Řešení nejjednodušších triganometrických rovnic. Rovnice řešíme pomocí trigonometrické kružnice. Úkoly pro samostatné řešení

Koncepce řešení goniometrických rovnic.

Chcete-li vyřešit goniometrickou rovnici, převeďte ji na jednu nebo více základních goniometrických rovnic. Řešení goniometrické rovnice nakonec vede k řešení čtyř základních goniometrických rovnic.

Řešení základních goniometrických rovnic.

Existují 4 typy základních goniometrických rovnic:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Řešení základních goniometrických rovnic zahrnuje pohled na různé pozice x na jednotkové kružnici a také použití převodní tabulky (nebo kalkulačky).
Příklad 1. sin x = 0,866. Pomocí převodní tabulky (nebo kalkulačky) získáte odpověď: x = π/3. Jednotková kružnice dává jinou odpověď: 2π/3. Pamatujte: všechny goniometrické funkce jsou periodické, to znamená, že jejich hodnoty se opakují. Například periodicita sin x a cos x je 2πn a periodicita tg x a ctg x je πn. Takže odpověď je napsána takto:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Příklad 2 cos x = -1/2. Pomocí převodní tabulky (nebo kalkulačky) dostanete odpověď: x = 2π/3. Jednotková kružnice dává jinou odpověď: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Příklad 3. tg (x - π/4) = 0.
Odpověď: x \u003d π / 4 + πn.
Příklad 4. ctg 2x = 1,732.
Odpověď: x \u003d π / 12 + πn.

Transformace používané při řešení goniometrických rovnic.

K transformaci goniometrických rovnic se používají algebraické transformace (faktorizace, redukce homogenní členové atd.) a trigonometrické identity.
Příklad 5. Pomocí goniometrických identit se rovnice sin x + sin 2x + sin 3x = 0 převede na rovnici 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Tedy následující základní goniometrické rovnice potřeba vyřešit: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Hledání úhlů ze známých hodnot funkcí.
- Než se naučíte řešit goniometrické rovnice, musíte se naučit, jak najít úhly ze známých hodnot funkcí. To lze provést pomocí převodní tabulky nebo kalkulačky.
- Příklad: cos x = 0,732. Kalkulačka dá odpověď x = 42,95 stupňů. Jednotková kružnice poskytne další úhly, jejichž kosinus je také roven 0,732.
Odložte roztok na jednotkovém kruhu.
- Řešení goniometrické rovnice můžete umístit na jednotkovou kružnici. Řešením goniometrické rovnice na jednotkové kružnici jsou vrcholy pravidelného mnohoúhelníku.
- Příklad: Řešení x = π/3 + πn/2 na jednotkové kružnici jsou vrcholy čtverce.
- Příklad: Řešení x = π/4 + πn/3 na jednotkové kružnici jsou vrcholy pravidelného šestiúhelníku.
Metody řešení goniometrických rovnic.
- Pokud daná goniometrická rovnice obsahuje pouze jednu goniometrická funkce, řešit tuto rovnici jako základní goniometrickou rovnici. Pokud daná rovnice obsahuje dvě nebo více goniometrických funkcí, pak existují 2 metody řešení takové rovnice (v závislosti na možnosti její transformace).
  - Metoda 1
- Převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kde f(x), g(x), h(x) jsou základní goniometrické rovnice.
- Příklad 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Řešení. Pomocí vzorce s dvojitým úhlem sin 2x = 2*sin x*cos x nahraďte sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos x = 0 a (sin x + 1) = 0.
- Příklad 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Řešení: Pomocí goniometrických identit převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2cos x + 1) = 0.
- Příklad 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Řešení: Pomocí goniometrických identit převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2sin x + 1) = 0.
  - Metoda 2
- Danou goniometrickou rovnici převeďte na rovnici obsahující pouze jednu goniometrickou funkci. Pak tuto goniometrickou funkci nahraďte nějakou neznámou, například t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t atd.).
- Příklad 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Řešení. V této rovnici nahraďte (cos^2 x) (1 - sin^2 x) (podle identity). Transformovaná rovnice vypadá takto:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x nahraďte t. Nyní rovnice vypadá takto: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Toto je kvadratická rovnice se dvěma kořeny: t1 = -1 a t2 = 9/5. Druhý kořen t2 nesplňuje rozsah funkce (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Příklad 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Řešení. Nahraďte tg x za t. Přepište původní rovnici takto: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Nyní najděte t a poté najděte x pro t = tg x.

