Kompleksie integrāļi
Šis raksts pabeidz tēmu par nenoteiktajiem integrāļiem, un tajā ir iekļauti integrāļi, kurus es uzskatu par diezgan sarežģītiem. Nodarbība tika izveidota pēc vairākkārtēja apmeklētāju lūguma, kuri izteica vēlmi, lai vietnē tiktu analizēti sarežģītāki piemēri.
Tiek pieņemts, ka šī teksta lasītājs ir labi sagatavojies un zina, kā pielietot integrācijas pamatmetodes. Manekeniem un cilvēkiem, kuri nav ļoti pārliecināti par integrāļiem, vajadzētu atsaukties uz pašu pirmo nodarbību - Nenoteikts integrālis. Risinājumu piemēri kur var apgūt tēmu gandrīz no nulles. Pieredzējuši studenti var iepazīties ar integrācijas paņēmieniem un metodēm, kas manos rakstos vēl nav sastaptas.
Kādi integrāļi tiks ņemti vērā?
Pirmkārt, mēs aplūkojam integrāļus ar saknēm, kuru risināšanai mēs secīgi izmantojam mainīgā aizstāšana Un integrācija pa daļām. Tas ir, vienā piemērā divas metodes ir apvienotas vienlaikus. Un vēl vairāk.
Tad iepazīsimies ar interesantu un oriģinālu metode integrāļa reducēšanai uz sevi. Šādā veidā tiek atrisināts ne tik maz integrāļu.
Trešais programmas numurs būs komplekso daļskaitļu integrāļi, kas iepriekšējos rakstos lidoja garām kases aparātam.
Ceturtkārt, tiks analizēti papildu integrāļi no trigonometriskajām funkcijām. Jo īpaši ir metodes, kas ļauj izvairīties no laikietilpīgas universālas trigonometriskās aizstāšanas.
(2) B integrand dalīt skaitītāju ar saucēja vārdu ar terminu.
(3) Mēs izmantojam nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašību. Pēdējā integrālī nekavējoties novietojiet funkciju zem diferenciāļa zīmes.
(4) Mēs ņemam atlikušos integrāļus. Ņemiet vērā, ka logaritmā varat izmantot iekavas, nevis moduli, jo .
(5) Mēs veicam apgriezto aizstāšanu, izsakot no tiešās aizstāšanas "te":
Mazohistiski studenti var atšķirt atbildi un iegūt sākotnējo integrandu, kā es tikko darīju. Nē, nē, es pārbaudīju pareizajā nozīmē =)
Kā redzams, risinājuma gaitā bija jāizmanto pat vairāk nekā divas risinājuma metodes, tāpēc, lai tiktu galā ar šādiem integrāļiem, nepieciešamas pārliecinošas integrācijas prasmes un ne mazākā pieredze.
Praksē, protams, kvadrātsakne ir izplatītāka, šeit ir trīs piemēri neatkarīgs risinājums:
2. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
3. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
4. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
Šie piemēri ir viena veida, tāpēc pilnais risinājums raksta beigās būs tikai 2. piemēram, 3.-4. piemēros - viena atbilde. Kādu aizstājēju izmantot lēmumu pieņemšanas sākumā, manuprāt, ir skaidrs. Kāpēc es izvēlējos tāda paša veida piemērus? Bieži sastopams viņu lomās. Biežāk, iespējams, tikai kaut kas līdzīgs 
.
Bet ne vienmēr, kad zem arktangensa, sinusa, kosinusa, eksponenta un citām funkcijām ir sakne lineārā funkcija, ir nepieciešams piemērot vairākas metodes vienlaikus. Vairākos gadījumos ir iespējams “nokāpt viegli”, tas ir, uzreiz pēc nomaiņas tiek iegūts vienkāršs integrālis, kas tiek ņemts elementāri. Vienkāršākais no iepriekš piedāvātajiem uzdevumiem ir 4. piemērs, kurā pēc aizstāšanas tiek iegūts salīdzinoši vienkāršs integrālis.
Integrāļa reducēšanas metode uz sevi
Gudra un skaista metode. Apskatīsim žanra klasiku:
5. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
Zem saknes ir kvadrātveida binomiāls, un, mēģinot integrēt šo piemēru, tējkanna var ciest stundām ilgi. Šādu integrāli ņem pa daļām un reducē uz sevi. Principā tas nav grūti. Ja zini kā.
Apzīmēsim aplūkoto integrāli ar latīņu burtu un sāksim risinājumu: 
Integrēšana pa daļām: 
(1) Mēs sagatavojam integrandu dalīšanai pa terminiem.
(2) Mēs sadalām integrandu ar terminu. Varbūt ne visi saprot, es uzrakstīšu sīkāk:
(3) Mēs izmantojam nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašību.
(4) Mēs ņemam pēdējo integrāli ("garo" logaritmu).
Tagad apskatīsim pašu risinājuma sākumu: 
Un nobeigumam: 
Kas notika? Mūsu manipulāciju rezultātā integrālis ir reducēts uz sevi!
Pielīdziniet sākumu un beigas: 
Pārbraucam uz kreiso pusi ar zīmes maiņu: 
Un mēs nojaucam divnieku uz labo pusi. Rezultātā: 
Konstante, stingri ņemot, bija jāpievieno agrāk, bet es to pievienoju beigās. Es ļoti iesaku izlasīt šeit, kāda ir smaguma pakāpe:
Piezīme:
Precīzāk, risinājuma pēdējais posms izskatās šādi:
Tādējādi:
Konstanti var pārdēvēt ar . Kāpēc jūs varat pārdēvēt? Jo tas joprojām prasa jebkura vērtības, un šajā ziņā nav atšķirības starp konstantēm un.
Rezultātā:
Līdzīgs triks ar pastāvīgu pārdēvēšanu tiek plaši izmantots diferenciālvienādojumi. Un tur es būšu stingrs. Un te šādas brīvības es pieļauju tikai tāpēc, lai nesajauktu jūs ar liekām lietām un pievērstos pašai integrācijas metodei.
6. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
Vēl viens tipisks neatkarīga risinājuma integrāls. Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās. Atšķirība ar iepriekšējā piemēra atbildi būs!
Ja kvadrātsakne ir kvadrātveida trinomāls, tad risinājums jebkurā gadījumā tiek samazināts līdz diviem analizētiem piemēriem.
Piemēram, apsveriet integrāli 
. Viss, kas jums jādara, ir iepriekš atlasiet pilnu kvadrātu:
.
