Různé hranoly se od sebe liší. Přitom mají hodně společného. Chcete-li najít oblast základny hranolu, musíte zjistit, jak vypadá.

Obecná teorie

Hranol je jakýkoli mnohostěn, jehož strany mají tvar rovnoběžníku. Kromě toho může být na své základně jakýkoli mnohostěn - od trojúhelníku po n-úhelník. Navíc jsou základny hranolu vždy stejné navzájem. Co neplatí pro boční plochy - mohou se výrazně lišit ve velikosti.

Při řešení problémů se setkáváme nejen s oblastí základny hranolu. Může být nutné znát boční plochu, to znamená všechny plochy, které nejsou základny. Celá plocha již bude spojením všech tváří, které tvoří hranol.

Někdy se v úkolech objevují výšky. Je kolmá k základnám. Úhlopříčka mnohostěnu je segment, který v párech spojuje libovolné dva vrcholy, které nepatří do stejné plochy.

Je třeba poznamenat, že plocha základny rovného nebo šikmého hranolu nezávisí na úhlu mezi nimi a bočními plochami. Pokud mají stejné postavy v horní a dolní části, budou jejich plochy stejné.

trojboký hranol

Na základně má postavu se třemi vrcholy, tedy trojúhelník. Je známo, že je to jinak. Pokud pak stačí připomenout, že jeho plocha je určena polovičním součinem nohou.

Matematický zápis vypadá takto: S = ½ prům.

Chcete-li najít oblast základny v obecný pohled, jsou užitečné vzorce: Volavka a ten, ve kterém je polovina strany vzata do výšky k ní přikreslené.

První vzorec by měl být napsán takto: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Tento záznam obsahuje semi-obvod (p), tedy součet tří stran dělený dvěma.

Za druhé: S = ½ n a * a.

Pokud chcete znát oblast základny trojboký hranol, což je správně, pak je trojúhelník rovnostranný. Má svůj vlastní vzorec: S = ¼ a 2 * √3.

čtyřboký hranol

Jeho základna je některý ze známých čtyřúhelníků. Může to být obdélník nebo čtverec, rovnoběžnostěn nebo kosočtverec. V každém případě, abyste mohli vypočítat plochu základny hranolu, budete potřebovat svůj vlastní vzorec.

Je-li základnou obdélník, pak se jeho obsah určí následovně: S = av, kde a, b jsou strany obdélníku.

Pokud jde o čtyřúhelníkový hranol, základní plocha pravidelného hranolu se vypočítá pomocí vzorce pro čtverec. Protože je to on, kdo leží na základně. S \u003d a 2.

V případě, že je základna rovnoběžnostěn, bude zapotřebí následující rovnost: S \u003d a * n a. Stává se, že je dána strana rovnoběžnostěnu a jeden z úhlů. Poté, abyste vypočítali výšku, musíte použít doplňkový vzorec: n a \u003d b * sin A. Navíc úhel A sousedí se stranou "b" a výška n a protilehlá k tomuto rohu.

Leží-li na základně hranolu kosočtverec, pak k určení jeho plochy bude potřeba stejný vzorec jako u rovnoběžníku (jelikož se jedná o jeho speciální případ). Ale můžete také použít toto: S = ½ d 1 d 2. Zde d 1 a d 2 jsou dvě úhlopříčky kosočtverce.

Pravidelný pětiboký hranol

V tomto případě jde o rozdělení mnohoúhelníku na trojúhelníky, jejichž oblasti lze snadněji zjistit. I když se stává, že obrazce mohou být s různým počtem vrcholů.

Jelikož základna hranolu je pravidelný pětiúhelník, pak jej lze rozdělit na pět rovnostranných trojúhelníků. Pak se plocha základny hranolu rovná ploše jednoho takového trojúhelníku (vzorec je vidět výše), vynásobené pěti.

Pravidelný šestihranný hranol

Podle principu popsaného pro pětiboký hranol je možné rozdělit základní šestiúhelník na 6 rovnostranných trojúhelníků. Vzorec pro oblast základny takového hranolu je podobný předchozímu. Pouze v něm by mělo být vynásobeno šesti.

