Vyberme si v letadle pravoúhlý systém souřadnice a na ose x vyneseme hodnoty argumentu X a na ose y - hodnoty funkce y = f(x).
Graf funkcí y = f(x) volá se množina všech bodů, pro které úsečky patří do oboru funkce a pořadnice se rovnají odpovídajícím hodnotám funkce.
Jinými slovy, graf funkce y \u003d f (x) je množina všech bodů v rovině, souřadnice X, na které uspokojují vztah y = f(x).
Na Obr. 45 a 46 jsou grafy funkcí y = 2x + 1 A y \u003d x 2 – 2x.
Přísně vzato, je třeba rozlišovat mezi grafem funkce (přesně matematická definice která byla uvedena výše) a nakreslenou křivkou, která vždy dává pouze více či méně přesný náčrt grafu (a i to zpravidla ne celý graf, ale pouze jeho část umístěnou v koncové části roviny). V následujícím textu však budeme obvykle odkazovat na „graf“ spíše než na „náčrt grafu“.
Pomocí grafu můžete najít hodnotu funkce v bodě. Totiž pokud bod x = a patří do rozsahu funkce y = f(x) a poté vyhledejte číslo f(a)(tj. funkční hodnoty v bodě x = a) by to mělo udělat. Potřeba přes tečku s úsečkou x = a nakreslete přímku rovnoběžnou s osou y; tato čára bude protínat graf funkce y = f(x) v jednu chvíli; pořadnice tohoto bodu bude na základě definice grafu rovna f(a)(obr. 47).
Například pro funkci f(x) = x 2 - 2x pomocí grafu (obr. 46) zjistíme f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 atd.
Funkční graf vizuálně ilustruje chování a vlastnosti funkce. Například z úvahy na Obr. 46 je zřejmé, že funkce y \u003d x 2 – 2x nabývá kladných hodnot, když X< 0 a při x > 2, negativní - na 0< x < 2; nejmenší hodnotu funkce y \u003d x 2 – 2x přijímá na x = 1.
K vykreslení funkce f(x) musíte najít všechny body roviny, souřadnice X,na které splňují rovnici y = f(x). Ve většině případů je to nemožné, protože takových bodů je nekonečně mnoho. Proto je graf funkce znázorněn přibližně - s větší či menší přesností. Nejjednodušší je metoda vícebodového vykreslování. Spočívá v tom, že argument X zadejte konečný počet hodnot - řekněme x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k a vytvořte tabulku obsahující vybrané hodnoty funkce.
Tabulka vypadá takto:
Po sestavení takové tabulky můžeme na grafu funkce načrtnout několik bodů y = f(x). Potom spojením těchto bodů hladkou čarou získáme přibližný pohled na graf funkce y = f(x).
Je však třeba poznamenat, že metoda vícebodového vykreslování je velmi nespolehlivá. Ve skutečnosti zůstává chování grafu mezi označenými body a jeho chování mimo segment mezi zabranými krajními body neznámé.
Příklad 1. K vykreslení funkce y = f(x) někdo sestavil tabulku hodnot argumentů a funkcí:
Odpovídajících pět bodů je znázorněno na Obr. 48.
Na základě umístění těchto bodů usoudil, že graf funkce je přímka (na obr. 48 znázorněna tečkovanou čarou). Lze tento závěr považovat za spolehlivý? Pokud neexistují další úvahy na podporu tohoto závěru, lze jej stěží považovat za spolehlivý. spolehlivý.
Abychom doložili naše tvrzení, zvažte funkci
.
Výpočty ukazují, že hodnoty této funkce v bodech -2, -1, 0, 1, 2 jsou právě popsány výše uvedenou tabulkou. Graf této funkce však není vůbec přímý (je znázorněn na obr. 49). Dalším příkladem je funkce y = x + l + sinx; jeho významy jsou také popsány v tabulce výše.
Tyto příklady ukazují, že ve své "čisté" podobě je metoda vícebodového vykreslování nespolehlivá. Pro vykreslení dané funkce proto zpravidla postupujte následovně. Nejprve jsou studovány vlastnosti této funkce, pomocí které je možné sestrojit náčrt grafu. Poté výpočtem hodnot funkce v několika bodech (jejichž výběr závisí na nastavených vlastnostech funkce) se najdou odpovídající body grafu. A nakonec je vytvořenými body nakreslena křivka pomocí vlastností této funkce.
Některé (nejjednodušší a nejčastěji používané) vlastnosti funkcí používaných k nalezení náčrtu grafu zvážíme později a nyní rozebereme některé běžně používané metody vykreslování grafů.
Graf funkce y = |f(x)|.
Často je nutné vykreslit funkci y = |f(x)|, kde f(x) - danou funkci. Připomeňte si, jak se to dělá. Podle definice absolutní hodnoty čísla lze psát
To znamená, že graf funkce y=|f(x)| lze získat z grafu, funkcí y = f(x) takto: všechny body grafu funkce y = f(x), jehož ordináty jsou nezáporné, by měly zůstat nezměněny; dále místo bodů grafu funkce y = f(x), mající záporné souřadnice, je třeba sestrojit odpovídající body grafu funkce y = -f(x)(tj. část funkčního grafu
y = f(x), která leží pod osou X, by se měl odrážet symetricky kolem osy X).
Příklad 2 Nakreslete funkci y = |x|.
Vezmeme graf funkce y = x(obr. 50, a) a část tohoto grafu kdy X< 0 (ležící pod osou X) se symetricky odráží kolem osy X. V důsledku toho dostaneme graf funkce y = |x|(obr. 50, b).
Příklad 3. Nakreslete funkci y = |x 2 - 2x|.
Nejprve nakreslíme funkci y = x 2 - 2x. Grafem této funkce je parabola, jejíž větve směřují nahoru, vrchol paraboly má souřadnice (1; -1), její graf protíná osu úsečky v bodech 0 a 2. Na intervalu (0; 2) nabývá funkce záporných hodnot, proto se tato část grafu symetricky odráží vzhledem k ose úsečky. Obrázek 51 ukazuje graf funkce y \u003d |x 2 -2x |, na základě grafu funkce y = x 2 - 2x
Graf funkce y = f(x) + g(x)
Zvažte problém vykreslení funkce y = f(x) + g(x). pokud jsou uvedeny grafy funkcí y = f(x) A y = g(x).
Všimněte si, že definiční obor funkce y = |f(x) + g(х)| je množina všech hodnot x, pro které jsou definovány obě funkce y = f(x) a y = g(x), tj. tato definiční doména je průsečíkem definičních oborů, funkcí f(x) a g(x).
Nechte body (x 0, y 1) A (x 0, y 2) patří mezi funkční grafy y = f(x) A y = g(x), tj. y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Potom bod (x0;. y1 + y2) patří do grafu funkce y = f(x) + g(x)(pro f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. a libovolný bod grafu funkce y = f(x) + g(x) lze získat tímto způsobem. Proto graf funkce y = f(x) + g(x) lze získat z funkčních grafů y = f(x). A y = g(x) nahrazením každého bodu ( x n, y 1) funkční grafika y = f(x) tečka (x n, y 1 + y 2), Kde y2 = g(x n), tj. posunutím každého bodu ( x n, y 1) funkční graf y = f(x) podél osy na podle částky y 1 \u003d g (x n). V tomto případě se berou v úvahu pouze takové body. X n, pro které jsou definovány obě funkce y = f(x) A y = g(x).
Tato metoda vykreslování funkčního grafu y = f(x) + g(x) se nazývá sčítání grafů funkcí y = f(x) A y = g(x)
Příklad 4. Na obrázku je metodou přidávání grafů sestrojen graf funkce
y = x + sinx.
Při vykreslování funkce y = x + sinx to jsme předpokládali f(x) = x, A g(x) = sinx. Pro sestavení funkčního grafu vybereme body s úsečkami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Hodnoty f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx provedeme výpočet ve vybraných bodech a výsledky umístíme do tabulky.
Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.
Shromažďování a používání osobních údajů
Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.
Můžete být požádáni, abyste poskytli své osobní informace kdykoli nás budete kontaktovat.
Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.
Jaké osobní údaje shromažďujeme:
- Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.
Jak používáme vaše osobní údaje:
- Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a nadcházejících událostech.
- Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých upozornění a zpráv.
- Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
- Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.
Zpřístupnění třetím stranám
Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.
Výjimky:
- V případě, že je nutné - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace - zveřejnit Vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud rozhodneme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné účely veřejného zájmu.
- V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.
Ochrana osobních údajů
Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.
Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti
Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.
Délka segmentu na souřadnicové ose se zjistí podle vzorce:
Délka segmentu v souřadnicové rovině se hledá podle vzorce:
K nalezení délky segmentu v trojrozměrném souřadnicovém systému se používá následující vzorec:
Souřadnice středu segmentu (pro souřadnicovou osu se používá pouze první vzorec, pro souřadnicovou rovinu - první dva vzorce, pro trojrozměrný souřadnicový systém - všechny tři vzorce) se vypočítají podle vzorců:
Funkce je korespondence formuláře y= F(X) mezi proměnnými, díky čemuž každá uvažovala hodnotu nějaké variabilní X(argument nebo nezávislá proměnná) odpovídá určité hodnotě jiné proměnné, y(závislá proměnná, někdy se této hodnotě říká jednoduše hodnota funkce). Všimněte si, že funkce předpokládá jednu hodnotu argumentu X může existovat pouze jedna hodnota závislé proměnné na. Nicméně stejnou hodnotu na lze získat s různými X.
Rozsah funkcí jsou všechny hodnoty nezávislé proměnné (funkce argument, obvykle X), pro které je funkce definována, tzn. jeho význam existuje. Je uvedena doména definice D(y). Celkově tento koncept již znáte. Rozsah funkce se jinak nazývá doména platných hodnot neboli ODZ, kterou můžete najít již dlouho.
Funkční rozsah jsou všechny možné hodnoty závislé proměnné této funkce. Označeno E(na).
Funkce stoupá na intervalu, na kterém větší hodnota argumentu odpovídá větší hodnotě funkce. Funkce klesá na intervalu, na kterém větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce.
Funkční intervaly jsou intervaly nezávisle proměnné, ve kterých si závislá proměnná zachovává své kladné nebo záporné znaménko.
Funkce nuly jsou ty hodnoty argumentu, pro které je hodnota funkce rovna nule. V těchto bodech graf funkce protíná osu úsečky (osa OX). Potřeba najít nuly funkce velmi často znamená jednoduché řešení rovnice. Často také potřeba najít intervaly konstantního znaménka znamená potřebu jednoduše vyřešit nerovnost.
Funkce y = F(X) jsou nazývány dokonce X
To znamená, že pro jakékoli opačné hodnoty argumentu jsou hodnoty sudé funkce stejné. Plán dokonce funkce vždy symetrické podle osy y y.
Funkce y = F(X) jsou nazývány zvláštní, pokud je definován na symetrické množině a pro libovolnou X z domény definice je splněna rovnost:
To znamená, že pro jakékoli opačné hodnoty argumentu jsou hodnoty liché funkce také opačné. Graf liché funkce je vždy symetrický podle počátku.
Součet kořenů sudého a liché vlastnosti(průsečíky osy x OX) je vždy nula, protože za každý kladný kořen Xúčet pro negativní kořen –X.
Je důležité si uvědomit, že některá funkce nemusí být sudá nebo lichá. Existuje mnoho funkcí, které nejsou ani sudé, ani liché. Takové funkce se nazývají funkcí obecný pohled a žádná z výše uvedených rovností nebo vlastností pro ně neplatí.
Lineární funkce se nazývá funkce, která může být dána vzorcem:
Graf lineární funkce je přímka a v obecném případě vypadá takto (uvádíme příklad pro případ, kdy k> 0, v tomto případě je funkce rostoucí; pro případ k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graf kvadratické funkce (Parabola)
Graf paraboly je dán kvadratickou funkcí:
Kvadratická funkce, stejně jako jakákoli jiná funkce, protíná osu OX v bodech, které jsou jejími kořeny: ( X 1; 0) a ( X 2; 0). Pokud neexistují žádné kořeny, pak kvadratická funkce neprotíná osu OX, pokud existuje jeden kořen, pak v tomto bodě ( X 0; 0) kvadratická funkce se pouze dotýká osy OX, ale neprotíná ji. Kvadratická funkce vždy protíná osu OY v bodě se souřadnicemi: (0; C). Plán kvadratická funkce(parabola) může vypadat takto (obrázek ukazuje příklady, které nevyčerpávají všechny možné typy parabol):
kde:
- pokud koeficient A> 0, ve funkci y = sekera 2 + bx + C, pak větve paraboly směřují nahoru;
- -li A < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Souřadnice vrcholů paraboly lze vypočítat pomocí následujících vzorců. X topy (p- na obrázcích výše) paraboly (nebo bodu, ve kterém čtvercová trojčlenka dosáhne své maximální nebo minimální hodnoty):
Y vrcholy (q- na obrázcích výše) paraboly nebo maximum, pokud větve paraboly směřují dolů ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), hodnota čtvercový trojčlen:
Grafy dalších funkcí
výkonová funkce
Zde je několik příkladů grafů mocninných funkcí:
Nepřímo úměrná závislost zavolejte funkci danou vzorcem:
Podle znaménka čísla k Nepřímo úměrný graf může mít dvě základní možnosti:
Asymptota je přímka, ke které se přímka grafu funkce nekonečně blízko blíží, ale neprotíná. Asymptoty pro grafy inverzní úměrnost na obrázku výše jsou souřadnicové osy, ke kterým se graf funkce nekonečně přibližuje, ale neprotíná je.
exponenciální funkce se základnou A zavolejte funkci danou vzorcem:
A graf exponenciální funkce může mít dvě základní možnosti (uvedeme také příklady, viz níže):
logaritmická funkce zavolejte funkci danou vzorcem:
Podle toho, zda je číslo větší nebo menší než jedna A Graf logaritmické funkce může mít dvě základní možnosti:
Graf funkcí y = |X| jak následuje:
Grafy periodických (trigonometrických) funkcí
Funkce na = F(X) je nazýván časopis, pokud takové nenulové číslo existuje T, Co F(X + T) = F(X), pro každého X mimo rozsah funkce F(X). Pokud je funkce F(X) je periodické s tečkou T, pak funkce:
Kde: A, k, b jsou konstantní čísla a k nerovná se nule, také periodické s tečkou T 1, který je určen vzorcem:
Většina příkladů periodických funkcí jsou goniometrické funkce. Zde jsou grafy hlavních goniometrických funkcí. Následující obrázek ukazuje část grafu funkce y= hřích X(celý graf pokračuje neomezeně doleva a doprava), graf funkce y= hřích X volal sinusoida:
Graf funkcí y= cos X volal kosinusová vlna. Tento graf je znázorněn na následujícím obrázku. Od grafu sinusu pokračuje do nekonečna podél osy OX doleva a doprava:
Graf funkcí y=tg X volal tangentoida. Tento graf je znázorněn na následujícím obrázku. Stejně jako grafy jiných periodických funkcí se tento graf donekonečna opakuje podél osy OX doleva a doprava.
A nakonec graf funkce y=ctg X volal kotangentoid. Tento graf je znázorněn na následujícím obrázku. Stejně jako grafy jiných periodických a goniometrických funkcí se tento graf donekonečna opakuje podél osy OX doleva a doprava.
Úspěšná, pečlivá a zodpovědná implementace těchto tří bodů vám umožní předvést na CT vynikající výsledek, maximum toho, čeho jste schopni.
Našli jste chybu?
Pokud si myslíte, že jste našli chybu v školicí materiály, pak o tom prosím napište poštou. Můžete také nahlásit chybu sociální síť(). V dopise uveďte předmět (fyziku nebo matematiku), název nebo číslo tématu nebo testu, číslo úkolu, případně místo v textu (stránce), kde je podle vás chyba. Popište také, co je údajná chyba. Váš dopis nezůstane bez povšimnutí, chyba bude buď opravena, nebo vám bude vysvětleno, proč se nejedná o chybu.
Funkční graf je vizuální znázornění chování nějaké funkce v souřadnicové rovině. Grafy pomáhají porozumět různým aspektům funkce, které nelze určit z funkce samotné. Můžete sestavit grafy mnoha funkcí a každá z nich bude dána specifickým vzorcem. Graf jakékoli funkce je sestaven podle určitého algoritmu (pokud jste zapomněli přesný proces vykreslení grafu konkrétní funkce).
Kroky
Vykreslení lineární funkce
- Pokud je sklon záporný, funkce se snižuje.
-
Z bodu, kde se čára protíná s osou Y, nakreslete druhý bod pomocí vertikální a horizontální vzdálenosti. Lineární funkci lze vykreslit pomocí dvou bodů. V našem příkladu má průsečík s osou Y souřadnice (0,5); od tohoto bodu se posuňte o 2 pole nahoru a poté o 1 pole doprava. Označte bod; bude mít souřadnice (1,7). Nyní můžete nakreslit rovnou čáru.
Pomocí pravítka nakreslete přímku přes dva body. Abyste předešli chybám, najděte třetí bod, ale ve většině případů lze graf sestavit pomocí dvou bodů. Tím jste nakreslili lineární funkci.
Určete, zda je funkce lineární. Lineární funkce je dána vzorcem tvaru F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) nebo y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(například ) a jeho graf je přímka. Vzorec tedy obsahuje jednu proměnnou a jednu konstantu (konstantu) bez jakýchkoli exponentů, kořenových znamének a podobně. Vzhledem k funkci podobného tvaru je vykreslení takové funkce docela jednoduché. Zde jsou další příklady lineárních funkcí:
Pomocí konstanty označte bod na ose y. Konstanta (b) je souřadnice „y“ průsečíku grafu s osou Y. To znamená, že jde o bod, jehož souřadnice „x“ je 0. Pokud se tedy do vzorce dosadí x = 0, pak y = b (konstanta). V našem příkladu y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanta je 5, to znamená, že průsečík s osou Y má souřadnice (0,5). Nasaďte si tento bod souřadnicová rovina.
Najděte sklon čáry. Je rovna násobiteli proměnné. V našem příkladu y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) s proměnnou "x" je faktor 2; sklon je tedy 2. Sklon určuje úhel sklonu přímky k ose X, to znamená, že čím větší je sklon, tím rychleji se funkce zvyšuje nebo snižuje.
Zapište sklon jako zlomek. Sklon se rovná tangentě úhlu sklonu, to znamená poměru svislé vzdálenosti (mezi dvěma body na přímce) k vodorovné vzdálenosti (mezi stejnými body). V našem příkladu je sklon 2, takže můžeme říci, že vertikální vzdálenost je 2 a horizontální vzdálenost je 1. Napište to jako zlomek: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).
Kreslení bodů v souřadnicové rovině
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Nakreslete body na souřadnicové rovině. Pro každou dvojici souřadnic proveďte následující: najděte odpovídající hodnotu na ose x a nakreslete svislou čáru (tečkovanou); najděte odpovídající hodnotu na ose y a nakreslete vodorovnou čáru (tečkovanou čáru). Označte průsečík dvou tečkovaných čar; tím jste nakreslili bod grafu.
Vymažte tečkované čáry. Udělejte to po vynesení všech bodů grafu do souřadnicové roviny. Poznámka: graf funkce f(x) = x je přímka procházející středem souřadnic [bod se souřadnicemi (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je přímka rovnoběžná s přímkou f(x) = x, ale posunutá o dvě jednotky nahoru a tedy procházející bodem se souřadnicemi (0,2) (protože konstanta je 2).
Definujte funkci. Funkce je označena jako f(x). Všechny možné hodnoty proměnné "y" se nazývají rozsah funkce a všechny možné hodnoty proměnné "x" se nazývají definiční obor funkce. Uvažujme například funkci y = x+2, konkrétně f(x) = x+2.
Nakreslete dvě protínající se kolmé čáry. Vodorovná čára je osa X. Svislá čára je osa Y.
Označte souřadnicové osy. Rozdělte každou osu na stejné segmenty a očíslujte je. Průsečík os je 0. Pro osu X: kladná čísla se vykreslují vpravo (od 0) a záporná čísla vlevo. Pro osu Y: kladná čísla jsou vynesena nahoře (od 0) a záporná čísla dole.
Najděte hodnoty "y" z hodnot "x". V našem příkladu f(x) = x+2. Nahraďte určité hodnoty "x" do tohoto vzorce, abyste vypočítali odpovídající hodnoty "y". Pokud je zadána komplexní funkce, zjednodušte ji izolováním "y" na jedné straně rovnice.
Vykreslení komplexní funkce
-
Najděte souřadnice několika bodů a zakreslete je do souřadnicové roviny. Jednoduše vyberte více hodnot x a zapojte je do funkce, abyste našli odpovídající hodnoty y. Poté body zakreslete do souřadnicové roviny. Jak těžší funkce, tím více bodů musíte najít a uplatnit. Ve většině případů dosaďte x = -1; x = 0; x = 1, ale pokud je funkce komplexní, najděte tři body na každé straně počátku.
- V případě funkce y = 5 x 2 + 6 (\displaystyle y=5x^(2)+6) nahraďte následující hodnoty "x": -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Získáte dostatek bodů.
- Vyberte si své hodnoty x moudře. V našem příkladu je snadné pochopit, že záporné znaménko nehraje roli: hodnota "y" na x \u003d 10 a na x \u003d -10 bude stejná.
-
- Pokud nevíte, co dělat, začněte substitucí do funkce různé významy"x" pro nalezení hodnot "y" (a tedy souřadnic bodů). Teoreticky lze graf funkce sestavit pouze pomocí této metody (pokud samozřejmě dosadíme nekonečnou škálu hodnot x).
Najděte nuly funkce. Nuly funkce jsou hodnoty proměnné „x“, ve které y = 0, to znamená, že se jedná o průsečíky grafu s osou x. Mějte na paměti, že ne všechny funkce mají nuly, ale toto je první krok v procesu vykreslování grafu jakékoli funkce. Chcete-li najít nuly funkce, nastavte ji na nulu. Například:
Najděte a označte vodorovné asymptoty. Asymptota je přímka, ke které se graf funkce přibližuje, ale nikdy ji neprotíná (to znamená, že funkce není v této oblasti definována, např. při dělení 0). Označte asymptotu tečkovanou čarou. Pokud je proměnná "x" ve jmenovateli zlomku (např. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), nastavte jmenovatele na nulu a najděte "x". V získaných hodnotách proměnné "x" není funkce definována (v našem příkladu nakreslete čárkované čáry přes x = 2 a x = -2), protože nelze dělit 0. Ale asymptoty existují nejen v případech, kdy funkce obsahuje zlomkový výraz. Proto se doporučuje používat zdravý rozum:
