Náš svět není vůbec trojrozměrný, jen se nám tak zdá. Tato skutečnost se potvrzuje základní výzkum Alexandr Alexandrovič Gaifullin, člen korespondent Ruské akademie věd, profesor Fakulty mechaniky a matematiky Moskevské státní univerzity, vedoucí vědecký pracovník Matematického institutu. V.A. Steklov RAS. Za sérii prací souvisejících se složitými matematickými konstrukcemi obdržel prezidentovu cenu pro mladé vědce.

Alexandro, je těžké tě dokonce oslovit křestním jménem a patronymem, jsi tak mladý. A zároveň - profesor, člen korespondent... Jste snad nejmladším členem Akademie věd?

Pokud vím, tak ne. ale jeden z nejmladších. Doktorem věd jsem se stal v 26 letech a do akademie jsem byl zvolen ve 32 – v posledních podzimních volbách. Musím říct, že matematika je obecně věda pro mladé.

- Protože je mozek tak uspořádán: čím mladší, tím lépe funguje?

Možná. I když existují případy, kdy lidé v dospělosti dosáhli velmi dobrých výsledků. Ale obecně je v matematice mnoho příkladů, kdy se první písemky stanou nejsilnějšími. V jiných vědách, řekněme v chemii, ve fyzice, zejména v experimentální vědě, je nesmírně důležitá doba, kdy člověk potřebuje rozvinout nějaké dovednosti, naučit se pracovat.

Experimenty často trvají dlouho, proto zpravidla v takových oblastech lidé dosáhnou vážných výsledků později.

- Stal jste se laureátem Prezidentovy ceny pro mladé vědce. Na jaký výzkum?

Tomuto tématu se věnuji již pátým rokem. Jedná se o sérii prací o tzv. flexibilních mnohostěnech. Jedná se o velmi zajímavý geometrický objekt. Víte, jak děti lepí kartonové mnohostěny? Nakreslí okraje, vyříznou sken a pak začnou skládat a lepit. Takže můžete udělat, řekněme, kostku. A pak vyvstává otázka: tady jsme slepili uzavřený mnohostěn, ale bude to tuhá konstrukce nebo se může nějak deformovat se změnou úhlů mezi plochami? Tomu se říká ohýbání.

Abyste si to lépe představili, můžete, jak říkají matematici, jít po dimenzi dolů a místo toho, abyste se dívali na mnohostěny v trojrozměrném prostoru, podívejte se na mnohoúhelníky v rovině. Vezmeme-li trojúhelník a uděláme z něj pevné strany a panty ve vrcholech, zůstane stále pevnou postavou a nebudeme jej moci nijak deformovat. A když vezmeme čtyřúhelník, pětiúhelník nebo mnohoúhelník s velký počet strany, pak bude mít vždy netriviální deformace. Například čtverec lze proměnit v kosočtverec a tak dále. Pokud se však vrátíme k mnohostěnům, tam je situace jiná. Ohýbatelných je mezi nimi velmi málo a je obtížné je postavit.

První příklad flexibilního mnohostěnu byl postaven teprve v roce 1977.

Faktem je, že v roce 1813 slavný francouzský matematik Augustin Louis Cauchy (toto bylo jedno z jeho prvních matematických prací) dokázal, že pokud je mnohostěn konvexní, nikdy nebude mít ohyb.

Co když to není konvexní? Jak se ukázalo o století a půl později, ohýbání je možné. Když se navíc začaly stavět takové flexibilní mnohostěny, ukázalo se, že mají spoustu úžasných vlastností.

- Jaký druh?

Nejprve byly objeveny experimentálně. Řekněme takovou úžasnou věc: mnohostěn se ohýbá, deformuje a jeho objem zůstává konstantní. Zpočátku se objevovaly myšlenky, že je to možná náhoda. Začali hledat další příklady a i tam je objem konstantní. A existovala hypotéza, že objem jakéhokoli ohebného mnohostěnu je v procesu ohýbání konstantní. Říkalo se tomu velmi krásně – měchová hypotéza. Měch je zařízení, které pumpuje vzduch do kovárny. Vyvstala otázka: je možné vyrobit takové zařízení, které pumpuje vzduch z pružného mnohostěnu? To by bylo možné pouze v případě, že by existoval mnohostěn, který mění svůj objem. Měchová hypotéza zůstala dlouho otevřená a v 90. letech ji dokázala. minulé století ruský matematik JEJICH. Sabitov.

Moje práce spočívala v konstrukci teorie vícerozměrných flexibilních mnohostěnů. Žijeme ve svém obvyklém trojrozměrném prostoru, ale ve skutečnosti matematici studují i ​​vícerozměrné prostory, a to je velmi důležité nejen pro matematiku, ale i pro její různé aplikace – fyziku, mechaniku, astrofyziku a další oblasti.

- Co váš výzkum ukázal?

Podívali jsme se na polygony v letadle. pak v trojrozměrném prostoru a pak vyvstala další otázka: co když budeme studovat podobné objekty, stejné flexibilní mnohostěny, ve vícerozměrných prostorech libovolného rozměru? A ukázalo se, že tady nevíme skoro nic. Na přelomu XX-XXI století. byly zkonstruovány jednotlivé příklady čtyřrozměrných flexibilních mnohostěnů, ale nebylo možné jít dále. Ve vyšších dimenzích nebyl vůbec jediný příklad.

Za prvé se mi podařilo zkonstruovat příklady flexibilních mnohostěnů v prostorech všech dimenzí. Za druhé zde byla otázka související s měchovou hypotézou a I.Kh. Sabitov, že objem ohebného mnohostěnu je vždy konstantní. Byly všechny důvody se domnívat, že totéž možná platí i ve „vyšších“ dimenzích.

Důkaz, který podal, fungoval velmi dobře v trojrozměrné situaci, ale nefungoval vůbec ve vícerozměrné. Podařilo se mi vymyslet absolutně nový přístup, což umožnilo dokázat měchovou hypotézu, tedy tvrzení o stálosti objemu v procesu ohýbání mnohostěnů pro mnohostěny libovolného rozměru.

Náš prostor, jak říkají matematici, má nulové zakřivení. A jsou tam zakřivené prostory. Nejjednodušší je představit si pozitivně zakřivené prostory. Nejjednodušší příklad- povrch koule, například povrch Země, na které žijeme. To znamená, že naše zemská geometrie není euklidovská, není plochá, ale kulovitá.

A je tu i prostor negativního zakřivení – to je Lobačevského rovina a celá jeho slavná geometrie, která vznikla v 19. století. Jsou to dvourozměrné prostory, ale stejně tak existují prostory s pozitivním a negativním zakřivením všech dimenzí. A také mohou studovat flexibilní mnohostěny.

A ukázalo se, že tamní situace je velmi kuriózní. Pokud je zakřivení kladné, pak je měchová hypotéza nepravdivá. Existují příklady ohýbatelných mnohostěnů, které během procesu ohýbání mění objem. V naší obvyklé dimenzi takový příklad zkonstruoval V.A. S.L. Sobolev SB RAS a ve všech vyšších dimenzích, to jsou moje výsledky.

A to je na tom nejpodivnější. Pokud se nacházíme v prostoru negativního zakřivení, ukáže se, že pokud je rozměr lichý - 3,5, 7 atd., pak platí hypotéza měchu a objem je konstantní.

- A pokud je rozměr sudý, pak je nesprávný a objem se mění?

Ne, jestli je to sudé, tak to nikdo neví. To je otázka, která dnes zůstává otevřená...

Ano, všechno to začalo studiem ohýbatelných mnohostěnů, ale tato věda se vyvíjela různými směry. Obecně se jedná o část nauky o kloubových mechanismech, která má mnoho aplikací, které vznikají v mnoha inženýrských konstrukcích. Nebo, řekněme, existuje taková nádherná konstrukce - rovina, rozdělená na mnoho rovnoběžníků, které lze velmi kompaktně složit do jednoho. Od starověku je znám z japonského origami a nyní se nazývá miura-ori na počest japonského astrofyzika Kore Miury, který navrhl použít tento design ke skládání solárních panelů.

Samozřejmě lze takové stavby vytvořit i pro výstavbu dočasného bydlení, mobilních nemocnic a vědeckých laboratoří – například na Severu pro rozvoj nových pozemků.

Můžete fantazírovat, jak chcete, ale nejsem odborník v oblasti použití. Rád bych však řekl, že kromě takových „naivních“ možností, jako je využití v praxi určitých ohýbatelných povrchů, jsou možnosti hlubších a nesrozumitelných aplikací samotných ohýbatelných mnohostěnů, ale matematické metody které se objevily během jejich studia. Obecně se často stává, že matematické výsledky jsou použity nějakým způsobem, zpočátku neočekávaným. Historie ukazuje, že se často očekává, že bude aplikován na jednom místě, ale objeví se na úplně jiném místě.

Vrátíme-li se k flexibilním mnohostěnům, rádi bychom upozornili na jejich souvislost s problémy tohoto typu, se kterými se v praxi často setkáváme. V prostoru existuje množina bodů a my známe vzdálenosti mezi některými dvojicemi těchto bodů (podařilo se nám je například změřit), ale mezi jinými ne. Je možné zjistit všechny chybějící vzdálenosti, vypočítat je?

Tento úkol je redukován na studium určitého typu systémů algebraické rovnice a soustavy rovnic stejného druhu vznikají v úlohách na flexibilních mnohostěnech. Proto zde nepochybně mohou být užitečné metody vyvinuté v teorii flexibilních mnohostěnů.

Přesně tak.

- Jak je to všechno postaveno? S počítačovými programy?

Kupodivu ne. Počítačový model je vytvořen zpravidla později. Problematické je i nakreslení na papír – tam je vše ploché. A abych byl upřímný, nejsem moc dobrý ve slepování tak složitých figurek z kartonu.

- Stavíte si to všechno ve své hlavě?

- Nějaký matematický popis ve formě vzorců?

Ano. Poté, když existují vzorce, lze je načíst do počítače a získat objekt.

- Udělej si obrázek v počítači a co jsi měl v hlavě před tím zápasem?

Ne vždy.

- Budete pokračovat v práci na tomto tématu? Čeho chcete v tomto směru dosáhnout?

Pro mě tato oblast není úplně původní. Zpočátku jsem se specializoval na jinou oblast matematiky - algebraickou topologii. Topologie je věda popisující geometrický objekt z hlediska vlastností, které se při deformaci nemění. A algebraická topologie se snaží poskytnout takový popis v algebraických termínech. tedy například přiřadit ke každé ploše nějaký algebraický objekt a ukázat, že tento objekt je jiný, řekněme, pro kouli a pro plochu donutu, a ukázat tak, že je nelze spojitou deformací transformovat do sebe. Tato věda se začala formovat konec XIX století, ale od té doby se výrazně rozvinul a stal se složitějším.

- Proč jste začal pracovat na těchto mnohostěnech?

Mým vedoucím na univerzitě byl člen korespondent Ruské akademie věd V.M. Buchstaber a moje téma byla jen algebraická topologie. A když jsem byl v prvním ročníku, měl jsem velké štěstí, že semináře na matematická analýza v naší skupině profesor mekhmatu I.Kh. Sabitov, o kterém jsem již mluvil. Už tehdy jsem se tedy dozvěděl o ohebných mnohostěnech a jeho výsledcích v této oblasti. A už v roce 2011, když jsem právě obhajoval svou doktorskou disertační práci, mi Ijad Khakovich řekl, že mi poradil, abych se s tímto problémem vypořádal, protože se mu zdálo, že tam je možné uplatnit mé topologické znalosti.

- A měl pravdu?

Absolutně. Část problému je tedy vyřešena, zbytek, doufám, leží před námi.

Victor Matveevich Buchstaber. Člen korespondent Ruské akademie věd, profesor Moskevské státní univerzity Lomonosova M.V. Lomonosov. vedoucí vědecký pracovník Matematického ústavu. V.A. Steklov:

Domnívám se, že z hlediska přínosu pro základní vědu jsou výsledky této práce naprosto vynikající. Ovlivnily již vývoj matematiky a budou v tom pokračovat. Můžeme uvést významné matematiky, kteří se po mnoho let pokoušeli tyto problémy vyřešit, ale pokaždé se dostali do slepé uličky. Alexander se samozřejmě spoléhal na výsledky svých předchůdců, ale našel nové metody, které mu umožnily prorazit nejprve do čtyřrozměrného světa a poté do světa více rozměry.

Faktem je, že problém flexibilních mnohostěnů, jak říkali klasikové, vycházel z našeho trojrozměrného světa, z každodenní zkušenosti. Vezmeme-li však základní dílo Henriho Poincarého, zakladatele naší vědy – topologie, pak začíná skutečností, že klasická mechanika se zabývá trojrozměrným světem. Pokud však chcete popsat dynamiku objektu a vlastnosti systému jako celku, pak se neobejdete bez vícerozměrných prostorů, kde jde nejen o souřadnice, ale také o rychlost, zrychlení atp. To znamená, že z trojrozměrného prostoru je nutné přejít do vícerozměrného. Pochopení této skutečnosti posloužilo jako podnět pro vznik a rozvoj topologie.

Zásadní příspěvek Alexandra ve sv. že nejprve přenesl klasické problémy spojené s trojrozměrným světem do čtyřrozměrného světa a poté vyvinul metody použitelné pro vyšší dimenze. Před ním se zdály být vícerozměrné analogy klasických problémů na flexibilních mnohostěnech nedostupné. Proto také znění Ceny prezidenta říká „za řešení zásadních problémů“: Alexander vyvinul nové metody, které umožnily řešit vícerozměrné analogy klasických problémů.

Na první pohled se zdá, že to vše je výplod naší fantazie. Ve skutečnosti nežijeme v trojrozměrném světě, ale v multidimenzionálním. Trojrozměrný svět je velmi jednoduchý a zřejmý.

Například je známo, že jste nyní na Matematickém ústavu v takové a takové posluchárně. Najít vás je trojrozměrný úkol.

Ale pokud vás chci následovat, potřebuji informace o vaší dynamice, pochopení toho, kde ve vesmíru po nějaké době budete. To je již čtyřrozměrný úkol.

Fázový prostor je koncept, na kterém jsou založeny základní výsledky veškeré moderní matematiky. Vy a já žijeme v multidimenzionálním světě, kde naše souřadnice nejsou pouze lokalizační údaje, ale také mnoho dalších informací o našem státě.

Nyní se zde díky moderně naskytly naprosto jedinečné příležitosti počítačová věda a nové komunikační prostředky. Stejný navigační systém využívá vícerozměrné prostory. Řadu let studuji nejen topologii, ale i její aplikace do problémů fyziky a chemie a pokaždé cítím výhodu, kterou mi topologie dává. Ve srovnání s člověkem, který věří, že žije v trojrozměrném světě, mám mnohem bohatší sadu nástrojů.

Sasha je můj student a nejsou tam žádní bývalí studenti. Jsem hrdý na výsledky, kterých dosáhl, protože jde o skutečný průlom ve vědě. Je dobré, když se dostaví výsledek, který se dá hned použít. Přitom zásadní výsledky mají zvláštní hodnotu. Ukazuje se, že v našem světě je všechno úplně jinak. jak se na první pohled zdá. Za prvé je skutečně multidimenzionální a za druhé, v tomto vícerozměrném světě, když pracujete s určitými předměty, musíte znát zákazy, které tento svět ukládá. A člověk, který objevil tyto zákazy, vstupuje do dějin matematiky, protože dal celému lidstvu nové pochopení podmínek existence v tomto světě. A za třetí, když známe tyto zákazy, můžeme si stanovit úžasný úkol – vybudovat něco z toho nejlepšího, abychom to mohli využít ve prospěch lidstva. Nepochybuji, že takových staveb a akvizic bude mnohem více.

Akademik Valery Kozlov: "Za zázraky - do Matematického ústavu"

Valery Vasilievich Kozlov, úřadující prezident Ruské akademie věd, akademik, ředitel Matematického institutu. V.A. Steklov (2004-2016).

Rád bych řekl pár slov o mladých lidech pracujících v našem ústavu. Vždy jsme se snažili nabírat ty nejschopnější, nejtalentovanější. Náš ústav je malý, něco málo přes sto výzkumníků. A proto vzhled každého nového člověka je pro nás událostí. Takovou událostí bylo vystoupení Sashy Gaifullina, který je nyní členem korespondentem Ruské akademie věd, profesorem.

Dobře si pamatuji, jak jsme ho najali. Nebudu se skrývat, byl to můj nápad. Poté pracoval na Moskevské univerzitě, na mé rodné fakultě mechaniky a matematiky, na jedné ze tří kateder geometrie. V našem institutu máme mnoho absolventů katedry mechaniky a matematiky Moskevské státní univerzity. S vědomím, že se na naší matematické klenbě objevil mladý schopný chlap, jsem se po konzultaci s kolegy rozhodl vzít ho za každou cenu k nám.

- Pokud vím, A.A. Gaifullin nadále vyučuje na Moskevské státní univerzitě.

Ano, ale nyní na částečný úvazek.

- A koneckonců není vaším jediným nositelem prezidentské ceny.

Ano, je třetí. První byl A.G. Kuzněcov je náš pozoruhodný algebraista, za něj byl také zvolen členem korespondentem Akademie věd vynikající úspěchy v oboru algebra a algebraické geometrie. A toto ocenění získal i N.N. Andreev je talentovaný popularizátor matematiky, vedoucí laboratoře pro popularizaci a propagandu matematiky.

- Ale zpět k A.A. Gaifullin.

Je to opravdu skvělý geometr. Vlastnosti jeho vědecká práce- Snaží se dělat všechno až do konce, elegantně a krásně. V tomto ohledu si vybavuji slova velkého německého matematika Gausse: "Pokud je něco nedokončeno, znamená to, že se nic neudělalo." Takže Sasha vše dotáhne do konce. Vezměme si například jeho brilantní sérii prací o hypotéze měchu, která tvrdí, že objemy pružných mnohostěnů se zpravidla nemění (v každém případě, pokud mluvíme o nám známém euklidovském prostoru). Zvažoval multidimenzionální případ a případ prostorů pozitivního a negativního zakřivení. Vyzdvihl rysy tohoto problému spojeného se znakem zakřivení, což je také velmi důležité. Dovedl věc k logickému závěru. A to je to nejcennější.

Tato hypotéza a celé téma je úzce spjato mimo jiné s Fakultou mechaniky a matematiky. Jak je známo, v trojrozměrném případě tuto domněnku dokázal vynikající geometr I.Kh. Sabitov. Byl jsem ještě studentem, když učil naše hodiny. A teď přednáší. Jsem velmi rád, že to byl právě on, kdo měl možnost tento problém vyřešit, posunout ho z výchozího bodu. Aleksandr Aleksandrovich získal konečné výsledky v multidimenzionálním případě a dokonce i v prostorech s konstantním zakřivením. To je vynikající výsledek.

- Jak důležití jsou pro mladého vědce učitelé?

Velmi důležité. Ale nejen učitelé. Sasha má skvělého otce A.M. Gaifullin, rovněž vědec, člen korespondent Ruské akademie věd, pracuje v Žukovském, jednom z předních tuzemských specialistů na teorii vírového pohybu spojitého média. Proto je výchova Alexandra kolektivním dílem.

Valeriji Vasiljeviči, váš ústav je seriózní vědecká instituce. Ale slyšel jsem, že se umíš i bavit.

To slovo ne! Máme starou Nový rok existuje tradice: všichni se scházíme a pořádáme intelektuální úkoly, soutěže. A rozhodně tu máme Santa Clause a Sněhurku. Sasha tedy dokonale hrál roli hlavního zimního čaroděje, ukázal se být velmi uměleckým a přesvědčivým, přestože se navenek zdá být plachým člověkem. Bylo to pro mě nečekané, ale velmi příjemné. Pokud tedy chcete opravdové zázraky, přijďte k nám.

Natálie Lešková

Publikace

1. A. Gaifullin, „Na vrcholu homologní skupiny Johnsonova jádra“ [PDF: English, arXiv: 1903.03864]
2. A. A. Gaifullin, Y. A. Neretin, „Nekonečná symetrická skupina, pseudomanifoldy a kombinatorické struktury podobné kobordismu“, J. Topol. Anal., https://doi.org/10.1142/S179352531850022X
3. A. Gaifullin, „O nekonečně generované homologii Torelliho skupin“, [ PDF: English , arXiv: 1803.09311 ]
4. A. Gaifullin, L. Ignashchenko, „Dehnův invariant flexibilních mnohostěnů“ [ PDF: anglicky , arXiv: 1710.11247 ]
5. A. A. Gaifullin, „O rozšíření Birman-Craggs-Johnsonova homomorfismu“, Russian Math. Průzkumy, 72:6 (2017), 1171–1173
6. A. A. Gaifullin, „Malé obaly graf-asociaedrů a realizace cyklů“ [PDF: English, arXiv: 1611.01816]
7. A. A. Gaifullin, „The bellows conjecture for small flexibilní polyhedra in non-euclidean spaces“, 2016, [ PDF: English , arXiv: 1605.04568 ]
8. A. A. Gaifullin, Flexibilní mnohostěny a jejich objemy, 2016, [ PDF: anglicky , arXiv: 1605.09316 ]
9. A. A. Gaifullin, „Problém realizace cyklů a malých pokrytí přes graf-asociaedry“, Aleksandrov Readings. Abstracts (Moskva, 22.–26. května 2016), Fakulta mechaniky a matematiky, Moskevská státní univerzita, Moskva, 2016
10. A. A. Gaifullin, „Malé pokrytí graf-asociaedra a realizace cyklů“, Math. Sb., 207:11 (2016), 53–81 [ „Malé obaly graf-asociaedrů a realizace cyklů“, Sb. Matematika 207:11 (2016), 1537–1561
11. A. A. Gaifullin, Yu. A. Neretin, „Nekonečná symetrická skupina a bordismy pseudomanifoldů“, [ PDF: anglicky , arXiv: 1501.04062 ]
12. A. A. Gaifullin, „Vložené flexibilní sférické křížové polytopy s nekonstantními objemy“, Geometrie, topologie a aplikace, Sebrané články. K 70. výročí narození profesora Nikolaje Petroviče Dolbilina, Tr. MIAN, 288, MAIK, M., 2015, 67–94 [ PDF: anglicky , arXiv: 1501.06198 ]
13. A. A. Gaifullin, „Analytické pokračování objemu a hypotéza měchu v Lobačevského prostorech“, Mat. Sb., 206:11 (2015), 61–112 [ „Analytické pokračování svazku a Měchové dohady v Lobačevského prostorech“, Sb. Math., 206:11 (2015), 1564–1609]
14. A. A. Gaifullin, „Aktuální algebry na Riemannových plochách: nové výsledky a aplikace (de Gruyter Expositions in Mathematics 58) Oleg K. Sheinman, Recenze knihy, Bull. Londýnská matematika. Soc., 47:6 (2015), 1029–1032
15. A. A. Gaifullin, „Sabitovovy polynomy pro objemy mnohostěnů ve čtyřech rozměrech“, Adv. Math., 252 (2014), 586–611 [PDF: anglicky, arXiv: 1108.6014]
16. A. A. Gaifullin, S. A. Gaifullin, „Deformace dobových mřížek pružných polyedrických povrchů“, Diskrétní výpočet. Geom., 51:3 (2014), 650–665 [PDF: anglicky, arXiv: 1306.0240]
17. A. A. Gaifullin, „Flexibilní křížové polytopy v prostorech konstantní křivosti“, Algebraická topologie, konvexní mnohostěny a související témata, Sebrané články. U příležitosti 70. výročí narození člena korespondenta Ruské akademie věd Viktora Matveeviče Buchstabera, Tr. MIAN, 286, MAIK, M., 2014, 88–128 [ PDF: anglicky , arXiv: 1312.7608 ]
18. A. A. Gaifullin, „Zobecnění Sabitovovy věty na mnohostěny libovolných rozměrů“, Diskrétní výpočet. Geom., 52:2 (2014), 195–220 [ PDF: anglicky, arXiv: 1210.5408]
19. A. A. Gaifullin, „Objemy flexibilních mnohostěnů“, Abstrakty z mezinárodní konference „Dny geometrie v Novosibirsku – 2014“ věnované 85. výročí akademika Jurije Grigorieviče Rešetnyaka (Novosibirsk, 24.–27. září 2014), ed. I. A. Taimanov, A. Yu. Vesnin, Ústav matematiky im. S. L. Soboleva SB RAS, Novosibirsk, 2014, s. 98–99
20. A. A. Gaifullin, A. V. Penskoy, S. V. Smirnov, Problémy lineární algebry a geometrie, Moskevské centrální centrum pro vzdělávání obilí, Moskva, 2014, 152 stran. http://biblio.mccme.ru/node/5173
21. A. A. Gaifullin, „Volume of simplex as a multivalued algebraic function of areas its two faces“, Topology, Geometrie, Integrable Systems, and Mathematical Physics: Novikov’s Seminar 2012–2014, Advances in the Mathematical Sciences, Amer. Matematika. soc. Přel. Ser. 2, 234, eds. V. M. Buchstaber, B. A. Dubrovin, I. M. Krichever, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 2014, 201–221 [PDF: anglicky, arXiv: 1310.3417]
22. A. A. Gaifullin, „Flexibilní mnohostěny a jejich objemy“, Geometrie, zpráva č. 29/2014 (Oberwolfach, 15.–21. června 2014), Oberwolfach Reports, 11, eds. J. Lott, I. Taimanov, B. Wilking, European Math. Soc., 2014, 1584–1586
23. A. M. Vershik, A. P. Veselov, A. A. Gaifullin, B. A. Dubrovin, A. B. Žižčenko, I. M. Krichever, A. A. Maltsev, D. V. Millionshchikov, S. P. Novikov, T. E. Panov, A. G. Sergeev, I. A. Matveevich Buchstaber (k jeho sedmdesátým narozeninám)“, Uspekhi Mat. Nauk, 68:3(411) (2013), 195–204 [“Viktor Matveevich Buchstaber (k 70. narozeninám)”, ruská matematika. Průzkumy, 68:3 (2013), 581–590]
24. A. A. Gaifullin, “Univerzální realizátoři pro třídy homologie”, Geometry & Topology, 17:3 (2013), 1745–1772 [PDF: angličtina, arXiv: 1201.4823]
25. A. A. Gaifullin, „Coxeter skupiny, malé obaly a realizace cyklů“, Mezinárodní otevřená čínsko-ruská konference „Akce torusů: topologie, geometrie a teorie čísel“. Abstrakta (Chabarovsk, 2.–7. září 2013), nakladatelství Togu, Chabarovsk, 2013, 35-36
26. A. A. Gaifullin, „Flexibilní mnohostěny a místa polí“, Mezinárodní konference Jaroslavl „Geometrie, topologie a aplikace“, 23.–27. září 2013. Abstrakty, Yaroslavl State University. P.G. Demidova, Jaroslavl, 2013
27. A. A. Gaifullin, T. E. Panov, „Buchstaber Viktor Matveevich“, Tr. MMO, 74, č. 2, MTsNMO, M., 2013, 209 [“Victor Matveevich Buchstaber’s 70th birthday birthday”, Trans. Moskevská matematika. Soc., 2013 (2013), 173]
28. A. A. Gaifullin, „Kombinatorní realizace cyklů a malých obalů“, Evropský matematický kongres (Krakov, 2.–7. července 2012), ed. R. Latala et al., European Mathematical Society, 2013, 315–330 [ PDF: anglicky , arXiv: 1204.0208 ]
29. A. A. Gaifullin, „Kombinatorní realizace cyklů a malých obalů“, 6. Evropský matematický kongres. Abstracts & Titles (Krakov, Polsko, 2.–7. července 2012), 6ECM, Krakov, 2012, 25.–26.
30. A. A. Gaifullin, „Kombinatorní realizace cyklů a simpliciální svazek“, Abstrakty mezinárodní konference „Dny geometrie v Novosibirsku, 2012“ věnované 100. výročí akademika A.D. Aleksandrova (Novosibirsk, 30. srpna - 1. září 2012), Ústav matematiky pojmenovaný po A.I. S. L. Soboleva SB RAS, 2012, 12.–13
31. A. A. Gaifullin, „Sabitovovy polynomy pro objemy čtyřrozměrných mnohostěnů“, Čtvrté setkání geometrie věnované stému výročí A. D. Alexandrova. Abstrakta (Petrohrad, 20.–24. srpna 2012), Nakladatelství VVM, Petrohrad, 2012
32. A. A. Gaifullin, „Sabitovovy polynomy pro objemy čtyřrozměrných mnohostěnů“, Mezinárodní konference Jaroslavl „Diskrétní geometrie“ věnovaná stému výročí A.D. Alexandrov. Abstracts (Jaroslavl, 13.–18. srpna 2012), Yaroslavl State University pojmenovaná po P.G. Demidova, Jaroslavl, 2012, 36–37
33. A. A. Gaifullin, „Sabitovovy polynomy pro mnohostěny ve čtyřech rozměrech“, Mezinárodní konference „Torická topologie a automorfní funkce“. Abstrakty zpráv (Moskva, 5.–10. září 2011), Nakladatelství TOGU, Chabarovsk, 2011, 27–35
34. A. A. Gaifullin, „Prostor konfigurací, bistelární transformace a kombinatorické vzorce pro první třídu Pontryagin“, Diferenciální rovnice a topologie. I, Sborník článků. U příležitosti 100. výročí narození akademika Lva Semenoviče Pontrjagina, Tr. MIAN, 268, MAIK, M., 2010, 76–93 [ PDF: anglicky , arXiv: 0912.3933 ]
35. A. A. Gaifullin, „Soubory vazeb vrcholů simpliciálních a kubických variet“, 2010 Mezinárodní konference o topologii a jejích aplikacích. Abstrakta (Nafpaktos, Řecko, 26.–30. června 2010), Technologický vzdělávací institut Messolonghi, Nafpaktos, 2010, 101–103
36. A. A. Gaifullin, „Soubory vazeb vrcholů triangulovaných variet a kombinatorický přístup ke Steenrodově problému při realizaci cyklů“, Geometrie, topologie, algebra a teorie čísel, aplikace. Mezinárodní konference ke 120. výročí B.N. Delone. Abstracts (Moskva, 16.–20. srpna 2010), Matematický ústav im. V.A. Steklov RAS, Moskevská státní univerzita Lomonosova M.V. Lomonosov, Moskva, 2010-11
37. A. A. Gaifullin, Problém kombinatorického výpočtu racionálních Pontryaginových tříd, Diss. … doc. Fyzikální matematika vědy, Matematický ústav. V.A. Steklov, Ruská akademie věd, Moskva, 2010, 341 s.
38. A. A. Gaifullin, „Minimální triangulace komplexní projektivní roviny, která připouští šachovnicové zbarvení čtyřrozměrných zjednodušení“, Geometrie, topologie a matematická fyzika. II, Sborník článků. U příležitosti 70. výročí narození akademika Sergeje Petroviče Novikova, Tr. MIAN, 266, MAIK, M., 2009, 33–53 [ PDF: anglicky , arXiv: 0904.4222 ]
39. A. A. Gaifullin, „Konstrukce kombinatorických variet s danými sadami vertexových vazeb“, Izv. BĚŽEL. Ser. Mat., 72:5 (2008), 3–62 [PDF: anglicky, arXiv: 0801.4741]
40. A. A. Gaifullin, „Realizace cyklů pomocí asférických manifoldů“, Uspekhi Mat. Nauk, 63:3(381) (2008), 157–158 [PDF: angličtina, arXiv: 0806.3580]
41. A. A. Gaifullin, „Rozmanitost izospektrálních symetrických tridiagonálních matic a realizace cyklů pomocí asférických variet“, Geometrie, topologie a matematická fyzika. I, Sborník článků. U příležitosti 70. výročí narození akademika Sergeje Petroviče Novikova, Tr. MIAN, 263, MAIK, M., 2008, 44–63 [“The Manifold of Isospectral Symmetric Tridiagonal Matrices and Realization of Cycles by Aspherical Manifolds”, Proc. Steklov Inst. Math., 263 (2008), 38–56]
42. A. A. Gaifullin, „Místní kombinatorické vzorce pro Pontryaginovy ​​třídy triangulovaných variet“, Diferenciální rovnice a topologie: Mezinárodní konference věnovaná 100. výročí narození L.S. Pontryagin: Abstrakty zpráv (Moskva, 17.–22. června 2008), Publikační oddělení Fakulty VMiK Moskevské státní univerzity. M.V. Lomonosov, 2008, 16
43. A. A. Gaifullin, Kombinační realizace cyklů, Diss. …bonbón. Fyzikální matematika vědy, Moskevská státní univerzita. M.V. Lomonosov, Fakulta mechaniky a matematiky, Moskva, 2008, 121 s.
44. A. A. Gaifullin, „Explicitní konstrukce manifoldů realizujících dané třídy homologie“, Uspekhi Mat. Nauk, 62:6(378) (2007), 167–168 [“Explicitní konstrukce manifoldů realizující předepsané třídy homologie”, Russian Math. Surveys, 62:6 (2007), 1199–1201]
45. A. A. Gaifullin, P. V. Yagodovskii, „O integrabilitě dynamiky s hodnotou m pomocí jednogenerovaných skupin s hodnotou m“, Uspekhi Mat. Nauk, 62:1(373) (2007), 201–202 [ „Integrabilita m-valued dynamik pomocí jednogenerovaných m-valued skupin“, Russian Math. Průzkumy, 62:1 (2007), 181–183]
46. V. M. Buchstaber, A. A. Gaifullin, „Representations of m-valued groups on triangulations of manifolds“, Uspekhi Mat. Nauk, 61:3(369) (2006), 171–172 [“Reprezentace m-valued groups on triangulations of manifolds”, Russian Math. Surveys, 61:3 (2006), 560–562]
47. A. A. Gaifullin, „Výpočet charakteristických tříd variety z její triangulace“, Uspekhi Mat. Nauk, 60:4(364) (2005), 37–66 [ „Výpočet charakteristických tříd variety z její triangulace“, Russian Math. Surveys, 60:4 (2005), 615–644]
48. A. A. Gaifullin, „Místní vzorce pro kombinatorické třídy Pontryagina“, Izv. BĚŽEL. Ser. Mat., 68:5 (2004), 13–66 [ PDF: anglicky , arXiv: math/0407035 ]
49. A. A. Gaifullin, „O místních vzorcích pro kombinatorické Pontryaginovy ​​třídy variet“, Uspekhi Mat. Nauk, 59:2(356) (2004), 189–190 [ „O místních vzorcích pro kombinatorické Pontryaginovy ​​třídy variet“, Russian Math. Surveys, 59:2 (2004), 379–380]
50. A. A. Gaifullin, „Nerves of Coxeter groups“, Uspekhi Mat. Nauk, 58:3(351) (2003), 189–190 ["Nervy Coxeterových skupin", ruská matematika. Surveys, 58:3 (2003), 615–616].
51. A.A. Gaifullin, „O izotopovém tkaní“, Arch. Matematika. (Basilej), 81:5 (2003), 596–600
52. A. A. Gaifullin, V. O. Manturov, „O rozpoznávání copánků“, J. Knot Theory Ramifications, 11:8 (2002), 1193–1209
53. A. A. Gaifullin, „Projekce uzlů s jedním bodem vícenásobného příčného samoprůniku“, Moderní výzkum v matematice a mechanice, Sborník 23 z konference mladých vědců Fakulty mechaniky a matematiky Moskevské státní univerzity, nakladatelství Dům CPI pri mekh.-mat. fak. Moskevská státní univerzita, Moskva, 2001, s. 88–92