Ruxsat etilgan aylanish o'qiga nisbatan tananing burchak momentumi

Ta'rif

burchak momentum- vektor ko'paytmasiga son jihatdan teng bo'lgan impulsni tavsiflovchi vektor fizik miqdori
Nuqta atrofidagi burchak momenti psevdovektor hisoblanadi va eksa atrofidagi burchak impulsi psevdoskalardir.

Yopiq sistemaning burchak momenti saqlanib qoladi.
Bu miqdor o'qga nisbatan burchak momenti deb ataladi.

Burchak momentining saqlanish qonuni(burchak impulsining saqlanish qonuni) saqlanishning asosiy qonunlaridan biridir. Yopiq jismlar tizimi uchun tanlangan o'q atrofidagi barcha burchak momentlarining vektor yig'indisi sifatida matematik tarzda ifodalanadi va tizim ta'sir qilguncha doimiy bo'lib qoladi. tashqi kuchlar. Shunga ko'ra, har qanday koordinatalar sistemasidagi yopiq sistemaning burchak momenti vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi. Soddalashtirilgan: agar tizim muvozanatda bo'lsa.

Avval aniqlaymiz izotropiya o'qishda oldinga siljish.

Izotropiya kosmosning asosiy xususiyatlaridan biridir klassik mexanika. Agar mos yozuvlar tizimining ixtiyoriy burchak bilan aylanishi o'lchov natijalarining o'zgarishiga olib kelmasa, bo'shliq izotropik deb ataladi.

Burchak impulsining saqlanish qonuni fazoning aylanishga nisbatan izotropiyasining ko'rinishidir.
Burchak momentining saqlanish qonuni tabiatning asosiy qonunidir. Ushbu qonunning haqiqiyligi fazo simmetriyasining xususiyati bilan belgilanadi - uning izotropiyasi, ya'ni. o'zgarmaslik bilan jismoniy qonunlar mos yozuvlar tizimining koordinata o'qlari yo'nalishini tanlash bilan bog'liq.

Misol

Ruxsat etilgan aylanish o'qiga nisbatan burchak momentumining saqlanish qonunining to'g'riligini Jukovskiy dastgohi bilan tajriba orqali ko'rsatish mumkin. Jukovskiy dastgohi gorizontal platforma bo'lib, u qattiq vertikal o'q atrofida ishqalanishsiz erkin aylanadi. Skameykada turgan yoki o'tirgan odam uzatilgan qo'llarida gimnastika gantellarini ushlab turadi va skameyka bilan birga o'q atrofida burchak tezligida aylanadi. ō1. Dumbbelllarni o'ziga yaqinlashtirish orqali odam tizimning inersiya momentini pasaytiradi va tashqi kuchlar momenti nolga teng bo'lganligi sababli, tizimning burchak momenti va uning aylanish burchak tezligi saqlanib qoladi. ō2 ortadi.

Xuddi kuch momenti kabi, moddiy nuqtaning impuls momenti (impuls momenti) aniqlanadi

Xuddi kuch momenti kabi, moddiy nuqtaning impuls momenti (impuls momenti) aniqlanadi. O nuqtaga nisbatan burchak momenti teng

Z o'qiga nisbatan burchak momenti komponent hisoblanadi Lz o'qda yotgan O nuqtaga nisbatan L burchak momentining ushbu o'qi bo'ylab (97-rasm):

bu yerda R - z o'qiga perpendikulyar r radius vektorining komponenti, p t - z o'qi va m nuqtadan o'tuvchi tekislikka perpendikulyar p vektorning komponenti.

Keling, vaqt o'tishi bilan burchak momentumining o'zgarishini nima aniqlashini bilib olaylik. Buning uchun mahsulotni farqlash qoidasidan foydalanib, (37.1) vaqtni t bo'yicha farqlaymiz:

(3 7.5 )

Birinchi a'zo nolga teng, chunki u bir xil yo'nalishdagi vektorlarning vektor mahsulotidir. Darhaqiqat, vektor vektorga teng tezlik v va demak, p=mv vektor bilan yo'nalishi bo'yicha mos keladi. Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra vektor jismga ta'sir etuvchi f kuchiga teng [qarang. (22.3)]. Shuning uchun (37.5) ifodani quyidagicha yozish mumkin:

(3 7.6 )

Bu erda M - burchak momenti L olingan bir xil O nuqtaga nisbatan olingan, moddiy nuqtaga qo'llaniladigan kuchlar momenti.

(37.6) munosabatdan kelib chiqadiki, agar moddiy nuqtaga har qanday O nuqtaga nisbatan ta’sir etuvchi kuchlarning hosil bo’lgan momenti nolga teng bo’lsa, moddiy nuqtaning bir xil O nuqtaga nisbatan olingan burchak impulsi o’zgarmas bo’lib qoladi.

(37.6) formulaga kiritilgan vektorlardan z o'qi bo'ylab komponentlarni olib, quyidagi ifodani olamiz:

(3 7.7 )

Formula (37.6) (22.3) formulaga o'xshaydi. Bu formulalarni taqqoslashdan shunday xulosa kelib chiqadiki, impuls momentining vaqt hosilasi moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuchga teng bo’lganidek, impuls momentining vaqt hosilasi ham kuch momentiga teng bo’ladi.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol 1. m moddiy nuqta 96-rasmdagi nuqta chiziq bo'ylab harakatlansin. Harakat to'g'ri chiziqli bo'lgani uchun moddiy nuqtaning impulsi faqat mutlaq qiymatda o'zgaradi va

Bu erda f - kuchning moduli [bu holda, f p bilan bir xil yo'nalishga ega (96-rasmga qarang), shuning uchun].

Qo'l t o'zgarishsiz qoladi. Demak,

Bu (37.6) formulaga mos keladi (bu holda L faqat mutlaq qiymatda o'zgaradi va u ortadi, shuning uchun ).

2-misol. Massasi m bo‘lgan moddiy nuqta radiusi R bo‘lgan aylana bo‘ylab harakatlanadi (98-rasm).

Aylana O markaziga nisbatan moddiy nuqtaning burchak impulsi mutlaq qiymatda teng:

L=myr

(3 7.8 )

L vektor aylana tekisligiga perpendikulyar bo'lib, nuqta va L vektorning harakat yo'nalishi o'ng qo'l sistemasini hosil qiladi.

R ga teng bo'lgan qo'l o'zgarmasligi sababli, burchak momentini faqat tezlik modulini o'zgartirish orqali o'zgartirish mumkin. Moddiy nuqtaning aylana bo‘ylab bir tekis harakatlanishi bilan burchak momenti ham kattalik, ham yo‘nalish bo‘yicha doimiy bo‘lib qoladi. Bu holda moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning momenti nolga teng ekanligini ko'rish oson.

Misol 3. Kuchlarning markaziy maydonidagi moddiy nuqtaning harakatini ko'rib chiqing (26-§ ga qarang). (37.6) ga muvofiq, kuchlar markaziga nisbatan olingan moddiy nuqtaning burchak momenti kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lib qolishi kerak (markaziy kuchning markazga nisbatan momenti nolga teng). Kuchlar markazidan m nuqtaga chizilgan radius vektor r va L vektor bir-biriga perpendikulyar. Demak, r vektor doim bir xil tekislikda, L yo'nalishiga perpendikulyar bo'lib qoladi. Binobarin, kuchlarning markaziy maydonidagi moddiy nuqtaning harakati kuchlar markazidan o'tuvchi tekislikda yotgan egri chiziq bo'ylab sodir bo'ladi.

Markaziy kuchlarning belgisiga (ya'ni, ular jozibador yoki itaruvchi kuchlar bo'ladimi), shuningdek, boshlang'ich sharoitlarga qarab, traektoriya giperbola, parabola yoki ellips (xususan, aylana) bo'ladi. Masalan, Yer elliptik orbita bo'ylab harakatlanadi, uning fokuslaridan birida Quyosh joylashgan.

Burchak momentining saqlanish qonuni. N ta moddiy nuqtalar tizimini ko'rib chiqaylik. Xuddi §23 da qilinganidek, biz nuqtalarga ta'sir qiluvchi kuchlarni ichki va tashqi qismlarga ajratamiz. Ta'sir qiluvchi ichki kuchlarning hosil bo'lgan momenti i-chi material nuqta, biz belgisi bilan belgilaymiz, bir xil nuqtaga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning hosil bo'lgan momentini M i belgisi bilan belgilaymiz. Keyin (37.6) tenglama uchun i-chi material nuqtalar quyidagicha ko'rinadi:

(i=1, 2,…, N)

Bu ifoda i indeksining qiymatlari bilan bir-biridan farq qiluvchi N tenglamalar to'plamidir. Ushbu tenglamalarni qo'shib, biz quyidagilarni olamiz:

moddiy nuqtalar sistemasining burchak momenti deyiladi.

§36 oxirida ko'rsatilganidek, ichki kuchlar momentlarining yig'indisi [(37.9) formulaning o'ng tomonidagi yig'indilarning birinchisi] nolga teng. Shuning uchun tashqi kuchlarning umumiy momentini M belgisi bilan belgilab, shuni yozishimiz mumkin

(3 7.11 )

[ushbu formuladagi L va M belgilari (37.6) formuladagi bir xil belgilardan boshqacha ma’noga ega].

Moddiy nuqtalarning yopiq tizimi uchun M=0, buning natijasida umumiy burchak momenti L vaqtga bog'liq emas. Shunday qilib, biz burchak momentumining saqlanish qonuniga keldik: moddiy nuqtalarning yopiq tizimining burchak momenti doimiy bo'lib qoladi.

E'tibor bering, tizim jismlariga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning umumiy momenti nolga teng bo'lsa, burchak impulsi tashqi ta'sirga duchor bo'lgan tizim uchun doimiy bo'lib qoladi.

(37.11) tenglamaning chap va o‘ng tomonidagi vektorlardan, ularning z o‘qi bo‘yicha komponentlarini olib, quyidagi munosabatga kelamiz:

(3 7.12 )

Shunday bo'lishi mumkinki, tashqi kuchlarning O nuqtaga nisbatan hosil bo'lgan momenti noldan farq qiladi (M≠0), lekin M vektorining M z tarkibiy qismi z qaysidir yo'nalishda nolga teng. Keyin, (37.12) ga ko'ra, z o'qi bo'ylab tizimning burchak momentumining L z komponenti saqlanib qoladi.

Formula bo'yicha (2.1 1)

bu yerda vektorning z o‘qiga proyeksiyasi, L z esa L vektorning z o‘qiga proyeksiyasi. . Tenglikning ikkala tomonini ortga ko'paytiring e z z o'qi va buni hisobga olgan holda e z t ga bog'liq emas, biz uni hosila belgisi ostida o'ng tomonda kiritamiz. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

Lekin vektorning z o'qidagi proyeksiyasining e z ko'paytmasi ushbu vektorning z-komponentini beradi (132-betdagi izohga qarang). Demak,

o'q bo'ylab komponent qayerda z vektor.

Burchak momenti tabiatning asosiy, asosiy qonunlarini bildiradi. Bu barchamiz yashayotgan jismoniy dunyo makonining simmetriya xususiyatlariga bevosita bog'liq. Uning saqlanish qonuni tufayli burchak momenti kosmosda moddiy jismlarning harakati uchun bizga tanish bo'lgan fizik qonunlarni aniqlaydi. Bu qiymat tarjima yoki miqdorini tavsiflaydi aylanish harakati.

Burchak impulsi, shuningdek, "kinetik", "burchak" va "orbital" deb ataladigan muhim xususiyatdir, u moddiy jismning massasiga, uning xayoliy aylanish o'qiga nisbatan taqsimlanish xususiyatlariga va harakat tezligiga bog'liq. Bu erda shuni aniqlash kerakki, mexanikada aylanish kengroq talqinga ega. Hatto biron bir nuqtadan o'tib, kosmosda o'zboshimchalik bilan yotgan bo'lsa ham, uni xayoliy o'q sifatida qabul qilib, aylanish deb hisoblash mumkin.

Burchak impulsi va uning saqlanish qonuniyatlarini Rene Dekart progressiv harakatlanuvchi sistemaga nisbatan shakllantirgan.Toʻgʻri, u tipning saqlanishi haqida gapirmagan. Faqat bir asr o'tgach, Leonhard Eyler, so'ngra yana bir shveytsariyalik olim, fizik va matematik, moddiy tizimning qo'zg'almas markaziy o'q atrofida aylanishini o'rganishda, bu qonun kosmosdagi ushbu turdagi harakatga ham tegishli degan xulosaga keldi.

Keyingi tadqiqotlar yo'qligida buni to'liq tasdiqladi tashqi ta'sir barcha nuqtalar massasining tizimning umumiy tezligiga va aylanish markazigacha bo'lgan masofaga ko'paytmasining yig'indisi o'zgarishsiz qoladi. Biroz vaqt o'tgach, frantsuz olimi Patrik Darsi bu atamalarni xuddi shu vaqt oralig'ida radius vektorlari tomonidan supurilgan maydonlar nuqtai nazaridan ifodaladi. Bu moddiy nuqtaning burchak momentini osmon mexanikasining ba'zi taniqli postulatlari va, xususan, sayyoralar harakatining eng muhim pozitsiyasi bilan bog'lash imkonini berdi.

burchak momentum qattiq tana- asosiy saqlanish qonuni qoidalari qo'llaniladigan uchinchi dinamik o'zgaruvchi. Unda aytilishicha, tabiatdan qat'i nazar va tashqi ta'sir bo'lmasa, izolyatsiya qilingan moddiy tizimda berilgan qiymat doimo o'zgarishsiz qoladi. Ushbu jismoniy ko'rsatkich har qanday o'zgarishlarga duch kelishi mumkin, agar ta'sir qiluvchi kuchlarning nolga teng bo'lmagan momenti mavjud bo'lsa.

Bu qonundan yana kelib chiqadiki, agar M = 0 bo'lsa, jism (moddiy nuqtalar tizimi) va markaziy aylanish o'qi orasidagi masofaning har qanday o'zgarishi, albatta, uning markaz atrofida aylanish tezligining oshishi yoki kamayishiga olib keladi. Masalan, gimnastikachi havoda bir necha burilishlar qilish uchun saltolarni bajarayotganda dastlab tanasini to'pga aylantiradi. Piruetda aylanayotgan balerinalar yoki figurali uchuvchilar esa harakatni sekinlashtirmoqchi bo'lsalar, qo'llarini yon tomonlarga yoyadilar va aksincha, tezroq aylanishga harakat qilganda ularni tanaga bosadilar. Shunday qilib, tabiatning asosiy qonunlari sport va san'atda qo'llaniladi.

Ruxsat etilgan o'qga nisbatan burchak momenti z skaler deb ataladi Lz, bu o'qning ixtiyoriy 0 nuqtasiga nisbatan aniqlangan burchak momentum vektorining bu o'qiga proyeksiyasiga teng. Burchak momentumining qiymati Lz 0 nuqtaning o'qdagi holatiga bog'liq emas z.
Mutlaq qattiq jism sobit o'q atrofida aylansa, tananing har bir alohida nuqtasi doimiy radiusli doira bo'ylab harakatlanadi. r i qandaydir tezlikda v i. Tezlik v i va impuls m i v i bu radiusga perpendikulyar, ya'ni. radius vektorning qo'li m i v i. Shuning uchun, alohida nuqtaning o'qga nisbatan burchak momentumini yozish mumkin z teng

Qattiq jismning o'qga nisbatan impuls momenti uning alohida nuqtalarining impuls momentlarining yig'indisiga teng:

Chiziqli va burchakli tezliklar o'rtasidagi munosabatni hisobga olgan holda ( v i = ōr i), tananing qo'zg'almas o'qga nisbatan burchak momentumi uchun quyidagi ifodani olamiz:

Bular. qattiq jismning o'qga nisbatan burchak momentumi jismning bir xil o'qga nisbatan inersiya momenti va burchak tezligining ko'paytmasiga teng.
Vaqtga nisbatan (4.12) differensial ifodani olamiz:

(4.13)

Bu qattiq jismning sobit o'qga nisbatan aylanish harakati dinamikasi tenglamasining yana bir shakli: jismning burchak momentumining sobit aylanish o'qiga nisbatan o'zgarish tezligi, natijada olingan momentga nisbatan tengdir. tanaga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning bu o'qi.
Burchak momentining saqlanish qonuni qo'zg'almas nuqtada o'rnatilgan jismning aylanish harakati dinamikasining asosiy tenglamasidan kelib chiqadi (4.8 tenglama) va quyidagicha:
Agar qattiq nuqtaga nisbatan paydo bo'lgan tashqi kuchlarning momenti xuddi shunday nolga teng bo'lsa, u holda tananing bu nuqtaga nisbatan burchak momenti vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi..
Haqiqatan ham, agar M= 0, keyin dL / dt= 0, qaerdan

(4.14)

Boshqacha qilib aytganda, yopiq tizimning burchak momenti vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi.
Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanadigan jism dinamikasining asosiy qonunidan z(4.13 tenglama), quyidagicha jismning o'qga nisbatan burchak momentumining saqlanish qonuni:
agar tananing sobit aylanish o'qiga nisbatan tashqi kuchlarning momenti xuddi shunday nolga teng bo'lsa, u holda bu o'qga nisbatan tananing burchak momentumi harakat jarayonida o'zgarmaydi., ya'ni. Agar Mz= 0, keyin dLz / dt= 0, qaerdan

Burchak momentining saqlanish qonuni tabiatning asosiy qonunidir. Ushbu qonunning haqiqiyligi fazo simmetriyasining xususiyati bilan belgilanadi - uning izotropiyasi, ya'ni. mos yozuvlar tizimining koordinata o'qlari yo'nalishini tanlashga nisbatan fizik qonunlarning o'zgarmasligi bilan.
Ruxsat etilgan aylanish o'qiga nisbatan burchak momentumining saqlanish qonunining to'g'riligini Jukovskiy dastgohi bilan tajriba orqali ko'rsatish mumkin. Jukovskiy dastgohi OO 1 sobit vertikal o'qi atrofida ishqalanishsiz erkin aylanadigan gorizontal platformadir. Skameykada turgan yoki o'tirgan odam uzatilgan qo'llarida gimnastika gantellarini ushlab turadi va skameyka bilan birga OO 1 o'qi atrofida burchak tezligi bilan aylantiriladi. ō 1. Dumbbelllarni o'ziga yaqinlashtirish orqali odam tizimning inersiya momentini pasaytiradi va tashqi kuchlar momenti nolga teng bo'lganligi sababli, tizimning burchak momenti va uning aylanish burchak tezligi saqlanib qoladi. ō 2 ortadi. Keyin, OO 1 o'qiga nisbatan burchak momentumining saqlanish qonuniga ko'ra, biz yozishimiz mumkin:

Qayerda J0- odam va skameykaning inersiya momenti; 2 Janob 12 va 2 Janob 2 2- birinchi va ikkinchi holatdagi gantellarning inersiya momentlari; m- bitta dumbbellning og'irligi; r1, r2- gantellardan OO 1 o'qigacha bo'lgan masofa.
Tizimning inertsiya momentining o'zgarishi uning kinetik energiyasining o'zgarishi bilan bog'liq:

uchun ifodasini ishlatish ō 2(4.16) dan olingan

transformatsiyalardan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

Tizimning kinetik energiyasidagi bu o'zgarish son jihatdan odamning dumbbelllarni harakatga keltirgan ishiga teng.
Jadvalda. 4.2. xaritalangan asosiy jismoniy miqdorlar va jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanishini va uning translatsiya harakatini aniqlaydigan tenglamalar.

4.2-jadval

Vazifa 1.Radiusi 10 sm, massasi 5 kg bo‘lgan shar qonun bo‘yicha simmetriya o‘qi atrofida aylanadi. ph = A + Bt 2 + Ct 3, Qayerda IN\u003d 2 rad/s 2, BILAN\u003d -0,5 rad / s 3. Vaqt momenti uchun aylanish o'qi atrofidagi kuchlarning momentini aniqlang t= 3 s.
Berilgan: R= 0,1 m; m= 5 kg; ph = A + Bt 2 + Ct 3 xursand; IN\u003d 2 rad / s 2; BILAN\u003d -0,5 rad / s 3; t= 3 s.
Toping: Mz.
Yechim
Qattiq jismning qo'zg'almas o'qqa nisbatan aylanish harakati dinamikasi tenglamasiga ko'ra

Javob: Mz= -0,1H*m.

Vazifa 2. Radiusi 20 sm bo'lgan, inertsiya momenti 0,15 kg * m 2 bo'lgan bir hil qattiq silindrsimon milga engil ip o'ralgan bo'lib, uning oxiriga 0,5 kg yuk biriktirilgan. Baraban aylana boshlagunga qadar, poldan yukning balandligi 2,3 m ni tashkil etdi (4.7-rasm). Aniqlang: a) yukni polga tushirish vaqtini; b) ipning taranglik kuchi; v) polga ta'sir qilish momentidagi yukning kinetik energiyasi.
Berilgan: R= 0,2 m; Jz\u003d 0,15 kg * m 2; m= 0,5 kg; h= 2,3 m.
Toping: t, T, E k.

Yechim
Energiyaning saqlanish qonuniga ko'ra

Javob: t= 2 s; T= 4,31 N; E k= 1,32 J.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

1. Xuddi shu materialdan yasalgan to'p va qattiq silindr bir xil tezlikda sirg'alib ketmasdan bir xil massali rulon. To'pning kinetik energiyasi qattiq silindrning kinetik energiyasidan necha marta kamligini aniqlang.
2. Og'irligi 0,5 kg bo'lgan ichi bo'sh yupqa devorli silindr sirpanmasdan dumalab, devorga uriladi va undan uzoqlashadi. Silindrning devorga urilishidan oldingi tezligi 1,4 m/s, urilgandan keyin esa 1 m/s. Ta'sir paytida chiqarilgan issiqlik miqdorini aniqlang.
3. O‘qga o‘rnatilgan, massasi 10 kg bo‘lgan bir jinsli qattiq diskning chetiga 30 N doimiy tangensial kuch qo‘llaniladi.Kinetik energiya kuch boshlangandan 4 s o‘tgach aniqlang.
4. Fan 600 rpm tezlikda aylanadi. Uni o'chirgandan so'ng, u bir tekis aylana boshladi va 50 marta aylanishni amalga oshirib, to'xtadi. Tormoz kuchlarining ishi 31,4 J. Aniqlang: a) tormoz kuchlarining momentini; b) fanning inersiya momenti.
5. Radiusi 0,5 m bo'lgan bir jinsli qattiq diskning chetiga 100 N doimiy tangensial kuch qo'llaniladi.Disk aylanayotganda unga 2 N * m ishqalanish momenti ta'sir qiladi. Diskning massasini aniqlang, agar uning burchak tezlanishi doimiy va 16 rad/s 2 ga teng bo'lsa.
6. To'p gorizontal bilan 30 ° burchak ostida egilgan tekislikdan pastga tushadi. Ishqalanishni e'tiborsiz qoldirib, to'p pastga ag'darilganda uning massa markazi 30 sm ga kamayganligi ma'lum bo'lsa, qiyalik tekislik bo'ylab pastga harakat qilish vaqtini aniqlang.
7. Yengil ip radiusi 50 sm bo'lgan bir hil qattiq silindrsimon milga o'ralgan bo'lib, uning oxiriga 6,4 kg og'irlik biriktirilgan. Yuk, ipni yechib, 2 m / s 2 tezlashuv bilan tushadi. Aniqlang: a) milning inersiya momentini; b) milning massasi.
8. Massasi 25 kg va radiusi 0,8 m bo'lgan gorizontal platforma 18 rpm chastotada aylanadi. Bir kishi markazda turadi va cho'zilgan qo'llarida og'irliklarni ushlab turadi. Platformani disk sifatida hisobga olgan holda, agar odam qo'llarini tushirib, inertsiya momentini 3,5 kg * m 2 dan 1 kg * m 2 gacha kamaytirsa, platformaning aylanish chastotasini aniqlang.
9. Og'irligi 60 kg bo'lgan, og'irligi 120 kg bo'lgan gorizontal platformaning chetida turgan, 10 rpm chastotali sobit vertikal o'q atrofida inertsiya bilan aylanadigan odam uning markaziga o'tadi. Platformani dumaloq bir hil disk, odamni esa nuqta massasi sifatida hisobga olib, platforma qaysi chastotada aylanishini aniqlang.
10. Qattiq bir hil disk shakliga ega bo'lgan platforma sobit vertikal o'q atrofida inertsiya bilan aylanishi mumkin. Platformaning chetida massasi platformaning massasidan 3 marta kichik bo'lgan odam turadi. Agar odam platforma radiusining yarmiga teng masofada markazga yaqinlashsa, platformaning aylanish burchak tezligi qanday va necha marta o'zgarishini aniqlang.

Klassik mexanikada burchak momenti

Impuls va moment o'rtasidagi bog'liqlik

Ta'rif

Zarraning ba'zi bir kelib chiqishiga nisbatan burchak momenti uning radius vektori va impulsning vektor mahsuloti bilan aniqlanadi:

bu yerda zarrachaning tanlangan mos yozuvlar nuqtasiga nisbatan radius-vektori, berilgan mos yozuvlar tizimida harakatsiz, zarraning impulsi.

Bir nechta zarrachalar uchun burchak momenti quyidagi atamalarning (vektor) yig'indisi sifatida aniqlanadi:

sistemadagi har bir zarrachaning radius vektori va impulsi qayerda, uning burchak momenti aniqlanadi.

(Chekda zarrachalar soni cheksiz bo'lishi mumkin, masalan, uzluksiz taqsimlangan massaga ega bo'lgan qattiq jism yoki umuman taqsimlangan tizimda buni cheksiz kichik nuqta elementining impulsi qayerda deb yozish mumkin. tizimdan).

Burchak momentumining ta'rifidan uning qo'shimchaligi kelib chiqadi: ayniqsa zarralar tizimi uchun ham, bir nechta quyi tizimlardan tashkil topgan tizim uchun ham quyidagilar to'g'ri keladi:

• Izoh: printsipial jihatdan, burchak momentumini har qanday mos yozuvlar nuqtasiga qarab hisoblash mumkin (natijadagi turli qiymatlar aniq tarzda bog'liq); ammo, ko'pincha (qulaylik va aniqlik uchun) u massa markaziga yoki qattiq jismning sobit aylanish nuqtasiga va boshqalarga nisbatan hisoblanadi.

Momentni hisoblash

Burchak impulsi o'zaro ko'paytma bilan aniqlanganligi sababli, u ikkala vektorga perpendikulyar psevdovektor va. Biroq, doimiy o'q atrofida aylanish holatlarida, psevdovektor sifatida burchak momentini emas, balki uning skaler sifatida aylanish o'qiga proyeksiyasini ko'rib chiqish qulay, uning belgisi aylanish yo'nalishiga bog'liq. Agar burchak momentining proyeksiyasini hisoblash uchun boshlang'ich nuqtadan o'tuvchi bunday o'q tanlansa, siz topishning umumiy qoidalariga muvofiq bir qator retseptlarni belgilashingiz mumkin. vektor mahsuloti ikkita vektor.

qayerda va orasidagi burchak, shunday aniqlanadiki, aylanish o'qining musbat qismida joylashgan kuzatuvchi nuqtai nazaridan dan ga aylanish soat miliga teskari bo'ladi. Hisoblashda aylanish yo'nalishi muhim ahamiyatga ega, chunki u kerakli proyeksiyaning belgisini aniqlaydi.

Biz shaklda yozamiz , bu erda radius vektorining komponenti, impuls vektoriga parallel va - xuddi shunday, unga perpendikulyar. aslida, aylanish o'qidan vektorgacha bo'lgan masofa, odatda "elka" deb ataladi. Xuddi shunday, siz momentum vektorini ikkita komponentga bo'lishingiz mumkin: radius vektoriga parallel va unga perpendikulyar. Endi vektor ko'paytmaning chiziqliligi, shuningdek, parallel vektorlar ko'paytmasi nolga teng bo'lgan xususiyatdan foydalanib, biz uchun yana ikkita ifoda olishimiz mumkin.

Burchak momentining saqlanishi

Fizikada simmetriya
transformatsiya	Muvofiq o'zgarmaslik	Tegishli qonun saqlash
↕ Efir vaqti	…energiya
⊠ , , va -simmetriyalar	... paritet
↔ Eshittirish maydoni	Bir xillik bo'sh joy	... impuls
↺ Fazoning aylanishi	Izotropiya bo'sh joy	… lahza impuls
⇆ Lorentz guruhi	Nisbiylik Lorentzning o'zgarmasligi	…4-puls
~ O'lchovni o'zgartirish	O'lchov o'zgarmasligi	... zaryad

Shunday qilib, tizimni yopish talabi tashqi kuchlarning asosiy (umumiy) momenti nolga teng bo'lishi talabiga zaiflashishi mumkin:

bu yerda zarralar sistemasiga taalluqli kuchlardan birining momenti. (Ammo, albatta, tashqi kuchlar umuman bo'lmasa, bu talab ham bajariladi).

Matematik jihatdan burchak impulsining saqlanish qonuni fazoning izotropiyasidan, ya'ni fazoning ixtiyoriy burchak orqali aylanishga nisbatan o'zgarmasligidan kelib chiqadi. Ixtiyoriy cheksiz kichik burchak orqali aylanayotganda, raqam bilan zarrachaning radius vektori , tezliklari esa - ga o'zgaradi. Bunday aylanish jarayonida tizimning Lagranj funksiyasi fazoning izotropiyasi tufayli o'zgarmaydi. Shunung uchun

--chi zarraning umumlashtirilgan impulsi qayerda ekanligini hisobga olib, oxirgi ifodadagi yig'indidagi har bir atama quyidagicha yozilishi mumkin.

Endi aralash mahsulot xususiyatidan foydalanib, biz vektorlarni tsiklik almashtirishni amalga oshiramiz, buning natijasida umumiy omilni chiqarib olamiz:

bu yerda, sistemaning burchak impulsi. ning o'zboshimchaligidan kelib chiqib, tenglikdan kelib chiqadiki.

Orbitalarda burchak impulsi sayyoraning o'z aylanishi va uning orbital harakatining burchak momentumi o'rtasida taqsimlanadi:

Elektrodinamikada burchak momenti

Zaryadlangan zarrachaning elektromagnit maydondagi harakatini tavsiflashda kanonik impuls o'zgarmas emas. Natijada, kanonik burchak momentumi ham o'zgarmas emas. Keyin biz haqiqiy impulsni olamiz, bu "kinetik momentum" deb ham ataladi:

qayerda elektr zaryadi, yorug'lik tezligi, vektor potensiali. Shunday qilib, elektromagnit maydondagi zaryadlangan massa zarrasining (o'zgarmas) Gamiltoniani:

skalyar potentsial qayerda. Bu potentsialdan Lorents qonuni kelib chiqadi. O'zgarmas burchak momentumi yoki "kinetik burchak momentum" quyidagicha aniqlanadi:

Kvant mexanikasidagi burchak momenti

Moment operatori

Norelativistik mexanikada burchak momentini hisoblash

Agar massasi tezlikda harakatlanadigan va radius vektori bilan tavsiflangan nuqtada joylashgan moddiy nuqta bo'lsa, u holda burchak momentum quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

vektor mahsulotning belgisi qayerda.

Jismning burchak momentini hisoblash uchun uni cheksiz kichik bo'laklarga bo'lish kerak va vektor ularning momentlarini moddiy nuqtalarning impuls momentlari sifatida yig'ing, ya'ni integralni oling:

Buni zichlik bo'yicha qayta yozishimiz mumkin: