Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých upozornění a zpráv.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě, že je nutné - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace - zveřejnit Vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné z důvodu bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiného veřejného zájmu.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.

Řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.

Řešení goniometrických rovnic jakékoli úrovně složitosti nakonec vede k řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. A v tomto se opět ukazuje jako nejlepší pomocník trigonometrický kruh.

Připomeňte si definice kosinu a sinusu.

Kosinus úhlu je úsečka (tj. souřadnice podél osy) bodu na jednotkové kružnici odpovídající rotaci o daný úhel.

Sinus úhlu je ordináta (tj. souřadnice podél osy) bodu na jednotkové kružnici odpovídající rotaci o daný úhel.

Pozitivní směr pohybu trigonometrický kruh je uvažován pohyb proti směru hodinových ručiček. Otočení o 0 stupňů (nebo 0 radiánů) odpovídá bodu se souřadnicemi (1; 0)

Tyto definice používáme k řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.

1. Řešte rovnici

Tato rovnice je splněna všemi takovými hodnotami úhlu natočení, které odpovídají bodům kruhu, jejichž pořadnice je rovna .

Označme bod pořadnicí na ose y:

Nakreslete vodorovnou čáru rovnoběžnou s osou x, dokud se neprotne s kružnicí. Dostaneme dva body ležící na kružnici a mající pořadnici. Tyto body odpovídají rotačním úhlům a radiánům:

Pokud po opuštění bodu odpovídajícímu úhlu natočení na radián obejdeme celý kruh, pak dojdeme k bodu odpovídajícímu úhlu natočení na radián a se stejnou pořadnicí. To znamená, že tento úhel natočení také splňuje naši rovnici. Můžeme udělat tolik "nečinných" zatáček, kolik chceme, vracet se do stejného bodu a všechny tyto hodnoty úhlu splní naši rovnici. Počet otáček "naprázdno" je označen písmenem (nebo). Protože tyto otáčky můžeme provádět v kladném i záporném směru, (nebo ) může nabývat libovolných celočíselných hodnot.

To znamená, že první řada řešení původní rovnice má tvar:

, , - sada celých čísel (1)

Podobně má druhá řada řešení tvar:

, Kde , . (2)

Jak jste uhodli, tato řada řešení je založena na bodu kružnice, který odpovídá úhlu natočení o .

Tyto dvě řady řešení lze spojit do jednoho záznamu:

Pokud vezmeme tento záznam (tedy sudý), dostaneme první řadu řešení.

Pokud vezmeme tento záznam (tedy lichý), dostaneme druhou řadu řešení.

2. Nyní vyřešme rovnici

Protože je úsečka bodu jednotkové kružnice získaná otočením o úhel, označíme na ose bod s úsečkou:

Nakreslete svislou čáru rovnoběžnou s osou, dokud se neprotne s kružnicí. Získáme dva body ležící na kruhu a mající úsečku. Tyto body odpovídají rotačním úhlům a radiánům. Připomeňme, že při pohybu ve směru hodinových ručiček získáme záporný úhel rotace:

Zapíšeme dvě řady řešení:

,

,

(Do správného bodu se dostaneme průchodem z hlavního plného kruhu, tzn.

Pojďme spojit tyto dvě série do jednoho příspěvku:

3. Řešte rovnici

Přímka tečen prochází bodem se souřadnicemi (1,0) jednotkové kružnice rovnoběžné s osou OY

Označte na něm bod s pořadnicí rovnou 1 (hledáme tečnu, jejíž úhly je 1):

Spojte tento bod s počátkem přímkou ​​a označte průsečíky přímky s jednotkovou kružnicí. Průsečíky přímky a kružnice odpovídají úhlům natočení na a :

Protože body odpovídající úhlům natočení, které splňují naši rovnici, leží v radiánech od sebe, můžeme řešení zapsat následovně:

4. Řešte rovnici

Přímka kotangens prochází bodem se souřadnicemi jednotkové kružnice rovnoběžné s osou.

Na přímce kotangens označíme bod s úsečkou -1:

Připojte tento bod k počátku přímky a pokračujte v ní, dokud se neprotne s kružnicí. Tato čára bude protínat kružnici v bodech odpovídajících úhlům rotace a radiánům:

Protože tyto body jsou od sebe odděleny vzdáleností rovnou , můžeme obecné řešení této rovnice napsat takto:

V uvedených příkladech, ilustrujících řešení nejjednodušších goniometrických rovnic, byly použity tabulkové hodnoty goniometrických funkcí.

Pokud je však na pravé straně rovnice netabulková hodnota, dosadíme hodnotu v obecném řešení rovnice:

SPECIÁLNÍ ŘEŠENÍ:

Označte body na kružnici, jejíž pořadnice je 0:

Označte na kružnici jeden bod, jehož pořadnice je rovna 1:

Označte jeden bod na kružnici, jehož pořadnice je rovna -1:

Protože je obvyklé uvádět hodnoty nejbližší nule, zapíšeme řešení následovně:

Označte body na kružnici, jejíž úsečka je 0:

5.
Označme jeden bod na kružnici, jehož úsečka je rovna 1:

Označte jeden bod na kružnici, jehož úsečka je rovna -1:

A některé složitější příklady:

1.

Sinus je jedna, pokud je argument

Argument našeho sinu je , takže dostaneme:

Vydělte obě strany rovnice 3:

Odpovědět:

2.

Kosinus je nula, pokud je argument kosinus

Argument našeho kosinus je , takže dostaneme:

Vyjádříme , nejprve se přesuneme doprava s opačným znaménkem:

Zjednodušte pravou stranu:

Vydělte obě části -2:

Všimněte si, že znaménko před členem se nemění, protože k může nabývat libovolných celočíselných hodnot.

Odpovědět:

A na závěr se podívejte na videonávod "Výběr kořenů v goniometrické rovnici pomocí trigonometrické kružnice"

Tím končí rozhovor o řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. Příště si povíme, jak to vyřešit.

Při řešení mnoha matematické problémy , zejména těch, které nastanou před 10. ročníkem, je jasně definováno pořadí provedených akcí, které povedou k cíli. Mezi takové úlohy patří například lineární a kvadratické rovnice, lineární a čtvercové nerovnosti, zlomkové rovnice a rovnice, které se redukují na kvadratické rovnice. Princip úspěšného řešení každého ze zmíněných úkolů je následující: je třeba stanovit, do jakého typu řešený problém patří, pamatovat si na nezbytnou posloupnost akcí, které povedou k požadovanému výsledku, tzn. odpovězte a postupujte podle těchto kroků.

Je zřejmé, že úspěch či neúspěch při řešení konkrétního problému závisí především na tom, jak správně je určen typ řešené rovnice, jak správně je reprodukována posloupnost všech fází jejího řešení. Samozřejmě je v tomto případě nutné mít dovednosti pro provádění identických transformací a výpočtů.

Jiná situace nastává s goniometrické rovnice. Není těžké zjistit, že rovnice je trigonometrická. Potíže nastávají při určování sledu akcí, které by vedly ke správné odpovědi.

Podle vzhled rovnic někdy je obtížné určit její typ. A bez znalosti typu rovnice je téměř nemožné vybrat tu správnou z několika desítek trigonometrických vzorců.

K vyřešení goniometrické rovnice musíme zkusit:

1. přiveďte všechny funkce zahrnuté v rovnici do „stejných úhlů“;
2. převést rovnici na "stejné funkce";
3. faktorizovat levou stranu rovnice atp.

Zvážit základní metody řešení goniometrických rovnic.

I. Redukce na nejjednodušší goniometrické rovnice

Schéma řešení

Krok 1. vyjádřit goniometrická funkce přes známé komponenty.

Krok 2 Najděte argument funkce pomocí vzorců:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3 Najděte neznámou proměnnou.

Příklad.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Řešení.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpověď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabilní substituce

Schéma řešení

Krok 1. Uveďte rovnici do algebraického tvaru s ohledem na jednu z goniometrických funkcí.

Krok 2 Výslednou funkci označíme proměnnou t (v případě potřeby zaveďte omezení na t).

Krok 3 Výslednou algebraickou rovnici zapište a vyřešte.

Krok 4 Proveďte obrácenou substituci.

Krok 5 Vyřešte nejjednodušší goniometrickou rovnici.

Příklad.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Řešení.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Nechť sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 nebo e = -3/2 nesplňuje podmínku |t| ≤ 1.

4) hřích (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpověď: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda redukce pořadí rovnic

Schéma řešení

Krok 1. Nahraďte tuto rovnici lineární pomocí vzorců pro snížení výkonu:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2 Výslednou rovnici řešte metodami I a II.

Příklad.

cos2x + cos2x = 5/4.

Řešení.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpověď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogenní rovnice

Schéma řešení

Krok 1. Přeneste tuto rovnici do formuláře

a) a sin x + b cos x = 0 ( homogenní rovnice první stupeň)

nebo do výhledu

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogenní rovnice druhého stupně).

Krok 2 Vydělte obě strany rovnice

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

a získejte rovnici pro tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Krok 3Řešte rovnici pomocí známých metod.

Příklad.

5sin 2 x + 3 sin x cos x - 4 = 0.

Řešení.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Nechť tg x = t, pak

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 nebo t = -4, takže

tg x = 1 nebo tg x = -4.

Z první rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhé rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpověď: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda transformace rovnice pomocí goniometrických vzorců

Schéma řešení

Krok 1. Použití všeho druhu trigonometrické vzorce, přiveďte tuto rovnici k rovnici řešené metodami I, II, III, IV.

Krok 2 Výslednou rovnici řešte známými metodami.

Příklad.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Řešení.

1) (hřích x + hřích 3x) + hřích 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 nebo 2cos x + 1 = 0;

Z první rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhé rovnice cos x = -1/2.

Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhé rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

V důsledku toho x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpověď: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Schopnost a dovednosti řešit goniometrické rovnice jsou velmi důležité, jejich rozvoj vyžaduje značné úsilí, jak ze strany studenta, tak ze strany učitele.

S řešením goniometrických rovnic je spojeno mnoho problémů stereometrie, fyziky atd. Proces řešení takových úloh jakoby obsahuje mnoho znalostí a dovedností, které se získávají při studiu prvků trigonometrie.

Významné místo v procesu výuky matematiky a rozvoje osobnosti obecně zaujímají goniometrické rovnice.

Máte nějaké dotazy? Nevíte, jak řešit goniometrické rovnice?
Chcete-li získat pomoc tutora - zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.

Nejjednodušší goniometrické rovnice se obvykle řeší pomocí vzorců. Dovolte mi připomenout, že následující trigonometrické rovnice se nazývají nejjednodušší:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x je úhel, který se má najít,
a je libovolné číslo.

A zde jsou vzorce, pomocí kterých si řešení těchto nejjednodušších rovnic můžete ihned zapsat.

Pro sinus:

Pro kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pro tečnu:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

Pro kotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Ve skutečnosti se jedná o teoretickou část řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. A celý!) Vůbec nic. Počet chyb na toto téma se však jen převaluje. Zejména s mírnou odchylkou příkladu od šablony. Proč?

Ano, protože mnoho lidí zapisuje tyto dopisy, aniž by chápal jejich význam! S obavami zapisuje, ať se něco děje ...) S tím je potřeba se vypořádat. Trigonometrie pro lidi, nebo lidé pro trigonometrii, koneckonců!?)

Pojďme na to přijít?

Jeden úhel bude roven arccos, druhý: - arccos a.

A tak to bude fungovat vždy. Pro jakékoli A.

Pokud mi nevěříte, najeďte myší na obrázek nebo se dotkněte obrázku na tabletu.) Změnil jsem číslo A k nějakému negativnímu. Každopádně máme jeden roh arccos, druhý: - arccos a.

Proto lze odpověď vždy zapsat jako dvě řady kořenů:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Spojujeme tyto dvě řady do jedné:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

A všechny věci. Získali jsme obecný vzorec pro řešení nejjednodušší goniometrické rovnice s kosinusem.

Pokud pochopíte, že to není nějaká supervědecká moudrost, ale jen zkrácený záznam dvou sérií odpovědí, vy a úkoly "C" budete na rameni. S nerovnostmi, s výběrem kořenů z daného intervalu... Tam se odpověď s plus/mínus nevalí. A pokud s odpovědí zacházíte obchodně a rozdělíte ji na dvě samostatné odpovědi, je o všem rozhodnuto.) Ve skutečnosti tomu rozumíme. Co, jak a kde.

V nejjednodušší goniometrické rovnici

sinx = a

také získat dvě řady kořenů. Vždy. A tyto dvě série lze také nahrávat jeden řádek. Chytřejší bude pouze tento řádek:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Ale podstata zůstává stejná. Matematici jednoduše zkonstruovali vzorec, aby vytvořili jeden místo dvou záznamů řad kořenů. A to je vše!

Prověříme matematiky? A to nestačí...)

V předchozí lekci bylo podrobně rozebráno řešení (bez jakýchkoliv vzorců) goniometrické rovnice se sinem:

Odpověď se ukázala jako dvě řady kořenů:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pokud stejnou rovnici vyřešíme pomocí vzorce, dostaneme odpověď:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Vlastně je to napůl hotová odpověď.) Student to musí vědět arcsin 0,5 = π /6.Úplná odpověď by byla:

x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z

Zde se nabízí zajímavá otázka. Odpovědět přes x 1; x 2 (toto je správná odpověď!) a přes osamělé X (a toto je správná odpověď!) - totéž, nebo ne? Pojďme to zjistit teď.)

Nahraďte v reakci s x 1 hodnoty n =0; 1; 2; atd., uvažujeme, dostaneme řadu kořenů:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 a tak dále.

Se stejnou substitucí v reakci na x 2 , dostaneme:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 a tak dále.

A nyní dosadíme hodnoty n (0; 1; 2; 3; 4...) do obecného vzorce pro osamělé X . To znamená, že zvedneme mínus jedna na nulovou mocninu, pak na první, druhou a tak dále. A samozřejmě dosadíme 0 do druhého členu; 1; 2 3; 4 atd. A myslíme si. Dostáváme sérii:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 a tak dále.

To je vše, co můžete vidět.) Obecný vzorec nám dává úplně stejné výsledky což jsou dvě odpovědi odděleně. Vše najednou, v pořádku. Matematici neklamali.)

Kontrolovat lze i vzorce pro řešení goniometrických rovnic s tečnou a kotangens. Ale nechme toho.) Jsou tak nenároční.

Celé toto nahrazování a ověřování jsem namaloval záměrně. Zde je důležité pochopit jednu jednoduchou věc: existují vzorce pro řešení elementárních goniometrických rovnic, jen shrnutí odpovědí. Pro tuto stručnost jsem musel vložit plus/minus do řešení kosinus a (-1) n do řešení sinus.

Tyto vložky nijak nezasahují do úkolů, kde stačí zapsat odpověď elementární rovnice. Ale pokud potřebujete vyřešit nerovnost, nebo pak potřebujete něco udělat s odpovědí: vybrat kořeny na intervalu, zkontrolovat ODZ atd., tyto vložky mohou člověka snadno zneklidnit.

a co dělat? Ano, buď vymalujte odpověď ve dvou sériích, nebo vyřešte rovnici / nerovnici v trigonometrickém kruhu. Pak tyto vložky zmizí a život se stane jednodušším.)

Můžete to shrnout.

Pro řešení nejjednodušších goniometrických rovnic existují hotové vzorce odpovědí. Čtyři kusy. Jsou dobré pro okamžitý zápis řešení rovnice. Například musíte vyřešit rovnice:

sinx = 0,3

Snadno: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Žádný problém: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Snadno: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Jeden zbývá: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1,8

Pokud záříte znalostmi, okamžitě napište odpověď:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

pak už záříš, tohle ... tamto ... z louže.) Správná odpověď je: neexistují žádná řešení. Nechápu proč? Přečtěte si, co je arccosin. Kromě toho, pokud jsou na pravé straně původní rovnice tabulkové hodnoty sinus, kosinus, tangens, kotangens, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 a tak dále. - odpověď přes oblouky bude nedokončená. Oblouky je nutné převést na radiány.

A pokud už narazíte na nerovnost, jako

pak odpověď zní:

x πn, n ∈ Z

existuje vzácný nesmysl, ano ...) Zde je nutné rozhodnout pro trigonometrický kruh. Co budeme dělat v odpovídajícím tématu.

Pro ty, kteří hrdinně čtou až do těchto řádků. Nemohu si pomoci, ale ocenit vaše titánské úsilí. máš bonus.)

bonus:

Při psaní vzorců v úzkostné bojové situaci se i otrlí šprti často pletou kde pn, A kde 2πn. Zde je pro vás jednoduchý trik. v Všechno vzorce pn. Kromě jediného vzorce s arkuskosinusem. Stojí tam 2πn. Dva pien. Klíčové slovo - dva. Ve stejném jediném vzorci jsou dva podepsat na začátku. Plus a mínus. Tu a tam - dva.

Pokud jsi tedy napsal dva znak před arc cosinus, je snazší si zapamatovat, co se stane na konci dva pien. A děje se to i naopak. Přeskočte mužské znamení ± , dojdi na konec, piš správně dva pien, ano, a chytit to. Před něčím dva podepsat! Člověk se vrátí na začátek, ale chybu napraví! Takhle.)

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Video kurz "Get an A" obsahuje všechna témata nezbytná pro úspěch složení zkoušky v matematice za 60-65 bodů. Úplně všechny úkoly 1-13 profilová zkouška matematika. Vhodné také pro absolvování Základního USE v matematice. Pokud chcete zkoušku složit s 90-100 body, je potřeba vyřešit 1. část za 30 minut a bezchybně!

Přípravný kurz na zkoušku pro ročníky 10-11 i pro učitele. Vše, co potřebujete k vyřešení 1. části zkoušky z matematiky (prvních 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometrie). A to je na Jednotnou státní zkoušku více než 70 bodů a bez nich se neobejde ani stobodový student, ani humanista.

Všechny potřebné teorie. Rychlé způsobyřešení, pasti a tajemství zkoušky. Byly analyzovány všechny relevantní úkoly části 1 z úkolů Bank of FIPI. Kurz plně vyhovuje požadavkům USE-2018.

Kurz obsahuje 5 velkých témat, každé 2,5 hodiny. Každé téma je podáno od začátku, jednoduše a jasně.

Stovky zkouškových úkolů. Textové úlohy a teorie pravděpodobnosti. Jednoduché a snadno zapamatovatelné algoritmy řešení problémů. Geometrie. Teorie, referenční materiál, analýza všech typů USE úloh. Stereometrie. Záludná řešení, užitečné cheat sheets, vývoj prostorová představivost. Trigonometrie od nuly - k úkolu 13. Porozumění místo nacpávání. Vizuální vysvětlení složitých pojmů. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkce a derivace. Základ pro řešení náročné úkoly 2 části zkoušky.