Jēdzieni matemātiskās cerības M(X) un dispersiju D(X), kas tika ieviests iepriekš diskrētam gadījuma mainīgajam, var tikt attiecināts uz nepārtrauktiem gadījuma mainīgajiem.
· Matemātiskās cerības M(X) nepārtrauktu gadījuma lielumu X definē ar vienādību:
ar nosacījumu, ka šis integrālis saplūst.
· Izkliede D(X) nepārtraukts gadījuma mainīgais X tiek definēts ar vienlīdzību:
· Standarta novirzeσ( X) nepārtrauktu gadījuma lielumu nosaka vienādība:
Visas iepriekš aplūkotās matemātiskās gaidīšanas un dispersijas īpašības diskrētiem gadījuma mainīgajiem ir derīgas arī nepārtrauktajiem.
Problēma 5.3.Izlases vērtība X ko nosaka diferenciālā funkcija f(x):
Atrast M(X), D(X), σ( X), un P(1 < X< 5).
Risinājums:
M(X)= =
+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,
D(X)=
= = /
P 1 =
Uzdevumi
5.1. X
f(x), un
R(‒1/2 < X< 1/2).
5.2. Nepārtraukts gadījuma mainīgais X ko nosaka sadales funkcija:
Atrodiet diferenciālā sadalījuma funkciju f(x), un
R(2π /9< X< π /2).
5.3. Nepārtraukts gadījuma mainīgais X
Atrodi: a) skaitli Ar; b) M(X), D(X).
5.4. Nepārtraukts gadījuma mainīgais X ko nosaka sadalījuma blīvums:
Atrodi: a) skaitli Ar; b) M(X), D(X).
5.5. X:
Atrodi) F(X) un attēlo tā grafiku; b) M(X), D(X), σ( X); c) varbūtība, ka četros neatkarīgos izmēģinājumos vērtība Xņem tieši 2 reizes lielāku vērtību, kas pieder intervālam (1;4).
5.6. Ņemot vērā nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības sadalījuma blīvumu X:
Atrodi) F(X) un attēlo tā grafiku; b) M(X), D(X), σ( X); c) varbūtība, ka trīs neatkarīgos izmēģinājumos vērtība Xņems tieši 2 reizes lielāku vērtību, kas pieder intervālam .
5.7. Funkcija f(X) tiek norādīts šādi:
Ar X; b) sadales funkcija F(x).
5.8. Funkcija f(x) tiek norādīts šādi:
Atrodi: a) konstantes vērtību Ar, pie kuras funkcija būs kāda nejauša lieluma varbūtības blīvums X; b) sadales funkcija F(x).
5.9. Izlases vērtība X, kas koncentrēts uz intervālu (3;7), tiek dota ar sadalījuma funkciju F(X)= Xņem vērtību: a) mazāku par 5, b) ne mazāku par 7.
5.10. Izlases vērtība X, kas koncentrēts uz intervālu (-1; 4), tiek dota ar sadalījuma funkciju F(X)= . Atrodiet varbūtību, ka nejaušais mainīgais Xņem vērtību: a) mazāku par 2, b) mazāku par 4.
5.11.
Atrodi: a) skaitli Ar; b) M(X); c) varbūtība R(X > M(X)).
5.12. Nejaušo lielumu nosaka diferenciālā sadalījuma funkcija:
Atrodi) M(X); b) varbūtība R(X ≤ M(X)).
5.13. Laika sadalījumu nosaka varbūtības blīvums:
Pierādiet to f(x) patiešām ir varbūtības blīvuma sadalījums.
5.14. Ņemot vērā nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības sadalījuma blīvumu X:
Atrodi numuru Ar.
5.15. Izlases vērtība X sadalīts pēc Simpsona likuma (vienādsānu trijstūris) uz nogriežņa [-2; 2] (5.4. att.). Atrodiet varbūtības blīvuma analītisko izteiksmi f(x) veselā skaitļa rindā.
Rīsi. 5.4. att. 5.5
5.16. Izlases vērtība X sadalīta saskaņā ar likumu taisnleņķa trīsstūris" intervālā (0; 4) (5.5. att.). Atrodiet varbūtības blīvuma analītisko izteiksmi f(x) veselā skaitļa rindā.
Atbildes
P (-1/2<X<1/2)=2/3.
P(2π /9<X< π /2)=1/2.
5.3. A) Ar=1/6, b) M(X)=3 , c) D(X)=26/81.
5.4. A) Ar=3/2, b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.
b) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( X)= /3.
b) M(X)=2 , D(X)= 3, σ( X)= 1,893.
5.7. a) c = ; b)
5.8. A) Ar=1/2; b)
5.9. a) 1/4; b) 0.
5.10. a) 3/5; b) 1.
5.11. A) Ar= 2; b) M(X)= 2; 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. A) M(X)= π /2; b) 1/2
Definīcija 13.1. Izsauc nejaušo lielumu X diskrēts, ja tas aizņem ierobežotu vai saskaitāmu vērtību skaitu.
Definīcija 13.2. Gadījuma lieluma X sadalījuma likums ir skaitļu pāru kopa ( , ), kur ir gadījuma lieluma iespējamās vērtības un varbūtības, ar kādām gadījuma mainīgais pieņem šīs vērtības, t.i. =P( X= ), un =1.