Vzorec bude vypadat takto: S = 3/2 a 2 * √3.

Úkoly

č. 1. Je dána pravidelná přímka. Její úhlopříčka je 22 cm, výška mnohostěnu je 14 cm. Vypočítejte plochu základny hranolu a celého povrchu.

Řešení. Základna hranolu je čtverec, ale jeho strana není známa. Jeho hodnotu zjistíte z úhlopříčky čtverce (x), která souvisí s úhlopříčkou hranolu (d) a jeho výškou (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Na druhé straně, tento segment "x" je přepona v trojúhelníku, jehož nohy se rovnají straně čtverce. To znamená, x 2 \u003d a 2 + a 2. Ukazuje se tedy, že a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Nahraďte číslo 22 místo d a nahraďte „n“ jeho hodnotou - 14, ukázalo se, že strana čtverce je 12 cm. Nyní je snadné zjistit základní plochu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Chcete-li zjistit plochu celého povrchu, musíte přidat dvojnásobek hodnoty základní plochy a zčtyřnásobit stranu. Ten lze snadno najít podle vzorce pro obdélník: vynásobte výšku mnohostěnu a stranu základny. To znamená, že 14 a 12, toto číslo se bude rovnat 168 cm2. Celková plocha hranolu je 960 cm 2 .

Odpovědět. Základní plocha hranolu je 144 cm2. Celá plocha - 960 cm 2 .

č. 2. Dana Na základně leží trojúhelník o straně 6 cm V tomto případě je úhlopříčka boční plochy 10 cm Vypočítejte plochy: základna a boční plocha.

Řešení. Protože je hranol pravidelný, jeho základna je rovnostranný trojúhelník. Jeho plocha se tedy rovná 6 čtvercům krát ¼ a druhé odmocnině ze 3. Jednoduchý výpočet vede k výsledku: 9√3 cm 2. Toto je plocha jedné základny hranolu.

Všechny boční plochy jsou stejné a jsou to obdélníky o stranách 6 a 10 cm, pro výpočet jejich ploch stačí tato čísla vynásobit. Pak je vynásobte třemi, protože hranol má přesně tolik bočních ploch. Poté se plocha boční plochy navine 180 cm 2 .

Odpovědět. Plochy: základna - 9√3 cm 2, boční plocha hranolu - 180 cm 2.

Objem hranolu. Řešení problému

Geometrie je nejmocnějším nástrojem pro zdokonalování našich duševních schopností a umožňuje nám správně myslet a uvažovat.

G. Galileo

Účel lekce:

• naučit řešit úlohy pro výpočet objemu hranolů, zobecnit a systematizovat informace, které studenti mají o hranolu a jeho prvcích, vytvořit schopnost řešit problémy se zvýšenou složitostí;
• rozvíjet logické myšlení, schopnost samostatné práce, dovednosti vzájemné kontroly a sebekontroly, schopnost mluvit a naslouchat;
• vypěstovat si návyk stálého zaměstnání, nějaký užitečný skutek, výchovu k vnímavosti, píli, přesnosti.

Typ hodiny: hodina aplikace znalostí, dovedností a schopností.

Vybavení: ovládací karty, media projektor, prezentace „Lekce. Prism volume“, počítače.

Během vyučování

• Boční žebra hranolu (obr. 2).
• Boční plocha hranolu (obrázek 2, obrázek 5).
• Výška hranolu (obrázek 3, obrázek 4).
• Přímý hranol (obr. 2,3,4).
• Šikmý hranol (obrázek 5).
• Správný hranol (obr. 2, obr. 3).
• Diagonální řez hranolem (obr. 2).
• Úhlopříčka hranolu (obrázek 2).
• Kolmý řez hranolem (pi3, obr.4).
• Oblast bočního povrchu hranolu.
• Náměstí celoplošný hranoly.
• Objem hranolu.

1. ZKONTROLUJTE DOMÁCÍ ÚKOL (8 min)

Vyměňte sešity, zkontrolujte řešení na snímcích a označte značku (označte 10, pokud je úkol složený)

Nakreslete problém a vyřešte jej. Žák obhajuje u tabule úlohu, kterou sestavil. Obrázek 6 a obrázek 7.





Kapitola 2, §3
Úkol.2. Délky všech hran pravidelného trojúhelníkového hranolu jsou si navzájem rovné. Vypočítejte objem hranolu, je-li jeho povrch cm 2 (obr. 8)



Kapitola 2, §3
Úloha 5. Podstava přímého hranolu ABCA 1B 1C1 je pravoúhlý trojuhelník ABC (úhel ABC=90°), AB=4cm. Vypočítejte objem hranolu, je-li poloměr opsaného trojúhelníku ABC 2,5 cm a výška hranolu 10 cm. (Obrázek 9).



Kapitola 2, § 3
Úloha 29. Délka strany podstavy pravidelného čtyřbokého hranolu je 3 cm. Úhlopříčka hranolu svírá s rovinou bočního čela úhel 30°. Vypočítejte objem hranolu (obrázek 10).



2. Spolupráce učitelé se třídou (2-3 min.).

Účel: shrnout výsledky teoretické rozcvičky (žáci si vzájemně odpisují známky), naučit se řešit problémy k tématu.

3. FYZICKÁ MINUTA (3 min)
4. ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ (10 min)

Na tuto fázi učitel organizuje frontální práci na opakování metod řešení planimetrických úloh, planimetrických vzorců. Třída je rozdělena na dvě skupiny, někteří řeší problémy, jiní pracují u počítače. Pak se změní. Studenti jsou vyzváni k řešení všech č. 8 (ústně), č. 9 (ústně). Poté se rozdělí do skupin a přestoupí k řešení úloh č. 14, č. 30, č. 32.

Kapitola 2, §3, strana 66-67

Úloha 8. Všechny hrany pravidelného trojúhelníkového hranolu jsou si navzájem rovny. Najděte objem hranolu, jestliže plocha průřezu roviny procházející okrajem spodní podstavy a středem strany horní podstavy je cm (obr. 11).



Kapitola 2, §3, strana 66-67
Úloha 9. Základna rovného hranolu je čtverec a jeho boční hrany jsou dvojnásobkem strany podstavy. Vypočítejte objem hranolu, je-li poloměr kružnice opsané řezu hranolu rovinou procházející stranou podstavy a středem protilehlé boční žebro, rovnající se cm (obr. 12)



Kapitola 2, §3, strana 66-67
Úkol 14.Základem rovného hranolu je kosočtverec, jehož jedna úhlopříčka se rovná jeho straně. Vypočítejte obvod řezu rovinou procházející velkou úhlopříčkou spodní podstavy, je-li objem hranolu stejný a všechny boční plochy čtvercové (obr. 13).



Kapitola 2, §3, strana 66-67
Problém 30.ABCA 1 B 1 C 1 je pravidelný trojboký hranol, jehož všechny hrany jsou si navzájem rovny, bod asi uprostřed hrany BB 1. Vypočítejte poloměr kružnice vepsané do řezu hranolem rovinou AOS, je-li objem hranolu roven (obr. 14).



Kapitola 2, §3, strana 66-67
Problém 32.U pravidelného čtyřbokého hranolu se součet ploch základen rovná ploše bočního povrchu. Vypočítejte objem hranolu, je-li průměr kružnice opsané v blízkosti řezu hranolu rovinou procházející dvěma vrcholy spodní podstavy a protilehlým vrcholem horní podstavy 6 cm (obr. 15).



Při řešení problémů studenti porovnávají své odpovědi s těmi, které ukázal učitel. Toto je ukázkové řešení problému s podrobnými komentáři ... Individuální práce učitelé se „silnými“ studenty (10 min.).

5. Samostatná práce studenti na testu u počítače

1. Strana základny pravidelného trojúhelníkového hranolu je , a výška je 5. Najděte objem hranolu.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Vyberte správné tvrzení.

1) Objem pravého hranolu, jehož podstavou je pravoúhlý trojúhelník, se rovná součinu plochy podstavy a výšky.

2) Objem pravidelného trojúhelníkového hranolu se vypočítá podle vzorce V \u003d 0,25a 2 h - kde a je strana základny, h je výška hranolu.

3) Objem rovného hranolu se rovná polovině součinu plochy základny a výšky.

4) Objem pravidelného čtyřbokého hranolu se vypočítá podle vzorce V \u003d a 2 h-kde a je strana základny, h je výška hranolu.

5) Objem pravidelného šestibokého hranolu se vypočítá podle vzorce V \u003d 1,5a 2 h, kde a je strana základny, h je výška hranolu.

3. Strana podstavy pravidelného trojúhelníkového hranolu je rovna. Bokem spodní základny a protilehlým vrcholem horní základny je nakreslena rovina, která prochází k základně pod úhlem 45°. Najděte objem hranolu.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Základem rovného hranolu je kosočtverec, jehož strana je 13 a jedna z úhlopříček je 24. Najděte objem hranolu, pokud je úhlopříčka boční plochy 14.

Ve fyzice se ke studiu spektra často používá trojúhelníkový hranol vyrobený ze skla bílé světlo, protože je schopen ji rozložit na samostatné složky. V tomto článku budeme zvažovat objemový vzorec

Co je to trojúhelníkový hranol?

Před zadáním objemového vzorce zvažte vlastnosti tohoto obrázku.

Abyste toho dosáhli, musíte vzít trojúhelník libovolného tvaru a posunout jej rovnoběžně k sobě na určitou vzdálenost. Vrcholy trojúhelníku v počáteční a konečné poloze by měly být spojeny přímými segmenty. Výsledný trojrozměrný obrazec se nazývá trojúhelníkový hranol. Má pět stran. Dvě z nich se nazývají základny: jsou rovnoběžné a navzájem si rovné. Podstavy uvažovaného hranolu jsou trojúhelníky. Zbývající tři strany jsou rovnoběžníky.

Uvažovaný hranol se kromě stran vyznačuje šesti vrcholy (tři pro každou podstavu) a devíti hranami (6 hran leží v rovinách podstav a 3 hrany jsou tvořeny průsečíkem stran). Pokud jsou boční hrany kolmé k základnám, pak se takový hranol nazývá obdélníkový.

Rozdíl mezi trojúhelníkovým hranolem a všemi ostatními figurami této třídy je v tom, že je vždy konvexní (čtyř-, pěti-, ..., n-hranné hranoly mohou být také konkávní).

Jedná se o obdélníkový obrazec, na jehož základně leží rovnostranný trojúhelník.

Objem trojbokého hranolu obecného typu

Jak zjistit objem trojúhelníkového hranolu? Vzorec je obecně podobný jako pro hranol jakéhokoli druhu. Má následující matematický zápis:

Zde h je výška obrázku, to znamená vzdálenost mezi jeho základnami, S o je plocha trojúhelníku.

Hodnotu S o lze zjistit, pokud jsou známy některé parametry pro trojúhelník, například jedna strana a dva úhly nebo dvě strany a jeden úhel. Plocha trojúhelníku se rovná polovině součinu jeho výšky a délky strany, na které je tato výška snížena.

Pokud jde o výšku h obrazce, nejsnáze ji najdete pro pravoúhlý hranol. V druhém případě se h shoduje s délkou boční hrany.

Objem pravidelného trojbokého hranolu

Obecný vzorec pro objem trojbokého hranolu, který je uveden v předchozí části článku, lze použít pro výpočet odpovídající hodnoty pro pravidelný trojboký hranol. Protože jeho základna je rovnostranný trojúhelník, jeho obsah je:

Každý může získat tento vzorec, pokud si pamatuje, že v rovnostranném trojúhelníku jsou všechny úhly navzájem stejné a tvoří 60 o. Symbol a je zde délka strany trojúhelníku.

Výška h je délka hrany. Nemá nic společného se základnou pravidelného hranolu a může nabývat libovolných hodnot. Výsledkem je, že vzorec pro objem trojúhelníkového hranolu správného tvaru vypadá takto:

Po výpočtu kořene můžeme tento vzorec přepsat takto:

Tedy najít objem pravidelného hranolu s trojúhelníková základna, je nutné odmocnit stranu základny, tuto hodnotu vynásobit výškou a výslednou hodnotu vynásobit 0,433.

Video kurz "Get an A" obsahuje všechna témata nezbytná pro úspěch složení zkoušky v matematice za 60-65 bodů. Úplně všechny úkoly 1-13 profilová zkouška matematika. Vhodné také pro absolvování Základního USE v matematice. Pokud chcete zkoušku složit s 90-100 body, je potřeba vyřešit 1. část za 30 minut a bezchybně!

Přípravný kurz na zkoušku pro ročníky 10-11 i pro učitele. Vše, co potřebujete k vyřešení 1. části zkoušky z matematiky (prvních 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometrie). A to je na Jednotnou státní zkoušku více než 70 bodů a bez nich se neobejde ani stobodový student, ani humanista.

Všechny potřebné teorie. Rychlé způsobyřešení, pasti a tajemství zkoušky. Byly analyzovány všechny relevantní úkoly části 1 z úkolů Bank of FIPI. Kurz plně vyhovuje požadavkům USE-2018.

Kurz obsahuje 5 velkých témat, každé 2,5 hodiny. Každé téma je podáno od začátku, jednoduše a jasně.

Stovky zkouškových úkolů. Textové úlohy a teorie pravděpodobnosti. Jednoduché a snadno zapamatovatelné algoritmy řešení problémů. Geometrie. Teorie, referenční materiál, analýza všech typů USE úloh. Stereometrie. Záludná řešení, užitečné cheat sheets, vývoj prostorová představivost. Trigonometrie od nuly - k úkolu 13. Porozumění místo nacpávání. Vizuální vysvětlení složitých pojmů. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkce a derivace. Základ pro řešení náročné úkoly 2 části zkoušky.

Ve školním vzdělávacím programu pro předmět tělesová geometrie se nauka o trojrozměrných útvarech obvykle začíná jednoduchým geometrickým tělesem - hranolovým mnohostěnem. Roli jeho základen plní 2 stejné polygony ležící v rovnoběžných rovinách. Zvláštním případem je pravidelný čtyřboký hranol. Jeho podstavy jsou 2 stejné pravidelné čtyřúhelníky, k nimž jsou strany kolmé, mající tvar rovnoběžníků (nebo obdélníků, není-li hranol nakloněn).

Jak vypadá hranol

Pravidelný čtyřboký hranol je šestiúhelník, na jehož základnách jsou 2 čtverce a boční plochy jsou znázorněny obdélníky. Jiný název pro toto geometrický obrazec- rovný rovnoběžnostěn.

Nákres znázorňující čtyřúhelníkový hranol je uveden níže.

Můžete také vidět na obrázku nejdůležitější prvky, které tvoří geometrické těleso. Jsou běžně označovány jako:

Někdy v úlohách v geometrii můžete najít koncept řezu. Definice bude znít takto: řezem jsou všechny body objemového tělesa, které patří do roviny řezu. Řez je kolmý (přetíná okraje obrázku pod úhlem 90 stupňů). U pravoúhlého hranolu je uvažován i diagonální řez (maximální počet sekcí, které lze postavit jsou 2), procházející 2 hranami a úhlopříčkami podstavy.

Pokud je řez nakreslen tak, že rovina řezu není rovnoběžná ani se základnami, ani s bočními plochami, výsledkem je komolý hranol.

K nalezení redukovaných prizmatických prvků se používají různé poměry a vzorce. Některé z nich jsou známy z průběhu planimetrie (například k nalezení oblasti základny hranolu stačí vyvolat vzorec pro plochu čtverce).

Plocha a objem

Chcete-li určit objem hranolu pomocí vzorce, musíte znát plochu jeho základny a výšku:

V = Sprim h

Protože základna pravidelného čtyřbokého hranolu je čtverec se stranou A, Vzorec můžete napsat v podrobnější podobě:

V = a² h

Pokud mluvíme o krychli - pravidelném hranolu s stejnou délku, šířka a výška, objem se vypočítá takto:

Abyste pochopili, jak najít boční povrch hranolu, musíte si představit jeho zatáčení.

Z výkresu je to vidět boční povrch skládá se ze 4 stejných obdélníků. Jeho plocha se vypočítá jako součin obvodu základny a výšky postavy:

Strana = Poz. h

Protože obvod čtverce je P = 4a, vzorec má tvar:

Sside = 4h

Pro kostku:

Strana strany = 4a²

Chcete-li vypočítat celkovou plochu hranolu, přidejte 2 základní plochy k boční ploše:

Plná = Sstrana + 2Száklad

Při použití na čtyřboký pravidelný hranol má vzorec tvar:

Plný = 4a h + 2a²

Pro povrchovou plochu krychle:

Plný = 6a²

Znáte-li objem nebo plochu povrchu, můžete vypočítat jednotlivé prvky geometrického tělesa.

Nalezení hranolových prvků

Často se vyskytují problémy, ve kterých je dán objem nebo je známa hodnota boční plochy, kde je nutné určit délku strany základny nebo výšku. V takových případech lze odvodit vzorce:

• délka základní strany: a = strana S/4h = √(V/h);
• výška nebo délka bočního žebra: h = S strana / 4a = V / a2;
• základní plocha: Sprim = V/h;
• oblast bočního obličeje: Boční gr = Sstrana / 4.

Chcete-li určit, jakou plochu má diagonální část, musíte znát délku úhlopříčky a výšku postavy. Pro čtverec d = a√2. Proto:

Sdiag = ah√2

Pro výpočet úhlopříčky hranolu se používá vzorec:

cena = √(2a² + h²)

Abyste pochopili, jak použít výše uvedené poměry, můžete si procvičit a vyřešit několik jednoduchých úkolů.

Příklady problémů s řešením

Zde jsou některé z úloh, které se objevují u státních závěrečných zkoušek z matematiky.

Cvičení 1.

Písek se nasype do krabice ve tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu. Výška jeho hladiny je 10 cm Jaká bude hladina písku, když jej přemístíte do nádoby stejného tvaru, ale s délkou základny 2x delší?

Mělo by se argumentovat následovně. Množství písku v první a druhé nádobě se nezměnilo, to znamená, že jeho objem v nich je stejný. Délku základny můžete definovat jako A. V tomto případě pro první krabici bude objem látky:

V1 = ha2 = 10a2

U druhé krabice je délka základny 2a, ale výška hladiny písku není známa:

V2 = h(2a)2 = 4ha2

Protože V1 = V2, výrazy lze postavit rovnítko:

10a² = 4ha²

Po zmenšení obou stran rovnice o a² dostaneme:

V důsledku toho bude nová hladina písku h = 10/4 = 2,5 cm.

Úkol 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravidelný hranol. Je známo, že BD = AB₁ = 6√2. Najděte celkový povrch těla.

Abyste snáze pochopili, které prvky jsou známé, můžete nakreslit obrázek.

Protože mluvíme o pravidelném hranolu, můžeme usoudit, že základna je čtverec s úhlopříčkou 6√2. Úhlopříčka boční plochy má tedy stejnou hodnotu, boční obličej má také tvar čtverce, rovného základně. Ukazuje se, že všechny tři rozměry – délka, šířka a výška – jsou stejné. Můžeme dojít k závěru, že ABCDA₁B₁C₁D₁ je krychle.

Délka libovolné hrany je určena pomocí známé úhlopříčky:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Celkový povrch se zjistí podle vzorce pro krychli:

Plný = 6a² = 6 6² = 216

Úkol 3.

Místnost je v rekonstrukci. Je známo, že jeho podlaha má tvar čtverce o ploše 9 m². Výška místnosti je 2,5 m. Jaké jsou nejnižší náklady na tapetování místnosti, pokud 1 m² stojí 50 rublů?

Protože podlaha a strop jsou čtverce, tedy pravidelné čtyřúhelníky, a její stěny jsou kolmé k vodorovným plochám, můžeme usoudit, že jde o pravidelný hranol. Je nutné určit plochu jeho bočního povrchu.

Délka místnosti je a = √9 = 3 m

Náměstí bude pokryto tapetami Strana = 4 3 2,5 = 30 m².

Nejnižší náklady na tapety pro tuto místnost budou 50 30 = 1500 rublů.

K řešení úloh pro pravoúhlý hranol tedy stačí umět spočítat obsah a obvod čtverce a obdélníku a také znát vzorce pro zjištění objemu a povrchu.

Jak najít plochu krychle