Kompleksarvude esitamine võrgus trigonomeetrilisel kujul. Kompleksarvu trigonomeetrilised ja eksponentsiaalsed vormid. Kompleksarvud xi

2.3. Kompleksarvude trigonomeetriline kuju

Olgu vektor antud keeruline lennuk number .

Tähistame φ-ga positiivse pooltelje Ox ja vektori vahelist nurka (nurk φ loetakse positiivseks, kui seda loetakse vastupäeva, ja negatiivseks muul juhul).

Tähistage vektori pikkust r-ga. Siis . Samuti tähistame

Nullist erineva kompleksarvu z kirjutamine as

nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks vormiks. Arvu r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja arvu φ nimetatakse selle kompleksarvu argumendiks ja tähistatakse Arg z-ga.

Kompleksarvu kirjutamise trigonomeetriline vorm - (Euleri valem) - kompleksarvu kirjutamise eksponentsiaalne vorm:

Kompleksarvul z on lõpmata palju argumente: kui φ0 on arvu z mis tahes argument, siis kõik teised on leitavad valemiga

Kompleksarvu puhul pole argumenti ja trigonomeetrilist vormi määratletud.

Seega on nullist erineva kompleksarvu argument võrrandisüsteemi mis tahes lahend:

(3)

Võrratusi rahuldava kompleksarvu z argumendi väärtust φ nimetatakse põhiväärtuseks ja tähistatakse arg z-ga.

Argumendid Arg z ja arg z on seotud võrdsusega

, (4)

Valem (5) on süsteemi (3) tagajärg, seega kõik kompleksarvu argumendid rahuldavad võrdsust (5), kuid mitte kõik võrrandi (5) lahendid φ pole arvu z argumendid.

Nullist erineva kompleksarvu argumendi põhiväärtus leitakse valemite abil:

Kompleksarvude korrutamise ja jagamise valemid trigonomeetriline vorm on järgmine vorm:

. (7)

Kompleksarvu tõstmisel loomuliku astmeni kasutatakse de Moivre'i valemit:

Kompleksarvust juure eraldamisel kasutatakse valemit:

, (9)

kus k = 0, 1, 2, …, n-1.

Ülesanne 54. Arvutage , kus .

Esitame selle avaldise lahendi kompleksarvu kirjutamise eksponentsiaalsel kujul: .

Kui siis .

Siis , . Seetõttu siis Ja , Kus.

Vastus: , kell .

Ülesanne 55. Kirjutage kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul:

A) ; b) ; V) ; G) ; e) ; e) ; ja) .

Kuna kompleksarvu trigonomeetriline kuju on , siis:

a) Kompleksarvus: .

Sellepärast

b) , Kus,

G) , Kus,

e) .

ja) , A , See.

Sellepärast

Vastus: ; 4; ; ; ; ; .

Ülesanne 56. Leia kompleksarvu trigonomeetriline kuju

lase , .

Siis , , .

Sest ja , , siis , ja

Seetõttu seega

Vastus: , Kus.

Ülesanne 57. Kasutades kompleksarvu trigonomeetrilist kuju, tee järgmised toimingud: .

Kujutage ette numbreid ja trigonomeetrilisel kujul.

1), kus Siis

Peamise argumendi väärtuse leidmine:

Asendage väärtused ja avaldisesse, saame

2) kus siis

Siis

3) Leidke jagatis

Eeldades, et k=0, 1, 2, saame kolm erinevaid tähendusi soovitud juur:

Kui siis

kui siis

kui siis .

Vastus: :

: .

Ülesanne 58. Olgu , , , erinevad kompleksarvud ja . Tõesta seda

a) number on reaalne positiivne arv;

b) võrdsus toimub:

a) Esitame need kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul:

Sest .

Teeskleme seda. Siis

Viimane avaldis on positiivne arv, kuna siinusmärkide all on arvud intervallist.

sest number tõeline ja positiivne. Tõepoolest, kui a ja b on kompleksarvud ja on reaalsed ja suuremad kui null, siis .

Pealegi,

seega on nõutav võrdsus tõestatud.

