Statistilise metoodika esimese elemendi olemus on esmaste andmete kogumine uuritava objekti kohta. Näiteks: riigi rahvaloenduse käigus kogutakse iga selle territooriumil elava inimese kohta andmeid, mis kantakse erivormile.

Teine element: kokkuvõte ja rühmitamine on vaatlusetapil saadud andmete kogumi jagamine homogeenseteks rühmadeks ühe või mitme tunnuse järgi. Näiteks materjalide rühmitamise tulemusena on loendus jagatud rühmadesse (soo, vanuse, rahvaarvu, hariduse jne järgi).

Statistilise metoodika kolmanda elemendi olemus seisneb üldistamise arvutamises ja sotsiaal-majanduslikus tõlgendamises. statistilised näitajad:

1. Absoluutne

2. Sugulane

3. Keskmine

4. Variatsiooninäitajad

5. Kõlarid

Statistilise metoodika kolm põhielementi moodustavad ka iga statistilise uuringu kolm etappi.

3. Õigus suured numbrid ja statistiline korrektsus.

Suurte arvude seadus mängib statistilises metoodikas olulist rolli. Kõige rohkem üldine vaade selle võib sõnastada järgmiselt:

Suurte arvude seadus on üldpõhimõte, mille alusel kumulatiivsed tegevused suur hulk juhuslikud tegurid viivad teatud üldistel tingimustel juhuslikkusest peaaegu sõltumatu tulemuseni.

Suurte arvude seaduse genereerivad massinähtuste eriomadused. Viimaste massinähtused omakorda erinevad ühelt poolt oma individuaalsuse tõttu üksteisest, teisalt on neil ühisosa, mis määrab nende kuulumise teatud klassi.

Üksik nähtus on juhuslike ja ebaoluliste tegurite mõjule vastuvõtlikum kui nähtuste mass tervikuna. Teatud tingimustel võib üksiku üksuse tunnuse väärtust pidada juhuslikuks muutujaks, arvestades, et see ei allu mitte ainult üldisele mustrile, vaid moodustub ka tingimuste mõjul, mis sellest mustrist ei sõltu. Just sel põhjusel kasutatakse statistikas laialdaselt keskmisi, mis iseloomustavad kogu elanikkonda ühe numbriga. Vaid suure hulga vaatluste korral tasakaalustatakse, tühistatakse juhuslikud kõrvalekalded peamisest arengusuunast ning statistiline seaduspärasus avaldub selgemalt. Seega seisneb suurte arvude seaduse olemus selles, et massstatistilise vaatluse tulemust kokkuvõtvates arvudes avaldub sotsiaalmajanduslike nähtuste arengumuster selgemini kui väikese statistilise uuringuga.

4. Statistika harud.

Pooleli ajalooline areng Statistika kui ühtse teaduse osana on tekkinud ja saavutanud teatud iseseisvuse järgmised harud:

1. Üldine teooria statistika, mis arendab ühiskonnaelu kvantitatiivsete mustrite mõõtmise kategooriate ja meetodite kontseptsiooni.

2. Majandusstatistika, mis uurib taastootmisprotsesside kvantitatiivseid mustreid erinevatel tasanditel.

3. Sotsiaalstatistika, mis uurib ühiskonna sotsiaalse infrastruktuuri arengu kvantitatiivset poolt (tervishoiu-, hariduse-, kultuuri-, moraali-, kohtu- jne statistika).

4. Tööstusstatistika (tööstuse, agrotööstuskompleksi, transpordi, side jne statistika).

Kõik statistikaharud, arendades ja täiustades oma metoodikat, aitavad kaasa statistikateaduse kui terviku arengule.

5. Statistikateaduse põhimõisted ja kategooriad üldiselt.

Statistiline agregaat on sama tüüpi elementide kogum, mis on mõnes mõttes sarnased ja mõnes osas erinevad. Näiteks: see on majandussektorite kogum, ülikoolide kogum, disainibüroode vaheline koostöö jne.

Statistilise üldkogumi üksikuid elemente nimetatakse selle ühikuteks. Eelpool käsitletud näidetes on üldkogumi üksusteks vastavalt tööstus, ülikool (üks) ja töötaja.

Populatsiooni üksustel on tavaliselt palju tunnuseid.

Märk on rahvastiku üksuste omadus, väljendades nende olemust ja omades varieerumisvõimet, s.t. muuta. Märke, millel on populatsiooni üksikutes ühikutes üks väärtus, nimetatakse varieeruvateks ja väärtused ise on valikuvõimalused.

Muutuvad märgid jagunevad atributiivseteks või kvalitatiivseteks. Atribuuti nimetatakse atributiivseks või kvalitatiivseks, kui selle eraldiseisev väärtus (variandid) on väljendatud nähtusele omase oleku või omadustena. Atributiivsete tunnuste variandid väljenduvad verbaalses vormis. Selliste märkide näited võivad olla majanduslikud.

Atribuuti nimetatakse kvantitatiivseks, kui selle individuaalne väärtus on väljendatud numbrite kujul. Näiteks: palk, stipendium, vanus, suurus OF.

Variatsiooni olemuse järgi jagunevad kvantitatiivsed märgid diskreetseteks ja pidevateks.

Diskreetsed - sellised kvantitatiivsed märgid, mis võivad reeglina omandada ainult täpselt määratletud täisarvu.

Pidev – on sellised märgid, mis teatud piirides võivad omandada nii täis- kui ka murdarvu väärtuse. Näiteks: riigi RKT vms.

Samuti on esmased ja sekundaarsed omadused.

Peamised tunnused iseloomustavad uuritava nähtuse või protsessi põhisisu ja olemust.

Sekundaarsed märgid annavad Lisainformatsioon ja on otseselt seotud nähtuse sisemise sisuga.

Sõltuvalt konkreetse uuringu eesmärkidest võivad samad märgid samadel juhtudel olla esmased, teistel aga sekundaarsed.

Statistiline näitaja on kategooria, mis kajastab sotsiaal-majanduslike nähtuste tunnuste mõõtmeid ja kvantitatiivseid suhteid ning nende kvalitatiivset kindlust konkreetsetes koha- ja ajatingimustes. Tuleb teha vahet statistilise näitaja sisul ja selle spetsiifilisel arvulisel väljendusel. Sisu, st. kvalitatiivne kindlus seisneb selles, et näitajad iseloomustavad alati sotsiaal-majanduslikke kategooriaid (rahvastik, majandus, finantsasutused jne). Statistiliste näitajate kvantitatiivsed mõõtmed, s.o. nende arvväärtused sõltuvad peamiselt statistilise uurimistöö objekti ajast ja kohast.

Sotsiaalmajanduslikke nähtusi ei saa reeglina iseloomustada ühegi näitajaga, näiteks: elanikkonna elatustase. Uuritavate nähtuste igakülgseks terviklikuks iseloomustamiseks on vajalik teaduslikult põhjendatud statistiliste näitajate süsteem. Selline süsteem ei ole püsiv. Seda täiustatakse pidevalt sotsiaalse arengu vajadustest lähtuvalt.

6. Statistikateaduse ja -praktika ülesanded turumajanduse arengu tingimustes.

Statistika peamised ülesanded Venemaa turusuhete arengu kontekstis on järgmised:

1. Raamatupidamise ja aruandluse parandamine ning dokumendivoo vähendamine selle alusel.

Peate õppima järgmisi teema põhiteemasid:

Statistika seos turumajanduse teooria ja praktikaga

Statistika ülesanded

Statistika mõisted ja meetodid

Suurte arvude seadus, statistiline seaduspärasus

Õppetund 1. Sissejuhatus

1. Statistika ajalugu

Statistika on iseseisev sotsiaalteadus, millel on oma uurimisaine ja -meetod. See tekkis ühiskondliku elu praktilistest vajadustest. Juba sees iidne maailm tekkis vajadus loendada osariigi elanike arv, arvestada sõjategevuseks sobivaid inimesi, määrata kariloomade arv, maa suurus ja muu vara. Seda laadi teave oli vajalik maksude kogumiseks, sõdade pidamiseks jne. Tulevikus ühiskonnaelu arenedes laieneb järk-järgult arvesse võetavate nähtuste ring.

Kogutava teabe maht on eriti suurenenud kapitalismi ja maailma majandussidemete arenguga. Selle perioodi vajadused sundisid valitsusorganeid ja kapitalistlikke ettevõtteid praktilistel eesmärkidel koguma ulatuslikku ja mitmekesist teavet tööturgude ning kaupade ja tooraine müügi kohta.

17. sajandi keskel tekkis Inglismaal teaduslik suund, mida kutsuti "poliitiline aritmeetika". Selle suundumuse algatasid William Petit (1623-1687) ja John Graunt (1620-1674). "Poliitiline aritmeetika", mis põhines massiliste sotsiaalsete nähtuste teabe uurimisel, püüdis avastada ühiskonnaelu mustreid ja seeläbi tuua välja kapitalismi arenguga seoses kerkinud küsimusi.

Koos "poliitilise aritmeetika" koolkonnaga Inglismaal arenes Saksamaal välja kirjeldava statistika ehk "riigiuuringute" koolkond. Selle teaduse tekkimine pärineb 1660. aastast.

Poliitilise aritmeetika ja riigiteaduse areng tõi kaasa statistikateaduse tekkimise.

Mõiste "statistika" tuleb ladinakeelsest sõnast "status", mis tõlkes tähendab positsiooni, seisundit, nähtuste järjekorda.

Mõiste "statistika" tõi teaduskäibesse Göttingeni ülikooli professor Gottfried Achenwal (1719-1772).

Sõltuvalt uurimisobjektist jaguneb statistika kui teadus sotsiaal-, demograafiliseks, majandus-, tööstus-, kaubandus-, pangandus-, finants-, meditsiini- jne. Üldised omadused statistilisi andmeid, olenemata nende olemusest ja analüüsimeetoditest, peetakse matemaatiliseks statistikaks ja statistika üldteooriaks.

Statistika teema . Statistika tegeleb eelkõige ühiskonnaelu nähtuste ja protsesside kvantitatiivse poolega. Statistika üks iseloomulikke tunnuseid on see, et sotsiaalsete nähtuste ja protsesside kvantitatiivse poole uurimisel kajastatakse alati uuritavate nähtuste kvalitatiivseid tunnuseid, s.o. uurib kvantiteeti lahutamatus seoses, ühtsust kvaliteediga.

Kvaliteet teaduslikus ja filosoofilises arusaamas on objektile või nähtusele omased omadused, mis eristavad seda objekti või nähtust teistest. Kvaliteet on see, mis muudab objektid ja nähtused kindlateks. Kasutades filosoofilist terminoloogiat, võime öelda, et statistika uurib sotsiaalseid nähtusi kui nende kvalitatiivse ja kvantitatiivse kindluse ühtsust, s.t. uurib sotsiaalsete nähtuste mõõtu.

Statistiline metoodika . Statistilise metoodika kõige olulisemad elemendid on:

massiline jälgimine

rühmitamine, üldistavate (kokkuvõtvate) tunnuste rakendamine;

statistiliste faktide analüüs ja üldistamine ning seaduspärasuste tuvastamine uuritavates nähtustes.

Vaatame neid elemente lähemalt.

Mis tahes massinähtuse iseloomustamiseks kvantitatiivsest vaatenurgast tuleb esmalt koguda teavet selle koostisosade kohta. See saavutatakse massivaatluse abil, mis viiakse läbi statistikateaduse välja töötatud reeglite ja meetodite alusel.

Statistilise vaatluse käigus kogutud teavet täiendatakse kokkuvõte (esmane teaduslik töötlemine), mille käigus eristatakse kogu uuritavate üksuste kogust iseloomulikud osad (rühmad) Rühmade ja alamrühmade valikut kogu uuritavast massist nimetatakse statistikas. rühmitamine . Kogutud teabe töötlemise ja analüüsimise aluseks on rühmitamine statistikas. See viiakse läbi teatud põhimõtete ja reeglite alusel.

Statistilise teabe töötlemise protsessis iseloomustatakse uuritavate üksuste kogumit ja selle rühmitamismeetodi kasutamise alusel valitud osi digitaalsete näitajate süsteemiga: absoluut- ja keskmised väärtused, suhtelised väärtused, dünaamika näitajad jne.

3. Statistika ülesanded

Täielik ja usaldusväärne statistiline teave on majandusjuhtimise protsessi aluseks. Juhtimisotsuste tegemine kõigil tasanditel, alates riiklikust või piirkondlikust tasemest kuni üksikettevõtte või eraettevõtte tasandini, on võimatu ilma ametliku statistika toetuseta.

Just statistilised andmed võimaldavad määrata sisemajanduse koguprodukti ja rahvatulu mahtu, selgitada välja majandussektorite arengu peamised suundumused, hinnata inflatsiooni taset, analüüsida finants- ja kaubaturgude olukorda, uurida elanikkonna elatustaset ja muid sotsiaalmajanduslikke nähtusi ja protsesse.

Statistika on teadus, mis uurib massinähtuste ja protsesside kvantitatiivset poolt tihedas seoses nende kvalitatiivse poolega, ühiskonna arengu seaduspärasuste kvantitatiivne väljendus konkreetsetes koha- ja ajatingimustes.

Saamise eest statistiline teave riiklikud ja osakondade statistikaorganid, samuti äristruktuurid viivad läbi mitmesuguseid statistilisi uuringuid. Nagu juba märgitud, hõlmab statistilise uurimistöö protsess kolme põhietappi: andmete kogumine, nende kokkuvõte ja rühmitamine, analüüs ja üldistavate näitajate arvutamine.

Kogu järgneva töö tulemused ja kvaliteet sõltuvad suuresti sellest, kuidas esmast statistilist materjali kogutakse, kuidas seda töödeldakse ja rühmitatakse. Statistilise vaatluse programm-metoodiliste ja korralduslike aspektide ebapiisav läbitöötamine, kogutud andmete loogilise ja aritmeetilise kontrolli puudumine, grupi moodustamise põhimõtete mittejärgimine võib lõppkokkuvõttes viia absoluutselt ekslike järeldusteni.

Mitte vähem keeruline, aeganõudev ja vastutustundlik on uuringu viimane, analüütiline etapp. Selles etapis arvutatakse keskmised näitajad ja jaotusnäitajad, analüüsitakse üldkogumi struktuuri, uuritakse uuritavate nähtuste ja protsesside dünaamikat ja seoseid.

Kõigis õppeetappides kasutatavad andmete kogumise, töötlemise ja analüüsi tehnikad ja meetodid on statistika üldteooria, mis on statistikateaduse põhiharu, uurimisobjektiks. Väljatöötatud metoodikat kasutatakse makromajandusstatistikas, valdkondlikus statistikas (tööstus, põllumajandus, muu kaubandus), rahvastikustatistikas, sotsiaalstatistikas ja muudes statistikavaldkondades. Statistika suurt tähtsust ühiskonnas seletab asjaolu, et see on üks elementaarsemaid, üks olulisemaid vahendeid, mille abil majandusüksus majanduses arvestust peab.

Raamatupidamine on viis üldistatud nähtuste süstemaatiliseks mõõtmiseks ja uurimiseks kvantitatiivsete meetodite abil.

Iga kvantitatiivsete seoste uuringu jaoks on olemas konto. Erinevaid kvantitatiivseid seoseid nähtuste vahel saab esitada teatud matemaatiliste valemite kujul ja see iseenesest ei ole veel konto. Raamatupidamise üheks iseloomulikuks tunnuseks on ÜKSIKUD elementide, ÜKSIKUD ühikute arvutamine, millest see või teine ​​nähtus koosneb. Raamatupidamises kasutatakse erinevaid matemaatilisi valemeid, kuid nende rakendamine on tingimata seotud elementide loendamisega.

Raamatupidamine on üldistatud arendusprotsessi käigus saadud tulemuste kontrollimise ja üldistamise vahend.

Seega on statistika kõige olulisem vahend majanduslike ja muude sotsiaalse arengu seaduste mõistmiseks ja kasutamiseks.

Majandusreform seab statistikateadusele ja praktikale kvalitatiivselt uusi ülesandeid. Vastavalt Venemaa riiklikule programmile üleminekuks rahvusvaheliselt tunnustatud arvestuse ja statistika süsteemile korraldatakse ümber statistilise teabe kogumise süsteem ning täiustatakse turuprotsesside ja -nähtuste analüüsi metoodikat.

Maailmapraktikas laialdaselt kasutatav rahvamajanduse arvepidamise süsteem (SNA) vastab turusuhete iseärasustele ja nõuetele. Seetõttu võimaldas üleminek turumajandusele viia SNA statistilistesse ja raamatupidamisdokumentidesse, kajastades turumajanduse sektorite toimimist.

See on vajalik majanduse terviklikuks analüüsiks makrotasandil ja teabe edastamiseks rahvusvahelistele majandusorganisatsioonidele, kellega Venemaa teeb koostööd.

Statistika mängib suurt rolli teabe andmisel ja arengu analüütilisel toel majandusreform. Selle protsessi ainus eesmärk on hinnata, analüüsida ja prognoosida majanduse olukorda ja arengut praeguses staadiumis.

Suurte arvude seadus mängib statistilises metoodikas olulist rolli. Kõige üldisemal kujul võib selle sõnastada järgmiselt:

Suurte arvude seadus on üldprintsiip, mille kohaselt suure hulga juhuslike tegurite kumulatiivne toime viib teatud üldistel tingimustel juhuslikkusest peaaegu sõltumatu tulemuseni.

Suurte arvude seaduse genereerivad massinähtuste eriomadused. Viimaste massinähtused omakorda erinevad ühelt poolt oma individuaalsuse tõttu üksteisest, teisalt on neil ühisosa, mis määrab nende kuulumise teatud klassi.

Üksik nähtus on juhuslike ja ebaoluliste tegurite mõjule vastuvõtlikum kui nähtuste mass tervikuna. Teatud tingimustel võib üksiku üksuse tunnuse väärtust pidada juhuslikuks muutujaks, arvestades, et see ei allu mitte ainult üldisele mustrile, vaid moodustub ka tingimuste mõjul, mis sellest mustrist ei sõltu. Just sel põhjusel kasutatakse statistikas laialdaselt keskmisi, mis iseloomustavad kogu elanikkonda ühe numbriga. Vaid suure hulga vaatluste korral tasakaalustatakse, tühistatakse juhuslikud kõrvalekalded peamisest arengusuunast ning statistiline seaduspärasus avaldub selgemalt. Seega suurte arvude seaduse olemus seisneb selles, et massstatistilise vaatluse tulemust kokkuvõtvates numbrites avaldub sotsiaalmajanduslike nähtuste arengumuster selgemini kui väikese statistilise uuringuga.

SUURTE ARVUDE SEADUS

Majandus. Sõnastik. - M.: "INFRA-M", kirjastus "Ves Mir". J. Must. Peatoimetus: majandusdoktor Osadchaya I.M. . 2000 .

Raizberg B.A., Lozovsky L.Sh., Starodubtseva E.B. . Kaasaegne majandussõnastik. - 2. väljaanne, parandatud. Moskva: INFRA-M. 479 lk. . 1999. aasta

Majandussõnastik. 2000 .

Vaadake, mis on "SUURTE ARVUDE SEADUS" teistes sõnaraamatutes:

SUURTE ARVUDE SEADUS- vaata SUURTE ARVUDE SEADUST. Antinazi. Encyclopedia of Sociology, 2009 ... Encyclopedia of Sociology

Suurte arvude seadus– põhimõte, mille kohaselt avalduvad massilistele sotsiaalsetele nähtustele omased kvantitatiivsed mustrid kõige selgemini piisavalt suure hulga vaatluste korral. Üksikud nähtused on vastuvõtlikumad juhuslikele ja ... ... Äriterminite sõnastik

SUURTE ARVUDE SEADUS- väidab, et ühele lähedase tõenäosusega suure arvu aritmeetiline keskmine juhuslikud muutujad ligikaudu üks suurusjärk erineb vähe konstandist, mis on võrdne nende suuruste matemaatiliste ootuste aritmeetilise keskmisega. Erinevus ... ... Geoloogiline entsüklopeedia

suurte arvude seadus- - [Ja.N. Luginski, M.S. Fezi Žilinskaja, Yu.S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Industry, Moskva, 1999] Elektrotehnika teemad, põhimõisted EN suurte arvude keskmise seaduse seadus ... Tehniline tõlkija juhend

Suurte arvude seadus- tõenäosusteoorias kinnitab, et fikseeritud jaotuse piisavalt suure lõpliku valimi empiiriline keskmine (aritmeetiline keskmine) on lähedane selle jaotuse teoreetilisele keskmisele (ootus). Olenevalt ... Vikipeediast

suurte arvude seadus- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. suurte arvude seadus vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. suurte arvude seadus, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas

SUURTE ARVUDE SEADUS– üldpõhimõte, mille tõttu juhuslike tegurite koosmõju viib teatud väga üldistel tingimustel tulemuseni, mis on peaaegu juhusest sõltumatu. Juhusliku sündmuse esinemissageduse ja selle tõenäosuse lähenemine arvu suurenemisega ... ... Vene sotsioloogiline entsüklopeedia

Suurte arvude seadus- seadus, mis sätestab, et suure hulga juhuslike tegurite kumulatiivne toime viib mõnel väga üldistel tingimustel tulemuseni, mis on peaaegu juhusest sõltumatu ... Sotsioloogia: sõnaraamat

SUURTE ARVUDE SEADUS- statistiline seadus, mis väljendab valimi ja üldkogumi statistiliste näitajate (parameetrite) suhet. Teatud valimi põhjal saadud statistiliste näitajate tegelikud väärtused erinevad alati nn. teoreetiline ... ... Sotsioloogia: Entsüklopeedia

SUURTE ARVUDE SEADUS- põhimõte, et teatud tüüpi rahaliste kahjude sagedust saab suure täpsusega ennustada, kui sarnast tüüpi kahjusid on palju ... entsüklopeediline sõnaraamat majandus ja õigus

Suurte arvude seadus

Suheldes igapäevaselt tööl või õppimisel numbrite ja numbritega, ei aima paljud meist isegi, et eksisteerib väga huvitav suurte arvude seadus, mida kasutatakse näiteks statistikas, majanduses ning isegi psühholoogilistes ja pedagoogilistes uuringutes. See viitab tõenäosusteooriale ja ütleb, et mis tahes suure valimi aritmeetiline keskmine fikseeritud jaotusest on lähedane selle jaotuse matemaatilisele ootusele.

Tõenäoliselt märkasite, et selle seaduse olemust pole lihtne mõista, eriti neil, kes pole matemaatikaga eriti sõbralikud. Sellest lähtuvalt tahaksime sellest rääkida selge keel(võimaluse piires muidugi), et igaüks saaks vähemalt umbkaudu ise aru, millega on tegu. Need teadmised aitavad teil paremini mõista mõningaid matemaatilisi mustreid, muutuda erudeeritumaks ja mõjutada positiivselt mõtlemise arengut.

Suurte arvude seaduse mõisted ja selle tõlgendamine

Lisaks ülaltoodud suurte arvude seaduse definitsioonile tõenäosusteoorias saame anda selle majandusliku tõlgenduse. Sel juhul esindab see põhimõtet, mille järgi saab ennustada teatud tüüpi rahalise kahju sagedust kõrge aste usaldusväärsus, kui seda täheldatakse kõrge tase seda tüüpi kahjusid üldiselt.

Lisaks saame olenevalt tunnuste konvergentsi tasemest eristada suurte arvude nõrku ja tugevdatud seadusi. Me räägime nõrgast, kui konvergents eksisteerib tõenäoliselt, ja tugevast, kui lähenemine on olemas peaaegu kõiges.

Kui seda veidi teisiti tõlgendada, siis tuleks öelda nii: alati on võimalik leida selline lõplik arv katseid, kus iga etteprogrammeeritud tõenäosusega, mis on väiksem kui üks, erineb mõne sündmuse suhteline esinemissagedus väga vähe. selle tõenäosus.

Seega saab suurte arvude seaduse üldist olemust väljendada järgmiselt: suure hulga identsete ja sõltumatute juhuslike tegurite kompleksse tegevuse tulemuseks on selline tulemus, mis ei sõltu juhusest. Ja veel lihtsamas keeles rääkides, siis suurte arvude seaduses avalduvad massinähtuste kvantitatiivsed seadused selgelt alles siis, kui neid on palju (sellepärast nimetatakse suurte arvude seadust seaduseks).

Sellest võime järeldada, et seaduse olemus seisneb selles, et massivaatluse teel saadud arvudes on mingisugune õigsus, mida väheste faktide puhul on võimatu tuvastada.

Suurte arvude seaduse olemus ja selle näited

Suurte arvude seadus väljendab kõige üldisemaid juhusliku ja vajaliku mustreid. Kui juhuslikud kõrvalekalded "kustutavad" üksteist, omandavad sama struktuuri jaoks määratud keskmised tüüpiliste kuju. Need peegeldavad oluliste ja püsivate faktide toimimist konkreetsetes aja ja koha tingimustes.

Suurte arvude seadusega defineeritud seaduspärasused on tugevad ainult siis, kui need esindavad massitendentsi ja need ei saa olla üksikjuhtumite seadused. Seega põhimõte matemaatiline statistika, mis ütleb, et mitme juhusliku teguri kompleksne toime võib põhjustada mittejuhusliku tulemuse. Ja selle põhimõtte toimimise kõige ilmekam näide on juhusliku sündmuse esinemissageduse ja selle tõenäosuse lähenemine katsete arvu suurenemisel.

Meenutagem tavalist mündiviskamist. Teoreetiliselt võivad pead ja sabad ühesuguse tõenäosusega välja kukkuda. See tähendab, et kui näiteks münti visata 10 korda, siis 5 neist peaks kerkima peast ja 5 peast üles. Kuid kõik teavad, et seda peaaegu kunagi ei juhtu, sest peade ja sabade sageduse suhe võib olla 4:6 ja 9:1, 2:8 jne. Kui aga mündiviskamiste arv kasvab näiteks 100-ni, ulatub peade või sabade väljalangemise tõenäosus 50%-ni. Kui teoreetiliselt tehakse selliseid katseid lõpmatu arv, on tõenäosus, et münt kukub mõlemalt poolt välja, alati 50%.

Seda, kuidas münt täpselt kukub, mõjutab tohutu hulk juhuslikke tegureid. See on mündi asukoht peopesas ja jõud, millega vise tehakse, ja kukkumise kõrgus ja kiirus jne. Aga kui katseid on palju, siis olenemata sellest, kuidas tegurid toimivad, võib alati väita, et praktiline tõenäosus on lähedane teoreetilisele tõenäosusele.

Ja siin on veel üks näide, mis aitab mõista suurte arvude seaduse olemust: oletame, et peame hindama teatud piirkonna inimeste sissetulekute taset. Kui arvestada 10 vaatlust, kus 9 inimest saavad 20 tuhat rubla ja 1 inimene 500 tuhat rubla, on aritmeetiline keskmine 68 tuhat rubla, mis on muidugi ebatõenäoline. Aga kui võtta arvesse 100 vaatlust, kus 99 inimest saavad 20 tuhat rubla ja 1 inimene 500 tuhat rubla, siis aritmeetilise keskmise arvutamisel saame 24,8 tuhat rubla, mis on juba asjade tegelikule seisule lähemal. Suurendades vaatluste arvu, sunnime keskmist väärtust kalduma tegelikule väärtusele.

Just sel põhjusel on suurte arvude seaduse rakendamiseks vaja esmalt koguda statistilist materjali, et suure hulga vaatluste uurimisel saada tõeseid tulemusi. Seetõttu on seda seadust mugav kasutada jällegi statistikas või sotsiaalmajanduses.

Summeerida

Suurte arvude seaduse toimimise tähtsust on raske ülehinnata ühegi teadusliku teadmise valdkonna jaoks ja eriti teaduse arengu jaoks statistikateooria ja statistiliste teadmiste meetodite valdkonnas. Seaduse tegevus on suure tähtsusega ka uuritavatele objektidele endile oma massiseaduspärasustega. Peaaegu kõik statistilise vaatluse meetodid põhinevad suurte arvude seadusel ja matemaatilise statistika põhimõttel.

Kuid isegi teadust ja statistikat kui sellist arvesse võtmata võime kindlalt järeldada, et suurte arvude seadus ei ole lihtsalt tõenäosusteooria valdkond, vaid nähtus, millega kohtame oma elus peaaegu iga päev.

