Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.
Shromažďování a používání osobních údajů
Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.
Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.
Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.
Jaké osobní údaje shromažďujeme:
- Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.
Jak používáme vaše osobní údaje:
- Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích.
- Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
- Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
- Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.
Zpřístupnění informací třetím stranám
Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.
Výjimky:
- V případě potřeby – v souladu se zákonem, soudním postupem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí vládních orgánů na území Ruské federace – zpřístupnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
- V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.
Ochrana osobních údajů
Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, stejně jako neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.
Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti
Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.
Obecné informace o přímém hranolu
Boční plocha hranolu (přesněji plocha boční plochy) se nazývá součet oblasti bočních ploch. Celková plocha hranolu se rovná součtu boční plochy a ploch podstav.
Věta 19.1. Boční povrch přímka hranolu je rovna součinu obvodu podstavy a výšky hranolu, tj. délce boční hrany.
Důkaz. Boční strany rovného hranolu jsou obdélníky. Základy těchto obdélníků jsou strany mnohoúhelníku ležící u základny hranolu a výšky se rovnají délce bočních hran. Z toho vyplývá, že boční plocha hranolu je rovna
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
kde a 1 a n jsou délky hran podstavy, p je obvod podstavy hranolu a I je délka bočních hran. Věta byla prokázána.
Praktický úkol
Problém (22) . V nakloněném hranolu se provádí sekce, kolmá na boční žebra a protínající vše boční žebra. Najděte boční plochu hranolu, pokud je obvod průřezu roven p a boční hrany jsou rovny l.
Řešení. Rovina taženého řezu rozděluje hranol na dvě části (obr. 411). Vystavme jeden z nich paralelnímu posunu, spojujícímu základny hranolu. V tomto případě získáme rovný hranol, jehož základna je průřez původního hranolu a boční hrany jsou rovné l. Tento hranol má stejnou boční plochu jako původní. Boční plocha původního hranolu je tedy rovna pl.
Shrnutí probraného tématu
Nyní se pokusíme shrnout téma, kterým jsme se o hranolech zabývali, a připomenout si, jaké vlastnosti hranol má.
Vlastnosti hranolu
Za prvé, hranol má všechny své základny jako stejné mnohoúhelníky;
Za druhé, hranol má vše své boční plochy jsou rovnoběžníky;
Za třetí, v tak mnohostranném obrazci, jako je hranol, jsou všechny boční okraje stejné;
Také je třeba mít na paměti, že mnohostěny, jako jsou hranoly, mohou být rovné nebo nakloněné.
Kterému hranolu se říká přímý hranol?
Pokud je boční hrana hranolu umístěna kolmo k rovině jeho základny, pak se takový hranol nazývá přímý.
Nebylo by zbytečné připomínat, že boční strany rovného hranolu jsou obdélníky.
Jaký typ hranolu se nazývá šikmý?
Pokud ale boční hrana hranolu není umístěna kolmo k rovině jeho podstavy, pak můžeme s jistotou říci, že jde o nakloněný hranol.
Který hranol se nazývá správný?
Leží-li pravidelný mnohoúhelník na základně přímého hranolu, pak je takový hranol pravidelný.
Nyní si připomeňme vlastnosti, které má pravidelný hranol.
Vlastnosti pravidelného hranolu
Za prvé, pravidelné mnohoúhelníky vždy slouží jako základny pravidelného hranolu;
Za druhé, vezmeme-li v úvahu boční plochy pravidelného hranolu, jsou to vždy stejné obdélníky;
Za třetí, pokud porovnáte velikosti bočních žeber, pak v pravidelném hranolu jsou vždy stejné.
Za čtvrté, správný hranol je vždy rovný;
Za páté, pokud v pravidelném hranolu mají boční plochy tvar čtverců, pak se takový obrazec obvykle nazývá polo pravidelný mnohoúhelník.
Příčný řez hranolem
Nyní se podívejme na průřez hranolem:
Domácí práce
Nyní se pokusme upevnit téma, které jsme se naučili, řešením problémů.
Nakreslíme nakloněný trojúhelníkový hranol, vzdálenost mezi jeho okraji bude rovna: 3 cm, 4 cm a 5 cm a boční plocha tohoto hranolu bude rovna 60 cm2. S těmito parametry najděte boční hranu tohoto hranolu.
Víte, že geometrické obrazce nás neustále obklopují nejen v hodinách geometrie, ale i v Každodenní život Existují objekty, které se podobají jedné nebo druhé geometrické postavě.
Každá domácnost, škola nebo práce má počítač, jehož systémová jednotka má tvar rovného hranolu.
Pokud vezmete do ruky jednoduchou tužku, uvidíte, že hlavní částí tužky je hranol.
Při procházce centrální ulicí města vidíme, že pod našima nohama leží dlaždice, která má tvar šestibokého hranolu.
A. V. Pogorelov, Geometrie pro ročníky 7-11, Učebnice pro vzdělávací instituce
Definice 1. Prizmatický povrch
Věta 1. O rovnoběžných řezech prizmatické plochy
Definice 2. Kolmý řez hranolovou plochou
Definice 3. Hranol
Definice 4. Výška hranolu
Definice 5. Pravý hranol
Věta 2. Plocha bočního povrchu hranolu
Rovnoběžné:
Definice 6. Rovnoběžník
Věta 3. O průsečíku úhlopříček rovnoběžnostěnu
Definice 7. Pravý rovnoběžnostěn
Definice 8. Obdélníkový rovnoběžnostěn
Definice 9. Měření kvádru
Definice 10. Kostka
Definice 11. Kosočtverec
Věta 4. O úhlopříčkách pravoúhlého rovnoběžnostěnu
Věta 5. Objem hranolu
Věta 6. Objem přímého hranolu
Věta 7. Objem pravoúhlého rovnoběžnostěnu
Hranol je mnohostěn, jehož dvě plochy (základny) leží v rovnoběžných rovinách a hrany, které v těchto plochách neleží, jsou vzájemně rovnoběžné.
Tváře jiné než základy se nazývají postranní.
Strany bočních ploch a základny se nazývají hranolová žebra, se nazývají konce hran vrcholy hranolu. Postranní žebra hrany, které nepatří k základnám, se nazývají. Spojení bočních ploch se nazývá boční povrch hranolu a spojení všech tváří se nazývá celý povrch hranolu. Výška hranolu nazývá se kolmice pokleslá z bodu horní základny do roviny spodní základny nebo délka této kolmice. 
Přímý hranol tzv. hranol, jehož boční žebra jsou kolmá k rovinám podstav. 
Opravit tzv. přímý hranol (obr. 3), na jehož základně leží pravidelný mnohoúhelník.
Označení:
l - boční žebro;
P - obvod základny;
S o - základní plocha;
H - výška;
P^ - obvod kolmého řezu;
S b - plocha bočního povrchu;
V - objem;
Sp je plocha celkového povrchu hranolu.
|
V=SH |
*Předpokládá se, že každé dvě následující roviny se protínají a že poslední rovina protíná první
Věta 1 . Řezy prizmatického povrchu rovinami navzájem rovnoběžnými (ale ne rovnoběžnými s jeho hranami) jsou stejné mnohoúhelníky.
Nechť ABCDE a A"B"C"D"E" jsou řezy hranolové plochy dvěma rovnoběžnými rovinami. Abychom se ujistili, že tyto dva polygony jsou stejné, stačí ukázat, že trojúhelníky ABC a A"B"C" jsou stejné a mají stejný směr otáčení a že totéž platí pro trojúhelníky ABD a A"B"D", ABE a A"B"E". Ale odpovídající strany těchto trojúhelníků jsou rovnoběžné (například AC je rovnoběžná s AC) jako čára průsečíku určité roviny se dvěma rovnoběžnými rovinami; z toho vyplývá, že tyto strany jsou si rovny (například AC se rovná A „C“) jako opačné strany rovnoběžník a že úhly svírané těmito stranami jsou stejné a mají stejný směr.
Definice 2 . Kolmý řez hranolovou plochou je řez touto plochou rovinou kolmou k jejím okrajům. Na základě předchozí věty budou všechny kolmé řezy stejné prizmatické plochy stejné polygony.
Definice 3
. Hranol je mnohostěn ohraničený hranolovou plochou a dvěma rovinami navzájem rovnoběžnými (ale ne rovnoběžnými s okraji hranolové plochy)
Tváře ležící v těchto posledních rovinách se nazývají hranolové základny; plochy patřící k hranolovému povrchu - boční plochy; okraje hranolové plochy - boční žebra hranolu. Na základě předchozí věty je základna hranolu stejné polygony. Všechny boční strany hranolu - rovnoběžníky; všechna boční žebra jsou si navzájem rovna.
Je zřejmé, že pokud je dána základna hranolu ABCDE a jedna z hran AA" ve velikosti a směru, pak je možné sestrojit hranol nakreslením hran BB", CC", ... stejných a rovnoběžných s hranou AA" .
Definice 4 . Výška hranolu je vzdálenost mezi rovinami jeho základen (HH“).
Definice 5
. Hranol se nazývá přímý, jestliže jeho základny jsou kolmé úseky hranolové plochy. V tomto případě je výška hranolu samozřejmě jeho boční žebro; boční hrany budou obdélníky.
Hranoly lze klasifikovat podle počtu bočních ploch, stejný počet strany mnohoúhelníku, který slouží jako jeho základna. Hranoly tedy mohou být trojúhelníkové, čtyřboké, pětiúhelníkové atd.
Věta 2
. Plocha bočního povrchu hranolu se rovná součinu boční hrany a obvodu kolmého řezu.
Nechť ABCDEA"B"C"D"E" je daný hranol a abcde jeho kolmý řez tak, aby segmenty ab, bc, .. byly kolmé k jeho bočním hranám. Plocha ABA"B" je rovnoběžník; jeho plocha se rovná součinu základny AA" do výšky, která se shoduje s ab; plocha plochy ВСВ "С" se rovná součinu základny ВВ" o výšku bc atd. V důsledku toho se boční plocha (tj. součet ploch bočních ploch) rovná součinu boční hrany, jinými slovy, celková délka segmentů AA", ВВ", .., pro množství ab+bc+cd+de+ea.
Ve školních osnovách pro kurz stereometrie začíná studium trojrozměrných obrazců obvykle jednoduchým geometrickým tělesem - mnohostěnem hranolu. Roli jeho základen plní 2 stejné polygony ležící v rovnoběžných rovinách. Zvláštním případem je pravidelný čtyřboký hranol. Jeho základnou jsou 2 stejné pravidelné čtyřúhelníky, k nimž jsou strany kolmé, mající tvar rovnoběžníků (nebo obdélníků, není-li hranol nakloněn).
Jak vypadá hranol?
Pravidelný čtyřboký hranol je šestiúhelník, jehož základny jsou 2 čtverce a boční plochy jsou znázorněny obdélníky. Jiný název pro toto geometrický obrazec- rovný rovnoběžnostěn.
Nákres znázorňující čtyřúhelníkový hranol je uveden níže.
Můžete také vidět na obrázku nejdůležitější prvky, které tvoří geometrické těleso. Tyto zahrnují:
Někdy se v geometrických úlohách můžete setkat s konceptem řezu. Definice bude znít takto: řezem jsou všechny body objemového tělesa patřící do roviny řezu. Řez může být kolmý (protíná okraje obrázku pod úhlem 90 stupňů). U pravoúhlého hranolu se uvažuje i s diagonálním řezem (maximálně lze sestrojit 2 řezy), procházející 2 hranami a úhlopříčkami podstavy.
Pokud je řez nakreslen tak, že rovina řezu není rovnoběžná ani se základnami, ani s bočními plochami, výsledkem je komolý hranol.
K nalezení redukovaných prizmatických prvků se používají různé vztahy a vzorce. Některé z nich jsou známy z kurzu planimetrie (například k nalezení oblasti základny hranolu stačí vyvolat vzorec pro plochu čtverce).
Plocha a objem
Chcete-li určit objem hranolu pomocí vzorce, musíte znát plochu jeho základny a výšku:
V = Sbas h
Protože základna pravidelného čtyřbokého hranolu je čtverec se stranou A, Vzorec můžete napsat v podrobnější podobě:
V = a²·h
Pokud mluvíme o krychli - pravidelném hranolu s stejnou délku, šířka a výška, objem se vypočítá takto:
Abyste pochopili, jak najít boční povrch hranolu, musíte si představit jeho vývoj.
Z výkresu je vidět, že boční plocha je tvořena 4 stejnými obdélníky. Jeho plocha se vypočítá jako součin obvodu základny a výšky postavy:
Sstrana = Posn h
S přihlédnutím k tomu, že obvod čtverce se rovná P = 4a, vzorec má tvar:
Sside = 4h
Pro kostku:
Strana strany = 4a²
Chcete-li vypočítat celkovou plochu hranolu, musíte k boční ploše přidat 2 základní plochy:
Plný = vedlejší + 2 hlavní
Ve vztahu ke čtvercovému pravidelnému hranolu vzorec vypadá takto:
Celkem = 4a h + 2a²
Pro povrchovou plochu krychle:
Plný = 6a²
Znáte-li objem nebo plochu povrchu, můžete vypočítat jednotlivé prvky geometrického tělesa.
Nalezení hranolových prvků
Často se vyskytují problémy, ve kterých je dán objem nebo je známa hodnota boční plochy, kde je nutné určit délku strany základny nebo výšku. V takových případech lze vzorce odvodit:
- délka základní strany: a = strana S/4h = √(V/h);
- výška nebo délka bočního žebra: h = S strana / 4a = V / a2;
- základní plocha: Sbas = V/h;
- oblast bočního obličeje: Boční gr = Sstrana / 4.
Chcete-li určit, jakou plochu má diagonální část, musíte znát délku úhlopříčky a výšku postavy. Pro čtverec d = a√2. Proto:
Sdiag = ah√2
Pro výpočet úhlopříčky hranolu použijte vzorec:
cena = √(2a² + h²)
Abyste pochopili, jak dané vztahy aplikovat, můžete si procvičit a vyřešit několik jednoduchých úloh.
Příklady problémů s řešením
Zde jsou některé úlohy ke státní závěrečné zkoušce z matematiky.
Cvičení 1.
Písek se nasype do krabice ve tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu. Výška jeho hladiny je 10 cm Jaká bude hladina písku, když jej přemístíte do nádoby stejného tvaru, ale s dvakrát delším podstavcem?
Mělo by být zdůvodněno následovně. Množství písku v první a druhé nádobě se nezměnilo, tj. jeho objem v nich je stejný. Délku základny můžete označit pomocí A. V tomto případě bude pro první krabici objem látky:
V1 = ha2 = 10a2
U druhé krabice je délka základny 2a, ale výška hladiny písku není známa:
V2 = h (2a)2 = 4 ha2
Protože V1 = V2, můžeme dát rovnítko mezi výrazy:
10a² = 4ha²
Po zmenšení obou stran rovnice o a² dostaneme:
V důsledku toho bude nová hladina písku h = 10/4 = 2,5 cm.
Úkol 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ je správný hranol. Je známo, že BD = AB₁ = 6√2. Najděte celkový povrch těla.
Abyste snáze pochopili, které prvky jsou známé, můžete nakreslit obrázek.
Protože mluvíme o pravidelném hranolu, můžeme usoudit, že na základně je čtverec s úhlopříčkou 6√2. Úhlopříčka boční plochy má stejnou velikost, proto má boční plocha také tvar čtverce rovného základně. Ukazuje se, že všechny tři rozměry – délka, šířka a výška – jsou stejné. Můžeme dojít k závěru, že ABCDA₁B₁C₁D₁ je krychle.
Délka libovolné hrany je určena pomocí známé úhlopříčky:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Celkový povrch se zjistí pomocí vzorce pro krychli:
Plný = 6a² = 6 6² = 216
Úkol 3.
Místnost je v rekonstrukci. Je známo, že jeho podlaha má tvar čtverce o ploše 9 m². Výška místnosti je 2,5 m. Jaké jsou nejnižší náklady na tapetování místnosti, pokud 1 m² stojí 50 rublů?
Protože podlaha a strop jsou čtverce, tedy pravidelné čtyřúhelníky a její stěny jsou kolmé k vodorovným plochám, můžeme usoudit, že jde o pravidelný hranol. Je nutné určit plochu jeho bočního povrchu.
Délka místnosti je a = √9 = 3 m
Plocha bude pokryta tapetami Strana = 4 3 2,5 = 30 m².
Nejnižší náklady na tapety pro tuto místnost budou 50,30 = 1500 rublů
K řešení úloh týkajících se pravoúhlého hranolu tedy stačí umět vypočítat plochu a obvod čtverce a obdélníku a také znát vzorce pro zjištění objemu a plochy povrchu.
Jak najít plochu krychle
Mnohostěn
Hlavním předmětem studia stereometrie jsou prostorová tělesa. Tělo představuje část prostoru ohraničenou určitou plochou.
Mnohostěn je těleso, jehož povrch se skládá z konečného počtu plochých mnohoúhelníků. Mnohostěn se nazývá konvexní, pokud je umístěn na jedné straně roviny každého rovinného mnohoúhelníku na jeho povrchu. Společná část takové roviny a plocha mnohostěnu se nazývá okraj. Plochy konvexního mnohostěnu jsou ploché konvexní mnohoúhelníky. Strany tváří se nazývají okraje mnohostěnu, a vrcholy jsou vrcholy mnohostěnu.
Například krychle se skládá ze šesti čtverců, které jsou jejími plochami. Obsahuje 12 hran (strany čtverců) a 8 vrcholů (horní části čtverců).
Nejjednoduššími mnohostěny jsou hranoly a jehlany, které budeme dále studovat.
Hranol
Definice a vlastnosti hranolu
Hranol je mnohostěn sestávající ze dvou plochých mnohoúhelníků ležících v rovnoběžných rovinách kombinovaných paralelním posunem a všech segmentů spojujících odpovídající body těchto mnohoúhelníků. Polygony se nazývají hranolové základny, a segmenty spojující odpovídající vrcholy polygonů jsou boční hrany hranolu.
Výška hranolu se nazývá vzdálenost mezi rovinami jejích základen (). Úsek spojující dva vrcholy hranolu, které nepatří ke stejné ploše, se nazývá hranolová úhlopříčka(). Hranol se nazývá n-uhlík, pokud jeho základna obsahuje n-úhelník.
Každý hranol má následující vlastnosti, které vyplývají ze skutečnosti, že základny hranolu jsou spojeny paralelním posunem:
1. Základny hranolu jsou stejné.
2. Boční okraje hranolu jsou rovnoběžné a stejné.
Povrch hranolu tvoří základny a boční povrch. Boční plochu hranolu tvoří rovnoběžníky (vyplývá to z vlastností hranolu). Plocha boční plochy hranolu je součtem ploch bočních ploch.
Přímý hranol
Hranol se nazývá rovný, jsou-li jeho boční hrany kolmé k podstavám. Jinak se nazývá hranol nakloněný.
Plochy pravého hranolu jsou obdélníky. Výška rovného hranolu se rovná jeho bočním plochám.
Plný hranolový povrch se nazývá součet plochy bočního povrchu a ploch základen.
Se správným hranolem nazývaný pravý hranol s pravidelným mnohoúhelníkem ve své základně.
Věta 13.1. Plocha boční plochy rovného hranolu se rovná součinu obvodu a výšky hranolu (nebo, která je stejná, boční hrany).
Důkaz. Boční strany pravého hranolu jsou obdélníky, jejichž základnami jsou strany mnohoúhelníků na základnách hranolu a výškami jsou boční hrany hranolu. Potom, podle definice, plocha bočního povrchu je:
,
kde je obvod podstavy přímého hranolu.
Rovnoběžné
Leží-li rovnoběžníky na základnách hranolu, pak se nazývá rovnoběžnostěn. Všechny strany kvádru jsou rovnoběžníky. V tomto případě jsou protilehlé strany rovnoběžnostěnu rovnoběžné a stejné.
Věta 13.2. Úhlopříčky rovnoběžnostěnu se protínají v jednom bodě a jsou rozděleny na polovinu průsečíkem.
Důkaz. Uvažujme například dvě libovolné úhlopříčky a . Protože strany rovnoběžnostěnu jsou rovnoběžníky, pak a , což znamená, že podle To jsou dvě přímky rovnoběžné s třetí. Navíc to znamená, že přímky a leží ve stejné rovině (rovině). Tato rovina protíná rovnoběžné roviny a podél rovnoběžných čar a . Čtyřúhelník je tedy rovnoběžník a vlastností rovnoběžníku se jeho úhlopříčky protínají a dělí na polovinu průsečíkem, což bylo potřeba dokázat.
Pravý rovnoběžnostěn, jehož základna je obdélník, se nazývá pravoúhlý rovnoběžnostěn. Všechny plochy pravoúhlého rovnoběžnostěnu jsou obdélníky. Délky nerovnoběžných hran pravoúhlého rovnoběžnostěnu se nazývají jeho lineární rozměry (kóty). Existují tři takové velikosti (šířka, výška, délka).
Věta 13.3. V pravoúhlém rovnoběžnostěnu se čtverec jakékoli úhlopříčky rovná součtu čtverců jeho tří rozměrů 
(prokázáno dvojitou aplikací pythagorejského T).
Nazývá se pravoúhlý rovnoběžnostěn se všemi hranami stejnými krychle.
Úkoly
13.1 Kolik má úhlopříček? n-uhlíkový hranol
13.2 V nakloněném trojúhelníkovém hranolu jsou vzdálenosti mezi bočními hranami 37, 13 a 40. Najděte vzdálenost mezi větší boční hranou a protilehlou boční hranou.
13.3Skrze stranu spodní základny správné trojboký hranol je nakreslena rovina protínající boční plochy podél segmentů, přičemž úhel mezi nimi je . Najděte úhel sklonu této roviny k základně hranolu.