Ülesanne 59. Kirjutage arv algebralisel kujul .

Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul ja seejärel leiame selle algebralise vormi. Meil on . Sest saame süsteemi:

Sellest tuleneb võrdsus: .

De Moivre'i valemi rakendamine:

saame

Leitud trigonomeetriline vorm antud number.

Nüüd kirjutame selle arvu algebralises vormis:

Vastus: .

Ülesanne 60. Leia summa , ,

Mõelge summale

De Moivre'i valemit rakendades leiame

See summa on n liikme summa geomeetriline progressioon koos nimetajaga ja esimene liige .

Rakendades sellise progressiooni tingimuste summa valemit, saame

Esiletõstmine kujuteldav osa viimases väljendis leiame

Reaalosa eraldamisel saame ka järgmise valemi: , , .

Ülesanne 61. Leia summa:

A) ; b) .

Newtoni võimsuseks tõstmise valemi järgi on meil

De Moivre'i valemi järgi leiame:

Võrdsustades saadud avaldiste tegelikud ja imaginaarsed osad, saame:

Ja .

Neid valemeid saab kompaktsel kujul kirjutada järgmiselt:

, Kus - terve osa numbrid a.

Ülesanne 62. Leia kõik, mille jaoks .

Kuna , seejärel rakendades valemit

, Juurte ekstraheerimiseks saame ,

Seega , ,

, .

Arvudele vastavad punktid asuvad ruudu tippudes, mis on kirjutatud raadiusega 2 ringi, mille keskpunkt on (0;0) (joonis 30).

Vastus: , ,

, .

Ülesanne 63. Lahenda võrrand , .

Tingimuse järgi; seetõttu pole sellel võrrandil juurt ja seepärast on see võrrandiga samaväärne.

Selleks, et arv z oleks selle võrrandi juur, on vajalik, et arv oleks juur n aste numbrist 1.

Siit järeldame, et algsel võrrandil on võrdsustest määratud juured

Seega

st. ,

Vastus: .

Ülesanne 64. Lahendage võrrand kompleksarvude hulgas.

Kuna arv ei ole selle võrrandi juur, siis on see võrrand võrdne võrrandiga

See tähendab, võrrand.

Kõik selle võrrandi juured saadakse valemist (vt ülesannet 62):

; ; ; ; .

Ülesanne 65. Joonistage komplekstasandile punktide hulk, mis rahuldavad võrratusi: . (2. viis probleemi 45 lahendamiseks)

Lase .

Samade moodulitega kompleksarvud vastavad tasandi punktidele, mis asuvad ringjoonel, mille keskpunkt on alguspunktis, seega ebavõrdsus rahuldada kõik punktid avatud ring, mida piiravad ringid, mille lähtepunktis on ühine keskpunkt ja raadiused ning (joonis 31). Vastagu mõni komplekstasandi punkt arvule w0. Number , mille moodul on kordades väiksem kui moodul w0, argument, mis on suurem kui argument w0. Geomeetrilisest vaatenurgast võib punktile w1 vastava punkti saada, kasutades algpunkti ja koefitsiendi tsentreeritud homoteeti, samuti lähtepunkti suhtes vastupäeva pööramist. Nende kahe teisenduse rakendamisel rõnga punktidele (joonis 31) muutub viimane rõngaks, mida piiravad ringid, millel on sama keskpunkt ja raadiused 1 ja 2 (joonis 32).

muutumine on realiseeritud paralleeltõlke abil vektoril . Viies punktis tsentreeritud rõnga näidatud vektorisse, saame sama suurusega rõnga, mille keskpunkt on punktis (joonis 22).

Väljapakutud meetod, mis kasutab tasapinna geomeetriliste teisenduste ideed, on kirjelduses ilmselt vähem mugav, kuid see on väga elegantne ja tõhus.

Ülesanne 66. Leia, kui .

Laske siis ja . Algne võrdsus võtab kuju . Kahe kompleksarvu võrdsuse tingimusest saame , , kust , . Seega,.

Kirjutame arvu z trigonomeetrilisel kujul:

, Kus,. De Moivre'i valemi järgi leiame .