Vyžaduje znalost základních vzorců trigonometrie - součet druhých mocnin sinu a kosinu, vyjádření tečny přes sinus a kosinus a další. Pro ty, kteří je zapomněli nebo je neznají, doporučujeme přečíst si článek "".
Základní trigonometrické vzorce tedy známe, je čas je uvést do praxe. Řešení goniometrických rovnic na správný přístup- docela vzrušující činnost, jako například luštění Rubikovy kostky.

Již ze samotného názvu je zřejmé, že goniometrická rovnice je rovnice, ve které je neznámá pod znaménkem goniometrické funkce.
Existují tzv. jednoduché goniometrické rovnice. Takto vypadají: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Zvážit, jak řešit takové goniometrické rovnice, pro názornost použijeme již známý trigonometrický kruh.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

postýlka x = a

Jakákoli goniometrická rovnice se řeší ve dvou fázích: rovnici přivedeme do nejjednoduššího tvaru a pak ji vyřešíme jako nejjednodušší goniometrickou rovnici.
Existuje 7 hlavních metod, kterými se goniometrické rovnice řeší.

Variabilní substituce a substituční metoda

Vyřešte rovnici 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Pomocí redukčních vzorců dostaneme:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Pro zjednodušení nahradíme cos(x + /6) y a získáme obvyklou kvadratickou rovnici:

2 roky 2 – 3 roky + 1 + 0

Kořeny, z nichž y 1 = 1, y 2 = 1/2

Nyní se vraťme zpět

Dosadíme nalezené hodnoty y a dostaneme dvě odpovědi:

Řešení goniometrických rovnic pomocí faktorizace

Jak vyřešit rovnici sin x + cos x = 1 ?

Posuňte vše doleva tak, aby 0 zůstala vpravo:

sin x + cos x - 1 = 0

Ke zjednodušení rovnice používáme výše uvedené identity:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Udělejme faktorizaci:

2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Dostáváme dvě rovnice

Redukce na homogenní rovnici

Rovnice je homogenní s ohledem na sinus a kosinus, pokud všechny její členy s ohledem na sinus a kosinus mají stejný stupeň stejného úhlu. Chcete-li vyřešit homogenní rovnici, postupujte takto:

a) převést všechny své členy na levou stranu;

b) vyškrtněte všechny společné faktory ze závorek;

c) přirovnat všechny faktory a závorky k 0;

d) v závorce je získána homogenní rovnice menšího stupně, která je naopak dělena sinem nebo kosinusem na vyšší stupeň;

e) řeš výslednou rovnici pro tg.

Vyřešte rovnici 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Pojďme použít formule hřích 2 x + cos 2 x = 1 a zbavte se otevřené dvojky vpravo:

3 sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Dělit podle cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Nahradíme tg x y a dostaneme kvadratickou rovnici:

y 2 + 4y +3 = 0, jehož kořeny jsou y 1 = 1, y 2 = 3

Odtud najdeme dvě řešení původní rovnice:

x 2 \u003d arctg 3 + k

Řešení rovnic, přechodem do polovičního úhlu

Vyřešte rovnici 3sin x - 5cos x = 7

Pojďme na x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Přesunutí všeho doleva:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Vydělit cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

Zavedení pomocného úhlu

Pro zvážení vezměme rovnici tvaru: a sin x + b cos x \u003d c,

kde a, b, c jsou nějaké libovolné koeficienty a x je neznámá.