Loodame, et nüüd on suurte arvude seaduse olemus teile selgemaks saanud ja saate seda lihtsalt ja lihtsalt kellelegi teisele selgitada. Ja kui matemaatika ja tõenäosusteooria teema on teile põhimõtteliselt huvitav, siis soovitame lugeda Fibonacci arvude ja Monty Halli paradoksi kohta. Vaata ka ligikaudseid arvutusi elusituatsioonid ja kõige populaarsemad numbrid. Ja muidugi pöörake tähelepanu meie kognitiivteaduste kursusele, sest pärast selle läbimist ei omanda te mitte ainult uusi mõtlemistehnikaid, vaid parandate ka oma kognitiivseid võimeid üldiselt, sealhulgas matemaatilisi.

1.1.4. Statistika meetod

Statistika meetod hõlmab järgmist toimingute jada:

statistilise hüpoteesi väljatöötamine,

statistiliste andmete kokkuvõte ja rühmitamine,

Iga etapi läbimine on seotud erimeetodite kasutamisega, mida selgitab tehtud töö sisu.

1.1.5. Statistika ülesanded

Sotsiaal-majanduslike nähtuste arengut, dünaamikat, seisundit iseloomustava hüpoteeside süsteemi väljatöötamine.

Statistilise tegevuse korraldamine.

Analüüsi metoodika väljatöötamine.

Näitajate süsteemi väljatöötamine majanduse juhtimiseks makro- ja mikrotasandil.

Populariseerida statistilise vaatluse andmeid.

1.1.6. Suurte arvude seadus ja selle roll statistiliste seaduspärasuste uurimisel

Sotsiaalsete seaduste massilisus ja nende tegevuse originaalsus määravad koondandmete uurimise vajaduse.

Suurte arvude seaduse genereerivad massinähtuste eriomadused. Viimased ühelt poolt erinevad üksteisest oma individuaalsuse tõttu, teisalt on neil teatud klassi, liiki kuulumise tõttu midagi ühist. Veelgi enam, üksikud nähtused on juhuslike tegurite mõjule vastuvõtlikumad kui nende tervik.

Suurte arvude seadus oma kõige lihtsamal kujul ütleb, et massinähtuste kvantitatiivsed seaduspärasused avalduvad selgelt vaid piisavalt suurel hulgal neist.

Seega seisneb selle olemus selles, et massilise vaatluse tulemusel saadud arvudes ilmnevad teatud seaduspärasused, mida vähesel hulgal faktidel ei ole võimalik tuvastada.

Suurte arvude seadus väljendab juhusliku ja vajaliku dialektikat. Juhuslike kõrvalekallete vastastikuse tühistamise tulemusena muutuvad tüüpiliseks sama tüüpi väärtuse jaoks arvutatud keskmised väärtused, mis peegeldavad konstantsete ja oluliste faktide tegevust antud kohas ja ajal.

Suurte arvude seadusest ilmnevad tendentsid ja seaduspärasused kehtivad ainult massitendentsidena, kuid mitte iga üksiku juhtumi seaduspärasustena.

Suurte arvude seaduse toimimise avaldumist võib näha paljudes statistikaga uuritud ühiskonnaelu nähtuste valdkondades. Näiteks keskmine toodang töötaja kohta, toote keskmine ühikukulu, keskmine palk ja muud statistilised omadused väljendavad antud massinähtuse jaoks ühiseid mustreid. Seega aitab suurte arvude seadus kaasa massinähtuste mustrite avalikustamisele kui nende arengu objektiivsele vajadusele.

1.1.7. Statistika põhikategooriad ja mõisted: statistiline üldkogum, rahvastikuüksus, märk, variatsioon, statistiline näitaja, näitajate süsteem

Kuna statistika käsitleb massinähtusi, on põhikontseptsiooniks statistiline totaalsus.

Rahvaarv - see on statistikaga uuritud objektide või nähtuste kogum, millel on üks või mitu ühist tunnust ja mis erinevad üksteisest muul viisil. Nii näiteks käsitletakse jaekaubanduse käibe mahu määramisel kõiki elanikkonnale kaupu müüvaid kaubandusettevõtteid ühtse statistilise agregaadina - "jaekaubandus".

E rahvaarvu ühik – see on statistilise üldkogumi esmane element, mis on registreeritavate märkide kandja ja uuringu käigus peetava konto aluseks.

Näiteks kaubanduslike seadmete loendusel on vaatlusüksuseks kaubandusettevõte ja rahvastiku ühikuks nende seadmed (loendurid, külmutusseadmed jne).

märk — See iseloomulik omadus uuritav nähtus, mis eristab seda teistest nähtustest. Märke saab iseloomustada mitmete statistiliste väärtustega.

Erinevates statistikaharudes uuritakse erinevaid tunnuseid. Nii on näiteks uurimisobjektiks ettevõte ja selle tunnusteks on toote tüüp, toodangumaht, töötajate arv jne. Või on objekt eraldi isik ja märkideks on sugu, vanus, rahvus, pikkus, kaal jne.

Seega on statistilised tunnused, s.o. vaatlusobjektidel on palju omadusi, omadusi. Kogu nende mitmekesisus jaguneb tavaliselt kahte suurde rühma: kvaliteedimärgid ja kvantiteedi märgid.

Kvalitatiivne märk (attributiivne) - märk, mille üksikud tähendused väljenduvad mõistete, nimede kujul.

Elukutse - treial, lukksepp, tehnoloog, õpetaja, arst jne.

Kvantitatiivne märk - märk, mille teatud väärtustel on kvantitatiivsed väljendid.

Kõrgus - 185, 172, 164, 158.

Kaal - 105, 72, 54, 48.

Igal uurimisobjektil võib olla mitmeid statistilisi tunnuseid, kuid objektilt ühed tunnused muutuvad, teised jäävad muutumatuks. Funktsioonide muutmist ühelt objektilt teisele nimetatakse muutujaks. Just neid tunnuseid uuritakse statistikas, kuna muutumatut tunnust pole huvitav uurida. Oletame, et teie rühmas on ainult mehed, kõigil on üks omadus (sugu - meessoost) ja selle põhjal pole enam midagi öelda. Ja kui on naisi, siis saate juba arvutada nende protsendi rühmas, naiste arvu muutuste dünaamika kuude lõikes õppeaastal ja jne.

Variatsioon märk - see on mitmekesisus, atribuudi väärtuse varieeruvus vaatluskogumi üksikutes ühikutes.

Tunnuse variatsioon - sugu - mees, naine.

Palga kõikumine - 10000, 100000, 1000000.

Individuaalseid iseloomulikke väärtusi nimetatakse valikuid see märk.

Ühiskonna elus toimuvaid nähtusi ja protsesse uurib statistika statistiliste näitajate kaudu.

Statistika - see on statistilise üldkogumi või selle osa mõne omaduse üldistav tunnus. Selle poolest erineb see märgist (rahvastiku ühikule omane omadus). Näiteks, GPA semestri kohta üliõpilaste rühma jaoks on statistiline näitaja. Konkreetse õpilase mõne aine punktisumma on märk.

Statistiliste näitajate süsteem on omavahel seotud statistiliste näitajate kogum, mis kajastab terviklikult ühiskonnaelu protsesse teatud aja- ja kohatingimustes.

Suurte arvude seadus. statistiline korrektsus

Statistika mõiste ja selle põhisätted

Statistika kui rahvastiku parameeter

Suurte arvude seadus. statistiline korrektsus

Poiss või tüdruk

Rahvastikustatistikas kasutatavad uurimismeetodid

Bibliograafia

Sõna statistika V kaheksateistkümnenda keskpaik V. hakkas määrama riikide kohta erinevat tüüpi faktilist teavet (ladina keelest "staatus" - olek). Selline teave sisaldas andmeid osariikide rahvastiku suuruse ja liikumise, territoriaalse jaotuse ja haldusstruktuuri, majanduse jms kohta.

Praegu on mõistel "statistika" mitu seotud tähendust. Üks neist vastab täpselt ülaltoodule. Statistikat nimetatakse sageli konkreetse riigi faktide kogumiks. Peamised avaldatakse süstemaatiliselt eriväljaannetes ettenähtud kujul.

Kaasaegset statistikat selle sõna vaadeldavas tähenduses eristab aga möödunud sajandite "võrdlusseisundist" mitte ainult selles sisalduva teabe märkimisväärselt suurenenud täielikkus ja mitmekülgsus. Mis puudutab teabe olemust, siis see hõlmab nüüd ainult seda, mis on saadud kvantitatiivne väljendus. Seega ei sisalda statistika teavet selle kohta, kas antud riik on monarhia või vabariik. Mis keel selles riigikeeleks võetakse jne.

Kuid see sisaldab kvantitatiivseid andmeid inimeste arvu kohta, kes kasutavad seda või teist keelt kõnekeelena. Statistika ei sisalda üksikisiku nimekirja ja asukohta kaardil territoriaalüksused osariikides, kuid sisaldavad kvantitatiivseid andmeid rahvastiku, tööstuse jms jaotuse kohta.

Statistikat moodustava teabe ühine joon on see, et see ei viita alati ühele (individuaalsele) nähtusele, vaid hõlmab kokkuvõtlikke tunnuseid. terve rida sellised nähtused või, nagu öeldakse, nende totaalsus. Üksiknähtus erineb tervikust oma lagunematuse poolest iseseisvalt eksisteerivateks ja sarnasteks koostisosadeks. Tervik koosneb just sellistest elementidest. Agregaadi ühe elemendi kadumine seda kui sellist ei hävita.

Seega jääb linna elanikkond selle elanikkonnaks ka pärast seda, kui üks selle liikmetest on surnud või teise elama asunud.

Erinevad agregaadid ja nende üksused tegelikkuses on omavahel ühendatud ja põimunud, mõnikord väga keerulisteks kompleksideks. Statistika eripära on see, et selle andmed viitavad kõigil juhtudel rahvaarvule. Üksikute üksiknähtuste tunnused langevad selle vaatevälja ainult kui alus terviku kokkuvõtlike tunnuste saamiseks.

Näiteks abielu registreerimisel on konkreetsele seda sõlmivale paarile teatud tähendus, sellest tulenevad igale abikaasale teatud õigused ja kohustused. Statistika sisaldab ainult koondandmeid abielude arvu, sõlminute koosseisu kohta - vanuse, elatusallika jne järgi. Üksikud abielujuhtumid pakuvad statistikale huvi vaid niivõrd, kuivõrd, tuginedes neist on võimalik saada kokkuvõtlikke andmeid.

Statistika kui rahvastiku parameeter

Viimasel ajal on mõistet "statistika" mõistetud sageli mõnevõrra kitsamas, kuid täpsemalt määratletud tähenduses, seostatuna rea ​​üksikvaatluste tulemuste töötlemisega.

Kujutame ette, et vaatluste tulemusena saime arvud x 1 , x 2 . x n. Neid numbreid peetakse komplekti üheks võimalikuks teostuseks n kogused nende kombinatsioonis.

Statistika on parameeter f oleneb x 1 , x 2 . x n. Kuna need suurused on, nagu märgitud, üks nende võimalikest realisatsioonidest, osutub ka selle parameetri väärtus üheks paljudest võimalikest. Seetõttu on igal statistikal selles mõttes oma tõenäosusjaotus (st mis tahes antud number a on võimalus, et f ei ole rohkem kui a).

Võrreldes eelpool käsitletud mõistesse „statistika” panustatud sisuga, peame siin esiteks selle igakordset kitsenemist ühe väärtuseni – parameetrini, mis ei välista mitme parameetri (mitu statistika) ühist arvestamist ühes. keeruline probleem. Teiseks rõhutab see matemaatilise reegli (algoritmi) olemasolu parameetri väärtuse saamiseks vaatlustulemuste kogumikust: arvutage nende aritmeetiline keskmine, võtke edastatud väärtuste maksimum, arvutage mõne nende erirühma arvu suhe. juurde koguarv jne.

Lõpuks, näidatud tähenduses, kasutatakse mõistet "statistika" parameetrile, mis on saadud mis tahes nähtuste valdkonna - sotsiaalsete ja muude - vaatluste tulemustest. See võib olla keskmine saagikus või metsas olevate mändide keskmine ulatus või mõne tähe parallaksi korduva mõõtmise keskmine tulemus jne. selles mõttes kasutatakse terminit "statistika" peamiselt matemaatilises statistikas, mis, nagu iga matemaatika haru, ei saa piirduda ühe või teise nähtuste valdkonnaga.

Statistika all mõistetakse ka selle “hoidmise” protsessi, s.t. faktide kohta teabe kogumise ja töötlemise protsess, mis on vajalik statistika saamiseks mõlemas vaadeldavas tähenduses.

Samas saab statistikaks vajalikku infot koguda üksnes selleks, et saada üldistatud karakteristikud antud liiki juhtumite massi kohta, s.o. Statistika jaoks on see loomulik. Selline on näiteks rahvaloenduste käigus kogutud info.

Suurte arvude seadus. Statistiline korrektsus.

Mis tahes massinähtuste uurimise kogemuse peamine üldistus on suurte arvude seadus. Eraldi üksiknähtus, mida peetakse üheks sedalaadi nähtusteks, sisaldab juhuse elementi: see võib olla või mitte olla, olgu see või teine. Kui suur hulk selliseid nähtusi kombineeritakse üldised omadused kogu nende massis kaob juhus seda suuremal määral, mida rohkem on omavahel seotud üksikuid nähtusi.

Matemaatika, eelkõige tõenäosusteooria, vaadeldes puhtkvantitatiivsest aspektist, suurte arvude seadust, väljendab seda terve matemaatiliste teoreemide ahelaga. Need näitavad, millistel tingimustel ja mil määral võib arvestada massi katvate tunnuste juhuslikkuse puudumisega, kuidas see on seotud neis sisalduvate üksiknähtuste arvuga. Statistika põhineb nendel teoreemidel iga konkreetse massinähtuse uurimisel.

regulaarsus, mis avaldus ainult suures massis nähtusi oma üksikutele elementidele omase juhuslikkuse ületamise kaudu, nimetatakse statistiline korrektsus .

Mõnel juhul seisab statistika silmitsi ülesandega mõõta selle ilminguid, samas kui selle olemasolu on teoreetiliselt juba ette selge.

