): Պյութագորասի յուրաքանչյուր հիմնական եռյակ (x, y, զ ), որտեղժամը – նույնիսկ, որոշվում է եզակիորեն այս կերպ.

Թվերմ Եվn չի կարող լինել երկուսն էլ զույգ կամ երկուսն էլ կենտ, քանի որ այս դեպքերում

x = կլիներ հավասարաչափ, ինչը անհնար է: Այսպիսով, թվերից մեկըմ կամn զույգ, իսկ մյուսը կենտy = 2 մն բաժանվում է 4-ի):

Աշխատանքի գործնական մասը

Պյութագորասյան եռյակներ կազմելը տարբեր ձևերով

Հինդու բանաձեւերովմ Եվn - coprime, բայց կարող են լինել կամայական հավասարության թվեր, և դրանք օգտագործելով պյութագորասյան եռյակներ կազմելը բավականին դժվար է: Ուստի փորձենք այլ մոտեցում գտնել Պյութագորասի եռյակները կազմելու հարցում։

= - = ( զ - y )( զ + y ), ՈրտեղX - տարօրինակ,y - նույնիսկ,զ - տարօրինակ

v = զ - y , u = զ + y

= Ուլտրամանուշակագույն , Որտեղu - տարօրինակ,v - կենտ (coprime)

Որովհետեւ երկու կենտ համապարփակ թվերի արտադրյալը բնական թվի քառակուսին է, ապաu = , v = , Որտեղկ Եվլ համապարփակ, կենտ թվեր են։

զ - y = զ + y = կ 2 , որտեղից, գումարելով հավասարությունները և հանելով միմյանցից, ստանում ենք.

2 զ = + 2 y = - այն է

z= y= x = cl

կ

լ

x

y

զ

37

9

1

9

40

41 (սզրոներ)*(100…0 (սզրոներ) +1)+1 =200…0 (s-1զրոներ) 200…0 (s-1զրոներ) 1

Պյութագորասյան եռանկյունների կարևոր հատկությունը

Թեորեմ

Պյութագորասի հիմնական եռանկյունու մեջ ոտքերից մեկը պարտադիր բաժանվում է 4-ի, ոտքներից մեկը պարտադիր է բաժանվում 3-ի, իսկ Պյութագորասի եռանկյունու մակերեսը պարտադիր է 6-ի բազմապատիկ:

Ապացույց

Ինչպես գիտենք, Պյութագորասի ցանկացած եռանկյունում առնվազն մեկը բաժանվում է 4-ի:

Փաստենք, որ ոտքերից մեկը նույնպես բաժանվում է 3-ի։

Սա ապացուցելու համար ենթադրենք, որ Պյութագորասի եռանկյունում (x , y , զ x կամy 3-ի բազմապատիկ.

Այժմ մենք ապացուցում ենք, որ Պյութագորասի եռանկյունու մակերեսը բաժանվում է 6-ի։

Պյութագորասի ցանկացած եռանկյուն ունի մակերես, որն արտահայտվում է որպես 6-ի բնական բազմապատիկ: Սա հետևում է այն փաստին, որ ոտքերից առնվազն մեկը բաժանվում է 3-ի և առնվազն մեկը բաժանվում է 4-ի: Եռանկյան մակերեսը, որոշվում է ոտքերի կիսարտադրյալով, պետք է արտահայտվի 6-ի բազմապատիկով:

Եզրակացություն

Աշխատանքի մեջ

- հին հինդուների ապացուցված բանաձևեր

- ուսումնասիրություն է անցկացրել Պյութագորասի եռյակների քանակի վերաբերյալ (դրանք անսահման շատ են)

- նշված են Պյութագորասի եռյակները գտնելու մեթոդները

- Ուսումնասիրել է Պյութագորասի եռանկյունների որոշ հատկություններ

Ինձ համար դա շատ էր հետաքրքիր թեմաև իմ հարցերի պատասխանները գտնելը դարձել է շատ հետաքրքիր գործունեություն: Ապագայում ես նախատեսում եմ դիտարկել Պյութագորասի եռյակների կապը Ֆիբոնաչիի հաջորդականության և Ֆերմայի թեորեմի հետ և իմանալ Պյութագորասի եռանկյունների շատ այլ հատկություններ:

գրականություն

Լ.Ս. Աթանասյան «Երկրաչափություն. 7-9 դասարաններ» Մ .: Կրթություն, 2012 թ.

Վ. Սերպինսկի «Պյութագորասյան եռանկյուններ» Մ.: Ուչպեդգիզ, 1959 թ.

Սարատով

2014

Բնական թվերի հատկությունների ուսումնասիրությունը պյութագորացիներին հանգեցրել է տեսական թվաբանության մեկ այլ «հավերժական» խնդրի (թվերի տեսություն)՝ մի խնդրի, որի մանրէներն իրենց ճանապարհը բացել են Պյութագորասից շատ առաջ։ Հին Եգիպտոսև Հին Բաբելոնը, և ընդհանուր լուծում մինչ օրս չի գտնվել: Սկսենք խնդրից, որը ժամանակակից ձևակերպմամբ կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. լուծել անորոշ հավասարումը բնական թվերով.

Այսօր այս առաջադրանքը կոչվում է Պյութագորասի խնդիրը, և դրա լուծումները՝ բնական թվերի եռապատիկները, որոնք բավարարում են (1.2.1) հավասարումը, կոչվում են. Պյութագորասյան եռյակներ. Պյութագորասի թեորեմի ակնհայտ կապի պատճառով Պյութագորասի խնդրի հետ վերջինիս կարող է տրվել երկրաչափական ձևակերպում՝ գտե՛ք բոլոր ուղղանկյուն եռանկյունները՝ ամբողջ թվով ոտքերով։ x, yև ամբողջ թվային հիպոթենուզա զ.

Պյութագորասի խնդրի առանձնահատուկ լուծումները հայտնի էին դեռ հին ժամանակներում։ Փարավոն Ամենեմհեթ I-ի (մ.թ.ա. մոտ 2000 թ.) պապիրուսում, որը պահվում է Բեռլինի եգիպտական ​​թանգարանում, մենք գտնում ենք ուղղանկյուն եռանկյունի` կողմի հարաբերակցությամբ (): Գերմանացի խոշորագույն մաթեմատիկայի պատմաբան Մ.Կանտորի (1829 - 1920 թթ.) կարծիքով՝ Հին Եգիպտոսում հատուկ մասնագիտություն է եղել. տավիղետներ- «պարան ձգողներ», որոնք տաճարների և բուրգերի տեղադրման հանդիսավոր արարողության ժամանակ 12 (= 3 + 4 + 5) հավասարաչափ հանգույց ունեցող պարանով ուղիղ անկյուններ էին նշում։ Շինարարության մեթոդ Աջ անկյունը 36-րդ նկարից երևում է տավիղը:

Պետք է ասել, որ հին մաթեմատիկայի մեկ այլ գիտակ՝ վան դեր Վաերդենը կտրականապես համաձայն չէ Կանտորի հետ, թեև հին եգիպտական ​​ճարտարապետության բուն համամասնությունները վկայում են Կանտորի օգտին։ Ինչքան էլ որ լինի, այսօր կոչվում է ուղղանկյուն եռանկյունի` կողմի հարաբերակցությամբ եգիպտական.

Ինչպես նշված է p. 76, պահպանվել է կավե տախտակ, որը թվագրվում է հին բաբելոնյան դարաշրջանով և պարունակում է պյութագորասյան եռյակների 15 տող։ Բացի 15-ով (45, 60, 75) բազմապատկելով եգիպտականից (3, 4, 5) ստացված չնչին եռյակից, կան նաև շատ բարդ պյութագորասյան եռյակներ, ինչպիսիք են (3367, 3456, 4825) և նույնիսկ (12709 թ.) , 13500, 18541)! Կասկածից վեր է, որ այդ թվերը գտնվել են ոչ թե պարզ թվարկումով, այլ միատեսակ կանոններով։

Այնուամենայնիվ, բնական թվերով (1.2.1) հավասարման ընդհանուր լուծման հարցը բարձրացրել և լուծել են միայն պյութագորացիները։ Ընդհանուր կարգավորում, ինչ էլ որ լինի մաթեմատիկական խնդիրխորթ էր ինչպես հին եգիպտացիներին, այնպես էլ հին բաբելոնացիներին: Միայն Պյութագորասով է սկսվում մաթեմատիկայի ձևավորումը՝ որպես դեդուկտիվ գիտություն, և այս ճանապարհի առաջին քայլերից մեկը Պյութագորասյան եռյակների խնդրի լուծումն էր։ Հնագույն ավանդույթը (1.2.1) հավասարման առաջին լուծումները կապում է Պյութագորասի և Պլատոնի անունների հետ։ Փորձենք վերակառուցել այս լուծումները։

Հասկանալի է, որ Պյութագորասը (1.2.1) հավասարումը մտածել է ոչ թե վերլուծական, այլ քառակուսի թվի տեսքով, որի ներսում անհրաժեշտ էր գտնել քառակուսի թվերը և . Բնական էր թիվը կողքով քառակուսու տեսքով ներկայացնելը yմեկ կողմ պակաս զբնօրինակ քառակուսի, այսինքն. Այնուհետև, ինչպես հեշտ է տեսնել Նկար 37-ից (պարզապես տեսե՛ք), մնացած քառակուսի թվի համար հավասարությունը պետք է բավարարվի: Այսպիսով, մենք հասնում ենք համակարգին գծային հավասարումներ

Այս հավասարումները գումարելով և հանելով՝ գտնում ենք (1.2.1) հավասարման լուծումը.

Հեշտ է տեսնել, որ ստացված լուծումը տալիս է բնական թվեր միայն կենտների համար: Այսպիսով, մենք վերջապես ունենք

Եվ այսպես շարունակ Ավանդույթն այս որոշումը կապում է Պյութագորասի անվան հետ։

Նկատի ունեցեք, որ համակարգը (1.2.2) կարելի է նաև ձևականորեն ստանալ (1.2.1) հավասարումից: Իսկապես,

որտեղից, ենթադրելով , մենք հասնում ենք (1.2.2):

Հասկանալի է, որ Պյութագորասի լուծումը գտնվել է բավականին կոշտ սահմանափակման ներքո () և պարունակում է բոլոր Պյութագորասի եռյակներից հեռու: Հաջորդ քայլը դնելն է, ապա, քանի որ միայն այս դեպքում կլինի քառակուսի թիվ: Այսպիսով, համակարգը առաջանում է նաև Պյութագորասի եռյակ: Այժմ հիմնական

Թեորեմ.Եթե էջԵվ քՏարբեր հավասարության համապրում թվեր, այնուհետև բոլոր պարզունակ Պյութագորասի եռյակները գտնվում են բանաձևերով

Հատկություններ

Քանի որ հավասարումը x 2 + y 2 = զ 2 միատարր, երբ բազմապատկվում է x , yԵվ զնույն թվի համար դուք ստանում եք մեկ այլ Պյութագորասի եռյակ: Պյութագորասյան եռյակը կոչվում է պարզունակ, եթե այս կերպ հնարավոր չէ ստանալ, այսինքն՝ համեմատաբար պարզ թվեր։

Օրինակներ

Պյութագորասի որոշ եռյակներ (տեսակավորված առավելագույն թվի աճման կարգով, ընդգծված են պարզունակները).

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Պատմություն

Պյութագորասյան եռյակները հայտնի են շատ վաղուց։ Հին Միջագետքի տապանաքարերի ճարտարապետության մեջ հանդիպում է հավասարաչափ եռանկյունի, որը կազմված է երկու ուղղանկյուն եռանկյունից՝ 9, 12 և 15 կանգուն կողմերով։ Սնեֆրու փարավոնի բուրգերը (մ.թ.ա. XXVII դ.) կառուցվել են 20, 21 և 29 կողմերով եռանկյունների, ինչպես նաև 18, 24 և 30 տասնյակ եգիպտական ​​կանգուններով:

X Համառուսական սիմպոզիում կիրառական և արդյունաբերական մաթեմատիկայի վերաբերյալ. Սանկտ Պետերբուրգ, 19 մայիսի 2009 թ

Հաշվետվություն՝ Դիոֆանտին հավասարումների լուծման ալգորիթմ.

Աշխատանքում դիտարկվում է Դիոֆանտինի հավասարումների ուսումնասիրության մեթոդը և ներկայացնում այս մեթոդով լուծված լուծումները. մեծ թեորեմաՖերմա; - որոնել Պյութագորասի եռյակներ և այլն: http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

Հղումներ

• E. A. ԳորինՊարզ թվերի ուժերը պյութագորասյան եռապատիկներով // Մաթեմատիկական կրթություն. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ .

Տեսեք, թե ինչ են «Պյութագորասի եռյակները» այլ բառարաններում.

Մաթեմատիկայի մեջ պյութագորասյան թվերը (Պյութագորասյան եռյակ) կրկնակի են. երեք ամբողջՊյութագորասի հարաբերությունը բավարարող թվեր՝ x2 + y2 = z2: Բովանդակություն 1 Հատկություններ ... Վիքիպեդիա

Բնական թվերի եռապատիկները այնպես, որ եռանկյունը, որի կողմերի երկարությունները համամասնական են (կամ հավասար են) այս թվերին, ուղղանկյուն է, օրինակ. թվերի եռակի՝ 3, 4, 5… Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

Բնական թվերի եռապատիկներ, այնպես որ եռանկյունը, որի կողմերի երկարությունները համամասնական են (կամ հավասար) այս թվերին, ուղղանկյուն եռանկյուն է: Ըստ թեորեմի՝ Պյութագորասի թեորեմի հակադարձը (տես Պյութագորասի թեորեմ), դրա համար բավական է, որ նրանք ... ... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

x, y, z x2+y 2=z2 հավասարումը բավարարող դրական ամբողջ թվերի եռյակներ։ Այս հավասարման բոլոր լուծումները և, հետևաբար, բոլոր P. p.-ն արտահայտված են x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2 բանաձևերով, որտեղ a, b կամայական դրական ամբողջ թվեր են (a>b): Պ.հ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Բնական թվերի եռապատիկներ, ինչպիսիք են, օրինակ, ուղղանկյուն եռանկյունը, որի կողմերի երկարությունները համաչափ (կամ հավասար են) այս թվերին: թվերի եռակի՝ 3, 4, 5… Բնական գիտություն. Հանրագիտարանային բառարան

Բնական թվերի եռապատիկներ, ինչպիսիք են, որ եռանկյունը, որի կողմերի երկարությունները համամասնական են (կամ հավասար են) այս թվերին, ուղղանկյուն է, օրինակ՝ թվերի եռյակը՝ 3, 4, 5: որ ...... Հանրագիտարանային բառարան

Մաթեմատիկայի մեջ Պյութագորասի եռյակը երեք բնական թվերից բաղկացած բազմություն է, որը բավարարում է Պյութագորասի հարաբերությունը: Այս դեպքում այն ​​թվերը, որոնք կազմում են Պյութագորասի եռյակը, կոչվում են Պյութագորասյան թվեր: Բովանդակություն 1 Պրիմիտիվ եռյակներ ... Վիքիպեդիա

Պյութագորասի թեորեմը էվկլիդեսյան երկրաչափության հիմնարար թեորեմներից մեկն է, որը հաստատում է ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի միջև կապը։ Բովանդակություն 1 ... Վիքիպեդիա

Պյութագորասի թեորեմը էվկլիդեսյան երկրաչափության հիմնարար թեորեմներից մեկն է, որը հաստատում է ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի միջև կապը։ Բովանդակություն 1 հայտարարություն 2 ապացույց ... Վիքիպեդիա

Սա այն ձևի հավասարումն է, որտեղ P-ն ամբողջ թվային ֆունկցիա է (օրինակ՝ բազմանդամ՝ ամբողջ թվով գործակիցներով), իսկ փոփոխականներն ընդունում են ամբողջ արժեքներ։ Անվանվել է հին հույն մաթեմատիկոս Դիոֆանտոսի անունով։ Բովանդակություն 1 Օրինակներ ... Վիքիպեդիա