Tālāk tiek veikta lineāra nomaiņa, kas izdodas "bez jebkādām sekām":
, kā rezultātā veidojas integrālis . Kaut kas pazīstams, vai ne?
Vai šis piemērs ar kvadrātveida binomiālu:
Pilna kvadrāta atlase:
Un pēc lineāras aizstāšanas iegūstam integrāli , ko arī atrisina jau aplūkotais algoritms.
Apsveriet vēl divus tipiskus piemērus, kā reducēt integrāli uz sevi:
ir eksponenta integrālis, kas reizināts ar sinusu;
ir eksponenta integrālis, kas reizināts ar kosinusu.
Norādītajos integrāļos pa daļām jums būs jāintegrē jau divas reizes:
7. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
Integrands ir eksponents, kas reizināts ar sinusu.
Mēs integrējam pa daļām divreiz un samazinām integrāli uz sevi: 
Dubultās integrācijas pa daļām rezultātā integrālis tiek reducēts uz sevi. Pielīdziniet risinājuma sākumu un beigas:
Mēs pārejam uz kreiso pusi ar zīmes maiņu un izsakām savu integrāli: 
Gatavs. Pa ceļam vēlams izķemmēt labo pusi, t.i. izņemiet eksponentu no iekavām un ievietojiet sinusu un kosinusu iekavās “skaistajā” secībā.
Tagad atgriezīsimies pie piemēra sākuma vai drīzāk pie integrācijas pa daļām: 
Jo mēs esam norādījuši izstādes dalībnieku. Rodas jautājums, tieši eksponents vienmēr ir jāapzīmē ar ? Nav nepieciešams. Faktiski aplūkotajā integrālī principiāli nav nozīmes, ko apzīmēt, varētu iet arī citādi: 
Kāpēc tas ir iespējams? Tā kā eksponents pārvēršas par sevi (diferencējot un integrējot), sinuss un kosinuss savstarpēji pārvēršas viens otrā (atkal gan diferencējot, gan integrējot).
Tas nozīmē, ka var apzīmēt arī trigonometrisko funkciju. Bet aplūkotajā piemērā tas ir mazāk racionāli, jo parādīsies frakcijas. Ja vēlaties, varat mēģināt atrisināt šo piemēru otrā veidā, atbildēm jābūt vienādām.
8. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
Šis ir “dari pats” piemērs. Pirms lēmuma pieņemšanas padomājiet par to, ko šajā gadījumā ir izdevīgāk apzīmēt eksponenciālai vai trigonometriskai funkcijai? Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Un, protams, neaizmirstiet, ka lielāko daļu atbilžu šajā nodarbībā ir diezgan viegli pārbaudīt, diferencējot!
Piemēri netika uzskatīti par grūtākajiem. Praksē biežāk sastopami integrāļi, kur konstante ir gan eksponentā, gan trigonometriskās funkcijas argumentā, piemēram: . Daudziem cilvēkiem nāksies apjukt šādā integrālī, un es pats bieži apjūku. Fakts ir tāds, ka risinājumā ir liela varbūtība, ka parādīsies frakcijas, un ir ļoti viegli kaut ko zaudēt neuzmanības dēļ. Turklāt zīmēs ir liela kļūdu iespējamība, ņemiet vērā, ka eksponentā ir mīnusa zīme, un tas rada papildu grūtības.
Pēdējā posmā bieži izrādās kaut kas līdzīgs šim:
Pat risinājuma beigās jums jābūt ārkārtīgi uzmanīgam un pareizi jārīkojas ar frakcijām: 
Sarežģītu frakciju integrēšana
Mēs lēnām tuvojamies nodarbības ekvatoram un sākam apsvērt daļskaitļu integrāļus. Atkal, ne visi no tiem ir ļoti sarežģīti, tikai viena vai otra iemesla dēļ piemēri citos rakstos bija nedaudz “nepatīkami”.
Turpinot sakņu tēmu
9. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
Saucējā zem saknes ir kvadrātveida trinomināls plus ārpus saknes "pielikums" "X" formā. Šīs formas integrālis tiek atrisināts, izmantojot standarta aizstāšanu.
Mēs nolemjam: 
Aizvietošana šeit ir vienkārša: 
Skatoties uz dzīvi pēc nomaiņas: 
(1) Pēc aizstāšanas mēs reducējam terminus zem saknes līdz kopsaucējam.
(2) Mēs to izņemam no saknes.
(3) Mēs samazinām skaitītāju un saucēju par . Tajā pašā laikā zem saknes es pārkārtoju terminus ērtā secībā. Ar zināmu pieredzi, darbības (1), (2) var izlaist, veicot komentētās darbības mutiski.
(4) Iegūtais integrālis, kā jūs atceraties no nodarbības Dažu frakciju integrācija, ir atrisināts ekstrakcijas metode pilns kvadrāts
. Atlasiet pilnu kvadrātu.
(5) Integrējot mēs iegūstam parastu "garu" logaritmu.
(6) Mēs veicam apgriezto nomaiņu. Ja sākotnēji , tad atpakaļ: .
(7) Pēdējā darbība ir vērsta uz rezultāta frizūru: zem saknes mēs atkal apvienojam terminus līdz kopsaucējam un izņemam tos no saknes.
10. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli 
Šis ir “dari pats” piemērs. Šeit vienīgajam x tiek pievienota konstante, un aizstāšana ir gandrīz tāda pati: 
Vienīgais, kas jādara papildus, ir izteikt "x" no aizstāšanas: 
Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Dažreiz šādā integrālī zem saknes var būt kvadrātveida binomiāls, tas nemaina risinājuma veidu, tas būs pat vienkāršāk. Sajūti atšķirību:
11. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
12. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
Īsi risinājumi un atbildes nodarbības beigās. Jāatzīmē, ka 11. piemērs ir tieši tāds binominālais integrālis, kuras risināšanas metode tika aplūkota nodarbībā Iracionālo funkciju integrāļi.
2. pakāpes nesadalāma polinoma integrālis līdz pakāpei
(polinoms saucējā)
Retāk, bet tomēr tikšanās praktiski piemēri integrāļa veids.
13. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
Bet atpakaļ pie piemēra ar laimīgo skaitli 13 ( godīgi, neuzminēju). Šis integrālis ir arī no to kategorijas, ar kurām jūs varat ciest, ja nezināt, kā to atrisināt.
Risinājums sākas ar mākslīgu transformāciju: 
Domāju, ka visi jau saprot, kā dalīt skaitītāju ar saucēja vārdu ar terminu.
Iegūtais integrālis tiek ņemts pa daļām: 
Formas integrālim ( – dabiskais skaitlis) atvasināts atkārtojas pazemināšanas formula:
, Kur 
ir zemākas pakāpes integrālis.
Pārbaudīsim šīs formulas derīgumu atrisinātajam integrālim.
Šajā gadījumā: , , mēs izmantojam formulu: 
Kā redzat, atbildes ir vienādas.
14. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
Šis ir “dari pats” piemērs. Parauga šķīdumā iepriekšminētā formula tiek izmantota divas reizes pēc kārtas.
Ja zem grāda ir nesadalāms kvadrātveida trinomu, tad risinājums tiek reducēts līdz binomam, izvelkot pilnu kvadrātu, piemēram:
Ko darīt, ja skaitītājā ir papildu polinoms? Šajā gadījumā tiek izmantota nenoteikto koeficientu metode, un integrands tiek izvērsts daļskaitļu summā. Bet manā praksē šādu piemēru nekad nav satikušies, tāpēc es izlaidu šo gadījumu rakstā Daļskaitļa-racionālas funkcijas integrāļi, es to tagad izlaidīšu. Ja šāds integrālis joprojām parādās, skatiet mācību grāmatu - tur viss ir vienkārši. Neuzskatu par lietderīgu iekļaut materiālu (pat vienkāršu), ar kuru satikšanās varbūtība tiecas uz nulli.
Sarežģītu trigonometrisko funkciju integrācija
Īpašības vārds "grūti" lielākajā daļā piemēru atkal lielā mērā ir nosacīts. Sāksim ar tangensiem un kotangensiem augstas pakāpes. No pieskares atrisināšanai izmantoto metožu viedokļa un kotangenss ir gandrīz vienādas, tāpēc es vairāk runāšu par tangensu, proti, demonstrētā integrāļa risināšanas metode ir derīga arī kotangensam.
Iepriekš minētajā nodarbībā mēs apskatījām universāla trigonometriskā aizstāšana noteikta veida trigonometrisko funkciju integrāļu risināšanai. Universālās trigonometriskās aizstāšanas trūkums ir tāds, ka tās izmantošana bieži rada apgrūtinošus integrāļus ar sarežģītiem aprēķiniem. Un dažos gadījumos var izvairīties no universālās trigonometriskās aizstāšanas!
Apsveriet vēl vienu kanonisku piemēru, vienotības integrāli, kas dalīts ar sinusu:
17. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
Šeit jūs varat izmantot universālo trigonometrisko aizstāšanu un iegūt atbildi, taču ir arī racionālāks veids. Es sniegšu pilnīgu risinājumu ar komentāriem katram solim:
(1) Mēs izmantojam trigonometrisko formulu dubultā leņķa sinusam.
(2) Veicam mākslīgo pārveidošanu: saucējā dalām un reizinam ar .
(3) Saskaņā ar labi zināmo formulu saucējā mēs daļu pārvēršam par tangensu.
(4) Mēs novietojam funkciju zem diferenciāļa zīmes.
(5) Mēs ņemam integrāli.
Pāris vienkāršus piemērus neatkarīgam risinājumam:
18. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
Padoms: pats pirmais solis ir izmantot samazināšanas formulu 
un rūpīgi veiciet darbības, kas līdzīgas iepriekšējam piemēram.
19. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
Nu, šis ir ļoti vienkāršs piemērs.
Pilnīgi risinājumi un atbildes nodarbības beigās.
Es domāju, ka tagad nevienam nebūs problēmu ar integrāļiem: 
un tā tālāk.
Kāda ir metodes ideja? Ideja ir tāda, ka ar transformāciju palīdzību trigonometriskās formulas sakārtot integrandā tikai pieskares un pieskares atvasinājumu. Tas ir, mēs runājam par aizstāšanu: 
. 17.–19. piemēros mēs faktiski izmantojām šo aizstāšanu, taču integrāļi bija tik vienkārši, ka tas tika izdarīts ar līdzvērtīgu darbību - funkciju ievietojot zem diferenciālzīmes.
Līdzīgu argumentāciju, kā jau minēju, var veikt kotangensam.
Iepriekš minētās aizstāšanas piemērošanai ir arī formāls priekšnoteikums:
Kosinusa un sinusa pakāpju summa ir negatīvs vesels PĀR skaitlis, Piemēram:
integrālim, vesels skaitlis, negatīvs PĀR skaitlis.
! Piezīme : ja integrands satur TIKAI sinusu vai TIKAI kosinusu, tad integrālis tiek ņemts pat ar negatīvu nepāra pakāpi (vienkāršākie gadījumi ir piemēros Nr. 17, 18).
Apsveriet dažus nozīmīgākus šī noteikuma uzdevumus:
20. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
Sinusa un kosinusa pakāpju summa: 2 - 6 \u003d -4 - negatīvs vesels skaitlis PĀRĀTS, kas nozīmē, ka integrāli var reducēt līdz tangensiem un tā atvasinājumam: 
(1) Pārveidosim saucēju.
(2) Saskaņā ar labi zināmo formulu mēs iegūstam .
(3) Pārveidosim saucēju.
(4) Mēs izmantojam formulu 
.
(5) Mēs novietojam funkciju zem diferenciālzīmes.
(6) Mēs veicam nomaiņu. Pieredzējuši studenti var neveikt nomaiņu, bet tomēr labāk ir aizstāt tangensu ar vienu burtu - ir mazāks sajaukšanas risks.
21. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli
Šis ir “dari pats” piemērs.
Turies, sākas čempionāta kārtas =)
Bieži vien integrandā ir "savienojums":
22. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli 
Šis integrālis sākotnēji satur tangensu, kas uzreiz liek domāt par jau pazīstamu domu:
Mākslīgo pārveidošanu atstāšu pašā sākumā un pārējos soļus bez komentāriem, jo viss jau ir teikts iepriekš.
Pāris radošu piemēru neatkarīgam risinājumam:
23. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli 
24. piemērs
Atrodiet nenoteikto integrāli 
Jā, tajos, protams, var pazemināt sinusa, kosinusa pakāpes, izmantot universālo trigonometrisko aizstāšanu, taču risinājums būs daudz efektīvāks un īsāks, ja to zīmēs caur tangentēm. Pilns risinājums un atbildes nodarbības beigās
Parādīts, ka sin x un cos x pakāpju funkciju reizinājuma integrāli var reducēt līdz diferenciālbinoma integrālim. Eksponentu veselām vērtībām šādus integrāļus var viegli aprēķināt daļās vai izmantojot samazināšanas formulas. Ir dota reducēšanas formulu atvasināšana. Ir dots šāda integrāļa aprēķina piemērs.
SatursSkatīt arī:
Nenoteiktu integrāļu tabula
Samazinājums līdz diferenciālā binoma integrālim
Apsveriet formas integrāļus:
Šādi integrāļi tiek reducēti līdz viena aizvietojuma diferenciālā binoma integrālim t = grēks x vai t= cos x.
Pierādīsim to, aizstājot
t = grēks x.
Tad
dt = (sin x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x \u003d 1 - grēks 2 x \u003d 1 - t 2;
Ja m un n ir racionāli skaitļi, tad jāizmanto diferenciālās binomiālās integrācijas metodes.
Integrācija ar veseliem skaitļiem m un n
Pēc tam apsveriet gadījumu, kad m un n ir veseli skaitļi (nav obligāti pozitīvi). Šajā gadījumā integrands ir racionāla funkcija grēks x Un cos x. Tāpēc var piemērot noteikumus, kas izklāstīti sadaļā "Trigonometrisko racionālo funkciju integrācija".
Taču, ņemot vērā specifiskās iezīmes, vienkāršāk ir izmantot reducēšanas formulas, kuras viegli iegūt, integrējot pa daļām.
Lietās formulas
Integrāļa samazināšanas formulas
izskatās ka:
;
;
;
.
Tie nav jāiegaumē, jo tos var viegli iegūt, integrējot pa daļām.
Redukcijas formulu pierādījums
Mēs integrējam pa daļām.
Reizinot ar m + n, mēs iegūstam pirmo formulu:
Līdzīgi mēs iegūstam otro formulu.
Mēs integrējam pa daļām.
Reizinot ar m + n, mēs iegūstam otro formulu:
Trešā formula.
Mēs integrējam pa daļām.
Reizinot ar n + 1
, mēs iegūstam trešo formulu:
Tāpat arī ceturtajai formulai.
Mēs integrējam pa daļām.
Reizinot ar m + 1
, mēs iegūstam ceturto formulu:
Piemērs
Aprēķināsim integrāli:
Pārveidosim:
Šeit m = 10, n = - 4.
Mēs izmantojam samazināšanas formulu:
Par m = 10, n = - 4:
Par m = 8, n = - 2:
Mēs izmantojam samazināšanas formulu:
Par m = 6, n = - 0:
Par m = 4, n = - 0:
Par m = 2, n = - 0:
Mēs aprēķinām atlikušo integrāli:
Mēs apkopojam starprezultātus vienā formulā.
Atsauces:
N.M. Ginters, R.O. Kuzmins, Augstākās matemātikas uzdevumu krājums, Lan, 2003.
Galvenie integrāļi, kas jāzina katram studentam
Uzskaitītie integrāļi ir pamats, pamatu pamats. Šīs formulas, protams, ir jāatceras. Aprēķinot sarežģītākus integrāļus, tie būs pastāvīgi jāizmanto.
Maksājiet Īpaša uzmanība uz formulām (5), (7), (9), (12), (13), (17) un (19). Integrējot neaizmirstiet atbildei pievienot patvaļīgu konstanti C!
Konstantes integrālis
∫ A d x = A x + C (1)Jaudas funkciju integrācija
Patiesībā varētu aprobežoties ar formulām (5) un (7), bet pārējie šīs grupas integrāļi ir tik izplatīti, ka ir vērts tiem pievērst nelielu uzmanību.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Eksponenciālās funkcijas un hiperbolisko funkciju integrāļi
Protams, formulu (8) (varbūt ērtāko atcerēties) var uzskatīt par formulas (9) īpašu gadījumu. Formulas (10) un (11) hiperboliskā sinusa un hiperboliskā kosinusa integrāļiem ir viegli atvasināmas no formulas (8), taču labāk ir tikai atcerēties šīs attiecības.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Trigonometrisko funkciju pamatintegrāļi
Kļūda, ko bieži pieļauj skolēni: viņi sajauc zīmes formulās (12) un (13). Atceroties, ka sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu, nez kāpēc daudzi uzskata, ka sinx funkcijas integrālis ir vienāds ar cosx. Tā nav taisnība! Sinusa integrālis ir "mīnus kosinuss", bet cosx integrālis ir "tikai sinuss":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integrāļi, kas reducējas uz apgrieztām trigonometriskām funkcijām
Formula (16), kas ved uz loka tangensu, dabiski ir īpašs formulas (17) gadījums, ja a=1. Līdzīgi (18) ir (19) īpašs gadījums.
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Sarežģītāki integrāļi
Šīs formulas ir arī vēlams atcerēties. Tos arī izmanto diezgan bieži, un to izlaide ir diezgan nogurdinoša.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 loks x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a > 0) (24)
Vispārīgi integrācijas noteikumi
1) Divu funkciju summas integrālis ir vienāds ar atbilstošo integrāļu summu: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Divu funkciju starpības integrālis ir vienāds ar atbilstošo integrāļu starpību: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Konstanti var izņemt no integrāļa zīmes: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Ir viegli saprast, ka īpašība (26) ir vienkārši īpašību (25) un (27) kombinācija.
4) Sarežģītas funkcijas integrālis, ja iekšējā funkcija ir lineāra: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Šeit F(x) ir funkcijas f(x) antiatvasinājums. Ņemiet vērā, ka šī formula darbojas tikai tad, ja iekšējā funkcija ir Ax + B.
Svarīgi: nav universālas formulas divu funkciju reizinājuma integrālim, kā arī daļskaitļa integrālim:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (trīsdesmit)
Tas, protams, nenozīmē, ka daļu vai produktu nevar integrēt. Vienkārši katru reizi, ieraugot tādu integrāli kā (30), ir jāizgudro veids, kā ar to "cīnīties". Dažos gadījumos jums palīdzēs integrācija pa daļām, kaut kur jums būs jāmaina mainīgais, un dažreiz var palīdzēt pat algebras vai trigonometrijas "skolas" formulas.