Muudel juhtudel võib seaduspärasuse leida empiiriliselt statistika abil. Nii leiti näiteks, et pere sissetulekute kasvuga selle eelarves väheneb toidule tehtavate kulutuste protsent.

Seega, kui statistika mingi nähtuse uurimisel jõuab üldistusteni ja leiab selles toimiva seaduspärasuse, saab see viimane kohe selle konkreetse teaduse omandiks, mille huviringi see nähtus kuulub. Seetõttu toimib iga statistika jaoks meetod.

Arvestades massivaatluse tulemusi, leiab statistika nendes sarnasusi ja erinevusi, liidab elemendid rühmadesse, paljastades erinevad tüübid, eristades kogu vaadeldava massi nende tüüpide järgi. Massi üksikute elementide vaatlustulemusi kasutatakse edaspidi kogu populatsiooni ja selles eristatavate eriosade tunnuste saamiseks, s.o. üldiste näitajate saamiseks.

Massivaatlus, selle tulemuste rühmitamine ja kokkuvõte, üldistavate näitajate arvutamine ja analüüs – need on statistilise meetodi põhijooned.

Statistika kui teadus kannab hoolt ja taandub matemaatiliseks statistikaks. Matemaatikas käsitletakse massinähtuste iseloomustamise ülesandeid ainult puhtkvantitatiivses aspektis, lahutatuna kvalitatiivsest sisust (mis on matemaatikale kui teadusele üldiselt kohustuslik). Statistika ei lähtu isegi massinähtuste üldiste seaduspärasuste uurimisel mitte ainult nende nähtuste kvantitatiivsetest üldistustest, vaid eelkõige massinähtuse enda tekkemehhanismist.

Samas järeldub kvantitatiivse mõõtmise rollist statistikas öeldust suur tähtsus selle jaoks üldiselt matemaatilised meetodid, mis on spetsiaalselt kohandatud massinähtuste uurimisel tekkivate probleemide lahendamiseks (tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika). Pealegi on matemaatiliste meetodite roll siin nii suur, et katse neid statistika käigust välja jätta (eraldi õppeaine – matemaatilise statistika – olemasolu tõttu) vaesustab statistikat oluliselt.

Sellest katsest keeldumine ei tohiks aga tähendada vastupidist äärmust, nimelt kogu tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika neeldumist statistikasse. Kui näiteks matemaatikas vaadeldakse jaotuste rea keskmist väärtust (tõenäosused või empiirilised sagedused), siis ei saa ka statistika sobivatest võtetest mööda minna, kuid siin on see üks aspektidest, millega koos ka mitmed teised. tekivad (üld- ja grupikeskmised, keskmiste esinemine ja roll infosüsteemis, kaalude süsteemi materjal, kronoloogilised keskmised, keskmised ja suhtelised väärtused jne).

Või teine ​​näide: valimi matemaatiline teooria koondab kogu tähelepanu representatiivsuse veale – erinevate valikusüsteemide, erinevate omaduste jne puhul. Süsteemi viga, st. keskmises väärtuses neeldumata vea kõrvaldab see eelnevalt, konstrueerides sellest vabad nn erapooletud hinnangud. Statistikas on võib-olla peamine küsimus selles küsimuses, kuidas seda süsteemset viga vältida.

Massinähtuste kvantitatiivse poole uurimisel kerkib esile rida matemaatilist laadi probleeme. Nende lahendamiseks töötab matemaatika välja sobivad võtted, kuid selleks peab ta neid käsitlema üldisel kujul, mille puhul massinähtuse kvalitatiivne sisu on ükskõikne. Nii märgati suurte arvude seaduse avaldumist esmalt just sotsiaal-majanduslikus valdkonnas ja peaaegu samaaegselt hasartmängudes (mille jaotumist seletati asjaoluga, et need olid pärit majandusest, eriti arenevast kaubast). rahasuhted). Samas hetkest, mil suurte arvude seadus saab matemaatika täppisuurimise objektiks, saab see täiesti üldise tõlgenduse, mis ei piira selle tegevust ühegi erivaldkonnaga.

Selle põhjal eristatakse üldiselt statistika ainet matemaatika ainest. Objektide piiritlemine ei saa tähendada ühest teadusest kõige selle, mis on sattunud teise vaatevälja, väljatõrjumist. Vale oleks näiteks jätta füüsika esitlusest välja kõik, mis on seotud kasutamisega diferentsiaalvõrrandid põhjendusega, et matemaatika tegeleb nendega.

Miks on sünnihetkel sugude suhtel teatud proportsioonid, mida pole palju sajandeid oluliselt jälgitud?

Nii paradoksaalselt kui see ka ei kõla, on just surm sigimise ja uute põlvkondade taastootmise peamine bioloogiline tingimus. Liigi eksistentsi pikendamiseks peavad tema isendid järglasi maha jätma; vastasel juhul kaob vaade igaveseks.

Sooprobleem (kes sünnib poisiks või tüdrukuks) hõlmab paljusid küsimusi, mis on seotud mitte ainult bioloogilise arengu, meditsiiniliste geneetiliste omaduste, demograafiliste andmetega, vaid ka laiemas aspektis, mis on seotud seksipsühholoogia, inimeste käitumise ja püüdlustega. vastassoost isikud, kelle vahel valitseb harmoonia või konflikt.

Küsimus, kes sünnib – poiss või tüdruk – ja miks see nii juhtub – on vaid kitsas küsimuste ring, mis tuleneb suuremast probleemist. Eriti oluline teoreetiline ja praktiline on küsimuse selgitamine, miks on meeste oodatav eluiga naiste omast madalam. See nähtus on levinud mitte ainult inimestel, vaid ka paljudel loomamaailma liikidel.

Selle selgitamisest ei piisa ainult asjaoluga, et isaste ülekaal sünnihetkel on tingitud nende suurenenud aktiivsusest ja selle tulemusena ei piisa vähemast "elujõust". Bioloogid on pikka aega juhtinud tähelepanu enamiku uuritud loomade isasloomade lühemale elueale võrreldes emasloomadega. Elu kestus on vastuolus selle kõrge tempoga ja see leiab bioloogilise õigustuse.

Inglise teadlane A. Comfort juhib tähelepanu: "Organism peab läbima kindla rea ​​ainevahetusprotsesse või arenguetappe ja nende läbimise kiirus määrab vaadeldava eluea."

Ch. Darwin pidas meeste lühemat eluiga "loomulikuks ja põhiseaduslikuks omaduseks, mis tuleneb ainult seksist".

Ühest või teisest soost lapse sünnitamise võimalus ei sõltu igal konkreetsel juhul mitte ainult sellele nähtusele omastest mustritest, mis ilmnevad paljude vaatluste põhjal, vaid ka juhuslikest kaasnevatest asjaoludest. Seetõttu on statistiliselt võimatu ette kindlaks teha, mis soost iga eraldi sündinud laps on. Seda ei tee tõenäosusteooria ega statistika, kuigi paljudel juhtudel pakub ühe sündmuse tulemus suurt huvi. Tõenäosusteooria annab üsna kindlad vastused, kui rääkida suurest sündide populatsioonist. Juhuslikud välispõhjused on juhuslikud, kuid nende tervik peegeldab stabiilseid mustreid. Sugu moodustamisel, nagu praegu teada, võivad juhuslikud põhjused isegi enne viljastumist mõnel juhul soodustada meessoost embrüote ja teistel emaste embrüote tekkimist. Aga see ei avaldu mingis korrapärases järjekorras, vaid kaootiliselt, juhuslikult. Sünnihetkel teatud sugusuhteid moodustavate tegurite kogum avaldub vaid piisavalt suures arvus vaatlustes; ja mida rohkem neid on, seda lähemale läheneb teoreetiline tõenäosus tegelikele tulemustele.

Poiste sündimise tõenäosus on veidi suurem kui 0,5 (0,51 lähedal) ja tüdrukutel alla 0,5 (0,49 lähedal). See väga huvitav fakt esitas bioloogidele ja statistikutele raske ülesande – selgitada põhjust, miks poisi või tüdruku eostamine ja sünd ei ole võrdselt võimalikud ja geneetilistele eeldustele vastavad (Mendelejevi soo järgi jagunemise seadus).

Nendele küsimustele pole veel rahuldavaid vastuseid saadud; on vaid teada, et juba eostamise hetkest alates on poiste osakaal suurem tüdrukute omast ning emakasisese arengu perioodil tasanduvad need proportsioonid järk-järgult isegi sünnihetkeks, saavutamata siiski võrdseid väärtusi. . Poisse sünnib ligikaudu 5-6% rohkem kui tüdrukuid.

Suurem osa liikidest, mille kohta bioloogid on koostanud elutabeleid, on isaste seas suurema suremusega. Geneetikud selgitavad seda naiste ja meeste ühise kromosoomikompleksi erinevusega.

C. Darwin käsitleb erinevate liikide esindajatest moodustunud sugude arvulist suhet sugulise valiku põhimõtetel põhineva evolutsioonilise loodusliku valiku tulemusena. Soo kujunemise geneetilised seadused avastati hiljem ja need on Ch. Darwini teoreetiliste kontseptsioonide puuduv lüli. Ch. Darwini hästi sihitud tähelepanekud väärivad siinkohal tsiteerimist. Autor märgib, et seksuaalne valik oleks lihtne, kui isased oleksid emastest tunduvalt suuremad. Oluline on teada sugude vahekorda mitte ainult sündides, vaid ka täiskasvanueas ja see muudab pildi keerulisemaks. Inimeste osas on kindlaks tehtud tõsiasi, et enne sündi, sünnituse ajal ja lapsepõlve esimestel aastatel sureb palju rohkem poisse kui tüdrukuid.

Võib nimetada kaks suurt tegurite rühma, mis mõjutavad suremuse suhet soo järgi ja üldiselt määravad meeste liigsuremuse. Need on eksogeensed, st. sotsiaalmajanduslikud tegurid ja endogeensed tegurid, mis on seotud mees- ja naisorganismi elujõulisuse geneetilise programmiga. Erinevused suremuses soo järgi on seletatavad nende kahe faktorirühma pideva vastasmõjuga. Need erinevused suurenevad otseselt proportsionaalselt oodatava eluea pikenemisega. Meeste ja naiste elujõulisuse puhtbioloogilised erinevused kattuvad sotsiaal-majanduslike elutingimuste mõjuga, millele mees- ja naisorganismide reaktsioon on erinev nende ületamise võime poolest. halb mõju erinevatel vanuseperioodidel.

Enamikus maailma riikides, kus tehakse enam-vähem usaldusväärset ja täielikku suremuse registreerimist, kinnitab sooliste näitajate suhet meeste suremuse suurenemise kohta, mida praktika on korduvalt kinnitanud - see muster, nagu varem märgitud, on omane inimpopulatsioonile ja mitte ainult sellele, vaid ka paljudele teistele bioloogilistele liikidele.

Rahvastikustatistika– teadus, mis uurib populatsioonis toimuvate nähtuste ja protsesside kvantitatiivseid mustreid pidevas seoses nende kvalitatiivse poolega.

Rahvaarv- uurimis- ja demograafiaobjekt, mis määrab kindlaks nende üldised arengumustrid, võttes arvesse selle elu kõigis aspektides: ajalooline, poliitiline, majanduslik, sotsiaalne, õiguslik, meditsiiniline ja statistiline. Samas tuleb silmas pidada, et teadmise arenedes objekti kohta avanevad selle uued tahud, muutudes omaette teadmiste objektiks.

Rahvastikustatistika uurib oma objekti konkreetsetes koha- ja ajatingimustes, paljastades selle kõik uued liikumise vormid: looduslikud, rändavad, sotsiaalsed.

Under loomulik liikumine rahvaarv viitab rahvaarvu muutumisele sündide ja surmade tõttu, s.o. looduslikult esinev. See hõlmab ka abielusid ja lahutusi, kuna neid arvestatakse sünni ja surmaga samas järjekorras.

rändel liikumine ehk lihtsalt rahvastikuränne tähendab inimeste liikumist üle teatud territooriumide piiride, tavaliselt koos elukohavahetusega. kaua aega või igavesti.

ühiskondlik liikumine rahvastiku all mõistetakse elanikkonna sotsiaalsete elutingimuste muutumist. Seda väljendatakse arvu ja koostise muutumises sotsiaalsed rühmad inimesed, kellel on ühised huvid, väärtused ja käitumisnormid, mis kujunevad välja ajalooliselt määratletud ühiskonna raames.

Rahvastikustatistika lahendab mitmeid probleeme:

Tema kõige olulisem ülesanne- rahvaarvu kindlaksmääramine. Kuid sageli on vaja teada üksikute mandrite ja nende osade elanikkonda, erinevaid riike, riikide majanduspiirkonnad, halduspiirkonnad. Samal ajal peetakse mitte lihtsat aritmeetikat, vaid spetsiaalset - statistilist kontot - elanikkonna kategooriate arvestust. Statistiliselt on kindlaks tehtud sündide, surmade, abiellumiste, lahutusjuhtumite arv, sisse- ja väljarändajate arv, s.o. määratakse rahvastiku maht.

Teine ülesanne- rahvastiku struktuuri, demograafiliste protsesside väljaselgitamine. Siin juhitakse tähelepanu eelkõige rahvastiku jagunemisele soo, vanuse, haridustaseme, kutse-, tootmisomaduste, linna- ja maapiirkonda kuuluvuse järgi.

Rahvastiku struktuur soo järgi võib iseloomustada võrdse sugude arvuga, meeste või naiste ülekaaluga ja selle ülekaalu astmega.

Rahvastiku struktuur vanuse järgi võib esindada ühe aasta andmete ja vanuserühmadega, samuti vanuselise koostise suundumusega, nagu vananemine või noorenemine.

Hariduse struktuur näitab teatud haridustasemega kirjaoskajate osakaalu erinevates piirkondades ja erinevates keskkondades.

Professionaalne- Inimeste jaotus koolituse käigus omandatud elukutsete, ametite järgi.

Tootmine- rahvamajanduse sektorite kaupa.

Territoriaalne elanikkonna asukoht või ümberasustamine. Siin tehakse vahet linnastumise astet, kogu rahvastiku tiheduse määratlust, teistsugust arusaama tihedusest ja selle seisundist.

Kolmas ülesanne seisneb populatsioonis endas selle erinevate rühmade vahel toimuvate vastastikuste suhete uurimises ning elanikkonnas toimuvate protsesside sõltuvuse uurimisest keskkonnateguritest, milles need protsessid toimuvad.

Neljas ülesanne seisneb demograafiliste protsesside dünaamika arvestamises. Sel juhul saab dünaamika tunnuseid anda populatsiooni suuruse muutumisena ja populatsioonis toimuvate protsesside intensiivsuse muutumisena ajas ja ruumis.

Viies ülesanne- Avatakse rahvastikustatistika selle suuruse ja koosseisu prognoosidega tulevikuks. Andmete esitamine rahvaarvu prognoosi kohta lähi- ja kaugema tuleviku kohta.

Rahvastikustatistikas kasutatavad uurimismeetodid

Meetod kõige üldisemas tähenduses tähendab viisi eesmärgi saavutamiseks, tegevuse reguleerimist. Konkreetse teaduse meetod on reaalsuse teoreetilise ja praktilise tundmise meetodite kogum. Iseseisva teaduse jaoks ei ole vajalik mitte ainult teiste teaduste uurimisobjekti olemasolu, vaid ka tema enda olemasolu. oma meetodid seda teemat õppides. Mis tahes teaduses kasutatavate uurimismeetodite kogum on metoodika see teadus.

Kuna rahvastikustatistika on valdkondlik statistika, siis selle metoodika aluseks on statistiline metoodika.

Olulisim statistilises metoodikas sisalduv meetod on teabe hankimine uuritavate protsesside ja nähtuste kohta - statistiline vaatlus . See on andmete kogumise aluseks nii jooksvas statistikas kui ka rahvaloendustel, monograafilistel ja näidisuuringutel. Siin kasutatakse täiel määral teoreetilise statistika sätteid vaatlusüksuse objekti loomise, registreerimiskuupäeva ja -hetke mõistete, programmi, vaatluse korralduslike küsimuste, selle tulemuste süstematiseerimise ja avaldamise kohta. Statistiline metoodika sisaldab ka iga loendatava isiku iseseisva määramise põhimõtet teatud rühma - enesemääramise põhimõtet.

Sotsiaal-majanduslike nähtuste statistilise uurimise järgmiseks sammuks on nende struktuuri määramine, s.o. osade ja elementide valik, mis moodustavad terviku. Jutt käib rühmitamise ja liigitamise meetodist, mida rahvastikustatistikas nimetatakse tüpoloogiliseks ja struktuurseks.

Rahvastiku struktuuri mõistmiseks tuleb kõigepealt välja tuua rühmitamise ja klassifitseerimise märk. Kõik vaadeldud tunnused võivad olla ka rühmitusfunktsioonid. Näiteks loendusvormis esimesena registreeritud isikusse suhtumise küsimuses on võimalik määrata loendatava rahvastiku struktuur, kus tundub tõenäoline, et see eristab märkimisväärset hulka rühmi. See atribuut on atribuutne, seetõttu on sellel loendusankeetide koostamisel vaja eelnevalt koostada analüüsiks vajalike klassifikaatorite (rühmitused atribuudi tunnuste järgi) loend. Suure hulga atribuutkirjetega klassifikaatorite koostamisel on teatud rühmadesse määramine eelnevalt põhjendatud. Niisiis jaguneb asurkond vastavalt nende ametile mitmeks tuhandeks liigiks, mille statistika taandab teatud klassidesse, mis on kirjas nn ametite sõnaraamatus.

Uurides struktuuri kvantitatiivsete tunnuste järgi, saab üldkogumi erinevate parameetrite iseloomustamiseks kasutada selliseid statistilisi üldistavaid näitajaid nagu keskmine, mood ja mediaan, kaugusmõõte või variatsiooninäitajaid. Vaadeldavad nähtuste struktuurid on aluseks nende seoste uurimisel. Statistikateoorias eristatakse funktsionaalseid ja statistilisi seoseid. Viimase uurimine on võimatu ilma elanikkonda rühmadesse jagamata ja seejärel efektiivse tunnuse väärtust võrdlemata.

Faktoratribuudi järgi rühmitamine ja selle võrdlemine efektiivse atribuudi muutustega võimaldab määrata seose suuna: see on otsene või vastupidine, samuti annab aimu selle vormist. murtud regressioon . Need rühmitused võimaldavad koostada leidmiseks vajaliku võrrandisüsteemi regressioonivõrrandi parameetrid ja ühenduse tiheduse määramine korrelatsioonikoefitsientide arvutamise teel. Rühmitused ja klassifikatsioonid on aluseks rahvastiku liikumise näitajate ja neid põhjustavate tegurite vaheliste seoste dispersioonanalüüsile.

Rahvastiku uurimisel kasutatakse laialdaselt statistilisi meetodeid. dünaamika uurimine , nähtuste graafiline uurimine , indeks , valikuline Ja tasakaalu . Võib öelda, et rahvastikustatistika kasutab oma objekti uurimiseks kogu arsenali. statistilised meetodid ja näiteid. Lisaks kasutatakse ka ainult populatsiooni uurimiseks välja töötatud meetodeid. Need on meetodid tegelik põlvkond (kohordid) Ja tingimuslik genereerimine . Esimene võimaldab käsitleda muutusi eakaaslaste (samal aastal sündinud) loomulikus liikumises – pikisuunaline analüüs; teine ​​käsitleb eakaaslaste loomulikku liikumist (elavad samal ajal) - läbilõike analüüs.

Keskmisi ja indekseid on huvitav kasutada tunnuste arvestamisel ja populatsioonis toimuvate protsesside võrdlemisel, kui andmete võrdlemise tingimused ei ole omavahel võrdsed. Kasutades üldistavate keskmiste arvutamisel erinevaid kaalumisi, on välja töötatud standardimismeetod, mis võimaldab elimineerida elanikkonna erinevate vanuseliste tunnuste mõju.

Tõenäosusteooria as matemaatikateadus abiga uurib objektiivse maailma omadusi abstraktsioonid , mille olemus seisneb kvalitatiivsest kindlusest täielikus abstraktsioonis ja nende kvantitatiivse poole esiletoomises. Abstraktsioon on vaimse abstraktsiooni protsess objektide omaduste paljudest aspektidest ja samal ajal kõigi meid huvitavate aspektide, uuritavate objektide omaduste ja suhete isoleerimise, isoleerimise protsess. Abstraktsete matemaatiliste meetodite kasutamine rahvastikustatistikas võimaldab seda statistiline modelleerimine rahvastikus toimuvad protsessid. Modelleerimise vajadus tekib siis, kui objekti ennast pole võimalik uurida.

Selle dünaamika iseloomustamiseks on välja töötatud suurim hulk rahvastikustatistikas kasutatavaid mudeleid. Nende hulgas paistavad silma eksponentsiaalne Ja logistika. Tulevaste perioodide rahvaarvu prognoosimisel on eriti olulised mudelid paigal Ja stabiilne populatsioon, mis määravad nendes tingimustes välja kujunenud populatsiooni tüübi.

Kui eksponentsiaalse ja logistilise üldkogumi mudelite koostamisel kasutatakse absoluutarvu dünaamika andmeid möödunud perioodi kohta, siis statsionaarse ja stabiilse populatsiooni mudelid ehitatakse üles selle arengu intensiivsuse tunnuste alusel.

Seega on rahvastiku uurimise statistilise metoodika käsutuses mitmeid üldise statistikateooria meetodeid, matemaatilised meetodid ja rahvastikustatistikas ise välja töötatud erimeetodid.

Rahvastikustatistika, kasutades ülalpool käsitletud meetodeid, töötab välja üldistavate näitajate süsteemi, näitab vajalikku teavet, nende arvutamise meetodeid, nende näitajate kognitiivseid võimeid, kasutustingimusi, registreerimise järjekorda ja mõtestatud tõlgendamist.

Statistiliste näitajate üldistamise tähtsus demograafilise poliitika kaalumisel olulisemate probleemide lahendamisel on vajalik rahvastiku tasakaalustatud kasvuks, rahvastiku rände uurimisel, mis on aluseks tööjõu rajoonidevahelisele ümberjaotumisele ja selle jaotumise ühtsuse saavutamisele.

Kuna elanikkond õpib teatud aspektist paljusid teisi teadusi - tervishoidu, pedagoogikat, sotsioloogiat jne, siis on vaja kasutada nende teaduste kogemusi, arendada nende meetodeid seoses statistika vajadustega.

Meie riigi ees seisvad uuenemisülesanded peaksid mõjutama ka demograafiliste probleemide lahendamist. Tervikprogrammide väljatöötamine majandus- ja sotsiaalne areng peaks sisaldama demograafilisi programme käsitlevaid jaotisi; nende lahendus peaks aitama kaasa kõige väiksema demograafilise kahjuga elanikkonna arengule.

Bibliograafia

Kildishev jt “Rahvastikustatistika demograafia alustega” M .: Rahandus ja statistika, 1990 - 312 lk.

Vaene M.S. "Poisid tüdrukud? Mediko-demograafiline analüüs” M.: Statistika, 1980 – 120 lk.

Andreeva B.M., Vishnevsky A.G. "Pikaealisus. Analüüs ja modelleerimine” M.: Statistika, 1979 – 157 lk.

Boyarsky A.Ya., Gromyko G.L. “Statistika üldteooria” M.: toim. Moskva ülikoolid, 1985 - 372 lk.

Vassiljeva E.K. “Üliõpilase sotsiaaldemograafiline portree” M.: Mõte, 1986 - 96 lk.

Bestužev-Lada I.V. “Meie homme maailm” M.: Mõte, 1986 – 269 lk.

Populaarne:

• Pärimisseaduse põhisisu Pärimisseadus reguleerib erikorda, millega määratakse kindlaks surnud kodaniku õiguste ja kohustuste, samuti vara üleandmine tema lähedastele või teistele isikutele, sh […]
• Kui lasteaia juhataja pole rahul ... Küsimus: Tere pärastlõunast! G. Kaliningrad. Palun öelge, kui vanemad ei ole lasteaia juhatajaga täiesti rahul, kas nad võivad nõuda lasteaia juhatajalt […]
• Kuidas taotlust teha välisriigi kodanik või kodakondsuseta isik elukohas registreerimise kohta Vene Föderatsiooni saabunud teise riigi elanik peab esitama avalduse välisriigi kodaniku migratsiooniteenistusele või […]
• Autolaenu kohus - advokaadi nõuanne Kui võtate auto ostmiseks sihtlaenu, siis võetakse ostetud auto tagatiseks arvele. Jämedalt öeldes on autolaenu maksmata jätmise korral pangal õigus teie auto ära võtta […]
• Vene Föderatsiooni president tühistas gaasiarvestite kohustusliku paigaldamise President Vladimir Putin allkirjastas seaduse, millega muudetakse seadust nr 261-FZ "Energiasäästu kohta".
• MIDA ON OLULINE TEADA UUE PENSIONIDE EELNÕU KOHTA Telli uudised Teie määratud e-postile on saadetud liitumise kinnituskiri. 27. detsember 2013 2014. aasta jaanuari pensionide, igakuiste sissetulekute ja muude sotsiaaltoetuste väljamaksmise graafik […]
• Kuidas pärida testaatori pensionisääste? Testaatoril on oma eluajal õigus esitada igal ajal Vene Föderatsiooni Pensionifondi territoriaalsele asutusele avaldus ja määrata kindlaks konkreetsed isikud (pärijad) ja vahendite osakaal, mis […]
• Omandi mõiste ja peamised tunnused looduslikud objektid ja ressursse. CC, artikkel 209. Omandi sisu. Omandiõigus tähendab seaduslikku võimalust loodusobjekti tegelikuks valdamiseks […]

Suurte arvude seadus

Juhuslike nähtuste uurimise praktika näitab, et kuigi üksikute, isegi samades tingimustes tehtud vaatluste tulemused võivad oluliselt erineda, on samal ajal keskmised tulemused piisavalt suure hulga vaatluste puhul stabiilsed ja sõltuvad nõrgalt vaatlustulemustest. üksikute vaatluste tulemused. Selle juhuslike nähtuste märkimisväärse omaduse teoreetiline põhjendus on suurte arvude seadus. Suurte arvude seaduse üldine tähendus seisneb selles, et suure hulga juhuslike tegurite koosmõjul saavutatakse tulemus, mis on peaaegu juhusest sõltumatu.

Keskpiiri teoreem

Ljapunovi teoreem selgitab normaaljaotuse seaduse laia levikut ja selgitab selle kujunemise mehhanismi. Teoreem võimaldab väita, et kui suure hulga sõltumatute juhuslike suuruste liitmise tulemusena moodustub juhuslik suurus, mille dispersioonid on summa dispersiooniga võrreldes väikesed, selgub selle juhusliku suuruse jaotusseadus. olema praktiliselt tavaline seadus. Ja kuna juhuslikke muutujaid genereerib alati lõpmatu arv põhjuseid ja enamasti pole ühelgi neist juhusliku suuruse enda dispersiooniga võrreldav dispersioon, siis enamik praktikas esinevaid juhuslikke muutujaid allub normaaljaotuse seadusele.

Vaatleme üksikasjalikumalt kõigi nende rühmade teoreemide sisu.

Praktilises uurimistöös on väga oluline teada, millistel juhtudel on võimalik garanteerida, et sündmuse toimumise tõenäosus on kas piisavalt väike või suvaliselt ühtsusele lähedane.

Under suurte arvude seadus ja seda mõistetakse kui lausete kogumit, milles öeldakse, et ühele (või nullile) suvaliselt lähedase tõenäosusega toimub sündmus, mis sõltub väga suurest, lõputult suurenevast arvust juhuslikest sündmustest, millest igaühel on ainult väike mõju sellele.

Täpsemalt mõistetakse suurte arvude seadust kui lausete kogumit, milles väidetakse, et ühele meelevaldselt lähedase tõenäosusega on piisavalt suure hulga juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise hälve konstantsest väärtusest, aritmeetiline. nende matemaatiliste ootuste keskmine, ei ületa antud meelevaldselt väikest arvu.

Eraldiseisvad üksikud nähtused, mida looduses ja ühiskonnaelus jälgime, ilmnevad sageli juhuslikuna (näiteks registreeritud surm, sündinud lapse sugu, õhutemperatuur jne), kuna paljud tegurid, mis ei ole seotud nähtuse tekkimise või arengu olemus. Nende kogumõju vaadeldavale nähtusele on võimatu ennustada ja need avalduvad üksikutes nähtustes erinevalt. Ühe nähtuse tulemuste põhjal ei saa paljudele sellistele nähtustele omaste mustrite kohta midagi öelda.

Siiski on juba ammu täheldatud, et teatud tunnuste arvnäitajate (sündmuse toimumise suhteline sagedus, mõõtmistulemused jne) aritmeetiline keskmine katse suure korduste arvuga sõltub väga kerged kõikumised. Keskmises avaldub justkui nähtuste olemusele omane seaduspärasus, selles on vastastikku välistatud üksikute tegurite mõju, mis muutis üksikute vaatluste tulemused juhuslikuks. Teoreetiliselt saab seda keskmise käitumist seletada suurte arvude seadusega. Kui juhuslike suuruste osas on täidetud mõned väga üldised tingimused, siis on aritmeetilise keskmise stabiilsus praktiliselt kindel sündmus. Need tingimused moodustavad suurte arvude seaduse kõige olulisema sisu.

Selle põhimõtte toimimise esimene näide võib olla juhusliku sündmuse esinemissageduse ja selle tõenäosuse lähenemine katsete arvu suurenemisega - see on Bernoulli teoreemiga kindlaks tehtud fakt (Šveitsi matemaatik Jacob Bernoulli(1654-1705)). Bernoulli teoreem on suurte arvude seaduse üks lihtsamaid vorme ja seda kasutatakse sageli praktikas. Näiteks võetakse vastava tõenäosuse hinnanguks vastaja mis tahes kvaliteedi esinemise sagedus valimis.

Väljapaistev prantsuse matemaatik Simeon Denny Poisson(1781-1840) üldistas selle teoreemi ja laiendas seda juhtumile, kui sündmuste tõenäosus katses varieerub sõltumata eelmiste katsete tulemustest. Ta oli ka esimene, kes kasutas mõistet "suurte arvude seadus".

Suur vene matemaatik Pafnuti Lvovitš Tšebõšev(1821 - 1894) tõestasid, et suurte arvude seadus toimib igasuguste variatsioonidega nähtustes ja laieneb ka keskmise regulaarsusele.

Suurte arvude seaduse teoreemide edasine üldistus on seotud nimetustega A.A.Markov, S.N.Bernštein, A.Ja.Hhintšin ja A.N.Kolmlgorov.

Probleemi üldine kaasaegne formuleerimine, suurte arvude seaduse sõnastamine, ideede ja meetodite väljatöötamine selle seadusega seotud teoreemide tõestamiseks kuuluvad vene teadlastele. P. L. Tšebõšev, A. A. Markov ja A. M. Ljapunov.

Tšebõševi ebavõrdsus

Vaatleme esmalt abiteoreeme: lemmat ja Tšebõševi võrratust, mille abil saab hõlpsasti tõestada suurte arvude seadust Tšebõševi kujul.

Lemma (Tšebõšev).

Kui juhuslikul suurusel X ei ole negatiivseid väärtusi, siis tõenäosus, et see võtab mingi väärtuse, mis ületab positiivse arvu A, ei ole suurem kui murdosa, mille lugejaks on juhusliku suuruse matemaatiline ootus, ja nimetaja on arv A:

Tõestus.Olgu juhusliku suuruse X jaotusseadus teada:

(i = 1, 2, ..., ) ja arvame, et juhusliku suuruse väärtused on järjestatud kasvavas järjekorras.

Seoses arvuga A jagatakse juhusliku suuruse väärtused kahte rühma: mõned ei ületa A, teised on suuremad kui A. Oletame, et esimene rühm sisaldab juhusliku suuruse esimesi väärtusi ( ).

Kuna , siis on kõik summa tingimused mittenegatiivsed. Seetõttu, jättes avaldise esimesed liikmed kõrvale, saame ebavõrdsuse:

Kuna

,

See

Q.E.D.

Juhuslikel muutujatel võib olla erinev jaotus samade matemaatiliste ootustega. Kuid nende jaoks annab Tšebõševi lemma ühe või teise testitulemuse tõenäosuse samasuguse hinnangu. See lemma puudus on seotud selle üldistusega: kõigi juhuslike muutujate jaoks korraga paremat hinnangut on võimatu saavutada.

Tšebõševi ebavõrdsus .

Tõenäosus, et juhusliku suuruse kõrvalekalle tema matemaatilisest ootusest ületab absoluutväärtuses positiivse arvu

Tõestus.Kuna juhuslik muutuja, mis ei võta negatiivseid väärtusi, rakendame ebavõrdsust Tšebõševi lemmast juhusliku muutuja jaoks:

Q.E.D.

Tagajärg. Kuna

,

See

- Tšebõševi ebavõrdsuse teine ​​vorm

Me aktsepteerime ilma tõenditeta tõsiasja, et lemma ja Tšebõševi ebavõrdsus kehtivad ka pidevate juhuslike muutujate puhul.

Tšebõševi ebavõrdsus on suurte arvude seaduse kvalitatiivsete ja kvantitatiivsete väidete aluseks. See määratleb ülemise piiri tõenäosusele, et juhusliku suuruse kõrvalekalle selle matemaatilisest ootusest on suurem kui mõni antud arv. Tähelepanuväärne on, et Tšebõševi võrratus annab hinnangu sündmuse tõenäosusele juhusliku muutuja puhul, mille jaotus on teadmata, teada on vaid selle matemaatiline ootus ja dispersioon.

Teoreem. (Suurte arvude seadus Tšebõševi kujul)

Kui sõltumatute juhuslike suuruste dispersioone piirab üks konstant C ja nende arv on piisavalt suur, siis on tõenäosus, et nende juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise hälve nende matemaatiliste ootuste aritmeetilisest keskmisest on suvaliselt lähedane ühtsusele. ületada antud positiivset arvu absoluutväärtuses, ükskõik kui väike see ka poleks:

.

Me aktsepteerime teoreemi ilma tõestuseta.

Tagajärg 1. Kui sõltumatutel juhuslikel muutujatel on samad, võrdsed, matemaatilised ootused, nende dispersioonid on piiratud sama konstantiga C ja nende arv on piisavalt suur, siis olenemata sellest, kui väike on antud positiivne arv, on tõenäosus, et keskmise hälve on suvaliselt lähedane nende juhuslike suuruste ühiku aritmeetikale alates ei ületa absoluutväärtuses .

Selle teoreemiga saab põhjendada asjaolu, et tundmatu suuruse ligikaudne väärtus võetakse samadel tingimustel tehtud piisavalt suure hulga mõõtmiste tulemuste aritmeetiliseks keskmiseks. Tõepoolest, mõõtmistulemused on juhuslikud, kuna neid mõjutavad paljud juhuslikud tegurid. Süsteemsete vigade puudumine tähendab, et matemaatilised ootused üksikutele mõõtmistulemustele on ühesugused ja võrdsed. Järelikult erineb suurte arvude seaduse kohaselt piisavalt suure arvu mõõtmiste aritmeetiline keskmine praktiliselt meelevaldselt vähe soovitud väärtuse tegelikust väärtusest.

(Tuletame meelde, et vigu nimetatakse süstemaatiliseks, kui need moonutavad enam-vähem selge seaduse järgi mõõtmistulemust samas suunas. Nende hulka kuuluvad vead, mis ilmnevad instrumentide ebatäiuslikkuse tagajärjel (instrumentaalvead), tulenevalt isikuomadustest. vaatleja (isiklikud vead) jne)

Tagajärg 2 . (Bernoulli teoreem.)

Kui sündmuse A toimumise tõenäosus igas sõltumatus katses on konstantne ja nende arv on piisavalt suur, siis on tõenäosus suvaliselt lähedane ühtsusele, et sündmuse toimumise sagedus erineb meelevaldselt vähe selle toimumise tõenäosusest. esinemine:

Bernoulli teoreem väidab, et kui sündmuse tõenäosus on kõigis katsetes sama, siis katsete arvu suurenemisega kaldub sündmuse sagedus sündmuse tõenäosusele ja lakkab olemast juhuslik.

Praktikas on suhteliselt harvad katsed, mille puhul sündmuse toimumise tõenäosus mis tahes katses on muutumatu, sagedamini on see erinev erinevaid kogemusi. Poissoni teoreem viitab seda tüüpi testimisskeemile:

Järeldus 3 . (Poissoni teoreem.)

Kui -testis sündmuse toimumise tõenäosus ei muutu eelmiste katsete tulemuste selgumisel ja nende arv on piisavalt suur, siis tõenäosus, et sündmuse esinemissagedus erineb meelevaldselt vähe aritmeetilistest keskmistest tõenäosustest on suvaliselt ühtsusele lähedal:

Poissoni teoreem väidab, et sündmuse sagedus sõltumatute katsete seerias kaldub selle tõenäosuste aritmeetilisele keskmisele ja lakkab olemast juhuslik.

Kokkuvõtteks märgime, et ükski vaadeldavatest teoreemidest ei anna soovitud tõenäosuse täpset ega isegi ligikaudset väärtust, vaid on näidatud ainult selle alumine või ülemine piir. Seega, kui on vaja kindlaks määrata vastavate sündmuste tõenäosuste täpne või vähemalt ligikaudne väärtus, on nende teoreemide võimalused väga piiratud.

Suurte väärtuste ligikaudseid tõenäosusi saab saada ainult piirteoreemide abil. Nendes seatakse juhuslikele suurustele kas lisapiirangud (nagu näiteks Ljapunovi teoreemi puhul) või vaadeldakse teatud tüüpi juhuslikke suurusi (näiteks Moivre-Laplace'i integraaliteoreemis).

Tšebõševi teoreemi, mis kujutab endast suurte arvude seaduse väga üldist sõnastust, teoreetiline tähendus on suur. Kui aga rakendada seda küsimusele, kas sõltumatute juhuslike muutujate jadale on võimalik rakendada suurte arvude seadust, siis jaatava vastuse korral eeldab teoreem sageli, et juhuslikke muutujaid on palju rohkem kui on vajalik suurte arvude seaduse jõustumiseks. Seda Tšebõševi teoreemi puudujääki selgitatakse üldine iseloom teda. Seetõttu on soovitav omada teoreeme, mis näitaksid täpsemalt soovitud tõenäosuse alumist (või ülemist) piiri. Neid saab saada juhuslikele muutujatele lisapiirangute kehtestamisega, mis praktikas esinevate juhuslike suuruste puhul tavaliselt täidetakse.

MÄRKUSED SUURTE ARVUDE SEADUSE SISU KOHTA

Kui juhuslike muutujate arv on piisavalt suur ja nad vastavad mõnele väga üldisele tingimusele, siis olenemata nende jaotumisest on praktiliselt kindel, et nende aritmeetiline keskmine hälbib meelevaldselt väikeseks konstantsest väärtusest – nende matemaatiliste ootuste aritmeetilisest keskmisest, st on praktiliselt konstantne. Selline on suurte arvude seadusega seotud teoreemide sisu. Järelikult on suurte arvude seadus üks juhuse ja vajaduse dialektilise seose väljendusi.

Võib tuua palju näiteid uute kvalitatiivsete olekute tekkest kui suurte arvude seaduse ilminguteks eelkõige füüsikaliste nähtuste hulgas. Vaatleme ühte neist.

Kõrval kaasaegsed ideed gaasid koosnevad üksikutest osakesed – molekulid, mis on kaootilises liikumises ning on võimatu täpselt öelda, kus see antud hetkel asub ja millise kiirusega see või teine ​​molekul liigub. Kuid vaatlused näitavad, et molekulide kogumõju, näiteks gaasi rõhk

anuma seina, avaldub hämmastava püsivusega. Selle määrab löökide arv ja igaühe tugevus. Kuigi esimene ja teine ​​on juhuse küsimus, ei tuvasta instrumendid tavatingimustes gaasi rõhu kõikumisi. Seda seletatakse asjaoluga, et molekulide tohutu arvu tõttu isegi kõige väiksemates mahtudes

rõhu muutus märgatavalt on peaaegu võimatu. Seetõttu on füüsikaseadus, mis sätestab gaasirõhu püsivuse, suurte arvude seaduse ilming.

Rõhu püsivus ja mõned muud gaasi omadused korraga olid kaalukaks argumendiks aine struktuuri molekulaarteooria vastu. Seejärel õppisid nad isoleerima suhteliselt väikest arvu molekule, tagades, et üksikute molekulide mõju säiliks ja seega ei saanud suurte arvude seadus piisavalt avalduda. Seejärel oli võimalik jälgida gaasirõhu kõikumisi, mis kinnitas hüpoteesi aine molekulaarstruktuuri kohta.

Suurte arvude seadus on erinevate kindlustusliikide (inimelukindlustus erinevateks perioodideks, vara, kariloomade, põllukultuuride jne) aluseks.

Tarbekaupade valiku planeerimisel arvestatakse elanike nõudlust nende järele. Selles nõudmises avaldub suurte arvude seaduse toimimine.

Statistikas laialdaselt kasutatav valimimeetod leiab oma teadusliku õigustuse suurte arvude seaduses. Näiteks kolhoosist varumispunkti toodud nisu kvaliteeti hinnatakse juhuslikult vähesel määral püütud terade kvaliteedi järgi. Mõõdis on terve partiiga võrreldes vähe teri, kuid igal juhul valitakse mõõt selline, et selles oleks piisavalt teri

suurte arvude seaduse avaldumine vajadust rahuldava täpsusega. Meil on õigus võtta proovis olevaid vastavaid näitajaid kogu saabuva viljapartii umbrohususe, niiskusesisalduse ja terade keskmise massi näitajateks.

Teadlaste edasised jõupingutused suurte arvude seaduse sisu süvendamiseks olid suunatud sellele, et saada kõige üldisemad tingimused selle seaduse kohaldamiseks juhuslike muutujate jadale. Pikka aega polnud selles suunas põhimõttelisi edusamme. Pärast P. L. Tšebõševi ja A. A. Markovi õnnestus alles 1926. aastal Nõukogude akadeemikul A. N. Kolmogorov saada vajalikud ja piisavad tingimused, et suurte arvude seadus oleks kohaldatav sõltumatute juhuslike suuruste jadale. 1928. aastal näitas seda Nõukogude teadlane A. Ya. Khinchin piisav seisukord suurte arvude seaduse rakendatavus sõltumatute identselt jaotatud juhuslike muutujate jadale on nende matemaatilise ootuse olemasolu.

Praktika jaoks on äärmiselt oluline selgitada täielikult välja küsimus suurte arvude seaduse kohaldatavuse kohta sõltuvatele juhuslikele suurustele, kuna nähtused looduses ja ühiskonnas on vastastikku sõltuvad ja määravad üksteist vastastikku. Palju tööd on tehtud selleks, et selgitada, millised piirangud tuleb kehtestada

sõltuvateks juhuslikeks muutujateks, nii et neile saab rakendada suurte arvude seadust, millest olulisemad on väljapaistva vene teadlase A. A. Markovi ning suurte nõukogude teadlaste S. N. Bernšteini ja A. Ya. Hintšini omad.

Nende tööde peamiseks tulemuseks on see, et suurte arvude seadus on rakendatav sõltuvatele juhuslikele suurustele, kui lähedaste arvudega juhuslike muutujate vahel on tugev sõltuvus ja kaugete arvudega juhuslike muutujate vahel, on sõltuvus piisavalt nõrk. Seda tüüpi juhuslike suuruste näideteks on kliima numbrilised omadused. Iga päeva ilm on märgatavalt mõjutatud eelmiste päevade ilmast ja mõju nõrgeneb märgatavalt päevade üksteisest kaugenemisega. Järelikult peaks antud piirkonna pikaajaline keskmine temperatuur, rõhk ja muud kliima tunnused vastavalt suurte arvude seadusele olema praktiliselt nende matemaatiliste ootuste lähedal. Viimased on kohaliku kliima objektiivsed omadused.

Et eksperimentaalselt kontrollida suurte arvude seadust erinev aeg viidi läbi järgmised katsed.

1. Kogemus Buffon. Münti visatakse ümber 4040 korda. Vapp langes 2048 korda. Selle esinemise sagedus oli 0,50694 =

2. Kogemus Pearson. Münti visatakse ümber 12 000 ja 24 000 korda. Esimesel juhul osutus vapi kadumise sageduseks 0,5016, teisel juhul 0,5005.

H. Kogemused Westergaard. Urnist, milles oli võrdselt valgeid ja musti kuule, saadi 10 000 väljatõmbega (koos järgmise väljatõmmatud kuuli tagasitoomisega urni) 5011 valget ja 4989 musta palli. Valgete pallide sagedus oli 0,50110 = () ja mustade - 0,49890.

4. V.I. Romanovski. Neli münti visatakse 21160 korda. Vapi ja võre erinevate kombinatsioonide sagedused ja sagedused jagunesid järgmiselt:

Vapi ja sabade arvu kombinatsioonid	Sagedused	Sagedused
		empiiriline	Teoreetiline
4 ja 0	1 181	0,05858	0,0625
3 ja 1	4909	0,24350	0,2500
2 ja 2	7583	0,37614	0,3750
1 ja 3	5085	0,25224	0,2500
1 ja 4		0,06954	0,0625
Kokku	20160	1,0000	1,0000

Suurte arvude seaduse eksperimentaalsete testide tulemused veenavad meid, et katsesagedused on tõenäosustele lähedased.

KESKPIIRIDE TEOREEM

Lihtne on tõestada, et mis tahes lõpliku arvu sõltumatute normaaljaotusega juhuslike suuruste summa jaotub samuti normaalseaduse järgi.

Kui sõltumatud juhuslikud suurused ei jaotata tavaseaduse järgi, siis võib neile kehtestada mõned väga lõdvad piirangud ja nende summa jaotub ikkagi normaalselt.

Selle probleemi püstitasid ja lahendasid peamiselt vene teadlased P. L. Tšebõšev ning tema õpilased A. A. Markov ja A. M. Ljapunov.

Teoreem (Ljapunov).

Kui sõltumatutel juhuslikel muutujatel on lõplikud matemaatilised ootused ja lõplikud dispersioonid , nende arv on piisavalt suur ja piiramatu kasvuga

,

kus on kolmandat järku absoluutsed keskmomendid, siis nende summal on piisava täpsusega jaotus

(Tegelikult ei esita me mitte Ljapunovi teoreemi, vaid ühte selle tagajärgi, kuna see järelm on praktilisteks rakendusteks täiesti piisav. Seetõttu on tingimus , mida nimetatakse Ljapunovi tingimuseks, tugevam nõue, kui see on vajalik Ljapunovi tingimuse tõestamiseks. teoreem ise.)

Tingimuse tähendus on see, et iga termini (juhusliku muutuja) tegevus on nende kõigi kogutegevusega võrreldes väike. Paljud looduses ja ühiskonnaelus esinevad juhuslikud nähtused kulgevad täpselt selle mustri järgi. Sellega seoses on Ljapunovi teoreemil erakordselt suur tähtsus ja tavaline seadus jaotus on tõenäosusteooria üks põhiseadusi.

Olgu näiteks mõõtmine mingi suurus. Täheldatud väärtuste erinevad kõrvalekalded selle tegelikust väärtusest (matemaatiline ootus) saadakse väga paljude tegurite mõjul, millest igaüks tekitab väikese vea ja . Siis on kogu mõõteviga juhuslik suurus, mis Ljapunovi teoreemi järgi tuleb jaotada normaalseaduse järgi.

Kell relva laskmine väga suure hulga juhuslike põhjuste mõjul on kestad hajutatud teatud piirkonnas. Juhuslikke mõjusid mürsu trajektoorile võib pidada sõltumatuks. Iga põhjus põhjustab ainult väikese muutuse trajektooris võrreldes kõigist põhjustest tingitud kogumuutusega. Seetõttu tuleks eeldada, et mürsu purunemiskoha kõrvalekalle sihtmärgist on tavaseaduse kohaselt jaotatud juhuslik suurus.

Ljapunovi teoreemi järgi on meil õigus eeldada, et näiteks täiskasvanud mehe pikkus on tavaseaduse järgi jaotatud juhuslik suurus. See hüpotees, nagu ka kahes eelmises näites käsitletu, ühtib hästi tähelepanekutega.Kinnituseks toome välja 1000 täiskasvanud meestöölise pikkuse jaotuse ja vastavad teoreetilised meeste arvud, st nende meeste arvu, kes olid peaks olema nende rühmade kasv, mis põhineb meeste jaotumise eeldusel, et kasv vastavalt tavaseadusele.

Kõrgus, cm	meeste arv
	eksperimentaalsed andmed	teoreetiline prognoosid
143-146
146-149
149-152
152-155
155-158
158- 161
161- 164
164-167
167-170
170-173
173-176
176-179
179 -182
182-185
185-188

Täpsemat kokkusobivust katseandmete ja teoreetiliste andmete vahel oleks raske oodata.

Ljapunovi teoreemi järelduvusena on lihtne tõestada väidet, mida järgnevas valimimeetodi põhjendamiseks vaja läheb.

Pakkumine.

Piisavalt suure arvu identse jaotusega juhuslike suuruste summa absoluutsete keskmomentidega kolmandat järku jaotatakse normaalseaduse järgi.

Tõenäosusteooria piirteoreemid, Moivre-Laplace'i teoreemid selgitavad sündmuse esinemissageduse stabiilsuse olemust. See olemus seisneb selles, et sündmuse esinemiste arvu piirav jaotus koos katsete arvu piiramatu kasvuga (kui sündmuse tõenäosus kõigis katsetes on sama) on normaaljaotus.

Juhuslike muutujate süsteem.

Eelpool vaadeldud juhuslikud suurused olid ühedimensioonilised, s.o. olid määratud ühe arvuga, samas on ka juhuslikke muutujaid, mis on määratud kahe, kolme jne. numbrid. Selliseid juhuslikke muutujaid nimetatakse kahemõõtmelisteks, kolmemõõtmelisteks jne.

Sõltuvalt süsteemis sisalduvate juhuslike muutujate tüübist võivad süsteemid olla diskreetsed, pidevad või segatud, kui süsteem sisaldab erinevat tüüpi juhuslikke muutujaid.

Vaatleme üksikasjalikumalt kahe juhusliku muutuja süsteeme.

Definitsioon. jaotusseadus Juhuslike muutujate süsteemi nimetatakse seoseks, mis loob seose juhuslike muutujate süsteemi võimalike väärtuste alade ja süsteemi esinemise tõenäosuste vahel nendes piirkondades.

Näide. Urnist, milles on 2 valget ja 3 musta palli, loositakse kaks palli. Olgu joonistatud valgete pallide arv ja juhuslik suurus määratakse järgmiselt:

Teeme juhuslike muutujate süsteemi jaotustabeli:

Kuna on tõenäosus, et valgeid palli ei võeta välja (seega võetakse välja kaks musta palli), samas kui , siis

.

Tõenäosus

.

Tõenäosus

Tõenäosus on tõenäosus, et ühtegi valget palli ei võeta välja (ja seetõttu võetakse välja kaks musta palli), samas kui , siis

Tõenäosus on tõenäosus, et tõmmatakse üks valge pall (ja seega ka üks must), samas kui , siis

Tõenäosus - tõenäosus, et tõmmatakse kaks valget palli (ja seega mitte ühtegi musta palli), samas kui , siis

.

Seega on kahemõõtmelise juhusliku muutuja jaotusrida järgmine:

Definitsioon. jaotusfunktsioon Kahe juhusliku muutuja süsteemi nimetatakse kahe argumendi funktsiooniksF( x, y) , mis on võrdne kahe ebavõrdsuse ühise täitmise tõenäosusegaX< x, Y< y.

Märgime kahe juhusliku muutuja süsteemi jaotusfunktsiooni järgmisi omadusi:

1) ;

2) Jaotusfunktsioon on iga argumendi suhtes mittekahanev funktsioon:

3) Järgmine on tõsi:

4)

5) Juhusliku punkti tabamise tõenäosus ( X, Y ) suvaliseks ristkülikuks, mille küljed on paralleelsed koordinaattelgedega, arvutatakse valemiga:

Kahe juhusliku suuruse süsteemi jaotustihedus.

Definitsioon. Liigeste jaotustihedus kahemõõtmelise juhusliku suuruse tõenäosused ( X, Y ) nimetatakse jaotusfunktsiooni teiseks segaosatuletiseks.

Kui jaotustihedus on teada, saab jaotusfunktsiooni leida valemiga:

Kahemõõtmeline jaotustihedus on mittenegatiivne ja kahemõõtmelise tiheduse lõpmatute piiridega topeltintegraal on võrdne ühega.

Teadaoleva ühise jaotustiheduse põhjal saab leida kahemõõtmelise juhusliku suuruse iga komponendi jaotustiheduse.

; ;

Jaotuse tingimuslikud seadused.

Nagu ülal näidatud, on ühisjaotuse seadust teades lihtne leida iga süsteemis sisalduva juhusliku muutuja jaotusseadused.

Praktikas on aga sagedamini pöördprobleem – teadaolevate juhuslike suuruste jaotusseaduste järgi leida nende ühine jaotusseadus.

Üldjuhul on see probleem lahendamatu, sest juhusliku suuruse jaotusseadus ei ütle midagi selle muutuja suhete kohta teiste juhuslike suurustega.

Lisaks, kui juhuslikud suurused on üksteisest sõltuvad, siis jaotusseadust ei saa väljendada komponentide jaotusseaduste kaudu, kuna peaks looma ühenduse komponentide vahel.

Kõik see toob kaasa vajaduse kaaluda tingimuslikke jaotusseadusi.

Definitsioon. Süsteemis sisalduva ühe juhusliku muutuja jaotust, mis leitakse tingimusel, et teine ​​juhuslik suurus on võtnud teatud väärtuse, nimetatakse tingimusliku jaotamise seadus.

Tingimuslikku jaotusseadust saab täpsustada nii jaotusfunktsiooni kui ka jaotustiheduse abil.

Tingimuslik jaotustihedus arvutatakse järgmiste valemitega:

Tingimuslikul jaotustihedusel on kõik ühe juhusliku suuruse jaotustiheduse omadused.

Tinglik matemaatiline ootus.

Definitsioon. tingimuslik matemaatiline ootus diskreetne juhuslik suurus Y juures X = x (x on X teatud võimalik väärtus) nimetatakse kõigi võimalike väärtuste korrutiseks Y nende tinglike tõenäosuste kohta.

Pidevate juhuslike muutujate jaoks:

,

Kus f( y/ x) on juhusliku suuruse tingimuslik tihedus Y, kui X = x .

Tingimuslik ootusM( Y/ x)= f( x) on funktsioon X ja helistas regressioonifunktsioon X sees Y.

Näide.Leidke komponendi tingimuslik ootus Y at

X=x1 =1 tabelis esitatud diskreetse kahemõõtmelise juhusliku suuruse korral:

Y
	x1=1	x2=3	x3=4	x4=8
y1=3	0,15	0,06	0,25	0,04
y2=6	0,30	0,10	0,03	0,07

Juhuslike suuruste süsteemi tingimuslik dispersioon ja tingimusmomendid on defineeritud sarnaselt.

Sõltuvad ja sõltumatud juhuslikud muutujad.

Definitsioon. Juhuslikke muutujaid nimetatakse sõltumatu, kui ühe neist jaotusseadus ei sõltu sellest, millise väärtuse saab teine ​​juhuslik muutuja.

Juhuslike suuruste sõltuvuse mõiste on tõenäosusteoorias väga oluline.

Sõltumatute juhuslike muutujate tingimuslikud jaotused on võrdsed nende tingimusteta jaotustega.

Määratleme juhuslike suuruste sõltumatuse vajalikud ja piisavad tingimused.

Teoreem. Y on sõltumatud, on vajalik ja piisav, et süsteemi jaotusfunktsioon ( X, Y) oli võrdne komponentide jaotusfunktsioonide korrutisega.

Sarnase teoreemi saab sõnastada jaotustiheduse jaoks:

Teoreem. Selleks, et juhuslikud suurused X ja Y on sõltumatud, on vajalik ja piisav, et süsteemi ühine jaotustihedus ( X, Y) oli võrdne komponentide jaotustiheduse korrutisega.

Praktiliselt kasutatakse järgmisi valemeid:

Diskreetsete juhuslike muutujate jaoks:

Pidevate juhuslike muutujate jaoks:

Korrelatsioonimomenti iseloomustavad juhuslikud muutujad. Kui juhuslikud suurused on sõltumatud, siis on nende korrelatsioonimoment null.

Korrelatsioonimomendi mõõde on võrdne juhuslike suuruste X ja mõõtmete korrutisega Y . See asjaolu on selle arvulise karakteristiku puuduseks, kuna erinevate mõõtühikutega saadakse erinevad korrelatsioonimomendid, mis raskendab erinevate juhuslike suuruste korrelatsioonimomentide võrdlemist.

Selle puuduse kõrvaldamiseks rakendatakse teist tunnust - korrelatsioonikordajat.

Definitsioon. Korrelatsioonikordaja rxy juhuslikud suurused X ja Y on korrelatsioonimomendi suhe nende suuruste standardhälbete korrutisesse.

Korrelatsioonikordaja on mõõtmeteta suurus. Sõltumatute juhuslike muutujate korral on korrelatsioonikordaja null.

Omadus: Kahe juhusliku suuruse X ja Y korrelatsioonimomendi absoluutväärtus ei ületa nende dispersioonide geomeetrilist keskmist.

Omadus: Korrelatsioonikordaja absoluutväärtus ei ületa ühtsust.

Juhuslikke muutujaid nimetatakse korrelatsioonis kui nende korrelatsioonimoment on nullist erinev, ja korrelatsioonita kui nende korrelatsioonimoment on null.

Kui juhuslikud muutujad on sõltumatud, siis nad ei ole korrelatsioonis, kuid korrelatsioonita ei saa järeldada, et nad on sõltumatud.

Kui kaks suurust on sõltuvad, võivad need olla kas korrelatsioonis või korrelatsioonita.

Sageli saab juhuslike muutujate süsteemi antud jaotustiheduse järgi määrata nende muutujate sõltuvuse või sõltumatuse.

Koos korrelatsioonikordajaga saab juhuslike suuruste sõltuvusastet iseloomustada ka teise suurusega, mis on nn. kovariatsioonikordaja. Kovariatsioonikordaja määratakse valemiga:

Näide. Juhuslike suuruste süsteemi X jaotustihedus jasõltumatu. Muidugi on need ka korrelatsioonita.

Lineaarne regressioon.

Vaatleme kahemõõtmelist juhuslikku muutujat ( X , Y ), kus X ja Y on sõltuvad juhuslikud muutujad.

Esitagem ligikaudu üht juhuslikku muutujat teise funktsioonina. Täpne vaste pole võimalik. Eeldame, et see funktsioon on lineaarne.

Selle funktsiooni määramiseks jääb üle vaid leida konstantsed väärtused a Ja b.

Definitsioon. Funktsioong( X) helistas parim lähendus juhuslik muutuja Y vähimruutude meetodi tähenduses, kui matemaatiline ootus

Võtab väikseima võimaliku väärtuse. Samuti funktsioong( x) helistas keskmine ruutregressioon Y kuni X.

Teoreem. Lineaarne keskmine ruudu regressioon Y X arvutatakse järgmise valemiga:

selles valemis mx= M( X juhuslik muutuja Yjuhusliku suuruse suhtes X. See väärtus iseloomustab juhusliku suuruse asendamisest tuleneva vea suurustYlineaarne funktsioong( X) = aX +b.

On näha, et kui r= ± 1, siis on jääkvariatsioon null ja seega on viga null ja juhuslik muutujaYon täpselt esindatud juhusliku suuruse lineaarfunktsiooniga X.

Otsene ruutjuure regressioon X pealYmääratakse sarnaselt valemiga: X ja Yon lineaarse regressiooni funktsioonid üksteise suhtes, siis ütleme, et suurused X JaYühendatud lineaarne korrelatsioon sõltuvus.

Teoreem. Kui kahemõõtmeline juhuslik suurus ( X, Y) on normaaljaotus, siis X ja Y on ühendatud lineaarse korrelatsiooni sõltuvusega.

E.G. Nikiforova

Suurte arvude seadus tõenäosusteoorias väidab, et fikseeritud jaotusest pärineva piisavalt suure lõpliku valimi empiiriline keskmine (aritmeetiline keskmine) on lähedane selle jaotuse teoreetilisele keskmisele (ootus). Sõltuvalt konvergentsi tüübist eristatakse suurte arvude nõrka seadust, kui konvergents toimub tõenäosuses, ja tugevat suurte arvude seadust, kui lähenemine toimub peaaegu kõikjal.

Alati on piiratud arv katseid, mille puhul on mis tahes tõenäosusega väiksem kui 1 mõne sündmuse suhteline esinemissagedus erineb meelevaldselt vähe selle tõenäosusest.

Suurte arvude seaduse üldine tähendus: suure hulga identsete ja sõltumatute juhuslike tegurite koosmõju viib tulemuseni, mis piirides ei sõltu juhusest.

Sellel omadusel põhinevad lõpliku valimi analüüsil põhinevad tõenäosuse hindamise meetodid. hea näide on valimistulemuste ennustus, mis põhineb valijate valimi küsitlusel.

Entsüklopeediline YouTube

1 / 5

✪ Suurte arvude seadus

✪ 07 – Tõenäosusteooria. Suurte arvude seadus

✪ 42 suurte arvude seadus

✪ 1 – Tšebõševi suurte arvude seadus

✪ 11. klass, 25. tund, Gaussi kõver. Suurte arvude seadus

Subtiitrid

Vaatame suurte arvude seadust, mis on ehk kõige intuitiivsem seadus matemaatikas ja tõenäosusteoorias. Ja kuna see kehtib väga paljude asjade kohta, kasutatakse seda mõnikord ja mõistetakse valesti. Lubage mul kõigepealt anda sellele täpsuse määratlus ja seejärel räägime intuitsioonist. Võtame juhusliku suuruse, näiteks X. Oletame, et teame selle matemaatilist ootust või populatsiooni keskmist. Suurte arvude seadus ütleb lihtsalt, et kui me võtame juhusliku suuruse n-nda arvu vaatluste näite ja arvutame kõigi nende vaatluste arvu keskmise... Võtame muutuja. Nimetagem seda X-ks, mille ülaosas on alaindeksi n ja kriips. See on meie juhusliku suuruse n-nda vaatluste arvu aritmeetiline keskmine. Siin on minu esimene tähelepanek. Ma teen katse üks kord ja teen selle vaatluse, siis teen seda uuesti ja teen selle vaatluse, teen seda uuesti ja saan selle. Kordan seda katset n korda ja jagan siis oma vaatluste arvuga. Siin on minu näidiskeskmine. Siin on kõigi minu tehtud tähelepanekute keskmine. Suurte arvude seadus ütleb meile, et minu valimi keskmine läheneb juhusliku suuruse keskmisele. Või võin ka kirjutada, et minu valimi keskmine läheneb lõpmatusse mineva n-nda arvu populatsiooni keskmisele. Ma ei hakka selgelt eristama "lähendamist" ja "konvergentsi", kuid loodan, et saate intuitiivselt aru, et kui ma võtan siin üsna suure valimi, siis saan eeldatava väärtuse kogu üldkogumi kohta. Arvan, et enamik teist mõistab intuitiivselt, et kui ma teen piisavalt teste suure hulga näidetega, siis lõpuks annavad testid mulle väärtused, mida ootan, võttes arvesse matemaatilist ootust, tõenäosust ja kõike seda. Kuid ma arvan, et sageli jääb arusaamatuks, miks see nii juhtub. Ja enne kui hakkan selgitama, miks see nii on, lubage mul tuua teile konkreetne näide. Suurte arvude seadus ütleb meile, et... Oletame, et meil on juhuslik suurus X. See on võrdne peade arvuga 100 õige mündi viskamisel. Esiteks teame selle juhusliku muutuja matemaatilist ootust. See on mündiviskamiste või katsete arv, mis on korrutatud mis tahes katse õnnestumise tõenäosusega. Nii et see võrdub 50-ga. See tähendab, et suurte arvude seadus ütleb, et kui me võtame proovi või kui ma arvutan nende katsete keskmise, siis ma saan. .. Kui ma esimest korda testi teen, viskan münti 100 korda või võtan saja mündiga karbi, raputan seda ja siis loendan, mitu pead ma saan, ja saan näiteks numbri 55. See on X1. Siis raputan uuesti kasti ja saan numbri 65. Siis jälle - ja saan 45. Ja ma teen seda n korda ja siis jagan selle katsete arvuga. Suurte arvude seadus ütleb meile, et see keskmine (kõikide minu vaatluste keskmine) kipub olema 50, samas kui n kaldub lõpmatuseni. Nüüd tahaksin veidi rääkida, miks see nii juhtub. Paljud usuvad, et kui pärast 100 katset on mu tulemus üle keskmise, siis tõenäosusseaduste järgi peaks mul olema rohkem või vähem pead, et nii-öelda vahet kompenseerida. Päris nii see ei juhtu. Seda nimetatakse sageli "mänguri eksituseks". Las ma näitan teile erinevust. Kasutan järgmist näidet. Las ma joonistan graafiku. Muudame värvi. See on n, minu x-telg on n. See on testide arv, mida ma teen. Ja minu y-telg on valimi keskmine. Teame, et selle suvalise muutuja keskmine on 50. Las ma joonistan selle. See on 50. Läheme tagasi meie näite juurde. Kui n on... Esimesel testil sain 55, mis on minu keskmine. Mul on ainult üks andmesisestuspunkt. Siis pärast kahte katset saan 65. Minu keskmine oleks 65+55 jagatud 2-ga. See on 60. Ja mu keskmine tõusis natuke. Siis sain 45, mis alandas mu aritmeetilise keskmise taas. Ma ei kirjuta graafikule 45. Nüüd pean selle kõik keskmiseks tegema. Millega võrdub 45+65? Las ma arvutan selle väärtuse punkti esindamiseks. See on 165 jagatud 3-ga. See on 53. Ei, 55. Seega langeb keskmine jälle 55-ni. Võime neid katseid jätkata. Pärast seda, kui oleme kolm katset teinud ja selle keskmise välja tulnud, arvavad paljud, et tõenäosusjumalad teevad nii, et tulevikus saame vähem päid, et järgmised paar katset on madalamad, et keskmist vähendada. Kuid see ei ole alati nii. Edaspidi jääb tõenäosus alati samaks. Tõenäosus, et ma löön pead, on alati 50%. Mitte, et ma saan esialgu teatud arvu päid, rohkem, kui ootan, ja siis äkki peaksid sabad välja kukkuma. See on "mängija eksitus". Kui saad ebaproportsionaalselt palju päid, ei tähenda see, et ühel hetkel hakkaks sulle ebaproportsionaalselt palju sabasid kukkuma. See pole täiesti tõsi. Suurte arvude seadus ütleb meile, et sellel pole tähtsust. Oletame, et pärast teatud lõplikku arvu katseid on teie keskmine... Selle tõenäosus on üsna väike, kuid siiski... Oletame, et teie keskmine jõuab selle märgini - 70. Sa mõtled: "Vau, me oleme ületanud ootusi." Kuid suurte arvude seadus ütleb, et pole vahet, kui palju teste me teeme. Meil seisab ees veel lõpmatu arv katsumusi. Selle lõpmatu arvu katsete matemaatiline ootus, eriti sellises olukorras, on järgmine. Kui leiate lõpliku arvu, mis väljendab mõnda suurt väärtust, annab sellega koonduv lõpmatu arv taas eeldatava väärtuse. See on muidugi väga lõtv tõlgendus, kuid seda ütleb meile suurte arvude seadus. See on tähtis. Ta ei ütle meile, et kui me saame palju päid, siis mingil moel suureneb sabade saamise tõenäosus, et kompenseerida. See seadus ütleb meile, et pole vahet, mis tulemus on piiratud arvu katsete korral, kui teil on veel ees lõpmatu arv katseid. Ja kui teete neid piisavalt, jõuate taas ootuste juurde. See oluline punkt. Mõtle selle üle. Aga loteriide ja kasiinodega seda praktikas igapäevaselt ei kasutata, kuigi on teada, et kui teha piisavalt teste... Võime isegi välja arvutada... kui suur on tõenäosus, et kaldume normist tõsiselt kõrvale? Aga kasiinod ja loteriid töötavad iga päev põhimõttel, et kui võtad piisavalt inimesi, siis loomulikult eest lühiajaline, väikese valimiga, siis paar inimest löövad jackpoti. Kuid pikemas perspektiivis saavad kasiino alati kasu nende mängude parameetritest, mida nad mängima kutsuvad. See on oluline tõenäosuspõhimõte, mis on intuitiivne. Kuigi mõnikord, kui seda teile formaalselt juhuslike muutujatega seletatakse, tundub see kõik pisut segane. Kõik see seadus ütleb, et mida rohkem valimeid on, seda rohkem nende valimite aritmeetiline keskmine läheneb tõelisele keskmisele. Ja kui täpsem olla, siis teie valimi aritmeetiline keskmine läheneb juhusliku suuruse matemaatilisele ootusele. See on kõik. Kohtumiseni järgmises videos!

Suurte arvude nõrk seadus

Suurte arvude nõrka seadust nimetatakse ka Bernoulli teoreemiks Jacob Bernoulli järgi, kes tõestas seda 1713. aastal.

Olgu identselt jaotatud ja korreleerimata juhuslike muutujate lõpmatu jada (järjestikune loendus). See tähendab nende kovariatsiooni c o v (X i , X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\kõik i\not =j). Laske . Tähistage esimese valimi keskmisega n (\displaystyle n) liikmed:

.

Siis X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

See tähendab iga positiivse kohta ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Suurte arvude tugev seadus

Olgu sõltumatute identse jaotusega juhuslike muutujate lõpmatu jada ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) defineeritud ühel tõenäosusruumil (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Lase E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\all i\in \mathbb (N) ). Tähistage X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n)) esimese valimi keskmine n (\displaystyle n) liikmed:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\mathbb (N) ).

Siis X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) peaaegu alati.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ paremal)=1.) .

Nagu iga matemaatiline seadus, saab suurte arvude seadust reaalses maailmas rakendada ainult teadaolevate eelduste alusel, mida saab täita ainult teatud täpsusega. Nii näiteks ei saa järjestikuste testide tingimusi sageli lõputult ja absoluutse täpsusega säilitada. Lisaks räägib suurte arvude seadus ainult sellest ebatõenäosus keskmise väärtuse oluline kõrvalekalle matemaatilisest ootusest.