Vydělte obě strany rovnice takto:

Nyní koeficienty rovnice podle trigonometrické vzorce mají vlastnosti sin a cos, a to: jejich modul není větší než 1 a součet čtverců = 1. Označme je postupně jako cos a sin, kde je tzv. pomocný úhel. Potom bude mít rovnice tvar:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

nebo sin(x + ) = C

Řešení této jednoduché goniometrické rovnice je

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, kde

Je třeba poznamenat, že označení cos a sin jsou zaměnitelná.

Vyřešte rovnici sin 3x - cos 3x = 1

V této rovnici jsou koeficienty:

a \u003d, b \u003d -1, takže obě části vydělíme \u003d 2

Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích.
Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých upozornění a zpráv.
Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

V případě, že je nutné - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace - zveřejnit Vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud rozhodneme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné účely veřejného zájmu.
V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.

Lekce a prezentace na téma: "Řešení nejjednodušších goniometrických rovnic"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, zpětnou vazbu, návrhy! Všechny materiály jsou kontrolovány antivirovým programem.

Manuály a simulátory v internetovém obchodě "Integral" pro stupeň 10 od 1C
Řešíme úlohy v geometrii. Interaktivní úlohy pro stavbu ve vesmíru
Softwarové prostředí "1C: Matematický konstruktor 6.1"

Co budeme studovat:
1. Co jsou goniometrické rovnice?

3. Dvě hlavní metody řešení goniometrických rovnic.
4. Homogenní goniometrické rovnice.
5. Příklady.

Co jsou goniometrické rovnice?

Kluci, už jsme studovali arkussinus, arkussinus, arktangens a arkotangens. Nyní se podíváme na goniometrické rovnice obecně.

Goniometrické rovnice– rovnice, ve které je proměnná obsažena pod znaménkem goniometrické funkce.

Zopakujeme formu řešení nejjednodušších goniometrických rovnic:

1) Jestliže |а|≤ 1, pak rovnice cos(x) = a má řešení:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jestliže |а|≤ 1, pak rovnice sin(x) = a má řešení:

3) Pokud |a| > 1, pak rovnice sin(x) = a a cos(x) = a nemají řešení 4) Rovnice tg(x)=a má řešení: x=arctg(a)+ πk

5) Rovnice ctg(x)=a má řešení: x=arcctg(a)+ πk

Pro všechny vzorce je k celé číslo

Nejjednodušší goniometrické rovnice mají tvar: Т(kx+m)=a, T- libovolná goniometrická funkce.

Příklad.

Řešte rovnice: a) sin(3x)= √3/2

Řešení:

A) Označme 3x=t, pak naši rovnici přepíšeme do tvaru:

Řešení této rovnice bude: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Z tabulky hodnot dostaneme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vraťme se k naší proměnné: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Potom x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odpověď: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kde n je celé číslo. (-1)^n - mínus jedna na mocninu n.

Další příklady goniometrických rovnic.

Řešte rovnice: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Řešení:

A) Tentokrát přejdeme rovnou k výpočtu kořenů rovnice:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Potom x/5= πk => x=5πk

Odpověď: x=5πk, kde k je celé číslo.

B) Píšeme ve tvaru: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Víme, že: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odpověď: x=2π/9 + πk/3, kde k je celé číslo.

Řešte rovnice: cos(4x)= √2/2. A najděte všechny kořeny v segmentu.

Řešení:

Rozhodneme se v obecný pohled naše rovnice: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Nyní se podívejme, jaké kořeny padají na náš segment. Pro k Pro k=0, x= π/16 jsme v daném segmentu .
Při k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 se trefili znovu.
Pro k=2 platí x= π/16+ π=17π/16, ale zde jsme se netrefili, což znamená, že nezasáhneme ani pro velké k.

Odpověď: x= π/16, x= 9π/16

Dvě hlavní metody řešení.

