Nejaušo lielumu kopa X 1 ,X 2 ,...,X lpp definēts uz varbūtības telpas () formām P- dimensiju gadījuma mainīgais ( X 1 ,X 2 ,...,X lpp). Ja ekonomisko procesu apraksta, izmantojot divus gadījuma lielumus X 1 un X 2 , tad tiek noteikts divdimensiju gadījuma lielums ( X 1 ,X 2) vai ( X,Y).
sadales funkcija divu nejaušu lielumu sistēmas ( X,Y), ko uzskata par mainīgo funkciju
ir notikuma rašanās varbūtība. 
:
Sadalījuma funkcijas vērtības apmierina nevienlīdzību
No ģeometriskā viedokļa sadales funkcija F(x,y) nosaka varbūtību, ka nejaušs punkts ( X,Y) iekritīs bezgalīgā kvadrantā ar virsotni punktā ( X,plkst), kopš punkta ( X,Y) atradīsies zem un pa kreisi no norādītās virsotnes (9.1. att.).
X,Y) pusjoslā (9.2. attēls) vai pusjoslā (9.3. attēls) izsaka ar formulām:
attiecīgi. Vērtību trāpīšanas varbūtība X,Y) taisnstūrī (9.4. att.) var atrast pēc formulas:
Att.9.2 Att.9.3 Att.9.4
Diskrēts sauc par divdimensiju lielumu, kura sastāvdaļas ir diskrētas.
sadales likums divdimensiju diskrētais gadījuma mainīgais ( X,Y) ir iespējamo vērtību kopa ( x i, y j),
, diskrētie nejaušie mainīgie X Un Y un to atbilstošās varbūtības 
kas raksturo varbūtību, ka komponents X iegūs jēgu x i un tajā pašā laikā komponents Y iegūs jēgu y j, un
Divdimensiju diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums ( X,Y) ir doti tabulas veidā. 9.1.
9.1. tabula
| Ω X Ω Y | x 1 | x 2 | … | x i | … |
| y 1 | lpp(x 1 ,y 1) | lpp(x 2 ,y 1) | … | p( x i,y 1) | … |
| y 2 | lpp(x 1 ,y 2) | lpp(x 2 ,y 2) | … | p( x i,y 2) | … |
| … | … | … | … | … | … |
| y i | lpp(x 1 ,y i) | lpp(x 2 ,y i) | … | p( x i,y i) | … |
| … | … | … | … | … | … |
Nepārtraukta ir divdimensiju gadījuma lielums, kura sastāvdaļas ir nepārtrauktas. Funkcija R(X,plkst) vienāds ar divdimensiju gadījuma lieluma trāpīšanas varbūtības koeficienta robežu ( X,Y) taisnstūri ar malām un šī taisnstūra laukumu, kad abām taisnstūra malām ir tendence uz nulli, sauc varbūtības sadalījuma blīvums:
Zinot sadalījuma blīvumu, sadalījuma funkciju var atrast pēc formulas: 
Visos punktos, kur ir sadalījuma funkcijas otrās kārtas jauktais atvasinājums
, varbūtības sadalījuma blīvums
var atrast, izmantojot formulu: 
Varbūtība trāpīt nejaušā punktā ( X,plkst) uz reģionu D tiek definēts ar vienlīdzību: 
Varbūtība, ka nejaušais mainīgais X ieguva jēgu X<х ar nosacījumu, ka gadījuma lielums Y paņēma fiksētu vērtību Y=y, aprēķina pēc formulas:
Tāpat
Formulas komponentu nosacītā varbūtības sadalījuma blīvumu aprēķināšanai X Un Y :
Nosacīto varbūtību kopa lpp(x 1 |y i), lpp(x 2 |y i), …, lpp(x i |y i), … atbilst nosacījumam Y=y i, sauc par komponenta nosacīto sadalījumu X plkst Y=y iX,Y), Kur 
Līdzīgi komponenta nosacītais sadalījums Y plkst X=x i diskrēts divdimensiju gadījuma lielums ( X,Y) ir nosacījumam atbilstošu nosacīto varbūtību kopa X=x i, Kur 
Sākuma brīdis pasūtījumsk+s divdimensiju gadījuma lielums ( X,Y
un , t.i. 
.
Ja X Un Y- diskrētie nejaušie mainīgie, tad 
Ja X Un Y- nepārtraukti nejauši mainīgie, tad 
Centrālais punkts pasūtījums k+s divdimensiju gadījuma lielums ( X,Y) tiek saukts paredzamā vērtība darbojas 
Un 
, tie.
Ja sastāvdaļu daudzumi ir diskrēti, tad
Ja sastāvdaļu daudzumi ir nepārtraukti, tad
Kur R(X,y) ir divdimensiju gadījuma lieluma sadalījuma blīvums ( X,Y).
Nosacīta cerībaY(X) plkst X=x(pie Y=y) sauc par formas izteiksmi:
– diskrētam gadījuma mainīgajam Y(X);
–
nepārtrauktam gadījuma mainīgajam Y(X).
Komponentu matemātiskās cerības X Un Y Divdimensiju gadījuma lielumu aprēķina pēc formulām:
korelācijas moments neatkarīgi gadījuma mainīgie X Un Y, iekļauts divdimensiju gadījuma mainīgajā ( X,Y), sauc par šo lielumu noviržu reizinājumu matemātisko cerību:
Divu neatkarīgu gadījuma lielumu korelācijas moments XX,Y) ir vienāds ar nulli.
Korelācijas koeficients nejaušie mainīgie X un Y iekļauts divdimensiju nejaušā mainīgā ( X,Y), viņi sauc korelācijas momenta attiecību pret šo lielumu standartnoviržu reizinājumu:
Korelācijas koeficients raksturo lineārās korelācijas atkarības pakāpi (stingrību) starp X Un Y.Nejaušie mainīgie, kuriem , tiek saukti par nekorelētiem.
Korelācijas koeficients apmierina īpašības:
1. Korelācijas koeficients nav atkarīgs no nejaušo lielumu mērvienībām.
2. Korelācijas koeficienta absolūtā vērtība nepārsniedz vienu:
3. Ja tad starp komponentiem X Un Y nejaušs mainīgais ( x, Y) pastāv lineāra funkcionāla atkarība: 
4. Ja tad sastāvdaļas X Un Y divfaktoru gadījuma mainīgie nav korelēti.
5. Ja tad sastāvdaļas X Un Y Divdimensiju gadījuma lielums ir atkarīgi.
Vienādojumi M(X|Y=y)=φ( plkst)Un M(Y|X=x)=ψ( x) sauc par regresijas vienādojumiem, bet ar tiem definētās taisnes sauc par regresijas līnijām.
Uzdevumi
9.1. Divdimensiju diskrētais gadījuma lielums (X, Y) ko nosaka izplatīšanas likums:
9.2. tabula
| Ω x Ω y | ||||
| 0,2 | 0,15 | 0,08 | 0,05 | |
| 0,1 | 0,05 | 0,05 | 0,1 | |
| 0,05 | 0,07 | 0,08 | 0,02 |
Atrodi: a) komponentu sadalījuma likumus X Un Y;
b) daudzuma nosacītā sadalījuma likums Y plkst X =1;
c) sadales funkcija.
Uzziniet, vai daudzumi ir neatkarīgi X Un Y. Aprēķināt varbūtību un pamata skaitliskos raksturlielumus M(X),M(Y),D(X),D(Y),R(X,Y), .
Risinājums. a) Nejaušie mainīgie X un Y ir definēti komplektā, kas sastāv no elementāriem rezultātiem, kam ir šāda forma:
pasākums ( X= 1) atbilst tādu rezultātu kopa, kuriem pirmā sastāvdaļa ir vienāda ar 1: (1;0), (1;1), (1;2). Šie rezultāti nav savienojami. Varbūtība, ka X iegūs jēgu x i, saskaņā ar Kolmogorova aksiomu 3, ir vienāds ar:
Līdzīgi
Tāpēc komponenta robežizplatījums X, var sniegt tabulas veidā. 9.3.
9.3. tabula
b) Nosacīto varbūtību kopa R(1;0), R(1;1), R(1;2) atbilst nosacījumam X=1, sauc par komponenta nosacītu sadalījumu Y plkst X=1. Lieluma vērtību varbūtība Y plkst X=1 mēs atrodam, izmantojot formulu:
Tā kā , tad, aizstājot atbilstošo varbūtību vērtības, mēs iegūstam
Tātad komponenta nosacītais sadalījums Y plkst X=1 izskatās šādi:
9.5. tabula
| y j | |||
| 0,48 | 0,30 | 0,22 |
Tā kā nosacītā un beznosacījuma sadalījuma likumi nesakrīt (skat. 9.4. un 9.5. tabulu), tad lielumi X Un Y atkarīgi. Šo secinājumu apstiprina fakts, ka vienlīdzība
jebkuram iespējamo vērtību pārim X Un Y.
Piemēram,
c) Sadales funkcija F(x,y) no divdimensiju gadījuma lieluma (X,Y) izskatās kā:
kur summēšana tiek veikta pa visiem punktiem (), kuriem vienlaikus tiek izpildītas nevienādības x i
Rezultātu ērtāk ir parādīt 9.6. tabulas veidā.
9.6. tabula
| X y | |||||
| 0,20 | 0,35 | 0,43 | 0,48 | ||
| 0,30 | 0,5 | 0,63 | 0,78 | ||
| 0,35 | 0,62 | 0,83 |
Mēs izmantojam sākotnējo momentu formulas un 9.3. un 9.4. tabulu rezultātus un aprēķinām komponentu matemātiskās cerības. X Un Y:
Izkliedes tiek aprēķinātas, izmantojot otro sākuma momentu un tabulas rezultātus. 9.3 un 9.4:
Lai aprēķinātu kovariāciju UZ(X,Y) mēs izmantojam līdzīgu formulu sākuma momenta izteiksmē:
Korelācijas koeficientu nosaka pēc formulas:
Vēlamo varbūtību definē kā varbūtību iekrist plaknes apgabalā, ko nosaka atbilstošā nevienādība:
9.2. Kuģis pārraida SOS ziņojumu, kuru var uztvert divas radiostacijas. Šo signālu var uztvert viena radiostacija neatkarīgi no otras. Varbūtība, ka signālu uztvers pirmā radiostacija, ir 0,95; varbūtība, ka signālu uztvers otrā radiostacija, ir 0,85. Atrodiet divdimensiju gadījuma lieluma sadalījuma likumu, kas raksturo signāla uztveršanu divās radiostacijās. Uzrakstiet sadalījuma funkciju.
Risinājums:Ļaujiet X– notikums, kas sastāv no tā, ka signālu uztver pirmā radiostacija. Y– notikums ir tāds, ka signālu uztver otrā radiostacija.
Daudzas vērtības .
X=1 – signāls, ko uztver pirmā radiostacija;
X=0 – signālu neuztvēra pirmā radiostacija.
Daudzas vērtības .
Y=l – signāls, ko uztver otrā radiostacija,
Y=0 – signālu neuztvēra otrā radiostacija.
Varbūtība, ka signālu nesaņem ne pirmā, ne otrā radiostacija, ir vienāda ar:
Pirmās radiostacijas signāla saņemšanas varbūtība:
Varbūtība, ka signālu uztvers otrā radiostacija:
Varbūtība, ka signālu uztvers gan pirmā, gan otrā radiostacija, ir vienāda ar: .
Tad divdimensiju gadījuma lieluma sadalījuma likums ir vienāds ar:
| y x | ||
| 0,007 | 0,142 | |
| 0,042 | 0,807 |
X,y) nozīme F(X,y) ir vienāds ar nejaušā mainīgā lieluma iespējamo vērtību varbūtību summu ( X,Y), kas atrodas norādītajā taisnstūrī.
Tad sadales funkcija izskatīsies šādi:
9.3. Divi uzņēmumi ražo vienu un to pašu produktu. Katrs neatkarīgi no otra var pieņemt lēmumu modernizēt ražošanu. Varbūtība, ka pirmais uzņēmums pieņēma šādu lēmumu, ir 0,6. Varbūtība, ka otrā firma pieņems šādu lēmumu, ir 0,65. Uzrakstiet divdimensiju gadījuma lieluma sadalījuma likumu, kas raksturo lēmumu modernizēt divu firmu ražošanu. Uzrakstiet sadalījuma funkciju.
Atbilde: Izplatīšanas likums:
| 0,14 | 0,21 | |
| 0,26 | 0,39 |
Katrai fiksētai punkta vērtībai ar koordinātām ( x,y) vērtība ir vienāda ar to iespējamo vērtību varbūtību summu, kas atrodas norādītajā taisnstūrī 
.
9.4. Virzuļa gredzeni automašīnu dzinējiem ir izgatavoti uz automātiskās virpas. Tiek izmērīts gredzena biezums (nejauša vērtība X) un urbuma diametrs (nejauša vērtība Y). Ir zināms, ka aptuveni 5% no visiem virzuļa gredzeniem ir bojāti. Turklāt 3% atkritumu ir nestandarta caurumu diametra dēļ, 1% - nestandarta biezuma dēļ un 1% - tiek noraidīti abu iemeslu dēļ. Atrast: divdimensiju gadījuma lieluma kopīgs sadalījums ( X,Y); viendimensijas komponentu sadalījumi X Un Y;komponentu cerības X Un Y; korelācijas moments un korelācijas koeficients starp komponentiem X Un Y divdimensiju gadījuma lielums ( X,Y).
Atbilde: Izplatīšanas likums:
| 0,01 | 0,03 | |
| 0,01 | 0,95 |
; 
; 
; 
; ; .
9.5. Rūpnīcas ražošanā laulība defekta dēļ A ir 4%, un defekta dēļ IN- 3,5%. Standarta produkcija ir 96%. Nosakiet, cik procentu no visiem produktiem ir abu veidu defekti.
9.6.
Izlases vērtība ( X,Y) sadalīts ar nemainīgu blīvumu 
laukuma iekšpusē R, kuras virsotnēm ir koordinātes (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Nosakiet nejauša lieluma sadalījuma blīvumu ( X,Y) un nosacīto sadalījuma blīvumu R(X\plkst), R(plkst\X).
Risinājums. Būvēsim uz lidmašīnas x 0y dotajam kvadrātam (9.5. att.) un noteikt kvadrāta ABCD malu vienādojumus, izmantojot taisnes vienādojumu, kas iet caur diviem dotiem punktiem: 
Virsotņu koordinātu aizstāšana A Un IN secīgi iegūstam malas vienādojumu AB: 
vai
.
Līdzīgi mēs atrodam malas vienādojumu saule: ;puse CD: un malas DA: . : .D X , Y) ir puslode, kuras centrs ir rādiusa sākumā R.Atrast varbūtības sadalījuma blīvumu.
Atbilde:
9.10. Tiek dots diskrēts divdimensiju gadījuma lielums:
| 0,25 | 0,10 | |
| 0,15 | 0,05 | |
| 0,32 | 0,13 |
Atrodi: a) nosacītās sadales likumu X, ar nosacījumu, ka y= 10;
b) nosacītās sadales likums Y, ar nosacījumu, ka x =10;
c) matemātiskā cerība, dispersija, korelācijas koeficients.
9.11. Nepārtraukts divdimensiju gadījuma mainīgais ( X,Y) ir vienmērīgi sadalīts iekšpusē taisnleņķa trīsstūris ar virsotnēm PAR(0;0), A(0;8), IN(8,0).
Atrast: a) varbūtības sadalījuma blīvumu;
Definīcija 2.7. ir nejaušu skaitļu pāris (X, Y), vai punkts koordinātu plaknē (2.11. att.).
Rīsi. 2.11.
Divdimensiju gadījuma mainīgais ir īpašs daudzdimensiju gadījuma lieluma vai gadījuma vektora gadījums.
Definīcija 2.8. Nejaušs vektors - vai tā ir nejauša funkcija?,(/) ar ierobežotu iespējamo argumentu vērtību kopu t, kuras vērtība jebkurai vērtībai t ir nejaušs mainīgais.
Divdimensiju gadījuma lielumu sauc par nepārtrauktu, ja tā koordinātas ir nepārtrauktas, un par diskrētu, ja tā koordinātas ir diskrētas.
Noteikt divdimensiju gadījuma lielumu sadalījuma likumu nozīmē noteikt atbilstību starp tā iespējamajām vērtībām un šo vērtību varbūtību. Saskaņā ar iestatīšanas veidiem nejaušie mainīgie tiek sadalīti nepārtrauktos un diskrētos, lai gan ir vispārīgi veidi, kā iestatīt jebkuras RV sadalījuma likumu.
Diskrēts divdimensiju gadījuma lielums
Diskrēts divdimensiju gadījuma lielums tiek norādīts, izmantojot sadalījuma tabulu (2.1. tabula).
2.1. tabula
Piešķīruma tabula (kopīgs piešķīrums) CB ( X, U)
Tabulas elementus nosaka formula
Sadales tabulas elementu īpašības:
Tiek izsaukts sadalījums pa katru koordinātu viendimensionāls vai margināls:
R 1> = P(X =.d,) - SW marginālais sadalījums X;
p^2) = P(Y=y,)- SV U marginālais sadalījums.
CB kopīgās izplatīšanas komunikācija X un Y, ko nosaka varbūtību kopa [p () ), i = 1,..., n, j = 1,..., T(sadales tabula) un robež sadalījumu.
Līdzīgi arī SV U p-2)= X p, g
Problēma 2.14. Ņemot vērā:
Nepārtraukts 2D nejaušs mainīgais
/(X, y)dxdy- varbūtības elements divdimensiju gadījuma mainīgajam (X, Y) - varbūtība trāpīt nejaušam mainīgajam (X, Y) taisnstūrī ar malām cbc, dy plkst dx, dy -* 0:
f(x, y) - sadalījuma blīvums divdimensiju gadījuma lielums (X, Y). Uzdevums /(x, y) mēs sniedzam pilnīgu informāciju par divdimensiju gadījuma lieluma sadalījumu.
Marginālie sadalījumi tiek norādīti šādi: X - pēc CB sadalījuma blīvuma X/,(x); Autors Y- SV sadalījuma blīvums f>(y).
Divdimensiju gadījuma lieluma sadalījuma likuma iestatīšana ar sadalījuma funkciju
Universāls veids, kā norādīt sadalījuma likumu diskrētam vai nepārtrauktam divdimensiju gadījuma mainīgajam, ir sadalījuma funkcija F(x, y).
Definīcija 2.9. Sadales funkcija F(x, y)- notikumu kopīgas rašanās varbūtība (Xy), t.i. F(x0,y n) = = P(X y), izmesti uz koordinātu plaknes, iekrīt bezgalīgā kvadrantā ar virsotni punktā M(x 0, tu i)(ēnotajā zonā 2.12. att.).
Rīsi. 2.12. Izdales funkcijas F( x, y)
Funkciju īpašības F(x, y)
- 1) 0 1;
- 2) F(-oo,-oo) = F(x,-oo) = F(-oo, y) = 0; F( oo, oo) = 1;
- 3) F(x, y)- nesamazinās katrā argumentā;
- 4) F(x, y) — nepārtraukta pa kreisi un apakšā;
- 5) sadalījumu konsekvence:
F(x, X: F(x, oo) = F,(x); F(y, oo) - marginālais sadalījums Y F( oo, y) = F 2 (y). Savienojums /(x, y) Ar F(x, y):
Saistība starp locītavu blīvumu un robežblīvumu. Dana f(x, y). Mēs iegūstam robežizplatījuma blīvumus f(x), f 2 (y)".
Divdimensiju gadījuma lieluma neatkarīgu koordinātu gadījums
Definīcija 2.10. SW X Un Neatkarīgi(nc) ja kādi notikumi, kas saistīti ar katru no šiem RV, ir neatkarīgi. No nc CB definīcijas izriet:
- 1 )Pij = p X) pf
- 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).
Izrādās, ka neatkarīgiem SW X Un Y pabeigts un
3 )f(x,y) = J(x)f,(y).
Pierādīsim to neatkarīgiem SW X Un Y2) 3). pierādījums, a) pieņemsim 2), t.i.,
tajā pašā laikā F(x,y) = f Dž f(u,v)dudv, no kurienes izriet 3);
b) ļaujiet 3 tagad turēt, tad
tie. taisnība 2).
Apskatīsim uzdevumus.
Problēma 2.15. Sadalījums ir norādīts šādā tabulā:
Mēs veidojam marginālos sadalījumus:
Mēs saņemam P(X = 3, U = 4) = 0,17 * P(X = 3) P (Y \u003d 4) \u003d 0,1485 => => SV X un Apgādājamie.
Izplatīšanas funkcija:
Problēma 2.16. Sadalījums ir norādīts šādā tabulā:
Mēs saņemam P tl = 0,2 0,3 = 0,06; P 12 \u003d 0,2? 0,7 = 0,14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => SW X Un Y nz.
Problēma 2.17. Dana /(x, y) = 1/st exp| -0,5(d "+ 2xy + 5d/2)]. Atrast Ak) Un /Jā)-
Risinājums
(aprēķiniet paši).
Sakārtotu gadījuma lielumu X un Y pāri (X , Y) sauc par divdimensiju gadījuma lielumu vai divdimensiju telpas nejaušības vektoru. Divdimensiju gadījuma lielumu (X,Y) sauc arī par gadījuma lielumu X un Y sistēmu. Diskrētā gadījuma lieluma visu iespējamo vērtību kopu ar to varbūtībām sauc par šī gadījuma lieluma sadalījuma likumu. Diskrēts divdimensiju gadījuma lielums (X, Y) tiek uzskatīts par dotu, ja ir zināms tā sadalījuma likums:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
Pakalpojuma uzdevums. Izmantojot pakalpojumu, saskaņā ar konkrēto izplatīšanas likumu jūs varat atrast:
- sadalījuma rindas X un Y, matemātiskā gaida M[X], M[Y], dispersija D[X], D[Y];
- kovariance cov(x,y), korelācijas koeficients r x,y , nosacītā sadalījuma rinda X, nosacītā gaidīšana M;
Instrukcija. Norādiet varbūtības sadalījuma matricas dimensiju (rindu un kolonnu skaitu) un tās formu. Iegūtais risinājums tiek saglabāts Word failā.
1. piemērs. Divdimensiju diskrētam gadījuma mainīgajam ir sadalījuma tabula:
| J/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | q |
Risinājums. Mēs atrodam vērtību q no nosacījuma Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. No kurienes q = 0,09
Izmantojot formulu ∑P(x i,y j) = lpp i(j=1..n), atrodiet sadalījuma sēriju X.
M[g] = 1 * 0,05 + 2 * 0,46 + 3 * 0,34 + 4 * 0,15 = 2,59
Izkliede D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Standarta novirzeσ(y) = kvadrāts(D[Y]) = kvadrāts(0,64) = 0,801
kovariācija cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 20 0,02 + 1 30 0,02 + 0,02 + . 3 30 0,08 + 4 30 0,01 + 1 40 0,03 + 2 40 0,11 + 3 40 0,05 + 4 40 0,09 - 25,2 2,59 = -0,068
Korelācijas koeficients rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736
2. piemērs. Informācijas statistiskās apstrādes dati par diviem rādītājiem X un Y atspoguļoti korelācijas tabulā. Nepieciešams:
- uzrakstīt sadalījuma rindas X un Y un aprēķināt tām izlases vidējos un izlases standartnovirzes;
- uzraksta nosacītā sadalījuma virkni Y/x un aprēķina nosacītos vidējos Y/x;
- grafiski attēlo nosacīto vidējo vērtību Y/x atkarību no X vērtībām;
- aprēķina izlases korelācijas koeficientu Y uz X;
- uzrakstīt parauga tiešās regresijas vienādojumu;
- ģeometriski attēlo korelācijas tabulas datus un izveido regresijas līniju.
Visu iespējamo diskrēta gadījuma lieluma vērtību kopu ar to varbūtībām sauc par šī gadījuma lieluma sadalījuma likumu.
Diskrēts divdimensiju gadījuma lielums (X,Y) tiek uzskatīts par dotu, ja ir zināms tā sadalījuma likums:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
| X/Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. Nejaušo lielumu X un Y atkarība.
Atrodiet sadalījuma sēriju X un Y.
Izmantojot formulu ∑P(x i,y j) = lpp i(j=1..n), atrodiet sadalījuma sēriju X. Matemātiskās cerības M[Y].
M[g] = (20 * 6 + 30 * 9 + 40 * 55 + 50 * 16 + 60 * 14)/100 = 42,3
Izkliede D[Y].
D[Y] = (20 2 * 6 + 30 2 * 9 + 40 2 * 55 + 50 2 * 16 + 60 2 * 14)/100 - 42,3 2 = 99,71
Standarta novirze σ(y).
Tā kā P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, tad nejaušie lielumi X un Y atkarīgi.
2. Nosacītā sadales likums X.
Nosacītā sadales likums X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Nosacītā paredzamā M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Nosacītā dispersija D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Nosacītā sadales likums X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Nosacītā paredzamā vērtība M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Nosacītā dispersija D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Nosacītā sadales likums X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Nosacītā paredzamā vērtība M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Nosacītā dispersija D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0,11 + 26 2 * 0,82 + 31 2 * 0,0727 + 36 2 * 0 - 25,82 2 = 4,51
Nosacītā sadales likums X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Nosacītā paredzamā vērtība M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Nosacītā dispersija D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Nosacītā sadales likums X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Nosacītā paredzamā vērtība M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0 + 26 * 0,29 + 31 * 0,5 + 36 * 0,21 = 30,64
Nosacītā dispersija D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Nosacītā sadales likums Y.
Nosacītā sadales likums Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Nosacītā paredzamā vērtība M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Nosacītā dispersija D = 20 2 * 1 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 20 2 = 0
Nosacītā sadales likums Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Nosacītā paredzamā vērtība M = 20 * 0,4 + 30 * 0,6 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 0 = 26
Nosacītā dispersija D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Nosacītā sadales likums Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Nosacītā paredzamā vērtība M = 20 * 0 + 30 * 0,27 + 40 * 0,55 + 50 * 0,18 + 60 * 0 = 39,09
Nosacītā dispersija D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Nosacītā sadales likums Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Nosacītā paredzamā vērtība M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0,79 + 50 * 0,14 + 60 * 0,0702 = 42,81
Nosacītā dispersija D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0,79 + 50 2 * 0,14 + 60 2 * 0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Nosacītā sadales likums Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Nosacītā paredzamā vērtība M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Nosacītā dispersija D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0,24 + 50 2 * 0,35 + 60 2 * 0,41 - 51,76 2 = 61,59
Nosacītā sadales likums Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Nosacītā paredzamā vērtība M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Nosacītā dispersija D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 1 - 60 2 = 0
kovariācija.
cov(X,Y) = M - M[X] M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 5 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Ja nejaušie mainīgie ir neatkarīgi, tad to kovariance ir nulle. Mūsu gadījumā cov(X,Y) ≠ 0.
Korelācijas koeficients.
Lineārās regresijas vienādojums no y līdz x ir:
Lineārās regresijas vienādojums no x līdz y ir:
Atrodiet nepieciešamos skaitliskos raksturlielumus.
Paraugs nozīmē:
x = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 25,3
dispersijas:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Kur mēs iegūstam standarta novirzes:
σ x = 9,99 un σ y = 4,9
un kovariācija:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 5 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Definēsim korelācijas koeficientu:
Pierakstīsim regresijas taisnes y(x) vienādojumus:
un aprēķinot, mēs iegūstam:
yx = 0,38x + 9,14
Pierakstīsim regresijas taisnes x(y) vienādojumus:
un aprēķinot, mēs iegūstam:
x y = 1,59 y + 2,15
Ja veidosim ar tabulas un regresijas taisnēm definētos punktus, redzēsim, ka abas taisnes iet caur punktu ar koordinātām (42.3; 25.3) un punkti atrodas tuvu regresijas taisnēm.
Korelācijas koeficienta nozīme.
Pēc Stjudenta tabulas ar nozīmības līmeni α=0,05 un brīvības pakāpēm k=100-m-1 = 98 atrodam t crit:
t crit (n-m-1; α/2) = (98; 0,025) = 1,984
kur m = 1 ir skaidrojošo mainīgo skaits.
Ja t obs > t ir kritisks, tad iegūtā korelācijas koeficienta vērtība tiek atzīta par nozīmīgu (nulles hipotēze, kas apgalvo, ka korelācijas koeficients ir vienāds ar nulli, tiek noraidīta).
Tā kā t obl > t crit, mēs noraidām hipotēzi, ka korelācijas koeficients ir vienāds ar 0. Citiem vārdiem sakot, korelācijas koeficients ir statistiski nozīmīgs.
Vingrinājums. Nejaušo lielumu X un Y vērtību pāru trāpījumu skaits attiecīgajos intervālos ir norādīts tabulā. No šiem datiem atrodiet izlases korelācijas koeficientu un taisnās regresijas taisnes Y izlases vienādojumus uz X un X uz Y .
Risinājums
Piemērs. Divdimensiju gadījuma lieluma (X, Y) varbūtības sadalījumu uzrāda tabula. Atrodiet komponentu lielumu X, Y un korelācijas koeficienta p(X, Y) sadalījuma likumus.
Lejupielādēt risinājumu
Vingrinājums. 2D diskrēts daudzums(X, Y) ir dots sadales likumā. Atrodiet X un Y komponentu sadalījuma likumus, kovariāciju un korelācijas koeficientu.
Diezgan bieži, pētot nejaušos mainīgos, nākas saskarties ar diviem, trim un pat liels skaits nejaušie mainīgie. Piemēram, divdimensiju gadījuma lielums $\left(X,\Y\right)$ aprakstīs šāviņa trāpījuma punktu, kur nejaušie mainīgie $X,\Y$ ir attiecīgi abscisa un ordināta. Nejauši izvēlēta studenta sniegumu sesijas laikā raksturo $n$-dimensionāls nejaušības mainīgais $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$, kur nejaušie mainīgie ir $X_1,\ X_2,\ \punkti ,\ X_n $ - šīs ir atzīmes, kas tiek ierakstītas atzīmju grāmatā dažādās disciplīnās.
$n$ nejaušo mainīgo kopa $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ tiek saukta nejaušības vektors. Mēs aprobežojamies ar gadījumu $\left(X,\ Y\right)$.
Lai $X$ ir diskrēts gadījuma mainīgais ar iespējamām vērtībām $x_1,x_2,\ \dots ,\ x_n$, un $Y$ ir diskrēts gadījuma mainīgais ar iespējamām vērtībām $y_1,y_2,\ \dots, \ y_n$.
Tad diskrēts divdimensiju gadījuma mainīgais $\left(X,\Y\right)$ var iegūt vērtības>\left(x_i,\y_j\right)$ ar varbūtībām $p_(ij)=P\left( \left(X=x_i \right)\left(Y=y_j\right)\right)=P\left(X=x_i\right)P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$. Šeit $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ ir nosacītā varbūtība, ka nejaušajam mainīgajam $Y$ būs vērtība $y_j$, ja nejaušajam mainīgajam $X$ ir vērtība $x_i$.
Varbūtība, ka nejaušais mainīgais $X$ iegūst vērtību $x_i$, ir vienāda ar $p_i=\sum_j(p_(ij))$. Varbūtība, ka nejaušais mainīgais $Y$ iegūst vērtību $y_j$, ir vienāda ar $q_j=\sum_i(p_(ij))$.
$$P\left(X=x_i|Y=y_j\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ pa kreisi(Y=y_j\right)))=(((p_(ij))\over (q_j)).$$
$$P\left(Y=y_j|X=x_i\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ pa kreisi(X=x_i\right)))=(((p_(ij))\over (p_i)).$$
1. piemērs . Divdimensiju gadījuma lieluma sadalījums ir dots:
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
X\atgriezes slīpsvītra Y un 2 un 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(masīvs)$
Definēsim sadalījuma likumus nejaušajiem mainīgajiem $X$ un $Y$. Atradīsim nejaušā lieluma $X$ nosacītos sadalījumus ar nosacījumu $Y=2$ un nejaušā mainīgā $Y$ ar nosacījumu $X=0$.
Aizpildīsim šādu tabulu:
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 & p_i & p_(ij)/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(masīvs)$
Paskaidrosim, kā tiek aizpildīta tabula. Pirmo četru rindu pirmo trīs kolonnu vērtības tiek ņemtas no nosacījuma. $2$th ($3$th) rindas kolonnu $2$th un $3$th skaitļu summa ir norādīta rindas $2$th ($3$th) kolonnā $4$th. $4$th rindas kolonnās $2$th un $3$th esošo skaitļu summa ir norādīta $4$th rindas kolonnā $4$th.
Skaitļu summa $2$th ($3$th) kolonnas rindās $2$th, $3$th un $4$th tiek ierakstīta kolonnas $2$th ($3$th) rindā $5$th. Katrs skaitlis kolonnā $2$th tiek dalīts ar $q_1=0,52$, rezultāts tiek noapaļots līdz divām zīmēm aiz komata un ierakstīts kolonnā $5$th. Skaitļi no $2$th un $3$th kolonnām $3$th rindā tiek dalīti ar $p_2=0,41$, rezultāts tiek noapaļots līdz divām zīmēm aiz komata un ierakstīts pēdējā rindā.
Tad nejaušā lieluma $X$ sadalījuma likumam ir šāda forma.
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
X un -1 un 0 un 1 \\
\hline
p_i un 0,4 un 0,41 un 0,19 \\
\hline
\end(masīvs)$
Nejaušā lieluma $Y$ sadalījuma likums.
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
Y un 2 un 3 \\
\hline
q_j & 0,52 un 0,48 \\
\hline
\end(masīvs)$
Gadījuma lieluma $X$ nosacījuma sadalījumam ar nosacījumu $Y=2$ ir šāda forma.
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
X un -1 un 0 un 1 \\
\hline
p_(ij)/q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\
\hline
\end(masīvs)$
Gadījuma lieluma $Y$ nosacījuma sadalījumam ar nosacījumu $X=0$ ir šāda forma.
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
Y un 2 un 3 \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 un 0,32 \\
\hline
\end(masīvs)$
2. piemērs . Mums ir seši zīmuļi, no kuriem divi ir sarkani. Zīmuļus ievietojam divās kastītēs. Pirmajā tiek ievietoti 2 $ gabali, bet otrajā - divi. $X$ ir sarkano zīmuļu skaits pirmajā lodziņā, un $Y$ ir otrajā. Uzrakstiet sadalījuma likumu nejaušo lielumu sistēmai $(X,\ Y)$.
Ļaujiet diskrētam gadījuma lielumam $X$ būt sarkano zīmuļu skaitam pirmajā lodziņā un diskrētajam gadījuma mainīgajam $Y$ būt sarkano zīmuļu skaitam otrajā lodziņā. Nejaušo lielumu $X,\Y$ iespējamās vērtības ir attiecīgi $X:0,\ 1,\ 2$, $Y:0,\ 1,\ 2$. Tad diskrēts divdimensiju gadījuma mainīgais $\left(X,\Y\right)$ var iegūt vērtības $\left(x,\y\right)$ ar varbūtībām $P=P\left(\left( X=x\right) \times \left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)\times P\left(Y=y|X=x\right)$, kur $P\left(Y =y|X=x\right)$ - nosacītā varbūtība, ka nejaušajam mainīgajam $Y$ būs vērtība $y$, ja nejaušajam mainīgajam $X$ ir vērtība $x$. Atveidosim atbilstību starp vērtībām $\left(x,\y\right)$ un varbūtībām $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right) \right)$ šādās tabulās.
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
X\atgriezes slīpsvītra Y un 0 un 1 un 2 \\
\hline
0 & ((1)\virs (15)) & ((4)\virs (15)) & ((1)\virs (15)) \\
\hline
1 & ((4)\over (15)) & ((4)\over (15)) & 0 \\
\hline
2 & ((1)\over (15)) & 0 & 0 \\
\hline
\end(masīvs)$
Šādas tabulas rindas norāda vērtības $X$, un kolonnas norāda vērtības $Y$, tad varbūtības $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y) =y\right)\right)$ ir norādīti atbilstošās rindas un kolonnas krustpunktā. Aprēķiniet varbūtības, izmantojot klasiskā definīcija varbūtības un atkarīgo notikumu varbūtību reizinājuma teorēma.
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^1_2\ cdot C^1_2)\over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((2\cdot 2)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=2\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^2_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((3)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^1_1\cdot C^1_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((1\cdot 3)\over (6))=(( 4)\over(15));$$
$$P\left(\left(X=2\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_2)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_4) \over (C^2_4))=((1)\over (15))\cdot 1=((1)\over (15)).$$
Tā kā sadalījuma likumā (rezultātā tabulā) visa notikumu kopa veido pilnīgu notikumu grupu, varbūtību summai jābūt vienādai ar 1. Pārbaudīsim:
$$\sum_(i,\j)(p_(ij))=((1)\over (15))+((4)\over (15))+((1)\over (15))+ ((4)\virs (15))+((4)\virs (15))+((1)\virs (15))=1.$$
Divdimensiju gadījuma lieluma sadalījuma funkcija
sadales funkcija Divdimensiju gadījuma lielums $\left(X,\Y\right)$ ir funkcija $F\left(x,\y\right)$, kas jebkuriem reāliem skaitļiem $x$ un $y$ ir vienāda ar divu notikumu kopīgas izpildes varbūtība $ \left\(X< x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению
$$F\left(x,\y\right)=P\left\(X< x,\ Y < y\right\}.$$
Diskrētam divdimensiju gadījuma mainīgajam sadalījuma funkcija tiek atrasta, summējot visas varbūtības $p_(ij)$, kurām $x_i< x,\ y_j < y$, то есть
$$F\left(x,\y\right)=\sum_(x_i< x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$
Divdimensiju gadījuma lieluma sadalījuma funkcijas īpašības.
1 . Sadalījuma funkcija $F\left(x,\y\right)$ ir ierobežota, tas ir, $0\le F\left(x,\y\right)\le 1$.
2 . $F\left(x,\y\right)$ nesamazinās katram tā argumentam ar otru fiksēto, t.i., $F\left(x_2,\y\right)\ge F\left(x_1,\ y\ pa labi )$ par $x_2>x_1$, $F\left(x,\y_2\right)\ge F\left(x,\y_1\right)$ par $y_2>y_1$.
3 . Ja vismaz vienam no argumentiem ir vērtība $-\infty $, tad sadalījuma funkcija būs vienāda ar nulli, t.i., $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x,\ - \infty \right ),\ F\left(-\infty ,\ -\infty \right)=0$.
4 . Ja abiem argumentiem ir vērtība $+\infty $, tad sadalījuma funkcija būs vienāda ar $1$, t.i., $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.
5 . Gadījumā, ja tieši viens no argumentiem iegūst vērtību $+\infty $, sadalījuma funkcija $F\left(x,\y\right)$ kļūst par otram elementam atbilstošā nejaušā mainīgā lieluma sadalījuma funkciju, t.i., $. F\left(x,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left(+\infty,\ y\right)=F_y\left (y\right) =F_Y\left(y\right)$.
6 . $F\left(x,\y\right)$ tiek atstāts nepārtraukts katram tā argumentam, t.i.
$$(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) F\left(x,\y\right)\ )=F\left(x_0,\y\right),\ (\mathop(lim) _(y\to y_0-0) F\left(x,\y\right)\ )=F\left(x,\y_0\right).$$
3. piemērs . Ļaujiet diskrētam divdimensiju nejaušam mainīgajam $\left(X,\Y\right)$ dot sadalījuma sēriju.
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
X\atgriezes slīpsvītra Y un 0 un 1 \\
\hline
0 & ((1)\virs (6)) & ((2)\virs (6)) \\
\hline
1 & ((2)\virs (6)) & ((1)\vir (6)) \\
\hline
\end(masīvs)$
Tad sadales funkcija:
$F(x,y)=\left\(\begin(matrica)
0,\ at\ x\le 0,\ y\le 0 \\
0,\ at\ x\le 0,\ 0< y\le 1 \\
0,\ for\ x\le 0,\ y>1 \\
0,\ at\ 0< x\le 1,\ y\le 0 \\
((1)\virs (6)),\ at\ 0< x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
((1)\virs (6))+((2)\virs (6))=((1)\virs (2)),\ kad\ 0< x\le 1,\ y>1 \\
0,\ for\ x>1,\ y\le 0 \\
((1)\over (6))+((2)\over (6))=((1)\over (2)),\ kad\ x>1,\ 0< y\le 1 \\
((1)\virs (6))+((2)\vir (6))+((2)\virs (6))+((1)\over (6))=1,\ for\ x >1,\y>1\\
\end(matrica)\right.$
Divdimensiju gadījuma lielumu sauc ( X, Y), kuru iespējamās vērtības ir skaitļu pāri ( x, y). Sastāvdaļas X Un Y, aplūkots vienlaikus, forma sistēma divi nejauši mainīgie.
Divdimensiju lielumu ģeometriski var interpretēt kā nejaušu punktu M(X; Y) uz virsmas xOy vai kā gadījuma vektoru OM.
Diskrēts sauc par divdimensiju lielumu, kura sastāvdaļas ir diskrētas.
Nepārtraukta sauc par divdimensiju lielumu, kura sastāvdaļas ir nepārtrauktas.
sadales likums Divdimensiju gadījuma lieluma varbūtības sauc par atbilstību starp iespējamām vērtībām un to varbūtībām.
Diskrēta divdimensiju gadījuma lieluma sadalījuma likumu var sniegt: a) divkāršā ieraksta tabulas veidā, kas satur iespējamās vērtības un to varbūtības; b) analītiski, piemēram, sadales funkcijas veidā.
sadales funkcija Divdimensiju gadījuma lieluma varbūtības sauc par funkciju F(x, y), definējot katram skaitļu pārim (x, y) iespējamība, ka X iegūst vērtību, kas mazāka par x, un tajā pašā laikā Y iegūst vērtību, kas ir mazāka par y:
F(x, y) = P(X< x, Y < y).
Ģeometriski šo vienādību var interpretēt šādi: F(x, y) pastāv varbūtība, ka nejaušs punkts ( X, Y) iekrīt bezgalīgā kvadrantā ar virsotni ( x,y) atrodas pa kreisi un zem šīs virsotnes.
Dažreiz termina "sadales funkcija" vietā tiek lietots termins "integrālā funkcija".
Sadales funkcijai ir šādas īpašības:
1. īpašums. Sadalījuma funkcijas vērtības apmierina dubulto nevienādību
0 ≤ F (x, y) ≤ 1.
2. īpašums. Sadales funkcija ir nesamazināma funkcija attiecībā uz katru argumentu:
F(x 2 , y) ≥ F(x 1 , y), ja x 2 > x 1,
F(x, y 2) ≥ F(x, y 1), ja y 2 > y 1 .
3. īpašums. Ir robežattiecības:
1) F(–∞, y) = 0,
3) F(–∞, –∞) = 0,
2) F(x, –∞) = 0,
4) F(∞, ∞) = 1.
4. īpašums. A) Plkst=∞ sistēmas sadales funkcija kļūst par komponenta X sadalījuma funkciju:
F(x, ∞) = F 1 (x).
b) Par x = ∞ sistēmas sadalījuma funkcija kļūst par komponenta Y sadales funkciju:
F(∞, y) = F 2 (y).
Izmantojot sadalījuma funkciju, var atrast varbūtību, ka nejaušs punkts iekritīs taisnstūrī x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :
P(x1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .
Apvienotās varbūtības sadalījuma blīvums (divdimensiju varbūtības blīvums) Nepārtrauktu divdimensiju gadījuma lielumu sauc par sadalījuma funkcijas otro jaukto atvasinājumu:
Dažreiz termina "divdimensiju varbūtības blīvums" vietā tiek lietots termins "sistēmas diferenciālā funkcija".
Savienojuma sadalījuma blīvumu var uzskatīt par nejauša punkta varbūtības attiecības robežu, kas iekrīt taisnstūrī ar malām D x un D y uz šī taisnstūra laukumu, kad abām tā malām ir tendence uz nulli; ģeometriski to var interpretēt kā virsmu, ko sauc sadales virsma.
Zinot sadalījuma blīvumu, sadalījuma funkciju var atrast pēc formulas
Iespējamību, ka nejaušs punkts (X, Y) iekritīs apgabalā D, nosaka vienādība
Divdimensiju varbūtības blīvumam ir šādas īpašības:
1. īpašums. Divfaktoru varbūtības blīvums nav negatīvs:
f(x,y) ≥ 0.
2. īpašums. Divkāršais nepareizais integrālis ar bezgalīgām divdimensiju varbūtības blīvuma robežām ir vienāds ar vienu:
Jo īpaši, ja visas iespējamās (X, Y) vērtības pieder ierobežotam domēnam D, tad
226. Dots diskrēta divdimensiju gadījuma lieluma varbūtības sadalījums:
Atrodiet komponentu sadalījuma likumus.
228. Dota divdimensiju gadījuma lieluma sadalījuma funkcija
Atrodiet varbūtību trāpīt nejaušā punktā ( X, Y x = 0, x= p/4, y= p/6, y= p/3.
229. Atrodiet varbūtību trāpīt nejaušā punktā ( X, Y) taisnstūrī, ko ierobežo līnijas x = 1, x = 2, y = 3, y= 5, ja ir zināma sadalījuma funkcija
230. Dota divdimensiju gadījuma lieluma sadalījuma funkcija
Atrodiet sistēmas divdimensiju varbūtības blīvumu.
231. Aplī x 2 + y 2 ≤ R 2 divfaktoru varbūtības blīvums ; ārpus apļa f(x, y)= 0. Atrast: a) konstanti C; b) varbūtība trāpīt nejaušā punktā ( X, Y) rādiusa aplī r= 1 centrēts izcelsmē, ja R = 2.
232. Pirmajā kvadrantā ir dota divu nejaušu lielumu sistēmas sadalījuma funkcija F(x, y) = 1 + 2 - x - 2 - y + 2 - x - y. Atrast: a) sistēmas divdimensiju varbūtības blīvumu; b) varbūtība trāpīt nejaušā punktā ( X, Y) trijstūrī ar virsotnēm A(1; 3), B(3; 3), C(2; 8).
8.2. Komponentu varbūtību sadalījuma nosacītie likumi
diskrēts divdimensiju gadījuma lielums
Ļaujiet komponentiem X Un Y ir diskrēti, un tiem ir attiecīgi šādas iespējamās vērtības: x 1 , x 2 , …, x n ; y 1 , y 2 , …, ym.
Komponenta X nosacīts sadalījums plkst Y=yj(j saglabā vienu un to pašu vērtību visām iespējamām X vērtībām) sauc par nosacīto varbūtību kopu
p(x 1 |y j), p(x 2 |y j), …, p(x n |y j).
Nosacītais sadalījums Y tiek definēts līdzīgi.
X un Y komponentu nosacītās varbūtības aprēķina attiecīgi pēc formulām
Lai kontrolētu aprēķinus, vēlams pārliecināties, ka nosacītā sadalījuma varbūtību summa ir vienāda ar vienu.
233. Dots diskrēts divdimensiju gadījuma lielums ( X, Y):
Atrodi: a) nosacītās sadales likumu X ar nosacījumu, ka Y=10; b) nosacītās sadales likums Y ar nosacījumu, ka X=6.
8.3. Blīvumu un nosacītā sadalījuma likumu atrašana
nepārtraukta divdimensiju gadījuma lieluma sastāvdaļas
Viena komponenta sadalījuma blīvums ir vienāds ar nepareizo integrāli ar bezgalīgām sistēmas kopīgā sadalījuma blīvuma robežām, un integrācijas mainīgais atbilst otram komponentam:
Šeit tiek pieņemts, ka katras sastāvdaļas iespējamās vērtības attiecas uz visu skaitlisko asi; ja iespējamās vērtības pieder ierobežotam intervālam, tad par integrācijas robežām tiek ņemti attiecīgie galīgie skaitļi.
Komponenta X nosacītā sadalījuma blīvums noteiktā vērtībā Y=y ir sistēmas kopīgā sadalījuma blīvuma attiecība pret komponenta sadalījuma blīvumu Y:
Līdzīgi tiek noteikts komponenta nosacītā sadalījuma blīvums Y:
Ja gadījuma lielumu nosacīti sadalījuma blīvumi X Un Y ir vienādi ar to beznosacījuma blīvumiem, tad šādi lielumi ir neatkarīgi.
Uniforma sauc par divdimensiju nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījumu ( X, Y) ja reģionā, kuram pieder visas iespējamās vērtības ( x, y), kopīgā varbūtības sadalījuma blīvums paliek nemainīgs.
235. Dots nepārtraukta divdimensiju gadījuma lieluma (X, Y) kopīgā sadalījuma blīvums.
Atrast: a) komponentu sadalījuma blīvumu; b) komponentu nosacīti sadalījuma blīvumi.
236. Nepārtraukta divdimensiju gadījuma lieluma kopīgā sadalījuma blīvums ( X, Y)
Atrodi: a) nemainīgo koeficientu C; b) komponentu sadalījuma blīvums; c) komponentu nosacīti sadalījuma blīvumi.
237. Nepārtraukts divdimensiju gadījuma lielums ( X, Y) ir vienmērīgi sadalīts taisnstūrī, kura simetrijas centrs atrodas sākumā un malas 2a un 2b ir paralēlas koordinātu asīm. Atrast: a) sistēmas divdimensiju varbūtības blīvumu; b) komponentu sadalījuma blīvums.
238. Nepārtraukts divdimensiju gadījuma lielums ( X, Y) ir vienmērīgi sadalīts taisnleņķa trīsstūrī ar virsotnēm O(0; 0), A(0; 8), IN(8;0). Atrast: a) sistēmas divdimensiju varbūtības blīvumu; b) komponentu blīvumi un nosacītā sadalījuma blīvumi.
8.4. Nepārtrauktas sistēmas skaitliskie raksturlielumi
divi nejauši mainīgie
Zinot nepārtraukta divdimensiju gadījuma lieluma (X, Y) X un Y komponentu sadalījuma blīvumus, mēs varam atrast to matemātiskās cerības un dispersijas:
Dažreiz ir ērtāk izmantot formulas, kas satur divdimensiju varbūtības blīvumu (dubultie integrāļi tiek ņemti pāri sistēmas iespējamo vērtību diapazonam):
Sākuma moments n k, s pasūtījums k+s sistēmas ( X, Y) sauc par produkta cerībām X k Y s:
nk, s = M.
It īpaši,
n 1,0 = M(X), n 0,1 = M(Y).
Centrālais moments m k, s pasūtījums k+s sistēmas ( X, Y) attiecīgi sauc par noviržu reizinājuma matemātisko cerību k-th un s grādi:
m k, s = M( k ∙ s ).
It īpaši,
m 1,0 = M = 0, m 0,1 = M = 0;
m 2,0 = M 2 = D(X), m 0,2 = M 2 = D(Y);
Korelācijas moments m xу sistēmas ( X, Y) sauc par centrālo momentu m 1.1 pasūtījums 1+1:
m xу = M( ∙ ).
Korelācijas koeficients vērtības X un Y ir korelācijas momenta attiecība pret šo vērtību standartnoviržu reizinājumu:
r xy = m xy / (s x s y).
Korelācijas koeficients ir bezdimensijas lielums, un | rxy| ≤ 1. Korelācijas koeficientu izmanto, lai novērtētu lineārās attiecības blīvumu starp X Un Y: jo tuvāk korelācijas koeficienta absolūtā vērtība ir vienam, jo stiprāka sakarība; jo tuvāk korelācijas koeficienta absolūtā vērtība ir nullei, jo vājāka ir sakarība.
korelēja divi nejauši mainīgie tiek izsaukti, ja to korelācijas moments atšķiras no nulles.
Nekorelēts divi nejauši mainīgie tiek izsaukti, ja to korelācijas moments ir vienāds ar nulli.
Ir atkarīgi arī divi korelēti lielumi; ja divi lielumi ir atkarīgi, tad tie var būt vai nu korelēti, vai nekorelēti. No divu lielumu neatkarības izriet to nekorelācija, bet no nekorelācijas joprojām nav iespējams izdarīt secinājumu par šo lielumu neatkarību (normāli sadalītiem lielumiem to neatkarība izriet no šo lielumu nekorelācijas).
Priekš nepārtraukti daudzumi X un Y korelācijas momentu var atrast pēc formulām:
239. Nepārtraukta divdimensiju gadījuma lieluma (X, Y) kopīgais sadalījuma blīvums ir dots:
Atrast: a) matemātiskās cerības; b) X un Y komponentu dispersijas.
240. Nepārtraukta divdimensiju gadījuma lieluma (X, Y) kopīgais sadalījuma blīvums ir dots:
Atrodiet komponentu matemātiskās cerības un dispersijas.
241. Nepārtraukta divdimensiju gadījuma lieluma kopīgais sadalījuma blīvums ( X, Y): f(x, y) = 2 cosx mājīgi kvadrātā 0 ≤ x≤p/4, 0 ≤ y≤p/4; ārpus laukuma f(x, y)= 0. Atrodiet komponentu matemātiskās cerības.
242. Pierādīt, ka, ja gadījuma lielumu sistēmas divdimensiju varbūtības blīvums ( X, Y) var attēlot kā divu funkciju reizinājumu, no kurām viena ir atkarīga tikai no x, bet otrs - tikai no y, tad daudzumus X Un Y neatkarīgs.
243. Pierādiet, ja X Un Y savienots lineārā atkarība Y = aX + b, tad korelācijas koeficienta absolūtā vērtība ir vienāda ar vienu.
Risinājums. Pēc korelācijas koeficienta definīcijas,
r xy = m xy / (s x s y).
m xу = M( ∙ ). (*)
Atradīsim matemātisko cerību Y:
M(Y) = M = aM(X) + b. (**)
Aizvietojot (**) ar (*), pēc elementārpārveidojumiem iegūstam
m xy \u003d aM 2 \u003d aD (X) \u003d kā 2 x.
Atsaucoties uz
Y – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a,
atrast dispersiju Y:
D(Y) = M 2 = a 2 M 2 = a 2 s 2 x .
No šejienes s y = |a|s x. Tāpēc korelācijas koeficients
Ja a> 0, tad rxy= 1; Ja a < 0, то rxy = –1.
Tātad, | rxy| = 1, kas bija jāpierāda.