Vastus: - 64.

Ülesanne 67. Kompleksarvu jaoks leia kõik sellised kompleksarvud, et , ja .

Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul:

. Seega,. Saadud arvu korral võib olla võrdne ükskõik kummaga.

Esimesel juhul , teises

Vastus: , .

Ülesanne 68. Leia arvude summa nii, et . Määrake üks neist numbritest.

Pange tähele, et juba ülesande sõnastusest võib aru saada, et võrrandi juurte summa võib leida ilma juuri arvutamata. Tõepoolest, võrrandi juurte summa on koefitsient , mis on võetud vastupidise märgiga (üldistatud Vieta teoreem), s.o.

Õpilased, kooli dokumentatsioon, teevad järeldusi assimilatsiooniastme kohta see kontseptsioon. Tehke kokkuvõte matemaatilise mõtlemise tunnuste uurimisest ja kompleksarvu mõiste kujunemise protsessist. Meetodite kirjeldus. Diagnostika: I etapp. Intervjuu viidi läbi matemaatikaõpetajaga, kes õpetab 10. klassis algebrat ja geomeetriat. Vestlus leidis aset mõne aja möödudes...

Resonants" (!)), mis sisaldab ka hinnangut enda käitumisele. 4. Kriitiline hinnang oma arusaamale olukorrast (kahtlused). 5. Lõpuks soovituste kasutamine. õiguspsühholoogia(advokaadi raamatupidamine psühholoogilised aspektid sooritatud professionaalsed toimingud – professionaalne ja psühholoogiline valmisolek). Mõelge nüüd juriidiliste faktide psühholoogilisele analüüsile. ...

Trigonomeetrilise asendamise matemaatika ja väljatöötatud õppemetoodika efektiivsuse kontrollimine. Tööetapid: 1. Valikkursuse väljatöötamine teemal "Trigonomeetrilise asendustöö kasutamine algebraülesannete lahendamisel" õpilastega klassidest, kus süvaõpe matemaatika. 2. Väljatöötatud valikkursuse läbiviimine. 3. Diagnostilise kontrolli läbiviimine...

Kognitiivsed ülesanded on mõeldud ainult olemasolevate õppevahendite täiendamiseks ning peaksid olema sobivas kombinatsioonis kõigi traditsiooniliste vahendite ja elementidega. haridusprotsess. Õpieesmärkide erinevus õppetöös humanitaarteadused täpsest, alates matemaatika ülesandeid seisneb vaid selles, et ajalooülesannetes puuduvad valemid, jäigad algoritmid jms, mis raskendab nende lahendamist. ...

Loeng

Kompleksarvu trigonomeetriline kuju

Plaan

1.Kompleksarvude geomeetriline esitus.

2.Kompleksarvude trigonomeetriline tähistus.

3. Tegevused kompleksarvudega trigonomeetrilisel kujul.

Kompleksarvude geomeetriline esitus.

a) Kompleksarvud esitatakse tasandi punktidega vastavalt järgmisele reeglile: a + bi = M ( a ; b ) (Joonis 1).

1. pilt

b) Kompleksarvu saab esitada vektorina, mis algab punktistKOHTA ja lõpeb etteantud punktis (joonis 2).

Joonis 2

Näide 7. Joonistage kompleksarve esindavad punktid:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (joonis 3).

Joonis 3

Kompleksarvude trigonomeetriline tähistus.

Kompleksnumberz = a + bi saab määrata raadiuse - vektori abil koordinaatidega( a ; b ) (joonis 4).

Joonis 4

Definitsioon . Vektori pikkus esindab kompleksarvuz , nimetatakse selle arvu mooduliks ja tähistatakse võir .

Mis tahes kompleksarvu jaoksz selle moodulr = | z | määratakse üheselt valemiga .

Definitsioon . Reaaltelje positiivse suuna ja vektori vahelise nurga väärtus kompleksarvu esindamist nimetatakse selle kompleksarvu argumendiks ja seda tähistatakseA rg z võiφ .

Kompleksarvu argumentz = 0 määramata. Kompleksarvu argumentz≠ 0 on mitme väärtusega suurus ja määratakse kuni tähtajani2πk (k = 0; -1; 1; -2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , Kusarg z - argumendi põhiväärtus, mis on intervalliga ümbritsetud(-π; π] , see on-π < arg z ≤ π (mõnikord võetakse argumendi põhiväärtuseks intervallile kuuluv väärtus .

See valem selleksr =1 mida sageli nimetatakse De Moivre'i valemiks:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Näide 11 Arvutage(1 + i ) 100 .

Kirjutame kompleksarvu1 + i trigonomeetrilisel kujul.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + ma patustan )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + ma patustan 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = -2 50 .

4) Ekstraheerimine ruutjuur kompleksarvust.

Kompleksarvu ruutjuure eraldamisela + bi meil on kaks juhtumit:

Kuib > umbes , See ;

3.1. Polaarkoordinaadid

Kasutatakse sageli lennukis polaarkoordinaatide süsteem . See on määratletud, kui punkt O on antud, kutsutud poolus, ja poolusest väljuv kiir (meie jaoks on see telg Ox) on polaartelg. Punkti M asukoht on fikseeritud kahe numbriga: raadius (või raadiuse vektor) ning polaartelje ja vektori vaheline nurk φ. Nurka φ nimetatakse polaarnurk; mõõdetuna radiaanides ja loendatuna polaarteljest vastupäeva.

Punkti asukoha polaarkoordinaatide süsteemis annab järjestatud arvupaar (r; φ). Masti juures r = 0 ja φ ei ole määratletud. Kõigi muude punktide jaoks r > 0 ja φ on defineeritud kuni 2π kordseni. Sel juhul omistatakse arvupaaridele (r; φ) ja (r 1 ; φ 1) sama punkt, kui .

Ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi jaoks xOy Descartes'i koordinaadid Punkte on polaarkoordinaatide abil lihtne väljendada järgmiselt:

3.2. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendamine

Mõelge Descartes'i tasapinnale ristkülikukujuline süsteem koordinaadid xOy.

Mis tahes kompleksarvule z=(a, b) määratakse tasandi punkt koordinaatidega ( x, y), Kus koordinaat x = a, s.t. kompleksarvu reaalosa ja koordinaat y = bi on imaginaarne osa.

Tasand, mille punktid on kompleksarvud, on komplekstasand.

Joonisel kompleksarv z = (a, b) mängupunkt M(x, y).

Harjutus.Pilt peal koordinaattasand kompleksarvud:

3.3. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju

Kompleksarvul tasapinnal on punkti koordinaadid M(x; y). Kus:

Kompleksarvu kirjutamine - kompleksarvu trigonomeetriline vorm.

Kutsutakse numbrit r moodul kompleksarv z ja on tähistatud. Moodul on mittenegatiivne reaalarv. Sest .

Moodul on null siis ja ainult siis z = 0, st. a=b=0.

Kutsutakse numbrit φ argument z ja tähistatud. Argument z on määratletud mitmetähenduslikult, nagu polaarnurk polaarkoordinaatide süsteemis, nimelt kuni 2π kordseni.

Seejärel aktsepteerime: , kus φ on väikseim väärtus argument. See on ilmne

Teema sügavamal uurimisel tuuakse sisse abiargument φ*, nii et

Näide 1. Leidke kompleksarvu trigonomeetriline vorm.

Lahendus. 1) käsitleme moodulit: ;

2) otsin φ: ;

3) trigonomeetriline vorm:

Näide 2 Leia kompleksarvu algebraline vorm .

Siin piisab väärtuste asendamisest trigonomeetrilised funktsioonid ja teisendage väljend:

Näide 3 Leia kompleksarvu moodul ja argument ;

1) ;

2) ; φ - 4 kvartali jooksul:

3.4. Tehted kompleksarvudega trigonomeetrilisel kujul

· Liitmine ja lahutamine kompleksarvudega on mugavam teostada algebralises vormis:

· Korrutamine– lihtsate trigonomeetriliste teisenduste abil saab seda näidata korrutamisel korrutatakse arvude moodulid ja lisatakse argumendid: ;

KEERULISED NUMBRID XI

§ 256. Kompleksarvude trigonomeetriline kuju

Olgu kompleksarv a + bi vastab vektorile OA> koordinaatidega ( a, b ) (vt joonis 332).

Tähistage selle vektori pikkust r ja nurk, mille see teljega moodustab X , läbi φ . Siinuse ja koosinuse määratluse järgi:

a / r = cos φ , b / r = patt φ .

Sellepärast A = r cos φ , b = r patt φ . Aga antud juhul kompleksarv a + bi võib kirjutada järgmiselt:

a + bi = r cos φ + ir patt φ = r (cos φ + i patt φ ).

Nagu teate, on mis tahes vektori pikkuse ruut võrdne selle koordinaatide ruutude summaga. Sellepärast r 2 = a 2 + b 2, kust r = √a 2 + b 2

Niisiis, mis tahes kompleksarv a + bi saab kujutada kui :

a + bi = r (cos φ + i patt φ ), (1)

kus r = √a 2 + b 2 ja nurk φ määratud tingimusest:

Sellist kompleksarvude kirjutamise vormi nimetatakse trigonomeetriline.

Number r valemis (1) nimetatakse moodul ja nurk φ - argument, kompleksarv a + bi .

Kui kompleksarv a + bi ei ole võrdne nulliga, siis on selle moodul positiivne; kui a + bi = 0, siis a = b = 0 ja siis r = 0.

Iga kompleksarvu moodul määratakse üheselt.

Kui kompleksarv a + bi ei ole võrdne nulliga, siis määratakse selle argument valemitega (2) kindlasti kuni nurga kordne 2 π . Kui a + bi = 0, siis a = b = 0. Sel juhul r = 0. Valemist (1) on seda lihtne argumendina mõista φ sel juhul saate valida mis tahes nurga: lõppude lõpuks iga jaoks φ

0 (maks φ + i patt φ ) = 0.

Seetõttu ei ole nullargument defineeritud.

Kompleksarvu moodul r mõnikord tähistavad | z | ja argument arg z . Vaatame mõnda näidet kompleksarvude esitamisest trigonomeetrilisel kujul.

Näide. 1. 1 + i .

Leiame mooduli r ja argument φ see number.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Seetõttu patt φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, kust φ = π / 4 + 2nπ .

Seega

1 + i = √ 2 ,

Kus P - mis tahes täisarv. Tavaliselt valitakse kompleksarvu argumendi lõpmatust väärtuste hulgast üks, mis jääb vahemikku 0 kuni 2 π . Sel juhul on see väärtus π / 4 . Sellepärast

1 + i = √ 2 (maks π / 4 + i patt π / 4)

Näide 2 Kirjutage trigonomeetrilisel kujul kompleksarv √ 3 - i . Meil on:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3/2, sin φ = - 1 / 2

Seega kuni nurgani, mis jagub 2-ga π , φ = 11 / 6 π ; seega,

√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i patt 11/6 π ).

Näide 3 Kirjutage trigonomeetrilisel kujul kompleksarv mina .

kompleksarv i vastab vektorile OA> mis lõpeb telje punktis A juures ordinaadiga 1 (joonis 333). Sellise vektori pikkus on 1 ja nurk, mille see moodustab abstsissteljega, on võrdne π / 2. Sellepärast

i = cos π / 2 + i patt π / 2 .

Näide 4 Kirjutage kompleksarv 3 trigonomeetrilisel kujul.

Kompleksarv 3 vastab vektorile OA > X abstsiss 3 (joonis 334).

Sellise vektori pikkus on 3 ja nurk, mille ta teeb x-teljega, on 0. Seega

3 = 3 (cos 0 + i patt 0),

Näide 5 Kirjutage trigonomeetrilisel kujul kompleksarv -5.

Kompleksarv -5 vastab vektorile OA> lõpeb telje punktis X abstsissiga -5 (joonis 335). Sellise vektori pikkus on 5 ja nurk, mille see teeb x-teljega, on π . Sellepärast

5 = 5 (tas π + i patt π ).

Harjutused

2047. Kirjutage need kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul, määratledes nende moodulid ja argumendid:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Märkige tasapinnal kompleksarve esindavate punktide hulgad, mille moodulid r ja argumendid φ vastavad tingimustele:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Kas arvud võivad olla korraga kompleksarvu mooduliks? r Ja - r ?

2050. Kas kompleksarvu argument võib olla samal ajal ka nurgad φ Ja - φ ?

Esitage need kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul, määratledes nende moodulid ja argumendid:

2051*. 1 + cos α + i patt α . 2054*. 2 (cos 20° - i sin 20°).

2052*. patt φ + i cos φ . 2055*. 3 (- cos 15° - i sin 15°).

Tegevused algebralisel kujul kirjutatud kompleksarvudele

Kompleksarvu z = algebraline vorm(a,b). nimetatakse vormi algebraliseks avaldiseks

z = a + bi.

Aritmeetilised toimingud kompleksarvudega z 1 = a 1 +b 1 i Ja z 2 = a 2 +b 2 i, mis on kirjutatud algebralises vormis, viiakse läbi järgmiselt.

1. Kompleksarvude summa (vahe).

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙ mina,

need. liitmine (lahutamine) viiakse läbi vastavalt polünoomide liitmise reeglile sarnaste liikmete redutseerimisega.

2. Kompleksarvude korrutis

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙ mina,

need. korrutamine toimub polünoomide korrutamise tavapärase reegli järgi, võttes arvesse asjaolu, et i 2 = 1.

3. Kahe kompleksarvu jagamine toimub järgmise reegli järgi:

, (z 2 ≠ 0),

need. jagamine toimub dividendi ja jagaja korrutamisel jagaja konjugaadiga.

Kompleksarvude astendamine on defineeritud järgmiselt:

Seda on lihtne näidata

Näited.

1. Leidke kompleksarvude summa z 1 = 2 – i Ja z 2 = – 4 + 3i.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙ mina)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Leidke kompleksarvude korrutis z 1 = 2 – 3i Ja z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3ma∙ 5i = 7+22i.

3. Leidke privaatne z divisjonist z 1 \u003d 3–2 z 2 = 3 – i.

z= .

4. Lahendage võrrand:, x Ja y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Kompleksarvude võrdsuse tõttu on meil:

kus x=–1 , y= 4.

5. Arvutage: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Arvutage, kui .

7. Arvutage arvu pöördväärtus z=3-i.

Kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul

keeruline lennuk nimetatakse tasapinnaks ristkoordinaatidega ( x, y), kui iga punkt koordinaatidega ( a, b) on määratud kompleksarv z = a + bi. Sel juhul nimetatakse abstsisstelge tegelik telg, ja y-telg on kujuteldav. Siis iga kompleksarv a+bi geomeetriliselt kujutatud tasapinnal punktina A (a, b) või vektor .

Seega punkti asend A(ja sellest ka kompleksarv z) saab määrata vektori | pikkusega | = r ja nurk j moodustatud vektorist | | reaaltelje positiivse suunaga. Vektori pikkust nimetatakse kompleksarvu moodul ja seda tähistatakse | z|=r ja nurk j helistas kompleksarvu argument ja tähistatud j = argz.

On selge, et | z| ³ 0 ja | z | = 0 Û z= 0.

Jooniselt fig. 2 näitab seda.

Kompleksarvu argument on defineeritud mitmetähenduslikult ja kuni 2 pk, kÎ Z.

Jooniselt fig. 2 näitab ka seda, et kui z=a+bi Ja j=argz, See

cos j =, patt j =, tg j = .

Kui zОR Ja z > 0 siis argz = 0 +2pk;

Kui z ОR Ja z< 0 siis argz = p + 2pk;

Kui z= 0,argz määramata.

Argumendi põhiväärtus määratakse intervallil 0 £argz 2 naela p,

või -lk£ arg z £ p.

Näited:

1. Leidke kompleksarvude moodul z 1 = 4 – 3i Ja z 2 = –2–2i.