Aplūkoti racionālu funkciju (daļskaitļu) integrācijas piemēri ar detalizētiem risinājumiem.

Saturs

Skatīt arī: Kvadrātvienādojuma saknes

Šeit mēs piedāvājam detalizētus risinājumus trīs šādu racionālu daļu integrēšanas piemēriem:
, , .

1. piemērs

Aprēķināt integrāli:
.

Šeit zem integrāļa zīmes ir racionāla funkcija, jo integrands ir polinomu daļa. saucēja polinoma pakāpe ( 3 ) ir mazāks par skaitītāja polinoma pakāpi ( 4 ). Tāpēc vispirms ir jāizvēlas visa frakcijas daļa.

1. Ņemsim daļskaitļa veselo skaitļu daļu. Sadaliet x 4 uz x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


No šejienes
.

2. Faktorizēsim saucēju. Lai to izdarītu, jums jāatrisina kubiskais vienādojums:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Aizstāt x = 1 :
.

1 . dalīt ar x - 1 :

No šejienes
.
Mēs izlemjam kvadrātvienādojums.
.
Vienādojuma saknes: , .
Tad
.

3. Sadalīsim daļu vienkāršās.

.

Tātad mēs atradām:
.
Integrēsimies.

2. piemērs

Aprēķināt integrāli:
.

Šeit frakcijas skaitītājā ir polinoms ar nulles pakāpi ( 1 = x0). Saucējs ir trešās pakāpes polinoms. Tāpēc ka 0 < 3 , tad daļa ir pareiza. Sadalīsim to vienkāršās daļās.

1. Faktorizēsim saucēju. Lai to izdarītu, jums jāatrisina trešās pakāpes vienādojums:
.
Pieņemsim, ka tai ir vismaz viena vesela skaitļa sakne. Tad tas ir skaitļa dalītājs 3 (biedrs bez x ). Tas ir, visa sakne var būt viens no skaitļiem:
1, 3, -1, -3 .
Aizstāt x = 1 :
.

Tātad mēs esam atraduši vienu sakni x = 1 . Sadaliet x 3 + 2 x - 3 uz x- 1 :

Tātad,
.

Mēs atrisinām kvadrātvienādojumu:
x 2 + x + 3 = 0.
Atrodiet diskriminantu: D = 1 2 - 4 3 = -11. Tā kā D< 0 , tad vienādojumam nav reālu sakņu. Tādējādi mēs esam ieguvuši saucēja sadalīšanos faktoros:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Aizstāt x = 1 . Tad x- 1 = 0 ,
.

Aizstāt iekšā (2.1) x= 0 :
1 = 3 A–C;
.

Pielīdzināt iekšā (2.1) koeficienti pie x 2 :
;
0=A+B;
.

.

3. Integrēsimies.
(2.2) .
Lai aprēķinātu otro integrāli, mēs izvēlamies saucēja atvasinājumu skaitītājā un samazinām saucēju līdz kvadrātu summai.

;
;
.

Aprēķināt I 2 .


.
Tā kā vienādojums x 2 + x + 3 = 0 nav īstu sakņu, tad x 2 + x + 3 > 0. Tāpēc moduļa zīmi var izlaist.

Piegādājam uz (2.2) :
.

3. piemērs

Aprēķināt integrāli:
.

Šeit zem integrāļa zīmes ir daļa no polinomiem. Tāpēc integrands ir racionāla funkcija. Polinoma pakāpe skaitītājā ir 3 . Daļas saucēja polinoma pakāpe ir 4 . Tāpēc ka 3 < 4 , tad daļa ir pareiza. Tāpēc to var sadalīt vienkāršās frakcijās. Bet šim jums ir jāsadala saucējs faktoros.

1. Faktorizēsim saucēju. Lai to izdarītu, jums jāatrisina ceturtās pakāpes vienādojums:
.
Pieņemsim, ka tai ir vismaz viena vesela skaitļa sakne. Tad tas ir skaitļa dalītājs 2 (biedrs bez x ). Tas ir, visa sakne var būt viens no skaitļiem:
1, 2, -1, -2 .
Aizstāt x = -1 :
.

Tātad mēs esam atraduši vienu sakni x = -1 . dalīt ar x - (-1) = x + 1:


Tātad,
.

Tagad mums jāatrisina trešās pakāpes vienādojums:
.
Ja pieņemam, ka šim vienādojumam ir vesela skaitļa sakne, tad tas ir skaitļa dalītājs 2 (biedrs bez x ). Tas ir, visa sakne var būt viens no skaitļiem:
1, 2, -1, -2 .
Aizstāt x = -1 :
.

Tātad, mēs esam atraduši citu sakni x = -1 . Varētu, tāpat kā iepriekšējā gadījumā, dalīt polinomu ar , bet terminus sagrupēsim:
.

Tā kā vienādojums x 2 + 2 = 0 nav reālu sakņu, tad mēs iegūstam saucēja faktorizāciju:
.

2. Sadalīsim daļu vienkāršās. Mēs meklējam sadalījumu šādā formā:
.
Mēs atbrīvojamies no daļskaitļa saucēja, reizinām ar (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Aizstāt x = -1 . Pēc tam x + 1 = 0 ,
.

Atšķirt (3.1) :

;

.
Aizstāt x = -1 un ņem vērā, ka x + 1 = 0 :
;
; .

Aizstāt iekšā (3.1) x= 0 :
0 = 2A + 2B + D;
.

Pielīdzināt iekšā (3.1) koeficienti pie x 3 :
;
1=B+C;
.

Tātad, mēs esam atraduši sadalīšanos vienkāršās daļās:
.

3. Integrēsimies.


.

Skatīt arī:

Kā redzēsim tālāk, ne katrai elementārajai funkcijai ir integrālis, kas izteikts elementārfunkcijās. Tāpēc ir ļoti svarīgi izdalīt tādas funkciju klases, kuru integrāļi ir izteikti izteiksmē elementāras funkcijas. Vienkāršākā no šīm klasēm ir racionālo funkciju klase.

Jebkuru racionālu funkciju var attēlot kā racionālu daļu, tas ir, kā divu polinomu attiecību:

Neierobežojot argumenta vispārīgumu, pieņemsim, ka polinomiem nav kopīgu sakņu.

Ja skaitītājs ir zem saucēja pakāpes, tad daļu sauc par pareizu, pretējā gadījumā daļskaitli sauc par nepareizu.

Ja daļskaitlis ir nepareizs, dalot skaitītāju ar saucēju (saskaņā ar polinomu dalīšanas likumu), šo daļskaitli var attēlot kā polinoma un kādas regulāras daļas summu:

šeit ir polinoms, un tā ir pareiza daļa.

Piemērs t. Dota nepareiza racionāla daļa

Dalot skaitītāju ar saucēju (saskaņā ar polinomu dalīšanas likumu), iegūstam

Tā kā polinomu integrēšana nav sarežģīta, galvenās grūtības racionālo daļskaitļu integrēšanā ir pareizu racionālo daļskaitļu integrēšana.

Definīcija. Formas pareizas racionālās daļas

sauc par I, II, III un IV tipa vienkāršākajām frakcijām.

I, II un III tipa vienkāršāko frakciju integrēšana nav īpaši sarežģīta, tāpēc mēs tās integrēsim bez papildu paskaidrojumiem:

Sarežģītākiem aprēķiniem ir jāintegrē vienkāršākās IV tipa frakcijas. Dosim mums šāda veida integrāli:

Veiksim pārvērtības:

Pirmais integrālis tiek ņemts, aizstājot

Otrais integrālis - mēs to apzīmējam ar un ierakstām formā

pieņemot, ka saucēja saknes ir sarežģītas, un tāpēc mēs rīkojamies šādi:

Pārveidosim integrāli:

Integrēšana pa daļām, mums ir

Aizvietojot šo izteiksmi ar vienādību (1), mēs iegūstam

Labajā pusē ir tāda paša veida integrālis, bet integranda saucēja eksponents ir par vienu mazāks; tādējādi mēs izteicām izteiksmē . Turpinot to pašu ceļu, mēs sasniedzam labi zināmo integrāli.

Daļēji racionālas funkcijas integrācija.
Nenoteikto koeficientu metode

Mēs turpinām strādāt pie frakciju integrēšanas. Nodarbībā jau esam aplūkojuši dažu veidu daļskaitļu integrāļus, un šo nodarbību savā ziņā var uzskatīt par turpinājumu. Lai sekmīgi izprastu materiālu, ir nepieciešamas elementāras integrācijas prasmes, tādēļ, ja tikko esi sācis mācīties integrāļus, tas ir, esi tējkanna, tad jāsāk ar rakstu Nenoteikts integrālis. Risinājumu piemēri.

Savādi, bet tagad mēs nodarbosimies ne tik daudz ar integrāļu atrašanu, cik ... sistēmu risināšanu lineārie vienādojumi. Šajā savienojumā spēcīgi Iesaku apmeklēt nodarbību Proti, jums ir labi jāpārzina aizstāšanas metodes (“skolas” metode un sistēmu vienādojumu saskaitīšanas (atņemšanas) metode).

Kas ir daļēja racionāla funkcija? Vienkāršiem vārdiem sakot, daļskaitļa-racionālā funkcija ir daļa, kuras skaitītājā un saucējā ir polinomi vai polinomu reizinājumi. Tajā pašā laikā frakcijas ir sarežģītākas nekā rakstā aplūkotās. Dažu frakciju integrācija.

Pareizas frakcionētas-racionālas funkcijas integrācija

Uzreiz piemērs un tipisks algoritms daļskaitļu racionālas funkcijas integrāļa risināšanai.

1. piemērs

1. darbība. Pirmā lieta, ko mēs VIENMĒR darām, risinot racionāli-frakcionētas funkcijas integrāli, ir noskaidrot Nākamais jautājums: vai frakcija ir pareiza?Šis solis tiek veikts mutiski, un tagad es paskaidrošu, kā:

Vispirms apskatiet skaitītāju un uzziniet vecākais grāds polinoms:

Skaitītāja lielākā jauda ir divi.

Tagad paskatieties uz saucēju un uzziniet vecākais grāds saucējs. Acīmredzamais veids ir atvērt iekavas un iekļaut līdzīgus terminus, taču varat to izdarīt vienkāršāk katrs iekavās atrodiet augstāko pakāpi

un garīgi reiziniet: - tātad saucēja augstākā pakāpe ir vienāda ar trīs. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs patiešām atveram iekavas, mēs nesaņemsim grādu, kas lielāks par trim.

Secinājums: skaitītāja lielākā jauda STINGRI mazāks par saucēja lielāko pakāpju, tad daļa ir pareiza.

Ja šajā piemērā skaitītājs satur polinomu 3, 4, 5 utt. grādu, tad daļa būtu nepareizi.

Tagad mēs apsvērsim tikai pareizas frakcionētas-racionālas funkcijas. Gadījumu, kad skaitītāja pakāpe ir lielāka vai vienāda ar saucēja pakāpi, mēs analizēsim nodarbības beigās.

2. darbība Faktorizēsim saucēju. Apskatīsim mūsu saucēju:

Vispārīgi runājot, šeit jau ir faktoru rezultāts, bet tomēr mēs sev uzdodam jautājumu: vai ir iespējams paplašināt kaut ko citu? Spīdzināšanas objekts, protams, būs kvadrātveida trinomiāls. Mēs atrisinām kvadrātvienādojumu:

Diskriminants ir lielāks par nulli, kas nozīmē, ka trinomāls patiešām ir faktorizēts:

Vispārīgais noteikums: VISU, ko saucējā VAR ņemt vērā - faktorizēt

Sāksim pieņemt lēmumu:

3. darbība Izmantojot nenoteikto koeficientu metodi, mēs paplašinām integrand vienkāršo (elementāro) daļu summā. Tagad būs skaidrāk.

Apskatīsim mūsu integrand funkciju:

Un, ziniet, kaut kā uzslīd intuitīva doma, ka būtu jauki pārvērst mūsu lielo daļu vairākās mazās. Piemēram, šādi:

Rodas jautājums, vai tas vispār ir iespējams? Atviegloti uzelposim, atbilstošā matemātiskās analīzes teorēma nosaka - IR IESPĒJAMS. Šāda sadalīšanās pastāv un ir unikāla.

Ir tikai viens loms, koeficienti mēs Uz redzēšanos mēs nezinām, tāpēc nosaukums - nenoteikto koeficientu metode.

Jūs uzminējāt, turpmākie žesti, tāpēc neķeksējiet! būs vērsta uz to, lai tos vienkārši APMĀCĪtos – lai uzzinātu, ar ko viņi ir līdzvērtīgi.

Esiet uzmanīgi, es reiz paskaidroju sīkāk!

Tātad, sāksim dejot no:

Kreisajā pusē izteiksmei tiek pievienots kopsaucējs:

Tagad mēs droši atbrīvojamies no saucējiem (jo tie ir vienādi):

Kreisajā pusē mēs atveram iekavas, kamēr nezināmajiem koeficientiem vēl nepieskaramies:

Tajā pašā laikā mēs atkārtojam skolas noteikums polinomu reizināšana. Kad es biju skolotājs, es iemācījos pateikt šo noteikumu ar taisnu seju: Lai reizinātu polinomu ar polinomu, jums ir jāreizina katrs viena polinoma termins ar katru otra polinoma vārdu.

No skaidra skaidrojuma viedokļa labāk ir likt koeficientus iekavās (lai gan es personīgi to nekad nedaru, lai ietaupītu laiku):

Mēs veidojam lineāru vienādojumu sistēmu.
Pirmkārt, mēs meklējam vecākos grādus:

Un mēs ierakstām atbilstošos koeficientus sistēmas pirmajā vienādojumā:

Nu atcerieties šādu niansi. Kas notiktu, ja labā puse vispār nepastāvētu? Sakiet, vai tas vienkārši parādītos bez kvadrāta? Šajā gadījumā sistēmas vienādojumā labajā pusē būtu jāliek nulle: . Kāpēc nulle? Un tāpēc, ka labajā pusē jūs vienmēr varat attiecināt šo pašu kvadrātu ar nulli: Ja labajā pusē nav mainīgo vai (un) brīva vārda, tad sistēmas atbilstošo vienādojumu labajā pusē ievietojam nulles.

Mēs ierakstām atbilstošos koeficientus sistēmas otrajā vienādojumā:

Un, visbeidzot, minerālūdens, mēs izvēlamies bezmaksas biedrus.

Eh,... es jokoju. Jokus malā - matemātika ir nopietna zinātne. Mūsu institūta grupā neviens nesmējās, kad docente teica, ka izkaisīs biedrus pa skaitļa taisni un izvēlēsies lielāko no tiem. Kļūsim nopietni. Lai gan ... kurš dzīvo līdz šīs nodarbības beigām, tas joprojām klusi pasmaidīs.

Sistēma gatava:

Mēs atrisinām sistēmu:

(1) No pirmā vienādojuma mēs to izsakām un aizstājam sistēmas 2. un 3. vienādojumā. Faktiski varēja izteikt (vai citu burtu) no cita vienādojuma, bet šajā gadījumā ir izdevīgi to izteikt no 1. vienādojuma, jo mazākās izredzes.

(2) Mēs piedāvājam līdzīgus terminus 2. un 3. vienādojumā.

(3) Mēs saskaitām 2. un 3. vienādojumu pa vārdam, iegūstot vienādību , no kā izriet, ka

(4) Mēs aizvietojam ar otro (vai trešo) vienādojumu, no kura mēs to atrodam

(5) Mēs aizstājam un pirmajā vienādojumā, iegūstot .

Ja jums ir grūtības ar sistēmas risināšanas metodēm, izstrādājiet tās klasē. Kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu?

Pēc sistēmas atrisināšanas vienmēr ir lietderīgi veikt pārbaudi - aizstāt atrastās vērtības katrā sistēmas vienādojums, kā rezultātā visam vajadzētu “saplūst”.

Gandrīz ieradās. Tiek atrasti koeficienti, kamēr:

Tīram darbam vajadzētu izskatīties apmēram šādi:

Kā redzams, galvenā uzdevuma grūtība bija sastādīt (pareizi!) un atrisināt (pareizi!) lineāro vienādojumu sistēmu. Un pēdējā posmā viss nav tik grūti: mēs izmantojam linearitātes īpašības nenoteikts integrālis un integrēt. Es vēršu jūsu uzmanību uz to, ka zem katra no trim integrāļiem mums ir “bezmaksas” sarežģīta funkcija, es runāju par tās integrācijas iezīmēm nodarbībā Mainīgo izmaiņu metode nenoteiktā integrālā.

Pārbaudiet: nošķiriet atbildi:

Tika iegūts sākotnējais integrands, kas nozīmē, ka integrālis tika atrasts pareizi.
Pārbaudes laikā izteiksme bija jāsavieno ar kopsaucēju, un tas nav nejauši. Nenoteikto koeficientu metode un izteiksmes nodošana kopsaucējam ir savstarpēji apgrieztas darbības.

2. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Atgriezīsimies pie pirmā piemēra daļas: . Ir viegli redzēt, ka saucējā visi faktori ir DAŽĀDI. Rodas jautājums, ko darīt, ja, piemēram, tiek dota šāda daļa: ? Šeit mums ir grādi saucējā jeb, matemātiskā izteiksmē, vairāki faktori. Turklāt ir nesadalāms kvadrātveida trinomiāls (ir viegli pārbaudīt, vai vienādojuma diskriminants ir negatīvs, tāpēc trinomu nekādā veidā nevar ņemt vērā). Ko darīt? Izvērsums elementāro daļu summā izskatīsies šādi ar nezināmiem koeficientiem augšā vai kā citādi?

3. piemērs

Iesniedziet funkciju

1. darbība. Pārbauda, ​​vai mums ir pareiza daļa
Skaitītāja lielākā jauda: 2
Lielākais saucējs: 8
, tāpēc daļa ir pareiza.

2. darbība Vai saucējā var kaut ko ņemt vērā? Acīmredzot nē, viss jau ir izklāstīts. Kvadrātveida trinomija iepriekš minēto iemeslu dēļ neizvēršas par produktu. Labi. Mazāk darba.

3. darbība Atveidosim daļskaitļu-racionālu funkciju kā elementāro daļu summu.
Šajā gadījumā sadalīšanai ir šāda forma:

Apskatīsim mūsu saucēju:
Sadalot daļskaitļu racionālu funkciju elementāro daļu summā, var izdalīt trīs pamatpunktus:

1) Ja saucējā pirmajā pakāpē ir “vientuļš” koeficients (mūsu gadījumā), tad augšpusē (mūsu gadījumā) liekam nenoteiktu koeficientu. Piemēri Nr. 1,2 sastāvēja tikai no šādiem "vientuļiem" faktoriem.

2) Ja saucējs satur vairākas reizinātājs, tad jums ir jāsadala šādi:
- tas ir, secīgi kārtojiet visas "x" pakāpes no pirmās līdz n-tajai pakāpei. Mūsu piemērā ir divi vairāki faktori: un , vēlreiz apskatiet manis sniegto sadalījumu un pārliecinieties, ka tie ir sadalīti tieši saskaņā ar šo noteikumu.

3) Ja saucējs satur nesadalāmu otrās pakāpes polinomu (mūsu gadījumā), tad, paplašinot skaitītāju, jums jāraksta lineārā funkcija ar nenoteiktiem koeficientiem (mūsu gadījumā ar nenoteiktiem koeficientiem un ).

Patiesībā ir arī ceturtais gadījums, bet es par to klusēšu, jo praksē tas ir ārkārtīgi reti.

4. piemērs

Iesniedziet funkciju kā elementārdaļskaitļu summa ar nezināmiem koeficientiem.

Šis ir piemērs priekš neatkarīgs lēmums. Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Stingri ievērojiet algoritmu!

Ja esat izdomājis principus, pēc kuriem daļēja-racionāla funkcija jāsadala summā, tad varat uzlauzt gandrīz jebkuru aplūkojamā veida integrāli.

5. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

1. darbība. Acīmredzot frakcija ir pareiza:

2. darbība Vai saucējā var kaut ko ņemt vērā? Var. Šeit ir kubu summa . Saucēja faktorēšana, izmantojot saīsināto reizināšanas formulu

3. darbība Izmantojot nenoteikto koeficientu metodi, integrandu izvēršam elementāro daļu summā:

Ņemiet vērā, ka polinoms ir nesadalāms (pārbaudiet, vai diskriminants ir negatīvs), tāpēc augšpusē ievietojam lineāru funkciju ar nezināmiem koeficientiem, nevis tikai vienu burtu.

Mēs apvienojam daļu līdz kopsaucējam:

Izveidosim un atrisināsim sistēmu:

(1) No pirmā vienādojuma mēs izsakām un aizstājam sistēmas otro vienādojumu (tas ir racionālākais veids).

(2) Mēs piedāvājam līdzīgus terminus otrajā vienādojumā.

(3) Sistēmas otro un trešo vienādojumu saskaitām pa vārdam.

Visi turpmākie aprēķini principā ir mutiski, jo sistēma ir vienkārša.

(1) Daļskaitļu summu pierakstām atbilstoši atrastajiem koeficientiem .

(2) Mēs izmantojam nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašības. Kas notika otrajā integrālī? Šo metodi varat atrast nodarbības pēdējā rindkopā. Dažu frakciju integrācija.

(3) Atkal mēs izmantojam linearitātes īpašības. Trešajā integrālī mēs sākam izolēt pilns kvadrāts(nodarbības priekšpēdējā rindkopa Dažu frakciju integrācija).

(4) Ņemam otro integrāli, trešajā izvēlamies pilno kvadrātu.

(5) Mēs ņemam trešo integrāli. Gatavs.

Daļu sauc pareizi ja skaitītāja lielākā pakāpe ir mazāka par saucēja lielāko. Pareizas racionālās daļas integrālim ir šāda forma:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Racionālo daļu integrēšanas formula ir atkarīga no polinoma saknēm saucējā. Ja polinomam $ ax^2+bx+c $ ir:

1. Tikai sarežģītas saknes, tad no tā jāizvēlas pilns kvadrāts: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 14:00 a ^2) $$
2. Dažādas reālās saknes $ x_1 $ un $ x_2 $, tad ir jāizvērš integrālis un jāatrod nenoteiktie koeficienti $ A $ un $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Viena daudzkārtēja sakne $ x_1 $, tad izvēršam integrāli un atrodam nenoteiktos koeficientus $ A $ un $ B $ šai formulai: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Ja frakcija ir nepareizi, tas ir, augstākā pakāpe skaitītājā ir lielāka vai vienāda ar saucēja augstāko pakāpi, tad vispirms tā jāsamazina līdz pareizi prāts, dalot polinomu no skaitītāja ar polinomu no saucēja. Šajā gadījumā racionālās daļas integrēšanas formula ir šāda:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Risinājumu piemēri

1. piemērs

Atrodiet racionālas daļskaitļa integrāli: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Risinājums

Daļa ir regulāra, un polinomam ir tikai sarežģītas saknes. Tāpēc mēs izvēlamies pilnu kvadrātu: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Mēs sakļaujam pilnu kvadrātu un summējam zem diferenciālzīmes $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Izmantojot integrāļu tabulu, mēs iegūstam: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Ja nevarat atrisināt savu problēmu, nosūtiet to mums. Mēs sniegsim detalizētu risinājumu. Varēsiet iepazīties ar aprēķina gaitu un apkopot informāciju. Tas palīdzēs jums savlaicīgi saņemt kredītu no skolotāja!

Atbilde

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

2. piemērs

Integrēt racionālās daļas: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Risinājums

Atrisiniet kvadrātvienādojumu: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Pierakstīsim saknes: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Ņemot vērā iegūtās saknes, mēs pārveidojam integrāli: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Mēs veicam racionālas daļas paplašināšanu: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Pielīdziniet skaitītājus un atrodiet koeficientus $ A $ un $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(gadījumi) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(gadījumi) $$ $$ \begin(cases) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ Atrastos koeficientus aizstājam integrālā un atrisinām: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Atbilde

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$