Lõigu koordinaatide leidmine. Lõigu keskkoha koordinaadid. Valemid segmendi jagamiseks etteantud suhtega Lõigu jagamise mõiste etteantud suhtega

Pärast vaevarikast tööd märkasin järsku, et veebilehtede suurused on üsna suured ja kui nii edasi läheb, siis võid vaikselt rahumeelselt jõhkraks muutuda =) Seetõttu toon teie tähelepanu väikesele esseele väga levinud geomeetriaprobleemist - segmendi jaotuse kohta selles osas ja erijuhtudel umbes lõigu jagamine pooleks.

See ülesanne ühel või teisel põhjusel teistesse tundidesse ei mahtunud, kuid nüüd on suurepärane võimalus seda üksikasjalikult ja aeglaselt kaaluda. Hea uudis on see, et teeme vektoritest veidi pausi ja keskendume punktidele ja joonelõikudele.

Sektsioonide jaotusvalemid selles osas

Segmendijaotuse kontseptsioon selles osas

Sageli ei pea te lubatut üldse ootama, kaalume kohe paari punkti ja ilmselgelt uskumatu lõigu:

Vaadeldav probleem kehtib nii tasapinna segmentide kui ka ruumi segmentide kohta. See tähendab, et demonstratsioonisegmendi saab paigutada mis tahes viisil tasapinnale või ruumi. Selgitamise hõlbustamiseks joonistasin selle horisontaalselt.

Mida me selle segmendiga peale hakkame? Seekord nägin. Keegi saagib eelarvet, keegi saagib abikaasat, keegi saagib küttepuid ja me hakkame saagima segmenti kaheks osaks. Segment jagatakse mõne punkti abil kaheks osaks, mis loomulikult asub sellel otse:

Selles näites jagab punkt lõigu nii, et lõik on kaks korda lühem lõigust . VEEL võime öelda, et punkt jagab lõigu suhtes ("üks kahele"), lugedes ülevalt.

Kuival peal matemaatiline keel see fakt on kirjutatud järgmiselt: , või sagedamini tavalise proportsiooni kujul: . Segmentide suhet tähistatakse tavaliselt kreeka tähega "lambda", antud juhul: .

Proportsiooni on lihtne koostada erinevas järjekorras: - see kirje tähendab, et segment on lõigust kaks korda pikem, kuid sellel ei ole ülesannete lahendamisel põhimõttelist tähtsust. See võib olla nii ja see võib olla nii.

Muidugi on segmenti mõnes muus osas lihtne jagada ja kontseptsiooni kinnituseks teine näide:

Siin kehtib suhe: . Kui teeme proportsiooni vastupidi, saame: .

Pärast seda, kui oleme aru saanud, mida tähendab segmendi jagamine selles osas, jätkame praktiliste probleemide kaalumist.

Kui on teada kaks tasandi punkti, väljendatakse lõigu suhtes jagava punkti koordinaadid valemitega:

Kust need valemid tulid? Analüütilise geomeetria käigus tuletatakse need valemid rangelt vektorite abil (kus me oleksime ilma nendeta? =)). Lisaks kehtivad need mitte ainult Descartes'i koordinaatsüsteemi, vaid ka suvalise jaoks afiinne süsteem koordinaadid (vt õppetund Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektori alus). Selline on universaalne ülesanne.

Näide 1

Leia punkti koordinaadid, mis jagab lõigu suhtes , kui punktid on teada

Lahendus: Selles probleemis. Vastavalt segmendi selles osas jagamise valemitele leiame punkti:

Vastus:

Pöörake tähelepanu arvutustehnikale: kõigepealt peate eraldi arvutama lugeja ja eraldi nimetaja. Tulemuseks on sageli (aga sugugi mitte alati) kolme-neljakorruseline murd. Pärast seda vabaneme mitmekorruselisest fraktsioonist ja viime läbi lõplikud lihtsustused.

Ülesanne ei nõua joonist, kuid alati on kasulik see mustandil täita:

Tõepoolest, seos on täidetud, see tähendab, et segment on kolm korda lühem kui segment . Kui proportsioon pole ilmne, saab segmente alati rumalalt tavalise joonlauaga mõõta.

Samaväärne teine viis lahendada: selles algab loendus punktist ja seos on õiglane: (inimlikud sõnad, on segment kolm korda pikem kui segment ). Vastavalt segmendi selles osas jagamise valemitele:

Vastus:

Pange tähele, et valemites on vaja punkti koordinaadid esikohale nihutada, kuna väike põnevik algas sellega.

Samuti on näha, et teine meetod on rohkema tõttu ratsionaalsem lihtsad arvutused. Aga igatahes see ülesanne sagedamini otsustatakse "traditsioonilises" järjekorras. Näiteks kui segment on antud tingimusega, siis eeldatakse, et moodustad proportsiooni, kui segment on antud, siis “vaikivalt” tähendab proportsiooni.

Ja ma tsiteerisin teist meetodit põhjusel, et sageli püütakse probleemi olemust tahtlikult segi ajada. Seetõttu on väga oluline teha mustandjoonis esiteks seisukorra korrektseks analüüsimiseks ja teiseks kontrollimise eesmärgil. Nii lihtsa ülesande täitmisel on kahju teha vigu.

Näide 2

Antud punktid . Leia:

a) punkt, mis jagab lõigu suhtes ;
b) punkt, mis jagab lõigu suhtes .

See on näide sõltumatu lahendus. Täielik lahendus ja vastus tunni lõpus.

Mõnikord on probleeme, kui segmendi üks ots on teadmata:

Näide 3

Punkt kuulub segmenti . On teada, et lõik on lõigust kaks korda pikem. Leidke punkt, kui .

Lahendus: Tingimusest tuleneb, et punkt jagab lõigu suhtes , lugedes ülevalt, ehk proportsioon kehtib: . Vastavalt segmendi selles osas jagamise valemitele:

Nüüd me ei tea punkti : koordinaate, kuid see pole eriline probleem, kuna neid saab ülaltoodud valemite abil hõlpsasti väljendada. IN üldine vaade selle väljendamine ei maksa midagi, konkreetseid numbreid on palju lihtsam asendada ja arvutustega hoolikalt tegeleda:

Vastus:

Kontrollimiseks võite võtta lõigu otsad ja kasutades valemeid otseses järjekorras veenduda, et suhe osutub tõesti punktiks. Ja loomulikult pole joonistus muidugi üleliigne. Ja selleks, et veenda teid lõpuks ruudulise märkmiku, lihtsa pliiatsi ja joonlaua eelistes, pakun iseseisva lahenduse jaoks keeruka ülesande:

Näide 4

Punkt . Lõik on lõigust poolteist korda lühem. Leidke punkt, kui punktide koordinaadid on teada .

Lahendus tunni lõpus. Muide, see pole ainuke, kui lähete proovist erinevalt, siis see pole viga, peaasi, et vastused ühtivad.

Ruumiliste segmentide puhul on kõik täpselt sama, lisatakse ainult üks koordinaat.

Kui on teada kaks ruumipunkti, väljendatakse lõigu suhtes jagava punkti koordinaadid valemitega:
.

Näide 5

Punkte antakse. Leidke lõiku kuuluva punkti koordinaadid, kui see on teada .

Lahendus: Seos tuleneb tingimusest: . See näide on võetud reaalsest testist ja selle autor lubas endale väikese nalja (äkitselt keegi komistab) - ratsionaalsem oleks proportsioon tingimusesse kirjutada nii: .

Vastavalt segmendi keskkoha koordinaatide valemitele:

Vastus:

Kontrollimiseks mõeldud kolmemõõtmelisi jooniseid on palju keerulisem teostada. Siiski saate alati teha skemaatilise joonise, et mõista vähemalt tingimust - millised segmendid tuleb korreleerida.

Mis puudutab vastuses olevaid murde, siis ärge imestage, see on tavaline. Olen seda korduvalt öelnud, kuid kordan: kõrgemas matemaatikas on kombeks kasutada tavalisi tavalisi ja ebaõigeid murde. Vastus vormis sobib, kuid valede murdudega variant on standardsem.

Soojendusülesanne iseseisvaks lahenduseks:

Näide 6

Punkte antakse. Leia koordinaadid punkti, kui on teada, et see jagab segmendi suhtes .

Lahendus ja vastus tunni lõpus. Kui proportsioonides on raske orienteeruda, tehke skemaatiline joonis.

Iseseisvas ja kontrolltööd vaadeldavad näited esinevad nii iseenesest kui ka suuremate probleemide lahutamatu osana. Selles mõttes on tüüpiline kolmnurga raskuskeskme leidmise probleem.

Ma ei näe erilist mõtet analüüsida sellist ülesannet, kus segmendi üks ots on tundmatu, kuna kõik näeb välja nagu lame korpus, välja arvatud see, et arvutusi on veidi rohkem. Parem mäleta kooliaastaid:

Lõigu keskkoha koordinaatide valemid

Isegi ettevalmistamata lugejad mäletavad, kuidas segment pooleks lõigata. Segmendi kaheks võrdseks osaks jagamise ülesanne on selles osas segmendi jagamise erijuhtum. Kahe käega saag töötab kõige demokraatlikumalt ja iga lauanaaber saab sama pulga:

Sellel pidulikul tunnil lõid trummid, tervitades märkimisväärset osa. Ja üldvalemid imekombel muudetud millekski tuttavaks ja lihtsaks:

Mugav hetk on asjaolu, et segmendi otste koordinaate saab valutult ümber paigutada:

Üldvalemites selline luksuslik number, nagu aru saate, ei tööta. Jah, ja siin pole selle järele erilist vajadust, nii et meeldiv pisiasi.

Ruumilise juhtumi puhul kehtib ilmne analoogia. Kui segmendi otsad on antud, väljendatakse selle keskkoha koordinaate valemitega:

Näide 7

Rööpkülik on antud selle tippude koordinaatidega. Leidke selle diagonaalide lõikepunkt.

Lahendus: Soovijad saavad joonist täiendada. Eriti soovitan graffitit neile, kes on kooli geomeetriakursuse sootuks unustanud.

Tuntud omaduse järgi jagatakse rööpküliku diagonaalid pooleks nende lõikepunkti järgi, seega saab ülesande lahendada kahel viisil.

Meetod üks: Vaatleme vastandlikke tippe . Kasutades lõigu pooleks jagamise valemeid, leiame diagonaali keskpunkti:

Esialgne geomeetriline teave

Lõigu mõiste, nagu ka punkti, sirge, kiire ja nurga mõiste, viitab algsele geomeetrilisele teabele. Geomeetria uurimine algab nendest mõistetest.

"Esialgne teave" all mõistetakse tavaliselt midagi elementaarset ja lihtsat. Arusaadavalt võib-olla see nii ongi. Selliseid lihtsaid mõisteid kohtab aga sageli ja need on vajalikud mitte ainult meil Igapäevane elu aga ka tootmises, ehituses ja muudes meie eluvaldkondades.

Alustame määratlustega.

Definitsioon 1

Lõik on kahe punktiga (otsaga) piiratud sirge osa.

Kui lõigu otsteks on punktid $A$ ja $B$, siis kirjutatakse moodustatud lõik $AB$ või $BA$. Sellisesse lõiku kuuluvad punktid $A$ ja $B$, samuti kõik nende punktide vahel paiknevad joone punktid.

2. definitsioon

Lõigu keskpunkt on punkt lõigul, mis poolitab selle kaheks võrdseks lõiguks.

Kui see on punkt $C$, siis $AC=CB$.

Segmenti mõõdetakse võrdluse teel teatud segmendiga, mida võetakse mõõtühikuna. Kõige sagedamini kasutatav on sentimeeter. Kui sentimeeter mahub antud segmendis täpselt neli korda, tähendab see, et selle segmendi pikkus võrdub $4$ cm.

Tutvustame lihtsat tähelepanekut. Kui punkt jagab lõigu kaheks lõiguks, on kogu lõigu pikkus võrdne nende lõikude pikkuste summaga.

Lõigu keskpunkti koordinaadi leidmise valem

Lõigu keskpunkti koordinaadi leidmise valem viitab analüütilise geomeetria kulgemisele tasapinnal.

Määratleme koordinaadid.

3. määratlus

Koordinaadid on määratletud (või järjestatud) arvud, mis näitavad punkti asukohta tasapinnal, pinnal või ruumis.

Meie puhul on koordinaadid märgitud koordinaatide telgedega määratletud tasapinnale.

Joonis 3 Koordinaatide tasapind. Autor24 - üliõpilastööde veebivahetus

Kirjeldame pilti. Tasapinnal valitakse punkt, mida nimetatakse koordinaatide alguspunktiks. Seda tähistatakse tähega $O$. Läbi koordinaatide alguspunkti tõmmatakse kaks sirget (koordinaatide telge), mis ristuvad täisnurga all, üks neist on rangelt horisontaalne ja teine vertikaalne. Seda olukorda peetakse normaalseks. Horisontaalset joont nimetatakse abstsissteljeks ja tähistatakse $OX$, vertikaalset joont nimetatakse ordinaatteljeks $OY$.

Seega määratlevad teljed $XOY$ tasandi.

Sellise süsteemi punktide koordinaadid määratakse kahe numbriga.

Olemas erinevad valemid(võrrandid), mis määravad teatud koordinaadid. Tavaliselt uurivad nad analüütilise geomeetria käigus erinevaid valemeid sirgete, nurkade, lõigu pikkuste ja muude jaoks.

Liigume otse lõigu keskkoha koordinaadi valemi juurde.

4. määratlus

Kui punkti $E(x,y)$ koordinaadid on lõigu $M_1M_2$ keskpunkt, siis:

Joonis 4. Lõigu keskkoha koordinaadi leidmise valem. Autor24 - üliõpilastööde veebivahetus

Praktiline osa

Näited alates koolikursus geomeetria on üsna lihtne. Vaatame mõnda peamist.

Parema mõistmise huvides alustame elementaarse illustreeriva näitega.

Näide 1

Meil on joonis:

Joonisel on segmendid $AC, CD, DE, EB$ võrdsed.

Milliste lõikude keskpunkt on punkt $D$?
Mis punkt on lõigu $DB$ keskpunkt?

punkt $D$ on lõikude $AB$ ja $CE$ keskpunkt;
punkt $E$.

Vaatame veel ühte lihtsat näidet, mille puhul peame pikkuse arvutama.

Näide 2

Punkt $B$ on lõigu $AC$ keskpunkt. $AB = 9$ cm Mis on $AC$ pikkus?

Kuna m. $B$ poolitab $AC$, siis $AB = BC= 9$ cm Seega $AC = 9+9=18$ cm.

Vastus: 18 cm.

Teised sarnased näited on tavaliselt identsed ja keskenduvad võimalusele võrrelda pikkuse väärtusi ja nende esitust algebralised tehted. Sageli tuleb ülesannetes ette juhtumeid, kus sentimeeter ei mahu paarisarv segmenti. Seejärel jagatakse mõõtühik võrdseteks osadeks. Meie puhul jagatakse sentimeeter 10 millimeetriks. Mõõtke ülejäänud osa eraldi, võrreldes millimeetriga. Toome näite sellise juhtumi kohta.

Väga sageli tuleb ülesandes C2 töötada punktidega, mis jagavad lõigu pooleks. Selliste punktide koordinaadid on kergesti arvutatavad, kui on teada lõigu otste koordinaadid.

Niisiis, andke segment selle otste järgi - punktid A \u003d (x a; y a; z a) ja B \u003d (x b; y b; z b). Siis saab lõigu keskpunkti koordinaadid - tähistame seda punktiga H - leida valemiga:

Teisisõnu, lõigu keskkoha koordinaadid on selle otste koordinaatide aritmeetiline keskmine.

· Ülesanne . Ühikkuubik ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 asetatakse koordinaatsüsteemi nii, et teljed x, y ja z on suunatud vastavalt servi AB, AD ja AA 1 ning alguspunkt langeb kokku punktiga A. Punkt K on serva A 1 B 1 keskpunkt. Leidke selle punkti koordinaadid.

Lahendus. Kuna punkt K on lõigu A 1 B 1 keskpunkt, on selle koordinaadid võrdsed otste koordinaatide aritmeetilise keskmisega. Kirjutame üles otste koordinaadid: A 1 = (0; 0; 1) ja B 1 = (1; 0; 1). Nüüd leiame punkti K koordinaadid:

Vastus: K = (0,5; 0; 1)

· Ülesanne . Ühikkuubik ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 asetatakse koordinaatsüsteemi nii, et x-, y- ja z-teljed on suunatud vastavalt piki servi AB, AD ja AA 1 ning alguspunkt langeb kokku punktiga A. Leidke koordinaadid. punktist L, kus nad lõikuvad ruudu diagonaalid A 1 B 1 C 1 D 1 .

Lahendus. Planimeetria käigust on teada, et ruudu diagonaalide lõikepunkt on kõigist selle tippudest võrdsel kaugusel. Eelkõige A 1 L = C 1 L, st. punkt L on lõigu A 1 C 1 keskpunkt. Kuid A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), seega on meil:

Vastus: L = (0,5; 0,5; 1)

Analüütilise geomeetria lihtsamad ülesanded.
Tegevused vektoritega koordinaatides

Ülesandeid, mida kaalutakse, on väga soovitav õppida, kuidas neid täielikult automaatselt lahendada, ja valemeid meelde jätta, ärge isegi meelega mäletage, nad mäletavad seda ise =) See on väga oluline, kuna muud analüütilise geomeetria probleemid põhinevad kõige lihtsamatel elementaarsetel näidetel ja etturite söömisele lisaaega kulutada on tüütu. Särgil pole vaja ülemisi nööpe kinnitada, paljud asjad on sulle koolist tuttavad.

Materjali esitlus kulgeb paralleelselt – nii tasapinna kui ruumi osas. Sel põhjusel, et kõik valemid ... näete ise.

Kuidas leida lõigu keskpunkti koordinaate
Kõigepealt selgitame välja, mis on segmendi keskpunkt.
Lõigu keskpunkt on punkt, mis kuulub see segment ja on selle otstest sama kaugel.

Sellise punkti koordinaate on lihtne leida, kui on teada selle lõigu otste koordinaadid. Sel juhul on lõigu keskpunkti koordinaadid võrdsed poolega lõigu otste vastavate koordinaatide summast.
Lõigu keskpunkti koordinaadid leitakse sageli, lahendades ülesandeid mediaanil, keskjoonel jne.
Mõelge lõigu keskkoha koordinaatide arvutamisele kahel juhul: kui lõik on antud tasapinnal ja antud ruumis.
Laske segmendil tasapinnal anda kaks punkti, mille koordinaadid ja . Seejärel arvutatakse PH segmendi keskpunkti koordinaadid järgmise valemiga: