IN kaasaegne ühiskond võime opereerida ruudukujulist muutujat sisaldavate võrranditega võib olla kasulik paljudes tegevusvaldkondades ning seda kasutatakse laialdaselt praktikas teaduse ja tehnika arengus. Seda võib tõestada mere- ja jõelaevade, lennukite ja rakettide konstruktsioon. Selliste arvutuste abil määratakse erinevate kehade, sealhulgas kosmoseobjektide liikumise trajektoorid. Lahenduste näited ruutvõrrandid kasutatakse mitte ainult majandusprognoosides, hoonete projekteerimisel ja ehitamisel, vaid ka kõige tavalisemates igapäevaoludes. Neid võib vaja minna telkimisreisidel, spordiüritustel, kauplustes ostlemisel ja muudes väga levinud olukordades.
Jagame avaldise komponentteguriteks
Võrrandi astme määrab antud avaldises sisalduva muutuja astme maksimaalne väärtus. Kui see on võrdne 2-ga, nimetatakse sellist võrrandit ruutvõrrandiks.
Kui rääkida valemikeeles, siis saab need avaldised, vaatamata sellele, kuidas nad välja näevad, alati viia vormile, kui avaldise vasak pool koosneb kolmest liikmest. Nende hulgas: ax 2 (st muutuja ruudus selle koefitsiendiga), bx (tundmatu ilma ruuduta koos koefitsiendiga) ja c (vaba komponent, see on ühine number). See kõik võrdub paremal pool 0. Juhul, kui sellisel polünoomil pole ühtki selle koostisosa, välja arvatud ax 2, nimetatakse seda mittetäielikuks ruutvõrrandiks. Esmalt tuleks vaadelda näiteid selliste ülesannete lahendamisega, mille puhul pole muutujate väärtust raske leida.
Kui avaldis näeb välja nii, et avaldise paremal küljel on kaks liiget, täpsemalt ax 2 ja bx, on x-i kõige lihtsam leida muutuja sulgudes. Nüüd näeb meie võrrand välja selline: x(ax+b). Edasi saab selgeks, et kas x=0 või taandub probleem muutuja leidmisele järgmisest avaldisest: ax+b=0. Selle määrab üks korrutamise omadusi. Reegel ütleb, et kahe teguri korrutis on 0 ainult siis, kui üks neist on null.
Näide
x = 0 või 8x - 3 = 0
Selle tulemusena saame võrrandi kaks juurt: 0 ja 0,375.
Seda tüüpi võrrandid võivad kirjeldada kehade liikumist gravitatsiooni mõjul, mis hakkasid liikuma teatud lähtepunktiks võetud punktist. Siin on matemaatiline tähistus järgmine: y = v 0 t + gt 2 /2. Asendades vajalikud väärtused, võrdsustades parema poole 0-ga ja leides võimalikud tundmatud, saate teada nii aja, mis kulus keha tõusust kuni langemiseni, kui ka palju muid suurusi. Aga sellest räägime hiljem.
Avaldise faktoriseerimine
Ülalkirjeldatud reegel võimaldab neid probleeme ja palju muud lahendada rasked juhtumid. Vaatleme näiteid seda tüüpi ruutvõrrandite lahendamise kohta.
X2 – 33x + 200 = 0
See ruudukujuline kolmik on täielik. Esiteks teisendame avaldise ja jagame selle teguriteks. Neid on kaks: (x-8) ja (x-25) = 0. Selle tulemusena on meil kaks juurt 8 ja 25.
Näited ruutvõrrandite lahendamisega 9. klassis võimaldavad sellel meetodil leida muutuja mitte ainult teist, vaid isegi kolmandat ja neljandat järku avaldistes.
Näiteks: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Parema poole faktoristamisel muutujaga teguriteks on neid kolm, st (x + 1), (x-3) ja (x + 3).
Selle tulemusena saab selgeks, et sellel võrrandil on kolm juurt: -3; -1; 3.
Ruutjuure ekstraheerimine
Teine mittetäieliku teist järku võrrandi juhtum on avaldis, mis on kirjutatud tähtede keeles nii, et parem pool on üles ehitatud komponentidest ax 2 ja c. Siin kantakse muutuja väärtuse saamiseks vaba liige paremale poole ja pärast seda võrdsuse mõlemast osast, Ruutjuur. Tuleb märkida, et sel juhul on võrrandil tavaliselt kaks juurt. Ainsad erandid on võrdsused, mis ei sisalda üldse terminit c, kus muutuja on võrdne nulliga, samuti avaldiste variandid, kui parem pool osutub negatiivseks. Viimasel juhul pole lahendusi üldse, kuna ülaltoodud toiminguid ei saa juurtega teha. Kaaluda tuleks seda tüüpi ruutvõrrandite lahenduste näiteid.
Sel juhul on võrrandi juurteks numbrid -4 ja 4.
Maa pindala arvutamine
Vajadus sedalaadi arvutuste järele tekkis iidsetel aegadel, sest matemaatika areng neil kaugetel aegadel oli suuresti tingitud vajadusest määrata suurima täpsusega maatükkide pindalad ja perimeetrid.
Kaaluda tuleks ka näiteid seda laadi ülesannete põhjal koostatud ruutvõrrandite lahendamisega.
Oletame, et on ristkülikukujuline maatükk, mille pikkus on 16 meetrit suurem kui laius. Peaksite leidma platsi pikkuse, laiuse ja ümbermõõdu, kui on teada, et selle pindala on 612 m 2.
Asja juurde asudes koostame kõigepealt vajaliku võrrandi. Tähistame lõigu laiust kui x, siis on selle pikkus (x + 16). Kirjutatust järeldub, et pindala määrab avaldis x (x + 16), mis vastavalt meie ülesande tingimusele on 612. See tähendab, et x (x + 16) \u003d 612.
Täielike ruutvõrrandite lahendamist ja see avaldis just nii ongi, ei saa samamoodi teha. Miks? Kuigi selle vasakpoolne külg sisaldab endiselt kahte tegurit, ei ole nende korrutis üldse 0, seega kasutatakse siin muid meetodeid.
Diskrimineeriv
Kõigepealt teeme vajalikud teisendused, siis välimus see avaldis näeb välja selline: x 2 + 16x - 612 = 0. See tähendab, et oleme saanud avaldise eelnevalt määratletud standardile vastaval kujul, kus a=1, b=16, c=-612.
See võib olla näide ruutvõrrandite lahendamisest diskriminandi kaudu. Siin vajalikud arvutused toodetud vastavalt skeemile: D = b 2 - 4ac. See abiväärtus mitte ainult ei võimalda leida teist järku võrrandis soovitud väärtusi, vaid määrab võimalike valikute arvu. Juhul D>0 on neid kaks; D=0 puhul on üks juur. Juhul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Juurtest ja nende valemist
Meie puhul on diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. See näitab, et meie probleemil on vastus. Kui teate, tuleb ruutvõrrandite lahendamist jätkata alloleva valemi abil. See võimaldab teil arvutada juured.
See tähendab, et antud juhul: x 1 =18, x 2 =-34. Teine variant selles dilemmas ei saa olla lahendus, sest maatüki suurust ei saa mõõta negatiivsetes väärtustes, mis tähendab, et x (ehk krundi laius) on 18 m. Siit arvutame pikkuse: 18+16=34 ja ümbermõõt 2(34+18) = 104 (m 2).
