Algebrani o'rganayotganda umumiy ta'lim maktabi(9-sinf) Muhim mavzulardan biri - sonli ketma-ketliklarni o'rganish bo'lib, ular progressiyalar - geometrik va arifmetikdir. Ushbu maqolada biz arifmetik progressiya va yechimlari bilan misollarni ko'rib chiqamiz.

Arifmetik progressiya nima?

Buni tushunish uchun ko'rib chiqilayotgan progressiyaning ta'rifini berish, shuningdek, muammolarni hal qilishda keyingi qo'llaniladigan asosiy formulalarni berish kerak.

Arifmetik yoki shunday tartiblangan ratsional sonlar to'plami bo'lib, ularning har bir a'zosi avvalgisidan qandaydir doimiy qiymat bilan farq qiladi. Bu qiymat farq deb ataladi. Ya'ni, tartiblangan raqamlar qatorining istalgan a'zosini va farqni bilib, butun arifmetik progressiyani tiklashingiz mumkin.

Keling, bir misol keltiraylik. Keyingi raqamlar ketma-ketligi arifmetik progressiya bo'ladi: 4, 8, 12, 16, ..., chunki bu holda farq 4 ga teng (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ammo 3, 5, 8, 12, 17 raqamlar to'plamini endi ko'rib chiqilayotgan progressiya turiga kiritish mumkin emas, chunki u uchun farq doimiy qiymat emas (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17). - 12).

Muhim formulalar

Endi biz muammolarni hal qilish uchun zarur bo'lgan asosiy formulalarni beramiz arifmetik progressiya. a n belgisi bilan belgilang n-a'zo n butun son bo'lgan ketma-ketliklar. Farqi lotincha d harfi bilan belgilanadi. Keyin quyidagi iboralar to'g'ri bo'ladi:

1. N-sonning qiymatini aniqlash uchun formula mos keladi: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Birinchi n ta hadning yig'indisini aniqlash uchun: S n = (a n + a 1)*n/2.

9-sinfda yechim bilan arifmetik progressiyaning har qanday misollarini tushunish uchun ushbu ikkita formulani eslab qolish kifoya, chunki ko'rib chiqilayotgan turdagi har qanday muammolar ulardan foydalanish asosida qurilgan. Bundan tashqari, progressiya farqi formula bilan aniqlanishini unutmang: d = a n - a n-1 .

1-misol: Noma'lum a'zoni topish

Biz arifmetik progressiyaning oddiy misolini va yechish uchun ishlatilishi kerak bo'lgan formulalarni keltiramiz.

10, 8, 6, 4, ... ketma-ketligi berilsin, unda beshta hadni topish kerak.

Muammoning shartlaridan kelib chiqadiki, dastlabki 4 ta atama ma'lum. Beshinchisini ikki yo'l bilan aniqlash mumkin:

1. Keling, avval farqni hisoblaylik. Bizda bor: d = 8 - 10 = -2. Xuddi shunday, bir-birining yonida turgan ikkita boshqa atamani olish mumkin. Masalan, d = 4 - 6 = -2. Ma'lumki, d \u003d a n - a n-1, keyin d \u003d a 5 - a 4, biz qaerdan olamiz: a 5 \u003d a 4 + d. Biz ma'lum qiymatlarni almashtiramiz: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Ikkinchi usul, shuningdek, ko'rib chiqilayotgan progressiyaning farqini bilishni talab qiladi, shuning uchun siz avval yuqorida ko'rsatilganidek, uni aniqlashingiz kerak (d = -2). Birinchi had a 1 = 10 ekanligini bilib, biz ketma-ketlikning n raqami uchun formuladan foydalanamiz. Bizda: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Oxirgi ifodada n = 5 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Ko'rib turganingizdek, ikkala yechim ham bir xil natijaga olib keladi. E'tibor bering, bu misolda progressiyaning d farqi manfiy. Bunday ketma-ketliklar kamayuvchi deb ataladi, chunki har bir keyingi atama oldingisidan kichikdir.

2-misol: progressiya farqi

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz, arifmetik progressiyaning ayirmasini topishga misol keltiramiz.

Ma'lumki, ba'zi algebraik progressiyalarda 1-hash 6 ga, 7-hash 18 ga teng bo'ladi.Ayrimchini topib, bu ketma-ketlikni 7-hashga qaytarish kerak.

Noma'lum atamani aniqlash uchun formuladan foydalanamiz: a n = (n - 1) * d + a 1 . Shartdan ma'lum ma'lumotlarni, ya'ni a 1 va 7 raqamlarini almashtiramiz, bizda: 18 \u003d 6 + 6 * d. Ushbu ifodadan siz farqni osongina hisoblashingiz mumkin: d = (18 - 6) / 6 = 2. Shunday qilib, masalaning birinchi qismiga javob berildi.

Ketma-ketlikni 7-a'zoga qaytarish uchun algebraik progressiyaning ta'rifidan foydalanish kerak, ya'ni a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d va hokazo. Natijada, biz butun ketma-ketlikni tiklaymiz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 va 7 = 18.

3-misol: progressiya qilish

Keling, muammoning holatini yanada murakkablashtiraylik. Endi siz arifmetik progressiyani qanday topish mumkinligi haqidagi savolga javob berishingiz kerak. Quyidagi misolni keltirishimiz mumkin: ikkita raqam berilgan, masalan, 4 va 5. Bular orasiga yana uchta had mos kelishi uchun algebraik progressiya qilish kerak.

Ushbu muammoni hal qilishni boshlashdan oldin, berilgan raqamlar kelajakdagi rivojlanishda qaysi o'rinni egallashini tushunish kerak. Ular orasida yana uchta atama bo'ladi, keyin 1 \u003d -4 va 5 \u003d 5. Buni o'rnatgandan so'ng, biz avvalgisiga o'xshash vazifaga o'tamiz. Shunga qaramay, n-son uchun biz formuladan foydalanamiz, biz olamiz: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Kimdan: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Bu erda farq butun son emas, balki ratsional son, shuning uchun algebraik progressiya uchun formulalar bir xil bo'lib qoladi.

Endi topilgan farqni 1 ga qo'shamiz va progressiyaning etishmayotgan a'zolarini tiklaymiz. Biz olamiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u00, bu muammoning holatiga to'g'ri keldi.

4-misol: progressiyaning birinchi a'zosi

Yechimli arifmetik progressiyaga misollar keltirishda davom etamiz. Oldingi barcha masalalarda algebraik progressiyaning birinchi soni ma'lum edi. Endi boshqa turdagi masalani ko'rib chiqing: ikkita raqam berilsin, bu erda a 15 = 50 va 43 = 37. Bu ketma-ketlik qaysi raqamdan boshlanishini topish kerak.

Hozirgacha qo'llanilgan formulalar 1 va d ni bilishni nazarda tutadi. Muammoning holatida bu raqamlar haqida hech narsa ma'lum emas. Shunga qaramay, bizda ma'lumotga ega bo'lgan har bir atama uchun iboralarni yozamiz: a 15 = a 1 + 14 * d va 43 = a 1 + 42 * d. Biz ikkita noma'lum miqdor (a 1 va d) bo'lgan ikkita tenglama oldik. Demak, masala chiziqli tenglamalar sistemasini echishga keltiriladi.

Agar siz har bir tenglamada 1 ni ifodalasangiz va natijada olingan ifodalarni solishtirsangiz, belgilangan tizimni yechish eng oson hisoblanadi. Birinchi tenglama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikkinchi tenglama: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ushbu iboralarni tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, farq d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (faqat 3 kasr berilgan).

d bilgan holda, 1 uchun yuqoridagi 2 ta ifodadan istalgan birini ishlatishingiz mumkin. Masalan, birinchi: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Agar natijaga shubha tug'ilsa, uni tekshirishingiz mumkin, masalan, shartda ko'rsatilgan progressiyaning 43-a'zosini aniqlang. Biz olamiz: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Kichik xato hisob-kitoblarda mingdan birgacha yaxlitlash ishlatilganligi bilan bog'liq.

5-misol: summa

Endi arifmetik progressiya yig‘indisining yechimlari bilan bir necha misollarni ko‘rib chiqamiz.

Quyidagi ko'rinishdagi sonli progressiya berilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Ushbu raqamlarning 100 tasining yig'indisini qanday hisoblash mumkin?

Rivojlanish uchun rahmat kompyuter texnologiyasi siz ushbu muammoni hal qilishingiz mumkin, ya'ni odam Enter tugmasini bosgandan so'ng kompyuter bajaradigan barcha raqamlarni ketma-ket qo'shing. Biroq, agar siz taqdim etilgan raqamlar qatori algebraik progressiya ekanligiga e'tibor qaratsangiz va uning farqi 1 ga teng bo'lsa, muammoni aqliy ravishda hal qilish mumkin. / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Shunisi qiziqki, bu muammo "Gauss" deb nomlanadi, chunki in XVIII boshi asrning mashhur nemissi, hali atigi 10 yoshda, bir necha soniya ichida uni ongida hal qila oldi. Bola algebraik progressiya yig‘indisining formulasini bilmas edi, lekin u ketma-ketlikning chetida joylashgan juft sonlarni qo‘shsangiz, har doim bir xil natijaga erishishini, ya’ni 1 + 100 = 2 + 99 ekanligini payqadi. = 3 + 98 = ... va bu summalar aniq 50 (100 / 2) bo'lganligi sababli, to'g'ri javobni olish uchun 50 ni 101 ga ko'paytirish kifoya.

6-misol: n dan m gacha bo'lgan atamalar yig'indisi

Arifmetik progressiya yig'indisining yana bir tipik misoli quyidagicha: bir qator raqamlar berilgan: 3, 7, 11, 15, ..., siz uning 8 dan 14 gacha bo'lgan hadlari yig'indisi qanday bo'lishini topishingiz kerak.

Muammo ikki yo'l bilan hal qilinadi. Ulardan birinchisi 8 dan 14 gacha bo'lgan noma'lum atamalarni topib, keyin ularni ketma-ket umumlashtirishni o'z ichiga oladi. Bir nechta atamalar mavjud bo'lganligi sababli, bu usul etarlicha mashaqqatli emas. Shunga qaramay, bu muammoni ko'proq universal bo'lgan ikkinchi usul bilan hal qilish taklif etiladi.

Maqsad m va n hadlar orasidagi algebraik progressiya yig’indisi formulasini olishdir, bunda n > m butun sonlardir. Ikkala holat uchun yig'indi uchun ikkita ifoda yozamiz:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

n > m bo'lgani uchun 2 yig'indisi birinchisini o'z ichiga olishi aniq. Oxirgi xulosa shuni anglatadiki, agar bu yig’indilar orasidagi ayirmani olib, unga a m atamasini qo’shsak (farq olingan taqdirda u S n yig’indisidan ayiriladi), u holda masalaga kerakli javobni olamiz. Bizda: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Bu ifodada a n va a m formulalarini almashtirish kerak. Keyin biz olamiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Olingan formula biroz og'ir, ammo S mn yig'indisi faqat n, m, a 1 va d ga bog'liq. Bizning holatda a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu raqamlarni almashtirsak, biz quyidagilarga erishamiz: S mn = 301.

Yuqoridagi yechimlardan ko‘rinib turibdiki, barcha masalalar n-sonli ifoda va birinchi hadlar to‘plami yig‘indisi formulasini bilishga asoslangan. Ushbu muammolardan birini hal qilishni boshlashdan oldin, shartni diqqat bilan o'qib chiqishingiz, nimani topmoqchi ekanligingizni aniq tushunishingiz va shundan keyingina hal qilishni davom ettirishingiz tavsiya etiladi.

Yana bir maslahat - soddalikka intiling, ya'ni agar siz murakkab matematik hisob-kitoblardan foydalanmasdan savolga javob bera olsangiz, unda siz buni qilishingiz kerak, chunki bu holda xato qilish ehtimoli kamroq. Masalan, 6-sonli yechim bilan arifmetik progressiya misolida S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m formulasida to'xtash mumkin va umumiy topshiriqni alohida kichik vazifalarga ajrating (bu holda avval a n va m atamalarini toping).

Olingan natijaga shubha tug'ilsa, berilgan misollarning ba'zilarida bo'lgani kabi, uni tekshirish tavsiya etiladi. Arifmetik progressiyani qanday topish mumkinligi aniqlandi. Buni tushunganingizdan so'ng, bu unchalik qiyin emas.

Ha, ha: arifmetik progressiya siz uchun o'yinchoq emas :)

Xo'sh, do'stlar, agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda ichki qopqoq dalillari menga arifmetik progressiya nima ekanligini hali ham bilmasligingizni aytadi, lekin siz haqiqatan ham (yo'q, shunday: SOOOOO!) bilishni xohlaysiz. Shuning uchun, men sizni uzoq tanishuvlar bilan qiynamayman va darhol ish bilan shug'ullanaman.

Boshlash uchun bir nechta misol. Bir nechta raqamlar to'plamini ko'rib chiqing:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ushbu to'plamlarning barchasida qanday umumiylik bor? Bir qarashda, hech narsa. Lekin aslida nimadir bor. Aynan: har bir keyingi element avvalgisidan bir xil raqam bilan farq qiladi.

O'zingiz uchun hukm qiling. Birinchi to'plam faqat ketma-ket raqamlar bo'lib, ularning har biri avvalgisidan ko'proq. Ikkinchi holda, qo'shni raqamlar orasidagi farq allaqachon beshga teng, ammo bu farq hali ham doimiy. Uchinchi holatda, umuman olganda, ildizlar mavjud. Biroq, $2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, ya'ni. bu holda har bir keyingi element oddiygina $\sqrt(2)$ ga ortadi (va bu raqam mantiqiy emasligidan qo'rqmang).

Shunday qilib: barcha bunday ketma-ketliklar faqat arifmetik progressiyalar deb ataladi. Keling, qat'iy ta'rif beraylik:

Ta'rif. Har bir keyingisi oldingisidan aynan bir xil miqdorda farq qiladigan raqamlar ketma-ketligiga arifmetik progressiya deyiladi. Raqamlar bir-biridan farq qiladigan miqdor progressiya farqi deb ataladi va ko'pincha $d$ harfi bilan belgilanadi.

Belgilash: $\left(((a)_(n)) \right)$ - progressiyaning o'zi, $d$ - uning farqi.

Va faqat bir nechta muhim izohlar. Birinchidan, faqat rivojlanish hisobga olinadi tartibli raqamlar ketma-ketligi: ularni yozilish tartibida qat'iy o'qishga ruxsat beriladi - va boshqa hech narsa. Siz raqamlarni o'zgartira olmaysiz yoki almashtira olmaysiz.

Ikkinchidan, ketma-ketlikning o'zi chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin. Masalan, (1; 2; 3) to'plam aniq arifmetik progressiyadir. Ammo agar siz (1; 2; 3; 4; ...) kabi biror narsa yozsangiz - bu allaqachon cheksiz progressiyadir. To'rtdan keyin ellips, go'yo, juda ko'p sonlar oldinga borishiga ishora qiladi. Masalan, cheksiz ko'p. :)

Shuni ham ta'kidlashni istardimki, progressiyalar ortib bormoqda va kamaymoqda. Biz allaqachon ortib borayotganlarni ko'rdik - bir xil to'plam (1; 2; 3; 4; ...). Quyida progressiyaning pasayishiga misollar keltirilgan:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Yaxshi, yaxshi: oxirgi misol juda murakkab ko'rinishi mumkin. Ammo qolganlari, menimcha, tushunasiz. Shuning uchun biz yangi ta'riflarni kiritamiz:

Ta'rif. Arifmetik progressiya deyiladi:

1. har bir keyingi element avvalgisidan kattaroq bo'lsa, ortib boradi;
2. kamayadi, agar, aksincha, har bir keyingi element avvalgisidan kamroq bo'lsa.

Bundan tashqari, "statsionar" ketma-ketliklar mavjud - ular bir xil takrorlanuvchi raqamdan iborat. Masalan, (3; 3; 3; ...).

Faqat bitta savol qoladi: ortib borayotgan progressiyani kamayib borayotganidan qanday ajratish mumkin? Yaxshiyamki, bu erda hamma narsa faqat $ d$ raqamining belgisiga bog'liq, ya'ni. Progressiv farqlar:

1. Agar $d \gt 0$ bo'lsa, u holda progressiya ortib bormoqda;
2. Agar $d \lt 0$ bo'lsa, progressiya aniq pasaymoqda;
3. Va nihoyat, $d=0$ holati bor - bu holda butun progressiya bir xil sonlarning statsionar ketma-ketligiga tushiriladi: (1; 1; 1; 1; ...) va hokazo.

Yuqoridagi uchta kamayuvchi progressiya uchun $d$ farqini hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun har qanday ikkita qo'shni elementni (masalan, birinchi va ikkinchi) olib, o'ngdagi raqamdan, chapdagi raqamdan ayirish kifoya. Bu shunday ko'rinadi:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Ko'rib turganingizdek, har uch holatda ham farq haqiqatan ham salbiy bo'lib chiqdi. Va endi biz ko'proq yoki kamroq ta'riflarni aniqladik, progressiyalar qanday tasvirlanganligini va ular qanday xususiyatlarga ega ekanligini aniqlash vaqti keldi.

Progressiya a'zolari va takroriy formulalar

Bizning ketma-ketliklarimizning elementlarini almashtirib bo'lmagani uchun ularni raqamlash mumkin:

\[\left(((a)_(n)) \o'ng)=\left\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \o'ng\)\]

Bu to'plamning alohida elementlari progressiya a'zolari deb ataladi. Ular son yordamida shunday ko'rsatiladi: birinchi a'zo, ikkinchi a'zo va hokazo.

Bundan tashqari, biz allaqachon bilganimizdek, progressiyaning qo'shni a'zolari quyidagi formula bilan bog'langan:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\O'ng strelka ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Xulosa qilib aytganda, progressiyaning $n$-chi hadini topish uchun siz $n-1$-chi had va $d$ farqini bilishingiz kerak. Bunday formula takroriy deb ataladi, chunki uning yordami bilan har qanday raqamni topishingiz mumkin, faqat oldingisini (va aslida, avvalgi barcha) bilib olasiz. Bu juda noqulay, shuning uchun har qanday hisobni birinchi atama va farqga kamaytiradigan yanada murakkab formula mavjud:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\chap(n-1 \o'ng)d\]

Ehtimol, siz bu formulaga avvalroq duch kelgansiz. Ular buni har xil ma'lumotnomalar va reshebniklarda berishni yaxshi ko'radilar. Va matematika bo'yicha har qanday oqilona darslikda u birinchilardan biridir.

Biroq, men sizga ozgina mashq qilishni maslahat beraman.

Vazifa raqami 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ bo'lsa, $\left(((a)_(n)) \right)$ arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadini yozing.

Yechim. Demak, biz $((a)_(1))=8$ birinchi hadini va $d=-5$ progressiya farqini bilamiz. Keling, berilgan formuladan foydalanib, $n=1$, $n=2$ va $n=3$ oʻrniga qoʻyaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\chap(2-1 \o'ng)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\chap(3-1 \o'ng)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end (tekislash)\]

Javob: (8; 3; -2)

Ana xolos! E'tibor bering, bizning taraqqiyotimiz pasayib bormoqda.

Albatta, $n=1$ oʻrnini bosish mumkin emas edi - biz birinchi atamani allaqachon bilamiz. Biroq, birlikni almashtirish orqali biz formulamiz birinchi muddatda ham ishlashiga ishonch hosil qildik. Boshqa hollarda, hamma narsa banal arifmetikaga tushdi.

Vazifa raqami 2. Arifmetik progressiyaning birinchi uchta hadini yozing, agar uning yettinchi hadi -40 va o'n yettinchi hadi -50 bo'lsa.

Yechim. Muammoning shartini odatdagidek yozamiz:

\[((a)_(7))=-40;\to'rtlik ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(tekislash) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & (a)_(1))+16d=-50 \\ \end(hizalang) \o'ng.\]

Men tizimning belgisini qo'ydim, chunki bu talablar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Va endi shuni ta'kidlaymizki, agar biz ikkinchi tenglamadan birinchi tenglamani olib tashlasak (biz buni qilishga haqlimiz, chunki bizda tizim mavjud), biz buni olamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end (tekislash)\]

Xuddi shunday, biz progressiv farqni topdik! Tizimning istalgan tenglamalarida topilgan raqamni almashtirish qoladi. Masalan, birinchisida:

\[\begin(matritsa) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end (matritsa)\]

Endi birinchi atama va farqni bilib, ikkinchi va uchinchi shartlarni topish qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end (tekislash)\]

Tayyor! Muammo hal qilindi.

Javob: (-34; -35; -36)

Biz kashf etgan progressiyaning qiziq bir xususiyatiga e'tibor bering: agar biz $n$th va $m$th shartlarni olib, ularni bir-biridan ayirib qo'ysak, progressiyaning farqini $n-m$ soniga ko'paytiramiz:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \o'ng)\]

Siz aniq bilishingiz kerak bo'lgan oddiy, ammo juda foydali xususiyat - uning yordami bilan siz ko'plab progressiv muammolarni hal qilishni sezilarli darajada tezlashtirishingiz mumkin. Mana buning asosiy misoli:

Vazifa raqami 3. Arifmetik progressiyaning beshinchi hadi 8,4 ga, o‘ninchi hadi esa 14,4 ga teng. Bu progressiyaning o‘n beshinchi hadini toping.

Yechim. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ boʻlgani uchun va biz $((a)_(15))$ topishimiz kerak boʻlgani uchun biz quyidagilarni qayd etamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end (tekislash)\]

Lekin $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ sharti boʻyicha $5d=6$, bizda:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end (tekislash)\]

Javob: 20.4

Ana xolos! Bizga hech qanday tenglamalar tizimini tuzish va birinchi had va farqni hisoblash kerak emas edi - hamma narsa bir-ikki qatorda hal qilindi.

Keling, muammoning yana bir turini ko'rib chiqaylik - progressiyaning salbiy va ijobiy a'zolarini qidirish. Hech kimga sir emaski, agar progressiya oshib borsa, uning birinchi muddati salbiy bo'lsa, unda ertami-kechmi ijobiy atamalar paydo bo'ladi. Va aksincha: kamayib borayotgan progressiyaning shartlari ertami-kechmi salbiy bo'ladi.

Shu bilan birga, elementlarni ketma-ket saralab, bu lahzani "peshonada" topish har doim ham mumkin emas. Ko'pincha, muammolar formulalarni bilmasdan, hisob-kitoblar bir nechta varaqlarni oladi - javob topgunimizcha uxlab qolamiz. Shuning uchun biz bu muammolarni tezroq hal qilishga harakat qilamiz.

Vazifa raqami 4. Arifmetik progressiyada nechta manfiy hadlar -38,5; -35,8; …?

Yechim. Shunday qilib, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, shundan biz darhol farqni topamiz:

E'tibor bering, farq ijobiydir, shuning uchun rivojlanish ortib bormoqda. Birinchi atama manfiy, shuning uchun biz bir nuqtada ijobiy raqamlarga qoqilib qolamiz. Bitta savol - bu qachon sodir bo'ladi.

Keling, bilishga harakat qilaylik: atamalarning manfiyligi qancha vaqt (ya'ni, $n$ qaysi natural songacha) saqlanib qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\O'ng strelka ((a)_(1))+\left(n-1 \o'ng)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \o'ng)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \o'ng. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \o'ng) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\O'ng strelka ((n)_(\max ))=15. \\ \end (tekislash)\]

Oxirgi qatorga tushuntirish kerak. Shunday qilib, biz $n \lt 15\frac(7)(27)$ ekanligini bilamiz. Boshqa tomondan, bizga raqamning faqat butun qiymatlari mos keladi (bundan tashqari: $n\in \mathbb(N)$), shuning uchun ruxsat etilgan eng katta raqam aniq $n=15$ va hech qanday holatda 16 emas.

Vazifa raqami 5. Arifmetik progressiyada $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu progressiyaning birinchi musbat hadining sonini toping.

Bu avvalgisi bilan bir xil muammo bo'ladi, lekin biz $((a)_(1))$ ni bilmaymiz. Ammo qo'shni shartlar ma'lum: $((a)_(5))$ va $((a)_(6))$, shuning uchun biz progressiya farqini osongina topishimiz mumkin:

Bundan tashqari, standart formuladan foydalanib, beshinchi atamani birinchi va farq jihatidan ifodalashga harakat qilaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end (tekislash)\]

Endi biz oldingi muammoga o'xshashlik bilan davom etamiz. Ijobiy raqamlar ketma-ketligimizning qaysi nuqtasida paydo bo'lishini bilib olamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\O'ng strelka ((n)_(\min ))=56. \\ \end (tekislash)\]

Bu tengsizlikning minimal butun yechimi 56 raqamidir.

E'tibor bering, oxirgi vazifada hamma narsa qat'iy tengsizlikka tushirildi, shuning uchun $n=55$ varianti bizga mos kelmaydi.

Oddiy masalalarni yechishni o‘rganganimizdan so‘ng, endi murakkabroq masalalarga o‘tamiz. Ammo birinchi navbatda, arifmetik progressiyaning yana bir foydali xususiyatini bilib olaylik, bu bizga kelajakda ko'p vaqt va teng bo'lmagan hujayralarni tejaydi. :)

O'rtacha arifmetik va teng chegaralar

$\left(((a)_(n)) \right)$ ortib boruvchi arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket shartlarini ko'rib chiqing. Keling, ularni raqamlar qatorida belgilashga harakat qilaylik:

Son qatoridagi arifmetik progressiya a'zolari

Men har qanday $((a)_(1)) emas, balki $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ixtiyoriy a'zolarini alohida qayd etdim. \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ va boshqalar. Chunki men hozir aytib o'tadigan qoida har qanday "segmentlar" uchun bir xil ishlaydi.

Va qoida juda oddiy. Keling, rekursiv formulani eslaylik va uni barcha belgilangan a'zolar uchun yozamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end (tekislash)\]

Biroq, bu tengliklarni boshqacha tarzda qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & (a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end (tekislash)\]

Xo'sh, nima? Lekin $((a)_(n-1))$ va $((a)_(n+1))$ atamalari $((a)_(n)) $ dan bir xil masofada joylashganligi fakti. . Va bu masofa $d$ ga teng. $((a)_(n-2))$ va $((a)_(n+2))$ atamalari haqida ham shunday deyish mumkin - ular $((a)_(n) dan ham olib tashlangan. )$ bir xil masofada $2d$ ga teng. Siz cheksiz davom etishingiz mumkin, ammo rasm ma'noni yaxshi ko'rsatib beradi

Progressiya a'zolari markazdan bir xil masofada yotadi

Bu biz uchun nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, agar qo'shni raqamlar ma'lum bo'lsa, $((a)_(n))$ topishingiz mumkin:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]

Biz ajoyib gapni chiqardik: arifmetik progressiyaning har bir a'zosi qo'shni a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng! Bundan tashqari, biz $((a)_(n))$ dan chapga va o'ngga bir qadam emas, balki $k$ qadamlari bilan og'ishimiz mumkin - va baribir formula to'g'ri bo'ladi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Bular. $((a)_(150))$ va $((a)_(100))$ va $((a)_(200))$ bilsak, biz osonlik bilan $((a)_(150))$ topishimiz mumkin, chunki $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. Bir qarashda, bu fakt bizga hech qanday foydali narsa bermayotgandek tuyulishi mumkin. Biroq, amalda ko'plab vazifalar arifmetik o'rtachadan foydalanish uchun maxsus "o'tkirlashadi". Qarab qo'ymoq:

Vazifa raqami 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ va $14+4((x)^(2))$ raqamlari ketma-ket aʼzolari boʻlishi uchun $x$ ning barcha qiymatlarini toping. arifmetik progressiya (belgilangan tartibda).

Yechim. Bu raqamlar progressiyaning a'zolari bo'lgani uchun ular uchun o'rtacha arifmetik shart bajariladi: markaziy element $x+1$ qo'shni elementlar bilan ifodalanishi mumkin:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end (tekislash)\]

Bu klassik bo'lib chiqdi kvadrat tenglama. Uning ildizlari: $x=2$ va $x=-3$ javoblardir.

Javob: -3; 2.

Vazifa raqami 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ raqamlari arifmetik progressiya hosil qiladigan (shu tartibda) $$ qiymatlarini toping.

Yechim. Yana oʻrta atamani qoʻshni atamalarning oʻrtacha arifmetik qiymatida ifodalaymiz:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\o'ng.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end (tekislash)\]

Yana bir kvadrat tenglama. Va yana ikkita ildiz: $x=6$ va $x=1$.

Javob: 1; 6.

Agar muammoni hal qilish jarayonida siz shafqatsiz raqamlarni olsangiz yoki topilgan javoblarning to'g'riligiga to'liq ishonchingiz komil bo'lmasa, unda tekshirishga imkon beradigan ajoyib hiyla bor: biz muammoni to'g'ri hal qildikmi?

Aytaylik, 6-masalada biz -3 va 2 javoblarni oldik. Bu javoblarning to'g'riligini qanday tekshirish mumkin? Keling, ularni asl holatga ulab, nima bo'lishini ko'raylik. Sizga shuni eslatib o'tamanki, bizda uchta raqam ($-6(()^(2))$, $+1$ va $14+4(()^(2))$ bo'lib, ular arifmetik progressiya hosil qilishi kerak. $x=-3$ oʻrniga:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(tuzalash)\]

Biz raqamlarni oldik -54; −2; 52 ga farq qiladigan 50, shubhasiz, arifmetik progressiyadir. Xuddi shu narsa $x=2$ uchun sodir bo'ladi:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(tuzalash)\]

Yana progressiya, lekin farqi 27. Shunday qilib, muammo to'g'ri hal qilinadi. Xohlaganlar ikkinchi vazifani mustaqil ravishda tekshirishlari mumkin, lekin men darhol aytaman: u erda ham hamma narsa to'g'ri.

Umuman olganda, oxirgi vazifalarni hal qilishda biz boshqasiga qoqilib qoldik qiziq fakt, buni ham eslash kerak:

Agar uchta raqam shunday bo'lsa, ikkinchisi birinchi va oxirgi raqamlarning o'rtacha qiymati bo'lsa, u holda bu raqamlar arifmetik progressiyani hosil qiladi.

Kelajakda ushbu bayonotni tushunish bizga tom ma'noda "qurish" imkonini beradi. kerakli progressiyalar muammoning holatiga asoslanadi. Ammo bunday "qurilish" bilan shug'ullanishdan oldin, biz allaqachon ko'rib chiqilgan narsadan bevosita kelib chiqadigan yana bir haqiqatga e'tibor qaratishimiz kerak.

Guruhlash va elementlar yig'indisi

Keling, yana raqamlar qatoriga qaytaylik. Biz progressiyaning bir nechta a'zolarini qayd etamiz, ular orasida, ehtimol. boshqa ko'plab a'zolarga arziydi:

Raqamlar qatorida belgilangan 6 ta element

Keling, “chap dum”ni $((a)_(n))$ va $d$, “o‘ng dum”ni esa $((a)_(k))$ va $ bilan ifodalashga harakat qilaylik. d$. Bu juda oddiy:

\[\begin(align) & (a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end (tekislash)\]

Endi e'tibor bering, quyidagi summalar teng:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(tuzalash)\]

Oddiy qilib aytganda, agar biz jami $S$ soniga teng bo'lgan progressiyaning ikkita elementini boshlang'ich sifatida ko'rib chiqsak va keyin biz ushbu elementlardan qadam tashlashni boshlaymiz. qarama-qarshi tomonlar(o'chirish uchun bir-biriga yoki aksincha), keyin biz qoqiladigan elementlarning yig'indisi ham teng bo'ladi$S$. Buni eng yaxshi grafik tarzda ifodalash mumkin:

Xuddi shu chekinishlar teng miqdorni beradi

Tushunish bu fakt muammolarni tubdan hal qilish imkonini beradi yuqori daraja Yuqorida aytib o'tilganlarga qaraganda murakkablik. Masalan, bular:

Vazifa raqami 8. Birinchi hadi 66, ikkinchi va o‘n ikkinchi hadlarning ko‘paytmasi esa mumkin bo‘lgan eng kichik bo‘lgan arifmetik progressiyaning ayirmasini aniqlang.

Yechim. Keling, biz bilgan hamma narsani yozamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(tuzalash)\]

Shunday qilib, biz $d$ progressiyasining farqini bilmaymiz. Aslida, butun yechim farq atrofida quriladi, chunki $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ mahsulotini quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \o'ng)\cdot \left(66+11d \o'ng)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \o'ng)\cdot \left(d+6 \o'ng). \end(tuzalash)\]

Tankdagilar uchun: men ikkinchi qavsdan umumiy koeffitsient 11 ni oldim. Shunday qilib, kerakli mahsulot $d$ o'zgaruvchisiga nisbatan kvadratik funktsiyadir. Shuning uchun $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ funksiyasini ko'rib chiqamiz - uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi, chunki Qavslarni ochsak, biz quyidagilarni olamiz:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \o'ng)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Ko'rib turganingizdek, eng yuqori atama koeffitsienti 11 ga teng - bu ijobiy raqam, shuning uchun biz haqiqatan ham shoxlari yuqori bo'lgan parabola bilan ishlaymiz:

jadval kvadratik funktsiya- parabola

Iltimos, diqqat qiling: bu parabola o'zining minimal qiymatini $((d)_(0))$ abscissa bilan cho'qqisida oladi. Albatta, biz ushbu abscissani standart sxema bo'yicha hisoblashimiz mumkin ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ formulasi mavjud), lekin buni qilish ancha oqilona bo'lar edi. E'tibor bering, kerakli cho'qqi parabolaning o'qi simmetriyasida yotadi, shuning uchun $((d)_(0))$ nuqta $f\left(d \right)=0$ tenglamaning ildizlaridan teng masofada joylashgan:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \o'ng)\cdot \left(d+6 \o'ng)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\to'rtlik ((d)_(2))=-6. \\ \end (tekislash)\]

Shuning uchun men qavslarni ochishga shoshilmadim: asl shaklda ildizlarni topish juda va juda oson edi. Demak, abscissa −66 va −6 sonlarning oʻrtacha arifmetik qiymatiga teng:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Bizga topilgan raqamni nima beradi? U bilan kerakli mahsulot oladi eng kichik qiymat(Aytgancha, biz $((y)_(\min ))$ hisoblamadik - bizdan buni qilish talab qilinmaydi). Shu bilan birga, bu raqam dastlabki progressiyaning farqidir, ya'ni. biz javob topdik. :)

Javob: -36

Vazifa raqami 9. $-\frac(1)(2)$ va $-\frac(1)(6)$ raqamlari orasiga uchta raqamni kiritingki, ular berilgan raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiya hosil qiladi.

Yechim. Aslida, biz beshta raqamdan iborat ketma-ketlikni yaratishimiz kerak, birinchi va oxirgi raqam allaqachon ma'lum. Yetishmayotgan raqamlarni $x$, $y$ va $z$ oʻzgaruvchilari bilan belgilang:

\[\left(((a)_(n)) \o'ng)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \o'ng\ )\]

E'tibor bering, $y$ raqami bizning ketma-ketligimizning "o'rtasi" - u $x$ va $z$ raqamlaridan, $-\frac(1)(2)$ va $-\frac raqamlaridan bir xil masofada joylashgan. (1)(6)$. Va agar biz hozirda $x$ va $z$ raqamlaridan $y$ ni ololmasak, progressiyaning oxirlarida vaziyat boshqacha. O'rtacha arifmetikni eslang:

Endi $y$-ni bilib, qolgan raqamlarni topamiz. E'tibor bering, $x$ $-\frac(1)(2)$ va $y=-\frac(1)(3)$ orasida joylashgan. Shunung uchun

Xuddi shunday bahslashib, qolgan raqamni topamiz:

Tayyor! Biz uchta raqamni topdik. Keling, ularni asl raqamlar orasiga kiritish kerak bo'lgan tartibda javobda yozamiz.

Javob: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Vazifa raqami 10. 2 va 42 raqamlari orasiga, agar kiritilgan sonlarning birinchi, ikkinchi va oxirgisi yig’indisi 56 ga teng ekanligi ma’lum bo’lsa, berilgan sonlar bilan birgalikda arifmetik progressiya hosil qiluvchi bir nechta raqamlarni qo’ying.

Yechim. Bundan ham qiyinroq vazifa, shunga qaramay, u avvalgilari bilan bir xil tarzda - o'rtacha arifmetik orqali hal qilinadi. Muammo shundaki, biz qancha raqam kiritishni aniq bilmaymiz. Shuning uchun, aniqlik uchun, biz kiritgandan keyin aniq $n$ raqamlari bo'ladi deb faraz qilamiz va ularning birinchisi 2, oxirgisi esa 42. Bu holda kerakli arifmetik progressiyani quyidagicha ifodalash mumkin:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \o'ng\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Shunga qaramay, $((a)_(2))$ va $((a)_(n-1))$ raqamlari 2 va 42 bir-biriga bir qadam chekkada turgan raqamlardan olinganligini unutmang. , ya'ni. ketma-ketlikning markaziga. Va bu shuni anglatadiki

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ammo keyin yuqoridagi iborani shunday qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end (tekislash)\]

$((a)_(3))$ va $((a)_(1))$ bilgan holda biz progressiya farqini osongina topishimiz mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\chap(3-1 \o'ng)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Oʻng strelka d=5. \\ \end (tekislash)\]

Qolgan a'zolarni topishgina qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end (tekislash)\]

Shunday qilib, 9-bosqichda biz ketma-ketlikning chap tomoniga kelamiz - 42 raqami. Hammasi bo'lib, faqat 7 ta raqamni kiritish kerak edi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Javob: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Jarayonlar bilan matnli topshiriqlar

Xulosa qilib aytganda, men bir nechta nisbatan oddiy muammolarni ko'rib chiqmoqchiman. Xo'sh, oddiy bo'lganlar: maktabda matematikani o'qigan va yuqorida yozilganlarni o'qimagan ko'pchilik o'quvchilar uchun bu vazifalar imo-ishora kabi ko'rinishi mumkin. Shunga qaramay, matematikada OGE va USEda aynan shunday vazifalar uchraydi, shuning uchun men ular bilan tanishib chiqishingizni maslahat beraman.

Vazifa raqami 11. Jamoa yanvar oyida 62 ta detal ishlab chiqargan bo‘lsa, har bir keyingi oyda oldingisiga nisbatan 14 ta ko‘p detal ishlab chiqargan. Noyabr oyida brigada nechta detal ishlab chiqardi?

Yechim. Shubhasiz, oylar bo'yicha bo'yalgan qismlar soni ortib borayotgan arifmetik progressiya bo'ladi. Va:

\[\begin(align) & (a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\chap(n-1 \o'ng)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noyabr - yilning 11 oyi, shuning uchun biz $((a)_(11))$ topishimiz kerak:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Shuning uchun noyabr oyida 202 ta detal ishlab chiqariladi.

Vazifa raqami 12. Kitob jilovlash ustaxonasi yanvar oyida 216 ta kitobni jamladi va har oyda oldingi oyga qaraganda 4 taga koʻp kitob muqovalandi. Dekabr oyida ustaxonada nechta kitob bog'landi?

Yechim. Hammasi bir xil:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\chap(n-1 \o'ng)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dekabr - yilning oxirgi, 12- oyi, shuning uchun biz $((a)_(12))$ qidiramiz:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Bu javob - dekabr oyida 260 ta kitob bog'lanadi.

Xo'sh, agar siz shu paytgacha o'qigan bo'lsangiz, sizni tabriklashga shoshildim: arifmetik progressiyadagi "yosh jangchilar kursini" muvaffaqiyatli yakunladingiz. Siz xavfsiz borishingiz mumkin keyingi dars, bu erda biz progressiya yig'indisi formulasini, shuningdek, undan muhim va juda foydali natijalarni o'rganamiz.

Masalan, ketma-ketlik \(2\); \(5\); \(8\); \(o'n bir\); \(14\)… arifmetik progressiyadir, chunki har bir keyingi element oldingisidan uchga farq qiladi (oldingi elementdan uchta qoʻshish orqali olinishi mumkin):

Ushbu progressiyada \(d\) farq ijobiy (\(3\) ga teng) va shuning uchun har bir keyingi had oldingisidan kattaroqdir. Bunday progressiyalar deyiladi ortib boradi.

Biroq, \(d\) ham bo'lishi mumkin salbiy raqam. Masalan, arifmetik progressiyada \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progressiya farqi \(d\) minus oltiga teng.

Va bu holda, har bir keyingi element avvalgisidan kamroq bo'ladi. Bu progressiyalar deyiladi kamaymoqda.

Arifmetik progressiya belgilari

Progression kichik lotin harfi bilan belgilanadi.

Progressiya hosil qiluvchi sonlar deyiladi a'zolari(yoki elementlar).

Ular arifmetik progressiya bilan bir xil harf bilan, lekin tartibdagi element raqamiga teng sonli indeks bilan belgilanadi.

Masalan, arifmetik progressiya \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) \(a_1=2\) elementlaridan iborat; \(a_2=5\); \(a_3=8\) va hokazo.

Boshqacha qilib aytganda, progressiya uchun \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\o'ng\)\)

Arifmetik progressiyaga oid masalalar yechish

Aslida, yuqoridagi ma'lumotlar arifmetik progressiya bo'yicha deyarli har qanday muammoni hal qilish uchun etarli (shu jumladan OGEda taklif qilinganlar).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(b_1=7; d=4\) shartlar bilan beriladi. \(b_5\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_5=23\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadi berilgan: \(62; 49; 36…\) Bu progressiyaning birinchi manfiy hadining qiymatini toping.
Yechim:

	Bizga ketma-ketlikning birinchi elementlari berilgan va bu arifmetik progressiya ekanligini bilamiz. Ya'ni, har bir element qo'shnisidan bir xil raqam bilan farq qiladi. Keyingi elementdan oldingisini ayirish orqali qaysi biri ekanligini aniqlang: \(d=49-62=-13\).
	Endi biz kerakli (birinchi salbiy) elementga o'tishimizni tiklashimiz mumkin.
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(-3\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket elementlari berilgan: \(...5; x; 10; 12,5...\) \(x\) harfi bilan belgilangan elementning qiymatini toping.
Yechim:

	\(x\) ni topish uchun keyingi element oldingisidan qanchalik farq qilishini, boshqacha aytganda progressiya farqini bilishimiz kerak. Uni ikkita ma'lum qo'shni elementlardan topamiz: \(d=12,5-10=2,5\).
	Va endi biz izlayotgan narsani muammosiz topamiz: \(x=5+2,5=7,5\).
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(7,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu progressiyaning dastlabki olti hadining yig‘indisini toping.
Yechim:

Progressiyaning dastlabki olti hadining yig'indisini topishimiz kerak. Lekin biz ularning ma'nolarini bilmaymiz, bizga faqat birinchi element berilgan. Shuning uchun, biz birinchi navbatda bizga berilgan qiymatlardan foydalanib, qiymatlarni hisoblaymiz: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Va bizga kerak bo'lgan oltita elementni hisoblab, ularning yig'indisini topamiz.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Soʻralgan miqdor topildi.

Javob: \(S_6=9\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiyada \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu progressiyaning farqini toping.
Yechim:

Javob: \(d=7\).

Muhim arifmetik progressiya formulalari

Ko'rib turganingizdek, ko'plab arifmetik progressiya masalalarini oddiygina asosiy narsani tushunish orqali hal qilish mumkin - arifmetik progressiya raqamlar zanjiri va bu zanjirning har bir keyingi elementi oldingisiga bir xil sonni qo'shish orqali olinadi (farq progressiyaning).

Biroq, ba'zida "peshonada" hal qilish juda noqulay bo'lgan holatlar mavjud. Misol uchun, tasavvur qiling-a, birinchi misolda biz beshinchi elementni \(b_5\) emas, balki uch yuz sakson oltinchi \(b_(386)\) ni topishimiz kerak. Bu nima, biz \ (385 \) marta to'rtta qo'shamiz? Yoki tasavvur qiling-a, oxirgi misolda siz birinchi yetmish uchta elementning yig'indisini topishingiz kerak. Hisoblash chalkash...

Shuning uchun, bunday hollarda, ular "peshonada" hal qilmaydi, balki arifmetik progressiya uchun olingan maxsus formulalardan foydalanadi. Eng asosiylari esa progressiyaning n-chi hadi formulasi va birinchi hadlar yig’indisi \(n\) formulasidir.

\(n\)-chi a'zo uchun formula: \(a_n=a_1+(n-1)d\), bu erda \(a_1\) progressiyaning birinchi a'zosi;
\(n\) - kerakli elementning soni;
\(a_n\) - \(n\) sonli progressiyaning a'zosi.

Ushbu formula bizga faqat birinchi va progressiya farqini bilgan holda kamida uch yuzinchi, hatto millioninchi elementni tezda topishga imkon beradi.

Misol. Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_(246)=1850\).

Birinchi n ta hadning yig'indisi formulasi: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), bu erda

\(a_n\) - oxirgi yig'ilgan atama;

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(a_n=3,4n-0,6\) shartlar bilan berilgan. Bu progressiyaning birinchi \(25\) hadlarining yig‘indisini toping.
Yechim:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Birinchi yigirma besh elementning yig'indisini hisoblash uchun biz birinchi va yigirma beshinchi muddatning qiymatini bilishimiz kerak. Bizning progressiyamiz uning soniga qarab n-sonning formulasi bilan beriladi (batafsilroq qarang). Birinchi elementni \(n\) ni bitta bilan almashtirib hisoblaymiz.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Endi \(n\) o'rniga yigirma beshni qo'yib, yigirma beshinchi hadni topamiz.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Xo'sh, endi biz kerakli miqdorni hech qanday muammosiz hisoblaymiz.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(25)=1090\).

Birinchi shartlarning \(n\) yig'indisi uchun siz boshqa formulani olishingiz mumkin: shunchaki \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) oʻrniga \(a_n\) formulasini qoʻying \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz olamiz:

Birinchi n ta atamalar yig'indisi formulasi: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), bu yerda

\(S_n\) - birinchi elementlarning kerakli summasi \(n\);
\(a_1\) - yig'iladigan birinchi atama;
\(d\) – progressiya farqi;
\(n\) - yig'indidagi elementlar soni.

Misol. Arifmetik progressiyaning birinchi \(33\)-ex hadlari yig'indisini toping: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Yechim:

Javob: \(S_(33)=-231\).

Murakkab arifmetik progressiya masalalari

Endi siz deyarli har qanday arifmetik progressiya masalasini hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarga egasiz. Keling, mavzuni nafaqat formulalarni qo'llash, balki biroz o'ylash kerak bo'lgan muammolarni ko'rib chiqaylik (matematikada bu foydali bo'lishi mumkin ☺)

Misol (OGE). Progressiyaning barcha manfiy hadlari yig'indisini toping: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Yechim:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Vazifa avvalgisiga juda o'xshash. Biz ham xuddi shunday yechishni boshlaymiz: avval \(d\) ni topamiz.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Endi biz yig'indining formulasiga \(d\) ni qo'yamiz ... va bu erda kichik nuance paydo bo'ladi - biz \(n\) ni bilmaymiz. Boshqacha qilib aytganda, biz qancha atama qo'shish kerakligini bilmaymiz. Qanday aniqlash mumkin? Keling, o'ylab ko'raylik. Birinchi ijobiy elementga kelganimizda elementlarni qo'shishni to'xtatamiz. Ya'ni, siz ushbu elementning sonini topishingiz kerak. Qanaqasiga? Arifmetik progressiyaning istalgan elementini hisoblash formulasini yozamiz: bizning holatimiz uchun \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Bizga \(a_n\) noldan katta bo'lishi kerak. Keling, \(n\) nima bo'lishini bilib olaylik.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Tengsizlikning ikkala tomonini \(0,3\) ga ajratamiz.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Biz minus birini o'tkazamiz, belgilarni o'zgartirishni unutmaymiz
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Hisoblash...
\(n>65,333…\)		...va birinchi musbat element \(66\) raqamiga ega bo'ladi. Shunga ko'ra, oxirgi salbiy \(n=65\) ga ega. Har holda, keling, buni tekshirib ko'ramiz.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Shunday qilib, biz birinchi \(65\) elementlarni qo'shishimiz kerak.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(65)=-630,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-chi elementdan \(42\) gacha boʻlgan summani toping.
Yechim:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bu masalada siz elementlarning yig'indisini ham topishingiz kerak, lekin birinchisidan emas, balki \(26\)-dan boshlab. Bizda buning formulasi yo'q. Qanday qaror qilish kerak? Oson - \(26\)-dan \(42\)-gacha bo'lgan yig'indini olish uchun avval \(1\)-dan \(42\)gacha bo'lgan summani topib, so'ngra undan yig'indini ayirish kerak. birinchidan \ (25 \) th (rasmga qarang).
	Bizning progressiyamiz \(a_1=-33\) va farq \(d=4\) uchun (oxir-oqibat, keyingi elementni topish uchun oldingi elementga to'rtta qo'shamiz). Buni bilib, birinchi \(42\)-uh elementlarning yig'indisini topamiz.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Endi birinchi \(25\)-chi elementlarning yig'indisi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Va nihoyat, biz javobni hisoblaymiz.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Javob: \(S=1683\).

Arifmetik progressiya uchun yana bir nechta formulalar mavjudki, biz ushbu maqolada ularning amaliy foydasi pastligi sababli ko'rib chiqmadik. Biroq, siz ularni osongina topishingiz mumkin.

Ko'rsatma

Arifmetik progressiya a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d ko‘rinishdagi ketma-ketlikdir. d raqami qadam progressiyalar.Shubhasiz, arifmetikaning ixtiyoriy n-chi hadi yig'indisi progressiyalar shaklga ega: An = A1+(n-1)d. Keyin a'zolardan birini bilish progressiyalar, a'zo progressiyalar va qadam progressiyalar, bo'lishi mumkin, ya'ni progressiya hadining soni. Shubhasiz, u n = (An-A1+d)/d formulasi bilan aniqlanadi.

Endi m-soni ma'lum bo'lsin progressiyalar va boshqa a'zolar progressiyalar- n-th, lekin n , oldingi holatda bo'lgani kabi, lekin ma'lumki, n va m mos kelmaydi.Step progressiyalar formula bilan hisoblash mumkin: d = (An-Am)/(n-m). Keyin n = (An-Am+md)/d.

Agar arifmetikaning bir nechta elementlari yig'indisi bo'lsa progressiyalar, shuningdek, uning birinchi va oxirgi , keyin bu elementlarning sonini ham aniqlash mumkin.Arifmetik yig'indisi progressiyalar teng bo'ladi: S = ((A1+An)/2)n. U holda n = 2S/(A1+An) chdenovdir progressiyalar. An = A1+(n-1)d ekanligidan foydalanib, bu formulani quyidagicha qayta yozish mumkin: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Bundan kvadrat tenglamani yechish orqali n ni ifodalash mumkin.

Arifmetik ketma-ketlik - bu tartiblangan raqamlar to'plami bo'lib, ularning har bir a'zosi, birinchisidan tashqari, avvalgisidan bir xil miqdorda farq qiladi. Bu konstanta progressiya yoki uning qadamining ayirmasi deb ataladi va arifmetik progressiyaning ma’lum a’zolaridan hisoblanishi mumkin.

Ko'rsatma

Agar birinchi va ikkinchi yoki boshqa qo'shni shartlarning qiymatlari masala shartlaridan ma'lum bo'lsa, farqni (d) hisoblash uchun keyingi haddan oldingi hadni ayirish kifoya. Olingan qiymat ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin - bu progressiyaning ortib borayotganiga bog'liq. Umumiy shaklda progressiyaning qo'shni a'zolarining ixtiyoriy juftligi (aᵢ va aᵢ₊₁) uchun yechimni quyidagicha yozing: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Bunday progressiyaning bittasi birinchi (a₁), ikkinchisi esa ixtiyoriy ravishda tanlangan boshqa a'zolar jufti uchun ayirma (d) ni topish formulasini ham tuzish mumkin. Biroq, bu holda, ketma-ketlikning o'zboshimchalik bilan tanlangan a'zosining seriya raqami (i) ma'lum bo'lishi kerak. Farqni hisoblash uchun ikkala raqamni qo'shing va natijani bittaga qisqartirilgan ixtiyoriy atamaning tartib raqamiga bo'ling. IN umumiy ko'rinish bu formulani shunday yozing: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Agar tartib raqami i bo‘lgan arifmetik progressiyaning ixtiyoriy a’zosidan tashqari, tartib raqami u bo‘lgan boshqa a’zosi ma’lum bo‘lsa, avvalgi bosqichdagi formulani shunga mos ravishda o‘zgartiring. Bunday holda, progressiyaning farqi (d) bu ikki hadning yig'indisi ularning tartib raqamlaridagi farqga bo'linadi: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Farqni (d) hisoblash formulasi, agar masala sharoitida uning birinchi hadi (a₁) va yig‘indisi (Sᵢ) qiymati berilgan bo‘lsa, biroz murakkablashadi. berilgan raqam(i) arifmetik ketma-ketlikning birinchi hadlari. Kerakli qiymatni olish uchun yig'indini uni tashkil etgan shartlar soniga bo'ling, ketma-ketlikdagi birinchi raqamning qiymatini ayirib, natijani ikki baravar oshiring. Olingan qiymatni bittaga kamaytirilgan yig'indini tashkil etgan shartlar soniga bo'ling. Umuman olganda, diskriminantni hisoblash formulasini quyidagicha yozing: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Raqamli ketma-ketlik tushunchasi har bir natural sonning qandaydir haqiqiy qiymatga mos kelishini nazarda tutadi. Bunday raqamlar qatori ham ixtiyoriy bo'lishi mumkin, ham ma'lum xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin - progressiya. Ikkinchi holda, ketma-ketlikning har bir keyingi elementi (a'zosi) avvalgisidan foydalanib hisoblanishi mumkin.

Arifmetik progressiya sonli qiymatlar ketma-ketligi bo'lib, unda qo'shni a'zolar bir-biridan bir xil son bilan farqlanadi (2-dan boshlab qatorning barcha elementlari o'xshash xususiyatga ega). Bu raqam - oldingi va keyingi a'zolar orasidagi farq - doimiy bo'lib, progressiya farqi deb ataladi.

Progressiya farqi: ta'rifi

A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j qiymatlardan tashkil topgan ketma-ketlikni ko'rib chiqing. natural sonlar N. Arifmetik progressiya, taʼrifiga koʻra, a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = boʻlgan ketma-ketlikdir. a(j) – a(j-1) = d. d qiymati bu progressiyaning istalgan farqidir.

d = a(j) - a(j-1).

Ajratish:

• Ortib borayotgan progressiya, bu holda d > 0. Misol: 4, 8, 12, 16, 20, …
• progressiyaning pasayishi, keyin d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progressiyaning farqi va uning ixtiyoriy elementlari

Agar progressiyaning 2 ta ixtiyoriy a'zosi (i-chi, k-chi) ma'lum bo'lsa, u holda bu ketma-ketlik uchun farqni munosabat asosida aniqlash mumkin:

a (i) = a (k) + (i - k) * d, shuning uchun d = (a (i) - a (k)) / (i-k).

Progressiya farqi va uning birinchi muddati

Ushbu ifoda noma'lum qiymatni faqat ketma-ketlik elementining soni ma'lum bo'lgan hollarda aniqlashga yordam beradi.

Progressiya farqi va uning yig'indisi

Progressiya yig'indisi uning a'zolari yig'indisidir. Uning birinchi j elementlarining umumiy qiymatini hisoblash uchun tegishli formuladan foydalaning:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, lekin beri a(j) = a(1) + d(j – 1), keyin S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(() 2a(1) + d(– 1))/2)*j.