Zvažovali jsme nejjednodušší goniometrické rovnice, ale existují i složitější. K jejich řešení se používá metoda zavedení nové proměnné a metoda faktorizace. Podívejme se na příklady.

Pojďme řešit rovnici:

Řešení:
K vyřešení naší rovnice použijeme metodu zavedení nové proměnné, označované: t=tg(x).

V důsledku nahrazení dostaneme: t 2 + 2t -1 = 0

Pojďme najít kořeny kvadratická rovnice: t = -1 a t = 1/3

Pak tg(x)=-1 a tg(x)=1/3, dostali jsme nejjednodušší goniometrickou rovnici, pojďme najít její kořeny.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odpověď: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Příklad řešení rovnice

Řešte rovnice: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Řešení:

Použijme identitu: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naše rovnice zní: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Zaveďme náhradu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Řešením naší kvadratické rovnice jsou kořeny: t=2 a t=-1/2

Pak cos(x)=2 a cos(x)=-1/2.

Protože cosinus nemůže nabývat hodnot větších než jedna, pak cos(x)=2 nemá kořeny.

Pro cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odpověď: x= ±2π/3 + 2πk

Homogenní goniometrické rovnice.

Definice: Rovnice ve tvaru a sin(x)+b cos(x) se nazývá homogenní goniometrické rovnice prvního stupně.

Rovnice formuláře

homogenní goniometrické rovnice druhého stupně.

Abychom vyřešili homogenní goniometrickou rovnici prvního stupně, vydělíme ji cos(x): Není možné dělit kosinusem, pokud se rovná nule, přesvědčme se, že tomu tak není:
Nechť cos(x)=0, pak asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sinus a kosinus se nerovnají nule zároveň, dostali jsme rozpor, takže můžeme klidně dělit nulou.

Řešte rovnici:
Příklad: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Řešení:

Vyjměte společný faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Pak musíme vyřešit dvě rovnice:

cos(x)=0 a cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pro x= π/2 + πk;

Uvažujme rovnici cos(x)+sin(x)=0 Vydělte naši rovnici cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odpověď: x= π/2 + πk a x= -π/4+πk

Jak řešit homogenní goniometrické rovnice druhého stupně?
Kluci, vždy se držte těchto pravidel!

1. Podívejte se, čemu se rovná koeficient a, pokud a \u003d 0, pak naše rovnice bude mít tvar cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), příklad řešení je na předchozí skluzavka

2. Je-li a≠0, pak musíte obě části rovnice vydělit druhou mocninou kosinusu, dostaneme:

Provedeme změnu proměnné t=tg(x), dostaneme rovnici:

Vyřešte příklad č.:3

Řešte rovnici:
Řešení:

Vydělte obě strany rovnice kosinovou druhou mocninou:

Provedeme změnu proměnné t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Najděte kořeny kvadratické rovnice: t=-3 a t=1

Potom: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odpověď: x=-arctg(3) + πk a x= π/4+ πk

Vyřešte příklad č.:4

Řešte rovnici:

Řešení:
Změňme svůj výraz:

Můžeme řešit takové rovnice: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Odpověď: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Vyřešte příklad č.:5

Řešte rovnici:

Řešení:
Změňme svůj výraz:

Zavedeme náhradu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Řešením naší kvadratické rovnice budou kořeny: t=-2 a t=1/2

Pak dostaneme: tg(2x)=-2 a tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odpověď: x=-arctg(2)/2 + πk/2 a x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Úkoly pro samostatné řešení.

1) Řešte rovnici

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Řešte rovnice: sin(3x)= √3/2. A najděte všechny kořeny na segmentu [π/2; π].

3) Řešte rovnici: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Řešte rovnici: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Řešte rovnici: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Řešte rovnici: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.

Řešení goniometrických rovnic jakékoli úrovně složitosti nakonec vede k řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. A v tomto se opět ukazuje jako nejlepší pomocník trigonometrický kruh.

Připomeňte si definice kosinu a sinusu.

Kosinus úhlu je úsečka (tj. souřadnice podél osy) bodu na jednotkové kružnici odpovídající rotaci o daný úhel.

Sinus úhlu je ordináta (tj. souřadnice podél osy) bodu na jednotkové kružnici odpovídající rotaci o daný úhel.

Kladný směr pohybu po trigonometrické kružnici je považován za pohyb proti směru hodinových ručiček. Otočení o 0 stupňů (nebo 0 radiánů) odpovídá bodu se souřadnicemi (1; 0)

Tyto definice používáme k řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.

1. Řešte rovnici

Tato rovnice je splněna všemi takovými hodnotami úhlu natočení, které odpovídají bodům kruhu, jejichž pořadnice je rovna .

Označme bod pořadnicí na ose y:

Nakreslete vodorovnou čáru rovnoběžnou s osou x, dokud se neprotne s kružnicí. Dostaneme dva body ležící na kružnici a mající pořadnici. Tyto body odpovídají rotačním úhlům a radiánům:

Pokud po opuštění bodu odpovídajícímu úhlu natočení na radián obejdeme celý kruh, pak dojdeme k bodu odpovídajícímu úhlu natočení na radián a se stejnou pořadnicí. To znamená, že tento úhel natočení také splňuje naši rovnici. Můžeme udělat tolik "nečinných" zatáček, kolik chceme, vracet se do stejného bodu a všechny tyto hodnoty úhlu splní naši rovnici. Počet otáček "naprázdno" je označen písmenem (nebo). Protože tyto otáčky můžeme provádět v kladném i záporném směru, (nebo ) může nabývat libovolných celočíselných hodnot.

To znamená, že první řada řešení původní rovnice má tvar:

, , - sada celých čísel (1)

Podobně má druhá řada řešení tvar:

, Kde , . (2)

Jak jste uhodli, tato řada řešení je založena na bodu kružnice, který odpovídá úhlu natočení o .

Tyto dvě řady řešení lze spojit do jednoho záznamu:

Pokud vezmeme tento záznam (tedy sudý), dostaneme první řadu řešení.

Pokud vezmeme tento záznam (tedy lichý), dostaneme druhou řadu řešení.

2. Nyní vyřešme rovnici

Protože je úsečka bodu jednotkové kružnice získaná otočením o úhel, označíme na ose bod s úsečkou:

Nakreslete svislou čáru rovnoběžnou s osou, dokud se neprotne s kružnicí. Získáme dva body ležící na kruhu a mající úsečku. Tyto body odpovídají rotačním úhlům a radiánům. Připomeňme, že při pohybu ve směru hodinových ručiček získáme záporný úhel rotace:

Zapíšeme dvě řady řešení:

(Do správného bodu se dostaneme průchodem z hlavního plného kruhu, tzn.

Pojďme spojit tyto dvě série do jednoho příspěvku:

3. Řešte rovnici

Přímka tečen prochází bodem se souřadnicemi (1,0) jednotkové kružnice rovnoběžné s osou OY

Označte na něm bod s pořadnicí rovnou 1 (hledáme tečnu, jejíž úhly je 1):

Spojte tento bod s počátkem přímkou a označte průsečíky přímky s jednotkovou kružnicí. Průsečíky přímky a kružnice odpovídají úhlům natočení na a :

Protože body odpovídající úhlům natočení, které splňují naši rovnici, leží v radiánech od sebe, můžeme řešení zapsat následovně:

4. Řešte rovnici

Přímka kotangens prochází bodem se souřadnicemi jednotkové kružnice rovnoběžné s osou.

Na přímce kotangens označíme bod s úsečkou -1:

Připojte tento bod k počátku přímky a pokračujte v ní, dokud se neprotne s kružnicí. Tato čára bude protínat kružnici v bodech odpovídajících úhlům rotace a radiánům: