Մեկ կետից դուրս եկող թեք գծերի հատկությունները. 1. Ուղղահայացը միշտ ավելի կարճ է, քան թեք, եթե դրանք գծված են նույն կետից: 2. Եթե թեքությունները հավասար են, ապա դրանց պրոյեկցիաները հավասար են, և հակառակը: 3. Ավելի մեծ թեքությունը համապատասխանում է ավելի մեծ պրոյեկցիայի և հակառակը:

Սլայդ 10շնորհանդեսից «Ուղղահայաց և թեք հարթությանը». Ներկայացման հետ արխիվի չափը 327 ԿԲ է:

Երկրաչափություն 10-րդ դասարան

ամփոփումայլ շնորհանդեսներ

«Խնդիրներ զուգահեռագծի վրա» - Երկրաչափություն. Կետեր. Զուգահեռագծի բարձրությունը: Քառակուսի. Ապացույց. Շոշափող շրջանագծին: Զուգահեռագծի առանձնահատկությունները. Զուգահեռագծի պարագիծը. Շրջանակ։ մաս. Միջին գիծ. Circle -ն օդային փոխանցում է կատարում: Անկյուններ. Զուգահեռագիծ. Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը: Երկու շրջան. Զուգահեռագրի հատկությունները. Սուր անկյուն. Զուգահեռագծի մակերեսը: Զուգահեռագծի անկյունագծեր. Շեղանկյուն: Քառանկյուն. Եռանկյուններ.

«Սեկցիաների կառուցման մեթոդներ» - Բաժիններ կառուցելու հմտությունների և կարողությունների ձևավորում. Դիտարկենք զուգահեռականի հատվածների կառուցման չորս դեպք: Կառուցեք քառանիստի հատվածներ: Ներքին ձևավորման մեթոդ. Աշխատեք սկավառակների հետ: Զուգահեռապատն ունի վեց դեմք: կտրող ինքնաթիռ. Բազմանդամների հատվածների կառուցում. Հետքը հատման հարթության և պոլիէդրոնի ցանկացած երեսի հարթության հատման գիծն է։ հետքի մեթոդ. Հուշագիր.

««Կանոնավոր պոլիեդրա» 10-րդ դասարան» - կանխատեսված արդյունք. Մարսի ուղեծրի ոլորտի մոտ շրջագծված քառաեդրոն։ Կենտրոն O, առանցք a և հարթություն: Բազմակի եզրեր. Ռադիոլարիա. Բովանդակություն. Կանոնավոր պոլիեդրաներ: Կանոնավոր պոլիեդրաներ աշխարհի մասին Պլատոնի փիլիսոփայական պատկերում. Ֆեոդարիա. Բնության մեջ հանդիպում են կանոնավոր պոլիեդրաներ։ Դասերի ժամանակ. Կետը (ուղիղ, հարթություն) կոչվում է կենտրոն (առանցք, հարթություն): Հետևյալ երկրաչափական մարմիններից ո՞րը կանոնավոր բազմանիստ չէ.

«Երկկողմանի անկյունների որոշում» - K կետը հանվում է յուրաքանչյուր կողմից: M և K կետերը տարբեր երեսների վրա են: Անկյունի աստիճանի չափում. Եռանկյուն անկյան հատկություն. Խնդրի լուծման վերաբերյալ նշումներ. M կետը գտնվում է 30-ի հավասար երկանկյուն անկյան երեսներից մեկում: Գծային անկյան կառուցում. Գծե՛ք ուղղահայաց: Տրված հարթությունում գծված ուղիղ գիծ: Երկկողմանի անկյունները բուրգերում. Խնդրի լուծում. Կետ K. Այս բուրգը. Եզրին գտնվող կետը կարող է կամայական լինել:

«Բազմանդեղների հատվածների կառուցման մեթոդներ» - Ցանկացած հարթություն: Արվեստագետներ. Երկրաչափության օրենքները. Բլից հարցում. Հարթության և բազմանիստի փոխադարձ դասավորություն. Կառուցեք բազմանկյունի մի հատված: Բազմանկյուններ. աքսիոմատիկ մեթոդ. Առաջադրանքներ. Նավ. Առաջադրանք. Աքսիոմներ. Բազմանդամների հատվածների կառուցում. Տարբեր հարթություններով հատվածներ: Հին չինական ասացվածք. Անկախ աշխատանք. Շեղանկյուն հատվածներ. Ձեռք բերված գիտելիքների համախմբում. կտրող ինքնաթիռ.

«Հավասարակողմ բազմանկյուններ» - Վեցանկյուն (խորանարդ) Խորանարդը կազմված է վեց քառակուսուց։ Ութանիստ Ութանիստը կազմված է ութ հավասարակողմ եռանկյուններից: Տետրաեդրոնն ունի 4 դեմք, 4 գագաթ և 6 եզր։ Կան կանոնավոր պոլիեդրների 5 տեսակ. Կանոնավոր բազմանկյուններ. Դոդեկեդրոնն ունի 12 դեմք, 20 գագաթ և 30 եզր։ Սիկոսահեդրոնն ունի 20 դեմք, 12 գագաթ և 30 եզր։ Այսպիսով, խորանարդն ունի 6 երես, 8 գագաթ և 12 եզր: Տետրաեդրոն Չորեքարյունը կազմված է չորս հավասարակողմ եռանկյուններից։

Եթե ​​ինչ-որ կետի միջով, վերցված գծից դուրս, դրան ուղղահայաց գծենք, ապա այս կետից դեպի ուղիղ հատվածը, հակիրճ լինելու համար, կոչվում է մեկ բառ. ուղղահայաց.

CO հատվածը ուղղահայաց է AB ուղղին: O կետը կոչվում է ուղղահայաց հիմքը CO (բրինձ):

Եթե ​​ուղիղ գիծ անցնի տրված կետ, հատում է մեկ այլ ուղիղ, բայց ուղղահայաց չէ դրան, ապա նրա հատվածը այս կետից մինչև մեկ այլ ուղիղի հատման կետը կոչվում է. թեքայս տողին:

BC հատվածը թեքված է դեպի AO ուղիղ գիծ: C կետը կոչվում է հիմքթեքված (նկ.):

Եթե ​​ինչ-որ հատվածի ծայրերից ուղղահայացներ գցենք կամայական գիծ, ​​ապա ուղղանկյունների հիմքերի միջև պարփակված ուղիղ հատվածը կոչվում է. հատվածի պրոյեկցիաայս տողին:

AB հատվածը AB հատվածի պրոյեկցիան է ԵՄ-ի վրա: OM հատվածը կոչվում է նաև OM հատվածի պրոյեկցիա դեպի ԵՄ:

ԵՄ-ին ուղղահայաց KR հատվածի պրոյեկցիան կլինի K կետը (նկ.):

2. Ուղղահայաց և թեք հատվածի հատկությունները.

Թեորեմ 1. Ինչ-որ կետից ուղիղ գծի վրա գծված ուղղահայացը փոքր է, քան նույն կետից դեպի այդ ուղիղ գծված ցանկացած թեք:

AC հատվածը (նկ.) ուղղահայաց է OB ուղիղ գծին, իսկ AM-ը A կետից դեպի OB ուղիղ գծված թեքվածներից մեկն է։ Պահանջվում է ապացուցել, որ AM > AC:

ΔMAC-ում AM հատվածը հիպոթենուսն է, իսկ հիպոթենուզը ավելի մեծ է, քան այս եռանկյան յուրաքանչյուր ոտքը: Հետևաբար, AM > AC: Քանի որ մենք կամայականորեն վերցրինք թեք AM-ը, կարելի է պնդել, որ ցանկացած թեք ուղիղ ավելի մեծ է, քան այս ուղղին ուղղահայացը (իսկ ուղղահայացը ավելի կարճ է, քան ցանկացած թեք ուղիղ), եթե դրանք գծված են դեպի այն նույն կետից:

Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը, այն է՝ եթե AC հատվածը (նկ.) փոքր է AC կետը OB ուղիղ գծի ցանկացած կետի հետ կապող որևէ այլ հատվածից, ապա այն ուղղահայաց է OB-ին: Իրոք, AC հատվածը չի կարող թեքվել դեպի OB, քանի որ այն չի լինի A կետը OB ուղղի կետերի հետ կապող հատվածներից ամենակարճը։ Սա նշանակում է, որ այն կարող է լինել միայն OB-ին ուղղահայաց:

Տրված կետից ուղիղ գիծ ընկած ուղղահայաց երկարությունը վերցվում է որպես տվյալ կետից այս ուղիղ գիծ հեռավորությունը:

Թեորեմ 2. Եթե ​​նույն կետից ուղիղ գծի վրա գծված երկու թեք ուղիղները հավասար են, ապա դրանց ելքերը նույնպես հավասար են։

Թող BA և BC լինեն թեք գծեր, որոնք գծված են B կետից մինչև AC ուղիղը (նկ.), իսկ AB = BC: Պետք է ապացուցենք, որ նրանց կանխատեսումները նույնպես հավասար են։

Դա ապացուցելու համար B կետից գցենք BO-ին ուղղահայաց AC-ը: Այնուհետև AO-ն և OS-ը կլինեն թեք AB-ի և BC-ի պրոյեկցիաները AC ուղիղ գծի վրա: ABC եռանկյունը թեորեմի վարկածով հավասարաչափ է: VO-ն այս եռանկյունու բարձրությունն է: Բայց հավասարաչափ եռանկյունու բարձրությունը, որը ձգված է դեպի հիմքը, միևնույն ժամանակ այս եռանկյան միջինն է:

Հետեւաբար, AO = OS:

Թեորեմ 3 (հակադարձ). Եթե ​​նույն կետից ուղիղ գծի վրա գծված երկու թեք ուղիղներ ունեն հավասար ելուստներ, ապա դրանք հավասար են միմյանց:

Թող AC-ը և CB-ն թեքվեն դեպի AB տող (նկ.): CO ⊥ AB և AO = OB:

Մենք պետք է ապացուցենք, որ AC = BC:

AOC և BOS ուղղանկյուն եռանկյուններում AO-ի և OB-ի ոտքերը հավասար են: CO-ն այս եռանկյունների ընդհանուր ոտքն է: Հետեւաբար, ΔAOC = ΔVOC: Եռանկյունների հավասարությունից հետևում է, որ AC = BC:

Թեորեմ 4. Եթե ​​երկու թեք գիծ գծված են միևնույն կետից դեպի ուղիղ գիծ, ​​ապա ավելի մեծն այն է, որն ունի ամենամեծ պրոյեկցիան այս ուղիղ գծի վրա:

Թող AB-ն և BC-ն թեք լինեն AO ուղիղ գծից; VO ⊥ AO և AO>CO. Պահանջվում է ապացուցել, որ AB > մ.թ.ա.

1) թեքված են ուղղահայաց մի կողմում.

ACE անկյունը արտաքին է COB ուղղանկյուն եռանկյունու նկատմամբ (նկ.), և հետևաբար ∠ACB > ∠COB, այսինքն՝ բութ է: Հետևում է, որ AB > CB:

2) թեք գտնվում են ուղղահայաց երկու կողմերում. Դա ապացուցելու համար AO-ի վրա O կետից մի կողմ դնենք OK = OS հատվածը և K կետը միացնենք B կետին (նկ.): Այնուհետև թեորեմ 3-ով ունենք՝ VC = BC, բայց AB > VC, հետևաբար, AB > BC, այսինքն՝ թեորեմը գործում է նաև այս դեպքում։

Թեորեմ 5 (հակադարձ). Եթե ​​երկու թեք գիծ գծված են միևնույն կետից դեպի ուղիղ գիծ, ​​ապա մեծ թեք գիծը նույնպես ունի մեծ ելք այս գծի վրա։

Թող KS և BC լինեն CV թեքված դեպի ուղիղ (նկ.), CO ⊥ CV և KS > BC: Պահանջվում է ապացուցել, որ KO > OB:

KO և OB հատվածների միջև կարող է լինել երեք հարաբերակցություններից միայն մեկը.

1) KO< ОВ,

2) KO \u003d OV,

3) KO > OV.

KO-ն չի կարող պակաս լինել OB-ից, քանի որ այն ժամանակ, ըստ 4-րդ թեորեմի, թեք CS-ը փոքր կլինի թեք BC-ից, և դա հակասում է թեորեմի պայմանին:

Նույն կերպ KO-ն չի կարող հավասարվել OB-ին, քանի որ այս դեպքում 3-րդ թեորեմով KS = BC, ինչը նույնպես հակասում է թեորեմի պայմանին։

Հետևաբար, ճշմարիտ է մնում միայն վերջին հարաբերակցությունը, այն է, որ KO > OB:

Տրված կետից տվյալ հարթության վրա ընկած ուղղահայացը տվյալ կետը հարթության կետի հետ կապող հատվածն է և ընկած է հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա։ Այս հատվածի վերջը, որը գտնվում է հարթության մեջ, կոչվում է ուղղահայաց հիմք: Կետից մինչև հարթություն հեռավորությունը այս կետով հարթության վրա ընկած ուղղահայաց երկարությունն է:

Տրված կետից տրված հարթությանը գծված թեք ուղիղ է համարվում ցանկացած հատված, որը կապում է տվյալ կետը հարթության մի կետի հետ և ուղղահայաց չէ այդ հարթությանը։ Հարթության մեջ ընկած հատվածի վերջը կոչվում է թեք գծի հիմք: Միևնույն կետից գծված ուղղահայաց և թեք հիմքերը միացնող հատվածը կոչվում է թեք պրոյեկցիա։

Նկար 136-ում A կետից ուղղահայաց AB և թեք AC գծված են հարթությանը: B կետը ուղղահայաց հիմքն է, C կետը թեքվածի հիմքն է, BC-ն թեք AC-ի պրոյեկցիան է a հարթության վրա:

Քանի որ ուղիղ գծի կետերից մինչև դրան զուգահեռ հարթությունը նույնն են, ուստի ուղիղ գծից մինչև դրան զուգահեռ հարթություն հեռավորությունը նրա ցանկացած կետից այս հարթության հեռավորությունն է:

Հարթության վրա գծված ուղիղ գիծը, որը գծված է դրա ելուստին ուղղահայաց թեքվածի հիմքի միջով, նույնպես ուղղահայաց է ամենահակվածին: Եվ հակառակը. եթե հարթության վրա ուղիղ գիծը ուղղահայաց է թեքվածին, ապա այն նաև ուղղահայաց է թեքվածի պրոյեկցիայի վրա (երեք ուղղանկյունների թեորեմ):

Նկար 137-ում ուղղահայաց AB և թեք AC գծված են a հարթությանը: a հարթության վրա ընկած ուղիղ գիծը ուղղահայաց է BC-ին, թեք AC-ի պրոյեկցիան a հարթության վրա: Ըստ T. 2.12-ի, a ուղիղը ուղղահայաց է թեք AC-ին: Եթե ​​հայտնի լիներ, որ a ուղիղը ուղղահայաց է թեք AC-ին, ապա ըստ T. 2.12-ի այն ուղղահայաց կլիներ նրա պրոյեկցիայիը՝ մ.թ.ա.

Օրինակ. Ոտքեր ուղղանկյուն եռանկյուն ABC-ներն են 16 և «Վերևից»: Աջ անկյունը C-ն գծված է այս եռանկյան հարթության վրա ուղղահայաց CD = 35 մ (նկ. 138): Գտե՛ք D կետից մինչև AB հիպոթենուզի հեռավորությունը:

Լուծում. Եկեք անենք դա. Պայմանով DC-ն ուղղահայաց է հարթությանը, այսինքն՝ DE-ն թեք է, CE-ն նրա պրոյեկցիան է, հետևաբար, ըստ երեք ուղղանկյունների թեորեմի, պայմանից բխում է.

From մենք գտնում ենք Գտնել CE բարձրությունը մենք գտնում ենք

Մյուս կողմից, որտեղ

Պյութագորասի թեորեմից

46. ​​Հարթությունների ուղղահայացություն.

Երկու հատվող հարթությունները կոչվում են ուղղահայաց, եթե այս հարթությունների հատման գծին ուղղահայաց հարթություն հատում է դրանք ուղղահայաց գծերով:

Նկար 139-ում ներկայացված են երկու հարթություններ, որոնք հատվում են a ուղիղ գծով: y հարթությունը ուղղահայաց է a ուղիղ գծին և հատվում է: Այս դեպքում, y հարթությունը հատում է a հարթությունը c ուղիղ գծի երկայնքով, իսկ հարթությունը՝ d ուղիղ գծով, այսինքն՝ ըստ սահմանման:

T. 2.13. Եթե ​​հարթությունն անցնում է մեկ այլ հարթության ուղղահայաց գծի միջով, ապա այդ հարթությունները ուղղահայաց են (հարթությունների ուղղահայացության նշան):

Նկար 140-ում ինքնաթիռն անցնում է ուղիղ գծով, այսինքն՝ դրանք ուղղահայաց են հարթության երկայնքով:

ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ

Բաժին II. ՍՏԵՐԵՈՄԵՏՐԻԱ

§8. ՈՒՂԻՂ ԵՎ ԹԵՔ. ԹԵՔԻ ՊՐՈԵԿՑԻԱ ԻՆՔՆԱԹԻՐԻ ՎՐԱ.

2. Ուղղահայաց և թեք հատվածի հատկությունները.

Դիտարկենք ուղղահայաց և թեք հատվածի հատկությունները:

1) Տրված կետից հարթություն ընկած ուղղահայացը փոքր է, քան նույն կետից դեպի հարթություն գծված ցանկացած թեք:

Նկար 411. AN AK.

2) Եթե տրված կետից հարթություն գծված երկու թեք ուղիղները հավասար են, ապա դրանց պրոյեկցիաները հավասար են:

K1 և ուղղահայաց AN և AK \u003d AK 1. Այնուհետեւ ըստ սեփականության՝ NK = NK 1:

3) Եթե տվյալ կետից տրված հարթության վրա գծված երկու թեք ուղիղներ ունեն հավասար ելուստներ, ապա դրանք հավասար են միմյանց:

Նկար 412-ում A կետից a հարթություն գծված են երկու թեք AK և A K1 եւ ուղղահայաց AH, ընդ որում, KH = Կ 1 N. Այնուհետև ըստ սեփականության՝ AK = AK 1 .

4) Եթե տրված կետից դեպի հարթություն գծված են երկու թեք հարթություններ, ապա մեծ թեքվածն ունի մեծ ելուստ:

Լ և ուղղահայաց AN,Ա Կ > ԱԼ . Այնուհետև ըստ սեփականության.Հ Կ > ՀԼ .

5) Եթե տրված կետից դեպի հարթություն գծված են երկու թեք գիծ, ​​ապա դրանցից ամենամեծն այն է, որն ունի մեծ ելուստ այս հարթության վրա:

Նկար 413-ում A կետից a հարթություն գծված են երկու թեքված AK և AԼ եւ ուղղահայաց AN, NK> Հ Լ . Ապա գույքով` Ա.Կ> Ա Լ.

Օրինակ 1. Կետից դեպի հարթություն գծված են երկու թեք գիծ, ​​որոնց երկարությունները 41 սմ և 50 սմ են: Գտե՛ք թեքվածների ելուստները, եթե դրանք կապված են 3:10, և հեռավորությունը կետից մինչև ինքնաթիռը.

Լուծումներ. 1) Ա Լ = 41 սմ; AK = 50 սմ (նկ. 413): Գույքով ունենք Հ L NK. Նշեք H L = 3 x սմ, HK = 10 x սմ, AH = h տես AN - հեռավորությունը A կետից մինչև հարթությունα .

4) Հավասարեցնելով, մենք ստանում ենք 41 2 - 9x 2 = 50 2 - 100 x 2; x 2 = 9; x = 3 (տրված է x> 0): Այսպիսով, Н L = 3 ∙ 3 = 9 (սմ), NK = 10 ∙ 3 = 30 (սմ):

Օրինակ 2. Տրված կետից մինչև գծված են երկու թեք հարթություններ՝ յուրաքանչյուրըսմ-ով, թեքության միջև անկյունը 60 ° է, իսկ դրանց ելուստների միջև անկյունը ուղիղ գիծ է: Գտե՛ք հեռավորությունը կետից մինչև հարթություն:

Երկրաչափություն

Ստերեոմետրիա

Ուղղահայաց և թեք

Ուղղահայաց, տրված կետից իջեցված հարթության վրա, տվյալ կետը հարթության կետի հետ կապող հատված է և ընկած է հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա։ Այս հատվածի վերջը, որը ընկած է հարթության մեջ, կոչվում է ուղղահայաց հիմքը. Հեռավորությունը կետից ինքնաթիռայս կետից դեպի հարթություն ընկած ուղղահայաց երկարությունն է:
Պատկերի վրա ԱԲ- ուղղահայաց; AC- հակված; մ.թ.ա- պրոյեկցիա.

Հեռավորությունը ուղիղ գծիցդրան զուգահեռ հարթության վրա այս ուղիղի ցանկացած կետից մինչև հարթության հեռավորությունն է:
Հեռավորությունը զուգահեռ հարթությունների միջևհեռավորությունն է մի հարթության ցանկացած կետից մյուս հարթություն:
թեք, տրված կետից տրված հարթության վրա գծված ցանկացած հատված է, որը միացնում է տվյալ կետը հարթության մի կետի հետ և ուղղահայաց չէ հարթությանը։ Հարթության մեջ ընկած հատվածի վերջը կոչվում է թեքվածի հիմքը.
Նույն կետից գծված ուղղահայաց և թեք հիմքերը միացնող հատվածը կոչվում է. թեք պրոյեկցիա.

Մի կետից մեկ հարթություն գծված թեք գծերի հատկությունները

1. Մի կետից դեպի հարթություն գծված թեք գծերը (ձախ կողմում գծված ներքևում) հավասար են, եթե և միայն եթե ունեն հավասար ելուստներ:
2. Եթե կետից դեպի հարթություն գծված են երկու թեք ուղիղ, ապա մեծն այն է, որն ունի ամենամեծ պրոյեկցիան, և հակառակը, ավելի մեծ շեղն ունի ամենամեծ պրոյեկցիան։
Նկատի ունեցեք, որ այս հատկությունները պահպանվում են տարբեր կետերից դեպի հարթություն գծված թեքությունների համար, բայց ունեն նույն ուղղահայաց երկարությունը (աջ կողմում գտնվող նկարը):