"Lekce Pythagorovy věty" - Pythagorova věta. Určete typ čtyřúhelníku KMNP. Zahřát se. Úvod do věty. Určete typ trojúhelníku: Plán lekce: Historická odbočka. Řešení jednoduchých problémů. A najděte žebřík dlouhý 125 stop. Vypočítejte výšku CF lichoběžníku ABCD. Důkaz. Zobrazení obrázků. Důkaz věty.

"Volume of a prism" - Pojem hranolu. přímý hranol. Objem původního hranolu je roven součinu S · h. Jak zjistit objem přímého hranolu? Hranol lze rozdělit na rovné trojboké hranoly o výšce h. Nakreslete výšku trojúhelníku ABC. Řešení problému. Cíle lekce. Základní kroky při dokazování věty o přímém hranolu? Studium věty o objemu hranolu.

"Prism polyhedra" - Definice mnohostěnu. DABC je čtyřstěn, konvexní mnohostěn. Použití hranolů. Kde se používají hranoly? ABCDMP je osmistěn složený z osmi trojúhelníků. ABCDA1B1C1D1 je rovnoběžnostěn, konvexní mnohostěn. Konvexní mnohostěn. Koncept mnohostěnu. Mnohostěn A1A2..AnB1B2..Bn je hranol.

"Prism class 10" - Hranol je mnohostěn, jehož plochy jsou v rovnoběžných rovinách. Použití hranolu v každodenním životě. Sside = Pbased. + h Pro přímý hranol: Sp.p = Pmain. h + 2Smain. Nakloněný. Opravit. Rovný. Hranol. Vzorce pro nalezení oblasti. Využití hranolu v architektuře. Sp.p \u003d strana S + na základě 2 S.

"Důkaz Pythagorovy věty" - Geometrický důkaz. Význam Pythagorovy věty. Pythagorova věta. Euklidův důkaz. "V pravoúhlém trojúhelníku se druhá mocnina přepony rovná součtu čtverců nohou." Důkazy věty. Význam věty spočívá v tom, že z ní nebo s její pomocí lze odvodit většinu vět o geometrii.

Obecné informace o přímém hranolu

Boční plocha hranolu (přesněji plocha boční plochy) se nazývá součet boční obličejové oblasti. Celková plocha hranolu se rovná součtu boční plochy a ploch podstav.

Věta 19.1. Boční povrch rovný hranol se rovná součinu obvodu základny a výšky hranolu, tj. délce boční hrany.

Důkaz. Boční plochy rovné hranoly jsou obdélníky. Základy těchto obdélníků jsou strany mnohoúhelníku ležící u základny hranolu a výšky se rovnají délce bočních hran. Z toho vyplývá, že boční plocha hranolu je rovna

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kde a 1 a n jsou délky žeber základny, p je obvod základny hranolu a I je délka bočních žeber. Věta byla prokázána.

Praktický úkol

úkol (22) . V nakloněném hranolu sekce, kolmo k bočním hranám a protínající všechny boční žebra. Najděte boční plochu hranolu, jestliže obvod řezu je p a boční hrany jsou l.

Řešení. Rovina nakresleného řezu rozděluje hranol na dvě části (obr. 411). Jednu z nich podrobme paralelnímu překladu, který kombinuje základny hranolu. V tomto případě získáme rovný hranol, ve kterém řez původního hranolu slouží jako základna a boční hrany jsou rovné l. Tento hranol má stejnou boční plochu jako původní. Boční plocha původního hranolu je tedy rovna pl.

Zobecnění tématu

A teď si s vámi zkusme shrnout téma hranolu a připomenout si, jaké vlastnosti hranol má.

Vlastnosti hranolu

Za prvé, pro hranol jsou všechny jeho základny stejné polygony;
Za druhé, u hranolu jsou všechny jeho boční plochy rovnoběžníky;
Za třetí, v tak mnohostranném obrazci, jako je hranol, jsou všechny boční hrany stejné;

Také je třeba mít na paměti, že mnohostěny, jako jsou hranoly, mohou být rovné a nakloněné.

Co je to přímý hranol?

Pokud je boční hrana hranolu kolmá k rovině jeho podstavy, pak se takový hranol nazývá přímka.

Nebude zbytečné připomínat, že boční plochy rovného hranolu jsou obdélníky.

Co je to šikmý hranol?

Pokud ale boční hrana hranolu není umístěna kolmo k rovině jeho základny, pak můžeme s jistotou říci, že se jedná o nakloněný hranol.

Jaký je správný hranol?

Leží-li na základně rovného hranolu pravidelný mnohoúhelník, pak je takový hranol správný.

Nyní si připomeňme vlastnosti, které má běžný hranol.

Vlastnosti pravidelného hranolu

Za prvé, vždy uzemňuje pravý hranol jsou pravidelné mnohoúhelníky;
Za druhé, vezmeme-li v úvahu boční plochy pravidelného hranolu, pak jsou to vždy stejné obdélníky;
Za třetí, pokud porovnáme velikosti bočních žeber, pak ve správném hranolu jsou vždy stejné.
Za čtvrté, pravidelný hranol je vždy rovný;
Za páté, pokud v pravidelném hranolu jsou boční plochy ve tvaru čtverců, pak se takový obrazec zpravidla nazývá polopravidelný mnohoúhelník.

Hranolová sekce

Nyní se podívejme na průřez hranolem:

Domácí práce

A nyní se pokusme upevnit probrané téma řešením problémů.

Narýsujme si nakloněný trojúhelníkový hranol, u kterého bude vzdálenost mezi jeho okraji: 3 cm, 4 cm a 5 cm a boční plocha tohoto hranolu bude rovna 60 cm2. S těmito parametry najděte boční hranu daného hranolu.

A ty to víš geometrické obrazce neustále nás obklopují nejen v hodinách geometrie, ale i v Každodenní život existují objekty, které připomínají jeden nebo jiný geometrický obrazec.

Každá domácnost, škola nebo práce má počítač, jehož systémová jednotka má podobu rovného hranolu.

Pokud vezmete do ruky jednoduchou tužku, uvidíte, že hlavní částí tužky je hranol.

Při chůzi po hlavní ulici města vidíme, že pod našima nohama leží dlaždice, která má tvar šestibokého hranolu.

A. V. Pogorelov, Geometrie pro ročníky 7-11, Učebnice pro vzdělávací instituce

Definice 1. Prizmatický povrch
Věta 1. O rovnoběžných řezech prizmatické plochy
Definice 2. Kolmý řez hranolovou plochou
Definice 3. Hranol
Definice 4. Výška hranolu
Definice 5. Přímý hranol
Věta 2. Plocha bočního povrchu hranolu

Rovnoběžník:
Definice 6. Rovnoběžník
Věta 3. O průsečíku úhlopříček rovnoběžnostěnu
Definice 7. Pravý rovnoběžnostěn
Definice 8. Obdélníkový rovnoběžnostěn
Definice 9. Rozměry kvádru
Definice 10. Kostka
Definice 11. Kosočtverec
Věta 4. O diagonálách kvádr
Věta 5. Objem hranolu
Věta 6. Objem přímého hranolu
Věta 7. Objem pravoúhlého rovnoběžnostěnu

hranol nazývá se mnohostěn, ve kterém dvě plochy (základny) leží v rovnoběžných rovinách a hrany, které v těchto plochách neleží, jsou vzájemně rovnoběžné.
Tváře jiné než základny se nazývají postranní.
Strany bočních ploch a základny se nazývají hrany hranolu, se nazývají konce hran vrcholy hranolu. Postranní žebra nazývané hrany, které nepatří k základnám. Spojení bočních ploch se nazývá boční povrch hranolu a spojení všech tváří se nazývá celý povrch hranolu. Výška hranolu nazývá se kolmice pokleslá z bodu horní základny do roviny spodní základny nebo délka této kolmice. rovný hranol tzv. hranol, ve kterém jsou boční hrany kolmé k rovinám podstav. opravit tzv. přímý hranol (obr. 3), na jehož základně leží pravidelný mnohoúhelník.

Označení:
l - boční žebro;
P - obvod základny;
S o - základní plocha;
H - výška;
P ^ - obvod kolmého řezu;
S b - plocha bočního povrchu;
V - objem;
S p - plocha celoplošný hranoly.

V=SH S p \u003d Sb + 2S o Sb = P^l

Definice 1 . Prizmatická plocha je obrazec tvořený částmi několika rovin rovnoběžných s jednou přímkou ​​ohraničených těmi přímkami, podél kterých se tyto roviny postupně protínají jedna s druhou *; tyto čáry jsou navzájem rovnoběžné a nazývají se okraje hranolové plochy.
*Předpokládá se, že každé dvě po sobě jdoucí roviny se protínají a že poslední rovina protíná první.

Věta 1 . Řezy prizmatického povrchu rovinami navzájem rovnoběžnými (ale ne rovnoběžnými s jeho hranami) jsou stejné mnohoúhelníky.
Nechť ABCDE a A"B"C"D"E" jsou řezy hranolové plochy dvěma rovnoběžnými rovinami. K ověření, že jsou tyto dva mnohoúhelníky stejné, stačí ukázat, že trojúhelníky ABC a A"B"C" jsou stejné. a mají stejný směr otáčení a že totéž platí pro trojúhelníky ABD a A"B"D", ABE a A"B"E". Ale odpovídající strany těchto trojúhelníků jsou rovnoběžné (například AC je rovnoběžné s A "C") jako čáry průsečíku určité roviny se dvěma rovnoběžnými rovinami; z toho vyplývá, že tyto strany jsou si rovny (např. AC se rovná A"C") jako opačné strany rovnoběžník a že úhly svírané těmito stranami jsou stejné a mají stejný směr.

Definice 2 . Kolmý řez hranolovou plochou je řez touto plochou rovinou kolmou k jejím okrajům. Na základě předchozí věty budou všechny kolmé řezy stejné prizmatické plochy stejné polygony.

Definice 3 . Hranol je mnohostěn ohraničený hranolovou plochou a dvěma rovinami navzájem rovnoběžnými (ale ne rovnoběžnými s okraji hranolové plochy)
Tváře ležící v těchto posledních rovinách se nazývají hranolové základny; tváře patřící k prizmatickému povrchu - boční plochy; okraje hranolové plochy - boční hrany hranolu. Na základě předchozí věty jsou základny hranolu stejné polygony. Všechny boční plochy hranolu rovnoběžníky; všechny boční hrany jsou si navzájem rovné.
Je zřejmé, že pokud je velikost a směr dána základna hranolu ABCDE a jedna z hran AA", pak je možné hranol sestrojit nakreslením hran BB", CC", .. rovných a rovnoběžných s okraj AA“.

Definice 4 . Výška hranolu je vzdálenost mezi rovinami jeho základen (HH“).

Definice 5 . Hranol se nazývá přímka, pokud jsou jeho základny kolmé řezy hranolové plochy. V tomto případě je výška hranolu samozřejmě jeho boční žebro; boční hrany budou obdélníky.
Hranoly lze klasifikovat podle počtu bočních ploch, stejný počet strany mnohoúhelníku, který slouží jako jeho základna. Hranoly tedy mohou být trojúhelníkové, čtyřboké, pětiúhelníkové atd.

Věta 2 . Plocha bočního povrchu hranolu se rovná součinu boční hrany a obvodu kolmého řezu.
Nechť ABCDEA"B"C"D"E" je daný hranol a abcde je jeho kolmý řez, takže úsečky ab, bc, .. jsou kolmé k jeho bočním hranám. Plocha ABA"B" je rovnoběžník; jeho plocha se rovná součinu základny AA" do výšky, která odpovídá ab; plocha čela BCV "C" se rovná součinu základny BB" o výšku bc atd. Proto je boční plocha (tj. součet ploch bočních ploch) rovná součinu boční hrany, jinými slovy, celkové délce segmentů AA", BB", .., součtem ab+bc+cd+de+ea.

Různé hranoly se od sebe liší. Přitom mají hodně společného. Chcete-li najít oblast základny hranolu, musíte zjistit, jak vypadá.

Obecná teorie

Hranol je jakýkoli mnohostěn, jehož strany mají tvar rovnoběžníku. Kromě toho může být na své základně jakýkoli mnohostěn - od trojúhelníku po n-úhelník. Navíc jsou základny hranolu vždy stejné. Co neplatí pro boční plochy - mohou se výrazně lišit ve velikosti.

Při řešení problémů se setkáváme nejen s oblastí základny hranolu. Může být nutné znát boční plochu, to znamená všechny plochy, které nejsou základny. Celá plocha již bude spojením všech tváří, které tvoří hranol.

Někdy se v úkolech objevují výšky. Je kolmá k základnám. Úhlopříčka mnohostěnu je segment, který v párech spojuje libovolné dva vrcholy, které nepatří do stejné plochy.

Je třeba poznamenat, že plocha základny rovného nebo šikmého hranolu nezávisí na úhlu mezi nimi a bočními plochami. Pokud mají stejné postavy v horní a dolní části, budou jejich plochy stejné.

trojboký hranol

Na základně má postavu se třemi vrcholy, tedy trojúhelník. Je známo, že je to jinak. Pokud pak stačí připomenout, že jeho plocha je určena polovičním součinem nohou.

Matematický zápis vypadá takto: S = ½ prům.

Chcete-li najít oblast základny v obecný pohled, jsou užitečné vzorce: Volavka a ten, ve kterém je polovina strany vzata do výšky k ní přikreslené.

První vzorec by měl být napsán takto: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Tento záznam obsahuje semi-obvod (p), tedy součet tří stran dělený dvěma.

Za druhé: S = ½ n a * a.

Pokud chcete znát oblast základny trojúhelníkového hranolu, která je pravidelná, pak se trojúhelník ukáže jako rovnostranný. Má svůj vlastní vzorec: S = ¼ a 2 * √3.

čtyřboký hranol

Jeho základna je některý ze známých čtyřúhelníků. Může to být obdélník nebo čtverec, rovnoběžnostěn nebo kosočtverec. V každém případě, abyste mohli vypočítat plochu základny hranolu, budete potřebovat svůj vlastní vzorec.

Je-li základnou obdélník, pak se jeho obsah určí následovně: S = av, kde a, b jsou strany obdélníku.

Pokud jde o čtyřúhelníkový hranol, základní plocha pravidelného hranolu se vypočítá pomocí vzorce pro čtverec. Protože je to on, kdo leží na základně. S \u003d a 2.

V případě, že je základna rovnoběžnostěn, bude zapotřebí následující rovnost: S \u003d a * n a. Stává se, že je dána strana rovnoběžnostěnu a jeden z úhlů. Poté, abyste vypočítali výšku, musíte použít doplňkový vzorec: n a \u003d b * sin A. Navíc úhel A sousedí se stranou "b" a výška n a protilehlá k tomuto rohu.

Leží-li na základně hranolu kosočtverec, pak k určení jeho plochy bude potřeba stejný vzorec jako u rovnoběžníku (jelikož se jedná o jeho speciální případ). Ale můžete také použít toto: S = ½ d 1 d 2. Zde d 1 a d 2 jsou dvě úhlopříčky kosočtverce.

Pravidelný pětiboký hranol

V tomto případě jde o rozdělení mnohoúhelníku na trojúhelníky, jejichž oblasti lze snadněji zjistit. I když se stává, že obrazce mohou být s různým počtem vrcholů.

Jelikož základna hranolu je pravidelný pětiúhelník, pak jej lze rozdělit na pět rovnostranných trojúhelníků. Pak se plocha základny hranolu rovná ploše jednoho takového trojúhelníku (vzorec je vidět výše), vynásobené pěti.

Pravidelný šestihranný hranol

Podle principu popsaného pro pětiboký hranol je možné rozdělit základní šestiúhelník na 6 rovnostranných trojúhelníků. Vzorec pro oblast základny takového hranolu je podobný předchozímu. Pouze v něm by mělo být vynásobeno šesti.

Vzorec bude vypadat takto: S = 3/2 a 2 * √3.

Úkoly

č. 1. Je dána pravidelná přímka. Její úhlopříčka je 22 cm, výška mnohostěnu je 14 cm. Vypočítejte plochu základny hranolu a celého povrchu.

Řešení. Základna hranolu je čtverec, ale jeho strana není známa. Jeho hodnotu zjistíte z úhlopříčky čtverce (x), která souvisí s úhlopříčkou hranolu (d) a jeho výškou (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Na druhé straně, tento segment "x" je přepona v trojúhelníku, jehož nohy se rovnají straně čtverce. To znamená, x 2 \u003d a 2 + a 2. Ukazuje se tedy, že a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Nahraďte číslo 22 místo d a nahraďte „n“ jeho hodnotou - 14, ukázalo se, že strana čtverce je 12 cm. Nyní je snadné zjistit základní plochu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Chcete-li zjistit plochu celého povrchu, musíte přidat dvojnásobek hodnoty základní plochy a zčtyřnásobit stranu. Ten lze snadno najít podle vzorce pro obdélník: vynásobte výšku mnohostěnu a stranu základny. To znamená, že 14 a 12, toto číslo se bude rovnat 168 cm2. Celková plocha hranolu je 960 cm 2 .

Odpovědět. Základní plocha hranolu je 144 cm2. Celá plocha - 960 cm 2 .

č. 2. Dana Na základně leží trojúhelník o straně 6 cm V tomto případě je úhlopříčka boční plochy 10 cm Vypočítejte plochy: základna a boční plocha.

Řešení. Protože je hranol pravidelný, jeho základna je rovnostranný trojúhelník. Jeho plocha se tedy rovná 6 čtvercům krát ¼ a druhé odmocnině ze 3. Jednoduchý výpočet vede k výsledku: 9√3 cm 2. Toto je plocha jedné základny hranolu.

Všechny boční plochy jsou stejné a jsou to obdélníky o stranách 6 a 10 cm, pro výpočet jejich ploch stačí tato čísla vynásobit. Pak je vynásobte třemi, protože hranol má přesně tolik bočních ploch. Poté se plocha boční plochy navine 180 cm 2 .

Odpovědět. Plochy: základna - 9√3 cm 2, boční plocha hranolu - 180 cm 2.

Definice.

Toto je šestiúhelník, jehož základy jsou dva stejné čtverce a boční plochy jsou stejné obdélníky.

Boční žebro je společná strana dvou sousedních bočních ploch

Výška hranolu je úsečka kolmá k základnám hranolu

Diagonální hranol- segment spojující dva vrcholy základen, které nepatří ke stejné ploše

Diagonální rovina- rovina, která prochází úhlopříčkou hranolu a jeho bočními okraji

Diagonální řez- hranice průsečíku hranolu a diagonální roviny. Diagonální řez pravidelného čtyřbokého hranolu je obdélník

Kolmý řez (ortogonální řez)- jedná se o průsečík hranolu a roviny nakreslené kolmo na jeho boční hrany

Prvky pravidelného čtyřbokého hranolu

Obrázek ukazuje dva pravidelné čtyřboké hranoly, které jsou označeny odpovídajícími písmeny:

• Báze ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 jsou stejné a vzájemně rovnoběžné
• Boční plochy AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C a CC 1 D 1 D, z nichž každá je obdélník
• Boční plocha - součet ploch všech bočních ploch hranolu
• Celková plocha - součet ploch všech základen a bočních ploch (součet plochy boční plochy a základen)
• Boční žebra AA 1 , BB 1 , CC 1 a DD 1 .
• Úhlopříčka B1D
• Základní úhlopříčka BD
• Diagonální řez BB 1 D 1 D
• Kolmý řez A 2 B 2 C 2 D 2 .

Vlastnosti pravidelného čtyřbokého hranolu

• Základem jsou dva stejné čtverce
• Základny jsou vzájemně rovnoběžné
• Strany jsou obdélníky.
• Boční plochy jsou si navzájem rovné
• Boční plochy jsou kolmé k základnám
• Boční žebra jsou vzájemně rovnoběžná a rovná
• Kolmý řez kolmý na všechna boční žebra a rovnoběžný se základnami
• Úhly kolmého řezu - vpravo
• Diagonální řez pravidelného čtyřbokého hranolu je obdélník
• Kolmý (pravoúhlý řez) rovnoběžný se základnami

Vzorce pro pravidelný čtyřboký hranol

Pokyny pro řešení problémů

Při řešení problémů na téma " pravidelný čtyřboký hranol“ znamená, že:

Správný hranol- hranol, na jehož základně leží pravidelný mnohoúhelník a boční hrany jsou kolmé k rovinám základny. To znamená, že pravidelný čtyřboký hranol obsahuje ve své základně náměstí. (viz výše vlastnosti pravidelného čtyřbokého hranolu) Poznámka. Toto je část lekce s úlohami z geometrie (část tělesová geometrie - hranol). Zde jsou úkoly, které způsobují potíže při řešení. Pokud potřebujete vyřešit problém v geometrii, který zde není - napište o něm do fóra. Označení akce extrakce odmocnina symbol se používá při řešení problémů√ .

Úkol.

V pravidelném čtyřbokém hranolu je plocha základny 144 cm 2 a výška 14 cm Najděte úhlopříčku hranolu a celkovou plochu povrchu.

Řešení.
Pravidelný čtyřúhelník je čtverec.
V souladu s tím bude strana základny rovna

√144 = 12 cm.
Odkud bude úhlopříčka podstavy pravidelného pravoúhlého hranolu rovna
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Úhlopříčka pravidelného hranolu se tvoří s úhlopříčkou podstavy a výškou hranolu pravoúhlý trojuhelník. Podle Pythagorovy věty se tedy úhlopříčka daného pravidelného čtyřbokého hranolu bude rovnat:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odpovědět: 22 cm

Úkol

Najděte celkovou plochu pravidelného čtyřbokého hranolu, pokud je jeho úhlopříčka 5 cm a úhlopříčka boční plochy je 4 cm.

Řešení.
Protože základna pravidelného čtyřbokého hranolu je čtverec, pak stranu základny (označenou jako a) najdeme podle Pythagorovy věty:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Výška boční plochy (označená jako h) se pak bude rovnat:

H2 + 12,5 \u003d 4 2
h2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3,5

Celková plocha povrchu se bude rovnat součtu plochy bočního povrchu a dvojnásobku základní plochy

S = 2a2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odpověď: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.