Vienkāršs piemērs nenoteiktā integrāļa aprēķināšanai
1. piemērs. Atrodiet integrāli: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xIzmantojam formulas (25) un (26) (funkciju summas vai starpības integrālis ir vienāds ar atbilstošo integrāļu summu vai starpību. Iegūstam: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Atgādinām, ka konstanti var izņemt no integrāļa zīmes (formula (27)). Izteiksme tiek pārvērsta formā
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e∫ x d x + 12 ∫ 1 d x
Tagad izmantosim tikai pamata integrāļu tabulu. Mums būs jāpiemēro formulas (3), (12), (8) un (1). Integrēsim jaudas funkciju, sinusu, eksponentu un konstanti 1. Neaizmirstiet beigās pievienot patvaļīgu konstanti C:
3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C
Pēc elementārām pārvērtībām mēs iegūstam galīgo atbildi:
X 3 – 2 cos x – 7 e x + 12 x + C
Pārbaudiet sevi ar diferenciāciju: ņemiet iegūtās funkcijas atvasinājumu un pārliecinieties, vai tas ir vienāds ar sākotnējo integrandu.
Integrāļu kopsavilkuma tabula
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = log | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 loksn x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a > 0) |
Lejupielādējiet integrāļu tabulu (II daļa) no šīs saites
Ja studējat universitātē, ja jums ir grūtības ar augstāko matemātiku ( matemātiskā analīze, lineārā algebra, varbūtību teorija, statistika), ja nepieciešami kvalificēta skolotāja pakalpojumi, dodieties uz augstākās matemātikas pasniedzēja lapu. Atrisināsim jūsu problēmas kopā!
Jūs arī varētu interesēt
Sveiki vēlreiz, draugi!
Kā jau solīju, no šīs nodarbības sāksim sērfot pa nebeidzamajiem integrāļu poētiskās pasaules plašumiem un sāksim risināt visdažādākos (dažreiz ļoti skaistus) piemērus. :)
Lai kompetenti orientētos visā integrālajā daudzveidībā un nepazustu, mums ir vajadzīgas tikai četras lietas:
1) Integrāļu tabula. Visa informācija par viņu . Kā tieši ar viņu strādāt - šajā.
2) Nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašības (summas/starpības integrālis un reizinājums ar konstanti).
3) Atvasinājumu un diferenciācijas noteikumu tabula.
Jā, nebrīnieties! Bez iespējas skaitīt atvasinājumus integrācijā nav pilnīgi ko ķert. Piekrītu, nav jēgas, piemēram, mācīties dalīšanu, nezinot, kā reizināt. :) Un pavisam drīz redzēsi, ka bez perfektām diferenciācijas prasmēm nevar izskaitļot nevienu nopietnu integrāli, kas iziet ārpus elementāru tabulu robežām.
4) Integrācijas metodes.
Viņu ir ļoti, ļoti daudz. Konkrētai funkciju klasei - sava. Bet starp visu to bagātīgo daudzveidību izceļas trīs galvenie:
– ,
– ,
– .
Par katru no tiem – atsevišķās nodarbībās.
Un tagad, visbeidzot, sāksim risināt ilgi gaidītos piemērus. Lai nepārlēktu no sadaļas uz sekciju, vēlreiz padublēšu visu džentlmeņu komplektu, kas noderēs mūsu turpmākais darbs. Turiet visus instrumentus pie rokas.)
Pirmkārt, šis integrāļu tabula:
Turklāt mums ir vajadzīgas nenoteiktā integrāļa pamatīpašības (linearitātes īpašības):
Nu ir sagatavots nepieciešamais aprīkojums. Laiks iet! :)
Tieša tabulas pielietošana
Šajā sadaļā tiks apskatīti visvienkāršākie un nekaitīgākie piemēri. Algoritms šeit ir vienkāršs līdz šausmām:
1) Skatāmies tabulu un meklējam vajadzīgo formulu (formulas);
2) Lietojiet linearitātes īpašības (ja nepieciešams);
3) Veicam pārveidošanu pēc tabulas formulām un beigās pievienojam konstanti AR (neaizmirsti!) ;
4) Pierakstiet atbildi.
Tātad iesim.)
1. piemērs
Mūsu tabulā šādas funkcijas nav. Bet tajā ir jaudas funkcijas integrālis vispārējs skats(otrā grupa). Mūsu gadījumā n=5. Tāpēc n vietā aizstājam piecus un rūpīgi aprēķinām rezultātu:
Gatavs. :)
Protams, šis piemērs ir diezgan primitīvs. Tīri iepazīšanai.) Bet pakāpes integrēšanas spēja ļauj viegli aprēķināt integrāļus no jebkuriem polinomiem un citām spēka struktūrām.
2. piemērs
Zem integrālās summas. Nu labi. Šim gadījumam mums ir linearitātes īpašības. :) Sadalām savu integrāli trīs atsevišķos, izņemam visas konstantes no integrāļu zīmēm un saskaitām katru pēc tabulas (1-2 grupa):
Lūdzu, ņemiet vērā: nemainīgs AR parādās tieši tajā brīdī, kad VISAS integrāļa pazīmes pazūd! Protams, pēc tam tas pastāvīgi jānēsā līdzi. Tātad, ko darīt…
Protams, parasti nav nepieciešams krāsot tik detalizēti. Tas ir tikai izpratnei. Lai saprastu būtību.)
Piemēram, ļoti drīz, bez lielas vilcināšanās, jūs garīgi sniegsit atbildi tādiem monstriem kā:
Polinomi ir visbrīvākās funkcijas integrāļos.) Un difuros, fizikā, materiālu stiprumā un citās nopietnās disciplīnās polinomi būs pastāvīgi jāintegrē. Pierodi.)
Nākamais piemērs būs nedaudz sarežģītāks.
3. piemērs
Es ceru, ka visi saprot, ka mūsu integrandu var uzrakstīt šādi:
Integrand ir atsevišķs, un reizinātājs dx (diferenciāļa ikona)- atsevišķi.
komentēt:šajā nodarbībā reizinātājs dx integrācijas procesā Uz redzēšanos nekādā veidā nepiedalās, un pagaidām mēs viņu mentāli "kamerējam". :) Strādājam tikai ar integrand. Bet neaizmirsīsim par viņu. Ļoti drīz, burtiski nākamā nodarbība veltīts, mēs viņu atcerēsimies. Un mēs pilnībā izjutīsim šīs ikonas nozīmi un spēku!)
Tikmēr mūsu skatiens ir vērsts uz integrand funkciju
Neizskatās pēc jaudas funkcijas, bet tas tā ir. :) Ja atceramies sakņu un grādu skolas īpašības, tad ir pilnīgi iespējams pārveidot mūsu funkciju:
Un x līdz mīnus divām trešdaļām jau ir tabulas funkcija! Otrā grupa n=-2/3. Un nemainīgā 1/2 mums nav šķērslis. Mēs to izņemam ārpus integrālās zīmes un tieši saskaņā ar formulu, kuru mēs uzskatām:
Šajā piemērā mums palīdzēja elementāras īpašības grādiem. Un tā tas jādara vairumā gadījumu, kad zem integrāļa ir atsevišķas saknes vai frakcijas. Tāpēc pāris praktiski padomi integrējot varas struktūras:
Daļskaitļus aizstājam ar pakāpēm ar negatīviem eksponentiem;
Mēs aizstājam saknes ar pakāpēm ar daļskaitļiem.
Bet galīgajā atbildē pāreja no grādiem atpakaļ uz daļām un saknēm ir gaumes jautājums. Es personīgi griežos atpakaļ – tas ir estētiskāk, vai kā.
Un, lūdzu, rūpīgi saskaitiet visas frakcijas! Uzmanīgi sekojam zīmēm un kas kur iet - kas ir skaitītājs un kāds saucējs.
Kas? Apnicis jau tā garlaicīgas jaudas funkcijas? LABI! Vērsim pie ragiem!
4. piemērs
Ja tagad visu, kas atrodas zem integrāļa, saliktu līdz kopsaucējam, tad pie šī piemēra varam iestrēgt nopietni un uz ilgu laiku.) Bet, aplūkojot integrādu rūpīgāk, var redzēt, ka mūsu atšķirība sastāv no divām tabulas funkcijām. Tāpēc nesagrozīsim, bet paplašināsim mūsu integrālu divās daļās:
Pirmais integrālis ir parasta jaudas funkcija (2. grupa, n=-1): 1/x = x -1 .
Mūsu tradicionālā formula antiderivatīvās jaudas funkcijai
Tas nedarbojas šeit, bet mums n=-1 ir cienīga alternatīva - formula ar naturālu logaritmu. Šis:
Tad saskaņā ar šo formulu pirmā daļa tiks integrēta šādi:
Un otrā frakcija arī galda funkcija! Mācījies? Jā! Šis septītais formula ar "augstu" logaritmu:
Konstante "a" šajā formulā ir vienāda ar diviem: a=2.
Svarīga piezīme: Lūdzu, ņemiet vērā konstantiAR ar starpposma integrāciju I nekur Es nepiedēvēju! Kāpēc? Jo viņa dosies uz galīgo atbildi viss piemērs. Tas ir pilnīgi pietiekami.) Stingri sakot, konstante ir jāraksta pēc katras atsevišķas integrācijas - vismaz starpposma, vismaz galīgā: tātad nenoteiktais integrālis prasa ...)
Piemēram, pēc pirmās integrācijas man būtu jāraksta:
Pēc otrās integrācijas:
Bet visa būtība ir tāda, ka patvaļīgu konstantu summa / starpība ir arī daži konstanti! Mūsu gadījumā, lai iegūtu galīgo atbildi, mums ir nepieciešams no pirmā integrāļa atņemt otrais. Tad mums veiksies atšķirība divas starpkonstantes:
C1-C2
Un mums ir visas tiesības aizstāt šo konstantu atšķirību viena konstante! Un vienkārši pārdēvējiet to ar mums pazīstamo burtu "C". Kā šis:
C 1 - C 2 \u003d C
Tātad mēs attiecinām šo pašu konstanti AR uz gala rezultātu un saņemiet atbildi:
Jā, tās ir daļdaļas! Daudzstāvu logaritmi, kad tie ir integrēti, ir visizplatītākā lieta. Mēs arī pierodam.)
Atcerieties:
Ar vairāku terminu starpposma integrāciju konstante AR pēc katras no tām nevar rakstīt. Pietiek ar to iekļaut visa piemēra galīgajā atbildē. Beigās.
Nākamais piemērs ir arī ar daļskaitli. Iesildīšanai.)
5. piemērs
Tabulā, protams, šādas funkcijas nav. Bet ir līdzīgi funkcija:
Šis ir jaunākais astotais formula. Ar arktangentu. :)
Šis:
Un pats Dievs lika mums pielāgot mūsu integrāli šai formulai! Bet ir viena problēma: tabulas formulā iepriekš x 2 koeficienta nav, bet mums ir deviņi. Mēs vēl nevaram izmantot formulu tieši. Bet mūsu gadījumā problēma ir pilnībā atrisināma. Vispirms izņemsim šos deviņus no iekavām, un pēc tam parasti izņemsim to no mūsu daļskaitļa robežām.)
Un jaunā daļa ir tabulas funkcija, kas mums vajadzīga ar numuru 8! Šeit a 2 \u003d 4/9. Or a=2/3.
Visi. Mēs izņemam 1/9 no integrālās zīmes un izmantojam astoto formulu:
Lūk, atbilde. Šis piemērs ar koeficientu iepriekš x 2, es to izvēlējos tā. Lai būtu skaidrs, kā rīkoties šādos gadījumos. :) Ja agrāk x 2 koeficienta nav, tad tādas daļdaļas arī integrēsies prātā.
Piemēram:
Šeit a 2 = 5, tāpēc pats "a" būtu "pieci sakne". Kopumā jūs saprotat.)
Un tagad mēs nedaudz pārveidosim savu funkciju: mēs rakstīsim saucēju zem saknes.) Tagad mēs ņemsim šādu integrāli:
6. piemērs
Saucējam ir sakne. Dabiski, ka ir mainījusies arī atbilstošā integrācijas formula, jā.) Atkal kāpjam tabulā un meklējam īsto. Mums saknes ir 5. un 6. grupas formulās. Bet sestajā grupā atšķirība ir tikai zem saknēm. Un mums ir summa. Tātad mēs strādājam piektā formula, ar "garu" logaritmu:
Numurs A mums ir pieci. Aizstājiet formulu un iegūstiet:
Un visas lietas. Šī ir atbilde. Jā, jā, tas ir tik vienkārši!
Ja rodas šaubas, vienmēr ir iespējams (un nepieciešams) pārbaudīt rezultātu ar apgrieztu diferenciāciju. Pārbaudīsim? Un tad pēkšņi kaut kādas blēņas?
Mēs atšķiram (mēs nepievēršam uzmanību modulim un uztveram to kā parastās iekavas):
Viss ir godīgi. :)
Starp citu, ja integrandā zem saknes mēs mainām zīmi no plus uz mīnusu, tad integrācijas formula paliks nemainīga. Nav nejaušība, ka tabulā zem saknes ir plus/mīnus. :)
Piemēram:
Svarīgs! Mīnusa gadījumā vispirms vietai zem saknes jābūt precīzi x 2, un tālāk otrais – numuru. Ja zem saknes viss ir pretējs, tad atbilstošā tabulas formula jau būs cits!
7. piemērs
Zem saknes atkal mīnuss, bet x 2 ar piecām mainītām vietām. Izskatās līdzīgi, bet ne vienādi... Mūsu tabulā ir arī formula šim gadījumam.) Formula numur sestā, ar to vēl neesam strādājuši:
Un tagad - uzmanīgi. Iepriekšējā piemērā mūsu piecinieks darbojās kā skaitlis A . Šeit pieci darbosies kā skaitlis un 2!
Tāpēc, lai pareizi lietotu formulu, neaizmirstiet ņemt sakni no pieciem:
Un tagad piemērs ir atrisināts vienā solī. :)
Tieši tā! Vietām ir mainījušies tikai termini zem saknes, un integrācijas rezultāts ir būtiski mainījies! Logaritms un arcsīns... tāpēc lūdzu nejauciet šīs divas formulas! Lai gan integrādes ir ļoti līdzīgas...
Bonuss:
Tabulu formulās 7-8 ir koeficienti pirms logaritma un loka tangensa 1/(2а) Un 1/a attiecīgi. Un satraucošā kaujas situācijā, rakstot šīs formulas, pat pētījumos rūdīti nelieši bieži apjūk, kur 1/a, Un kur 1/(2а). Šeit ir vienkāršs triks, kas jums jāatceras.
Formulā numurs 7
Integranda saucējs ir kvadrātu atšķirība x 2 - 2. Kura pēc biedējošās skolas formulas sadalās kā (x-a) (x+a). Ieslēgts divi reizinātājs. Atslēgvārds - divi. Un šīs divi integrējot, iekavas iet uz logaritmu: ar mīnusu uz augšu, ar plusu - uz leju.) Un koeficients logaritma priekšā arī ir 1/( 2 A).
Bet formulā numur 8
Daļas saucējs ir kvadrātu summa. Bet kvadrātu summa x2 +a2 nesadalāmi vienkāršākos faktoros. Tāpēc, lai ko arī teiktu, tas paliks saucējā viens faktors. Un koeficients loka tangensa priekšā arī būs 1/a.
Un tagad, lai mainītu, integrēsim kaut ko no trigonometrijas.)
8. piemērs
Piemērs ir vienkāršs. Tik vienkārši, ka cilvēki, pat nepaskatoties uz tabulu, uzreiz priecīgi uzraksta atbildi un ... viņi ieradās. :)
Mēs sekojam zīmēm! Šī ir visizplatītākā kļūda, integrējot sinusus/kosinusus. Nejauciet ar atvasinājumiem!
Jā, (grēks x)" = cos x Un (cos x)’ = - grēks x.
Bet!
Tā kā cilvēki parasti atceras vismaz atvasinājumus, lai zīmēs neapjuktu, integrāļu atcerēšanās tehnika šeit ir ļoti vienkārša:
Sinusa/kosinusa integrālis = mīnus tā paša sinusa/kosinusa atvasinājums.
Piemēram, no skolas mēs zinām, ka sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu:
(grēks x)" = cos x.
Tad priekš neatņemama no tā paša sinusa būs taisnība:
Un viss.) Ar kosinusu tas pats.
Labosim mūsu piemēru:
Integranda sākotnējās elementārās transformācijas
Līdz šim ir bijuši vienkāršākie piemēri. Lai izjustu tabulas darbību un nepieļautu kļūdas formulas izvēlē.)
Protams, mēs veicām dažas vienkāršas pārvērtības – izņēmām faktorus, sadalījām tos terminos. Bet atbilde tā vai citādi gulēja virspusē.) Tomēr... Ja integrāļu aprēķins aprobežotos tikai ar tabulas tiešu izmantošanu, tad visapkārt būtu pilnīgs bezmaksas piedāvājums un dzīve kļūtu garlaicīga.)
Tagad aplūkosim pārliecinošākus piemērus. Tie, kur tieši, šķiet, nekas nav lemts. Bet ir vērts atcerēties burtiski pāris pamatskolas formulas vai pārvērtības, jo ceļš uz atbildi kļūst vienkāršs un saprotams. :)
Trigonometrijas formulu pielietojums
Turpināsim izklaidēties ar trigonometriju.
9. piemērs
Tabulā šādas funkcijas nav. Bet iekšā skolas trigonometrija ir šī mazpazīstamā identitāte:
Tagad izsakām no tā nepieciešamās pieskares kvadrātu un ievietojam to zem integrāļa:
Kāpēc tas tiek darīts? Un tad, ka pēc šādas pārvērtības mūsu integrālis tiks samazināts līdz diviem tabuliem un tiks ņemts vērā!
Skatīt:
Tagad analizēsim savas darbības. No pirmā acu uzmetiena viss šķiet vienkārši. Bet padomāsim par šo. Ja mums būtu uzdevums atšķirt to pašu funkciju, tad mēs to darītu tieši tā precīzi zināja, kas jādara – jāpiesakās formula kompleksas funkcijas atvasinājums:
Un viss. Vienkārša un bez problēmām tehnoloģija. Tas vienmēr darbojas un garantēti novedīs pie panākumiem.
Bet kā ar integrāli? Un šeit mums vajadzēja iedziļināties trigonometrijā, izrakt kādu neskaidru formulu, cerot, ka tā kaut kā palīdzēs mums izkļūt un samazināt integrāli uz tabulu. Un tas nav fakts, ka tas mums palīdzētu, tas nemaz nav fakts... Tāpēc integrācija ir radošāks process nekā diferenciācija. Māksla, es pat teiktu. :) Un šis nav tas grūtākais piemērs. Tas ir tikai sākums!
10. piemērs
Kas iedvesmo? Integrāļu tabula joprojām ir bezspēcīga, jā. Bet, ja paskatās vēlreiz mūsu trigonometrisko formulu kasē, varat izrakt ļoti, ļoti noderīgu dubultā leņķa kosinusa formula:
Tāpēc mēs izmantojam šo formulu mūsu integrandam. "Alfa" lomā mums ir x / 2.
Mēs iegūstam:
Efekts ir pārsteidzošs, vai ne?
Šie divi piemēri skaidri parāda, ka pirms transformācijas funkciju pirms integrācijas diezgan pieņemami un dažreiz padara dzīvi ārkārtīgi vieglāku! Un integrācijā šī procedūra (integranda pārveidošana) ir daudz pamatotāka nekā diferenciācijā. Jūs redzēsiet vēlāk.)
Apskatīsim vēl pāris tipiskākas pārvērtības.
Saīsinātās reizināšanas formulas, iekavu paplašināšana, atzīmju samazināšana un terminu dalīšanas metode.
Parastās banālās skolas pārvērtības. Bet dažreiz tikai viņi ietaupa, jā.)
11. piemērs
Ja ņemam vērā atvasinājumu, tad nekādu problēmu: produkta atvasinājuma formula un - uz priekšu. Bet standarta formula, lai neatņemama no darba neeksistē. Un vienīgā izeja šeit ir atvērt visas iekavas, lai zem integrāļa iegūtu polinomu. Un mēs kaut kā integrēsim polinomu.) Bet mēs arī gudri atvērsim iekavas: saīsinātās reizināšanas formulas ir spēcīga lieta!
(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1) (x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1
Un tagad mēs apsvērsim:
Un visas lietas.)
1. piemērs2
Atkal standarta formula daļdaļas integrālis neeksistē. Tomēr integranda saucējs satur vientuļš x. Tas radikāli maina situāciju.) Sadalīsim skaitītāju ar saucēja vārdu pa vārdam, samazinot mūsu briesmīgo daļu līdz nekaitīgai tabulas pakāpju funkciju summai:
Par grādu integrēšanas procedūru īpaši nekomentēšu: tie vairs nav mazi.)
Mēs integrējam jaudas funkciju summu. Pēc plāksnes.)
Tas arī viss.) Starp citu, ja saucējs nebija x, bet, teiksim, x+1, kā šis:
Tad šis triks ar sadalīšanu pa biedriem nebūtu izdevies tik vienkārši. Tas ir tāpēc, ka skaitītājā ir sakne, bet saucējā - viena. Man būtu jāatbrīvojas no saknes. Bet šādi integrāļi ir daudz sarežģītāki. Par tiem – citās nodarbībās.
Skaties! Atliek tikai nedaudz modificēt funkciju – uzreiz mainās pieeja tās integrācijai. Dažreiz dramatiski!) Nav skaidras standarta shēmas. Katrai funkcijai ir sava pieeja. Dažreiz pat unikāls.
Dažos gadījumos konvertēšana daļdaļās ir vēl sarežģītāka.
13. piemērs
Un šeit, kā integrāli var reducēt līdz tabulas kopai? Šeit jūs varat veikli izvairīties, pievienojot un atņemot izteiksmi x2 daļskaitļa skaitītājā, kam seko terminu dalījums. Ļoti prasmīga uzņemšana integrāļos! Skaties meistarklasi! :)
Un tagad, ja sākotnējo daļu aizstājam ar divu daļu starpību, mūsu integrālis sadalās divās tabulās - jau pazīstamajā jaudas funkcijā un loka tangensē (8. formula):
Nu ko es varu teikt? Oho!
Šis saskaitīšanas/atņemšanas skaitītāja triks ir ļoti populārs racionālo daļskaitļu integrēšanā. Ļoti! Iesaku ņemt vērā.
14. piemērs
Arī šeit valda tie paši tehnoloģiju noteikumi. Lai izvēlētos izteiksmi saucējā no skaitītāja, jums ir nepieciešams tikai pievienot/atņemt vienu:
Vispārīgi runājot, racionālās daļas (ar polinomiem skaitītājā un saucējā) ir atsevišķa ļoti plaša tēma. Lieta ir tāda, ka racionālās daļas ir viena no retajām funkciju klasēm, kurām ir universāls integrācijas veids. pastāv. Sadalīšanas metode vienkāršās frakcijās kopā ar . Bet šī metode ir ļoti laikietilpīga, un to parasti izmanto kā smago artilēriju. Viņam tiks veltīta vairāk nekā viena nodarbība. Tikmēr mēs trenējamies un ķeramies pie vienkāršām funkcijām.
Apkoposim šodienas nodarbību.
Šodien mēs detalizēti izpētījām, kā izmantot tabulu ar visām niansēm, analizējām daudzus piemērus (un ne tos triviālākos) un iepazināmies ar vienkāršākajām metodēm integrāļu samazināšanai uz tabulas. Un tā mēs tagad darīsim Vienmēr. Neatkarīgi no tā, kāda ir šausmīga funkcija zem integrāļa, ar visdažādāko transformāciju palīdzību mēs nodrošināsim, ka agrāk vai vēlāk mūsu integrālis vienā vai otrā veidā tiek reducēts uz tabulu kopu.
Daži praktiski padomi.
1) Ja zem integrāļa ir daļa, kuras skaitītājā ir grādu (sakņu) summa, bet saucējā - vientuļš x, tad mēs izmantojam skaitītāja terminu dalījumu ar saucēju. Mēs aizstājam saknes ar pilnvarām daļskaitļi un darbs pēc formulām 1-2.
2) Trigonometriskajās konstrukcijās, pirmkārt, izmēģinām trigonometrijas pamatformulas - dubultā / trīskāršā leņķa,
Var ļoti paveicies. Vai varbūt ne…
3) kur nepieciešams (īpaši polinomos un daļās), mēs izmantojamsaīsinātas reizināšanas formulas:
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2
(a-b) (a+b) = a 2 -b 2
4) Integrējot daļskaitļus ar polinomiem, cenšamies mākslīgi izcelt izteiksmi (-es) saucējā skaitītājā. Ļoti bieži daļa tiek vienkāršota un integrālis tiek reducēts līdz tabulu kombinācijai.
Nu, draugi? Es redzu, ka jums sāk patikt integrāļi. :) Tad mēs pildām roku un risinām piemērus paši.) Šodienas materiāls ir pilnīgi pietiekams, lai veiksmīgi tiktu ar tiem galā.
Kas? Nezinu, ? Jā! Mēs to vēl neesam izgājuši cauri.) Bet šeit tie nav tieši jāintegrē. Un lai skolas kurss jums palīdz!)
Atbildes (nekārtīgi):
Lai iegūtu labākus rezultātus, es ļoti iesaku iegādāties G.N. matan problēmu kolekciju. Bermans. Foršas lietas!
Un tas ir viss, kas man šodien ir. Veiksmi!
