Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Saqlar ketma-ketligi. Geometrik progressiya"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.

9-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
Quvvatlar va ildizlar Funksiyalar va grafiklar

Bolalar, bugun biz progressiyaning yana bir turi bilan tanishamiz.
Bugungi darsimizning mavzusi geometrik progressiya.

Geometrik progressiya

Ta'rif. Ikkinchisidan boshlab har bir had oldingi va qandaydir qat'iy sonning ko'paytmasiga teng bo'lgan sonli ketma-ketlik geometrik progressiya deb ataladi.
Ketma-ketlikni rekursiv tarzda aniqlaymiz: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
bu yerda b va q aniqlangan berilgan raqamlar. q soni progressiyaning maxraji deyiladi.

Misol. 1,2,4,8,16… Geometrik progressiya, birinchi hadi birga teng va $q=2$.

Misol. 8,8,8,8… Birinchi hadi sakkiz bo‘lgan geometrik progressiya,
va $q=1$.

Misol. 3,-3,3,-3,3... Birinchi hadi uchta bo‘lgan geometrik progressiya,
va $q=-1$.

Geometrik progressiya monotonlik xossalariga ega.
Agar $b_(1)>0$, $q>1$,
keyin ketma-ketlik kuchayadi.
Agar $b_(1)>0$, $0 Ketma-ketlik odatda quyidagicha belgilanadi: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Shuningdek, ichida arifmetik progressiya, agar geometrik progressiyada elementlar soni chekli bo'lsa, progressiya chekli geometrik progressiya deyiladi.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
E'tibor bering, agar ketma-ketlik geometrik progressiya bo'lsa, kvadrat hadlar ketma-ketligi ham geometrik progressiyadir. Ikkinchi ketma-ketlikda birinchi termin $b_(1)^2$ va maxraj $q^2$ mavjud.

Geometrik progressiyaning n-azosining formulasi

Geometrik progressiya analitik shaklda ham aniqlanishi mumkin. Keling, buni qanday qilishni ko'rib chiqaylik:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Biz naqshni osongina ko'rishimiz mumkin: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Bizning formulamiz "geometrik progressiyaning n-azosining formulasi" deb ataladi.

Keling, misollarimizga qaytaylik.

Misol. 1,2,4,8,16… Birinchi hadi birga teng bo‘lgan geometrik progressiya,
va $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Misol. 16,8,4,2,1,1/2… Birinchi hadi oʻn olti va $q=\frac(1)(2)$ boʻlgan geometrik progressiya.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Misol. 8,8,8,8… Birinchi hadi sakkiz va $q=1$ boʻlgan geometrik progressiya.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Misol. 3,-3,3,-3,3… Birinchi hadi uch va $q=-1$ boʻlgan geometrik progressiya.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Misol. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ geometrik progressiya berilgan.
a) Ma'lumki, $b_(1)=6, q=3$. $b_(5)$ toping.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ ekanligi ma'lum. n ni toping.
c) $q=-2, b_(6)=96$ ekanligi ma'lum. $b_(1)$ toping.
d) Ma'lumki, $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. q ni toping.

Yechim.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ dan beri $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Misol. Geometrik progressiyaning yettinchi va beshinchi a’zolarining ayirmasi 192 ga, progressiyaning beshinchi va oltinchi a’zolarining yig‘indisi 192 ga teng. Shu progressiyaning o‘ninchi a’zosini toping.

Yechim.
Biz bilamizki: $b_(7)-b_(5)=192$ va $b_(5)+b_(6)=192$.
Biz ham bilamiz: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Keyin:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Biz tenglamalar tizimini oldik:
$\begin(holatlar)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(holatlar)$.
Tenglashtirib, bizning tenglamalarimiz quyidagicha bo'ladi:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Biz ikkita yechim oldik q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Ikkinchi tenglamani ketma-ket almashtiring:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ yechim yo'q.
Biz buni oldik: $b_(1)=4, q=2$.
O'ninchi hadni topamiz: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Cheklangan geometrik progressiya yig'indisi

Aytaylik, bizda cheklangan geometrik progressiya bor. Keling, arifmetik progressiya uchun ham uning a'zolari yig'indisini hisoblaylik.

Cheklangan geometrik progressiya berilsin: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Uning a'zolari yig'indisining yozuvini kiritamiz: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ bo'lgan holatda. Geometrik progressiyaning barcha a'zolari birinchi a'zoga teng bo'lsa, u holda $S_(n)=n*b_(1)$ ekanligi aniq bo'ladi.
Endi $q≠1$ ni ko'rib chiqing.
Yuqoridagi miqdorni q ga ko'paytiring.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Eslatma:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Biz chekli geometrik progressiya yig'indisi formulasini oldik.

Misol.
Birinchi hadi 4 ga, maxraji 3 ga teng bo‘lgan geometrik progressiyaning dastlabki yetti hadining yig‘indisini toping.

Yechim.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Misol.
Geometrik progressiyaning ma'lum beshinchi a'zosini toping: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Yechim.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Geometrik progressiyaning xarakterli xususiyati

Bolalar, geometrik progressiya berilgan. Keling, uning uchta ketma-ket a'zolarini ko'rib chiqaylik: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Biz buni bilamiz:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Keyin:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Agar progressiya chekli bo'lsa, bu tenglik birinchi va oxirgidan tashqari barcha shartlar uchun amal qiladi.
Agar ketma-ketlikning qanday ketma-ketlikka ega ekanligi oldindan ma'lum bo'lmasa, lekin ma'lum bo'lsa: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Shunda ishonch bilan aytishimiz mumkinki, bu geometrik progressiya.

Raqamlar ketma-ketligi uning har bir hadining kvadrati progressiyaning qo‘shni ikkita hadining ko‘paytmasiga teng bo‘lgandagina geometrik progressiya hisoblanadi. Shuni unutmangki, cheklangan progressiya uchun bu shart birinchi va oxirgi muddat uchun qanoatlanmaydi.

Keling, ushbu identifikatsiyani ko'rib chiqaylik: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ a va b ning geometrik o'rtachasi deyiladi.

Geometrik progressiyaning istalgan a’zosining moduli unga qo‘shni bo‘lgan ikki a’zoning o‘rta geometrik qiymatiga teng.

Misol.
$x+2 bo'ladigan x toping; 2x+2; 3x+3$ geometrik progressiyaning ketma-ket uchta a'zosi edi.

Yechim.
Xarakteristik xususiyatdan foydalanamiz:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ va $x_(2)=-1$.
Asl ifodada ketma-ketlik bilan almashtiring, bizning yechimlarimiz:
$x=2$ bilan biz ketma-ketlikni oldik: 4;6;9 - $q=1,5$ bo'lgan geometrik progressiya.
$x=-1$ bilan biz quyidagi ketma-ketlikni oldik: 1;0;0.
Javob: $x=2.$

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

1. Geometrik progressiyaning sakkizinchi birinchi a'zosini toping 16;-8;4;-2 ....
2. 11,22,44... geometrik progressiyaning o‘ninchi a’zosini toping.
3. Ma’lumki, $b_(1)=5, q=3$. $b_(7)$ toping.
4. Ma'lumki, $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. n ni toping.
5. 3;12;48... geometrik progressiyaning dastlabki 11 a’zosining yig‘indisini toping.
6. $3x+4 bo'ladigan x ni toping; 2x+4; x+5$ geometrik progressiyaning ketma-ket uchta a'zosi.

Matematika bu nimaodamlar tabiatni va o'zlarini nazorat qiladilar.

Sovet matematigi, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrik progressiya.

Matematikadan kirish testlarida arifmetik progressiyalar uchun topshiriqlar bilan bir qatorda geometrik progressiya tushunchasiga oid topshiriqlar ham keng tarqalgan. Bunday muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun siz geometrik progressiyaning xususiyatlarini bilishingiz va ulardan foydalanishda yaxshi ko'nikmalarga ega bo'lishingiz kerak.

Ushbu maqola geometrik progressiyaning asosiy xususiyatlarini taqdim etishga bag'ishlangan. Shuningdek, u odatdagi muammolarni hal qilish misollarini beradi, matematikadan kirish testlari topshiriqlaridan olingan.

Keling, geometrik progressiyaning asosiy xususiyatlarini oldindan qayd qilaylik va eng ko'pini eslaylik muhim formulalar va bayonotlar, ushbu kontseptsiya bilan bog'liq.

Ta'rif. Raqamli ketma-ketlik geometrik progressiya deb ataladi, agar uning har bir soni ikkinchisidan boshlab oldingisiga teng bo'lib, bir xil songa ko'paytirilsa. Bu raqam geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi.

Geometrik progressiya uchunformulalar haqiqiydir

, (1)

Qayerda. Formula (1) geometrik progressiyaning umumiy hadining formulasi deb ataladi va (2) formula geometrik progressiyaning asosiy xususiyatidir: progressiyaning har bir a'zosi qo'shni a'zolarining geometrik o'rtacha qiymatiga to'g'ri keladi va .

Eslatma, Aynan shu xossasi tufayli ko'rib chiqilayotgan progressiya "geometrik" deb ataladi.

Yuqoridagi (1) va (2) formulalar quyidagicha umumlashtirilgan:

, (3)

So'mni hisoblash uchun birinchi geometrik progressiyaning a'zolariformula amal qiladi

Agar belgilasak

Qayerda. Chunki (6) formula (5) formulani umumlashtirishdir.

Qachon va geometrik progressiyacheksiz kamayib bormoqda. So'mni hisoblash uchuncheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning barcha a'zolarining formulasidan foydalaniladi

. (7)

Masalan , (7) formuladan foydalanib, ko'rsatish mumkin, Nima

Qayerda. Bu tengliklar , (birinchi tenglik) va , (ikkinchi tenglik) sharti bilan (7) formuladan olinadi.

Teorema. Agar , keyin

Isbot. Agar, u holda,

Teorema isbotlangan.

Keling, "Geometrik progressiya" mavzusidagi masalalarni yechish misollarini ko'rib chiqishga o'tamiz.

1-misol Berilgan: , va . Toping.

Yechim. Agar formula (5) qo'llanilsa, u holda

Javob: .

2-misol Keling va. Toping.

Yechim. va dan boshlab, (5), (6) formulalardan foydalanamiz va tenglamalar tizimini olamiz

Agar (9) sistemaning ikkinchi tenglamasi birinchisiga bo'linsa, keyin yoki . Bundan kelib chiqadi . Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik.

1. Agar , u holda (9) sistemaning birinchi tenglamasidan biz bor.

2. Agar , keyin .

3-misol Keling, va. Toping.

Yechim. Formuladan (2) kelib chiqadiki, yoki. O'shandan beri, keyin yoki.

Shart bo'yicha. Biroq, shuning uchun. Chunki va, u holda bizda tenglamalar tizimi mavjud

Agar tizimning ikkinchi tenglamasi birinchisiga bo'linsa, u holda yoki .

Chunki, tenglama bitta mos ildizga ega. Bunday holda, tizimning birinchi tenglamasi .

Formula (7) ni hisobga olgan holda, biz olamiz.

Javob: .

4-misol Berilgan: va . Toping.

Yechim. O'shandan beri .

Chunki , keyin yoki

Formula (2) bo'yicha bizda mavjud. Shu munosabat bilan (10) tenglikdan yoki ni olamiz.

Biroq, shart bo'yicha, shuning uchun.

5-misol Ma'lumki. Toping.

Yechim. Teoremaga ko'ra, biz ikkita tenglikka egamiz

O'shandan beri, keyin yoki. Chunki, keyin.

Javob: .

6-misol Berilgan: va . Toping.

Yechim. Formula (5) ni hisobga olgan holda, biz olamiz

O'shandan beri . Buyon, va, keyin.

7-misol Keling va. Toping.

Yechim. Formula (1) bo'yicha biz yozishimiz mumkin

Shuning uchun bizda yoki . Ma'lumki va , shuning uchun va .

Javob: .

8-misol Agar cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning maxrajini toping

Va .

Yechim. (7) formuladan kelib chiqadi Va . Bu yerdan va masalaning shartidan biz tenglamalar sistemasini olamiz

Agar sistemaning birinchi tenglamasi kvadrat bo'lsa, va keyin hosil bo'lgan tenglamani ikkinchi tenglamaga bo'ling, keyin olamiz

Yoki .

Javob: .

9-misol, , ketma-ketligi geometrik progressiya bo'lgan barcha qiymatlarni toping.

Yechim. Keling, va. Geometrik progressiyaning asosiy xossasini belgilovchi (2) formulaga asosan yoki yozishimiz mumkin.

Bu yerdan kvadrat tenglamani olamiz, kimning ildizlari Va .

Keling, tekshiramiz: agar, keyin va ; agar , keyin , va .

Birinchi holda bizda bor va , ikkinchisida esa - va .

Javob: , .

10-misoltenglamani yeching

, (11)

qayerda va.

Yechim. (11) tenglamaning chap tomoni cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiya yig’indisi bo’lib, unda va, berilgan: va.

(7) formuladan kelib chiqadi, Nima . Shu munosabat bilan (11) tenglama shaklni oladi yoki . mos ildiz kvadrat tenglama hisoblanadi

Javob: .

11-misol. P musbat sonlar ketma-ketligiarifmetik progressiya hosil qiladi, A - geometrik progressiya, bunga nima aloqasi bor. Toping.

Yechim. Chunki arifmetik ketma-ketlik, Bu (arifmetik progressiyaning asosiy xossasi). Chunki, keyin yoki . Bu shuni anglatadiki, geometrik progressiya ekanligini. Formula bo'yicha (2), keyin biz buni yozamiz.

Shundan beri va , keyin . Bunday holda, ifoda yoki shaklini oladi. Shartiga ko'ra, shuning uchun tenglamadanbiz ko'rib chiqilayotgan muammoning yagona yechimini olamiz, ya'ni. .

Javob: .

12-misol. summani hisoblang

. (12)

Yechim. Tenglikning ikkala tomonini (12) 5 ga ko'paytiring va oling

Olingan ifodadan (12) ayirilsa, Bu

yoki .

Hisoblash uchun qiymatlarni formula (7) ga almashtiramiz va ni olamiz. O'shandan beri .

Javob: .

Bu erda keltirilgan muammolarni hal qilish misollari abituriyentlarga kirish imtihonlariga tayyorgarlik ko'rishda foydali bo'ladi. Muammoni hal qilish usullarini chuqurroq o'rganish uchun, geometrik progressiya bilan bog'liq, foydalanish mumkin o‘quv qo‘llanmalari tavsiya etilgan adabiyotlar ro'yxatidan.

1. Texnika oliy o'quv yurtlariga abituriyentlar uchun matematikadan topshiriqlar to'plami / Ed. M.I. Skanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 b.

2. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: maktab o'quv dasturining qo'shimcha bo'limlari. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 b.

3. Medinskiy M.M. Topshiriq va mashqlarda boshlang'ich matematikaning to'liq kursi. 2-kitob: Sonlar ketma-ketligi va taraqqiyoti. – M.: Editus, 2015. - 208 b.

Savollaringiz bormi?

Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

RAQAMLI KETAKLIKLAR VI

§ l48. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi

Shu paytgacha yig‘indi haqida gapirganda, biz bu yig‘indilardagi atamalar sonini chekli (masalan, 2, 15, 1000 va hokazo) deb hisoblab kelganmiz. Ammo ba'zi muammolarni (ayniqsa oliy matematika) yechishda cheksiz sonli atamalar yig'indisi bilan shug'ullanish kerak.

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Bu miqdorlar qanday? A-prior cheksiz sonli hadlar yig'indisi a 1 , a 2 , ..., a n , ... yig‘indining limiti S deyiladi n birinchi P raqamlar qachon P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Limit (2), albatta, mavjud yoki bo'lmasligi mumkin. Shunga ko'ra, yig'indi (1) mavjud yoki yo'q deyiladi.

Har bir alohida holatda yig'indi (1) mavjudligini qanday aniqlash mumkin? Bu savolning umumiy yechimi bizning dasturimiz doirasidan tashqariga chiqadi. Biroq, biz hozir ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan bitta muhim alohida holat bor. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlarini yig'indisi haqida gapiramiz.

Mayli a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya. Bu shuni anglatadiki | q |< 1. Сумма первых P bu progressiyaning a'zolari teng

Asosiy chegara teoremalaridan o'zgaruvchilar(136-§ ga qarang) biz quyidagilarni olamiz:

Lekin 1 = 1, a q n = 0. Shuning uchun

Demak, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig‘indisi bu progressiyaning birinchi hadini bir minus shu progressiyaning maxrajiga bo‘linganiga teng.

1) Geometrik progressiyaning yig‘indisi 1, 1/3, 1/9, 1/27, ...

geometrik progressiyaning yig'indisi esa 12 ga teng; -6; 3; - 3/2 , ... teng

2) Oddiy davriy kasr 0,454545 ... oddiy kasrga aylanadi.

Ushbu muammoni hal qilish uchun biz bu kasrni cheksiz yig'indi sifatida ifodalaymiz:

Bu tenglikning o'ng tomoni cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi bo'lib, uning birinchi hadi 45/100, maxraji esa 1/100 ga teng. Shunung uchun

Ta'riflangan usulda oddiy davriy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishning umumiy qoidasini ham olish mumkin (II bob, § 38-bandga qarang):

Oddiy davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun siz quyidagilarni bajarishingiz kerak: nuqtani raqamga qo'ying. o'nlik kasr, va maxrajda - o'nlik kasr davridagi raqamlar qancha bo'lsa, shuncha marta olingan to'qqizdan iborat son.

3) Aralash davriy kasr 0,58333 .... oddiy kasrga aylanadi.

Keling, bu kasrni cheksiz yig'indi sifatida ifodalaymiz:

Bu tenglikning o'ng tomonida 3/1000 dan boshlab barcha hadlar cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya hosil qiladi, birinchi hadi 3/1000, maxraj esa 1/10 ga teng. Shunung uchun

Ta'riflangan usulda aralash davriy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishning umumiy qoidasini ham olish mumkin (II bob, § 38-bandga qarang). Biz ataylab bu yerga kiritmaymiz. Bu og'ir qoidani yodlashning hojati yo'q. Har qanday aralash davriy kasr cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya va qandaydir sonning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkinligini bilish ancha foydalidir. Va formula

cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisi uchun, albatta, eslash kerak.

Mashq sifatida biz sizni quyida keltirilgan 995-1000-sonli masalalardan tashqari yana bir bor 301-§ 38-masalaga murojaat qilishni taklif qilamiz.

Mashqlar

995. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi nima deyiladi?

996. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyalar yig‘indilarini toping:

997. Qaysi qiymatlar uchun X taraqqiyot

cheksiz kamayib bormoqda? Bunday progressiyaning yig‘indisini toping.

998. Tomoni bo'lgan teng yonli uchburchakda A uning tomonlari o'rta nuqtalarini birlashtirib, yangi uchburchak chizilgan; yangi uchburchak bu uchburchak ichiga xuddi shu tarzda yozilgan va hokazo.

a) barcha bu uchburchaklarning perimetrlari yig'indisi;

b) ularning maydonlarining yig'indisi.

999. Yon tomoni bo'lgan kvadratda A uning yon tomonlarining o'rta nuqtalarini birlashtirib, yangi kvadrat chizilgan; kvadrat xuddi shu tarzda bu kvadratga yozilgan va hokazo. Bu barcha kvadratlarning perimetrlari yig‘indisini va ularning maydonlari yig‘indisini toping.

1000. Cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiyani shunday tuzingki, uning yig‘indisi 25/4 ga, hadlari kvadratlari yig‘indisi esa 625/24 ga teng bo‘lsin.

Masalan, ketma-ketlik \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… geometrik progressiyadir, chunki har bir keyingi element avvalgisidan ikki marta farq qiladi (boshqacha qilib aytganda, uni ikkiga ko'paytirish orqali oldingisidan olish mumkin):

Har qanday ketma-ketlik singari, geometrik progressiya ham kichik lotin harfi bilan belgilanadi. Progressiya hosil qiluvchi sonlar deyiladi a'zolari(yoki elementlar). Ular geometrik progressiya bilan bir xil harf bilan, lekin tartibdagi element raqamiga teng sonli indeks bilan belgilanadi.

Masalan, geometrik progressiya \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) elementlardan iborat \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) va hokazo. Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Agar siz yuqoridagi ma'lumotlarni tushunsangiz, ushbu mavzu bo'yicha ko'pgina muammolarni allaqachon hal qila olasiz.

Misol (OGE):
Yechim:

Javob : \(-686\).

Misol (OGE): Progressiyaning dastlabki uchta hadi berilgan \(324\); \(-108\); \(36\)…. \(b_5\) toping.
Yechim:

	Ketma-ketlikni davom ettirish uchun biz maxrajni bilishimiz kerak. Keling, ikkita qo'shni elementdan topamiz: \(-108\) olish uchun \(324\) ni nimaga ko'paytirish kerak?
\(324 q=-108\)	Bu yerdan biz maxrajni osongina hisoblashimiz mumkin.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Endi biz kerakli elementni osongina topishimiz mumkin.
	Javob tayyor.

Javob : \(4\).

Misol: Progressiya \(b_n=0,8 5^n\) sharti bilan berilgan. Qaysi raqam bu progressiyaning a'zosi:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0,8\) ?

Yechim: Topshiriq matnidan ko'rinib turibdiki, bu raqamlardan biri albatta bizning taraqqiyotimizda. Shuning uchun, biz kerakli qiymatni topmagunimizcha, uning a'zolarini birma-bir hisoblashimiz mumkin. Bizning progressiyamiz formula bilan berilganligi sababli, biz elementlarning qiymatlarini turli \(n\) ni almashtirish orqali hisoblaymiz:
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) – roʻyxatda bunday raqam yoʻq. Davom etamiz.
\(n=2\); \(b_2=0,8 5^2=0,8 25=20\) - va bu ham mavjud emas.
\(n=3\); \(b_3=0,8 5^3=0,8 125=100\) – va mana bizning chempionimiz!

Javob: \(100\).

Misol (OGE): Geometrik progressiyaning bir necha ketma-ket a'zolari …\(8\) berilgan; \(x\); \(50\); \(-125\)…. \(x\) harfi bilan belgilangan elementning qiymatini toping.

Yechim:

Javob: \(-20\).

Misol (OGE): Progressiya \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\) shartlari bilan beriladi. Bu progressiyaning birinchi \(4\) hadlarining yig‘indisini toping.

Yechim:

Javob: \(105\).

Misol (OGE): Ma'lumki, eksponensial ravishda \(b_6=-11\),\(b_9=704\). \(q\) maxrajini toping.

Yechim:

	Chapdagi diagrammadan ko'rinib turibdiki, \ (b_6 \) dan \ (b_9 \) gacha "olish" uchun - biz uchta "qadam", ya'ni \ (b_6 \) ni uch marta ko'paytiramiz. progressiyaning maxraji. Boshqacha qilib aytganda, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	Biz bilgan qadriyatlarni almashtiring.
\(704=(-11)q^3\)	Tenglamani “teskari” qiling va uni \((-11)\) ga bo'ling.
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Qaysi kubik raqam \(-64\) ni beradi? Albatta, \(-4\)!
	Javob topildi. Buni raqamlar zanjirini \(-11\) dan \(704\)gacha tiklash orqali tekshirish mumkin.
	Hamma rozi bo'ldi - javob to'g'ri.

Javob: \(-4\).

Eng muhim formulalar

Ko'rib turganingizdek, ko'pgina geometrik progressiya masalalarini sof mantiq bilan, shunchaki mohiyatni tushunish orqali hal qilish mumkin (bu odatda matematikaga xosdir). Ammo ba'zida ma'lum formulalar va naqshlarni bilish tezlashtiradi va yechimni sezilarli darajada osonlashtiradi. Biz ikkita shunday formulani o'rganamiz.

\(n\)-chi a'zoning formulasi: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), bu erda \(b_1\) progressiyaning birinchi a'zosi; \(n\) - kerakli elementning soni; \(q\) progressiyaning maxraji; \(b_n\) - \(n\) sonli progressiya a'zosi.

Ushbu formuladan foydalanib, masalan, muammoni birinchi misoldan bir qadamda hal qilishingiz mumkin.

Misol (OGE): Geometrik progressiya shartlar bilan beriladi \(b_1=-2\); \(q=7\). \(b_4\) toping.
Yechim:

Javob: \(-686\).

Bu misol oddiy edi, shuning uchun formula biz uchun hisob-kitoblarni juda osonlashtirmadi. Keling, muammoni biroz murakkabroq ko'rib chiqaylik.

Misol: Geometrik progressiya shartlar bilan berilgan \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). \(b_(12)\) toping.
Yechim:

Javob: \(10\).

Albatta, \(\frac(1)(2)\) ni \(11\)-chi darajaga ko'tarish unchalik quvonchli emas, lekin \(11\) \(20480\) ni ikkiga bo'lishdan osonroqdir.

Birinchi hadlarning yig'indisi \(n\): \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , bu erda \(b_1\) birinchi haddir taraqqiyot haqida; \(n\) - yig'ilgan elementlar soni; \(q\) progressiyaning maxraji; \(S_n\) - progressiyaning birinchi a'zolarining \(n\) yig'indisi.

Misol (OGE): Geometrik progressiya berilgan \(b_n\), uning maxraji \(5\) va birinchi had \(b_1=\frac(2)(5)\). Bu progressiyaning dastlabki olti hadining yig‘indisini toping.
Yechim:

Javob: \(1562,4\).

Va yana, biz muammoni "peshonada" hal qilishimiz mumkin edi - barcha olti elementni navbat bilan toping va keyin natijalarni qo'shing. Biroq, hisob-kitoblar soni va shuning uchun tasodifiy xatolik ehtimoli keskin oshadi.

Geometrik progressiya uchun yana bir nechta formulalar mavjudki, biz bu erda amaliy jihatdan kam qo'llangani uchun ko'rib chiqmadik. Ushbu formulalarni topishingiz mumkin.

Geometrik progressiyalarni oshirish va kamaytirish

Maqolaning boshida ko'rib chiqilgan \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) progressiyaning \(q\) birdan katta maxraji bor va shuning uchun har bir keyingi haddan kattaroqdir. oldingi. Bunday progressiyalar deyiladi ortib boradi.

Agar \(q\) birdan kichik bo'lsa-da, lekin ijobiy bo'lsa (ya'ni, nol va bir orasida bo'lsa), u holda har bir keyingi element avvalgisidan kichik bo'ladi. Masalan, progressiyada \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)… \(q\) ning maxraji \(\frac(1)(2)\).

Bu progressiyalar deyiladi kamaymoqda. E'tibor bering, bu progressiyaning hech bir elementi salbiy bo'lmaydi, ular har qadamda kichikroq va kichikroq bo'ladi. Ya'ni, biz asta-sekin nolga yaqinlashamiz, lekin biz unga hech qachon erisha olmaymiz va undan nariga o'tmaymiz. Matematiklar bunday hollarda "nolga moyil bo'lish" deyishadi.

E'tibor bering, manfiy maxraj bilan geometrik progressiyaning elementlari belgini o'zgartirishi shart. Masalan, progressiya \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... \(q\) ning maxraji \(-3\) ga teng va shuning uchun elementlarning belgilari "miltillaydi".

Geometrik progressiya sonli ketma-ketlik bo‘lib, uning birinchi hadi nolga teng bo‘lmagan va har bir keyingi had oldingi hadning bir xil nolga teng bo‘lmagan songa ko‘paytirilganiga teng. Geometrik progressiya b1,b2,b3, …, bn, … bilan belgilanadi.

Geometrik progressiyaning xossalari

Geometrik xatoning istalgan hadining oldingi hadiga nisbati bir xil songa teng, ya’ni b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+). 1)/bn = …. Bu to'g'ridan-to'g'ri arifmetik progressiyaning ta'rifidan kelib chiqadi. Bu son geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi. Odatda geometrik progressiyaning maxraji q harfi bilan belgilanadi.

Geometrik progressiyani oʻrnatish usullaridan biri uning birinchi hadi b1 va q geometrik xatosining maxrajini qoʻyishdir. Masalan, b1=4, q=-2. Bu ikki shart 4, -8, 16, -32, … geometrik progressiyani beradi.

Agar q>0 (q 1 ga teng bo'lmasa), progressiya bo'ladi monoton ketma-ketlik. Masalan, 2, 4,8,16,32, ... ketma-ketlik monoton ortib boruvchi ketma-ketlikdir (b1=2, q=2).

Agar geometrik xatoda maxraj q=1 bo'lsa, u holda geometrik progressiyaning barcha a'zolari bir-biriga teng bo'ladi. Bunday hollarda progressiya doimiy ketma-ketlik deyiladi.

Progressiyaning n-azosining formulasi

Sonli ketma-ketlik (bn) geometrik progressiya bo'lishi uchun uning har bir a'zosi ikkinchidan boshlab qo'shni a'zolarning geometrik o'rtasi bo'lishi kerak. Ya'ni, quyidagi tenglamani bajarish kerak - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), har qanday n>0 uchun, bu erda n to'plamga tegishli. natural sonlar N.

Geometrik progressiyaning n-azosining formulasi:

bn=b1*q^(n-1), bu yerda n N natural sonlar to‘plamiga tegishli.

Oddiy misolni ko'rib chiqing:

Geometrik progressiyada b1=6, q=3, n=8 bn toping.

Geometrik progressiyaning n-chi a’zosi formulasidan foydalanamiz.