Vienkāršākā diskrēta gadījuma lieluma norādīšanas forma ir tabula, kurā uzskaitītas iespējamās nejaušā lieluma vērtības un to atbilstošās varbūtības. Tādu tabulu sauc tuvu izplatīšanai diskrētais gadījuma mainīgais.
| X | … | … | |||
| R | … | … |
Izplatīšanas sēriju var attēlot grafiski. Šajā gadījumā abscisa ir attēlota gar ordinātām, un varbūtība tiek attēlota gar ordinātām. Punkti ar koordinātām ( , ) ir savienoti ar segmentiem un tiek izsaukta lauzta līnija sadales daudzstūris, kas ir viena no diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likuma precizēšanas formām.
Piemērs 13.3. Izveidojiet gadījuma lieluma X sadalījuma daudzstūri ar sadalījuma sēriju
| X | ||||
| R | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
Definīcija 13.4. Mēs sakām, ka diskrētam gadījuma mainīgajam X ir binomiālais sadalījums ar parametriem ( n, lpp), ja tam var būt nenegatīvas veselas vērtības k {1,2,…,n) ar varbūtībām Р( X=x)= .
Izplatīšanas sērijai ir šāda forma:
| X | … | k | … | n | ||
| R | … | … |
Varbūtību summa = =1.
Definīcija 13.5. Ir teikts, ka nejaušā mainīgā diskrētā forma X Tā ir Poisson sadalījums ar parametru (>0), ja tas aizņem veselas vērtības k(0,1,2,…) ar varbūtībām Р( X=k)= .
Izplatīšanas sērijai ir forma
| X | … | k | … | ||
| R | … | … |
Tā kā Maklarīna sērijas izvērsumam ir šāda forma, tad varbūtību summa = = =1.
Apzīmē ar X izmēģinājumu skaits, kas jāpabeidz pirms pirmā notikuma rašanās A neatkarīgos izmēģinājumos, ja A rašanās varbūtība katrā no tām ir vienāda ar lpp (0<lpp <1), а вероятность непоявления . Возможными значениями X ir naturāli skaitļi.
Definīcija 13.6. Viņi saka, ka nejaušais mainīgais X Tā ir ģeometriskais sadalījums ar parametru lpp (0<lpp <1), если она принимает натуральные значения k N ar varbūtībām Р(Х=k)= , kur . Izplatīšanas diapazons:
| X | … | n | … | |||
| R | … | … |
Varbūtību summa = = =1.
Piemērs 13.7. Monēta tiek apmesta 2 reizes. Sastādiet "ģerboņa" gadījumu skaita gadījuma lieluma X sadalījuma sēriju.
P 2 (0) = = ; P2(1)===0,5; P 2 (2) = = .
| X | |||
| R |
Izplatīšanas sērija būs šāda:
Piemērs 13.8. Ierocis tiek izšauts līdz pirmajam trāpījumam mērķī. Varbūtība trāpīt ar vienu metienu ir 0,6. trāpīs uz 3. šāvienu.
Tāpēc ka lpp=0,6, q=0,4, k=3, tad P( A)= =0,4 2 *0,6=0,096.
14 Diskrētu gadījuma lielumu skaitliskās īpašības
Izplatīšanas likums pilnībā raksturo nejaušo mainīgo, taču tas bieži vien nav zināms, tāpēc jums ir jāierobežo sevi ar mazāku informāciju. Dažkārt pat izdevīgāk ir izmantot skaitļus (parametrus), kas apraksta nejaušo lielumu kopumā. Viņus sauc skaitliskās īpašības nejaušais mainīgais. Tie ietver: matemātiskās cerības, dispersiju utt.
Definīcija 14.1. matemātiskās cerības Diskrētu gadījuma lielumu sauc par visu tā iespējamo vērtību un to varbūtību produktu summu. Apzīmē nejauša lieluma matemātisko cerību X caur M X=M( X)=E X.
Ja nejaušais mainīgais Xņem ierobežotu skaitu vērtību, tad M X= .
Ja nejaušais mainīgais Xņem saskaitāmu vērtību skaitu, tad M X= ,
un matemātiskās cerības pastāv, ja sērijas pilnībā saplūst.
Piezīme 14.2. Matemātiskā cerība ir noteikts skaitlis, kas aptuveni vienāds ar noteiktu nejauša lieluma vērtību.
Piemērs 14.3. Atrodiet nejauša lieluma matemātisko cerību X, zinot tā izplatīšanas sēriju
| X | |||
| R | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
M X=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.
Piemērs 14.4. Atrodiet matemātisko paredzamo notikumu skaitu A vienā izmēģinājumā, ja notikuma varbūtība A ir vienāds ar lpp.
Izlases vērtība X- notikuma gadījumu skaits A vienā testā. Tas var ņemt vērtības = 1 ( A noticis) ar varbūtību lpp un =0 ar varbūtību , t.i. izplatīšanas sērija
Tādējādi MS=C*1=C.
Piezīme 14.6. Pastāvīgas vērtības C reizinājums ar diskrētu gadījuma lielumu X Definēts kā diskrēts gadījuma mainīgais C X, kuru iespējamās vērtības ir vienādas ar konstantes С un iespējamo vērtību reizinājumiem X, šo vērtību varbūtības С X ir vienādi ar atbilstošo iespējamo vērtību varbūtībām X.
Īpašums 14.7. Pastāvīgo faktoru var izņemt no gaidīšanas zīmes:
JAUNKUNDZE X)=C∙M X.
Ja nejaušais mainīgais X ir izplatīšanas numurs
| X | … | … | |||
| R | … | … |
Nejauši mainīga sadalījuma sērijas
| SH | … | … | |||
| R | … | … |
JAUNKUNDZE X)= = = С∙М( X).
Definīcija 14.8. Tiek izsaukti nejaušie mainīgie , ,… neatkarīgs, ja priekš , i=1,2,…,n
Р( , ,…, )= Р( ) Р( )… Р( ) (1)
Ja kā = , i=1,2,…,n, tad mēs iegūstam no (1)
R(< , < ,…, < }= Р{ < }Р{ < }… Р{ < }, откуда получается другая формула:
( , ,…, ) = () ()... () (2)
gadījuma lielumu kopīgajai sadalījuma funkcijai ,…, , ko var uzskatīt arī par gadījuma lieluma neatkarības definīciju.
Īpašums 14.9. Matemātiskā sagaidāmā reizinājuma 2 neatkarīgs nejaušie mainīgie ir vienādi ar to matemātisko gaidu reizinājumu:
M( XY)=M X∙M Plkst.
Īpašums 14.10. Matemātiskā cerība uz 2 nejaušo mainīgo summu ir vienāda ar to matemātisko gaidu summu:
M( X+Y)=M X+M Plkst.
Piezīme 14.11. Rekvizītus 14.9 un 14.10 var vispārināt uz vairākiem nejaušiem mainīgajiem.
Piemērs 14.12. Atrodiet matemātisko cerību punktu skaitam, kas var izkrist, metot 2 kauliņus.
Ļaujiet X uz pirmā kauliņa izmesto punktu skaits, Plkst uz otrā kauliņa izmesto punktu skaits. Viņiem ir tāda pati izplatīšanas sērija:
| X | ||||||
| R |
Tad M X=M Plkst= (1+2+3+4+5+6)= = . M( X+Y)=2* =7.
Teorēma 14.13. Notikuma gadījumu skaita matemātiskā sagaidīšana A V n neatkarīgi izmēģinājumi ir vienāds ar izmēģinājumu skaita un notikuma varbūtības reizinājumu katrā izmēģinājumā: M X=np.
Ļaujiet X– notikuma reižu skaits A V n neatkarīgi testi. –notikuma reižu skaits A V i- tas tests, i=1,2,…,n. Tad = + +…+. Saskaņā ar matemātiskās gaidas M īpašībām X= . No piemēra 14.4M X i=p, i=1,2,…,n, tātad M X= =np.
Definīcija 14.14.dispersija gadījuma lielumu sauc par skaitli D X=M( X-M X) 2 .
Definīcija 14.15.Standarta novirze nejaušais mainīgais X sauca numurs =.
Piezīme 14.16. Izkliede ir nejauša lieluma vērtību izplatības mērs ap tā matemātisko cerību. Tas vienmēr nav negatīvs. Lai aprēķinātu dispersiju, ērtāk ir izmantot citu formulu:
D X=M( X-M X) 2 = M( X 2 - 2X∙ M X+ (M X) 2) = M( X 2) - 2 miljoni( X∙ M X)+M(M X) 2 = =M( X 2)-M X∙ M X+(M X) 2 = M( X 2) — (M X) 2 .
No šejienes D X=M( X 2) — (M X) 2 .
Piemērs 14.17. Atrodiet nejauša lieluma dispersiju X, ko nosaka vairāki sadalījumi
| X | |||
| P | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
M X=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5; M( X 2)= 4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3;
D X=13.3-(3,5) 2 =1,05.
Izkliedes īpašības
Īpašums 14.18. Pastāvīgās vērtības dispersija ir 0:
DC = M(C-MC) 2 = M(C-C) 2 = 0.
Īpašums 14.19. Konstanto koeficientu var izņemt no dispersijas zīmes, to kvadrātā
D(C X) =C 2 D X.
D(CX)=M(C-CM X) 2 \u003d M (C (X-M X) 2) = C 2 M( X-M X) 2 = C 2 D X.
Īpašums 14.20. Summas 2 dispersija neatkarīgs nejaušie mainīgie ir vienāds ar šo mainīgo dispersiju summu
D( X+Y)=D X+D Y.
D( X + Y)=M(( X+Y) 2) – (M( X+Y)) 2 = M( x2+ 2XY+Y2) - (M X+ M Y) 2 = =M( X) 2 +2 milj X M Y+M( Y 2)-(M( X) 2 +2 milj X M Y+M( Y) 2) = M( X 2)-(M X) 2 +M( Y 2)-(M Y) 2 = D X+D Y.
Secinājums 14.21. Vairāku summas dispersija neatkarīgs nejaušie mainīgie ir vienādi ar to dispersiju summu.
Teorēma 14.22. Notikuma atgadījumu skaita dispersija A V n neatkarīgi testi, katrā no kuriem varbūtība p) 2 =). Tādējādi D +2,
NEJAUŠAS VĒRTĪBAS
Piemērs 2.1. Izlases vērtība X ko dod sadales funkcija
Atrodiet varbūtību, ka testa rezultātā Xņems vērtības starp (2,5; 3,6).
Risinājums: X intervālā (2.5; 3.6) var noteikt divos veidos:
Piemērs 2.2. Pie kādām parametru vērtībām A Un IN funkciju F(x) = A + Be - x var būt sadalījuma funkcija nejauša lieluma nenegatīvām vērtībām X.
Risinājums: Tā kā visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības X pieder intervālam , tad, lai funkcija būtu sadalījuma funkcija priekš X, īpašumā ir jābūt:
.
Atbilde: 
.
Piemērs 2.3. Nejaušo lielumu X dod sadalījuma funkcija
Atrodiet varbūtību, ka četru neatkarīgu izmēģinājumu rezultātā vērtība X tieši 3 reizes tiks ņemta vērtība, kas pieder intervālam (0,25; 0,75).
Risinājums: Varbūtība sasniegt vērtību X intervālā (0,25; 0,75) mēs atrodam pēc formulas:
Piemērs 2.4. Varbūtība, ka bumba trāpīs grozā vienā metienā ir 0,3. Sastādiet sitienu skaita sadalījuma likumu trīs metienos.
Risinājums: Izlases vērtība X- trāpījumu skaits grozā ar trim metieniem - var pieņemt vērtības: 0, 1, 2, 3. Varbūtības, ka X
X:
Piemērs 2.5. Divi šāvēji izdara vienu šāvienu mērķī. Varbūtība to trāpīt pirmajam šāvējam ir 0,5, otrajam - 0,4. Pierakstiet likumu par sitienu skaita sadalījumu mērķī.
Risinājums: Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu X- sitienu skaits mērķī. Lai notikums ir pirmā šāvēja trāpījums mērķī un - otrā šāvēja trāpījums un - attiecīgi viņu netrāpījumi.
Sastādām SV varbūtības sadalījuma likumu X:
Piemērs 2.6. Tiek pārbaudīti 3 elementi, kas darbojas neatkarīgi viens no otra. Elementu bezatteices darbības laika ilgumam (stundās) ir sadalījuma blīvuma funkcijas: pirmkārt: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, otrajam: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, par trešo: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Atrodiet varbūtību, ka laika intervālā no 0 līdz 5 stundām: sabojāsies tikai viens elements; tikai divi elementi neizdosies; visi trīs elementi neizdodas.
Risinājums: Izmantosim varbūtību ģenerējošās funkcijas definīciju:
Varbūtība, ka neatkarīgos izmēģinājumos, no kuriem pirmajā ir notikuma iestāšanās varbūtība A vienāds ar notikumu, otrajā utt A parādās tieši vienreiz, ir vienāds ar koeficientu pie ģenerējošās funkcijas izplešanās pakāpēs . Atradīsim attiecīgi pirmā, otrā un trešā elementa neveiksmes un neveiksmes varbūtības laika intervālā no 0 līdz 5 stundām:
Izveidosim ģenerēšanas funkciju:
Koeficients pie ir vienāds ar varbūtību, ka notikums A parādīsies tieši trīs reizes, tas ir, visu trīs elementu neveiksmes varbūtība; koeficients at ir vienāds ar varbūtību, ka tieši divi elementi neizdosies; koeficients at ir vienāds ar varbūtību, ka tikai viens elements neizdosies.
Piemērs 2.7. Dots varbūtības blīvums f(x) nejaušais mainīgais X:
Atrodiet sadalījuma funkciju F(x).
Risinājums: Mēs izmantojam formulu:
.
Tādējādi sadales funkcijai ir šāda forma:
Piemērs 2.8. Ierīce sastāv no trim neatkarīgi strādājošiem elementiem. Katra elementa atteices varbūtība vienā eksperimentā ir 0,1. Sastādiet vienā eksperimentā neveiksmīgo elementu skaita sadalījuma likumu.
Risinājums: Izlases vērtība X- to elementu skaits, kuriem neizdevās vienā eksperimentā - var iegūt vērtības: 0, 1, 2, 3. Varbūtības, ka Xņem šīs vērtības, mēs atrodam pēc Bernulli formulas:
Tādējādi mēs iegūstam šādu nejauša lieluma varbūtības sadalījuma likumu X:
Piemērs 2.9. Ir 4 standarta daļas 6 daļās. Nejauši tika atlasīti 3 priekšmeti. Sastādiet likumu par standarta daļu skaita sadalījumu starp atlasītajām.
Risinājums: Izlases vērtība X- standarta detaļu skaits starp atlasītajām - var iegūt vērtības: 1, 2, 3 un tam ir hiperģeometrisks sadalījums. Varbūtības, ka X
Kur -- detaļu skaits partijā;
-- standarta detaļu skaits partijā;
– izvēlēto daļu skaits;
-- standarta detaļu skaits starp atlasītajām.
.
.
.
Piemērs 2.10. Nejaušajam mainīgajam ir sadalījuma blīvums
kur un nav zināmi, bet , a un . Atrodiet un.
Risinājums:Šajā gadījumā nejaušais mainīgais X ir trīsstūrveida sadalījums (Simpsona sadalījums) intervālā [ a, b]. Skaitliskie raksturlielumi X:
Tāpēc 
. Atrisinot šo sistēmu, mēs iegūstam divus vērtību pārus: . Tā kā saskaņā ar problēmas stāvokli mums beidzot ir: 
.
Atbilde: .
Piemērs 2.11. Vidēji par 10% līgumu apdrošināšanas sabiedrība izmaksā apdrošināšanas summas saistībā ar apdrošināšanas gadījuma iestāšanos. Aprēķiniet šādu līgumu skaita matemātisko cerību un dispersiju starp četriem nejauši izvēlētiem līgumiem.
Risinājums: Matemātisko cerību un dispersiju var atrast, izmantojot formulas:
.
Iespējamās SV vērtības (līgumu skaits (no četriem) ar apdrošināšanas gadījuma iestāšanos): 0, 1, 2, 3, 4.
Mēs izmantojam Bernulli formulu, lai aprēķinātu varbūtību dažādam līgumu skaitam (no četriem), par kuriem tika izmaksātas apdrošinājuma summas:
.
CV izplatīšanas sērijai (līgumu skaits ar apdrošināšanas gadījuma iestāšanos) ir šāda forma:
| 0,6561 | 0,2916 | 0,0486 | 0,0036 | 0,0001 |
Atbilde: , .
Piemērs 2.12. No piecām rozēm divas ir baltas. Uzrakstiet sadalījuma likumu nejaušam mainīgajam, kas izsaka balto rožu skaitu starp divām vienlaikus uzņemtām rožām.
Risinājums: Divu rožu paraugā var nebūt balto rožu, vai arī var būt viena vai divas baltas rozes. Tāpēc nejaušais mainīgais X var ņemt vērtības: 0, 1, 2. Varbūtības, ka Xņem šīs vērtības, mēs atrodam pēc formulas:
Kur -- rožu skaits;
-- balto rožu skaits;
– vienlaikus ņemto rožu skaits;
-- balto rožu skaits starp paņemtajām.
.
.
.
Tad gadījuma lieluma sadalījuma likums būs šāds:
Piemērs 2.13. No 15 samontētajām vienībām 6 nepieciešama papildu eļļošana. Izveidojiet likumu par to vienību skaita sadalījumu, kurām nepieciešama papildu eļļošana, starp pieciem nejauši izvēlētiem no kopējā skaita.
Risinājums: Izlases vērtība X- vienību skaits, kurām nepieciešama papildu eļļošana, starp piecām atlasītajām - var iegūt vērtības: 0, 1, 2, 3, 4, 5, un tam ir hiperģeometrisks sadalījums. Varbūtības, ka Xņem šīs vērtības, mēs atrodam pēc formulas:
Kur -- salikto vienību skaits;
-- vienību skaits, kurām nepieciešama papildu eļļošana;
– izvēlēto agregātu skaits;
-- vienību skaits, kurām nepieciešama papildu eļļošana starp izvēlētajiem.
.
.
.
.
.
.
Tad gadījuma lieluma sadalījuma likums būs šāds:
Piemērs 2.14. No 10 remontam saņemtajiem pulksteņiem 7 nepieciešama ģenerālā mehānisma tīrīšana. Pulksteņi netiek šķiroti pēc remonta veida. Meistars, vēlēdamies atrast pulksteni, kam nepieciešama tīrīšana, tos apskata vienu pēc otra un, atradis šādu pulksteni, pārtrauc tālāko apskati. Atrodiet noskatīto stundu skaita matemātisko cerību un dispersiju.
Risinājums: Izlases vērtība X- to vienību skaits, kurām nepieciešama papildu eļļošana, starp piecām atlasītajām vērtībām - var būt šādas vērtības: 1, 2, 3, 4. Varbūtības, ka Xņem šīs vērtības, mēs atrodam pēc formulas:
.
.
.
.
Tad gadījuma lieluma sadalījuma likums būs šāds:
Tagad aprēķināsim daudzuma skaitliskos raksturlielumus:
Atbilde: , .
Piemērs 2.15. Abonents ir aizmirsis vajadzīgā tālruņa numura pēdējo ciparu, bet atceras, ka tas ir nepāra. Atrodiet viņa veikto zvanu skaita matemātisko cerību un dispersiju pirms vajadzīgā numura nospiešanas, ja viņš nejauši sastāda pēdējo ciparu un turpmāk nesastāda sastādīto ciparu.
Risinājums: Nejaušam mainīgajam var būt šādas vērtības: . Tā kā abonents turpmāk neizsauc sastādīto ciparu, šo vērtību varbūtība ir vienāda.
Sastādām nejauša lieluma sadalījuma sēriju:
| 0,2 |
Aprēķināsim numuru sastādīšanas mēģinājumu skaita matemātisko cerību un dispersiju:
Atbilde: , .
Piemērs 2.16. Atteices iespējamība uzticamības testu laikā katrai sērijas ierīcei ir vienāda ar lpp. Nosakiet matemātisko sagaidāmo ierīču skaitu, kuras neizdevās, ja tās tika pārbaudītas N ierīces.
Risinājums: Diskrētais gadījuma mainīgais X ir bojāto ierīču skaits N neatkarīgi testi, kuros katrā neveiksmes varbūtība ir vienāda ar p, sadalīta saskaņā ar binominālo likumu. Binomiālā sadalījuma matemātiskā cerība ir vienāda ar mēģinājumu skaita un notikuma varbūtības reizinājumu vienā izmēģinājumā:
Piemērs 2.17. Diskrēts nejaušības lielums Xņem 3 iespējamās vērtības: ar varbūtību ; ar varbūtību un ar varbūtību . Atrodi un zinot, ka M( X) = 8.
Risinājums: Mēs izmantojam matemātiskās cerības definīcijas un diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu:
Mēs atradām: .
Piemērs 2.18. Tehniskās kontroles nodaļa pārbauda produktu standartu. Varbūtība, ka prece ir standarta, ir 0,9. Katrā partijā ir 5 priekšmeti. Atrodiet nejauša lieluma matemātisko cerību X- partiju skaits, no kurām katrā ir tieši 4 standarta produkti, ja verifikācijai pakļautas 50 partijas.
Risinājums:Šajā gadījumā visi veiktie eksperimenti ir neatkarīgi, un varbūtība, ka katrā partijā ir tieši 4 standarta produkti, ir vienādas, tāpēc matemātisko cerību var noteikt pēc formulas:
,
kur ir partiju skaits;
Varbūtība, ka partijā ir tieši 4 standarta preces.
Mēs atrodam varbūtību, izmantojot Bernulli formulu:
Atbilde: 
.
Piemērs 2.19. Atrodiet nejauša lieluma dispersiju X– notikuma reižu skaits A divos neatkarīgos izmēģinājumos, ja notikuma rašanās varbūtības šajos izmēģinājumos ir vienādas un ir zināms, ka M(X) = 0,9.
Risinājums: Problēmu var atrisināt divos veidos.
1) Iespējamās CB vērtības X: 0, 1, 2. Izmantojot Bernulli formulu, mēs nosakām šo notikumu varbūtības:
,
,
.
Tad sadales likums X izskatās kā:
No matemātiskās cerības definīcijas mēs nosakām varbūtību:
Atradīsim SW dispersiju X:
.
2) Varat izmantot formulu:
.
Atbilde: 
.
Piemērs 2.20. Normāli sadalīta gadījuma lieluma matemātiskā prognoze un standartnovirze X ir attiecīgi 20 un 5. Atrodiet varbūtību, ka testa rezultātā Xņems vērtību, kas ietverta intervālā (15; 25).
Risinājums: Varbūtība trāpīt parastajam gadījuma mainīgajam X posmā no līdz ir izteikts ar Laplasa funkciju:
Piemērs 2.21. Dota funkcija: 
Pie kādas parametra vērtības Cšī funkcija ir kāda nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma blīvums X? Atrodiet nejauša lieluma matemātisko cerību un dispersiju X.
Risinājums: Lai funkcija būtu kāda gadījuma lieluma sadalījuma blīvums, tai jābūt nenegatīvai un tai jāatbilst īpašībai:
.
Tātad:
Aprēķiniet matemātisko cerību, izmantojot formulu:
.
Aprēķiniet dispersiju, izmantojot formulu:
T ir lpp. Ir jāatrod šī nejaušā mainīgā matemātiskā cerība un dispersija.
Risinājums: Diskrētā gadījuma lieluma X sadalījuma likums - notikuma atgadījumu skaits neatkarīgos izmēģinājumos, kuros katrā notikuma iestāšanās varbūtība ir , sauc par binomiālu. Binomiālā sadalījuma matemātiskā cerība ir vienāda ar mēģinājumu skaita un notikuma A rašanās varbūtības reizinājumu vienā izmēģinājumā:
.
Piemērs 2.25. Mērķī tiek raidīti trīs neatkarīgi šāvieni. Katra metiena trāpīšanas iespējamība ir 0,25. Nosakiet trāpījumu skaita standartnovirzi ar trim šāvieniem.
Risinājums: Tā kā tiek veikti trīs neatkarīgi izmēģinājumi un notikuma A (trāpījums) iestāšanās iespējamība katrā izmēģinājumā ir vienāda, pieņemsim, ka diskrētais gadījuma mainīgais X - trāpījumu skaits uz mērķi - tiek sadalīts atbilstoši binomiālam. likumu.
Binomiālā sadalījuma dispersija ir vienāda ar mēģinājumu skaita un notikuma rašanās un nenotikšanas varbūtību reizinājumu vienā izmēģinājumā:
Piemērs 2.26. Vidējais klientu skaits, kas apdrošināšanas sabiedrību apmeklē 10 minūšu laikā, ir trīs. Atrodiet varbūtību, ka nākamo 5 minūšu laikā ieradīsies vismaz viens klients.
Vidējais klientu skaits, kas ierodas 5 minūtēs: 
. .
Piemērs 2.29. Lietojumprogrammas gaidīšanas laiks procesora rindā atbilst eksponenciālas sadales likumam ar vidējo vērtību 20 sekundes. Atrodiet varbūtību, ka nākamais (patvaļīgais) pieprasījums procesoru gaidīs ilgāk par 35 sekundēm.
Risinājums:Šajā piemērā cerības 
, un atteices līmenis ir .
Tad vēlamā varbūtība ir:
Piemērs 2.30. 15 studentu grupa sapulces notiek zālē ar 20 rindām pa 10 sēdvietām. Katrs students ieņem vietu zālē pēc nejaušības principa. Kāda ir varbūtība, ka septītajā vietā pēc kārtas būs ne vairāk kā trīs cilvēki?
Risinājums:
Piemērs 2.31.
Tad saskaņā ar klasisko varbūtības definīciju:
Kur -- detaļu skaits partijā;
-- nestandarta detaļu skaits partijā;
– izvēlēto daļu skaits;
-- nestandarta detaļu skaits starp izvēlētajām.
Tad gadījuma lieluma sadalījuma likums būs šāds.
Problēmu risināšanas piemēri par tēmu "Nejaušie mainīgie".
Uzdevums 1 . Izlozē ir izdotas 100 biļetes. Izspēlēta viena 50 USD uzvara. un desmit uzvaras pa 10 USD katram. Atrodiet vērtības X sadalījuma likumu - iespējamā ieguvuma izmaksas.
Risinājums. Iespējamās X vērtības: x 1 = 0; x 2 = 10 un x 3 = 50. Tā kā “tukšas” biļetes ir 89, tad p 1 = 0,89, laimesta iespējamība ir 10 c.u. (10 biļetes) – lpp 2 = 0,10 un par uzvaru 50 c.u. – lpp 3 = 0,01. Tādējādi:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Viegli vadāms: .
Uzdevums 2. Varbūtība, ka pircējs ir iepriekš iepazinies ar preces reklāmu, ir 0,6 (p = 0,6). Reklāmas selektīvā kvalitātes kontrole tiek veikta, aptaujājot pircējus pirms pirmā, kurš sludinājumu iepriekš ir izpētījis. Izveidojiet intervēto pircēju skaita sadalījuma sēriju.
Risinājums. Atbilstoši uzdevuma nosacījumam p = 0,6. No: q=1 -p = 0,4. Aizstājot šīs vērtības, mēs iegūstam: un izveidojiet izplatīšanas sēriju:
|
pi |
0,24 |
Uzdevums 3. Dators sastāv no trim neatkarīgi strādājošiem elementiem: sistēmas bloka, monitora un tastatūras. Ar vienu strauju sprieguma pieaugumu katra elementa atteices varbūtība ir 0,1. Pamatojoties uz Bernulli sadalījumu, izveidojiet sadales likumu bojāto elementu skaitam tīkla jaudas pārsprieguma laikā.
Risinājums. Apsveriet Bernulli izplatība(vai binomiāls): varbūtība, ka in n testos, notikums A parādīsies precīzi k vienreiz: 
vai:
|
q n |
lpp n |
IN atgriezīsimies pie uzdevuma.
Iespējamās X vērtības (atteices skaits):
x 0 =0 - neviens no elementiem neizdevās;
x 1 =1 - viena elementa atteice;
x 2 =2 - divu elementu atteice;
x 3 =3 - visu elementu atteice.
Tā kā pēc nosacījuma p = 0,1, tad q = 1 – p = 0,9. Izmantojot Bernulli formulu, mēs iegūstam
, ,
, .
Kontrole: .
Tāpēc vēlamais izplatīšanas likums:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
4. uzdevums. Izgatavoti 5000 patronu. Varbūtība, ka viena kasetne ir bojāta 
. Kāda ir iespējamība, ka visā partijā būs tieši 3 bojātas kasetnes?
Risinājums. Piemērojams Poisson sadalījums: šo sadalījumu izmanto, lai noteiktu varbūtību, ka, ņemot vērā ļoti lielu
izmēģinājumu skaits (masu izmēģinājumi), kuros katrā notikuma A varbūtība ir ļoti maza, notikums A notiks k reizes: 
, Kur.
Šeit n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Mēs atrodam , tad vēlamo varbūtību: 
.
5. uzdevums. Šaujot pirms pirmā sitiena ar varbūtību trāpīt p = 0,6 sitienam, jums jāatrod iespējamība, ka trāpījums notiks trešajā šāvienā.
Risinājums. Pielietosim ģeometrisko sadalījumu: veiks neatkarīgus izmēģinājumus, kuros katrā notikumam A ir iestāšanās varbūtība p (un nenotikšanās q = 1 - p). Izmēģinājumi beidzas, tiklīdz notiek notikums A.
Šādos apstākļos varbūtību, ka notikums A notiks k-tajā testā, nosaka pēc formulas: . Šeit p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Tāpēc .
6. uzdevums. Dots gadījuma lieluma X sadalījuma likums:
Atrodiet matemātisko cerību.
Risinājums. .
Ņemiet vērā, ka matemātiskās cerības varbūtiskā nozīme ir nejaušā mainīgā lieluma vidējā vērtība.
7. uzdevums. Atrodiet nejauša lieluma X dispersiju ar šādu sadalījuma likumu:
Risinājums. Šeit .
X kvadrāta sadalījuma likums 2 :
|
X 2 |
|||
Nepieciešamā dispersija: .
Izkliede raksturo nejauša lieluma novirzes (izkliedes) pakāpi no tā matemātiskās cerības.
8. uzdevums. Ļaujiet nejaušo mainīgo dot ar sadalījumu:
|
10 m |
|||
Atrodiet tā skaitliskos raksturlielumus.
Risinājums: m, m 2 ,
M 2 , m.
Par nejaušu lielumu X var teikt vai nu - tā matemātiskā cerība ir 6,4 m ar dispersiju 13,04 m 2 , vai - tā matemātiskā cerība ir 6,4 m ar novirzi m. Otrais formulējums ir acīmredzami skaidrāks.
Uzdevums 9.
Izlases vērtība X ko nosaka sadales funkcija: 
.
Atrodiet varbūtību, ka testa rezultātā vērtība X iegūs vērtību, kas ietverta intervālā 
.
Risinājums. Varbūtība, ka X ņems vērtību no dotā intervāla, ir vienāda ar integrālfunkcijas pieaugumu šajā intervālā, t.i. . Mūsu gadījumā un tādēļ
.
Uzdevums 10. Diskrēts nejaušības lielums X ko nosaka izplatīšanas likums:
Atrodiet izplatīšanas funkciju F(x ) un izveidojiet tā grafiku.
Risinājums. Kopš sadales funkcijas
Priekš 
, Tas
pie ;
pie ;
pie ;
pie ;
Attiecīgā diagramma:
11. uzdevums. Nepārtraukts gadījuma mainīgais X ko nosaka diferenciālā sadalījuma funkcija: 
.
Atrodiet sitiena varbūtību X uz intervālu
Risinājums. Ņemiet vērā, ka šis ir īpašs eksponenciālā sadalījuma likuma gadījums.
Izmantosim formulu: 
.
Uzdevums 12. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma X skaitliskos raksturlielumus, ko nosaka sadalījuma likums:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2 :
|
ir Laplasa funkcija.………………………………………………………
An - nejaušs lielums X ir ieguvis An vērtību.
Acīmredzot notikumu summa A1 A2, . , An ir noteikts notikums, jo nejaušajam mainīgajam noteikti ir nepieciešama vismaz viena no vērtībām x1, x2, xn.
Tāpēc P (A1 È A2 È . È An) = 1.
Turklāt notikumi A1, A2, ., An nav saderīgi, jo nejaušam mainīgajam vienā eksperimentā var būt tikai viena no vērtībām x1, x2, ., xn. Ar saskaitīšanas teorēmu nesaderīgiem notikumiem mēs iegūstam
P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,
t.i., p1+p2+ . +pn = 1 jeb, īsumā,
Tāpēc visu skaitļu summai, kas atrodas 1. tabulas otrajā rindā, kas dod nejaušā lieluma X sadalījuma likumu, ir jābūt vienādai ar vienu.
1. PIEMĒRS. Lai nejaušais lielums X ir izmesto punktu skaits, metot kauliņu. Atrodiet sadales likumu (tabulas veidā).
Nejaušajam mainīgajam X ir vērtības
x1=1, x2=2, … , x6=6
ar varbūtībām
p1 = p2 = … = p6 =
Sadales likums ir norādīts tabulā:
2. tabula
2. PIEMĒRS. Binomiālais sadalījums. Aplūkosim gadījuma lielumu X - notikuma A gadījumu skaitu neatkarīgu eksperimentu sērijā, katrā no kuriem A notiek ar varbūtību p.
Nejaušajam mainīgajam X acīmredzami var būt viena no šīm vērtībām:
0, 1, 2, ., k, ., n.
Notikuma varbūtību, kas sastāv no tā, ka gadījuma lielums X iegūs vērtību, kas vienāda ar k, nosaka pēc Bernulli formulas:
Рn(k)= kur q=1- р.
Šādu nejauša lieluma sadalījumu sauc par binomiālo sadalījumu vai Bernulli sadalījumu. Bernulli sadalījumu pilnībā nosaka divi parametri: visu izmēģinājumu skaits n un varbūtība p, ar kādu notikums notiek katrā atsevišķā izmēģinājumā.
Binoma sadalījuma nosacījums ir šāds:
Lai pierādītu šīs vienlīdzības pamatotību, pietiek ar identitāti
(q+px)n= 
likt x=1.
3. PIEMĒRS. Poisson sadalījums. Šis ir formas varbūtības sadalījuma nosaukums:
P(k)= 
.
To nosaka viens (pozitīvs) parametrs a. Ja ξ ir nejaušs lielums, kuram ir Puasona sadalījums, tad atbilstošais parametrs a - ir šī nejaušā mainīgā vidējā vērtība:
a=Mξ=, kur M ir matemātiskā cerība.
Nejaušais mainīgais ir:
4. PIEMĒRS. eksponenciālais sadalījums.
Ja laiks ir nejaušs lielums, apzīmēsim to ar τ, lai
kur 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.
Gadījuma lieluma t vidējā vērtība ir:
Izplatījuma blīvumam ir šāda forma:
4) Normāls sadalījums
Ļaut būt neatkarīgiem, identiski sadalītiem gadījuma mainīgajiem un ļaut 
Ja termini ir pietiekami mazi un skaitlis n ir pietiekami liels, - ja n à ∞ nejaušā lieluma Мξ matemātiskā cerība un dispersija Dξ, kas vienāda ar Dξ=M(ξ–Мξ)2, ir tādas, ka Мξ~ а, Dξ~σ2, tad
- normālais vai Gausa sadalījums
.
5) Ģeometriskais sadalījums. Ar ξ apzīmē to izmēģinājumu skaitu, kas ir pirms pirmā "veiksmes". Ja pieņemam, ka katrs tests ilgst laika vienību, tad ξ varam uzskatīt par gaidīšanas laiku līdz pirmajam "veiksmei". Izplatīšana izskatās šādi:
Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0
6) Hiperģeometriskais sadalījums.
Ir N - objekti, starp kuriem n - "īpašie objekti". Starp visiem objektiem nejauši tiek atlasīti k-objekti. Atrodiet varbūtību, ka starp atlasītajiem objektiem ir vienāds ar r - "īpašie objekti". Izplatīšana izskatās šādi:
7) Paskāla sadalījums.
Pieņemsim, ka x ir kopējais "neveiksmju" skaits pirms r-tā "veiksmes" saņemšanas. Izplatīšana izskatās šādi:
Sadales funkcijai ir šāda forma:
Līdzvērtīgs sadalījums nozīmē, ka gadījuma lielums x var iegūt jebkuru vērtību intervālā ar tādu pašu varbūtību. Šajā gadījumā sadalījuma blīvumu aprēķina kā 
Tālāk ir parādīti sadalījuma blīvuma un sadalījuma funkcijas grafiki.
Pirms izskaidrot jēdzienu "baltais troksnis", ir jāsniedz vairākas definīcijas.
Gadījuma funkcija ir negadījuma argumenta t funkcija, kas katrai argumenta fiksētajai vērtībai ir nejaušs mainīgais. Piemēram, ja U ir nejaušs mainīgais, tad funkcija X(t)=t2U ir nejauša.
Nejaušas funkcijas sadaļa ir nejaušs mainīgais, kas atbilst nejaušās funkcijas argumenta fiksētai vērtībai. Tādējādi gadījuma funkciju var uzskatīt par nejaušu lielumu kopu (X(t)), atkarībā no parametra t.