Näited ja ülesanded
Jätkame ruutvõrrandite uurimist. Allpool on toodud näited ja üksikasjalik lahendus mitmele neist.
1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1
Viime kõik võrdsuse vasakule poolele, teeme teisenduse ehk saame võrrandi kuju, mida tavaliselt nimetatakse standardseks, ja võrdsustame selle nulliga.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Pärast sarnaste lisamist määrame diskriminandi: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Seega on meie võrrandil kaks juurt. Arvutame need ülaltoodud valemi järgi, mis tähendab, et esimene neist võrdub 4/3 ja teine 1.
2) Nüüd paljastame teistsuguseid mõistatusi.
Uurime, kas siin on üldse juured x 2 - 4x + 5 = 1? Ammendava vastuse saamiseks viime polünoomi vastavale tuttavale kujule ja arvutame diskriminandi. Selles näites pole ruutvõrrandit vaja lahendada, sest ülesande olemus ei seisne selles. Sel juhul D \u003d 16 - 20 \u003d -4, mis tähendab, et tegelikult pole juuri.
Vieta teoreem
Ruutvõrrandeid on mugav lahendada ülaltoodud valemite ja diskriminandi kaudu, kui viimase väärtusest eraldatakse ruutjuur. Kuid see ei juhtu alati. Siiski on sel juhul muutujate väärtuste saamiseks palju võimalusi. Näide: ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil. See on nime saanud mehe järgi, kes elas 16. sajandi Prantsusmaal ja tegi hiilgava karjääri tänu oma matemaatilisele andele ja sidemetele õukonnas. Tema portree on näha artiklis.
Muster, mida kuulus prantslane märkas, oli järgmine. Ta tõestas, et võrrandi juurte summa on võrdne -p=b/a ja nende korrutis vastab q=c/a.
Vaatame nüüd konkreetseid ülesandeid.
3x2 + 21x - 54 = 0
Lihtsuse huvides teisendame väljendit:
x 2 + 7x - 18 = 0
Vieta teoreemi kasutades saame järgmise tulemuse: juurte summa on -7 ja nende korrutis on -18. Siit saame, et võrrandi juurteks on numbrid -9 ja 2. Pärast kontrollimist veendume, et need muutujate väärtused tõesti avaldisesse mahuvad.
Parabooli graafik ja võrrand
Ruutfunktsiooni ja ruutvõrrandi mõisted on omavahel tihedalt seotud. Näiteid selle kohta on juba varem toodud. Vaatame nüüd mõnda matemaatilist mõistatust veidi üksikasjalikumalt. Kõiki kirjeldatud tüüpi võrrandeid saab esitada visuaalselt. Sellist sõltuvust, mis on joonistatud graafiku kujul, nimetatakse parabooliks. Selle erinevad tüübid on näidatud alloleval joonisel.
Igal paraboolil on tipp, st punkt, kust selle harud väljuvad. Kui a>0, tõusevad nad kõrgelt lõpmatuseni ja kui a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Funktsioonide visuaalne esitus aitab lahendada mis tahes võrrandeid, sealhulgas ruutvõrrandeid. Seda meetodit nimetatakse graafikaks. Ja muutuja x väärtus on abstsisskoordinaat punktides, kus graafiku joon lõikub 0x-ga. Tipu koordinaadid saab leida just antud valemiga x 0 = -b / 2a. Ja asendades saadud väärtuse funktsiooni algse võrrandiga, saate teada y 0, see tähendab y-teljele kuuluva parabooli tipu teise koordinaadi.
Parabooli harude ristumiskoht abstsissteljega
Ruutvõrrandite lahendamise kohta on palju näiteid, kuid on ka üldisi mustreid. Vaatleme neid. On selge, et graafiku lõikumine 0x teljega a>0 korral on võimalik ainult siis, kui y 0 võtab negatiivsed väärtused. Ja a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Muidu D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Parabooli graafikult saate määrata ka juured. Tõsi on ka vastupidine. See tähendab, et kui saate visuaalse pildi ruutfunktsioon ei ole lihtne, saate võrdsustada avaldise parema poole 0-ga ja lahendada saadud võrrandi. Ja teades lõikepunkte 0x teljega, on lihtsam joonistada.
Ajaloost
Ruudukujulist muutujat sisaldavate võrrandite abil ei tehtud vanasti mitte ainult matemaatilisi arvutusi ja määrati geomeetriliste kujundite pindala. Muistsed vajasid selliseid arvutusi suurejoonelisteks avastusteks füüsika ja astronoomia vallas, aga ka astroloogiliste prognooside tegemiseks.
Nagu tänapäeva teadlased väidavad, olid Babüloni elanikud esimeste seas, kes ruutvõrrandid lahendasid. See juhtus neli sajandit enne meie ajastu tulekut. Loomulikult erinesid nende arvutused põhimõtteliselt praegu aktsepteeritutest ja osutusid palju primitiivsemaks. Näiteks Mesopotaamia matemaatikutel polnud negatiivsete arvude olemasolust aimugi. Nad ei tundnud ka muid nende peensusi, mida ükski meie aja õpilane teadis.
Võib-olla isegi varem kui Babüloni teadlased, asus Indiast pärit tark Baudhayama ruutvõrrandite lahendamisele. See juhtus umbes kaheksa sajandit enne Kristuse ajastu tulekut. Tõsi, teist järku võrrandid, mille lahendamise meetodid ta esitas, olid kõige lihtsamad. Lisaks temale tundsid vanasti samalaadsed küsimused huvi ka Hiina matemaatikud. Euroopas hakati ruutvõrrandeid lahendama alles 13. sajandi alguses, kuid hiljem kasutasid neid oma töös sellised suured teadlased nagu Newton, Descartes ja paljud teised.
Diskriminant on mitmetähenduslik mõiste. See artikkel keskendub polünoomi diskriminandile, mis võimaldab teil määrata, kas antud polünoomil on reaalsed lahendused. Ruutpolünoomi valem on leitud koolikursus algebra ja analüüs. Kuidas leida diskrimineerija? Mida on võrrandi lahendamiseks vaja?
Nimetatakse ruutpolünoomi või teise astme võrrandit i * w ^ 2 + j * w + k võrdub 0, kus "i" ja "j" on vastavalt esimene ja teine koefitsient, "k" on konstant, mida mõnikord nimetatakse "lõikamiseks" ja "w" on muutuja. Selle juurteks on kõik muutuja väärtused, mille juures see muutub identiteediks. Sellise võrdsuse saab ümber kirjutada i, (w - w1) ja (w - w2) korrutisena, mis võrdub 0-ga. Sel juhul on ilmne, et kui koefitsient "i" ei kao, siis funktsioon vasak pool muutub nulliks ainult siis, kui x võtab väärtuse w1 või w2. Need väärtused on polünoomi nulli seadmise tulemus.
Muutuja väärtuse leidmiseks, mille juures ruutpolünoom kaob, kasutatakse abikonstruktsiooni, mis on üles ehitatud selle koefitsientidele ja mida nimetatakse diskriminandiks. See konstruktsioon arvutatakse valemiga D võrdub j * j - 4 * i * k. Miks seda kasutatakse?
- Ta ütleb, kas on kehtivaid tulemusi.
- Ta aitab neid arvutada.
Kuidas see väärtus näitab tõeliste juurte olemasolu:
- Kui see on positiivne, siis leiad reaalarvude piirkonnast kaks juurt.
- Kui diskriminant on null, siis on mõlemad lahendused samad. Võime öelda, et on ainult üks lahendus ja see pärineb reaalarvude valdkonnast.
- Kui diskriminant on nullist väiksem, pole polünoomil tegelikke juuri.
Materjali fikseerimise arvutusvõimalused
Kui summa (7 * w^2; 3 * w; 1) võrdub 0-ga arvutame D valemiga 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 saame -19. Diskrimineeriv väärtus alla nulli näitab, et tegelikul real pole tulemusi.
Kui arvestada, et 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 on võrdne 0-ga, siis D arvutatakse (-3) ruudus miinus arvude (4; 2; 1) korrutis ja võrdub 9–8, see tähendab 1. Positiivne väärtus näitab kahte tulemust reaaljoonel.
Kui võtame summa (w^2; 2 * w; 1) ja võrdume 0-ga, D arvutatakse kahe ruudu miinus arvude (4; 1; 1) korrutis. See avaldis lihtsustub 4–4-ni ja muutub nulliks. Selgub, et tulemused on samad. Kui vaatate seda valemit tähelepanelikult, saab selgeks, et see on " täisruut". See tähendab, et võrdsuse saab ümber kirjutada kujul (w + 1) ^ 2 = 0. Selgus, et selle ülesande tulemus on “-1”. Olukorras, kus D võrdub 0-ga, saab võrdsuse vasaku külje alati ahendada vastavalt valemile “summa ruut”.
Diskriminandi kasutamine juurte arvutamiseks
See abikonstruktsioon mitte ainult ei näita reaalsete lahenduste hulka, vaid aitab ka neid leida. Teise astme võrrandi arvutamise üldvalem on järgmine:
w = (-j +/- d) / (2 * i), kus d on astme 1/2 diskriminant.
Oletame, et diskriminant on alla nulli, siis d on imaginaarne ja tulemused on imaginaarsed.
D on null, siis d, mis on võrdne D-ga 1/2 astmega, on samuti null. Lahendus: -j / (2 * i). Arvestades uuesti 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, leiame tulemused, mis on võrdväärsed -2 / (2 * 1) = -1.
Oletame, et D > 0, nii et d on reaalarv ja siinne vastus jaguneb kaheks osaks: w1 = (-j + d) / (2 * i) ja w2 = (-j - d) / (2 * i) . Mõlemad tulemused kehtivad. Vaatame 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Siin on diskriminant ja d ühikud. Nii et w1 on (3 + 1) jagatud (2 * 2) või 1-ga ja w2 on (3 - 1) jagatud 2 * 2 või 1/2-ga.
Ruutavaldise nulliga võrdsustamise tulemus arvutatakse järgmise algoritmi järgi:
- Kehtivate lahenduste arvu määramine.
- Arvutamine d = D^(1/2).
- Tulemuse leidmine valemi (-j +/- d) / (2 * i) järgi.
- Saadud tulemuse algvõrdsuses asendamine kontrolliga.
Mõned erijuhtumid
Olenevalt koefitsientidest saab lahendust mõnevõrra lihtsustada. Ilmselgelt, kui teise astme muutuja ees olev koefitsient on null, siis saadakse lineaarne võrdus. Kui muutuja ees olev koefitsient on null kuni esimese astmeni, on võimalikud kaks võimalust:
- polünoom laieneb negatiivse vabaliikmega ruutude vaheks;
- positiivse konstandi jaoks ei ole võimalik leida reaalseid lahendusi.
Kui vaba liige on null, on juured (0; -j)
Kuid on ka teisi erijuhtumeid, mis lihtsustavad lahenduse leidmist.
Vähendatud teise astme võrrand
Antud nimetatakse selline ruuttrinoom, kus koefitsient kõrgeima liikme ees on üks. Selle olukorra jaoks on rakendatav Vieta teoreem, mis ütleb, et juurte summa võrdub muutuja esimese astme koefitsiendiga, korrutatuna -1-ga ja korrutis vastab konstandile "k".
Seetõttu on w1 + w2 võrdne -j-ga ja w1 * w2 on võrdne k-ga, kui esimene koefitsient on üks. Sellise esituse õigsuse kontrollimiseks saame väljendada w2 = -j - w1 esimesest valemist ja asendada selle teise võrrandiga w1 * (-j - w1) = k. Tulemuseks on algne võrdsus w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.
Oluline on märkida et i * w ^ 2 + j * w + k = 0 saab taandada "i-ga" jagades. Tulemuseks on: w^2 + j1 * w + k1 = 0 kus j1 on võrdne j/i-ga ja k1 on võrdne k/i-ga.
Vaatame juba lahendatud 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 tulemustega w1 = 1 ja w2 = 1/2. See tuleb jagada pooleks, mille tulemusena w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Kontrollime, kas leitud tulemuste puhul on teoreemi tingimused tõesed: 1 + 1/2 = 3/2 ja 1 * 1/2 = 1/2.
Isegi teine tegur
Kui muutuja esimese astme (j) tegur jagub 2-ga, siis on võimalik valemit lihtsustada ja otsida lahendust neljandiku kaudu diskriminandist D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. selgub w = (-j +/- d/2) / i, kus d/2 = D/4 astmeni 1/2.
Kui i = 1 ja koefitsient j on paaris, siis on lahendiks muutuja w koefitsiendi -1 ja poole korrutis pluss/miinus selle poole ruudu juur, millest on lahutatud konstant "k". Valem: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.
Kõrgemat järku diskrimineerija
Eespool käsitletud teise astme diskriminant on kõige sagedamini kasutatav erijuhtum. Üldjuhul on polünoomi diskriminant selle polünoomi juurte erinevuste korrutatud ruudud. Seetõttu näitab nulliga võrdne diskriminant vähemalt kahe mitmekordse lahenduse olemasolu.
Arvestage i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.
D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.
Oletame, et diskriminant on suurem kui null. See tähendab, et reaalarvude piirkonnas on kolm juurt. Nullil on mitu lahendust. Kui D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.
Video
Meie video räägib teile üksikasjalikult diskriminandi arvutamise kohta.
Kas te ei saanud oma küsimusele vastust? Soovitage autoritele teemat.
Esimene tase
Ruutvõrrandid. Põhjalik juhend (2019)
Mõiste "ruutvõrrand" võtmesõnaks on "ruutvõrrand". See tähendab, et võrrand peab tingimata sisaldama ruudus muutujat (sama X) ja samal ajal ei tohiks olla X-e kolmandal (või suuremal) astmel.
Paljude võrrandite lahendus taandatakse ruutvõrrandite lahendiks.
Õpime kindlaks tegema, et meil on ruutvõrrand, mitte mõni muu.
Näide 1
Vabastage nimetaja ja korrutage võrrandi iga liige arvuga
Liigutame kõik vasakule poole ja järjestame terminid x astmete kahanevas järjekorras
Nüüd võime kindlalt öelda, et see võrrand on ruutkeskne!
Näide 2
Korrutage vasak ja parem külg arvuga:
See võrrand, kuigi see oli algselt selles, ei ole ruut!
Näide 3
Korrutame kõik arvuga:
Hirmutav? Neljas ja teine aste ... Kui aga teeme asenduse, näeme, et meil on lihtne ruutvõrrand:
Näide 4
Tundub, et on, aga vaatame lähemalt. Liigutame kõik vasakule:
Näete, see on kahanenud – ja nüüd on see lihtne lineaarvõrrand!
Proovige nüüd ise kindlaks teha, millised järgmistest võrranditest on ruutsuurused ja millised mitte:
Näited:
Vastused:
- ruut;
- ruut;
- mitte ruudukujuline;
- mitte ruudukujuline;
- mitte ruudukujuline;
- ruut;
- mitte ruudukujuline;
- ruut.
Matemaatikud jagavad kõik ruutvõrrandid tinglikult järgmisteks tüüpideks:
- Täielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsiendid ja, nagu ka vaba liige c, ei ole võrdsed nulliga (nagu näites). Lisaks on täielike ruutvõrrandite hulgas antud on võrrandid, milles koefitsient (esimese näite võrrand pole mitte ainult täielik, vaid ka vähendatud!)
- Mittetäielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:
Need on puudulikud, sest mõni element on neil puudu. Kuid võrrand peab alati sisaldama x ruudus !!! Vastasel juhul pole see enam ruutväärtus, vaid mingi muu võrrand.
Miks nad sellise jaotuse välja mõtlesid? Näib, et seal on X ruudus ja olgu. Selline jaotus on tingitud lahendusmeetoditest. Vaatleme igaüks neist üksikasjalikumalt.
Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine
Kõigepealt keskendume mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisele – need on palju lihtsamad!
Mittetäielikud ruutvõrrandid on järgmist tüüpi:
- , selles võrrandis on koefitsient võrdne.
- , selles võrrandis on vaba liige võrdne.
- , selles võrrandis on koefitsient ja vaba liige võrdsed.
1. i. Kuna me teame, kuidas ruutjuurt võtta, siis väljendame seda võrrandit
Väljend võib olla negatiivne või positiivne. Ruutarv ei saa olla negatiivne, sest kahe negatiivse või kahe positiivse arvu korrutamisel on tulemuseks alati positiivne arv, seega: kui, siis võrrandil pole lahendeid.
Ja kui, siis saame kaks juurt. Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peaasi, et peaksite alati teadma ja meeles pidama, et vähem ei saa olla.
Proovime lahendada mõned näited.
Näide 5:
Lahenda võrrand
Nüüd jääb alles vasakust ja paremast osast juuri välja tõmmata. Lõppude lõpuks, kas mäletate, kuidas juuri välja tõmmata?
Vastus:
Ärge kunagi unustage negatiivse märgiga juuri!!!
Näide 6:
Lahenda võrrand
Vastus:
Näide 7:
Lahenda võrrand
Oh! Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand
pole juuri!
Selliste võrrandite jaoks, milles juured puuduvad, mõtlesid matemaatikud välja spetsiaalse ikooni - (tühi komplekt). Ja vastuse saab kirjutada nii:
Vastus:
Seega on sellel ruutvõrrandil kaks juurt. Siin pole piiranguid, kuna me juurt ei ekstraktinud.
Näide 8:
Lahenda võrrand
Võtame sulgudest välja ühisteguri:
Seega
Sellel võrrandil on kaks juurt.
Vastus:
Lihtsaim mittetäielike ruutvõrrandite tüüp (kuigi need on kõik lihtsad, eks?). Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:
Siin teeme ilma näideteta.
Täielike ruutvõrrandite lahendamine
Tuletame meelde, et täielik ruutvõrrand on võrrand vormi võrrandist, kus
Täisruutvõrrandite lahendamine on natuke keerulisem (lihtsalt natuke) kui etteantud.
Pea meeles, mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.
Ülejäänud meetodid aitavad teil seda kiiremini teha, kuid kui teil on ruutvõrranditega probleeme, siis kõigepealt omandage lahendus diskriminandi abil.
1. Ruutvõrrandite lahendamine diskriminandi abil.
Ruutvõrrandite lahendamine sel viisil on väga lihtne, peamine on meeles pidada toimingute jada ja paar valemit.
Kui, siis võrrandil on juur Erilist tähelepanu joonista samm. Diskriminant () ütleb meile võrrandi juurte arvu.
- Kui, siis taandatakse etapis olev valem väärtusele. Seega on võrrandil ainult juur.
- Kui, siis me ei saa etapis diskrimineerija juurt eraldada. See näitab, et võrrandil pole juuri.
Tuleme tagasi võrrandite juurde ja vaatame mõnda näidet.
Näide 9:
Lahenda võrrand
Samm 1 vahele jätma.
2. samm
Diskriminandi leidmine:
Seega on võrrandil kaks juurt.
3. samm
Vastus:
Näide 10:
Lahenda võrrand
Võrrand on standardkujul, seega Samm 1 vahele jätma.
2. samm
Diskriminandi leidmine:
Seega on võrrandil üks juur.
Vastus:
Näide 11:
Lahenda võrrand
Võrrand on standardkujul, seega Samm 1 vahele jätma.
2. samm
Diskriminandi leidmine:
See tähendab, et me ei saa diskriminandi juurt eraldada. Võrrandi juured puuduvad.
Nüüd teame, kuidas selliseid vastuseid õigesti üles kirjutada.
Vastus: pole juuri
2. Ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil.
Kui mäletate, siis on olemas sellist tüüpi võrrandeid, mida nimetatakse redutseeritud (kui koefitsient a on võrdne):
Selliseid võrrandeid on Vieta teoreemi abil väga lihtne lahendada:
Juurte summa antud ruutvõrrand on võrdne ja juurte korrutis on võrdne.
Näide 12:
Lahenda võrrand
See võrrand sobib lahendamiseks Vieta teoreemi abil, kuna .
Võrrandi juurte summa on, s.o. saame esimese võrrandi:
Ja toode on:
Loome ja lahendame süsteemi:
- Ja. Summa on;
- Ja. Summa on;
- Ja. Summa on võrdne.
ja on süsteemi lahendus:
Vastus: ; .
Näide 13:
Lahenda võrrand
Vastus:
Näide 14:
Lahenda võrrand
Võrrand on taandatud, mis tähendab:
Vastus:
RUUTVÕRDED. KESKMINE TASE
Mis on ruutvõrrand?
Teisisõnu, ruutvõrrand on vormi võrrand, kus - teadmata, - veel mõned arvud.
Numbrit nimetatakse suurimaks või esimene koefitsient ruutvõrrand, - teine koefitsient, A - vaba liige.
Miks? Sest kui, muutub võrrand kohe lineaarseks, sest kaob.
Sel juhul ja võib olla võrdne nulliga. Selles väljaheite võrrandis nimetatakse mittetäielikuks. Kui kõik tingimused on paigas, see tähendab, et võrrand on valmis.
Erinevat tüüpi ruutvõrrandite lahendused
Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:
Alustuseks analüüsime mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodeid - need on lihtsamad.
Eristada saab järgmist tüüpi võrrandeid:
I. , selles võrrandis on koefitsient ja vaba liige võrdsed.
II. , selles võrrandis on koefitsient võrdne.
III. , selles võrrandis on vaba liige võrdne.
Nüüd kaaluge kõigi nende alatüüpide lahendust.
Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:
Arv ruudus ei saa olla negatiivne, sest kahe negatiivse või kahe positiivse arvu korrutamisel on tulemuseks alati positiivne arv. Sellepärast:
kui, siis võrrandil pole lahendeid;
kui meil on kaks juurt
Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peamine asi, mida meeles pidada, on see, et see ei saa olla väiksem.
Näited:
Lahendused:
Vastus:
Ärge kunagi unustage negatiivse märgiga juuri!
Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand
pole juuri.
Lühidalt kirjutamiseks, et probleemil pole lahendusi, kasutame tühja komplekti ikooni.
Vastus:
Seega on sellel võrrandil kaks juurt: ja.
Vastus:
Võtame sulgudest välja ühisteguri:
Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. See tähendab, et võrrandil on lahendus, kui:
Niisiis, sellel ruutvõrrandil on kaks juurt: ja.
Näide:
Lahenda võrrand.
Lahendus:
Teguristame võrrandi vasaku külje ja leiame juured:
Vastus:
Täielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:
1. Diskriminant
Ruutvõrrandite lahendamine sel viisil on lihtne, peamine on meeles pidada toimingute jada ja paar valemit. Pidage meeles, et mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.
Kas märkasite juurvalemis diskriminandi juurt? Kuid diskrimineerija võib olla negatiivne. Mida teha? Peame pöörama erilist tähelepanu 2. sammule. Diskriminant ütleb meile võrrandi juurte arvu.
- Kui, siis on võrrandil juur:
- Kui, siis on võrrandil sama juur, kuid tegelikult üks juur:
Selliseid juuri nimetatakse topeltjuurteks.
- Kui, siis ei eraldata diskriminandi juurt. See näitab, et võrrandil pole juuri.
Miks on see võimalik erinev summa juured? Pöördume ruutvõrrandi geomeetrilise tähenduse juurde. Funktsiooni graafik on parabool:
Konkreetsel juhul, mis on ruutvõrrand, . Ja see tähendab, et ruutvõrrandi juured on lõikepunktid x-teljega (teljega). Parabool ei pruugi telge üldse ületada või võib seda ristuda ühes (kui parabooli tipp asub teljel) või kahes punktis.
Lisaks vastutab koefitsient parabooli harude suuna eest. Kui, siis on parabooli oksad suunatud ülespoole ja kui - siis allapoole.
Näited:
Lahendused:
Vastus:
Vastus:.
Vastus:
See tähendab, et lahendusi pole.
Vastus:.
2. Vieta teoreem
Vieta teoreemi kasutamine on väga lihtne: peate lihtsalt valima numbripaari, mille korrutis on võrdne võrrandi vaba liikmega ja summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga.
Oluline on meeles pidada, et Vieta teoreemi saab rakendada ainult sellele antud ruutvõrrandid ().
Vaatame mõnda näidet:
Näide nr 1:
Lahenda võrrand.
Lahendus:
See võrrand sobib lahendamiseks Vieta teoreemi abil, kuna . Muud koefitsiendid: ; .
Võrrandi juurte summa on:
Ja toode on:
Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja kontrollime, kas nende summa on võrdne:
- Ja. Summa on;
- Ja. Summa on;
- Ja. Summa on võrdne.
ja on süsteemi lahendus:
Seega ja on meie võrrandi juured.
Vastus: ; .
Näide nr 2:
Lahendus:
Valime välja sellised arvupaarid, mis korrutises sisalduvad, ja seejärel kontrollime, kas nende summa on võrdne:
ja: anna kokku.
ja: anna kokku. Selle saamiseks peate lihtsalt muutma väidetavate juurte märke: ja lõppude lõpuks ka tööd.
Vastus:
Näide nr 3:
Lahendus:
Võrrandi vaba liige on negatiivne ja seega on juurte korrutis negatiivne arv. See on võimalik ainult siis, kui üks juurtest on negatiivne ja teine on positiivne. Nii et juurte summa on nende moodulite erinevused.
Valime sellised arvupaarid, mis annavad tootes ja mille erinevus on võrdne:
ja: nende erinevus on - ei sobi;
ja: - ei sobi;
ja: - ei sobi;
ja: - sobiv. Jääb vaid meeles pidada, et üks juurtest on negatiivne. Kuna nende summa peab olema võrdne, siis absoluutväärtuses väiksem juur peab olema negatiivne: . Kontrollime:
Vastus:
Näide nr 4:
Lahenda võrrand.
Lahendus:
Võrrand on taandatud, mis tähendab:
Vaba termin on negatiivne ja seega on juurte korrutis negatiivne. Ja see on võimalik ainult siis, kui võrrandi üks juur on negatiivne ja teine positiivne.
Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja seejärel määrame, millistel juurtel peaks olema negatiivne märk:
Ilmselgelt sobivad esimese tingimuse jaoks ainult juured:
Vastus:
Näide nr 5:
Lahenda võrrand.
Lahendus:
Võrrand on taandatud, mis tähendab:
Juurte summa on negatiivne, mis tähendab, et vähemalt üks juurtest on negatiivne. Kuid kuna nende toode on positiivne, tähendab see, et mõlemad juured on miinuses.
Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne:
Ilmselgelt on juurteks numbrid ja.
Vastus:
Nõus, see on väga mugav - leiutada juuri suuliselt, selle asemel, et seda vastikut diskrimineerijat lugeda. Proovige kasutada Vieta teoreemi nii sageli kui võimalik.
Kuid Vieta teoreem on vajalik juurte leidmise hõlbustamiseks ja kiirendamiseks. Selle kasutamise kasumlikuks muutmiseks peate toimingud automatiseerima. Ja selleks lahendage veel viis näidet. Kuid ärge petke: te ei saa diskriminanti kasutada! Ainult Vieta teoreem:
Iseseisva töö ülesannete lahendused:
Ülesanne 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Vastavalt Vieta teoreemile:
Tavapäraselt alustame valikut tootega:
Ei sobi, sest kogus;
: summa on see, mida vajate.
Vastus: ; .
2. ülesanne.
Ja jälle meie lemmik Vieta teoreem: summa peaks välja tulema, kuid korrutis on võrdne.
Kuid kuna see peaks olema mitte, vaid, siis muudame juurte märke: ja (kokku).
Vastus: ; .
3. ülesanne.
Hmm... Kus see on?
Kõik tingimused on vaja üle kanda ühte ossa:
Juurte summa võrdub korrutisega.
Jah, lõpeta! Võrrandit pole antud. Kuid Vieta teoreem on rakendatav ainult antud võrrandites. Nii et kõigepealt peate tooma võrrandi. Kui te ei saa seda välja tuua, loobuge sellest ja lahendage see muul viisil (näiteks diskriminandi kaudu). Lubage mul teile meelde tuletada, et ruutvõrrandi toomine tähendab juhtiva koefitsiendi võrdsustamist järgmisega:
Suurepärane. Siis on juurte summa ja korrutis võrdne.
Siin on lihtsam üles võtta: lõppude lõpuks - algarv (vabandan tautoloogia pärast).
Vastus: ; .
4. ülesanne.
Vaba termin on negatiivne. Mis selles nii erilist on? Ja see, et juured on erineva märgiga. Ja nüüd, valiku ajal, kontrollime mitte juurte summat, vaid nende moodulite erinevust: see erinevus on võrdne, kuid toode.
Niisiis, juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinusega. Vieta teoreem ütleb meile, et juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga vastupidise märgiga, st. See tähendab, et väiksemal juurel on miinus: ja, kuna.
Vastus: ; .
5. ülesanne.
Mida tuleb kõigepealt teha? See on õige, esitage võrrand:
Jällegi: valime arvu tegurid ja nende erinevus peaks olema võrdne:
Juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinus. Milline? Nende summa peab olema võrdne, mis tähendab, et miinusega on suurem juur.
Vastus: ; .
Lubage mul teha kokkuvõte:
- Vieta teoreemi kasutatakse ainult antud ruutvõrrandites.
- Vieta teoreemi kasutades saate juured leida valiku teel, suuliselt.
- Kui võrrandit ei anta või ei leitud vaba liikme sobivat tegurite paari, siis täisarvu juured puuduvad ja see tuleb lahendada muul viisil (näiteks diskriminandi kaudu).
3. Täisruudu valiku meetod
Kui kõik tundmatut sisaldavad liikmed on esitatud terminitena lühendatud korrutise valemitest - summa või vahe ruut -, siis pärast muutujate muutumist võib võrrandit esitada mittetäieliku tüübi ruutvõrrandina.
Näiteks:
Näide 1:
Lahenda võrrand:.
Lahendus:
Vastus:
Näide 2:
Lahenda võrrand:.
Lahendus:
Vastus:
IN üldine vaade teisendus näeb välja selline:
See tähendab:.
Kas see ei tuleta sulle midagi meelde? See on diskrimineerija! Täpselt nii saadi diskrimineeriva valem.
RUUTVÕRDED. LÜHIDALT PEAMISEST
Ruutvõrrand on võrrand kujul, kus on tundmatu, on ruutvõrrandi kordajad, on vaba liige.
Täielik ruutvõrrand- võrrand, mille koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.
Vähendatud ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient, see on: .
Mittetäielik ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:
- kui koefitsient, on võrrand järgmisel kujul: ,
- kui see on vaba termin, on võrrandi vorm: ,
- kui ja, on võrrandi vorm: .
1. Algoritm mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks
1.1. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:
1) Väljendage tundmatut: ,
2) Kontrollige väljendi märki:
- kui, siis võrrandil pole lahendeid,
- kui, siis on võrrandil kaks juurt.
1.2. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:
1) Võtame sulgudest välja ühisteguri: ,
2) Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Seetõttu on võrrandil kaks juurt:
1.3. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:
Sellel võrrandil on alati ainult üks juur: .
2. Algoritm täisruutvõrrandite lahendamiseks kujul kus
2.1. Lahendus diskriminandi abil
1) Toome võrrandi standardkujule: ,
2) Arvutage diskriminant valemiga: , mis näitab võrrandi juurte arvu:
3) Leidke võrrandi juured:
- kui, siis on võrrandil juur, mis leitakse valemiga:
- kui, siis on võrrandil juur, mis leitakse valemiga:
- kui, siis võrrandil pole juuri.
2.2. Lahendus Vieta teoreemi abil
Redutseeritud ruutvõrrandi (kuju võrrand, kus) juurte summa on võrdne ja juurte korrutis on võrdne, s.o. , A.
2.3. Täisruudu lahendus
Ruutvõrrand – lihtne lahendada! *Edaspidi tekstis "KU". Sõbrad, tundub, et matemaatikas võib see olla lihtsam kui sellise võrrandi lahendamine. Kuid miski ütles mulle, et paljudel inimestel on temaga probleeme. Otsustasin vaadata, kui palju kuvamisi Yandex ühe taotluse kohta kuus annab. Siin on, mis juhtus, vaadake:
Mida see tähendab? See tähendab, et kuus otsib umbes 70 000 inimest see informatsioon, mis sel suvel sellega pistmist on ja mis juhtub seas õppeaastal- taotlused on kaks korda suuremad. See pole üllatav, sest need poisid ja tüdrukud, kes on juba ammu kooli lõpetanud ja valmistuvad eksamiks, otsivad seda teavet ning ka koolilapsed püüavad oma mälu värskendada.
Vaatamata asjaolule, et on palju saite, mis räägivad, kuidas seda võrrandit lahendada, otsustasin ka panustada ja materjali avaldada. Esiteks soovin, et külastajad tuleksid minu saidile selle taotluse alusel; teiseks, teistes artiklites, kui kõne “KU” tuleb, annan lingi sellele artiklile; kolmandaks räägin teile tema lahendusest veidi rohkem, kui teistel saitidel tavaliselt öeldakse. Alustame! Artikli sisu:
Ruutvõrrand on võrrand järgmisel kujul:
kus koefitsiendid a,bja suvaliste arvudega a≠0.
Koolikursusel antakse materjal järgmisel kujul - võrrandite jagamine kolmeks klassiks toimub tinglikult:
1. On kaks juurt.
2. * On ainult üks juur.
3. Ei oma juuri. Siinkohal tasub märkida, et neil pole tõelisi juuri
Kuidas juuri arvutatakse? Lihtsalt!
Arvutame diskriminandi. Selle "kohutava" sõna all peitub väga lihtne valem:
Juurevalemid on järgmised:
*Neid valemeid peab peast teadma.
Saate kohe kirja panna ja lahendada:
Näide:
1. Kui D > 0, siis on võrrandil kaks juurt.
2. Kui D = 0, siis on võrrandil üks juur.
3. Kui D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Vaatame võrrandit:
Sel korral, kui diskriminant on null, ütleb koolikursus, et saadakse üks juur, siin võrdub see üheksaga. See on õige, see on, aga...
See esitus on mõnevõrra vale. Tegelikult on kaks juurt. Jah, jah, ärge imestage, selgub kaks võrdset juurt ja et olla matemaatiliselt täpne, tuleks vastusesse kirjutada kaks juurt:
x 1 = 3 x 2 = 3
Aga see on nii – väike kõrvalepõige. Koolis saab kirja panna ja öelda, et on ainult üks juur.
Nüüd järgmine näide:
Nagu me teame, juur negatiivne arv ei ekstraheerita, seega pole antud juhul lahendust.
See on kogu otsustusprotsess.
Ruutfunktsioon.
Siin on lahendus geomeetriliselt. Seda on äärmiselt oluline mõista (edaspidi analüüsime ühes artiklis üksikasjalikult ruutvõrratuse lahendust).
See on vormi funktsioon:
kus x ja y on muutujad
a, b, c - antud numbrid, kus a ≠ 0
Graafik on parabool:
Ehk siis selgub, et lahendades ruutvõrrandi, kus "y" on võrdne nulliga, leiame parabooli lõikepunktid x-teljega. Neid punkte võib olla kaks (diskriminant on positiivne), üks (diskriminant on null) või mitte ükski (diskriminant on negatiivne). Lisateavet ruutfunktsiooni kohta Saate vaadata Inna Feldmani artikkel.
Mõelge näidetele:
Näide 1: Otsustage 2x 2 +8 x–192=0
a = 2 b = 8 c = -192
D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Vastus: x 1 = 8 x 2 = -12
* Võiks võrrandi vasaku ja parema külje kohe jagada 2-ga ehk lihtsustada. Arvutused on lihtsamad.
Näide 2: Otsustama x2–22 x+121 = 0
a=1 b=-22 c=121
D = b 2 – 4ac = (–22) 2 – 4∙1∙121 = 484–484 = 0
Saime x 1 \u003d 11 ja x 2 \u003d 11
Vastuses on lubatud kirjutada x = 11.
Vastus: x = 11
Näide 3: Otsustama x 2 –8x+72 = 0
a = 1 b = -8 c = 72
D = b 2 – 4ac = (–8) 2 –4, 1, 72 = 64–288 = –224
Diskriminant on negatiivne, reaalarvudes lahendus puudub.
Vastus: lahendust pole
Diskriminant on negatiivne. Lahendus on olemas!
Siin räägime võrrandi lahendamisest juhul, kui saadakse negatiivne diskriminant. Kas sa tead midagi kompleksarvud? Miks ja kus need tekkisid ning mis on nende konkreetne roll ja vajalikkus matemaatikas, ma siinkohal üksikasjalikult ei räägi, see on suure eraldi artikli teema.
Kompleksarvu mõiste.
Natuke teooriat.
Kompleksarv z on vormi arv
z = a + bi
kus a ja b on reaalarvud, siis i on nn imaginaarühik.
a+bi on ÜKS NUMBER, mitte lisand.
Imaginaarne ühik on võrdne miinus ühe juurega:
Nüüd kaaluge võrrandit:
Hankige kaks konjugeeritud juurt.
Mittetäielik ruutvõrrand.
Mõelge erijuhtudele, kui koefitsient "b" või "c" on võrdne nulliga (või mõlemad on võrdsed nulliga). Need on kergesti lahendatavad, ilma igasuguste diskrimineerimisvahenditeta.
Juhtum 1. Koefitsient b = 0.
Võrrand on järgmisel kujul:
Muutame:
Näide:
4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
Juhtum 2. Koefitsient c = 0.
Võrrand on järgmisel kujul:
Teisendada, faktoriseerida:
*Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga.
Näide:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 või x-5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Juhtum 3. Koefitsiendid b = 0 ja c = 0.
Siin on selge, et võrrandi lahendus on alati x = 0.
Kasulikud omadused ja koefitsientide mustrid.
On omadusi, mis võimaldavad lahendada suurte koefitsientidega võrrandeid.
Ax 2 + bx+ c=0 võrdsus
a + b+ c = 0, See
— kui võrrandi kordajate puhul Ax 2 + bx+ c=0 võrdsus
a+ koos =-gab, See
Need omadused aitavad lahendada teatud tüüpi võrrandit.
Näide 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Koefitsientide summa on 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, seega
Näide 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Võrdsus a+ koos =-gab, Tähendab
Koefitsientide seaduspärasused.
1. Kui võrrandis ax 2 + bx + c \u003d 0 on koefitsient "b" (a 2 +1) ja koefitsient "c" on arvuliselt võrdne koefitsiendiga "a", siis on selle juured
ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.
Näide. Vaatleme võrrandit 6x 2 +37x+6 = 0.
x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.
2. Kui võrrandis ax 2 - bx + c \u003d 0 on koefitsient "b" (a 2 +1) ja koefitsient "c" on arvuliselt võrdne koefitsiendiga "a", siis on selle juured
ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.
Näide. Vaatleme võrrandit 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Kui võrrandis ax 2 + bx - c = 0 koefitsient "b" võrdub (a 2 – 1) ja koefitsient “c” arvuliselt võrdne koefitsiendiga "a", siis on selle juured võrdsed
ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.
Näide. Vaatleme võrrandit 17x 2 + 288x - 17 = 0.
x 1 \u003d - 17 x 2 = 1/17.
4. Kui võrrandis ax 2 - bx - c \u003d 0 on koefitsient "b" võrdne (a 2 - 1) ja koefitsient c on arvuliselt võrdne koefitsiendiga "a", siis on selle juured
ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.
Näide. Vaatleme võrrandit 10x2 - 99x -10 = 0.
x 1 \u003d 10 x 2 = 1/10
Vieta teoreem.
Vieta teoreem on oma nime saanud kuulsa prantsuse matemaatiku Francois Vieta järgi. Vieta teoreemi kasutades saab väljendada suvalise KU juurte summat ja korrutist selle koefitsientide kaudu.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Kokkuvõttes annab arv 14 ainult 5 ja 9. Need on juured. Teatud oskusega saate esitatud teoreemi kasutades palju ruutvõrrandeid kohe suuliselt lahendada.
Vieta teoreem, pealegi. mugav, sest pärast ruutvõrrandi lahendamist tavapärasel viisil (läbi diskriminandi) saab kontrollida saadud juuri. Soovitan seda teha kogu aeg.
ÜLEKANDMISMEETOD
Selle meetodi korral korrutatakse koefitsient "a" vaba liikmega, justkui "ülekantakse" sellele, mistõttu seda nimetatakse ülekande meetod. Seda meetodit kasutatakse juhul, kui võrrandi juurte leidmine on lihtne Vieta teoreemi abil ja mis kõige tähtsam, kui diskriminant on täpne ruut.
Kui A± b+c≠ 0, siis kasutatakse ülekandetehnikat, näiteks:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Vastavalt Vieta teoreemile võrrandis (2) on lihtne kindlaks teha, et x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1
Saadud võrrandi juured tuleb jagada 2-ga (kuna need kaks “visati” x 2-st), saame
x 1 \u003d 5 x 2 = 0,5.
Mis on selle põhjendus? Vaata, mis toimub.
Võrrandite (1) ja (2) diskriminandid on järgmised:
Kui vaadata võrrandite juuri, siis saadakse ainult erinevad nimetajad ja tulemus sõltub täpselt koefitsiendist x 2 juures:
Teised (modifitseeritud) juured on 2 korda suuremad.
Seetõttu jagame tulemuse 2-ga.
*Kui veeretame kolmekesi, siis jagame tulemuse 3-ga jne.
Vastus: x 1 = 5 x 2 = 0,5
ruut ur-ie ja eksam.
Selle tähtsuse kohta ütlen lühidalt - OTSUSTADA PEAKS kiiresti ja mõtlemata, juurte ja eristaja valemeid on vaja peast teada. Paljud USE ülesannete osaks olevad ülesanded taanduvad ruutvõrrandi lahendamisele (kaasa arvatud geomeetrilised).
Mida tasub tähele panna!
1. Võrrandi vorm võib olla "kaudne". Näiteks on võimalik järgmine kirje:
15+ 9x 2 - 45x = 0 või 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 või 15 -5x + 10x 2 = 0.
Peate selle viima standardvormile (et mitte lahendamisel segadusse sattuda).
2. Pidage meeles, et x on tundmatu väärtus ja seda saab tähistada mis tahes muu tähega - t, q, p, h ja teised.
Ruutvõrrandi ülesandeid õpitakse nii kooli õppekavas kui ka ülikoolides. Neid mõistetakse võrranditena kujul a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kus x- muutuja, a,b,c – konstandid; a<>0 . Probleem seisneb võrrandi juurte leidmises.
Ruutvõrrandi geomeetriline tähendus
Funktsiooni graafik, mis on esitatud ruutvõrrandiga, on parabool. Ruutvõrrandi lahendid (juured) on parabooli ja x-telje lõikepunktid. Sellest järeldub, et võimalikke juhtumeid on kolm:
1) paraboolil ei ole lõikepunkte x-teljega. See tähendab, et see asub ülemises tasapinnas harudega ülespoole või alumisel tasapinnal allapoole. Sellistel juhtudel pole ruutvõrrandil tegelikke juuri (sellel on kaks keerulist juurt).
2) paraboolil on üks lõikepunkt teljega Ox. Sellist punkti nimetatakse parabooli tipuks ja selles olev ruutvõrrand omandab oma minimaalse või maksimaalse väärtuse. Sel juhul on ruutvõrrandil üks reaaljuur (või kaks identset juurt).
3) Viimane juhtum on praktikas huvitavam - parabooli ja abstsisstelje lõikepunkti on kaks. See tähendab, et võrrandil on kaks tegelikku juurt.
Muutujate astmetel olevate koefitsientide analüüsi põhjal saab teha huvitavaid järeldusi parabooli paigutuse kohta.
1) Kui koefitsient a on suurem kui null, siis on parabool suunatud ülespoole, kui see on negatiivne, siis on parabooli harud suunatud alla.
2) Kui koefitsient b on suurem kui null, siis asub parabooli tipp vasakul pooltasandil, kui ta võtab negatiivse väärtuse, siis paremal.
Ruutvõrrandi lahendamise valemi tuletamine
Kanname konstandi ruutvõrrandist üle 
võrdusmärgi jaoks saame avaldise
Korrutage mõlemad pooled 4a-ga 
Vasakpoolse täisruudu saamiseks lisage mõlemasse ossa b ^ 2 ja tehke teisendus
Siit leiame
Diskriminandi valem ja ruutvõrrandi juured
Diskriminant on radikaalavaldise väärtus. Kui see on positiivne, siis on võrrandil kaks reaaljuurt, mis arvutatakse valemiga 
Kui diskriminant on null, on ruutvõrrandil üks lahend (kaks kattuvat juurt), mida on lihtne saada ülaltoodud valemist D = 0. Kui diskriminant on negatiivne, pole võrrandil reaalseid juuri. Ruutvõrrandi lahendite uurimiseks aga sisse keeruline lennuk ja nende väärtus arvutatakse valemiga 
Vieta teoreem
Vaatleme ruutvõrrandi kahte juurt ja konstrueerime nende põhjal ruutvõrrand.Tähistusest järeldub kergesti Vieta teoreem ise: kui meil on vormi ruutvõrrand 
siis on selle juurte summa võrdne koefitsiendiga p, mis on võetud vastupidise märgiga, ja võrrandi juurte korrutis on võrdne vaba liikmega q. Ülaltoodud valem näeb välja selline. Kui klassikalise võrrandi konstant a on nullist erinev, peate kogu võrrandi sellega jagama ja seejärel rakendama Vieta teoreemi.
Tegurite ruutvõrrandi ajakava
Olgu püstitatud ülesanne: lagundada ruutvõrrand teguriteks. Selle sooritamiseks lahendame esmalt võrrandi (leiame juured). Järgmisena asendame leitud juured ruutvõrrandi laiendamise valemis See ülesanne lahendatakse.
Ruutvõrrandi ülesanded
Ülesanne 1. Leia ruutvõrrandi juured
x^2-26x+120=0 .
Lahendus: kirjuta koefitsiendid üles ja asenda diskriminandi valemis
Selle väärtuse juur on 14, seda on lihtne kalkulaatoriga leida või sagedase kasutamise korral meelde jätta, kuid mugavuse huvides annan teile artikli lõpus loendi arvude ruutudest, mis võivad sageli olla leida sellistes ülesannetes.
Leitud väärtus asendatakse juurvalemiga 
ja saame 
2. ülesanne. lahendage võrrand
2x2+x-3=0.
Lahendus: meil on täielik ruutvõrrand, kirjutame välja koefitsiendid ja leiame diskrimineerija 
Tuntud valemeid kasutades leiame ruutvõrrandi juured 
3. ülesanne. lahendage võrrand
9x2 -12x+4=0.
Lahendus: meil on täielik ruutvõrrand. Määrake diskrimineerija
Saime juhtumi, kui juured langevad kokku. Juurte väärtused leiame valemi järgi 
4. ülesanne. lahendage võrrand
x^2+x-6=0 .
Lahendus: juhtudel, kui x jaoks on väikesed koefitsiendid, on soovitatav rakendada Vieta teoreemi. Selle tingimuse järgi saame kaks võrrandit
Teisest tingimusest saame, et korrutis peab olema võrdne -6. See tähendab, et üks juurtest on negatiivne. Meil on järgmine võimalik lahenduspaar(-3;2), (3;-2) . Võttes arvesse esimest tingimust, lükkame teise paari lahendusi tagasi.
Võrrandi juured on
Ülesanne 5. Leia ristküliku külgede pikkused, kui selle ümbermõõt on 18 cm ja pindala on 77 cm 2.
Lahendus: pool ristküliku ümbermõõtu on võrdne külgnevate külgede summaga. Tähistame x - suuremat külge, siis 18-x on selle väiksem külg. Ristküliku pindala on võrdne nende pikkuste korrutisega:
x(18x)=77;
või
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Leia võrrandi diskriminant
Arvutame võrrandi juured 
Kui x=11, See 18x=7, ka vastupidi (kui x=7, siis 21-x=9).
Ülesanne 6. Faktoriseeri ruutvõrrand 10x 2 -11x+3=0.
Lahendus: Arvutage võrrandi juured, selleks leiame diskriminandi 
Asendame leitud väärtuse juurte valemiga ja arvutame 
Rakendame ruutvõrrandi juurtega laiendamise valemit 
Sulgusid laiendades saame identiteedi.
Ruutvõrrand parameetriga
Näide 1. Milliste parameetri väärtuste jaoks A , kas võrrandil (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 on üks juur?
Lahendus: Väärtuse a=3 otsesel asendamisel näeme, et sellel pole lahendust. Lisaks kasutame asjaolu, et null-diskriminandi korral on võrrandil üks kordsuse 2 juur. Kirjutame välja diskrimineerija 
lihtsustada ja võrdsustada nulliga
Parameetri a suhtes oleme saanud ruutvõrrandi, mille lahendust on lihtne saada Vieta teoreemi abil. Juurte summa on 7 ja nende korrutis on 12. Lihtsa loendamise abil teeme kindlaks, et arvud 3.4 on võrrandi juured. Kuna me oleme arvutuste alguses juba lahenduse a=3 tagasi lükanud, on ainus õige - a = 4. Seega, kui a = 4, on võrrandil üks juur.
Näide 2. Milliste parameetri väärtuste jaoks A , võrrand a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 on rohkem kui üks juur?
Lahendus: kaaluge esmalt ainsuse punkte, need on väärtused a=0 ja a=-3. Kui a=0, siis võrrand lihtsustatakse kujule 6x-9=0; x=3/2 ja seal on üks juur. Kui a= -3 saame identiteedi 0=0 .
Arvutage diskriminant 
ja leidke a väärtused, mille puhul see on positiivne 
Esimesest tingimusest saame a>3. Teise jaoks leiame diskriminandi ja võrrandi juured 
Määratleme intervallid, kus funktsioon võtab positiivseid väärtusi. Asendades punkti a=0 saame 3>0
.
Seega väljaspool intervalli (-3; 1/3) on funktsioon negatiivne. Ärge unustage punkti a=0 mis tuleks välja jätta, kuna algsel võrrandil on üks juur.
Selle tulemusena saame kaks intervalli, mis vastavad probleemi olukorrale 
Sarnaseid ülesandeid tuleb praktikas palju, proovige ülesannetega ise hakkama saada ja ärge unustage arvestada üksteist välistavate tingimustega. Õppige hästi ruutvõrrandite lahendamise valemeid, neid läheb üsna sageli vaja arvutustes erinevates ülesannetes ja teadustes.
